Métodos Numéricos en...

Métodos Numéricos en

IngenieríaDiferenciación Numérica

M.C. Lourdes Sánchez Guerrero

Diferenciación Numérica

Ahora nos centraremos en los procedimientos para diferenciar numéricamente

funciones que están definidas mediante datos tabulados o mediante curvas

determinadas en forma experimental.

Un método consiste en aproximar la función en la vecindad del punto en que

necesita calcular la derivada, mediante una parábola de segundo, tercer o mayor

grado, y utilizar entonces la derivada de la parábola en ese punto como la derivada

aproximada de la función.

Otra forma es utilizar los desarrollos en serie de Taylor.

La serie de Taylor para una función Y = f(X) en (Xi, ∆X), desarrollada con respecto al punto Xi es

en donde Yi es la ordenada que corresponde a Xi y (Xi+∆X), se encuentra en la región de convergencia. La función para (Xi-∆X) está dada en forma similar por:

Utilizando solamente los tres primeros términos de cada desarrollo, podremos obtener una expresión para Y'i restando la ec. (2) de la ec. (1),

(3)

Figura 1. Gráfica de la función f(x).

Observando la figura (1), vemos que si designamos los puntos uniformemente espaciados a la derecha de Xi como Xi+1 , Xi+2, etc. y los puntos a la izquierda de Xi como Xi-1, Xi-2 , etc. e identificamos las ordenadas correspondientes como Yi+1, Yi+2, Yi-1, Yi-2, respectivamente, la ec. (3) se puede escribir en la forma:

La ec. (4) se denomina la primera aproximación, por Diferencias Centrales de Y', para X. La aproximación representagráficamente la pendiente de la recta discontinua mostrada en la figura 1. La derivada real se representa mediante lalínea sólida dibujada como tangente a la curva en Xi.Si sumamos las ecuaciones (1) y (2) y utilizamos la notación descrita previamente, podemos escribir la siguienteexpresión para la segunda derivada:

(4)

(5)

La ec. (5) es la primera aproximación, por Diferencias Centrales, de la segunda derivada de la función en Xi. Estaexpresión se puede interpretar gráficamente como la pendiente de la tangente a la curva en Xi+1/2 menos lapendiente de la tangente a la curva en Xi-1/2 dividida entre ∆X, cuando las pendientes de las tangentes estánaproximadas mediante las expresiones:

Es decir

(7)

(6)

Para obtener una expresión correspondiente a la tercera derivada, utilizamos cuatro términos en el segundo miembro de cada una de las ecs. (1) y (2). Restando la ec. (2) de la ec. (1) se obtiene:

(8)

Si desarrollamos la serie de Taylor respecto a Xi para obtener expresiones correspondientes a Y = f(X) en

Y

Respectivamente obtenemos:

(9)

Restando la primera ec. (9) de la segunda, y utilizando solamente los cuatro términos mostrados para cada desarrollo, se obtiene:

(10)

La solución simultánea de las ecs. (8) y (10) produce la tercera derivada:

(11)

La ec. (11) es la primera expresión de Diferencias Centralescorrespondiente a la tercera derivada de Y en Xi.

Por este método se pueden obtener derivadas sucesivas de mayor orden, pero como requieren la solución de un número cada vez mayor de ecuaciones simultáneas, el proceso se vuelve tedioso. La misma técnica se puede utilizar también para encontrar expresiones más precisas de las derivadas utilizando términos adicionales en el desarrollo en serie de Taylor. Sin embargo, la derivación de expresiones más precisas, especialmente para derivadas de orden superior al segundo, se vuelve muy laboriosa debido al número de ecuaciones simultáneas que se deben resolver.

La ec. (11) es la primera expresión de Diferencias Centrales correspondiente a la tercera

derivada de Y en Xi.

Por este método se pueden obtener derivadas sucesivas de mayor orden, pero como

requieren la solución de un número cada vez mayor de ecuaciones simultáneas, el

proceso se vuelve tedioso. La misma técnica se puede utilizar también para encontrar

expresiones más precisas de las derivadas utilizando términos adicionales en el

desarrollo en serie de Taylor. Sin embargo, la derivación de expresiones más precisas,

especialmente para derivadas de orden superior al segundo, se vuelve muy laboriosa

debido al número de ecuaciones simultáneas que se deben resolver.

Se ha demostrado que las expresiones de Diferencias Centrales para las diversas derivadas encierran

valores de la función en ambos lados del valor X en que se desea conocer la derivada en

cuestión. Utilizando desarrollos convenientes en serie de Taylor, se pueden obtener fácilmente

expresiones para las derivadas, completamente en términos de valores de la función en Xi y

puntos a la derecha de Xi. Estas se conocen como expresiones de Diferencias Finitas Hacia

Adelante.

En forma similar, se pueden obtener expresiones para las derivadas que estén totalmente en

términos de valores de la función en Xi y puntos a la izquierda de Xi. Estas se conocen como

expresiones de Diferencias Finitas Hacia Atrás.

En la diferenciación numérica, las expresiones de diferencias hacia adelante se utilizan cuando no se

dispone de datos a la izquierda del punto en que se desea calcular la derivada, y las expresiones

de diferencias hacia atrás, se utilizan cuando no se dispone de datos a la derecha del punto

deseado. Sin embargo, las expresiones de diferencias centrales son más precisas que cualquiera de

las otras dos.

Resumen de las formulas de diferenciación

Expresiones de Primeras Diferencias Centrales

Expresiones de Segundas Diferencias Centrales

Expresiones de Primeras Diferencias Hacia Adelante

Expresiones de Segundas Diferencias Hacia Adelante

Expresiones de Primeras Diferencias Hacia Atrás

Expresiones de Segundas Diferencias Hacia Atrás

EjemploDesarrolle el siguiente ejercicio por Diferencias Finitas Hacia Adelante, Hacia Atrás y Centradas para estimar la

primera derivada de:

a) El tamaño de paso de ∆X= 0.5.

b) Despues desarrollar el cálculos con ∆X = 0.25.

Para estimar el error, la derivada (valor verdadero)se puede calcular directamente como:

evaluando tenemos:

f'(0.5) = -0.9125

Para ∆X= 0.5 ahora es necesario usar la función para determinar la tabla de valores:

Xi-1 = 0.0 Yi-1 = 1.200

Xi = 0.5 Yi = 0.925

Xi+1 = 1.0 Yi+1 = 0.200

Con estos datos se calculan las Diferencia Hacia Adelante:

Para las Diferencia Dividida Hacia Atrás

Por Diferencias Divididas Centrales

Evaluando la función para ∆X= 0.25, los datos son:

Xi-1 = 0.25 Yi-1 = 1.10351563

Xi = 0.50 Yi = 0.92500000

Xi+1 = 0.75 Yi+1 = 0.63632813

Para calcular las Diferencias Divididas Hacia Adelante:

la Diferencia Dividida Hacia Atrás:

Diferencia Dividida Central:

Para las segundas expresiones

un tamaño de paso de ∆X= 0.25 f'(0.5) = -0.9125i-3 f(-0.25) = -0.1 (-0.25)4 - 0.15(-0.25)3 - 0.5 (-0.25)2 -0.25(-0.25) + 1.2 = 1.23320313

i-2f(0) = -0.1 (0)4 - 0.15(0)3 - 0.5 (0)2 -0.25(0) + 1.2 = 1.2

i-1 f(0.25) = -0.1 (0.25)4 - 0.15(0.25)3 - 0.5 (0.25)2 -0.25(0.25) + 1.2= 1.10351563

if(0.5) = = -0.1 (0.5)4 - 0.15(0.5)3 - 0.5 (0.5)2 -0.25(0.5) + 1.2 = 0.925

i+1 f(0.75) = -0.1 (0.75)4 - 0.15(0.75)3 - 0.5 (0.75)2 -0.25(0.75) + 1.2 = 0.636328125

i+2f(1.0) = -0.1 (1.0)4 - 0.15(1.0)3 - 0.5 (1.0)2 -0.25(1.0) + 1.2 = 0.2

i+3f(1.25) = -0.1 (1.25)4 - 0.15(1.25)3 - 0.5 (1.25)2 -0.25(1.25) + 1.2= -0.430859375

Xi-3 = -0.25 Yi-3 = 1.23320313

Xi-2 = 0 Yi-2 = 1.2

Xi-1 = 0.25 Yi-1 = 1.10351563

Xi = 0.5 Yi = 0.925

Xi+1 = 0.75 Yi+1 =0.636328125

Xi+2= 1.0 Yi+2 = 0.2

Xi+3 = 1.25 Yi+3 = 0.430859375

Para las primeras expresiones para la primera derivada por diferencias divididas centrales

Y’ = ( Yi+1 - Yi-1 ) / (2*∆X) = (0.2-1.2)/2(0.5)= -1

Entonces si tenemos: f'(0.5) = -0.9125

Al evaluar el error Porcentaje de error es

((-0.9125 – (-1))/ -0.9125) X 100 = 9.58 %

Para las segundas expresiones para la primera derivada por diferencias divididas centrales

Y’ = ( -Yi+2 + 8Yi+1 - 8Yi-1 - Yi-2 ) / (12*∆X) = ( 1.3125 + 8(0.2) – 8(1.2) +1.2125)/12(0.25)= -0.9125

Entonces si tenemos: f'(0.5) = -0.9125

Al evaluar el error

Porcentaje de error es ((-0.9125 – (-0.9125))/ -0.9125) X 100 = 0 %

Para las primeras expresiones por diferencias Divididas Hacia atrás

Y’ = ( Yi - Yi-1 )/ ∆X = (0.925 – 1.10351563)/(0.25) = -0.714062

El porcentaje de error 21.7 %

Para las segundas expresiones de diferencias Divididas Hacia atrás

Y’ = (3Yi - 4Yi-1 + Yi-2 ) /2(∆X ) = (3*(0.925) - 4*(1.10351563) + 1.2)/ (2*(0.25) = -0.87812504

Porcentaje de erro es 3.7 %

Para las primeras expresiones por diferencias Divididas Hacia adelante

Y’ = (Y i+1 - Y i ) / ∆X = (0.63632813 – 0.925) / 0.25 = -1.15468748

El porcentaje de error 26.5%

Para las segundas expresiones Divididas Hacia adelante

Y’ = (-Yi+2 + 4 Yi+1 -3 Yi ) / 2 ∆X = (-0.2 + 4*( 0.636328125) -3*( 0.925))/2(.25) =- 0.859375

El porcentaje de error 5.82%

Para calcular la segunda derivada

Es importante recordar que el calculo del valor verdadero de la segunda derivada es necesario

Derivar la función

f ’’(X) = -1.2 X2 -0.9 X – 1.0 entonces evaluando en el punto X= 0.5

f ’’(0.5) = -1.2 (0.5)2- 0.9(0.5) -1.0 = -1.75 valor real

Primeras expresiones por DIFERENCIAS CENTRALES para la segunda derivada

Y ‘’ = (Yi+1 -2Yi + Yi-1)/(∆X)2 = ((.63632125) - 2*(0.925 ) + 1.10351563 )/(.25)2 = -1.76

Error -0.57 %

Segundas expresiones por DIFERENCIAS CENTRALES de la segunda derivada

Y’’ = ( -Yi+2 + 16 Yi+1 -30 Yi + 16 Yi-1 - Yi-2 ) / 12(∆X)2

Y’’ = ( -(.2) +16 *(0.636328125) – 30*( 0.925) + 16* ( 1.10351563) –(1.2))/(12(.25)2) = -1.749

Error 0.057%

Tarea: Calcule las siguientes DIFERENCIAS DIVIDIDAS para las primeras y segundas expresiones para la

segunda derivada. Hacia adelante y Hacia atrás. Además Calcule el error .

Primeras expresiones por DIFERENCIAS DIVIDIDAS Hacia adelante de la segunda derivada

Y’’ = ( Yi+2 -2 Yi+1 +Yi )/ (∆X)2 = (0.2 - 2*(0.636328125) + 0.925)/ (0.25)2 =

Segundas expresiones por DIFERENCIAS DIVIDIDAS Hacia adelante de la segunda derivada

Y’’ = ( -Yi +3 + 4Yi+2 -5 Yi+1 + 2Yi) / (∆X)2 = (- 0.430859375 + 4*(0.2) -5*(0.636328125) + 2*(0.925) )/ (0.25)2 =

Primeras expresiones por DIFERENCIAS DIVIDIDAS Hacia atrás de la segunda derivada

Y’’ = = (Yi - 2 Yi-1 + Yi-2 )/ (∆X)2 = ( (0.925) – (2*(1.10351563)) + (1.2))/ (0.25)2 =

Segundas expresiones por DIFERENCIAS DIVIDIDAS Hacia atrás de la segunda derivada

Y’’ = (2Yi -5 Yi-1 + 4Yi-2 -Yi -3 ) / (∆X)2 =[((2*(0.925))- (5*(1.10351563)) + ((4*(1.2)) – (1.23320313)] / (0.25)2 =