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Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
101
UNIDAD 4
VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES
CONTENIDOS:
Funciones dos veces diferenciables. Funciones Clase C2 .Teorema de Young sobre la
permutabilidad del orden de las derivaciones.
Definición de extremos relativos (libres), puntos críticos. Prueba de la segunda
derivada.
Máximo o mínimo absoluto. Teorema del valor extremo para funciones de dos
variables.
Valores extremos de funciones sometidas a una restricción; multiplicadores de
Lagrange. Condiciones de Kuhn-Tucker.
Aplicaciones económicas, elasticidad de sustitución de Allen-Uzawa, elasticidad de
sustitución de Morishima.
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Daniela Parada
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DESARROLLO:
FUNCION CONTINUAMENTE DIFERENCIABLE:
Una clase diferenciable, es una clasificación de una función de acuerdo a las
propiedades de sus derivadas. Una función es de clase uno y su denotación es: C1, si sus
derivadas son continuas y se las denomina diferenciables continuas. Una función es de
clase n constante y 1n , Cn, si sus derivadas parciales de orden n, son continuas y se
las denomina diferenciables finitas. Una función es denominada continuamente
diferenciable, si es de clase n Cn para todo n o lo que es lo mismo es C∞
En este capítulo, en el cual se pretende abordar algunos temas de optimización de
funciones de varias variables, la funciones dos veces diferenciables, permiten la
discusión de la naturaleza de los extremos locales y el estudio de las funciones
convexas.
La noción de aplicación diferenciable dos veces se plantes sólo en el caso de funciones
de varias variables reales, tomando como base la diferenciabilidad de las derivadas
parciales.
El Teorema de Young afirma, que bajo condiciones generales, no importa el orden que
se realiza que se realiza la diferenciación parcial para evaluar las derivadas parciales de
segundo orden, y arribando a la conclusión que ambas son coincidentes.
Teorema de Young (Vera) Sea f Ω: → R definida en un abierto Ω ⊂ R2(caso particular
del teorema). Se supone que a ∈ posee un entorno Va ⊂ Ω, donde existen las derivadas
parciales Dif , Djf (i ≠ j) y ambas son diferenciables en a. Entonces se verifica
Dijf (a) = Djif (a).
La demostración se basa en el Teorema de Schwarz, desarrollado en el capítulo tres.
Extremos absolutos de funciones de dos variables:
Definición de Máximo Absoluto: Se dice que la función f de dos variables tiene un
valor máximo absoluto en su dominio D del plano xy si existe algún punto (x0;y0) en
D tal que Dyxyxfyxf ;;; 00 . En tal caso 00 ; yxf es el valor máximo
absoluto de f en D.
Definición de Mínimo Absoluto: Se dice que la función f de dos variables tiene un valor
mínimo absoluto en su dominio D del plano xy si existe algún punto (x0;y0) en D tal
que Dyxyxfyxf ;;; 00 . En tal caso 00 ; yxf es el valor mínimo absoluto
de f en D.
Extremos relativos/libres de funciones de dos variables:
Definición de Máximo Relativo: Se dice que la función f de dos variables tiene un valor
máximo relativo en el punto (x0;y0) si existe un disco abierto ryxB ;; 00 tal que
Byxyxfyxf ;;; 00 .
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Definición de Mínimo Relativo: Se dice que la función f de dos variables tiene un valor
mínimo relativo en el punto (x0;y0) si existe un disco abierto ryxB ;; 00 tal que
Byxyxfyxf ;;; 00 .
Teorema: Si f(x;y) existe en todos los punto de algún disco abierto ryxB ;; 00 y si
tiene un extremo relativo en (x0;y0), entonces si 0000 ; ; yxfyyxf x existen,
0; 0; 0000 yxfyyxf x
Definición de Punto Crítico:
Si f(x;y) existe en todos los punto de algún disco abierto ryxB ;; 00 el punto (x0;y0)
es un punto crítico de f, si una de las siguientes condiciones se cumple:
a) 0; 0; 0000 yxfyyxf x
b) 0000 ; o ; yxfyxf x no existen
Un punto crítico de una función no necesariamente proporciona un extremo relativo de
la función, y en tal caso se dice que es un punto silla de la función f.
Condiciones Necesarias y Suficientes para la Existencia de Extremos Relativos o
Libres:
Condiciones Necesarias: Dada una función f, que admite derivadas parciales en (x0;y0)
interior a su dominio, para que la función admita máximo o mínimo relativo en f(x0;y0),
es necesario que:
0; 0; 0000 yxfyyxf yx
Si se toma la función de una sola variable:
)();( 0 xgyxf
Y si 0;; 00
´
0
´
0
´
0
yxfyxfxg xxx
x; la función sería creciente en (x0;y0) y por
consiguiente no podría tener allí ni máximo ni mínimo, pues en el entorno habría
valores mayores que f(x0;y0) a la derecha y menores que f(x0;y0) a la izquierda.
Igualmente si 0;; 00
´
0
´
0
´
0
yxfyxfxg xxx
x; la función sería decreciente en
(x0;y0) y por consiguiente no podría tener allí ni máximo ni mínimo, pues en el entorno
habría valores mayores que f(x0;y0) a la izquierda y menores que f(x0;y0) a la derecha.
Queda entonces como única alternativa que 0; 00 yxf x . Con razonamiento
análogo, interceptando la superficie funcional con un plano 0xx , se llega a que
0; 00 yxf y .
Condiciones Suficientes:
Para hallar las condiciones suficientes, se desarrolla la función en el entorno de un
punto crítico, por medio de Taylor, hasta las derivadas segundas inclusive:
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yxTyyxfyxyxfxyxf
yyxfxyxfyxfyxf
yyxyxx
yx
;;;2;2
1
; ;;;
3
2
0000
2
00
000000
Si el punto (x0;y0) es un punto crítico de f, en el que se cumple que:
0; 0; 0000 yxfyyxf x , se tiene entonces que:
yxTyyxfyxyxfxyxfyxfyxf yyxyxx ;;;2;2
1;; 3
2
0000
2
0000
Si la función f de dos variables tiene un valor máximo relativo en el punto (x0;y0)
entonces existe un disco abierto ryxB ;; 00 tal que
,; 0;; 00 Byxyxfyxf mientras que si tiene un valor mínimo relativo en
el punto (x0;y0) dicha diferencia será positiva o nula.
Estudiar el signo de la diferencia que figura en el primer miembro de la expresión,
equivale a estudiar el signo de la expresión que figura entre corchetes en el segundo
miembro puesto que yxT ;3 un valor despreciable para valores próximos a (x0;y0).
A los efectos de simplificar las notaciones, se define una nueva denotación, como a
continuación se detalla:
00
00
00
2
0000
2
00
;
;
;
;;2;
yxfC
yxfB
yxfA
yyxfyxyxfxyxfR
yy
xy
xx
yyxyxx
Por lo tanto:
22 2 yCyxBxAR
A
yACyxABxARASi
222 20
Si se completa el trinomio cuadrado perfecto en el numerador sumando y restando 22 yB , se arriba a una nueva expresión de R:
A
BACyyBxAR
A
yBACyyBxAR
222
2222
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El factor AC-B2
que se denotará por H(x0;y0), recibe el nombre de hessiano de f(x;y) en
f(x0;y0), y puede expresarse por medio del determinante que surge de la matriz
conformada por la derivadas parciales segundas de la función especializada en (x0;y0) :
00
´
00
´
00
´
00
´
00;;
;;;
yxfyxf
yxfyxf
CB
BAyxH
yyyx
xyxx
Téngase presente que se conserva el signo de H(x0;y0) en un entorno de (x0;y0) si las
derivadas segundas con continuas en (x0;y0) y si H(x0;y0) es distinto de cero; puesto que
H(x0;y0) es continua.
Debe tenerse presente que el signo de R sólo depende de A y de H; y pueden
presentarse las siguientes alternativas:
A1)
lativoMínimoyxfRSiA
lativoMáximoyxfRSiA
yBACyyBxAyxSiH
Re ;00
Re ;00
00;
00
00
222
00
A2)
Si H(x0;y0)<0; el signo de R depende de Δx y de Δy, por lo tanto no existe entorno de
(x0;y0) en el cual se conserve el signo de R (y por lo tanto el signo del término que
proviene de las terceras derivadas parciales). Estas variaciones de signo para los
diversos valores de los incrementos, indican que si H(x0;y0)<0, en (x0;y0) no hay
máximo relativo ni mínimo relativo; se dice que existe punto de silla o de ensilladura.
A3) Si H(x0;y0)=0; se está ante un caso dudoso, y para estudiar la existencia de
extremos habría que remitirse a los otros términos del desarrollo de Taylor, analizando
las derivadas parciales de orden superior, o bien estudiar el comportamiento de la
función en un entorno del punto.
En los ejercicios 1°) a 3°) determine los valores extremos relativos de f, si existen, y su
naturaleza.
1°) 822424, 223 yxyxyxf
Solución:
Para obtener los extremos, si existen, debemos encontrar los posibles puntos de
2 críticos; para ello debemos ver en dónde se anulan las derivadas parciales de
orden uno.
4x0x
04xx12
0x48x12y,xf 2
x
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2
1y
02y4y,xfy
Por lo tanto los pares ordenados críticos posibles son:
2
1;0P
2
1,4P 21
Ahora bien, para analizar qué tipo de situación se presenta realmente; debemos recurrir
a las derivadas de orden dos. Por lo tanto:
448x24y,xfy,xfy,xf
0y,xfy,xf
4y,xf
48x24y,xf
2
xyyyxx
yxxy
yy
xx
Analicemos qué sucede en el par
2
1,4P1 :
04484242
1,4f
2
1,4f
2
1,4f
2
xyyyxx
. Luego, en
2
1,4P1
existe un mínimo o máximo relativo. Pero si analizamos qué sucede con el signo de
yxf xx , en este par, determinaremos la naturaleza del extremo.
0y,xf2
1,4xx
Mínimo relativo en dicho par.
Y el valor que toma en dicho par es:
5,1202
1,4f
Analicemos qué sucede en el par
2
1,0P2
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04480242
1,0f
2
1,0f
2
1,0f
2
xyyyxx
. Luego, en
21,02 P
existe un punto de silla. Analizar los valores para pares cercanos a los pares críticos.
La gráfica correspondiente es:
2°)
2
,2xye
yxf
Solución:
0x0xey,xf
0y0yey,xf
xy2
y
xy2
x
Por lo tanto, el par crítico posible es 0,01 P .
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5
-1 -59,5 -20 1,5 8 2,5 -12 -32,5 -56 -79,5 -100 -114,5 -120 -113,5 -92 -52,5 8 92,5
-0,75 -59,875 -20,375 1,125 7,625 2,125 -12,375 -32,875 -56,375 -79,875 -100,375 -114,875 -120,375 -113,875 -92,375 -52,875 7,625 92,125
-0,5 -60 -20,5 1 7,5 2 -12,5 -33 -56,5 -80 -100,5 -115 -120,5 -114 -92,5 -53 7,5 92
-0,25 -59,875 -20,375 1,125 7,625 2,125 -12,375 -32,875 -56,375 -79,875 -100,375 -114,875 -120,375 -113,875 -92,375 -52,875 7,625 92,125
0 -59,5 -20 1,5 8 2,5 -12 -32,5 -56 -79,5 -100 -114,5 -120 -113,5 -92 -52,5 8 92,5
0,25 -58,875 -19,375 2,125 8,625 3,125 -11,375 -31,875 -55,375 -78,875 -99,375 -113,875 -119,375 -112,875 -91,375 -51,875 8,625 93,125
0,5 -58 -18,5 3 9,5 4 -10,5 -31 -54,5 -78 -98,5 -113 -118,5 -112 -90,5 -51 9,5 94
0,75 -56,875 -17,375 4,125 10,625 5,125 -9,375 -29,875 -53,375 -76,875 -97,375 -111,875 -117,375 -110,875 -89,375 -49,875 10,625 95,125
1 -55,5 -16 5,5 12 6,5 -8 -28,5 -52 -75,5 -96 -110,5 -116 -109,5 -88 -48,5 12 96,5
Series1
-150
-100
-50
0
50
100
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5 2
2,5 3
3,5 4
4,5 5
5,5 6
6,5
50-100
0-50
-50-0
-100--50
-150--100
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2xy2xy2xy4222
xyyyxx
xy2xy2
yxxy
xy22
yy
xy22
xx
)xye2e(eyx4y,xfy,xfy,xf
xye2ey,xfy,xf
ex2y,xf
ey2y,xf
Con lo cual 1)0,0(f)0,0(f).0,0(f2
xyyyxx
Es decir, que en )0,0(P1 existe un punto silla Analizar los valores para pares
cercanos a los pares críticos.
La gráfica correspondiente es:
1,798319863 1,532427 1,305848 1,11277 0,94824 0,808037 0,688564 0,586755 0,5 0,426072 0,363075 0,309392 0,263646 0,224664 0,191446 0,16314 0,139019
1,532427102 1,332228 1,158183 1,006876 0,875336 0,760981 0,661565 0,575137 0,5 0,434679 0,377892 0,328523 0,285605 0,248293 0,215855 0,187656 0,16314
1,305848237 1,158183 1,027217 0,911059 0,808037 0,716665 0,635625 0,563748 0,5 0,44346 0,393314 0,348838 0,309392 0,274406 0,243376 0,215855 0,191446
1,112770464 1,006876 0,911059 0,824361 0,745912 0,674929 0,610701 0,552585 0,5 0,452419 0,409365 0,370409 0,33516 0,303265 0,274406 0,248293 0,224664
0,94824044 0,875336 0,808037 0,745912 0,688564 0,635625 0,586755 0,541644 0,5 0,461558 0,426072 0,393314 0,363075 0,33516 0,309392 0,285605 0,263646
0,808037201 0,760981 0,716665 0,674929 0,635625 0,598609 0,563748 0,530918 0,5 0,470882 0,44346 0,417635 0,393314 0,370409 0,348838 0,328523 0,309392
0,688563882 0,661565 0,635625 0,610701 0,586755 0,563748 0,541644 0,520405 0,5 0,480395 0,461558 0,44346 0,426072 0,409365 0,393314 0,377892 0,363075
0,586755435 0,575137 0,563748 0,552585 0,541644 0,530918 0,520405 0,510101 0,5 0,490099 0,480395 0,470882 0,461558 0,452419 0,44346 0,434679 0,426072
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
0,426071894 0,434679 0,44346 0,452419 0,461558 0,470882 0,480395 0,490099 0,5 0,510101 0,520405 0,530918 0,541644 0,552585 0,563748 0,575137 0,586755
0,363074519 0,377892 0,393314 0,409365 0,426072 0,44346 0,461558 0,480395 0,5 0,520405 0,541644 0,563748 0,586755 0,610701 0,635625 0,661565 0,688564
0,309391696 0,328523 0,348838 0,370409 0,393314 0,417635 0,44346 0,470882 0,5 0,530918 0,563748 0,598609 0,635625 0,674929 0,716665 0,760981 0,808037
0,263646212 0,285605 0,309392 0,33516 0,363075 0,393314 0,426072 0,461558 0,5 0,541644 0,586755 0,635625 0,688564 0,745912 0,808037 0,875336 0,94824
0,224664482 0,248293 0,274406 0,303265 0,33516 0,370409 0,409365 0,452419 0,5 0,552585 0,610701 0,674929 0,745912 0,824361 0,911059 1,006876 1,11277
0,191446443 0,215855 0,243376 0,274406 0,309392 0,348838 0,393314 0,44346 0,5 0,563748 0,635625 0,716665 0,808037 0,911059 1,027217 1,158183 1,305848
0,163139897 0,187656 0,215855 0,248293 0,285605 0,328523 0,377892 0,434679 0,5 0,575137 0,661565 0,760981 0,875336 1,006876 1,158183 1,332228 1,532427
0,13901865 0,16314 0,191446 0,224664 0,263646 0,309392 0,363075 0,426072 0,5 0,586755 0,688564 0,808037 0,94824 1,11277 1,305848 1,532427 1,79832
Series1
Series6
Series11
Series16
0
0,5
1
1,5
2
1,5-2
1-1,5
0,5-1
0-0,5
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109
3°) xyx2xy4)y,x(f 22
Solución:
Puntos críticos:
2
1,0P1
y
2
1,0P1
No son ni máximos ni mínimos.
Se adjuntan gráfica con distintas visiones y tabla valores cercanos a los puntos críticos:
Series1
Series4
Series7
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
25-30
20-25
15-20
10-15
5-10
0-5
-5-0
-10--5
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110
4°) Determinar el punto del plano 523 zyx que esté más cerca del punto
3,2,1 y calcule la mínima distancia.
Solución:
El punto del plano 523 zyx que está más próximo al punto 3,2,1 es el que,
también, pertenece a la recta normal.
Para determinar la recta normal al plano debemos resolver las derivadas de primer
orden, o sea:
1
2
3
z
y
x
F
F
F
La ecuación de la recta normal está dada por:
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
-1,5
0,5
2,5
25-30
20-25
15-20
10-15
5-10
0-5
-5-0
-10--5
0 -1 -1 0 2 5 9 14 20 27
1,5 0,25 -0,25 0 1 2,75 5,25 8,5 12,5 17,25
2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9
2,25 1,25 0,5 0 -0,25 -0,25 0 0,5 1,25 2,25
1,5 1 0,5 0 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 -3
0 0,25 0,25 0 -0,5 -1,25 -2,25 -3,5 -5 -6,75
-2,25 -1 -0,25 0 -0,25 -1 -2,25 -4 -6,25 -9
-5,25 -2,75 -1 0 0,25 -0,25 -1,5 -3,5 -6,25 -9,75
-9 -5 -2 0 1 1 0 -2 -5 -9
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
111
123
000
zzyyxx
Por lo tanto:
000000
000000
z3xz3xz3z3xx1
zz
3
xx
y3x2y3x2y3y3x2x22
yy
3
xx
Con lo cual al ser 3z2y1x 000
De la primera relación surge que:
3
82832
xyyx
Y de la segunda:
3
10103
xzzx
Por lo tanto el punto de intersección de la recta normal con el plano, deberá satisfacer la
siguiente igualdad:
53
10x
3
8x22x3
De donde resulta que 14
41x , por lo que
14
33z
7
5y
Por lo tanto, la distancia mínima entre el plano y el punto 3,2,1 es la distancia
existente entre
14
33,
7
5,
14
410P y 3,2,1P .
Notas Sobre Varias Variables Reales
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Daniela Parada
112
14
1493
14
332
7
51
14
41,
222
0
PPD
5°) Hallar la mínima distancia del punto (1;2;3) al plano 2x – y + z =5
Solución:
3
6D
APLICACIONES ECONÓMICAS
6°) Un fabricante monopolista vende dos tipos de esencias. Ha analizado sus anteriores
operaciones y ha decidido que si produce x litros de esencia A e y litros de esencia B, se
pueden vender respectivamente a x4200 y a y6250 dólares cada litro. El costo
total de la fabricación de las esencias está dado por xyyxyxC 82224, dólares.
¿Cuántos litros de cada esencia debe fabricar a fin de obtener una utilidad máxima?
¿Cuál es dicha utilidad?
Solución:
Definamos las funciones que se necesitan para realizar el estudio en cuestión:
xyyxyyxxyxCyxIyxU
yyxxyxI
8222462504200,,,
62504200,
Como x es la producción de esencia A e y la producción de esencia B: 0y ,0x
Además las expresiones ( 200 – 4x ) y ( 250 – 6y) representan dinero, por lo tanto
6
250y0y6250
50x0x4200
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113
Por lo tanto, si definimos el dominio de yxU , se tiene que:
6
2500500/,, 2 yxyxyxDomU
Esta función es continua, por lo tanto se puede aplicar el teorema del valor extremo.
Si resolvemos ambas ecuaciones, es posible encontrar el par que cumple conjuntamente
con las mismas. Siendo dicho par 13;9 .
Ahora debemos analizar las derivadas parciales de orden dos:
8)y;x(Uy;xU
12y;xU
8y;xU
yxxy
yy
xx
Resultando 032)13;9(U)13;9(U)13;9(U2
xyyyxx
Por lo tanto, en el par en cuestión puede haber un mínimo o un máximo relativo. Pero
como 0)13;9(Uxx podemos afirmar que en el par (9:13) la función alcanza un
máximo relativo.
Para poder afirmar que efectivamente es un máximo, debemos ver qué sucede con los
valores funcionales en los bordes del dominio y comparar con el valor funcional en
13,9 .
227413,9 U
Analicemos qué sucede en los “bordes” del dominio de la función:
a- 241760, xxxU . Analicemos cómo es esta función.
máximounalcanzafunciónlapuntodichoEn080,xU
22x0x81760,xU
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114
19360,22 U . Pero 22741936
b- 26228,0 yyyU . Analicemos cómo es esta función.
máximounalcanzafunciónlapuntodichoEn0y12y,0U
19y0y12228y,0U
19y
216619,0 U . Pero 22742166
c- Para
6
250,xU con 50,0x y para U(50;y) con y
6
250;0 , los puntos
críticos no se encuentran en los dominios respectivos.
Por lo que concluimos que U 13;9 es máximo absoluto.
A continuación se presenta una tabla de pares funcionales y la gráfica correspondiente a
tres vistas distintas de la función a maximizar en el dominio consignado al inicio del
problema
Series1
Series8Series15
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
-3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
2000-2500
1500-2000
1000-1500
500-1000
0-500
-500-0
-1000--500
-1500--1000
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115
7°) Suponga que cuando la producción de una mercancía requiere x horas-máquina y
de y horas-persona, el costo de producción está dado por
50062, 23 yxyxyxC . Determine el número de horas máquina y de horas-
persona necesarios para producir la mercancía a un costo mínimo.
Determinemos, primero, si existen pares críticos. Para ello recurramos a obtener las
derivadas parciales y ver si existen valores para los cuales éstas toman valor nulo –
Seri
es1
Seri
es4
Seri
es7
Seri
es1
0
Seri
es1
3
Seri
es1
6
Seri
es1
9
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
-3
6
15
2000-2500
1500-2000
1000-1500
500-1000
0-500
-500-0
-1000--500
-1500--1000
Seri
es1
Seri
es3
Seri
es5
Seri
es7
Seri
es9
Seri
es1
1
Seri
es1
3
Seri
es1
5
Seri
es1
7
Seri
es1
9
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
-3
6
15
2000-2500
1500-2000
1000-1500
500-1000
0-500
-500-0
-1000--500
-1500--1000
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116
recuerde que estamos hablando de valores funcionales para los cuales la pendiente de la
recta tangente a la gráfica es nula; o sea, es paralela al eje correspondiente -.
2
y
)1(
2
2
x
x3y
0y2x6y,xC
0yx
0y6x6y,xC
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
3x0x
0x3x2
Por lo tanto:
90 yy
Luego, los pares ordenados son 9,30,0 21 PP y el dominio de la función es
0,0/,, 2 yxyxyxdomC .
Pasando al análisis de las derivadas de segundo orden, se tiene:
6
2
12
xy
yy
xx
C
C
xC
Aplicamos, ahora, el Hessiano a los pares hallados:
a-
06CCC0,0
2
xyyyxx punto de silla; descartamos este caso para
nuestro objetivo.
b-
09,3
2
xyyyxx CCC en este par puede haber máximo o mínimo relativo.
Analicemos:
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117
036
9,3xxC Se trata de un mínimo relativo
4739,3C
Por lo tanto, si la cantidad de horas-máquina es 3 y la cantidad de horas-persona es 9, se
producirá la mercancía al costo de 473 u.m. y será el costo menor de todos los posibles
valores de costos; en el entorno de dicho par.
Tabla de pares funcionales:
Gráficamente:
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-2 464 490 504 518 544 594 680 814 1008
-1 473 493 501 509 529 573 653 781 969
0 484 498 500 502 516 554 628 750 932
1 497 505 501 497 505 537 605 721 897
2 512 514 504 494 496 522 584 694 864
3 529 525 509 493 489 509 565 669 833
4 548 538 516 494 484 498 548 646 804
5 569 553 525 497 481 489 533 625 777
6 592 570 536 502 480 482 520 606 752
7 617 589 549 509 481 477 509 589 729
8 644 610 564 518 484 474 500 574 708
9 673 633 581 529 489 473 493 561 689
10 704 658 600 542 496 474 488 550 672
11 737 685 621 557 505 477 485 541 657
12 772 714 644 574 516 482 484 534 644
Series1
Series60
200
400
600
800
1000
1200
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1000-1200
800-1000
600-800
400-600
200-400
0-200
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118
8-1 Desarrollar un número positivo a en tres sumandos de manera tal que el
producto de éstos tenga el valor máximo.
8-2 Suponga a=21; obtenga 0P y el valor máximo que alcanza el producto.
8-3 Suponga a=1; obtenga 0P y el valor máximo que alcanza el producto.
Respuesta:
1-
3,
3,
30
aaaP máximo relativo y el resultado del producto es
3
3
a.
2-
3
21,
3
21,
3
210P máximo relativo y el resultado del producto es 343 .
3-
3
1,
3
1,
3
10P máximo relativo y el resultado del producto es
3
3
1
9- Si las funciones de demanda para x e y son y540qx336p y la
función de costo conjunto es 22 32, yxyxyxC , determinar las cantidades y
precios que maximicen las utilidades para el monopolista. Evaluar la utilidad
empresarial máxima.
Respuesta:
1002,4U2,4P0 : máximo absoluto. No olvide evaluar qué sucede en el
contorno del dominio para poder afirmar que es un extremo absoluto.
10- Suponiendo que la función de producción es 2244526516 yxz , que
los precios unitarios de los insumos yx, (en una situación de competencia pura) son 16
y 8 respectivamente; y que el precio unitario del satisfactor producido es 64, determinar
la utilidad máxima.
Respuesta:
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119
1574
15,4;
4
15,40
UP
En los ejercicios 11 a 14, localizar los puntos críticos – si existen – y determinar su
naturaleza en caso de su existencia.
11- zzxzyxyxzyxf 24222,, 222
Obtengamos las tríadas donde las derivadas de orden uno se anulan:
0282,,
042,,
0222,,
zxzyxf
yxzyxf
zyxzyxf
z
y
x
Resolviendo el sistema se llega a
2
1,
2
1,10P .
Obtengamos las segundas derivadas:
2,,
0,,
2,,
8,,
4,,
2,,
zyxf
zyxf
zyxf
zyxf
zyxf
zyxf
xz
zy
yx
zz
yy
xx
Se tiene, entonces, el Hessiano:
802
042
222
H
Ahora bien, si calculamos los determinantes de las siguientes matrices:
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120
16
802
042
222
442
22
22
3
2
1
H
H
H
Vemos que todos ellos son mayores a cero, condición que implica la presencia de un
mínimo. En el caso de que alguno de ellos fuera nulo, estaríamos ante una situación de
carencia de información y por lo tanto se debería recurrir al estudio en la vecindad del
punto crítico. En el caso de que alguno de ellos fuera negativo, estaríamos ante el caso
de un máximo.
El valor mínimo que se obtiene, entonces, es:
2
1
2
1,
2
1,1
f
12- 22 524,, zxzyxyxzyxf
Respuesta:
20
1;
4
1;
2
30P . No se puede sacar una conclusión respecto al punto crítico, se debe
realizar un análisis en la vecindad. 152H,16H,0H 321 .
13- 1042,, 222 zxzyxyxzyxf
Respuesta:
0;0;00 P es un mínimo relativo. 54,31,4 321 HHH .
Notas Sobre Varias Variables Reales
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121
14- 222 22216,, zyxzyxf
Respuesta:
0;0;00 P es un máximo relativo. 64,16,4 321 HHH .
15- Una empresa fabrica tres productos rivales. Las funciones de demanda de cada
uno de los productos son
3213
3212
3211
p2pp5000q
pp3p6000q
ppp24000q
,
donde iq es la cantidad demandada del producto i , en un año, y ip su precio.
Determine si es posible, los precios que producen el ingreso máximo (asegúrese que se
trate de un máximo). ¿Qué cantidades deberían producirse a dichos precios? En tal caso,
¿cuál es el ingreso máximo total?
Respuesta:
3
22500;
3
299990P , 2500,3000,2000Q , 690.166.65
MÁXI
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Dentro de la problemática de optimización, uno de los métodos que abarca, es el de
los multiplicadores de Lagrange, el cual es un procedimiento para encontrar los
máximos y/o mínimos de funciones de varias variables sujetas a condiciones específicas
o restricciones. Las restricciones son relaciones de igualdad; con las mismas el método
reformula el problema sobre n variables que está restringido por las k restricciones, a
uno sin restricciones de n + k variables. Estas k nuevas variables escalares
desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. De
acuerdo al método, los puntos donde la función tiene un extremo condicionado por las k
restricciones, se encuentran entre los puntos de una nueva función sin restricciones y
Notas Sobre Varias Variables Reales
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122
para los cuales todas las derivadas parciales de primer orden se anulan (puntos
estacionarios).
Supóngase que se va a optimizar la función:
nxxxf ,....,, 21
y que la misma está sometida a las siguientes restricciones:
nknn xxxgxxxgxxxg ,....,,.;.........,....,,;,....,, 21212211
Se genera la función lagrangiana nxxxF ,....,, 21 , como una combinación lineal a
partir de todas aquéllas:
k
j
njjnn xxgxxxfxxxF1
12121 ,....,....,,,....,,
Donde los kii 1, son los multiplicadores de Lagrange, incógnitas independientes,
cada uno de ellos, de las n variables.
Para determinar todas las incógnitas, se procede a derivar parcialmente la función
lagrangiana, con respecto a todas las incógnitas, e igualarlas a cero:
kjxxggfF
nix
g
x
f
x
F
nj
k
m j
mm
jj
k
j i
j
j
ii
1,0,....,
1,0
1
1
1
Y se resuelve el sistema obtenido. Obsérvese, que
kjxxgF
nj
j
1,0,....,1
En algunas situaciones, los valores de los multiplicadores de Lagrange, no son de
interés y no se determinan, o sea son multiplicadores indeterminados; el método analiza
entre los posibles valores máximos o mínimos, con el objetivo de elegir sólo aquellos
que satisfacen las restricciones.
Cuando el hessiano es menor o igual a cero, la prueba falla.
16- yxyxyxf 63, 2 sujeta a 42 yx .
Si armamos la función Lagrangiana correspondiente, nuestro problema se convertirá en
una situación operativa conocida.
Notas Sobre Varias Variables Reales
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123
4263,, 2 yxyxyxyxL donde es el multiplicador de Lagrange
indeterminado; si aseguramos que 42 yx cualquier valor de dará
yxfyxL ,,, .
Si obtenemos las derivadas parciales se tiene:
042,,
063,,
032,,
yxyxL
xyxL
yxyxL
y
x
Automáticamente garantiza el cumplimiento de la condición subsidiaria.
El problema de optimizar una función sujeta a una restricción, desde el punto de vista
matemático, produce el efecto de reducir el dominio y por consiguiente, el rango de la
función objetivo.
Con este sistema que hemos generado, debemos encontrar si es que existen, las
soluciones. Si tomamos la primera ecuación y restamos la segunda se obtiene:
Si reemplazamos en la tercera condición tendremos:
9y042y6y3
Si volvemos a (1):
33x
Y para obtener el valor de podemos tomar la segunda ecuación del sistema inicial:
163063 yxyx
Notas Sobre Varias Variables Reales
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124
93063336x3
Ahora bien, debemos analizar si estamos ante un máximo o ante un mínimo relativo.
Para ello, obtenemos las derivadas de segundo orden de la función, las derivadas
parciales de la función de restricción y armamos el hessiano:
3,,
0,,
2,,
yxL
yxL
yxL
xy
yy
xx
Nótese que las derivadas parciales de cyxg , son constantes e igual a uno en ambos
casos. Entonces:
04
031
321
110
LLL
LLL
LLL
H
yyyxy
xyxxx
yx
Lo que nos indica que existe un máximo relativo restringido en el par 9,33 y que
dicho valor está dado por:
19269,33 f
La primera ventaja del método es que nos proporciona el valor del multiplicador. Además,
en estos casos, es una medida de sensibilidad de la función L respecto a un cambio en la
restricción: c
L
Es, entonces, la medida del efecto de una variación del parámetro c de la restricción sobre
el valor óptimo de la función objetivo: cyxgyxfyxL ,,,,
Además, es el equivalente a un peso sombra en programación lineal. Es decir, es el
grado en que cambiará el valor óptimo de la función objetivo si el miembro derecho de la
restricción aumentara en una unidad. Representa, entonces, el valor económico de contar
con una unidad más.
Notas Sobre Varias Variables Reales
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125
17- 22 2203, yxyxyxf sujeta a 100 yx .
Sea 1002023,, 22 yxxyyxyxL donde es el multiplicador de
Lagrange indeterminado si aseguramos que 100 yx .
Si obtenemos las derivadas parciales se tiene:
0100,,
0204,,
0206,,
yxyxL
xyyxL
yxyxL
y
x
Automáticamente garantiza el cumplimiento de la condición subsidiaria.
De las dos primeras condiciones – restando la primera a la segunda – obtenemos que:
y13
12x0y24x26
Si esta condición la expresamos en la tercera ecuación:
52y100yy13
120
Por lo tanto, 48x .
Queda, entonces, el punto crítico 52,48P .
Si obtenemos el hessiando de acuerdo a las pautas ya señaladas:
050
4201
2061
110
yyyxy
xyxxx
yx
LLL
LLL
LLL
H
Se tiene un máximo relativo restringido en 52,48P y 3760052,48 f es el valor
máximo que toma la función con la restricción 100yx
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126
APLICACIONES ECONÓMICAS:
18- Una compañía ha recibido una orden de 200 unidades para uno de sus productos.
El pedido será efectivizado con la producción combinada de sus dos plantas. La función
conjunta de costo de fabricación de este producto es 5002, 2
221
2
121 qqqqqqC
donde 21, qq son las cantidades producidas por las plantas 1 y 2 respectivamente. Si el
objetivo es minimizar los costos totales sujeto a la condición de suministrar las 200
unidades de la orden, ¿qué cantidades deberá producir cada planta?
Se quiere minimizar la función de costo dada sujeta a la condición de suministrar 200
unidades de su producto en total. Por lo tanto, la relación a plantear es: 20021 qq .
La función Lagrangiana será : 2005002,, 21
2
221
2
121 qqqqqqqqL .
Entonces:
0200
02
04
21
21
21
2
1
qqL
qqL
qqL
q
q
De las dos primeras condiciones – restando la primera a la segunda – obtenemos que:
1221 q3q0qq3
Si esta condición la expresamos en la tercera ecuación:
50q200q3q 121
Por lo tanto, 1502 q , y 350 . Este valor es la medida del efecto de una variación
del parámetro c de la restricción sobre el valor óptimo de la función objetivo. Es decir,
si la cantidad de unidades pedidas variara en una unidad, el valor óptimo de la función
de costo se modificaría en 350 unidades monetarias.
Notas Sobre Varias Variables Reales
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127
Por lo tanto el punto crítico es 150,50P .
Para analizar si éste es un valor mínimo, debemos armar el hessiano correspondiente:
04
211
141
110
LLL
LLL
LLL
H
yyyxy
xyxxx
yx
.
Efectivamente, en 150,50 el costo alcanza un mínimo y es de 35500150,50C
Entonces, para producir las 200 unidades conjuntamente en condiciones que el costo sea
mínimo – en el entorno correspondiente – la planta 1 deberá producir 50 unidades y la
planta 2, 150 unidades y el costo de la operación sería el mínimo e implicará 35500 u.m.
19- Una fábrica elabora dos clases de productos. La función conjunta del costo es
xyyxyxC 22 2,
donde C es el costo de producción semanal en miles de pesos, yx e son las cantidades
producidas por semana de cada producto. Si la producción combinada es de 16 unidades
por semana, hallar las cantidades semanales de cada producto que dan por resultado el
costo total mínimo.
Generamos las función Lagrangiana: 162,, 22 yxxyyxyxL . Luego:
016,,
04,,
02,,
yxyxL
xyyxL
yxyxL
y
x
De las dos primeras condiciones – restando la primera a la segunda – obtenemos que:
x5
3y0y5x3
Si esta condición la reemplazamos en la tercera ecuación:
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128
10x16xx5
3
Por lo tanto, 146y .
Queda, entonces, el punto crítico 6,10P .
Si obtenemos el hessiano;
08
411
121
110
LLL
LLL
LLL
H
yyyxy
xyxxx
yx
Entonces 6,10P genera un valor mínimo relativo de la función costo en cuestión,
sujeta a la restricción de producir 16 unidades semanales en forma combinada. El costo
de dicha producción es:
1126,10 C
Además hemos visto que si se aumentara a 17 unidades la producción semanal
combinada, el costo aumentaría aproximadamente en 14 u.m.
20- Una empresa necesita de 2 insumos básicos en su línea de producción de
zapatos. Para ser competitiva en el mercado debe asegurarse de minimizar los
desperdicios de los insumos. Si su función de producción en la línea de productos es
229, yxyxyxfPe
Y la de su principal competidor es xxy3x9y,xgPc
Bajo la restricción en el uso de los insumos 90 yx ¿cuál de las dos empresas
resulta ser más competitiva?
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129
Si armamos la función lagrangiana para la empresa propia, se tiene
909,, 22 yxxyyxyxL .
Luego:
090,,
02,,
018,,
yxyxL
yxyxL
yxyxL
y
x
Si resolvemos el sistema convenientemente llegamos a 85;5Pe con 175
Si obtenemos el hessiano:
mínP
LLL
LLL
LLL
H e
yyyxy
xyxxx
yx
:018
Analicemos, qué sucede para la empresa de la competencia.
90yxyxy3x9,y,xL
Luego:
090yx,y,xL
01x3,y,xL
0y39,y,xL
y
x
Si resolvemos el sistema convenientemente llegamos a
3
131;
3
139Pc con 140
Si obtenemos el hessiano:
06
LLL
LLL
LLL
H
yyyxy
xyxxx
yx
Por lo tanto en el punto en cuestión obtenemos un máximo. Resulta, entonces, más
competitiva la empresa de la competencia.
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130
21- Obtener los máximos y mínimos (si los hubiera) de la función
22312, xyxyyxf sujeta a 16 yx . Explique qué mide el valor del
coeficiente .
Respuesta:
7,90 P es un máximo restringido con 66 y 5287,9 f
22- Bajo cierta combinación de tierra y capital, un país construye su isocuanta. Si la
forma funcional de la misma es 22 162, kttkktf con una restricción
presupuestaria o isocoste de 10 tk . ¿Cuál es la combinación de tierra y capital que
permite al país llegar a su mayor curva de indiferencia social?
23- Maximizar 2225, xyyxf sujeta a yx 24 .
Respuesta:
5
4,
5
80P es un máximo relativo restringido con
5
8 y 8,210 Pf .
ELASTICIDAD DE SUSTITUCIÓN DE ALLEN-UZAWA:
Dada una función de utilidad nxxxU ;.....; 21 ; un ingreso M donde
n
i
ii xpM1
y el
problema es maximizar la utilidad sujeta al ingreso, que como se ha visto el método
correspondiente a tal objetivo es el de los multiplicadores de Lagrange.
La solución del sistema que genera el método de los multiplicadores viene dada por:
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131
);;....;
1 );;....;
21
21
MPPP
niMPPPXx
n
nii
Donde las n primeras ecuaciones denotan funciones de demanda. Cuando en la i-ésima
función de demanda se fijan todos los precios de las mercancías excluyendo al de la i-
ésima mercancía, y asimismo el ingreso del consumidor (M)), se obtiene la curva de
demanda de la i-ésima mercancía. En el caso de fijar todos los precios y sólo varía el
ingreso, se obtiene la curva de Engel.
Las elasticidades de la demanda, son medidas de la sensibilidad de la cantidad demanda
de una mercancía a las variaciones de los precios y del ingreso.
Se define la elasticidad-precio de la demanda del producto i-ésimo con respecto al
precio del producto j-ésimo (pj) como:
j
i
i
j
j
iij
p
X
x
p
p
X
ln
ln*
Cuando i es distitnto de j, se está definiendo la elasticidad precio cruzada, caso contrario
se está definiendo la elasticidad precio directa.
Se define la elasticidad-ingreso de la demanda del producto i-ésimo como:
M
X
x
M
M
X i
i
ii
ln
ln*
Un requisito para la consistencia de la teoría de la utilidad es que las funciones de
demanda sean todas ellas, homogéneas de grado cero.
Dividiendo ambos términos de la igualdad que resulta de aplicar el teorema de Euler a
cada una de las funciones de demanda por la demanda de la mercancía correspondiente,
se llega a:
nii
n
j
ij
1;01
La suma de todas las elasticidades precio con la elasticidad ingreso de un bien, debe ser
nula para cada bien.
La participación del bien i en el gasto total del consumidor, viene dada por:
niM
px iii 1
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132
La denominada elasticidad de Hicks-Allen o elasticidad de la curva de demanda
compensada, se define como:
ijijij *
Las elasticidades de Hicks-Allen, son una buena medida de los efectos que producen los
cambios en los precios cuando el consumidor es compensado mediante un cambio en el
ingreso que lo devuelva al mismo nivel de utilidad anterior a la variación del precio.
La elasticidad de sustitución de Allen-Uzawa se define como:
j
ij
ij
*
La elasticidad de sustitución de Allen-Uzawa, es una medida de sustitución entre dos
bienes, que no sólo no depende de las unidades escogidas, propiedad que comparte con
cualquier otra elasticidad, sino que tampoco depende del orden en que sean
considerados los bienes, como ocurre con la elasticidad de Hicks-Allen. En el caso
bidimensional, es la que se conoce simplemente como elasticidad de sustitución.
Independencia Del Orden De Consideración De Los Bienes:
ji
i
ji
j
ij
ij
**
i
i
jij
i
i
i
jj
i
j
j
i
i
i
j
i
j
j
i
i
j
ij
j
ijij
j
ij
ij
x
M
M
X
xx
M
p
X
x
M
M
X
M
px
x
p
p
X
x
M
M
Xx
p
p
X
*
*
**
Se define derivada del producto i-ésimo compensado con respecto al precio del
producto j-ésimo, como:
M
Xx
p
X
p
X ij
j
i
j
C
i
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133
Ahora bien:
ij
i
i
ijj
i
jji
jij
jji
j
j
i
jji
ji
j
j
i
jji
j
j
C
i
x
M
M
X
xx
M
p
X
px
M
x
p
M
Xx
px
M
x
p
p
X
px
M
x
p
M
Xx
p
X
px
M
x
p
p
X
******
****
Asímismo vale que:
i
C
j
j
C
i
p
X
p
X
Con lo cual resulta que:
ji
iij
i
i
C
j
iji
C
j
jji
j
i
C
j
jji
j
j
C
iij
px
M
x
p
p
X
xx
M
p
X
px
M
x
p
p
X
px
M
x
p
p
X
*******
ELASTICIDAD DE SUSTITUCIÓN DE MORISHIMA
Algunos autores plantean que la elasticidad de sustitución de Allen es una
generalización matemática de una medida de sustitución que es razonable para dos
inputs, pero que pierde su significado económico en un contexto de más de dos inputs;
en por ello que recomiendan el uso de la elasticidad de sustitución de Morishima, que se
puede definir como:
jiijn
k
kk
jj
ij
xf
xfM
1
Donde f es una función de producción.
La elasticidad de sustitución de Morishima, al contrario que la de Allen, no es simétrica,
es decir, Mij Mji. Asimismo, dos factores complementarios según la elasticidad de
Allen pueden ser sustitutivos según la de Morishima.
Se puede verificar que la elasticidad de sustitución de la función de producción de
Arrow (CES) es:
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134
1
1(1)
O sea es constante, cuya magnitud depende de ρ; y si se tiene presente que si este
parámetro tiende a cero la función coincide con la función de producción de Cobb-
Douglas, se puede entonces afirmar que la elasticidad de sustitución de la misma es
uno.
En el caso que ρ, crezca ilimitadamente; la función se transforma en una de
proporciones fijas, por lo que no hay posibilidad de sustitución entre los factores; se
puede concluir que se combinan como complementos perfectos y las isocuantas forman
ángulos rectos.
Para ρ positivo, situación no común, existe sustitución entre factores, y para el caso de
negatividad de ρ, situación más común, existe sustitución entre factores, siendo ésta
perfecta cuando ρ tiende a -1.
Para verificar la igualdad presentada anteriormente en (1), se analizará el problema de
hallar la combinación de inputs de mínimo costo para la producción de un nivel
específico de output 0Q , que represente, por ejemplo, un pedido especial de un cliente.
Dada una función de producción diferenciable con dos inputs variables, Q = Q(x;y) ,
donde 0Q,Q yx y suponiendo que los precios de los dos inputs ( yx PP y ) son
exógenos, se desea minimizar el costo C(x;y)= yx yPxP sujeto a la restricción
)y;x(QQ0
Con lo cual la función Lagrangiana resulta :
L 0;;; QyxQyPxPyx yx
El par que minimiza el costo deberá satisfacer las siguientes igualdades:
0;;;
0;;
0;;
0
QyxQyxL
QPyxL
QPyxL
yyy
xxx
De las dos primeras ecuaciones se deduce que
y
y
x
x
Q
P
Q
P
O bien que
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135
y
x
y
x
Q
Q
P
P
Obsérvese que la relacióny
x
P
P
representa el valor opuesto de la pendiente de una curva
de isocosto y que la relación y
x
Q
Q
representa el valor opuesto de la pendiente de la curva
isocuanta (Q=Q0)
Teniéndose en cuenta los ejercicios 20°c) y 28°) de la unidad 3; para satisfacer la
condición de mínimo costo:
K
L
P
P
K
KLQL
KLQ
;
;
PL: precio del trabajo; PK: precio del servicio capital.
1
111
11
1
K
L
K
L
K
L
P
P
L
K
P
P
L
K
P
P
L
K
Si se toma
L
Kcomo una función de
K
L
P
P, las funciones marginal y promedio asociadas
son:
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136
11
1
1
1
11
11
1
1
1
1
K
L
K
L
K
L
K
L
P
P
P
PL
K
P
P
P
Pd
L
Kd
Por lo tanto la elasticidad de sustitución es:
1
1
1
1
1
11
1
1
1
11
11
1
K
L
K
L
K
L
K
L
P
P
P
P
P
PL
K
P
Pd
L
Kd
CONDICIONES DE KUHN-TUCKER
El método de los multiplicadores de Lagrange puede modifcarse para determinar
óptimos de una función de dos variables sujeta a un conjunto de restricciones de
desigualdad, algunas de las cuales pueden ser satisfechas como igualdades. Las
condiciones necesarias, para que una solución sea óptima en un problema sometido a
restricciones de desigualdad se conocen como las condiciones de Kuhn-Tucker.
Un punto 21, xx es máximo local de
21, xxf
cuando:
0, 21 xxg
Solamente si existe un valor no negativo de λ
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137
0;
,0;
,21,0
/0
21
21
xxg
xxg
ix
g
x
f
Si
ii
Y son suficientes, si 21, xxf es cóncava hacia arriba (o sea en una región un segmento
de recta trazado por dos puntos cualesquiera de la superficie no queda por debajo de la
misma, se debe cumplir:
10 ;;11;1 221,2121 tconyxtfyxfttyyttxxtf ) y
211 , xxg es cóncava hacia arriba.
Como un punto máximo de 21, xxf es un punto mínimo de 21, xxf , este resultado
es asimismo aplicable para minimizar un función cóncava hacia arriba sujeta a una
restricción también cóncava hacia arriba. Si 0, 21 xxg , entonces dicha función debe
ser cóncava hacia abajo
Un polinomio de grado dos, de la forma:
FEyDxCyBxyAxyxf 22,
Es cóncavo hacia arriba si 4AC-B2>0 y A>0, C>0
, cóncavo hacia abajo si 4AC-B
2>0 y
A<0, y/o C<0 y no es cóncavo hacia arriba ni hacia abajo si 4AC-B
2<0
Las condiciones de Kuhn-Tucker, puede generalizarse para más de una restricción de
desigualdad.
En los ejercicios 24 a 25, emplear las condiciones de Kuhn-Tucker.
24- Determinar el mínimo de xyy6x5y,xf 22 sujeta a 242 yx .
En primer lugar se analiza por el método de los multiplicadores de Lagrange si la
función objetivo sujeta a la restricción de igualdad 242 yx se minimiza para algún
par yx, y para 0 . Pues, de ser así, este par es el mínimo para la restricción de la
desigualdad. Se deja al lector la aplicación del método de los multiplicadores de
Lagrange.
Luego, como efectivamente se dan las condiciones citadas es posible aplicar la
condiciones de Kuhn-Tucker para el análisis.
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Sea 242, yxyxg :
024y2x0y,xg
02xy120y
g
y
f
0yx100x
g
x
f
Si 0 , de la primer ecuación: yx100yx10 . De la segunda ecuación
resulta 001012 xxx . Con lo cual si x = 0 e y = 0 , 0242 yx no se
satisface. Es decir, no cumple con las condiciones de Kuhn-Tucker.
Ahora bien,
si: y224x024y2x . Reemplazando en la primera condición:
y212400y212400yy22410
Reemplazando en la segunda ecuación, obtenemos:
9y0504y560y212402y224y12
Con lo cual resulta x = 6 y 51
Y como realmente 9,6 es un mínimo sujeto a la igualdad en la restricción y, además
como 0 , entonces yxf , se minimiza en el punto 9,6 .
25- Determinar el máximo de 22 312, yxxyyxf sujeta a 16 yx .
En primer lugar se analiza por el método de los multiplicadores de Lagrange si la
función objetivo sujeta a la restricción de igualdad se maximiza para algún par yx, y
para 0 . Pues, de ser así, este par es el máximo para la restricción de la desigualdad.
Como estas condiciones se cumplen, es posible aplicar la condiciones de Kuhn-Tucker
para el análisis.
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Sea 016, yxyxg :
0160,
01260
01220
yxyxg
xyy
g
y
f
yxx
g
x
f
Si 0 :
Si yxyx 160162 , resolviendo el sistema, se llega a que 7y9x e
Veamos qué sucede, entonces, en los dos pares hallados con el valor de la función:
00,0
5287,9
f
f
Por lo tanto, yxf , se maximiza en el punto 7,9 .
26- Variante del ejercicio 18. Una compañía ha recibido una orden de 200 unidades
para uno de sus productos. El pedido será efectivizado con la producción combinada de
sus dos plantas. La función conjunta de costo de fabricación de este producto es
5002, 2
221
2
121 qqqqqqC
donde 21, qq son las cantidades producidas por las plantas 1 y 2 respectivamente. Si el
objetivo es minimizar los costos totales sujeto a la condición de suministrar por lo
menos las 200 unidades de la orden, ¿qué cantidades deberá producir cada planta?
Respuesta:
0y0x
0yy6120x12y6
y6x0y12x2
e
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140
El par 150,50 con 0350 es, efectivamente, el que satisface la condición a un
costo mínimo.
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