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UNIVERSIDAD NACIONAL“PEDRO RUIZ GALLO”
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICASY MATEMÁTICAS
PRACTICA
CURSO : ANALISIS MATEMATICO III
DOCENTE : SIFUENTES JUSTINIANO NELSON
TEMA : INTEGRALES DE SUPERFICIES
ALUMNO : MAYANGA OROZCO GEYNER
CODIGO : 132438-D
Lambayeque, diciembre 2015
Integrales de superficies
1.Introducción: los pasos preliminares de esta integral son similares a combinaciones de los pasos que llevaron a la integral de línea, con respecto a la longitud de arco, y los pasos que condujeron a la integral
doble. Sea w=f (x , y , z) una función definida en una región del espacio tridimensional que contiene una superficie S , la cual es la grafica de una función z=g(x , y).sea R la proyección de la superficie sobre el plano xy ya sea de tipo I o de tipo II.
*Divida la superficie S en n parches Skcon áreas ΔSk que corresponda a una particiónP de R en n rectángulos Rk con áreas Δ Ak.
*Sea ¿ p∨¿ la norma de la partición o de la longitud de la diagonal mas larga de Rk
*Elija un punto muestra ¿) sobre cada parche de Sk como se ilustra en la figura.
*forme la suma
∑k=1
n
f (xk ´ , yk ´ , zk ´ )Δ SK
2. Definición: Sea f una función de tres variables x , y , z definida en una región del espacio que contiene a una superficie S .Entonces la integral de superficie def sobre Ses.
∫∫S
❑
f ( x , y , z )dS=lim|⃗p|0
∑k=1
n
f (xk ´ , yk ´ , zk ´ ) ΔSK …..(1)
* Método de evaluación: Recuerde que si z=g(x , y) es la ecuación de una superficie S, entonces la diferencial del área de superficie es
ds=√1+¿¿
De tal modo que si f , g , gx , g y sin continuas en una región del espacio tridimensional que contiene a S, podemos evaluar en (1) por medio de una integral doble:
∫∫S
❑
f ( x , y , z )dS=¿∫∫R
❑
f (x , y , g ( x , y ) )√1+¿¿¿¿¿
Advierta que cuando f ( x , y , z )=1, en (1) se reduce la formula para el área de la superficie en (2) de esta forma:
∫∫S
❑
dS= lim¿ p∨⃗�0
∑k=1
n
Δ SK=A (S )
*Proyección de S en otros planos: Si y=g (x , z) es la ecuación de una superficie S que se proyecta sobre la región R del plano xy , entonces la integral definida de superficie de f sobre S esta dada por:
∫∫S
❑
f ( x , y , z )dS=¿∫∫R
❑
f (x ,g ( x , z ) , z )√1+¿¿¿¿¿
De manera similar si x=g( y , z) es la ecuación de una superficie S que se proyecta sobre el plano yz , entonces el análogo de (3) es:
∫∫S
❑
f ( x , y , z )dS=¿∫∫R
❑
f (x ,g ( y , z ) , z )√1+¿¿¿¿¿
*Masa de una superficie: suponga que p(x , y , z) representa la densidad de una superficie S en el punto ( x , y , z ), o la masa por unidad de área de superficie .Entonces la masa m de la superficie es:
m=∫∫S
❑
p ( x , y , z)dS……(5)
Ejemplo:
Determine la masa de la superficie del paraboloide z=1+x2+ y2 en el primer octante para 1≤z ≤5 si la densidad en el punto P sobre la superficie es directamente proporcional a la distancia desde el plano xy.
Solución: La superficie en cuestión y su proyección sobre el plano xy se muestra en la figura:
Ahora bien, puesto que p ( x , y , z )=kz ,g ( x , y )=1+x2+ y2 , gx=2 x , gy=2 y, las formulas (5) y (2) producen
m=∫∫S
❑
kzdS=k∫∫R
❑
(1+x2+ y2)√1+4 x2+4 y2dA
Cambiando a coordenadas polares, obtenemos
m=k∫0
π /2
∫0
2
(1+r2)√1+4 r2rdrdθ
m=k∫0
π2
∫0
2
[r (1+4 r2 )¿¿ 12+¿¿r3(1+4 r2)1 /2]drdθ ¿¿¿
m=k∫0
π2
¿ 112
(1+4 r2 )32+ 112
r2(1+4 r 2)3 /2− 1120
(1+4 r 2)3 /2 ¿02dθ
m=12kπ ¿
m=30.16k
*Superficies paramétricas: Si S se define paramétricamente mediante la función vectorial
r (u , v )=x (u , v )i+ y (u , v ) j+z (u , v )k ,
Donde (u , v ) es el dominio D del parámetro del plano uv y f (x . y . z ) es continua sobre S, tenemos el siguiente resultado.
Sea S una superficie parametrica suave definida por la ecuación vectorial
r (u ,v )=x (u , v ) i+ y (u , v ) j+z (u , v )k ,
Donde (u , v ) varía sobre la región R del parámetro en el plano (u , v ), y sea f (x . y . z ) continúa sobre S.Entonces.
∫∫S
❑
f (x , y , z)dS=∫∫R
❑
f (x (u , v ) , y (u , v ) , z (u , v ) )|drdu x drdv|dA…..(6)
Ejemplo:
Evalué la integral de superficie ∫∫S
❑
√1+x2+ y2dS donde S es la superficie
definida por la función vectorial r (u ,v )=ucosv i+ ysenv j+v k , donde 0≤u≤2 , 0≤u≤ 4π
Solución: la grafica de r (u , v) que se muestra en la figura: recibe el nombre de helicoide circular.
La frontera de un helicoide es una hélice circular.
Al sustituir x=ucosv y y=usenv en el integrando y simplificando, obtenemos:
√1+x2+ y2=√1+u2 cos v2+u2 senv2=√1+u2
Luego, |drdu x drdv|=
i j kcosv senv 0
−usenv ucosv 1=senv i−cosv j+uk
|drdu x drdv|=√sen2 v+cos2v+u2=√1+u2
La integral dada se convierte en:
∫∫S
❑
√1+x2+ y2dS=∫∫S
❑
(√1+u2)2dA
¿∫0
4 π
∫0
2
(1+u2¿¿)dudv¿¿
¿ 143 ∫
0
4π
dv
¿563
π
*integrales de campos vectoriales: Si
F ( x , y , z )=P ( x , y , z ) i+Q ( x , y , z ) j+R (x , y , z ) k
Es el campo de vectoriales de un fluido, entonces, como se indica en la figura:
El volumen del fluido que fluye a través de un elemento de aérea de superficie ΔS por unidad de tiempo se aproxima por medio de
(altura )−(area de la base )=(com pnF ) ΔS=(F .n)ΔS
Donde n es una norma unitaria a la superficie .El volumen total del fluido que pasa a traces de S por unidad de tiempo de recibe el nombre de flujo de F a través de S y esta dado por:
flujo=∬S
❑
(F .n¿)ds……(7)¿
Ejemplo:
Considere que F ( x , y , z )=z j+z k representa el flujo de un líquido. Determine el flujo de F a través de la superficie de S dada por la parte del plano z=6−3 x−2 y en el primer octante orientado hacia arriba.
Solución: El campo vectorial y la superficie se ilustran en la figura:
Definiendo el plano por h ( x , y , z )=3 x+2 y+z−6=0 , vemos que la norma unitaria con componente k positiva es
n=∇h
‖∇h‖= 3
√14i+ 2
√14j+ 1
√14k
Como F .n= 3 z√14 , tenemos
flujo=∬S
❑
(F .n¿)ds= 1√14∬S
❑
3 zds¿
Al emplear la proyección Rde la superficie sobre el plano xy que se muestra en la figura, la ultima integral puede escribirse
flujo=1
√14∬R❑
3 (6−3x−2 y )(√14 ds¿)¿
¿3∫0
2
∫0
3−3x/2
86−3 x−2 y¿dydx ¿
¿18
3. bibliografía:
*calculo 2 de varias variables.
Autores: Ron Larson-Bruce H. Edwards.
Edición: novena edición.
Editorial: McGraw Hill.
*cálculo de varias variables.
Autor: Dennis G. Zill.
Edición: cuarta edición.
Editorial: McGraw Hill.
*Análisis Matemático III
Autor: Eduardo Espinoza Ramos
Edición: primera edición.
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