Modulo angulos triangulos

Ángulos y Triángulos

Asignatura: TRIGONOMETRIA

ING. JAVIER ENEIRO VEGA

mmm... ojalá te sirva este módulo

INSTITUTO TECNICO INDUSTRIAL

LAUREANO GOMEZ CASTRO

“A ver a ver a ver”: Hola amigos del ITI, en las siguientes

diapositivas presentaremos lo entretenidito que puede resultar aprender las propiedades de los

ángulos y triángulos. Van a aprender a construirlos

perfectamente; sus propiedades y lo mas importante, desarrollar

esos ejercicios que se ven de otro mundo. En estas diapositivas van

a encontrar entreteniditos “Quizesitos” y así poder pasar a otro nivel de dificultad. Buena

suerte y animo con los TRIANGULOS Y ANGULOS!!!!!

Ángulos Para aprender sobre los ángulos primero tenemos que tener

claros estos conceptos, esperemos que este cuadro te ayude

Nombre del Conjunto

Punto Recta Segmento Rayo Plano

Representación P

M N M N M N

Símbolo P MN MN

MN

P

Se lee Punto P Recta MNRecta NM

Segmento MNSegmento NM

Rayo MN Plano P

Dimensión No tiene Una: Largo Una: Largo Una: Largo Dos: Largo y Ancho

Ahora si podemos comenzar. Un ángulo es la figura formada por 2 semirrectas que parten de un mismo punto. Las semirectas se llaman lados y el punto común vértice. Así como muestra la figura

Ángulos

Este es el que se conoce como Sistema sexagesimal

Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un grado

sexagesimal.            Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a

un minuto.            Un minuto se divide nuevamente en 60 partes

iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un

segundo.

ÁngulosSistema de Medición de ángulos

“Con esfuerzo y constancia

lograras aprender los contenidos”

Tipos de Ángulos

Ángulos

Tipo de ángulo Rango

Ángulo Agudo

0º 90º

Ángulo Recto

90º =

Ángulos

Ángulo Extendido

180º =

Ángulo Obtuso

0º 90º

Ángulo Convexo

180º 360º

Ángulos

Ángulo Completo

360º =

Haber muchachos,

después de esto nos vamos a meter en la

materia de la clasificación de ángulos así que

prepárense

Ángulos

Ángulos CONSECUTIVOS

Clasificación de ángulos

• Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice.  BAC es adyacente con  DAC

Ángulos

Ángulos Opuestos por el vértice

Clasificación de ángulos

• Dos líneas que se interceptan generan ángulos opuestos por el vértice.  - Son ángulos no adyacentes.   1,  2,  3 y  4

•  Son ángulos   congruentes:  1 =  2 y  3 =  4

Ángulos

Ángulos Complementarios

Clasificación de ángulos

• Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90°.  +=90º   

• El  BAC es adyacente al  DAC y viceversa

Ángulos

Ángulos Suplementarios

Clasificación de ángulos

• Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180°.   +=180º

• El  BAC es adyacente al  DAC y viceversa

Ángulos

Llegó la hora de hacer el primer quiz, esperemos que estés listo después de todo lo aprendido

Va a ser un quiz de 3 preguntas simples con alternativas

BUENA SUERTE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

1) ¿Qué tipo de ángulo sería este?

a) Obtuso

b) Convexo

c) Agudo

d) Extendido

QUIZ 1

ÁngulosQUIZ 1

Muy bien acertaste

Sigue así!!!!!!!!!

Pasa a la siguiente pregunta

Vuelve si quieres

ÁngulosQUIZ 1

Estudia más e inténtalo de

nuevo

La tarde es larga !!!!!

Vuelve a la pregunta anterior

Ángulos

2) ¿Cuál es el complemento de un ángulo de 21º ?

a) 159º

b) 69º

c) 339º

d) 29º

QUIZ 1

ÁngulosQUIZ 1

Muy bien acertaste

Sigue así!!!!!!!!!

Pasa a la siguiente pregunta

Vuelve si quieres

ÁngulosQUIZ 1

Estudia más e inténtalo de

nuevo

La tarde es larga !!!!!

Vuelve a la pregunta anterior

Ángulos

3) En los siguientes pares de ángulos cuales son opuestos por el vértice

a) 1 y 2

b) 1 y 3

c) 2 y 3

d) 4 y 1

QUIZ 1

ÁngulosQUIZ 1

Muy bien acertaste

Sigue así!!!!!!!!!

Vuelve si quieres Pasa a ver como te fue

ÁngulosQUIZ 1

Estudia más e inténtalo de

nuevo

La tarde es larga !!!!!

Vuelve a la pregunta anterior

ÁngulosQUIZ 1

Calificaciones3/3=Aprendiste MUY

BIEN!!!!!!!!

2/3=Estas bien pero falta repasar

1/3=Necesitas más estudio

0/3= ESTUDIA!!!!!!!!!!!!!Vuelve a la pregunta anterior

¿Qué pasa si se intersectan paralelas con una recta llamada transversal?

Si quieres saber mira la siguiente página

Ángulos

Ángulos entre paralelas

• Dos rectas cualesquiera cortadas por una tercera determinan ocho ángulos.

Ángulos

Ángulos entre paralelas

• Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulos:

Ángulos interiores y exteriores

Ángulos correspondientes

Ángulos alternos

Ángulos conjugados

Ángulos

• Los ángulos ubicados en la zona comprendida entre las rectas paralelas se llaman ángulos

interiores.

Ángulos interiores

Ángulos

Los ángulos que no son interiores se denominan ángulos exteriores.

Ángulos exteriores

Ángulos

• Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal

Ángulos correspondientes

Ángulos

• Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Ángulos alternos internos

Ángulos

• Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Ángulos alternos externos

Los ángulos correspondientes son iguales entre

sí.Los ángulos

alternos internos son iguales entre

sí. Los ángulos

alternos externos son iguales entre

sí.Y los ya estudiados

opuestos por el vértice, también

Ángulos

• Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal y ambos son internos, se los llama ángulos conjugados internos.

Ángulos conjugados internos

Ángulos

• Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal y ambos son externos, se los llama ángulos conjugados externos.

Ángulos conjugados externos

A ver A ver A ver..., que crees tú que

pasa con los conjugados internos

y externos.

1) Suman 90°

2) Son rectos

3) Suman 180°

4) Son agudos

NO NO NO NO NO!!!DEBES DEDUCIR MEJOR,

ASI ESTARÁS MEJOR PREPARADO PARA LOS

QUIZESITOS

Vuelve a la pregunta anterior

Los ángulos conjugados internos entre paralelas son suplementariosy también los ángulos conjugados internos entre paralelas

BIEN!!!!!

sigue avazando

Vuelve a la pregunta anterior

Pasa a ver como te fue

QUIZ 2

1) En los siguientes pares de ángulos cuales son Interiores:

a) 1 y 2

b) 3 y 4

c) 1 y 8

d) 7 y 2

Ángulos

Llegó la hora de hacer el segundo Quiz. Como ya estas familiarizado no hay mucho que decir, solo: BUENA SUERTE!!!!!!

ÁngulosQUIZ 2

Estudia más e inténtalo de

nuevo

La tarde es larga !!!!!

Vuelve a la pregunta anterior

ÁngulosQUIZ 2

Muy bien acertaste

Sigue así!!!!!!!!!

Vuelve si quieres Pasa a ver como te fue

ÁngulosQUIZ 2

2) En los siguientes pares de ángulos cuales son Correspondientes:

a) 5 y 6

b) 3 y 4

c) 5 y 8

d) 2 y 6

ÁngulosQUIZ 2

Estudia más e inténtalo de

nuevo

La tarde es larga !!!!!

Vuelve a la pregunta anterior

ÁngulosQUIZ 2

Muy bien acertaste

Sigue así!!!!!!!!!

Vuelve si quieres Pasa a a la siguiente

ÁngulosQUIZ 2

3) En los siguientes pares de ángulos cuales son Conjugados externos:

a) 1 y 7

b) 5 y 6

c) 4 y 8

d) 2 y 5

ÁngulosQUIZ 2

Estudia más e inténtalo de

nuevo

La tarde es larga !!!!!

Vuelve a la pregunta anterior

ÁngulosQUIZ 2

Muy bien acertaste

Sigue así!!!!!!!!!

Vuelve si quieres Pasa a a la siguiente

ÁngulosVamos a hacer varios ejercicio simples en el que tendrás que descubrir los diferentes ángulos de las sig. figuras

3 2 1

5

4

1 = 67 º

2 =

3 =

4 =

5 =

Ángulos

3 1

2

4

1 = 80 º

2 =

3 =

4 =

Ángulos

3 1

4 2

6

5

1 = 55 º

2 = 120º

3 =

4 =

5 = 125º

6 =

Ángulos

3 1 2

4 6 5

1 =

2 =

3 =

4 = 63º

5 =

6 = 69º

Ángulos

5 1

2

4

6 3

1 = 111º

2 =

3 =

4 =

5 =

6 =

Ángulos

Muy Bien¡¡¡¡¡¡¡¡Se Acabó!!!!!!!!Espero que te hayan

servido esos ejercicios para

practicar.Ahora se viene la

unidad de TRIÁNGULOS

Esperemos que estés listo

SUERTE ; )

Triángulos

Comenzaremos con el tema de los triángulos.Aquí estudiaremos a

como clasificarlos, sus elementos primarios y secundarios, también

haremos algunos quizes.

TriángulosLo primero que veremos será que son los triángulos y sus partes, para esto nos ayudará la siguiente imagen.

Este triángulo nos dice las siguientes cosas:

Triángulo ABC:

Lados: BC=a; AC=b; AB=c

Ángulos: CAB ; ABC ; BCA

Según sus lados:

1) Equilátero AB BC AC

TriángulosClasificación de los

triángulos

2) Isósceles AB AC

Según sus lados:

Triángulos Clasificación de los triángulos

3) Escaleno AB ≠ BC ≠ AC

Según sus lados:

Triángulos Clasificación de los triángulos

Según sus ángulos:

4) Acutángulo: Todos sus ángulos interiores son agudos (miden menos de 90º)

Triángulos Clasificación de los triángulos

5) Rectángulo: 1 ángulo recto y dos agudos suplementarios

Según sus ángulos:

Triángulos Clasificación de los triángulos

Clasificación de los triángulos

Según sus ángulos:

6) Obtusángulo: 1 ángulo obtuso y dos agudos

Triángulos

Triángulos

Propiedades de todo Triángulo

II. Los tres ángulos exteriores suman en conjunto 360º.

’ + ’ + ’ = 360º

Clasificación de los triángulos

Triángulos

Propiedades de todo Triángulo

I. Los tres ángulos interiores suman en conjunto 180º.

+ + = 180º

Clasificación de los triángulos

En un triángulo es posible construir

diversos segmentos de gran importancia para su estudio, los que son llamados comúnmente

“elementos secundarios”.

Si , si ,si si,si si........ Pero también cabe mencionar que cada uno de estos

elementos posee propiedades especiales y generan a su vez nuevos

elementos.

Elementos secundarios de un triángulo

Segmento perpendicular que une un vértice del triángulo con el lado opuesto.

En un triángulo existen tres alturas y la intersección entre ellas recibe el nombre de Ortocentro.

Según el tipo de triángulo, el ortocentro esta fuera, dentro o sobre un lado del triángulo.

Altura

¿Cómo se dibuja una altura?. Házme

click

Una altura, cuyo símbolo es h, es el trazo perpendicular que une un lado del triángulo con el vértice opuesto.

La altura se traza con una escuadra, para lograr una mayor precisión. Ponemos un cateto de ella sobre el lado y el otro cateto debe pasar por el vértice opuesto.

El punto donde se intersectan las alturas se llama ortocentro.

En un triángulo rectángulo

cada cateto es altura del otro, y el ortocentro es el vértice del

ángulo recto.

Elementos secundarios de un triángulo

Rectas perpendiculares a cada lado lado del triángulo en su punto medio.

Su intersección, llamado circuncentro, es un punto que equidista de los vértices del triángulo y es el centro de la circunferencia circunscrita.

Mediatrices o Simetrales

¿Cómo se dibuja una simetral?. Házme click

La simetral es una recta perpendicular que dimidia a un trazo. Se obtiene colocando la punta metálica del compás en ambos extremos del trazo ( P y Q ) y, con la misma medida, formamos un punto arriba y otro abajo de él. La recta que une los puntos formados (R y S) es la simetral.

 El símbolo de simetral es una s y el nombre del lado.

Elementos secundarios de un triángulo

Segmentos que dividen al ángulo del vértice en dos partes iguales. Las bisectrices del triángulo se intersectan en un punto del triángulo llamado Incentro, y que es el centro de la circunferencia inscrita.

Bisectrices

¿Cómo se dibuja una bizectriz?.

Házme click

Utilizaremos el compás. Apoyamos la punta de metal en el vértice ( I ) y hacemos un arco con una medida cualquiera. Obtenemos 2 puntos R y T. Aplicamos la medida anterior -u otra mayor que la mitad del arco- desde T y desde R para formar un punto ( S ). Unimos el vértice con ese punto y obtenemos IS = bisectriz. Así:

Las 3 bisectrices de un triángulo se intersectan en un

punto llamado incentro. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al

triángulo.

Elementos secundarios de un triángulo

Las medianas son las rectas que unen los vértices del triángulo con los puntos medios de los lados opuestos. Se cortan en el Baricentro o Centro de Gravedad, que es el centro geométrico del triángulo. El Baricentro se encuentra a 2/3 del vértice y 1/3 del punto medio del lado opuesto.

Transversales de gravedad y Medianas

¿Cómo se dibuja una mediana?.

Házme click

Para dibujar esto no hay mucha dificultad.

El punto donde se intersectan las tres transversales se llama

Centro de Gravedad del triángulo.

Tranversal de Gravedad

Las medianas quedan paralelas a los lados.

Son los segmentos que unen los puntos medios del triángulo.

Medianas

TriángulosQUIZ “Larguito” Llegó la hora de hacer el Primer Quiz

Larguito. Como ya estas familiarizado con los Quiz anteriores no hay mucho que decir, solo: BUENA SUERTE!!!!!!

1) ¿Según sus lados qué Triángulo es este si: AB AC?

a) Equilátero

b) Escaleno

c) Isósceles

ÁngulosQUIZ 2

Estudia más e inténtalo de

nuevo

La tarde es larga !!!!!

Vuelve a la pregunta anterior

QUIZ “Larguito”

ÁngulosQUIZ 2

Muy bien acertaste

Sigue así!!!!!!!!!

Vuelve si quieres Pasa a la otra pregunta

QUIZ “Larguito”

TriángulosQUIZ “Larguito”

2) ¿Según sus ángulos qué Triángulo es este si tiene un ángulo obtuso?

a) Acutángulo

b) Obtusángulo

c) Rectángulo

ÁngulosQUIZ 2

Estudia más e inténtalo de

nuevo

La tarde es larga !!!!!

Vuelve a la pregunta anterior

QUIZ “Larguito”

ÁngulosQUIZ 2

Muy bien acertaste

Sigue así!!!!!!!!!

Vuelve si quieres

QUIZ “Larguito”

Pasa a la otra pregunta

TriángulosQUIZ “Larguito”

3) Encuentra el dato que falta:

a) 15º

b) 105º

c) 120º

d) 45º

ÁngulosQUIZ 2

Estudia más e inténtalo de

nuevo

La tarde es larga !!!!!

Vuelve a la pregunta anterior

QUIZ “Larguito”

ÁngulosQUIZ 2

Muy bien acertaste

Sigue así!!!!!!!!!

Vuelve si quieres

QUIZ “Larguito”

Pasa a la otra pregunta

TriángulosQUIZ “Larguito”

4) Encuentra el dato que falta:

a) 40º

b) 120º

c) 60º

d) 90º

ÁngulosQUIZ 2

Estudia más e inténtalo de

nuevo

La tarde es larga !!!!!

Vuelve a la pregunta anterior

QUIZ “Larguito”

ÁngulosQUIZ 2

Muy bien acertaste

Sigue así!!!!!!!!!

Vuelve si quieres

QUIZ “Larguito”

Pasa a la otra pregunta

TriángulosQUIZ “Larguito”

5) Descubre el valor de X

a) 120º

b) 45º

c) 50º

d) 30º

ÁngulosQUIZ 2

Estudia más e inténtalo de

nuevo

La tarde es larga !!!!!

Vuelve a la pregunta anterior

QUIZ “Larguito”

ÁngulosQUIZ 2

Muy bien acertaste

Sigue así!!!!!!!!!

Vuelve si quieres

QUIZ “Larguito”

Continuara ...