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Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 1
Nombre:
Cuenta:
PROGRAMACIÓN LINEAL es el campo de la optimización matemática
dedicado a maximizar o minimizar (optimizar)
una función lineal, denominada función
objetivo, de tal forma que las variables de
dicha función estén sujetas a una serie de
restricciones expresadas mediante un sistema
de ecuaciones o inecuaciones también lineales.
Métodos de solución
Existen dos métodos de solución de problemas
de programación lineal:
Método gráfico: En dos dimensiones: En este caso la función objetivo puede ser:
Z=F(x,y)=50x + 40y En este caso expresa que el inbreso total de
ventas al producir los productos “camisas(x)” y
“pantalones(y)” se optiene multiplicando el
precio de vetna de 50 por la cantidad de “x” y
el precio de 40 por la cantidad de “y”.
La producción esta sometida a las siguientes
restricciones:
2x + 3y< 1500
Esta restricción expresa que para producir una
camisa se ocupa 2 unidades de algdon y para
producir un pantalón se requieren 3 unidades
de algodón, y la empresa solo cuenta con 1500
unidades.
2x + y < 1000
Esta restricción expresa que para prodcir una
camisa se ocupan 2 unidades de poliéster, y 1 y
para producir un pantalón se ocupan 1 unidad
de poliéster, y la empresa solo cuenta con
1000 unidades
Y las resctricciones obvias:
x>0 ; y>0
Esta restricción expresa que las unidades de
producción no pueden ser negativas.
Por otra parte debemos de maximizar el
ingreso, con las restricción e materiales. Las
posibles soluciones son infinitas, pero solo una
es la máxima.
Usando el método grafico graficamos las dos restricción:
Observamos que
la restricción del poliéster se indica con
líneas verticales
la restricción del algodón se indica con
líneas horizontales.
La zona donde coinciden es la zona
sombreada que se llama REGION
FACTIBLE. Cualquier punto en esa zona
cumple las restricción
Se sabe que la solución máxima ocurre en el
perímetro de la zona factible, y ocurre en los
vértices o puntos donde se cruzan las
restricción
MÉTODOS CUANTITATIVOS ii 2018 PERIODO 3
PARCIAL ii
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Los posibles puntos donde puede ocurrir la
maximización son los vértices (esquinas):
En esta tabla vemos fácilmente que la solución
que maximiza z es la esquina donde x= 376 y
y=260, se obtiene un ingreso máximo de
29,150 lps
PASOS PARA EL MÉTODO GRAFICO: Paso 1: Graficar las líneas de las condiciones:
Para esto averiguamos los intercepto
Ordenamos Puntos
Paso 2: Graficamos las líneas
Paso 3: Graficamos las desigualdades.
Despejamos para esto “y”.
Recta 1:
Recta 2:
Y recordamos las condicionies x>= 0 Y>= 0 Tecnica 1; sombreado al lado de la recta y flecha
x y
0 500 (0,500) 20000
0 1000 (0,1000) 40000
750 0 (750,0) 37500
750 0 (750,0) 37500
375 250 (375,250) 28750 max
Z=50x+40ypunto
x=0 Y=0
1 2x+3y=1500 500 750
2 2x+1y=1000 1000 500
Iy Ixlinea
(750, 0)
(500, 0)
(0 , 500)
(0 , 1000)
linea x y
1 0 500 (0,500) 20000
750 0 (750,0) 37500
2 0 1000 (0,1000) 40000
500 0 (500,0) 25000
Z=50x+40ypunto
0
200
400
600
800
1000
1200
0 200 400 600 800
Y1
Y2
y <= 1500 -2 x
3
y <= recta
y <= 1500 -2 x
1
y <= recta
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Trecnica 2: Rayado
En ambos caso la región de factibilidad es:
La región de factibilidad es donde se cumplen
todas las condiciones, o dicho de otra manera
donde se interceptan o coinciden las rectas de
todas las condiciones. Los vértices son las
esquinas que limitan dicha region
Paso 4: Calculamos los vértices requeridos: En este caso la interceptcion entre línea 1 y
línea 2.
Paso 5: Elaborar tabla de puntos y elegir el máximo o minimo según se requiera:
PASO 6: La respuesta redactada es: Para una producción de 375 unidades del
producto “x”, y una producción de 250
unidades del producto “y” se obtiene el
ingreso máximo de Z=28,750 lempiras
Intercepto por suma y restas
(2)( 2 x + 3 y = 1500 )
(-2)( 2 x + 1 y = 1000 )
4 x + 6 y = 3000
-4 x + -2 y = -2000
0 x 4 y = 1000
y = 250
Sustituimos en condicion 1
2 x + 3 (250) = 1500
2 x = 750
x = 375
Intercepto (375,250)
linea x y
1 0 500 (0,500) 20000 min
750 0 (750,0) 37500
2 0 1000 (0,1000) 40000
500 0 (500,0) 25000
1 y 2 375 250 (375,250) 28750 max
Z=50x+40ypunto
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APLICACIONES DE PROGRAMACIÓN LINEAL Para resolver una aplicación se requieren los
siguientes pasos:
Paso 1: Leer el problema.
Paso 2: Identificar los datos.
Paso 3: Elaborar cuadricula de trajo que
relaciona todos los datos.
Paso 4: Identificar Variables y ecuaciones.
Paso 5: Plantear Modelo Matemático.
Paso 6: Solucionar el problema matemático
por el método grafico o el método simplex.
Ejemplo: Una empresa industrial debe aprovechar al
máximo los recursos con los que cuenta, para
lograr producir la máxima cantidad que logre
los máximos ingresos:
Existen 3 productos, Una silla, una mesa, y un
taburete.
Para producir una silla requiere de 3
unidades de madera, 4 de pegamento, 2 de
pintura.
Para producir una mesa requiere 5
unidades de madera, 3 de pegamento y 4
de pintura.
Para producir un taburete requiere 2
unidades de madera, 2 de pegamento y 1
de pintura.
La empresa cuenta con un máximo de 1000
unidades de madera, 2000 unidades de
pegamento, y 1500 unidades de pintura.
Por la silla gana 100 lempiras por la mesa 150
lempiras y 50 por el taburete.
Maximice la producción.
Paso 1: Leer el problema.
Paso 2: Identificar los datos.
Productos
Silla
Mesa
Taburete
Insumos
Madera
Pegamento
Pintura
Límites:
1000 unidades de madera
2000 unidades de pegamento
1500 unidades de pintura
Paso 3: Elaborar cuadricula que relaciona los
datos
Paso 4: Llenar cuadricula.
Por ejemplo una silla requiere 3 unidades de
madera. Buscamos donde se cruza la fila de
silla con la columna de madera y ponemos 3
Repetimos hasta llenar
Y Completamos ganancia y limites
Paso 5: Determinar cuales son las variables y
cuales son las ecuaciones con las siguientes
reglas.
1) Si las filas son ecuaciones las columnas
representan variables
2) Si las columnas son ecuaciones las filas
representan variables
3) Las ecuaciones serán las filas o
columnas que solo contenga un limite
4) Las variables son las filas o columnas
que no contienen ningún limite
En este caso las variables son silla, mesas y
taburetes:
Madera Pegamento Pintura
Silla
Mesa
Taburete
Madera Pegamento Pintura
Silla 3
Mesa
Taburete
Madera Pegamento Pintura
Silla 3 4 2
Mesa 5 3 4
Taburete 2 2 1
Madera Pegamento Pintura Ganancia
Silla 3 4 2 100
Mesa 5 3 4 150
Taburete 2 2 1 50
limites 1000 2000 1500
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También pudo ser:
Paso 6: Al final el modelo quedara asi
Condición 1 (madera)
3(x1) + 5(x2) + 2(x3)<=1000
Condición 2 (pegamento) 4(x1) + 3(x2) + 2(x3)<=2000
Condición 1 (pinturas) 3(x1) + 4(x2) + 1(x3)<=1500
Función objetivo (ganancia)
Max Z= 100(x1)+150(x2)+50(x3)
Paso 7: se resuelve el sistema
Madera Pegamento Pintura Ganancia
Silla (x1) 3(x1) 4(x1) 2(x1) 100 (x1)
Mesa (x2) 5(x2) 3(x2) 4(x2) 150 (X2)
Taburete (x3) 2(x3 2(x3 1(x3 50(X3)
limites 1000 2000 1500
Silla (X1) Mesa (X2) Tabuerete (X3) Limites
Madera 3(X1) 5(X2) 2(X3) 1000
Pegamento 4(X1) 3(X2) 2(X3) 2000
Pintura 2(X1) 4(X2) 1(X3) 1500
Ganancia 100(X1) 150(X2) 50(X3)
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EJEMPLO DE PROGRAMACIÓN LINEAL APLICADO
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MATRICES Definición de matrices: Una matriz es un conjunto ordenado en una
estructura de filas y columnas. Los elementos
de este conjunto pueden ser objetos
matemáticos de muy variados tipos, aunque de
forma particular, trabajaremos exclusivamente
con matrices formadas por números reales.
Normalmente las matrices son designadas por
letras mayúsculas (A, B, C).
Los elementos de una matriz se identifican por
la fila y la columna que ocupan asi: , 32a donde
a es la letra minuscula del nombre de la matriz
A. y se indica que la posicion es fila 3 columna
2.
El número de filas y columnas que tiene una
matriz se llama dimensión de la matriz.
11 12
32 21 22
31 32
a a
A a a
a a
En este caso la dimension es 3x2
Igualdad de Matrices
Tipos de Matrices MATRIZ FILA: Una matriz fila está constituida
por una sola fila.
MATRIZ COLUMNA: La matriz columna tiene
una sola columna.
MATRIZ RECTANGULAR: La matriz rectangular
tiene distinto número de filas que de
columnas, siendo su dimensión mxn.
MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo número
de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la
diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los
elementos con i+j = n+1.
MATRIZ NULA: En una matriz nula todos los
elementos son ceros.
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR En una matriz triangular superior los elementos situados por
debajo de la diagonal principal son ceros.
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: En una matriz triangular inferior los elementos situados por
encima de la diagonal principal son ceros.
MATRIZ DIAGONAL: En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por
debajo de la diagonal principal son nulos.
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MATRIZ ESCALAR: Una matriz escalar es una
matriz diagonal en la que los elementos de la
diagonal principal son iguales.
MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD: Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los
elementos de la diagonal principal son iguales
a 1.
MATRIZ TRASPUESTA: Dada una matriz A, se
llama matriz traspuesta de A a la matriz que se
obtiene cambiando ordenadamente las filas
por las columnas
Fila 1 se convierte en columna 1
PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRASPUESTA
MATRICES ESCALONADA: Una matriz es
escalonada si al principio de cada fila (o
columna) un elemento nulo más que en la fila
(o columna) anterior
MATRICES ESCALARES: Una matriz es escalar si
es diagonal y además todos los elementos de la
diagonal son iguales.
MATRIZ SIMÉTRICA: Se dice que una matriz
real es simétrica, si A T = A; y que es anti
simétrica, si TA = A. Ejemplo: Consideremos
las siguientes matrices:
MATRIZ EXTENDIDA: Es una matriz compuesta
de dos o más matrices.
Ejemplo:
( | )A B =
( | | )A B C =
A= 1 2 B= 5 6 C= 5 6
3 4 7 8 7 8
(A|B)= 1 2 5 6
3 4 7 8
(A|B|C)= 1 2 5 6 5 6
3 4 7 8 7 8
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APLICACIÓN DE LAS MATRICES a) Representación matricial de grafos
b) Representación matricial de sistemas de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones
Se representa como matrices así:
Y como matriz extendida así
ZONAS DE UNA MATRIZ
(1) DIAGONAL PRINCIPAL Son todos los
elementos 1 de la matriz anterior
cuando: ija si i=j
(2) TRIANGULO ARRIBA DE DIAGONAL: Son todos los elementos 2 de la matriz:
ija si i<j (por decirlo así la “i” manda)
(3) TRIANGULO ABAJO DE DIAGONAL: Son todos los elementos 3 de la matriz:
ija si i>j (por decirlo así la “i” manda)
CONSTRUCCIÓN DE MATRICES: Construya la matriz que cumpla las siguientes condiciones
Dimensión de 3x4
3 5ija i j para i<j
2 7ija i j para i=j
8 2ija i j para i>j
Paso 1: determinar la dimensión Es una matriz de 3 filas y 4 columnas
1 2 2 2
3 1 2 2
3 3 1 2
3 3 3 1
arriba de diagonal principal
debajo de diagonal principal
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Paso 2: Determine para que zonas aplican cada formula
3 5ija i j para i<j: arriba de diagonal
principal (manda la j)
2 7ija i j para i=j: diagonal principal
8 2ija i j para i>j: debajo de
diagonal principal (manda la i) Paso 3: Opción 1: Elabore tabla de valores para aplicar la formulas:
El resultado debería de ser:
Opción 2: Elaborar una cuadricula
1 2 3 4
1 9 13 18 23
i= 2 18 18 21 26
3 26 28 27 29
j=
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OPERACIONES CON MATRICES
SUMA DE MATRICES: Dadas dos
matrices de la misma dimensión, A= (a i j ) y B= (b i j) , se def ine la matriz suma
como: A+B= (a i j+b i j ) .
La matriz suma se obtiene sumando los
elementos de las dos matr ices que
ocupan la misma posición.
Propiedades de la suma de matrices Interna:
A + B = C que es una matriz.
Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro: A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma
dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto: A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquel la en que
todos los elementos están cambiados
de s igno.
Conmutativa: A + B = B + A
Producto de un escalar por una matriz Dada una matriz A=(a i j) y un número
real k R , se def ine el producto de un
número real por una matriz: a la matriz
del mismo orden que A, en la que cada
elemento está multipl icado por k.
kA=(k a i j)
Propiedades
a · (b · A) = (a · b) · A
A Mm x n, a, b
a · (A + B) = a · A + a · B
A,B Mmx n , a
(a + b) · A = a · A + b · A
A Mm x n , a, b
1 · A = A
A Mm x n
Producto de matrices Dos matrices A y B son multiplicables si
el número de columnas de A coincide
con el número de fi las de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento c i j de la matr iz producto se
obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada
elemento de la columna j de la matriz
B y sumándolos .
A X B 2 4
5 6
2 1 2(2) + 1(5) 2(4) + 1(6)
A= 3 2 3(2) + 2(5) 3(4) + 2(6)
4 3 4(2) + 3(5) 4(4) + 3(6)
B=
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MULTIPLICABILIDAD DE MATRICES: Dos matrices se pueden multipl icar si
el número de las f i las de la primera
matriz es igual al de las columnas de la
segunda matriz
Propiedades del producto de matrices
Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C
Elemento neutro: A · I = A
Donde I es la matriz identidad del
mismo orden que la matr iz A.
No es Conmutativa: A · B ≠ B · A En general es c ierto excepto casos
especiales
Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C OPERACIÓN TRASPUESTA Dada una matriz A a la cual apl icamos
la operación de traspuesta, que
denotamos TA
Diremos que TB A s i B es la matriz
traspuesta de A
PROPIEDADES DE LA TRASPUESTA DE UNA MATRIZ
http://www.vitutor.com/algebra/matrices/operaciones.html
A X B 2 4
5 6
2 1 9 14
A= 3 2 16 24
4 3 23 34
B=
A X B 10 -5
5 10
4 3 55 10
A= -3 4 -10 55
B=
A X B 4 3
-3 4
10 -5 55 10
A= 5 10 -10 55
B=
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ECUACIONES MATRICIALES: IGUALDAD DE MATRICES: dos matrices A y B son iguales si se cumple:
a) Ambas matrices tienen la misma dimensión
b) Los elementos de A y B en la misma posición son iguales:_
Ejemplo matrices iguales
Ejemplo matrices diferentes
EJEMPLO 1: Determinar el valor de las variables que hagan que ambas matrices sean iguales:
En este caso simplemente igualamos elemento
con elemento:
X=1 Y=2 Z=3 W=4
EJEMPLO 2: Determinar el valor de las variables que hagan que ambas matrices sean iguales:
Paso 1: Operamos el 3 que multiplica la primera matriz
Paso 2: Sumamos las matricez
Paso 3: Igualamos término a término:
Paso4: Despejamos el valor de la variable de cada ecuación
X=6/3 Y=7/3
Z=8/3 W=8/3
3 9 = 3 9
7 8 7 8
0 9 = 3 9
7 8 7 8
0 9 = 3 9
1 2 7 8
7 8
x y = 1 2
z w 3 4
3 x y + 1 2 = 7 9
z w 3 4 11 12
3x 3y + 1 2 = 7 9
3z 3w 3 4 11 12
3x+1 3y+2 = 7 9
3z+3 3w+4 11 12
3x+1=7 3y+2=9
3z+3=11 3w+4=12
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OPERACIONES FILA EN MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES EN FILAS: i) Multiplicar (o dividir) una Fila por un número
diferente de cero.
ii) Sumar un múltiplo de una Fila a otro
renglón.
iii) Intercambiar dos Filas.
El proceso de aplicar las operaciones
elementales por renglones para simplificar una
matriz aumentada se llama reducción por renglones. NOTACION: 1. Ri → cRi quiere decir “reemplaza la i-ésima
Fila por esa misma Fila multiplicado por c”.
[Para multiplicar la i-ésima Fila por c se
multiplica cada número en la i-ésima Fila por
c.]
Ejemplo:1 13R R
2. Rj → Rj + cRi significa sustituye el j-ésima Fila
por la suma de la Fila j más la Fila i multiplicado
por c.
Ejemplo:1 2 13 2R R R
3. Ri ⇄ Rj quiere decir “intercambiar las
Filas i y j”.
4. A → B indica que las matrices aumentadas A
y B son equivalentes; es decir, que los sistemas
que representan tienen la misma solución.
Ejemplo:1 2R R⇌
MATRICES EQUIVALENTES Dada una matriz A cualquiera decimos que B
es equivalente a A si podemos transformar A
en B mediante una combinación de las
siguientes operaciones:
1. Multiplicar una fila de A por un numero
real
2. cualquiera diferente de cero.
3. Intercambiar dos filas.
4. Sumar a una fila de A cualquier otra fila.
PIVOTE DE UNA FILA O ELEMENTO PRINCIPAL DE LA FILA. : Al primer número no cero de una fila se le
llama elemento principal de la fila pivote de la
fila.
En este ejemplo el número 3 es el pivote de la
fila 2
MATRIZ ESCALONADA. Se dice que una matriz esta escalonada si se
cumple que:
1. Todas las filas de ceros están abajo
2. Cada numero pivote de la fila esta a la
derecha de los numero pivotes de las
filas superiores
MATRIZ CANÓNICA REDUCIDA. Una forma canónica reducida por filas es una
matriz R ∈ M m×n con las siguientes
características:
1. El primer elemento no nulo de cada fila es 1.
2. El elemento principal de cada fila aparece
siempre en columnas posteriores al elemento
principal de la fila anterior.
3. Encima y debajo de los elementos
principales de cada una de las filas solo hay
ceros. Ejemplos:
Operación: Escalar por fila
R1= 5 6 3R1 15 18
R2= 7 8 R2 7 8
Operación: Suma de dos filas
R1= 5 6 29 34
R2= 7 8 R2 7 8
3R1+2R2
Operación: Intercambio de Filas
R1= 5 6 7 8
R2= 7 8 5 6
R2
R1
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SOLUCIÓN DE ECUACIONES POR REDUCCIÓN DE MATRICES Sea el sistema de ecuaciones
Este sistema se puede expresar como matrices
Donde
A X Bi
Creamos la matriz extendida
A B
Lo que vamos a hacer es aplicar operaciones fila renglón para lograr que nos quede la matriz
Que planteado como matriz nos queda
Donde X= 2, Y =3 Planificamos Resultados:
Planificamos Operaciones:
Plantear matriz ampliada
Paso 1: Convertir en uno el elemento a11
Paso 2: Convertir en cero los demás elementos de la columna 1
=
Paso 3: convertir en 1 el elemento a22
=
Paso 4: Convertir en 0 los demás elementos de la columna 2
=
El resultado es: X= 2, y=3
5 x + 6 y = 28
3 x + 2 y = 12
5 6 x = 28
3 2 y 12
A= 5 6
3 2
X= x
y
B= 28
12
5 6 28
3 2 12
1 0 2
0 1 3
1 0 x = 2
0 1 y 3
Paso 1 Paso 2
1 1
0
Paso 3 Paso 4
1 1 0
0 1 0 1
Pivote Fila 1
Paso 1 Paso 2
1/(a11) R1 R1
1R2 R2 -a21(R1)
Pivote Fila 2
Paso 3 Paso 4
1R1 R1 -a12(R2)
1/(a22)R2 R2
5 6 28
3 2 12
1/5 R1 (1/5)(5) (1/5)(6) (1/5)(28)
1 R2 3 2 12
1 6/5 28/5
3 2 12
1 R1 0 0 0
1 R2 -3 R1 3+(-3)(1) 2+(-3)(6/5) 12+(-3)(28/5)
1 6/5 28/5
0 -8/5 -24/5
1 R1 0 1 0
-5/8 R2 (-5/8)(0) (-5/8)(-8/5) (-5/8)(-24/5)
1 6/5 28/5
0 1 3
1 R1 -6/5 R2 1+(-6/5)(0) 6/5+(-6/5)(1) 28/5+(-6/5)(3)
1 R2 0 0 0
1 0 2
0 1 3
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Ejemplo 2: resolver el sistema de ecuaciones
Planteamos como matriz
Planificamos Resultados:
Planificamos operaciones Fila:
Paso 1:
Calculo:
Paso 2:
Calculo:
Paso 3:
Calculo:
Paso 4:
Calculo:
Paso5:
3x +2y +2z=21
2x +3y +4z=28
1x +5y +2z=21
3 2 2 x = 21
2 3 4 y 28
1 5 2 z 21
Paso 1 Paso 2
1 1
0
0
Paso 3 Paso 4
1 1 0
0 1 0 1
0 0 0
Paso 5 Paso 6
1 0 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1
Pivote fila 1
Paso 1 Paso 2
1/(a11) R1 R1
1R2 R2 -a21(R1)
1R3 R3 -a31(R1)
Pivote fila 2
Paso 3 Paso 4
1R1 R1 -a12(R2)
1/(a22)R2 R2
1R3 R2 -a32(R2)
Pivote fila 3
Paso 3 Paso 4
1R1 R1 -a13(R3)
1/(a22)R2 R2 -a33(R3)
1R3 R3
(1/3)R1 1 2/3 2/3 7
(1)R2 2 3 4 28
(1)R3 1 5 2 21
(1/3)(3) (1/3)(2) (1/3)(2) (1/3)(21)
2 3 4 28
1 5 2 21
(1)R1 1 2/3 2/3 7
(1)R2+(-2)R1 0 5/3 8/3 14
(1)R3+(-1)R1 0 13/3 4/3 14
1 2/3 2/3 7
2 3 4 28
+(-2)(1) +(-2)(2/3) +(-2)(2/3) +(-2)(7)
1 5 2 21
+(-1)(1) +(-1)(2/3) +(-1)(2/3) +(-1)(7)
(1)R1 1 2/3 2/3 7
(3/5)R2 0 1 8/5 42/5
(1)R3 0 13/3 4/3 14
1 2/3 2/3 7
(3/5)(0) (3/5)(5/3) (3/5)(8/3) (3/5)(14)
0 13/3 4/3 14
(1)R1+(-2/3)R2 1 0 -2/5 7/5
(1)R2 0 1 8/5 42/5
(1)R3+(-13/3)R2 0 0 -28/5-112/5
1 0 -2/5 7/5
+(2/5)(0) +(2/5)(0) +(2/5)(1) +(2/5)(4)
0 1 8/5 42/5
+(-8/5)(0) +(-8/5)(0) +(-8/5)(1) +(-8/5)(4)
0 0 1 4
(1)R1 1 0 -2/5 7/5
(1)R2 0 1 8/5 42/5
(-5/28)R3 0 0 1 4
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Calculo:
Paso 6:
Calculo:
Planteamos el resultado como ecuación matricial
Donde x = 3, Y =2 , z=4
SISTEMA DE ECUACIONES: DOS PASOS EN UNO
Fila Pivote 1:
Calculo:
Resultado:
Fila Pivote 2:
Calculo:
Resultado:
1 0 -2/5 7/5
0 1 8/5 42/5
(-5/28)(0) (-5/28)(0) (-5/28)(-28/5) (-5/28)(-112/5)
(1)R1+(2/5)R3 1 0 0 3
(1)R2+(-8/5)R3 0 1 0 2
(1)R3 0 0 1 4
1 0 -2/5 7/5
+(2/5)(0) +(2/5)(0) +(2/5)(1) +(2/5)(4)
0 1 8/5 42/5
+(-8/5)(0) +(-8/5)(0) +(-8/5)(1) +(-8/5)(4)
0 0 1 4
1 0 0 x = 3
0 1 0 y 2
0 0 1 z 4
5 28 x 28
3 2 y 12=
accion 1 accion 2
1/5 R1 1 R1
1 R2 1 R2 -3 R1
1 6/5 28/5
3+(-3)(1) 2+(-3)(6/5) 12+(-3)(28/5)
1 6/5 28/5
0 1 3
accion 1 accion 2
1 R1 1 R1 -6/5 R2
-5/8 R2 1 R2
1+(-6/5)(0) 6/5+(-6/5)(1) 28/5+(-6/5)(3)
0 1 3
1 0 2
0 1 3
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INVERSA DE UNA MATRIZ Dada una matriz cuadrada A, si existe otra
matriz B del mismo orden que verifique:
A . B = B . A = I ( I = matriz identidad ), se dice que B es la
matriz inversa de A y se representa por 1A . Si existe la matriz inversa de A, se dice que la
matriz A es invertible o regular. En caso
contrario, se dice que la matriz A es singular.
¿Cómo se puede calcular la inversa de una
matriz? Básicamente hay tres procedimientos
para calcular la inversa de una matriz. Son los
siguientes:
OPCIÓN 1:Aplicando la definición
Igualamos a la matriz identidad y resolvemos:
Al resolver el sistema la inversa nos queda asi
OPCIÓN 2: Por el método de Gauss.
Para este método debemos aprender cómo
reducir una matriz por el método de
operaciones fila (renglón)
Para lo cual hacemos uso de las matrices
extendidas
Sabemos las reglas que:
1A A I i
A I Ai
Si tenemos la matriz extendida
A I
Y la multiplicamos por la inversa
1A A Ii
Nos queda
1 1A A A I i i
Y utilizando las reglas nos queda
1I A
Eso significa que si podemos operar la matriz
extendida
A I
Y utilizamos operaciones fila renglón para
lograr que el lado izquierdo nos quede matriz
identidad (I), entonces el otro lado será la
matriz inversa ( 1A ).
1I A
a b X Y = 1 0
c d W Z 0 1
A X B x y
z w
a b a(x) + b(z) a(y) + b(w)
A= c d c(x) + d(z) c(y) + d(w)
B=
a(x) + b(z) = 1
c(x) + d(z) = 0
a(y) + b(w) = 0
c(y) + d(w) = 1
-1
a b = 1 d -b
c d ad - bc -c a
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EJEMPLO DE MATRIZ INVERSA Dado:
Paso 1: crear la matriz extendida
Paso 2: Elaborar Planificación Planificamos Resultados:
Paso 3: Reducir la matriz a su forma escalona reducida.
Ejemplo 2:
Paso 1:
Paso 2: Reducir:
La inversa será
A= 5 6
3 2
5 6 1 0
3 2 0 1
Paso 1 Paso 2
1 1
0
Paso 3 Paso 4
1 1 0
0 1 0 1
5 6 1 0 1/5 R1 1 6/5 1/5 0
3 2 0 1 1 R2 3 2 0 1
1 6/5 1/5 0 1 R1 1 6/5 1/5 0
3 2 0 1 1 R2 -3 R1 0 -8/5 -3/5 1
1 6/5 1/5 0 1 R1 1 6/5 1/5 0
0 -8/5 -3/5 1 -5/8 R2 0 1 3/8 -5/8
1 6/5 1/5 0 1 R1 -6/5 R2 1 0 -1/4 3/4
0 1 3/8 -5/8 1 R2 0 1 3/8 -5/8
3 2 2
A= 2 3 4
1 5 2
3 2 2 1 0 0
2 3 4 0 1 0
1 5 2 0 0 1
1/3 R1 1 2/3 2/3 1/3 0 0
1 R2 2 3 4 0 1 0
1 R3 1 5 2 0 0 1
1 R1 1 2/3 2/3 1/3 0 0
1 R2 -2 R1 0 5/3 8/3 -2/3 1 0
1 R3 -1 R1 0 13/3 4/3 -1/3 0 1
1 R1 1 2/3 2/3 1/3 0 0
3/5 R2 0 1 8/5 -2/5 3/5 0
1 R3 0 13/3 4/3 -1/3 0 1
1 R1 -2/3 R2 1 0 -2/5 3/5 -2/5 0
1 R2 0 1 8/5 -2/5 3/5 0
1 R3 -13/3 R2 0 0 -28/5 7/5 -13/5 1
1 R1 1 0 -2/5 3/5 -2/5 0
1 R2 0 1 8/5 -2/5 3/5 0
-5/28 R3 0 0 1 -1/4 13/28 -5/28
1 R1 2/5 R3 1 0 0 1/2 -3/14 -1/14
1 R2 -8/5 R3 0 1 0 0 -1/7 2/7
1 R3 0 0 1 -1/4 13/28 -5/28
1/2 -3/14 -1/14
0 -1/7 2/7
-1/4 13/28 -5/28
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DETERMINANTES: El determinante es una función que le asigna a
una matriz de orden n, un único número real
llamado el determinante de la matriz.
Si A es una matriz de orden n, el determinante
de la matriz A lo denotaremos por det(A) o A
también por (las barras no significan valor
absoluto).
DETERMINANTE MATRICES DE 2X2:
Como regla practica:
Se calcula multiplicando los elementos de la
diagonal principal y restando la multiplicación
de los elementos de la diagonal secundaria.
DETERMINANTE MATRICES DE 3X3
Utilizando el método de Sarrus: Paso 1: Creamos la matriz aumentada donde
se copian las primeras dos filas
Paso 2: Multiplicamos los elementos de la
diagonales con valor positivo, y multiplicamos
los elementos de las diagonales secundarias
con signo negativo.
Paso 3: Sumamos todos los resultados y
obtenemos el valor del determinante.
NOTA: este método de sarrus no se puede
aplicar a matrices de 4x4 en adelante.
SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES POR MÉTODO DE CRAMER.
Paso 1: expresamos como matriz.
A X Bi
Paso 2: Calculamos determinante de matriz A
Paso 3: Creamos las matrices “Ax” y “Ay”
sustituyendo la columna que corresponde a la
variable por los coeficiente de la matriz B, y
calculamos los determinantes:
Paso 4: Calculamos los valores de “x”, y “y”
dividiendo los determinantes de cada matriz
relacionada sobre la original:
2 5 8
3 6 9
4 7 12
2 5 8 2 5
3 6 9 3 6
4 7 12 4 7
-(4)(6)(8) = -192
-(7)(9)(2) = -126
-(12)(3)(-5) = 180
2 -5 8 2 -5
3 6 9 3 6
4 7 12 4 7
+(8)(3)(7) = 168
+(-5)(9)(4) = -180
+(2)(6)(12) = 144
|A| = -6
5 x + 6 y = 28
3 x + 2 y = 12
5 6 x = 28
3 2 y 12
A= 5 6 |A| = (5)(2)-(3)(6)
3 2 = -8
Ax= 28 6 |Ax| =(28)(2)-(12)(6)
12 2 -16
Ay= 5 28 |Ay| =(5)(12)-(3)(28)
3 12 -24
x= |Ax| = -16 = 2
|A| -8
y= |Ay| = -24 = 3
|A| -8
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