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Modulo de funciones realesPág. 1
1.4. Funciones reales
Las funciones reales y su relación con problemas de la vida real.
Las funciones son verdaderamente fundamentales para las matemáticas; por
ejemplo, en nuestra vida diaria decimos.“El precio de un boleto está en función de
dónde está el asiento”. La velocidad de un cohete está en función de su carga útil. El
conjunto de llaves de nuestra casa está en correspondencia con cada una de las
cerraduras. En cada caso, la palabra función expresa la idea de que el conocimiento de
un dato nos lleva a otro. En matemáticas, las funciones más importantes son aquellas
en las que el conocimiento de un número nos indica otro. En este sentido se puede
decir que una función no es más que una relación entre dos variables.
Ahora, analicemos lo que es una función desde el punto de vista matemático.
Definición
Dados los conjuntos A y B⊂R. Se define función f de A en B a la regla de
correspondencia que asocia a cada elemento x ∈A con un único elemento y∈B.
Se denota f : A→ B
Si un elemento x∈ A esta relacionado por f con un
elemento y ∈ B,decimos que y es la imagen de x mediante
la función f y se escribe y=f (x ) ó f ( x )= y
Notación funcional.
Se usa una variedad de letras como f , gó F entre
otras para denotar una función.
La notación y=f ( x ) denota que la variable y es una función de x
Modulo de funciones realesPág. 2
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Se observa que esta correspondencia entre Ay B es una función¿por qué?
Se observa que esta correspondencia entre A y Bno es una función¿por qué?
Aspectos fundamentales de una función
Dominio de una función f
Definición
El dominio de una función f es el conjunto formado por todos los valores de x
para los cuales la función está definida. Se denota Dom (f )
En notación simbólica se tiene:
En el ejemplo 1 de la sección 1.4 se tiene:
Dom (f )={x1 , x2 , x3 , x4 }
Nota:
El símbolo ∃
se lee existe ( ∃
:denota la existencia del elemento )
Dom (f )={x∈ A /∃ y∈B∧ y=f (x )}
Modulo de funciones realesPág. 3
Rango de una función f
Definición
Aquellos elementos de B que son imágenes de al menos un elemento de A, se
llama el rango o recorrido de la función. Se denota Rgo ( f ).
En notación simbólica se tiene:
En el ejemplo 1 de la sección 1.4 se tiene
Rgo ( f )={ y1 , y2 , y3 }
Gráfico de una función f
Definición
El conjunto de pares ordenados ( x , y ) que se forma en la correspondencia recibe
el nombre de gráfico de la función. Se denota G( f ) .
En notación simbólica se tiene:
En el ejemplo 1 de la sección 1.4 se tiene:
G (f )={(x1 , y2 ) , (x2 , y1 ) , (x3 , y3 ) , (x4 , y3) }
1.5. Formas de representar una función
Representación de una función mediante tablas de valores.
Frecuentemente hemos podido apreciar distintos fenómenos de nuestra vida
Rgo (f )={ y∈B/∃ x∈ A∧ y=f ( x ) }
G ( f )={( x , y )∈R2/ y=f (x)}
Modulo de funciones realesPág. 4
diaria que pueden ser expresados experimentalmente por tablas de valores. Así por
ejemplo, podemos formular una tabla acerca de los precios del petróleo en Venezuela
en la primera semana del mes de abril de 2007. Tal como se muestra a continuación.
Los datos obtenidos se corresponden con los aportados por la Organización de
Países Exportadores de Petróleo (OPEP) (Diario Panorama del día 07/04/2007)
Días del mes de abril 3 4 5 6
Precios del Petróleo ($) 51,69 51,76 55,91 58,29
Esta tabla de valores se corresponde con un ejemplo de lo que es una función
expresada mediante una tabla.
Representación analítica de una función
La representación analítica de una función es otra manera de expresar una
función usando para ello una fórmula, y será una forma muy usual para el manejo
desde ahora en adelante.
Por ejemplo:
1. f ( x )=2 x+5
(regla de correspondencia)
2. h( x )=2x2−3 x+6
3. F ( x )=√x+1
4.
g( x )=3 x+1x−4
En notación de conjunto se tiene:
Modulo de funciones realesPág. 5
A={( x , y )∈ R2 / f ( x )=2x+5}
B= {( x , y )∈ R2 / h( x )=2 x2−3 x+6 }
C={( x , y )∈ R2 / F ( x )=√x+1}
D={(x , y )∈ R2 / g( x )=3 x+1x−4 }
Antes de seguir adelante con la exposición de las funciones expresadas mediante
una fórmula, observemos que no toda fórmula representa una función, por ejemplo.
x
2+ y2=16 veamos por qué no lo es .
En efecto, si se despeja la variable y se obtiene:
y=¿ ; si fijamos un valor apropiado para la variable x, digamos x=0,
se tiene:
y1 = 4 ¿ y2=−4 ; luego para x = 0 tendría dos imágenes (reléase la definición
de función)
Ejemplo:
Consideremos la siguiente función:
f ( x )=2 x2−5 x+4
Calcular:
a) f (1)
b) f (−2 )
c)
f ( 32 )
Modulo de funciones realesPág. 6
d) f ( x+h )
e)
f ( x+h )−f ( x )h
, h¿0
Solución:
1. f (1 )=2(1)2−5 (1 )+4=2−5+4=1
2. f (−2 )=2 (−2 )2−5 (−2 )+4=8+10+4=22
3. f ( 32 )=2( 3
2 )2
−5 ( 32 )+4=18
9−15
2+4=9
2−15
2+4=−3+4=1¿Por qué?
4. f (x+h )=2 ( x+h )2−5 ( x+h )+4=2 x2+4 xh+2h2−5x−5h+4
f ( x+h )=2x2+4 xh+2h2−5 x−5h+4
5.f (x+h )−f ( x )
h=
2 ( x+h )2−5 (x+h )+4−(2 x2−5 x+4 )h
¿ 2x2+4 xh+2h2−5 x−5h+4−2x2+5x−4h
¿4 x+2h−5 ¿ Por qué ?
f ( x+h )−f ( x )h
= 4 x+2h−5h
Ejercicios propuestos
1. f ( x )=x3; hallar f ( x+h )−f ( x )
h2.g (x )=−3x2+4 x−7 ; hallar
g ( x+h )−g ( x−h )h
Representación gráfica de una función en R2 *
Observa en la fig. 1.3 que el dominio y el rango no son más que las proyecciones de la gráfica con el eje x ¿abscisa) y con el eje y (ordenada) respectivamente.
Modulo de funciones realesPág. 7
Es propicia la ocasión para indicar que generalmente una función y= f(x) se
puede visualizar a través de una gráfica (dibujo).Este tipo de representación de una
función también resulta muy usual para el estudio del cálculo, y por lo consiguiente,
tendremos que tenerlo siempre en cuenta.
Proyección sobre el eje x
Proyx G=Dom( f )=[a ,b ]
Proyección sobre el eje y
Proyy G=Rgo( f )= [c ,d ]
Fig. 1.3.
Modulo de funciones realesPág. 8
Observación:
No siempre una gráfica representa una función.
Veámoslo a través de los siguientes ejemplos:
Fig. 1.4Fig. 1.5
Fig. 1.6 Fig.1.7
Las figuras 1.4 y 1.6 se corresponden con la gráfica de una función, mientras que las figuras 1.5 y 1.7 no se corresponden con una función.
En forma práctica para determinar si una determinada gráfica es función o no,
basta trazar una recta perpendicular al ejex, y si ésta corta la gráfica en un solo punto,
entonces ésta representa una función, en caso contrario no se correspondería con una
función.
*R
2
: se define como el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares u
ortogonales, es decir, los ejes de coordenadas son perpendiculares. La variable
x se llama abscisa, mientras que la variable y se llama ordenada.
Modulo de funciones realesPág. 9
en notación de conjunto se tiene: R2={( x , y )/x , y ϵ R }
Actividad
Determine el dominio y rango de las siguientes gráficas de funciones.
Fig.1.8
Dom (f )=Rgo ( f )
Fig.1.9
Dom (f )=¿ Rgo( f )=¿
Fig.1.10
Dom (f )=¿ Rgo ( f )=¿
Fig.1.11
Dom (f )=Rgo ( f )=¿
Problemas de la vida cotidiana que involucran gráficas de funciones.
Frecuentemente nos encontramos una infinidad de problemas en nuestra vida
cotidiana que pueden expresarse mediante una gráfica , tal como se evidencia en los
siguientes ejemplos.
¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor a los tres enunciados
Modulo de funciones realesPág. 10
siguientes?. Escriba un enunciado para la gráfica restante.
A. Acababa de salir de casa cuando me percaté de que había olvidado mis guías
de apuntes de Cálculo I, así que regresé para recogerlos.
B. Las cosas marchaban bien hasta de que se ponchó un caucho.
C. Arranqué con calma pero aceleré cuando me di cuenta que llegaría tarde a la
clase de cálculo I.
Fig. 1.12 Fig. 1.13
Fig. 1.14 Fig. 1.15
1.6. Problemas Propuestos
Elabore la gráfica tomando en cuenta el modelo descriptivo que se plantea
1- La temperatura subió por la mañana, de pronto bajó mucho hacia el mediodía
cuando cayó un torrencial aguacero. Tras ésta, calentó antes de enfriar otra vez al
oscurecer. Trace una posible gráfica de la temperatura de ese día como función del
tiempo.
Modulo de funciones realesPág. 11
2. A poco de administrar cierto medicamento a un paciente de pulsaciones
rápidas del corazón, éstas últimas bajan considerablemente y luego suben con lentitud
otra vez conforme pasa el efecto del medicamento. Trace una posible gráfica de las
pulsaciones cardiacas contra el tiempo, a partir del momento de aplicar la medicina.
3. En general, cuanto más fertilizante se utilice es mejor la producción pero, si se
aplica demasiado, las cosechas se envenenan y la producción baja rápidamente. Trace
una posible gráfica que muestre la producción como función de la cantidad de
fertilizante aplicado.
4. Describa lo que indica la figura dada con respecto a una línea de producción
en serie, cuya productividad está representada como función del número de
trabajadores en la misma.
Modulo de funciones realesPág. 12
Cálculo del dominio de funciones según su fórmula
Recientemente hemos calculado el dominio y el rango de una función desde el
punto de vista geométrico, ahora pretendemos calcular el dominio de ciertas funciones
reales a través de su fórmula tal como se muestra en el siguiente recuadro:
Función Fórmula Dominio
Polinómica p ( x )=an xn+an−1 . x
n−1+…a1 x+a0
n∈N Dom( f )=R
Racionalf ( x )= p(x )
q (x) p(x ) y q (x) polinomios
Dom (f )={x∈ R/q (x )≠0}
Irracional f ( x )=n√ p( x ) Dom( f )=R(n impar)
Dom (f )={x∈ R/ p ( x )≠0} Para n par
Exponencial f ( x )=¿ bP ( x ) b>0 ¿b≠1
Dom( f )=R
Logarítmica f (x)= log b ( p(x ))b>0 ¿b≠1
Dom (f )={x∈ R/ p ( x )>0}
Ejemplo 1:
Calcular el dominio de las siguientes funciones:
f (x) = 2 x3−7 x2+4 x+1 Dom( f )=¿ R , porquef que es Polinómica
Modulo de funciones realesPág. 13
Ejemplo 2:
f ( x )=3 en este caso el polinomio es constante, por tanto, Dom( f )=¿R
Ejemplo 3:
f ( x )=3 x3+8 x−3x2−4
por ser racional estudiaremos el denominador. Esto es:
Dom (f )={x∈ R/ x2−4≠0 }
Estudiemos la nulidad de la expresión: x2−4=0 ,
al efectuar se obtiene: x2=4
⇒ x=¿
±2
. ¿Por qué?
luego, el dominio es: Dom (f )=R− {−2,2 }
Ejemplo 4:
f ( x )=√3 x−6 como la función es irracional con índice par, entonces su
dominio será de la forma: Dom (f )={x∈ R/3 x−6≥0 }
Resolviendo la inecuación se tiene:
3 x−6≥0 ⇒ 3 x≥6 ⇒ x≥63
⇒ x≥2 , entonces Domf ( x )=¿
Ejemplo 5:
f ( x )=4√ 2x−43 x+6
+1
, por ser irracional con índice par se tiene:
Dom(f
¿=¿ {x∈ R /2 x−43x+6
+1≥0} resolviendo la inecuación, se tiene:
Modulo de funciones realesPág. 14
2x−43 x+6
+1≥0 ⇒ 2x−4+3 x+6
3x+6≥0 ⇒
5 x+23x+6
≥0 [M ]
Ya que se nos ha presentado una inecuación racional (véase inecuaciones
racionales).
Aplicando el método tabular:
Luego el dominio de fserá:
Dom(f ) =
(−∞ ,−2 )∪[−25,∞)
Ejemplo 6:
f ( x )=3√−4 x+5 como el índice es impar, entonces
Dom (f )=R ¿véase el
recuadro).
Ejemplo 7 :
f ( x )=
Log2(2 x−8 ) como la función es logarítmica se tiene:
Dom(f
)= { x∈R /¿ ¿
2 x−8
>0} , resolviendo la inecuación, se tiene: 2 x−8
>0
⇒ x>4.
Entonces el dominio será: Dom( f )
=(4 ,∞ )
Ejemplo 8:
x∈ R
-2
−25
5 x−2 - - +
3 x+6 - + +
[M ] ⊕ - ⊕
Modulo de funciones realesPág. 15
f ( x )=23x−2como la función es exponencial su dominio se plantea así:
Dom(f )= R (véase el recuadro).!
Ejemplo 9:
f ( x )= √x3−16 x
( x−2 )2−16 . En este caso analizaremos el numerador por ser una raíz de
índice par y el denominador para saber donde se anula éste. Esto es:
Dom (f )={x∈R x3−16 x≥0∧ ( x−2 )2−16≠0}
Efectuando : x3−16 x≥0 ⇒ x ( x2−16 )≥0 ⇒ x (x−4 ) ( x+4 )≥0
Ahora, lo(a) invito para que verifique con el método tabular, que la solución es:
S= [−4 ,0 ]∪¿ ¡ Vamos inténtalo !
Efectuando la otra condición: ( x−2 )2−16=0⇒ ( x−2 )2−16=0
⇒ (x−2 )=±√16⇒ x−2=±4 . Se tiene: x−2=4⇒ x=6 , y además
x - 2= - 4. Graficando en la recta cada condición se tiene:
Dom( f )=[−4 ,−2)∪(−2, 0 ]∪[ 4,6)∪(6 ,+∞ )
Conocer el dominio de una función es importante, ya que permite saber para que valores de 𝒙 esta definida la función
¡No lo olvide Br..!
Modulo de funciones realesPág. 16
Test de autoevaluación
1. Al determinar el dominio de la función f ( x )= 3 x+4
x3−49 x , se obtiene……..
A . Dom( f )=R −¿ { 0 , -7 , 7 } º B .Dom (f )=¿ R−¿{ - 7 , 7 }
C . Dom( f ) ¿ R−¿ { 0 , -7 , 7 } D .N . A
2. El dominio de f ( x )= √2 x−3
( x−1 )3−8 es…….
A . Dom( f )=¿
[ 3
2,3 )∪¿ ¿
(3 ,∞ ) º B
. Dom( f )=¿( 3
2,3)¿ (3 ,∞ )
C . Dom( f )=¿ R−¿ { 3 } D . N.A
3. Si f ( x )=log2 (2 x+6 ), entonces su dominio es ………….
A . Dom( f ) ¿( -3 , ∞ ) B. Dom( f ) ¿ [ - 3 , ∞ )
C . Dom( f ) ¿ [ 3 , ∞ ) D . N.A
4. Si f ( x )= x2
x .ex−1−x , su dominio es……………..
A . Dom( f ) ¿ R−¿ { 0 , 1 } º B .Dom (f ) ¿ R−¿ { 0 }
C . Dom( f ) ¿ R−¿ { 1 } D .N . A
5. f (x)=x−2x+3
, entonces al determinar el valor de x para que y = 12
sea un elemento
del rango se obtiene
A. x=7 B. x=4
C. x=−7 D. N.A
1.7. Características de una función
Característica 1 : Intersección de una gráfica con los ejes de coordenadas
Intersección con el eje x Intersección con el eje y
Modulo de funciones realesPág. 17
Fig. 1.17Fig.1.18
La intersección con el eje x se representa
por el punto P(a ,0)
En este caso se hace y=0 (a ϵ R )
La intersección con el eje y se
representa por el punto P(0 , b)
En este caso se hace x=0 (bϵ R )
Ejemplo:
Calcular la intersecciones con los ejes en la siguiente función
Sea f ( x )= x2−4x2+4
.
Si y=0, entonces :
x2−4x2+4 = 0 . Efectuando se tiene x
2−4=0 ⇒
x=±2 ; luego las intersecciones
con el eje x son : I x (−2,0) e I x (2,0 )
Intersección con el eje y:
Si x= 0 ,entonces se tiene:
f (0)=(0)2−4
(0 )2+4=−1
, luego Iy(0 ,−1)
Modulo de funciones realesPág. 18
1.8. Ejercicios propuestos
Determine las intersecciones con los ejes.
1. f ( x )=x2+5x+6 2. f ( x )=2x−4x−1
3. f ( x )=√ x+1−2 4 . g ( x )=x3−2 x2−5 x+6
Característica 2: Crecimiento y decrecimiento de una función real
VariaciónDefinición informal
Definición formalInterpretación
geométrica
Función
Creciente
Una función f es creciente si los valores de y=f (x ) aumen-tan a medidaque x aumenta.
Una función f es creciente en
un intervalo (a ,b) si para
cualquier par de números
x1 , x2 ∈ (a ,b )
f (x1 )< f (x2)siempre que x1< x2
fig.1.19
Función
decreciente
Una función f es decreciente si los valores de y=f (x ) disminuyen a medida que x aumenta
Una función f es decreciente
en un intervalo (a ,b) si para
cualquier par de números
x1 , x2 ∈ (a ,b )
f (x1 )> f (x2) siempre que x1< x2
fig.1.20
Observación
La gráfica de una función creciente sube al moverse de izquierda a derecha.
La gráfica de una función decreciente baja al moverse de izquierda a derecha.
Modulo de funciones realesPág. 19
Ejemplo 1:
fes creciente ∀ x ∈(b , c )∪(e , f )
f es decreciente ∀ x ∈ ( a,b )∪(c ,d )
Nótese que los intervalos donde la función
crece o decrece se corresponden con
respecto al eje x
En ambos casos nos hemos movido de
izquierda a derecha tal como se muestra en
la figura 1.21.
Actividad
Determine los intervalos donde la función f es creciente y decreciente
Fig.1.21
Fig.1.22
Crecimiento:
Decrecimiento:
Modulo de funciones realesPág. 20
Característica 3: Simetría de una función
Denominación Definición Gráfica
Función Par
Dada una funcióny=f (x )⇒ se dice que f es par si para todo x , −x se verifica que f (−x )=f (x )
Fig.1.23
Propiedad. La gráfica de una función par siempre es simétrica con respecto al eje 0 y
Función Impar
Dada una función y=f (x )⇒ se dice que f es impar si para todo x , – xse verifica que f (−x )=−f (x )
Fig.1.24
Propiedad. La gráfica de una función
impar siempre es simétrica con
respecto al origen
A continuación se propone el gráfico de una función que no es par ni impar
(asimétrica).
El objetivo consiste en transformarla en una función par e impar.
Actividad
Función par Función asimétrica Función impar
Modulo de funciones realesPág. 21
Fig.1.25
Función par Función asimétrica Función impar
Fig.1.26
Simetría de una función desde el punto de vista analítico
A continuación se manejará la simetría de la gráfica una función desde el punto
de vista analítico. En este sentido se dará la fórmula que define la función , procediendo
a verificar , si esta es par o impar, la regla consiste en evaluar la función en −x.
Determine la simetría de las siguientes funciones
Ejemplo 1
f ( x )=2x6+3 x2+3 , evaluando la función en – x obtenemos:
f (−x )=2 (−x )6+3 (−x )2+3=2 x6+3 x2+3=f ( x ) .
Por consiguiente, la función fes par
Modulo de funciones realesPág. 22
( la gráfica de la función f es simétrica con respecto al eje oy )
Ejemplo 2
f ( x )=x3+3 x
Evaluando la función en –x, obtenemos:
f (−x )=(−x )3+3. (−x )=−x3−3 x ≠ f (x ) , en consecuencia f no es par
Veamos que sucede si se saca factor común −1 , esto es:
f (−x )=−(x3+3x )=−f (x), en consecuencia f es impar.
( la gráfica de la función f es simétrica con respecto al origen de coordenadas )
Ejemplo 3
f ( x )=√x2+3 x+1+√x2−3 x+1 ,evaluando la función en x obtenemos :
f (−x )=√(−x )2+3 x+1+√(−x )2−3 (−x )+1
f (−x )=√x2+3 x+1+√x2−3 x+1=f (x ) . ¿Por qué?
por consiguiente, f es par.
( la gráfica de la función es simétrica con respecto al eje oy )
Ejemplo 4
f ( x )=x 4−3 x2−5 x+1 ,evaluando
f (−x )=(−x )4−3 (−x )2−5 (−x )+1=x4−3 x2+5 x+1≠ { f ( x )−f ( x ) ¿Por qué?
En consecuencia , f no es par ni impar.
La función constante nula es la única función que es par e impar a la vez. Esto es
Modulo de funciones realesPág. 23
f ( x )=0 ¿por qué?
Con una simple manipulación algebraica puede demostrarse que cualquier función
real se puede descomponer como la suma de una función par más una función impar.
Esto es, f ( x )=P ( x )+ I ( x ) .
En efecto, siendo f una función que no es par ni impar se tiene.
f ¿) =
f ( x )+ f (−x )2
+f ( x )−f (−x )
2 , donde P(
x) =
f ( x )+ f (−x )2
(función par)
e I(x)=
f ( x )−f (−x )2
( función impar)
En consecuencia se tiene que f ( x )=P ( x )+ I (x) Obsérvese que la función f se
ha podido transformar en la suma de dos funciones correspondiente a una par y otra
impar. ¡Qué maravilla verdad!
A continuación se demostrará que p(x) es una función par, esto es,
P(x) =
f ( x )+ f (−x )2
, evaluando se tiene P(-x) =
f (−x )+ f ( x )2
=
P(x)
⇒
P(x) es par.
Dejamos para que Ud. mismo demuestre que I(x) es una función impar.
Adelante ¡ vamos Inténtelo !
Ejercicios propuestos
Determine el tipo de simetría que posee la gráfica de la función:
1. f ( x )=−4 x4+5 3. f ( x )=log( x2+6x2−5 )
Modulo de funciones realesPág. 24
2. f ( x )=√x2+3 x+1−√x2−3x+1
4.
f ( x )= x2+1x2−1
Característica 4: Valor máximo absoluto – Valor mínimo absoluto (Valores
extremos)
Valores extremos Definición Interpretación Geométrica
Valor máximo absoluto ymáx=f (xo )=M
La función y¿ f ( x )se dice que alcanza el valor máximo absoluto en x0 ϵDom ( f )si f ¿)
≥ f ( x) ∀ xϵDom ( f ) (valor más grande que toma la función dentro de su dominio) . Fig.1.27
Valor mínimo absoluto ymín=f (xo )=m
La función y=f ( x )se dice que alcanza el valor mínimo absoluto en x0 ϵ Dom ( f ) si f ¿)≤ f (x ) ∀ xϵDom ( f ) (valor más pequeño que toma la función dentro de su dominio).
Fig.1.28Ejemplo. Determinemos el máximo y mínimo absoluto en cada caso ( si estos
existen)
Modulo de funciones realesPág. 25
Fig.1.29
ymá x .=4 ymin .=1
Fig. 1.30
ymá x .=¿ no tieneymin .=−2
Obsérvese que en la función de la figura 1.30 no existe valor máximo, ya que
x0=2∉R
Característica 5: Funciones reales acotadas
Recientemente se han estudiado los conjuntos acotados, pues bien, en ese mismo
orden de ideas se manejará el concepto de función acotada . Esto es, función acotada
superiormente y función acotada inferiormente. A continuación se procederá a definir
ambos términos.
Definición
La función f se dice que está acotada superiormente si existe un número real
M tal que para todo x Dom( f ) , se tiene f (x)≤Mó también f( x )<M ¿véase la figura
1.31)
Nótese que la menor de las cotas superiores
es 2 ⇒ . f (x) ¿2
entonces ¿( f )=2
Definición Fig.1.31
Modulo de funciones realesPág. 26
La función f se dice que esta acotada inferiormente si existe un número real m
tal que para todo x∈
R , se tiene f (x)≥m ó también f ( x )>m
( véase la figura 1.32 )
Nótese que la mayor de las cotas inferiores es
−5⇒ f (x)≥−5
entonces Inf ¿) = −5
De lo anterior se puede afirmar que una función
está acotada, si f esta acotada tanto inferior como
superiormente.
Esto es , m ¿
f (x)¿
M
Ejemplo.
Según la definición se tiene:
-3 ¿ f ( x )<4
Entonces.
Inf ( f )=−3 ( valor mínimo )
¿( f )=4
Observe. que, el hecho de que la función f esté acotada, no significa que ésta
tenga que tener valor máximo y valor mínimo. (Véase la figura 1.33).
1.9. Clasificación de una función
Función inyectiva
Definición
Fig.1.32
Fig. 1.33
Modulo de funciones realesPág. 27
Se dice que la función f : A→B
es inyectiva, si elementos distintos en el dominio
de A
tienen imágenes distintas en B
mediante f
.
Es decir, si dados dos elementos cualesquiera, x1,
x2
∈
A
tales que
x1≠x2
,
entonces
f ( x1 )≠f ( x2 ) esto es equivalente a decir
f ( x1 )=f ( x2 ) entonces
x1=x2
.
Ejemplo 1
Estudiemos ahora la inyectividad de una función desde el punto de vista
geométrico.
Consideremos las siguientes gráficas:
Fig. 1.34
Se puede notar que en la fig. 1.34 que la recta
horizontal ha cortado la gráfica en un solo punto,
pues bien en este caso se dice que la función es
inyectiva
fno es inyectiva: ya que dos elementos distintos tienen la misma imagen en B.
fes inyectiva: ya que cada elemento de Atiene una sola imagen en B
Modulo de funciones realesPág. 28
Fig. 1.35
En la fig. 1.35 la recta horizontal ha cortado la
gráfica en dos puntos, pues bien en este caso se
dice que la función no es inyectiva.
De acuerdo a lo anterior se puede deducir que una función será inyectiva si la
recta horizontal corta la gráfica en un solo punto y en el caso que la corte en dos o más
puntos la función no será inyectiva.
Función sobreyectiva
Definición
Se dice que la función f : A→B
es sobreyectiva si el rango de la función coincide
con en el conjunto de llegada. Esto es Rgo( f )=B
.
Es decir, todos los elementos y
ϵB
son imágenes de cada elemento xϵA
Ejemplo 1
f es sobreyectiva ya que todos los f no es sobreyectiva ya que no
Modulo de funciones realesPág. 29
elementos de B son imágenes de los
elementos de A .
Es decir, Rgo ( f )=B
todos los elementos de B son
imágenes de los elementos de A .
Es decir, Rgo (f )≠B
Estudiemos ahora la sobreyectividad de una función desde el punto de vista
geométrico.
Consideremos las siguientes gráficas:
Fig.1.36
Esta función se dice que es sobreyectiva ya que el
conjunto de llegada coincide con el rango. Esto es.
Rgo ( f )=[−8,8 ]
Fig.1.37
Esta función se dice que no es sobreyectiva ya que
el conjunto de llegada no coincide con el rango.
Esto es.
Rgo (f )≠R
De ahora en adelante toda función real se considerará sobreyectiva sobre su
rango.
Función Biyectiva
Definición
Dom( f ¿) = A1
Modulo de funciones realesPág. 30
Se dice que la función f : A→B
es Biyectiva si ésta es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente.
Ejemplo 1:
Restricción de una función
Definición
Dada la función f : A→B
y
A1
un subconjunto de A
entonces la
f ¿ :A1→B
se
llama función restricción o restringida sobre el conjunto
A1
. En este caso hemos
restringido el domino de la función f
.
La función f es biyectiva ya que ésta es inyectiva y sobreyectiva.
La función f no es biyectiva ya que f es inyectiva pero no sobreyectiva.
Modulo de funciones realesPág. 31
Veamos un ejemplo ilustrativo
Fig.1.38
En la gráfica de la figura 1.38 se tiene que
Dom (f )=R
Fig. 1.39
En la gráfica de la figura 1.39 se tiene que
Dom (f ¿)=R
en este caso hemos restringido la función sobre su
nuevo dominio.
La notación Dom (f ¿)en este contexto significa que el dominio ha sido restringido
Demostremos en forma análitica si la f ( x )=2 x+3x+1
es inyectiva
En este caso nos basaremos en la definición de inyectividad:
Esto es si f (x1 )=f (x2 ) entonces x1=x2
Así:
f (x1 )=2 x1+3
x1+1, f (x2 )=
2 x2+3
x2+1
I gualando las imágenes se tiene :
2x1+3
x1+1=
2x2+3
x2+3
Efectuando:
Modulo de funciones realesPág. 32
(2 x1+3 ) ( x2+3 )=(2 x2+3 ) ( x1+1 )
(2 x+3) .(x+1)=(2x+3).( x+1)
2 x1 x2+2x1+3 x2+3=2x1 x2+2 x2+3x1+3
Finalmente nos queda x1=x2. [¿ Por qué ? ]
Ejercicios propuestos
Demuestre si las funciones dadas son inyectivas.
1. f (x)=2 x−7x−2
2. f (x)= ( x−1 )3+5
3. f ( x )
= √2x−1−3
4. f (x)
=
|2 x−6| + 2
1.10. Representación gráfica de ciertas funciones reales
Función Afín
Una función afín es de la forma y=mx
m : es la pendiente de la recta con inclinación el ángulo α , la cual está definida
por m=tanα
b : representa la ordenada al origen
La pendiente de una recta puede calcularse a partir de los valores de la función
de dos puntos cualesquiera (x1 , y1 ) , (x2 , y2 ), usando la fórmula:
m=y2− y1
x2−x1
Hagamos las siguientes consideraciones geométricas:
Modulo de funciones realesPág. 33
m=tanα=y2− y1
x2−x1
>0
α : ángulo agudo
Fig.1.40
m=tanα=−tan (π−α )=−y1− y2
x2−x1
m=y2− y1
x2−x1
<0
α : ángulo obtuso Fig.1.41
Nótese que si m = 0 , se tiene que y=bes una recta horizontal y se llama
función constante.
Por ejemplo : y=2
Su representación gráfica viene dada por:
Modulo de funciones realesPág. 34
Si una recta L pasa por un punto conocido P1
(x1
, y1
) y por otro punto P(x , y)
cualquiera del plano, entonces la pendiente viene dada por:
m=y− y1
x−x1
L: y− y=m(x – x)
, llamada ecuación de la recta que pasa por el punto P1
( x 1
,
y 1
) con pendiente m.
0tra forma equivalente de poder expresar la recta viene dada por:
L : Ax+By+C= 0 , (A ,B ,C∈ R) llamada ecuación general de la recta.
Grafiquemos las siguientes funciones afines:
Ejemplo 1 . y=2x−4
Determinemos previamente las intersecciones:
Intersección con el eje x. Si y=0 , entonces: 2 x−4=0 ⇒ x=2.
Luego Ix
(2, 0)
Modulo de funciones realesPág. 35
Intersección con el eje y . Si x=0, entonces: y=2(0)−4=0
Luego Iy
( 0 , - 4 )
Consideremos algunas características que cumple la función dada:
Dominio: Dom(f ) = R
Rango: Rgo( f ) = R
Crecimiento: f es creciente, ∀ x ∈ Dom¿)
Positividad: y>0 , x¿ recta por encima del eje x
Negatividad: y<0 , x (−,2) recta debajo del eje x
Nulidad: y=0, para x=2
Pendiente: m = 2 (coeficiente de x)
Ejemplo 2.3 x+2 y+6=0
Determinemos las intersecciones:
Intersección con el eje x. Si y=0 , entonces: 3 x+2 (0 )+6=03 x=−6⇒ y=−2
En consecuencia se tiene Ix
(-2, 0)
Modulo de funciones realesPág. 36
Intersección con el eje y. Si x=0 , entonces: 3 (0 )+2 y+6=0 2 y=−6
⇒ y=−3
⇒ IY
(0 , -3 )
Calculemos la pendiente de la recta: En este caso procederemos a despejar la
variable y en función de x. Esto es.
2 y=−3 x−6 ⇒ y=−3 x
2−6
2=−3 x
2−3.
Luego la pendiente m=¿ ( coeficiente dex )
Consideremos algunas características que cumple la función dada: Dominio: Dom( f )=R
Rango: Rgo( f )=R
Decrecimiento decreciente , ∀ x ∈ Dom( f )
Positividad: y > 0 , ∀ x∈ (-∞ ,−2 ) recta por encima del eje x
Negatividad: y < 0 , ∀ x ∈ (-2, ∞) recta debajo del eje x
Nulidad: y = 0 , para x = -2
Pendiente: m=−32
( coeficiente de x )
Función Lineal
Modulo de funciones realesPág. 37
Una función lineal es de la forma : y=f ( x )=mx ,(b=0)
La representación gráfica de una función lineal es una recta que pasa por el
origen de coordenadas.
pendiente de la función lineal m= yx
Propiedades que cumplen las funciones lineales
´Si se tiene la función lineal y=f ( x )=mx
Una propiedad importante que cumple toda función lineal para dos valores
cualesquiera x1 y x2 de su dominio es la siguiente:
•. f (x1+x2 )=f (x1 )+ f (x2)
•. f (a x1)
=
a . f (x1 ).
Observación
Aunque muchos autores llaman a estas funciones indistintamente afín o lineal,
no es exactamente correcto tal apreciación.
Grafiquemos la función lineal f (x)=mx
V(t) = C - C.r.t = C.( 1 –
V (t ) = C + C.r.t = C ( 1 + r.t
Modulo de funciones realesPág. 38
Nota
Si y=x ,esta función lineal recibe el nombre de función identidad
Algunas aplicaciones de las funciones afines.
Depreciación en línea recta. Una propiedad que en un período de tiempo pierde
un porcentaje fijo de su valor original se deprecia en línea recta.
El valor de depreciación V en el tiempo t es una función del tiempo , donde C es
el costo original , r es la tasa de depreciación y V el valor de depreciación en el tiempo t
Valorización en línea recta. Una propiedad que en un período de tiempo
aumenta de valor en un porcentaje fijo se valoriza también en línea recta, donde C
es el costo original , r la tasa de valorización , y V en el tiempo t , y cuya fórmula viene
dada por:
Ejemplo 1
Supongamos que una pieza de maquinaria valorada originalmente en $ 30.000
pierde el 4 por ciento anual de su valor por cada año de operación. ¿Cúal es el valor de
la pieza después de 12 años de uso ?
Datos : C = $ 30.000 , r = 4% = 0,04 , t = 12
La función de depreciación viene dada por: V (t) = 30.000(1 – 0,04t)
Cuando t = 12 se tiene que.
V (12 ) = 30.000( 1 – 0,04.(12 ) ) = $ 15.600
Haciendo una representación gráfica se tiene.
Modulo de funciones realesPág. 39
Modulo de funciones realesPág. 40
Problemas propuestos
1. Un artículo electrodoméstico cuyo precio original es 8000 Bs ( F ) se deprecia
a razón del 5 por ciento anual .
A. ¿Cuánto vale el artículo al cabo de un año?
B. ¿Al cabo de 3 años?
C. ¿Al cabo de cuántos años valdrá 2000 Bs.F?
D. Trace la gráfica V en función de t
2. Si una litografía cuesta $ 8000 y se valoriza a razón del 12 por ciento anual.
A. ¿Cúal será su valor dentro de 50 años ?
B. ¿Dentro de cuantos años valdrá $ 80.000 la litografía?
C. Trace la gráfica de V en función de t
Funciones polinómicas potenciales de la forma:
y=a (bx+h )n+k , donde n ∈N , k∈R, [ 1 ]
Funciones cuadráticas
Una función que puede expresarse en la forma f ( x )=a x2+bx+c [ 2 ] (o
y=a x2+bx+c) , en donde a ,b , c ∈ R , a¿
0, se llama función cuadrática o función
polinómica de grado 2 .
Hagamos las siguientes consideraciones
La representación gráfica es una parábola.
Si a>0 (La parábola abre hacia arriba) Si a<0( la parábola abre hacia abajo)
Gráfica de la función cuadrática y¿a x2+bx+c, con las siguientes consideraciones:
Modulo de funciones realesPág. 41
a=
± 1 ,
b= 0 ,
c= 0
f ( x )=x2 Representación Gráfica
x -2 -1 0 1 2…
y 4 1 0 1 4….
Dom(f) = R , Rgo (f) = [0 , ∞ )
Fig.1.42f ( x )=−x2 Representación Gráfica
x -2 -1 0 1 2…
y -4 -1 0 -1 -4…
Dom( f ) = R , Rgo( f )=¿ (-∞ , 0 ]
Fig. 1.43
Fórmula equivalente de la ecuación y = a x2+bx+c. [ 2 ]
La función cuadrática expresada mediante la ecuación y = a x2+bx+c. la podemos
expresar en su forma equivalente. Esto es.
y=a(x+ b2a )
2
+ 4ac−b2
4 a[3 ]
Vértice de la parábola: V(−b2a
,4ac−b2
4a ) A continuación se demostrará en forma analítica y usando el procedimiento de
completación de cuadrados como se pasa de la expresión [ 2 ] a la [ 3 ].
y = a (x+ b
2a )2
+
4 ac−b2
4 a
Modulo de funciones realesPág. 42
Sea y=a x2+bx+c [ 2 ]
Paso 1 . Se saca factor común el coeficiente “ a “ de los términos en x.
Esto es . y=a [ x2+ bax ]+c
Paso 2. Se suma y resta el número.
( b2a )
2
Esto es: y=¿
a [x2+ bax+( b2a )
2
−( b2a )2]
+ c
Paso 3. Se aplica la propiedad distributiva y se efectúa la operación resultante.
y=¿ a [x2+ b
ax+( b2a )
2 ] - a ( b2
4a2 ) + c
y=¿ a [x2+ b
ax+( b2a )
2 ] -
b2
4 a + c [¿Por qué ? ]
Finalmente, la expresión es de la forma:
[ 3 ]
La expresión [ 3 ] la podemos reescribir como:
y=a ( x+h )2+k, luego se tiene V( -h , k ) [ 4 ]
Donde h=¿
y k =
4 ac−b2
4 a
Observación.
La expresión (a+b )2=a2+2ab+b2 , recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto
(T.C.P.).
Modulo de funciones realesPág. 43
Ahora bien, si hacemos una extensión de n = 2 para cualquier n par positivo
se tendrá la expresión:
y = a(x+h
)
n
+ k que también representarían parábolas
Para graficar una parábola basta conocer el vértice y las intersecciones con los
ejes coordenados.( puntos notables de la parábola )
Graficar las siguientes funciones cuadráticas
Ejemplo 1. y=2 x+5x−3
La función dada la transformaremos a su forma equivalente( por completación
de cuadrados).
Paso 1. Sacando factor común 2 se tiene:
y=2.[x2+ 52x ]−3
Paso 2. Sumando y restando el número:
( b2a )
2
=
( 54 )
2
=2516
y=2.[x2+ 52x+25
16−25
16 ]−3
Paso 3. Aplicando la propiedad distributiva y efectuando se tiene
y=¿
2 .[ x2+52x+25
16 ]−2(2516 )−3
, pero ( x
2+ 52x+25
16)
=
(x+ 54 )
2
* ( T.C.P)
Finalmente, nos que queda:
Modulo de funciones realesPág. 44
y=¿
2.
(x+ 54 )
2
−258−3
y=¿
2.
(x+ 54 )
2
−498
Luego el vértice es V(−54
,−498 )
Intersección con el eje x : Si y = 0 , entonces:
2 x+5 x−3=0 veamos si tiene solución real
Estudiemos el discriminante: d=b2−4ac
d=(5)−4(2) .(−3)=25+24=49>0 tiene solución real.
x=−5±√494 =
−5±74
= { x1=
−5+74
=12
x2=−5−7
4=−3
I x ( 12,0)
,
I x (−3,0 )
Intersección con el eje y : Si x=0 , entonces: Iy ( 0 , -3 )
Graficando se tiene:
Modulo de funciones realesPág. 45
Ejemplo 2.
Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax 2+bx+c
pasa por los
puntos
A(1,-2 ) , B( -1, 6 ) , C ( 2, 0 ).
Calcule a ,b ,
y c y además grafique.
Como la parábola pasa por los puntos dados se tiene:
A(1 ,−2) ⇒ a (1 )2+b (1 )+c=−2 a+b+c=−2 ecuación ( 1 )
B (−1,6 ) ⇒ a (−1 )2+b (−1 )+c=6
a−b+c=6 ecuación ( 2 )
C (2,0 ) ⇒ a (2 )2+b (2 )+c=0
4 a+2b+c=0 ecuación ( 3 )
Nos ha quedado un sistema de ecuaciones.
Para resolver este sistema aplicaremos el método de reducción.
Combinando las ecuaciones 1 y 2
{a+b+c=−2a−b+c=6
{ a+b+c=−2a−b+c=6
4 a+2b+c=0
Modulo de funciones realesPág. 46
Sumando miembro a miembro se tiene
2a+2c=4 ⇒ a+b=2 ( A )
Combinando ahora 2 y 3 se tiene:
{ a−b+c=64 a+2b+c=0
Multiplicando la primera ecuación por 2 se tiene:
{2a−2b+2c=12
4 a+2b+c=0
Sumando cada miembro respectivamente
6a+3c=12 ⇒ 2a+c=4 ( B )
Combinando A y B .
{ a+c=22a+c=4
Multiplicando la primera ecuación 1 por - 1 se tiene:
{−a−c=−22a+c=4
Por tanto, b=−4 ¿Por qué?
Entonces y=2x2−4 x
Al expresarlo en su forma equivalente se obtiene:
y=2 ( x−1 )2−2 justifique la respuesta.
Luego el vértice es V(1 ,−2 )
Determinemos las intersecciones con los ejes.
Intersección con el eje x . Si y=0 , entonces:
2 x2−4 x=0 ⇒ 2 x ( x−2 )=0 ⇒ x=0ó x=2.
Luego I x (0,0 ) , I x (2,0 )
Modulo de funciones realesPág. 47
Intersección con el eje y . Si x=0 , entonces: y (0)=2(0)2−4 (0 )=0
⇒ I y (0,0 )
Graficando se tiene:
Esbocemos algunas de sus características:
Dominio. Dom ( f )=R Rango. Rgo(f )=¿ Crecimiento . f es creciente ,(1 ,)
Decrecimiento. f esdecreciente . x(−.1)
P ositividad: y>0 , x (− ,0)∪(2 ,)
N egatividad . y<0 , x (0 ,2)
Nulidad. y=0 , para x=0 y x=2
f es asimétrica ( no es par ni impar ¿
Valor mínimo absoluto. ymín=−2
Acotamiento. f est á acotada inferiormente
Funciones polinómicas de la forma
y = a (bx+h )n
+ k , para n ¿3
( impar )
Modulo de funciones realesPág. 48
Estudiemos los casos más usuales.
a=1 , b=1 , h=0 , k=0 y n=3
y=x o y=−x (función cúbica modelo)
f ( x )=x3 Representación gráfica
x -2 -1 0 1 2…
y -8 1 0 1 8….
Dom( f )=R , Rgo(f )=R
f (−x)=−f (x)⇒ f es impar
Fig.1.44
f ( x )=−x3 Representación gráfica
Modulo de funciones realesPág. 49
x -2 -1 1 2…
y 8 1 0 -1 -8…
Dom( f )=R , Rgo(f )=R
f (−x)=−f (x)⇒ f es impar
Fig.1.45
Nota: Esta función siempre presenta un punto notable denominado punto de
inflexión (punto donde la gráfica cambia de sentido). En este caso el punto de inflexión
es
P(0,0) ó Pinf (0,0 )
Las funciones cúbicas pueden ser extendidas para cualquier exponente positivo
impar y además la gráfica tendrá siempre la misma forma. En resumen se tiene:
y = a ( x+h )n
+ k para n = 3 , 5 , 7 ……….
En este caso el punto de inflexión es P(−h ,k )
Nota. Para graficar este tipo de función basta conocer el punto de inflexión y las
intersecciones con los ejes (puntos notables)
Ejemplo
Graficar:
y=2(x−1)+8
Determinemos los puntos notables:
Punto de inflexión. x−1=0 x=1 P(1 ,8) ( en este punto la gráfica cambia de sentido
Modulo de funciones realesPág. 50
).
Intersección con el eje x. Si y = 0, entonces:
2(x−1)+8=0(x – 1)=¿
Luego x – 1=x=1−0,58 I (1−,0)
Intersección con el eje y. Si x = 0, entonces:
y (0)=2(0−1)+8=−2+8=6 I (0 ,6)
Modulo de funciones realesPág. 51
Gráfica:
Función potencial Irracional de la forma.
f ( x )=a ( x+h )1n+k
Una función que presenta la forma y=a ( x+h )1n+k=a
n√x+h+k ,donde
a ,h , k∈R y n≥2 (n∈N ) , se llama función irracional.
La representación gráfica de una función de la forma señalada es siempre una
semi–parábola.
Hagamos las siguientes consideraciones para el caso de n = 2 ( casos usuales )
Función Raíz Cuadrada.( n= 2 )
y=¿ ó
y=−¿
a=¿ ±
1 ,h=0 , k=0
)
Grafiquemos estas dos situaciones usando una tabla de valores.
Modulo de funciones realesPág. 52
f ( x )=√ x Representación Gráfica
x 0 1 2 3 2…
y 0 1 √2 √3 4….
Dom( f )=¿∞) ,
f es creciente
Rgo( f )=¿
Fig.1.46
f ( x )=−√x Representación Gráfica
x 0 1 2 3 4…
y 0 1 √2 √3 2…
Dom( f ) = [ 0 ,∞ )
f es decreciente
Rgo( f )=¿ [0 , ∞)
Fig.1.47
Nota:
Para graficar este tipo de función (raíz cuadrada) se sugiere calcular previamente
el dominio, elaborar una tabla de valores y hallar las intersecciones con los ejes.
Ejemplo
Graficar la función:
y = √2x−1+2
Modulo de funciones realesPág. 53
Dominio
:2 x−1
¿0
⇒
x
¿ 12
⇒Dom( f )
=
[ 12,∞)
Elaboremos una tabla de valores:
x 0,5 1 2 3 ……
y 2 3 √3+2 √5+2 …….
Intersección con el eje x. Si y = 0 , entonces:
√2x−1+2=0 ⇒√2 x−1=−2
(Esto es un absurdo)
Por consiguiente, no hay intersección con el eje x
Nota. Como x=0∉Dom ( f ), entonces la gráfica no intersecta al eje y
Elaborando la gráfica se tiene:
Modulo de funciones realesPág. 54
Características que cumple la función:
Dominio:Dom ( f )=¿
Rango :Rgo( f )=¿
Crecimiento. f es crecimiento , x Dom( f )
Positividad: y > 0 , ∀
x Dom (f ) ( f siempre es positiva )
Acotamiento: festá acotada inferiormente. ¿)
Valor mínimo: ymín=2 ( valor más pequeño que toma la función )
Simetría : f es asimétrica ( no es par ni impar )
Observación
La función y = an√ x+h
+ k puede ser extendida para cualquier número n
par positivo y su representación gráfica siempre será una semi- parábola
1.11. Ejercicios propuestos
Graficar:
1. y = √ x+2−1
2. y =
4√−x+16- 2
Función potencial irracional con índice impar.
y=a+k
Modulo de funciones realesPág. 55
Consideremos los casos más usuales: y= , y=−¿ (modelos)
Para graficar este tipo de función basta considerar el punto de inflexión y las
intersecciones con los ejes (puntos notables de la función)
Ejemplo:
Graficar y=+1
Punto de inflexión: x−1=0
⇒
P( 1 , 1 ) (punto donde la gráfica cambia de
sentido).
Intersección con el eje x. Si y = 0, entonces:
f ( x )=3√ x Representación gráfica
x -2 -1 0 1 2…
y - 3√2 1 0 1 3√2 .
Dom( f )=R , Rgo(f )=R
f es creciente
f (−x)=−f (x)⇒ es impar
Fig.1.48
f ( x )=−3√x Representación gráfica
Modulo de funciones realesPág. 56
x -2 -1 0 1 2…
y 3√2 1 0 -1 -3√2
Dom( f )=R , Rgo(f )=R
f es decreciente
f (−x)=−f (x)⇒es impar
Fig.1.49
12
3√ x−1+1=0
⇒ 3√x−1
= -2 (ecuación irracional)
Elevando al cubo en ambos miembros se tiene:
( 3√x−1)3= (−2 )3
⇒ x−1
= - 8 ⇒
x=7
⇒
I x (7,0 )
Intersección con el eje y. Si x = 0, entonces:
y (0)=+1=+1=I (0 ,)
Elaboremos la gráfica.
Modulo de funciones realesPág. 57
Características de la función:
Dominio: Dom( f )=R
Rango: Rgo( f )=R
Crecimiento: f es crecimiento,
∀ x ∈
Dom( f )
Positividad: y >0 , ∀ x∈
( - 7 , ∞
) (gráfica por encima del eje x )
Negatividad: y < 0 ,x ∈
( -∞
, -7 ) (gráfica por debajo del ejex )
Nulidad: y=0 , cuando x=−7
Acotamiento: f no está acotada.
f no tiene máximo ni mínimo
Simetría: f es asimétrica ( no es par ni impar )
Ejercicios propuestos
Graficar:
1. y=¿ 2. y=1−¿
Función Racional
Una función que se encuentra expresada de la forma y =
ax+bcx+d
, [ 1 ]
Modulo de funciones realesPág. 58
donde c x + d ¿0
, y además a, b , c , d
∈R, recibe el nombre de función
racional
Estudiemos el caso más usual de esta función.
y =
1x
(a=0 , b=1 ,c=1 y d=0)
Representación gráfica (función modelo)
y=1
x
x -2 -1 1 2…
y -0.5 1 1 0.5.
Dom (f )=R− {0 },
Rgo( f )=R− {0 }
f (−x)=−f (x)⇒es impar
Fig. 1.50
Hagamos ciertas consideraciones acerca de esta función.
1. La función y =
1x
no esta definida para x = 0 , ya que y ( 0 ) = ∞
∉
R. En
este caso el valor de x = 0 se denomina asíntota vertical ( recta vertical , donde los
valores de la función se aproximan más y más al eje y sin que llegue a interceptarlo
(véase la figura).
2. Si hacemos el despeje x =
1y
( x en función de y ), podemos notar que
esta nueva función no está definida para y = 0 , es decir x(o ) =∞∉R, entonces el
valor de y = 0 se denomina asíntota horizontal (recta horizontal donde la gráfica se
Modulo de funciones realesPág. 59
aproxima cada vez más al eje x sin que llegue a interceptarlo) (véase la figura).
3. La gráfica de una función racional de la forma y =
ax+bcx+d
, recibe el Nombre
de hipérbola equilátera.
4. Para graficar este tipo de función basta determinar las asíntotas e
intersecciones con los ejes.
Ejemplo
Graficar. y =
2x−4x−1
Dominio: Dom( f )=R – {1}
La ecuación x = 1 es la asíntota vertical , ya que y(1 ) =
−20
=−∞ ∉ R
Rango: despejemos la variable x en función de y
y (x−1)=2 x−4
Agrupando: y x−2x= y−4
Factorizando. x ( y –2)= y – 4
Despejando. x=Rgo( f )=R−{2 }
Por consiguiente, la ecuación y = 2 es la asíntota horizontal, ya que x(2) = -∞
Intersección con el eje x. Si y =0 , entonces:
2x−4x−1
=0
⇒
2x -4 = 0 ⇒ x
= 2 ⇒
Ix(2, 0)
Intersección con el eje y. Si x = 0, entonces: y (0)=¿4 ⇒ I Y (0 , 4 )
Graficando se tiene:
Modulo de funciones realesPág. 60
Características de la función:
Dominio: Dom (f )=R− {1 }
Rango: Rgo ( f )=R− {2 }
Crecimiento: f es crecimiento,∀ x∈Dom( f )
Positividad: y>0 , ∀ x∈ (−∞ ,1 )∪ (2 ,∞ )(gráfica por encima del eje x )
Negatividad: y<0 , ∀ x∈ (1,2 ) ( gráfica por debajo del eje x ¿
Nulidad: y=0 , cuando x=2
Acotamiento: fno está acotada
1.12. Álgebra de funciones reales
En el conjunto de los números reales hemos estudiado las operaciones y
propiedades fundamentales de la aritmética. Ahora, aplicaremos tales operaciones y
sus propiedades a las funciones reales, es decir, a aquellas cuyo dominio y rango son
subconjuntos de números reales.
Dadas las funciones f : A→R y g :B→R , entonces se tiene:
Álgebra Definición Dom (F )=Dom ( f )∩Dom (g )
Función suma F (x)=f (x )+g (x)
Modulo de funciones realesPág. 61
F ( x )= (f +g )( x )
Función diferencia F ( x )= (f−g )(x ) F ( x )=f ( x )−g ( x )
Función producto F ( x )= ( f . g )(x ) F ( x )=f ( x ) . g ( x )
Escalar por una
función
F ( x )= (k . f )( x ) 𝐹( x )=k . f ( x ), k∈R
Función cocienteF ( x )=( fg )( x )
F ( x )= f (x )g(x )
, g (x)≠0
,
Ejemplo 1
Si f y g son funciones reales definidas por f (x )= x+1x−1
y g ( x )= xx+1
Determine la suma.
Solución
F ( x )=f ( x )+g ( x ) .
Determinemos previamente los dominios de cada una:
Dom (f )=R− {1 } , Dom (g )=R−{−1 } , entonces al interceptar estos dos dominios
Modulo de funciones realesPág. 62
se obtiene: Dom (F )=R− {±1 } . ¿Por qué?
Gráficamente se tiene:
Determinemos la operación planteada:
F ( x )= x+1x−1
+ xx−1
= x2+2x+1+x2−xx2−1
=2 x2+ x+1x2−1
Ejemplo 2
f ( x )=√x−1 y g ( x )=√x−1x−1
Determine el producto.
Solución
F ( x )=f ( x ) . g(x )
Determinemos previamente el dominio de ambas:
Dominio de f : x−1≥0 , entonces se tiene: Dom (f )=¿
Dominio de g : x−1≥0 ∧ x−1≠0 , efectuando se obtiene:
x≥1∧ x≠1 , por consiguiente Dom (g )=(1 ,∞ ) ¿Por qué?
En definitiva nos queda: Dom (F )=(1 ,∞ )
Calculemos ahora el producto de ambas:
F ( x )=√x−1 . √ x−1x−1
=√ (x−1 )2
x−1= x−1x−1
=1
Observa que calcular F (−3) no es posible ¿Por qué?
La función compuesta de denotada por es la función
, ∀ La función compuesta de denotada por es la función
, ∀
Consideremos dos funciones y
Modulo de funciones realesPág. 63
Ejemplo 3
Si f y g son funciones impares. Demostrar que el producto de ambas resulta
una función par.
Demostración.
Tenemos que demostrar que F (x)=f (x ). g(x ) es una función par.
Evaluando en−x se tiene : F (−x)=f (−x ) . g(−x)
Pero f (−x)=−f (x)g(−x)=−g (x), luego la expresión se puede reescribir así :
F (−x)=(−f (x)) .(−g(x ))=f (x ). g(x )=F (x), entonces F es par
1.13. Ejercicios propuestos
1. Si f es una función impar y g una función par. Demostrar que el producto de
ambas resulta una función impar.
2. Si f es una función impar y g una función impar. Demostrar que la suma de
ambas resulta una función impar.
3. Si f es una función impar y g una función impar. Demostrar que el cociente de
ambas resulta una función par.
Composición de funciones reales
Noción intuitiva
La composición de funciones reales consiste en introducir una función dentro de
otra función involucrando sus dominios y rangos.
Definición
Modulo de funciones realesPág. 64
En diagrama de Venn se tiene:
Definición de los dominios de la función compuesta.
Ejemplo 1:
Dadas las funciones: f (x)=3x ,g (x)=¿√ x
Calcular: a ) ( f og)
b) Dom( f o g)
c) (go f )(x )
d ) Dom(go f )
a) ( f og)=f (g (x))=f ()=3 F(x )=3
Para determinar el dominio de esta composición, haremos el siguiente análisis
mediante la siguiente tabla.
Funciones Dominio Rango
f (x) R R
Esta composición solo es
posible si se cumple que:
Rgo( f )⊂Dom( g)
Dom (gof )= {x / x∈Dom ( f )∧ f ( x )∈Dom (g ) }
Dom (fog )={x / x∈Dom (g )∧g ( x )∈Dom (f ) }
Modulo de funciones realesPág. 65
g(x ) ¿ ¿
En este caso el dominio de la función compuesta coincide con el dominio de g. En
efecto, el rango de la funcióng es el conjunto de los números reales no negativos, que
es un subconjunto del dominio de f . Es decir, se cumple: Rgo (g )⊂ Dom (f )
Para hacer más comprensible la composición , veamos el siguiente esquema:
Nótese que Rg(g)Dom (f )Dom( f og)=Dom(g)=¿
b ) (go f )=g( f (x))=g(3 x )=F (x)=¿
Determinemos ahora el dominio de esta composición.
Rgo( f )=R ,Dom (g)=¿ se puede apreciar que el rango de f no está incluido
en el dominio de g . Esto es , Rgo( f )
⊄
Dom(g)
En este caso haremos una restricción del dominio de f . (Dom( f ¿)
Dom( f ¿)=¿. ∞
) , ahora se tiene que su rango es Rgo( f¿) ¿ [0 , } .
Luego se tiene queRg( f ¿)Dom (g)
Finalmente, se tiene que Dom(go f )=Dom( f ¿)=¿
Para una mejor comprensión de lo sucedido , observa el siguiente esquema:
Modulo de funciones realesPág. 66
Ejemplo 2f ( x )=2x2+3 x+1, g ( x )=5 x−1
Hallar:
a) (gof )( x )
b) (gof )(2 )
c) ( fog )(x )
d) ( fog )(−1)
Solución.
a) (gof )( x )=g ( f (x ) )=g (2x2+3 x+1 )=5 (2 x2+3 x+1 )−1=10 x2+15 x+4
(gof )( x )=10 x2+15x+4 ( esta es la función compuesta )
b) (gof )(2 )=10 (2 )2+15 (2 )+4=74
c ) ( fog )(x )=f (g ( x ) )=f (5x−1 )=2 (5x−1 )2+3 (5 x−1 )+1=50 x2−5 x
d) ( fog )(−1)=50 (−1 )2−5 (−5 )=55
Nótese que la composición no es conmutativa.
Modulo de funciones realesPág. 67
Supongamos ahora que tenemos tres funciones f , g y h , entonces:
( fogoh)( x )= (fo (goh ) )( x )=( ( fog )oh )( x )
Se puede verificar que la composición de funciones es asociativa.
Ejemplo 3
f ( x )=2x2−4 , g ( x )=√ x2+1 , h( x)=¿ 2 x−1
Hallar: ( fogoh)( x )
Se tiene entonces que:
( fogoh)( x )=f (g (h ( x ) ) )( x ) (por definición de composición)
Determinemos la composición interna:
Esto es: (goh )( x )=g (h ( x ) )=g (2 x−1 )=√(2 x−1 )2+1=√4 x2−4 x+2
Determinemos finalmente la composición externa conf .
f (√4 x2−4 x+2 )=2 (√4 x2−4 x+2 )2−4=2 (4 x2−4 x+2 )−4
¿8 x2−8 x luego,
( fogoh)( x )=8x2−8x
Hasta ahora, hemos usado la composición para hallar la función compuesta F ( x )
a partir de otras funciones, pero en cálculo a veces resulta útil descomponer una
función compuesta. Esto es, dada la función compuesta debemos hallar las funciones
que la componen.
Ejemplo 1
Modulo de funciones realesPág. 68
Dada la función compuesta F ( x )=(2 x2+5 )4
. Hallar las funciones f y g
tal que se
cumpla F ( x )= ( fog )( x ) Se tiene entonces:
Solución
f ( x )=x4
(función externa) y g ( x )=2 x2+5. (función interna)
Otra manera de descomponerla seria:
f ( x )=( x+5 )4
, g ( x )=2 x2 .
Se observa entonces que la descomposición no es única.
Ejemplo 2
F ( x )=√3 x4+1
Descomponerla de la forma: F ( x )= ( fog )( x )
entonces se tiene:
Solución
f ( x )=√ x+1 (función externa )
g(x )=3 x4 (función interna)
Ejemplo 3
F ( x )=(3+(2 x3+1)2 )5
Descomponerla de la forma:
F ( x )=( fogoh )(x ) entonces se tiene:
f ( x )=x5
g ( x )=3+x2
h ( x )=2 x2+1
Modulo de funciones realesPág. 69
Podría usted hallar otra respuesta.
1.14. Función inversa
Noción intuitiva
La inversa de una función no es más que la acción recíproca que realiza la
función f ( retorno def ).
Definición
Consideremos la función f : A→B
. Una función g :B→A
la función inversa de f
si se verifica:
(gof )( x )=x ,∀ x ϵA
( fog )( y )= y , ∀ y∈B ó también ( fog )(x )=x , ∀ x∈B
En este caso la composición es conmutativa, esto es:
(gof )( x )=( fog )( x )=x
Esta definición se ilustra en el siguiente diagrama:
Vamos a convenir lo siguiente f−1=g .
¿Qué condiciones debe satisfacer la función f : A→B
para que tenga función
inversa?
La gráfica de f−1
es la imagen reflejada de la gráfica de f respecto a la recta y=x
(función identidad).
Es decir, la gráfica de la función inversa siempre es simétrica respecto a la función
identidad y=x
Si una función dada por y=f ( x ) tiene inversa definida por x=g( y )=f−1( y ), ésta se obtiene despejando la variable x en función de la variable y
Modulo de funciones realesPág. 70
La respuesta a esta pregunta es:
La función f : A→B
debe ser biyectiva ( inyectiva y sobreyectiva a la vez ).
¿Cómo determinamos analíticamente la función inversa f−1
de f ?
Esta se obtiene mediante la siguiente regla práctica.
En resumen: x=f−1( y )
se llama la función inversa de f.
Ejemplo:
Si f (2)=5
entonces f−1(5 )=2
. ( la función inversa retorna la operación)
Propiedades que cumple la función inversa:
1. ( f−1 ( x ))−1=f (x)
2. ( f (x )og ( x ) )−1=g−1 ( x )o f−1 (x ) con f y g biyectivas
3. Si la función inversa existe, ella es única
Gráfica de la función inversa.
Modulo de funciones realesPág. 71
Modulo de funciones realesPág. 72
Interpretación geométrica
Fig. 1.51 Fig. 1.52
1.15. Ejercicios propuestos
y=f ( x )
Fig. 1.53
y=f ( x )
Fig. 1.54
Dada la gráficaf . hallar la gráfica de la función inversa:
Nota
Si la función f no es biyectiva, entonces la inversa def no sería una función.
Por ejemplo: fno es biyectiva.
Modulo de funciones realesPág. 73
Si se despeja la variablex se obtiene:
x=±√ y, como vemos, esto no es una
función.
Calcular en forma analítica la función inversa
Ejemplo 1
f ( x )=2 x+3
Debemos despejar la variable independiente x en función de la variable y
y=2x+3
x= y−32
=g ( y ) , entonces f−1 (x )= x−3
2 ( función inversa )
Verifiquemos que esta función es la función inversa: ( f−1of ) (x )=x
1. ( f−1of )( x )=x
( f−1of ) (x )=f−1( f ( x ))=f −1 (2x+3 )=( 2 x+3−32 )=x
Fig. 1.55
Modulo de funciones realesPág. 74
2. ( fof−1)( x )=x
( fof−1)( x )=f ( f−1 ( x ) )=f−1( x−32 )=2( x−3
2 )+3=x−3+3=x
.
Ejemplo 2
f ( x )=5 x−13x+6
y =
5x−13x+6
⇒ y (3x+6 )=5 x−1
aplicando la propiedad distributiva se tiene:
3 xy+6 y=5 x−1 agrupando se tiene.
3 xy−5 x=−6 y−1 factorizando por factor común se tiene
x (3 y−5)=−6 y−1 despejando x en función de la variable yse tiene.
x=,entonces se tiene que f
Hagamos la verificación: Esto es
1. f2.
¿
−30 x−5−3 x+53 x−5
−18 x−3+18 x−303 x−5
=−33 x−33
=x
( se ha verificado que
f
es la inversa de
f
)
Ejemplo 3
Modulo de funciones realesPág. 75
f (x)=2(x−3) hallar
f
y = 2 (x-3)
3+5
⇒
y−5=2(x−3) ⇒
x−3=¿
3√ y−52 ⇒
x=¿3+ 3√ y−52
⇒ f −1 (x )=3+ 3√ x−52
, verificando tenemos:
1. f
−1( f ( x ))=f −1 (2( x−3)3+5)=3+3√ 2( x−3 )3+5−5
2=3+
3√ 2( x−3)3
2=
3+x−3=x
2. (f (x)=x ( esta parte se le propone a Ud. para que la verifique).
A continuación le propongo otra forma para calcular la función inversa
Partiremos de la siguiente ecuación: (f∘ f−1
)(x)=x . Veamos el ejemplo 1
f ( x )=2x+3entonces
f(f−1( x ))=
2f−1( x )+3=x
efectuando se tiene :
2 f −1( x )+3=x ⇒ f−1( x )= x−3
2
1.16. Funciones definidas a trozos
Una función f se dice que esta expresada a trozos si f está definida mediante
varias ecuaciones funcionales, donde cada trozo tiene su respectivo dominio.
Notación.
Modulo de funciones realesPág. 76
f ( x )=
{f 1( x ) si x≤x1
f 2( x ) si x1<x≤x2
f 3 ( x ) si x2<x≤x3
. . .f n( x ) si x≥xn
Nótese que cada intervalo es el dominio de cada trozo.
Graficar la siguiente función definida a trozos:
Ejemplo 1
f (x)
=
{2 x−1 si x≤1−x+4 si x>1
Analicemos cada trozo.
y1=2 x−1 ( función afín ) y2=−x+4( función afín )
Elaboremos una tabla para cada trozo tomando en cuenta sus dominios.
x 0 1
y2 -1 1
x 1 2
y2 3 2
Recuerda. Por dos puntos distintos pasa una y sólo una recta.
Graficando se tiene:
Fig. 1.56
Modulo de funciones realesPág. 77
Consideremos algunas características que cumple la función.
Dominio: Dom( f )=R
Rango: Rgo( f )=(− ,3) Crecimiento : f es creciente , x (−,1)
Decrecimiento : f es decreciente , ∀ x ∈ ( 1 , ∞ )
Positividad: y> 0 , ∀
x ∈ (
12 , 4 )
Negatividad : y < 0 , ∀
x ∈ ( -∞ ,
12 ) ¿ ( 4 , ∞ )
Nulidad : y = 0 en
x=
12 ¿
x =
4 ( I x )
fno tiene valor máximo ni mínimo
f está acotada superiormente (¿ (f )=3)
f es asimétrica ( no es par ni impar )
Ejemplo 2
f
(x) =
{( x−1 )2−1 si x≤3−x+6 si x>3
En este caso se tiene:
y1
= ( x−1 )2−1
(función cuadrática)
Calculemos el vértice: x−1=0V (1 ,−1)
Fig. 1.57
Modulo de funciones realesPág. 78
Intersección con el eje x . Siy=0 , entonces:
( x−1 )2−1=0
⇒
( x−1 )2
= 1 ⇒
x−1=¿
[¿Por qué ? ]
Luego ,
x−1=⇒{ x1=1+1=2x2=−1+1=0
; así Ix
( 2 , 0 ) , I x
( 0 , 0 )
Intersección con el ejey . Si x=0 , entonces:
y (0)=¿ (0−1 )2−1=1−1=0
⇒
Iy
(0 , 0 )
En este caso evaluemos la función enx=3 , porque es el valor en el cual cambian
las ecuaciones:
y (3)=(3 –1)−1=4 – 1=3
Analicemos la otra función. y=− x+6 (función afín)
Elaborando una tabla y tomando en cuenta su dominio se tiene:
x 3 4
y2 3 2
Graficando la función f (x) :
Modulo de funciones realesPág. 79
Nótese lo siguiente: Dom( f )=R , Rgo( f )=R [¿Por qué ? ]
Actividad:
Complete el siguiente recuadro.
Crecimiento
Decrecimiento
Positividad
Negatividad
Nulidad
Función valor absoluto
Una función que presenta la forma y =
a .|x+h|+k, donde
a, h , k
∈R, recibe
el nombre de función valor absoluto. [ 1 ]
Esta función al igual que la función cuadrática, presenta un vértice V( -h , k ).
Analicemos los casos usuales: y=¿ , y=¿ ( a=1 , h=0 , k=0¿
y=|x| Representación gráfica
x -2 -1 0 1 2…
y 1 0 1 2….
Dom( f )=R , Rgo(f )=¿
f (−x)=f (x )⇒ f es par
Modulo de funciones realesPág. 80
Fig.1.58
y=−|x| Representación gráfica
x -2 -1 0 1 2…
y -2 -1 0 -1 -2…
Dom( f )=R , Rgo(f )=¿
f (-x) = f (x) ⇒ f es par
Fig.1.59
Observación:
Para graficar una función del tipo [ 1 ], basta conocer el vértice y las
intersecciones con los ejes.
Ejemplo 1
Graficar
y=2.
Determinemos el vértice: x−1=0
⇒
x=1
V ¿
)
Intersección con el eje x : Siy=0 entonces:
2. efectuando se tiene
|x−1|=42=2
( ec. con valor absoluto )
Luego se tiene.
Fig.1.60
Modulo de funciones realesPág. 81
¿2
Ix
(3 , 0 ) , Ix
( -1 , 0 )
Intersección con el eje y . Si x= 0 , entonces:
y (0)=2.=2– 4=−2 I (0 ,−2)
Graficando finalmente se tiene:
Actividad:
Complete el siguiente recuadro.
Modulo de funciones realesPág. 82
Crecimiento
Decrecimiento
Positividad
Negatividad
Nulidad
Nota. Toda función valor absoluto se puede trasformar a trozos.
Para ver esto con mayor comprensión usaremos la definición de valor absoluto.
(Véase nociones previas)
y = |f ( x )|=
{ f (x ) si f ( x )≥0−f (x ) si f ( x )<0
Ejemplo 1
y= 2.
|x−1|−4 =
{ 2.( x−1)−4 si x−1≥0−2. (x−1)−4 si x−1<0
Efectuando se tiene:
y =
{ 2x−6 si x≥1−2x−2 si x<1
(
f
ha quedado convertida a trozos)
Se tiene: y=2x−6 y=−2x−2
Actividad:
Complete las tablas y grafique:
Modulo de funciones realesPág. 83
x
y
x
y2
Ejemplo 2
Graficar
y =
|x−1|+|x+2|−|x+3|−3
En este caso es conveniente transformar a trozo la función dada.
x−1=0 , x+2=0x+3=0
⇓
⇓
⇓
x=1 x=−2 x=−3
Ahora aplicaremos el método tabular.
x∈ R -3 -2 1
x−1 - - - +
x+2 - - + +
x+3 - + + +
Modulo de funciones realesPág. 84
En este caso tomaremos de la tabulación, únicamente los renglones columnas de
cada intervalo que se ha formado (4 intervalos que llamaremos trozos).
Trozo 1. I1
= ( - ∞
, -3 ] ó x¿−3
)
Analicemos los signos de cada renglón . :
y=−(x−1)+[ – (x+2)] – [−(x+3)]−3 ( por prop. distributiva se tiene)
y=− x+1 – x−2+ x+3−3=−x−1
y=− x−1
Trozo 2. I=¿ó−3<x
y=−(x−1)+[−(x+2)] – (x+3)−3 ( por prop. distributiva se tiene)
y=− x+1 – x−2−x−.3−3=−3 x−7
y=−3x –7
Trozo 3. I 3 = ( -2 , 1 ] o´ -2 < x 1
y 3 = - ( x−1¿+(x+2)−(x+3)– 3( por prop. distributiva se tiene)
y=− x+1+x+2 – x−3−3=−x−3
y=− x –3
Trozo 4 . I 4 = ( 1 , ) ó x >1
y=(x−1)+(x+2)−( x+3)−3 efectuando se tiene.
y=x –1+x+2 – x−3 – 3=x−5
y=x−5
Luego la función a trozos es:
Modulo de funciones realesPág. 85
f (x)=¿
15
123
2373
31
xsix
xsix
xsix
xsix
Actividad: complete las tablas y grafique
x
y1
x
2y
X
Y 3
x
y 4
1.17. Ejercicios propuestos
Graficar.
1. y=|x−2|−¿x+2∨¿ 2. y=−2¿
Modulo de funciones realesPág. 86
Función exponencial
Definición
Se llama función exponencial a toda expresión de la forma y=a+k .bx , donde las
constantes a , k y b son números reales, con b estrictamente positivo y diferente de la
unidad (b> 0 b 1 )
Hagamos las siguientes consideraciones:
La recta y = a es su asíntota horizontal
Dom( f )=R
Estudiemos el caso usual de esta función ( la función modelo )
Establezcamos lo siguiente: a=0 , k= 1 , entonces nos queda:
y = bx [ 1 ] ( función exponencial modelo )
Expresado en notación funcional :
f :R→R
x→ f ( x )=bx b>0∧b≠1 , dondex toma cualquier valor real.
Hagamos las siguientes consideraciones para la función modelo:
)1( )( bbxf x )1( )( bbxf x
Tomando en cuenta lo anterior grafique:
)1( )( bbxf x )1( )( bbxf x
Modulo de funciones realesPág. 87
Fig. 1.61 Fig. 1.62
Ejemplo:
Consideremos las siguientes funciones exponenciales:
xxf 2)( y xx
x
xf
22
2
1)( 1
Elaboremos una tabla de valores para cada una de ellas:
Tabla 1 : f ( x )=2x ; b>1
x −3 −2 −1 0 1 2 3
y 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
Tabla 2 : f ( x )=( 12 )
x
=(2−1 )x=2− x ; 0¿b<1
Fig. 1.63
Modulo de funciones realesPág. 88
x −3 −2 −1 0 1 2 3
y 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8
Fig. 1.64
Si a ,b∈R ∧ x , y∈R
yxyx aaa
0a yxy
x
aa
a
xyyx aa
xxx baba ..
0b
x
xx
b
a
b
a
Modulo de funciones realesPág. 89
1.18. Función exponencial
Propiedades que cumple la función exponencial.
El número e : (Leonardo Euler 1707- 1783)
Según la definición dada de función exponencial, se tiene que la base b , puede
ser cualquier número positivo diferente de 1. Además, para cada valor deb hay una
función exponencial diferente. Existe en particular un valor de b que es muy importante
en matemáticas. Esto es un número irracional, que se denota por b=e .
En cálculo se muestra que la expresión dada por la función
x
xxf
11)(
se
aproxima al número e cuándo x toma valores muy grandes. En la siguiente tabla damos
algunos valores de esta función:
Haciendo uso de la calculadora electrónica completar la siguiente tabla.
X 1 2 10 100 1000 10000 100000 1000000
x
x
11
2 2.25 2.5937 2.7048 2.7169 2.7181 2.7182 2.71828
Se observa que cuándo x toma valores muy grandes, la expresión
x
x
11
se
Modulo de funciones realesPág. 90
aproxima cada vez más al número 2.71828, el cual es una aproximación al número e
Ahora podemos hablar de la función exponencial de base b = e
xexf )(
Fig. 1.65
xexf )(
Fig. 1.66
Representación de la función exponencial
y=a+k . e
Ejemplo 1
f ( x )=2−2ex
Asíntota horizontal 2hy (término independiente)
Intersecciones con el ejex . Si y¿0 , entonces:
2−2e x=0 ⇒2ex=2 ⇒ ex=1 ⇒ ex=e0 . [¿Por qué ? ]
⇒ x=0 ⇒ Ix (0,0 )Intersección con el eje y. Si x=0 , entonces:
f (0 )=2−20eo=2−2=0 ⇒ I y (0,0 )
Graficando finalmente se tiene
Modulo de funciones realesPág. 91
1.19. Función logarítmica
Si se considera la función exponencial
f :R→R+¿¿
x→ f ( x )=bx b>0∧b≠1
Definiremos la función logarítmica a partir de la inversa de función exponencial.
Esto es:
f−1:R+¿→R¿
y→x=logb ( y )
x=log y : se lee logaritmo de y en base b
Esto lo podemos escribir convencionalmente así: f ( x )=logb ( x ) (x>0) (función
modelo).
Representación gráfica de la función modelo
y=Log (x)
Características: Dom (f )=R Rgo ( f )=(−∞ ,2 )
f es decreciente, ∀ xϵDom ( f ) f >0 ,∀ x∈ (−∞,0 ) f <0 ,∀ x∈ (0 ,∞ )
0)( xf en x=0
f es inyectiva
f es sobreyectiva sobre su rango
f es biyectiva
f es asimétrica (no es par ni impar).
Asíntota Horizontal: 2y
Fig. 1.67
Modulo de funciones realesPág. 92
y=Log (x) , b > 1 y=Log (x) 0<b<1
y=Log (x) , b > 1 y=Log (x) 0<b<1
Fig.1.68 Fig. 1.69
El valor de x=0 se corresponde con la asíntota vertical de la función
Hagamos las siguientes consideraciones:
Logaritmo con base 10: b=10
f ( x )=Log10 ( x )=Log ( x ) ( logaritmo decimal o vulgar )
Logaritmo con base e:
f ( x )=loge ( x )=ln (x ) ( logaritmo neperiano de x )
Ejemplo: con su calculadora electrónica calcule:
1. Log (3478 )=¿ 2. Log (−234 )=¿
3. Ln (567 ) ¿ 4. Ln (−2 ) ¿
Propiedades que cumple la función logarítmica
Modulo de funciones realesPág. 93
P 1: Logaritmo de un producto log b ( x . y )=logb ( x )+logb ( y )
P 2: Logaritmo de un cocientelog b( xy )= logb ( x )−logb ( y )
P 3: Logaritmo de una potencia log b xn=n. logb ( x )
P 4: Logaritmo de una raízlog b
n√ x=logb ( x )
n
P 5: Logaritmo de la unidad log b1=0
P 6: Logaritmo de la baselog bb=1
P 7: Logaritmo de cambio de baselog b ( x )=
log c x
logcb
Observación
La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial, entonces se
cumple que:
b logb ( x )=x
Nota
La propiedad 7 resulta interesante ya que nos permite calcular el logaritmo de un
número positivo, cambiando previamente la base (esta propiedad recibe el nombre de
cambio de base).
Ejemplo
log 45=?
Este logaritmo no aparece en la calculadora habitual, entonces se procede a
cambiar la base, bien sea a base 10 ó base e . Veamos
log 4 (5 )=Log (5 )log 4
Modulo de funciones realesPág. 94
log 4 (5 )=Ln (5 )ln (4 )
Aplicaciones de las propiedades de logaritmo
Ejemplo
Desarrollar aplicando las propiedades
Ln
Por logaritmo de una potencia y cociente se tiene:
4. [ ln ( 3√a4 . b5 . c2 )−ln (a2 . b8 . c−2) ] Aplicando el logaritmo de una raíz y de la potencia nos queda:
¿4. [4. ln (a )+7. ln (b )+2. ln (c )3
−2 ln (a )−8. ln (b )+2. ln (c )]Efectuando las operaciones dentro del corchete se tiene:
¿4. [ 4. ln (a )+7. ln (b )+2. ln (c )−6. ln (a )−24. ln (b )+6. ln c3 ]
¿4. [−2. ln (a )−17. ln (b )−8. ln ( c )3 ]
Aplicando la propiedad distributiva nos queda en definitiva:
ln [ 3√a2 . b5 . c2
a2. b7 . c−2 ]4
=−8.Ln (a )−68. ln (b )+32. ln (c )
3
Ejercicios propuestos.
1- Desarrollar aplicando las propiedades de logaritmo. 1. Ln 2. Ln
Representación gráfica de la función logarítmica
f ( x )=a+log b (c . x+b )
Ejemplo 1
Fig. 1.70
Modulo de funciones realesPág. 95
f ( x )=−1+ log2 (2x−4 )
Determinemos primeramente su dominio
Dom (f )={x∈ R/2 x−4>0 } ; 2 x−4>0⇒2 x>4⇒ x>2.
Por tanto su dominio es Dom (f )=(2,∞)
Asíntota vertical:
2x (Recta vertical)
Intersecciones con los ejes:
Intersección con el ejex. Si x=0 , entonces:
−1+ log2 (2 x−4 )=0 (Ecuación logarítmica)
log 2 (2 x−4 )=1 ⇒ 2 x−4=21 ⇒ x=3 ⇒ Ix (3 ,0 )
Intersección con el ejey .Si x=0 , entonces:
R 4log1)4)0(2(log1)0( 22 f (no existe intersección con y )
Características: Dom (f )=(2,∞) Rgo (f )=R
f es creciente , ∀x∈Dom (f ) f ( x )>0 , ∀ x∈ (3 ,∞) f ( x )<0 , ∀ x∈ (−2 ,3 )
0)( xf en x=3
f es inyectiva
f es sobreyectiva sobre su rango
f es biyectiva
f es asimétrica ( no es par ni impar).
Fig. 1.70
Modulo de funciones realesPág. 96
Importancia de la función exponencial y logarítmica
Las funciones exponenciales y logarítmicas cumplen un papel importante en la
vida diaria. Gracias a la existencia de la función exponencial, es más cómodo para los
especialistas químicos, estudiar los elementos radiaactivos; para los economistas, el
crecimiento poblacional; para los médicos, la utilización de los medicamentos en el
cuerpo humano, para la psicología, el estudio del coeficiente intelectual, entre otros.
Las funciones logarítmicas también tienen diversas aplicaciones. En Geología,
permite determinar la intensidad de alteraciones en las capas terrestres; a los
astrónomos, les permite calcular la magnitud y la luz de las estrellas; en Física les
permite calcular el volumen de decibeles del sonido, para los sismólogos, les permite
determinar la intensidad de un terremoto, entre otros.
1.20. Función parte entera (función escalonada)
Una función que asocia cada número real x con su parte entera menor o
igual que x , recibe el nombre de función parte entera de x .
Notación:
f (x) = [[ x ]] = n , donde n 1 nx , ( n es un número entero )
Ejemplo 1
⟦3 ⟧=3 ya que 3
⟦−5 ⟧=−5 ya que −5
⟦ 0,5 ⟧=0 ya que 0 15,0
⟦−2,4 ⟧=−3 ya que −3 24,2
⟦−π ⟧=−4 ya que −4
Características: Dom (f )=(2,∞) Rgo (f )=R
f es creciente , ∀x∈Dom (f ) f ( x )>0 , ∀ x∈ (3 ,∞) f ( x )<0 , ∀ x∈ (−2 ,3 )
0)( xf en x=3
f es inyectiva
f es sobreyectiva sobre su rango
f es biyectiva
f es asimétrica ( no es par ni impar).
Modulo de funciones realesPág. 97
⟦ √3 ⟧=1 ya que 1
En forma general se tiene: ⟦a ,b ⟧=a y ⟦−a ,b ⟧=−a−1
De lo anterior vemos que el dominio de esta función se corresponde con todos los
números reales ( R ) y el rango con todos los números enteros ( Z ).
Representación gráfica de y = ⟦x ⟧
Para graficar esta función elaboraremos una tabla que tome en cuenta al
entero n y sus respectivos intervalos.
La función y= ⟦x ⟧
, la podemos expresar a trozos:
y={−3 si −3≤x←2−2 si −2≤x←1−101
sisisi
−1≤ x<00≤x<11≤x<2
Actividad:
Grafique en el recuadro, la función a trozos y= ⟦x ⟧ .
n 1 nxn f (x)
3 - 3 2x -3
-2 - 2 1x -2
-1 - 1 0x -1
0 0 1x 0
1 1 2x 1
Modulo de funciones realesPág. 98
Ejemplo 2.
Hallemos algunos valores de la función y grafique en la tabla indicada
y= ⟦x−1 ⟧ , donde n≤ x<n+1
Solución.
Elaboremos una tabla de valores, tomando en cuenta los valores enteros para
n y sus respectivos intervalos.
Expresemos esta función a trozos.
y={−3 si −2≤x←1−2 si −1≤ x<0−101
sisisi
0≤x<11≤ x<22≤ x<3
n 11 nxn 21 nxn y
-3 -3 21 x -2 1x -3
-2 -2 11 x -1 0x -2
-1 -1 01x 0 1x -1
0 0 11x 1 2x 0
1 1≤ x−1<2 2 3x 1
Modulo de funciones realesPág. 99
Gráfica:
Ejemplo 3
Hallemos algunos valores de la función y grafique en la tabla indicada
y=x−⟦x ⟧
En este caso se está combinando una función lineal con la función parte entera
(esta combinación se conoce con el nombre de función mantisa o parte decimal )
Elaboremos una pequeña tabla de valores para los enteros n con sus
respectivos intervalos.
Expresando esta función a trozos se tiene:
y={−3 si −2≤x←1−2 si −1≤ x<0−101
sisisi
0≤x<11≤ x<22≤ x<3
n 1 nxn y=x−⟦x ⟧
−3 −3 2x x+3
−2 -2 1x x+2
−1 −1 0x x+1
0 0 1x x
1 1≤x<2 x−1
Gráfica:
Modulo de funciones realesPág. 100
Ejercicios propuestos.
Grafica:
1. y= ⟦x−4 ⟧ 2. y= ⟦2x+1 ⟧
3. y= ⟦x ⟧−x 4. y=x+⟦ x ⟧
1.21. Funciones hiperbólicas
Frecuentemente en cálculo se presentan ciertas combinaciones de funciones
exponenciales que merecen nombres especiales y que se estudien como ejemplos de
nuevas funciones. Estas combinaciones se denominan seno hiperbólico (senh), coseno
hiperbólico (c osh¿, tangente hiperbólica (tanh), cotangente hiperbólica coth, secante
hiperbólica (sech) y cosecante hiperbólica (cosch ) , y se definen como sigue:
Modulo de funciones realesPág. 101
Funciones hiperbólicas directas Funciones hiperbólicas indirectas
f (x)=senh ( x )= ex−e−x
2f ( x )=cosch ( x )= 2
ex−e− x
f ( x )=cosh ( x )= ex+e− x
2 f ( x )=sech ( x )= 2
ex+e− x
f ( x )=tanh ( x )= ex−e− x
ex+e− x f ( x )=coth (x )= ex+e−x
e x−e−x
Representación Gráfica:
f ( x )=senh ( x ) f ( x )=cosch ( x )
Fig.1.71
Dom( f )=R
Rgo( f )=R
Fig.1.72
Dom (f )=(∞ ,0 )∪ (0 ,∞ )Rgo( f )=¿
f ( x )=cosh ( x ) f ( x )=sech ( x )
Fig. 1.73
Dom( f )=R
Rgo( f )=¿
Fig. 1.74
Dom( f )=R
Rgo( f )=(0 ,1¿
Modulo de funciones realesPág. 102
f ( x )=tanh ( x ) f ( x )=coth (x )
Fig.1.75
Dom( f )=R
Rgo( f )=(−1 ,1 )
Fig.1.76
Dom( f )=¿ ,00,
Rgo( f )=¿ (−∞ ,−1 )∪ (1 ,∞ )
El calificativo hiperbólico se debe a que estas funciones se pueden referir a una
hipérbola de la misma manera que las funciones trigonométricas están referidas a la
circunferencia.
Identidades hiperbólicas
Las funciones hiperbólicas tienen muchas propiedades parecidas a las de las
funciones trigonométricas, a continuación se mostrarán algunas identidades
hiperbólicas:
1. cosh ( x )−senh ( x )=e−x 2. cosh2 ( x )−s enh2 (x )=1
3. cosh ( x )+senh ( x )=ex 4. tanh2 ( x )+sech2 ( x )=1
Demostración de la identidad número 3:
Por definición se tiene que: cosh ( x )=¿ y senh ( x )=¿ sustituyendo se tiene:
4
22
4
2
4
2
22
20220220220222 xxxxxxxxxxxx eeeeeeeeeeeeeeee
Modulo de funciones realesPág. 103
14
4 00
ee
; Recuerda que: (exx e22)
Actividad 1
Demostrar las restantes identidades anteriores.
CALCULADORA ELECTRONICA: TECLA HYP
Estas funciones hiperbólicas se encuentran localizadas en las calculadoras
electrónicas.
Por ejemplo, si se nos pide calcular el valor de cualquiera de ellas debemos seguir
la siguiente instrucción:
?)2( senh
Actividad 2
Usando la calculadora determine:
a) senh (3 ) b) cosh (5 )c) sinh (−3 ) d) tanh (2 )Funciones hiperbólicas inversas:
Debido a que las funciones hiperbólicas se definen en términos de las funciones
exponenciales, entonces las funciones hiperbólicas inversas pueden expresarse en
términos de funciones logarítmicas, tal como se muestra a continuación:
1. senh−1 ( x )=ln (x+√ x2+1 ) ;∀ x∈R
2. cosh−1 (x )=ln (x+√ x2−1 ) ; ∀ x¿
3. tanh−1 (x )=12Ln( 1+x
1− x ) ; ∀ x∈ (−1 ,1 )
2senhhyp .......6268,3
Modulo de funciones realesPág. 104
4. coth−1 ( x )=¿¿ 12Ln( x+1
x−1 ) ; ∀∈ (−∞,1 )∪ (1 ,+∞ )
5. sech−1 ( x )=Ln( 1+√1−x2
x ) ; ∀ x∈ (0 ,1 ]
6. csch−1 ( x )=¿¿ Ln¿ ; ∀ x∈ (−∞ ,0 )∪ (0 ,+∞ )
Aplicación: Puente colgante o cables colgantes
Aplicación: La Catenaria, Si un cable o cadena flexible homogénea se suspende
entre dos puntos fijos a la misma altura, forma una curva denominada catenaria,
además una catenaria puede colocarse en un sistema de coordenadas de modo que su
ecuación toma la forma y=acosh( xa )
Nota
Observemos que en las calles o en nuestras casas existen una variedad de cables
colgantes que simulan este mismo modelo. Por ejemplo el tendido eléctrico, el tendido
de ropa en nuestra casa, etc.
1.22. Sucesiones reales
Definición
Una sucesión de números reales es una función o aplicación definida del
conjunto de los números naturales N* al conjunto de los números reales R. Esto se
puede representar en notación funcional de la siguiente forma:
Modulo de funciones realesPág. 105
:f N* R
n… f (n)=an ( término general o n-esimo de la sucesión )
Donde: na son las imágenes de la función o aplicación y se denotan
habitualmente así:
1432,1 ...........,, nnaaaaa y se denominan los términos de la sucesión.
Aquí se evidencia lo siguiente:
Dom (f )=N ¿ y Rgo ( f )={a1 , a2 , a3……. }
En lo que hemos desarrollado podemos inferir que una sucesión es una clase
especial de función.
Ejemplo:
Dada la sucesión definida por su término general: nan 2
Hallar sus primeros cinco términos.
Para: n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
Luego los términos de la sucesión son: {2 ,4 ,8 ,10 ,…………}
Estos valores los podemos representar en el plano cartesiano ( R2 )
Modulo de funciones realesPág. 106
Igualdad de sucesiones
Dadas las sucesiones 1nna y 1nnb se dice que estas sucesiones son
iguales si se verifica que ii ba donde i=1 ,2,3…n.
Ejemplo 1
1nna = {0 ,1 ,0 ,1 ,0,1………}
y
1nnb = ...........1,0,1,0,1,0
nn ba Obviamente las sucesiones dadas son iguales
Ejemplo 2
{cn }n=1
∞ =¿ { 1 , -1 , 1 , -1…..} y {dn }n=1
∞ = { -1, 1 , -1, 1……}.
Evidentemente , podemos decir que estas sucesiones no son iguales. Esto es
cn≠dn
La igualdad de sucesiones no debe confundirse con su rango o recorrido.
Por ejemplo, aunque cn≠dn se tiene que Rgo (cn )=Rgo (dn )={0 ,1 }
Sucesión Constante:
Modulo de funciones realesPág. 107
Definición
Una sucesión se dice que es constante cuando todos sus términos son iguales.
Ejemplo: ...................3,3,3,3,3,31 nna
1.23. Ejercicios propuestos
Dados los términos generales de las siguientes sucesiones. Hallar los primeros 9
términos:
1. nnan 32
2. b nn n
n
1)1.(
3. c 2
12
1
n
n
n
+1
4. x ))1(1.( nn n
5. nn aa 21 + 3 , donde 21 a para n 1 (sucesión por recurrencia )
6. F 12 nnn FF , donde F 11 , F 12 para n 1 (sucesión de Fibonacci)
Modulo de funciones realesPág. 108
INGENIERÍA CIVIL
La Rueda de Falkirk en Escocia.
La ingeniería civil es la rama de la ingeniería que aplica los conocimientos de física, química y geología a la elaboración de infraestructuras, obras hidráulicas y de transporte. La denominación "civil" se debe a su origen diferenciado de la ingeniería militar.
Tiene también un fuerte componente organizativo que logra su aplicación en la administración del ambiente urbano principalmente, y frecuentemente rural; no sólo en lo referente a la construcción, sino también, al mantenimiento, control y operación de lo construido, así como en la planificación de la vida humana en el ambiente diseñado desde esta misma. Esto comprende planes de organización territorial tales como prevención de desastres, control de tráfico y transporte, manejo de recursos hídricos, servicios públicos, tratamiento de basuras y todas aquellas actividades que garantizan el bienestar de la humanidad que desarrolla su vida sobre las obras civiles construidas y operadas por ingenieros.
La única forma de alcanzar el conocimiento que deseamos es dedicándonos
cada día más y mejor a nuestros estudios. Con el apoyo de nuestros padres, la
orientación de nuestros profesores y con la gracia infinita del supremo lo
lograremos.
Prof. Luis Viera
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