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En este docupps Se ejemplifican las operaciones básicas con números complejos.
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Números Complejos
Números Imaginarios
Si b es un número real , entonces es un número imaginario puro teniendo:
Donde:
Definiéndose i como la unidad imaginaria.
Al número se le denomina forma normal (o estándar) de un número imaginario puro.
0≥b
12 −=i
bibbb =−=−=− )1()1(
bi
1−=i
b−
Potencias de i
Las potencias básicas de i son:
Cualquier potencia de i puede reducirse a una de las cuatro potencias básicas, por ejemplo:
12 −=iiiiii −=−== )1(23
iiiii === )1(45
1)1)(1(224 =−−== iii
iiiiiii −=−== ))(1)(1)(1(344415
Multiplicación de radicales
Si a y b son números reales, entonces
si y
Si a < 0 o b > 0 ( o ambos a y b son negativos), es necesario convertir el radical a la forma normal de un numero imaginario puro antes de efectuar la multiplicación.
Por ejemplo:
abba = 0≥a 0≥b
6)3)(1(2)3(2)32(3)1)(3(4)1(3123 22 −=−===−−=−− iii
10421042)14)(7(56143)(7)(52()143(7)(52( 33 iiiiii −====−−−
Números Complejos
Si se suma un número real y un número imaginario se obtiene un número complejo.
Un número complejo es de la forma a + bi donde a y b son números reales:
Si a = 0 se tiene un número (bi) imaginario Si b =0 Se tiene un número real (a)
La forma a + bi se le denomina forma rectangular de un numero complejo.
La parte real del número complejo es a y la parte imaginaria es b.
Si a + bi y c + di son números complejos, entonces a + bi = c + di si y solo si a =c y b = dEjemplo:Hallar los valores de x y y en la expresión
4 + 3i =7i + x + 2 + yiReordenando se tiene: x + yi =4 + 3i – (2 + 7i)
x + yi = 2 - 4i Por lo tanto, x = 2 y y = -4 , ya que las partes reales
e imaginarias deben ser iguales.
Igualdad de Números Complejos
Conjugado de un Número Complejo
El conjugado de un número complejo a + bi es el número complejo a – bi
Ejemplos
El conjugado de 3 + 4i es 3 – 4i
El conjugado de 5 – 2i es 5 + 2i
El conjugado de -7i es 7i, porque – 7i = 0 – 7i
El conjugado de 15 es 15 porque 15 = 15 + 0i
OperacionesOperación Definición Descripción
Adición (a + bi)+ (c + di)=(a + c)+ (b + d)i Se suman las partes reales y las imaginarias respectivamente
Sustracción (a + bi) - (c + di)=(a - c) + (b - d)i Se restan las partes reales y las imaginarias respectivamente.
Multiplicación (a + bi)(c + di)=(ac - bd)+ (ad + bc)i
Multiplicar números complejos como binomios y simplificar
División Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
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)()(
dc
iadbcbdac
dic
dic
dic
bia
dic
bia
+−++=
−−
++=
++
Ejemplos.
a)
b)
c)
Operaciones
iii 51)2()43(
)12()163(
−=+−−=−+−−−
iii
iiiii
)53()53()1(5533
5533)11)(53()11)(53( 2
−++=−−−+
=−−+=+−=−+−−
236
)1(21)1(42
41
422
21
21
21
222
21
822
2
==−−−−
=−−=
−−
++=
−+−+
i
i
i
i
i
i
Operaciones
Ejemplos
a)
b)
c)
( ) 032853)28()5( =−++−−=−+−−− iiiiii
( ) ( ) ( )89236823681
229522425816222
222
−=+−
=−=+−=−+−−−
iii
iiiii
( ) ( )
53
9163512
91634912
3434
343
3422
3412
2
2
2
iii
iii
ii
ii
iiii
iii
+=+
++=−
−−+
=
++
−−=
−−+−=
−−+
Aplicación
Determinar todas la raíces de la ecuación:
Solución:
Por el teorema del factor cero:
0)42)(2)(42)(2()8)(8(64 22336 =+−+++−=+−=− xxxxxxxxx
0422 =++ xx0422 =++ xx
02 =−x 02 =+x21 =x 22 −=x
31 ix ±=
314 ix −−=313 ix +−=
31 ix ±−=
315 ix += 316 ix −=
0646 =−x
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