Numeros complejos

INTRODUCCIÓN

Cuando hablamos con amigos de la matemática, de inmediato, suelesurgir que es muy difícil, sin embargo, ella es una herramienta sin la cuallas ciencias aplicadas dejarían de ser ciencias.

Podemos ubicarnos en el plano del hombre común, del ciudadanosque todos los días cumple con su trabajo, se levanta, asume susresponsabilidades, cuida de sus seres queridos y finalmente reclama unpedazo del día para él; pues entonces a ese nos dirigimos, porque nosatrevemos a dividir la matemática en dos grandes grupos: por un lado, lamatemática de los expertos, de aquellos que hacen uso profesional de lamisma y por otro, la matemática útil en sí misma, ese juego deconocimiento que facilita el desarrollo intelectual y permite ampliarnuestro espectro lógico pensante.

La aparición de nuevos problemas que no tienen solución enconjuntos numéricos conocidos, ha obligado a los matemáticos a ampliardichos conjuntos, agregándoles, a los conocidos, nuevos números tales queel conjunto así ampliado sirva como base de solución para estos nuevosproblemas.

COMPETENCIA

• Identificar correctamente los números reales y los números complejos y explicar, ¿Por qué? Todo real es un complejo, pero no todo complejo es un real.

INDICADORES• Reconocer las definiciones básicas de matemática.• Resolver diferentes problemas con relación al tema a estudiar.• Establecer relaciones entre los números existentes.

CONTENIDO Conceptual:

• Definición de números complejos.• Igualdad de números complejos.• Suma y producto de números complejos.• Potencias de ¡ .• Opuesto y conjugado de un complejo.

Procedimental:• Operar con números complejos.• Aplicar la resolución de ejercicios y problemas.

Definición:

Números Complejos: Son números de la forma, a+b¡ dondea, b Є IR. Donde a se le llama parte real y b parte imaginaria delcomplejo. Todo número real puede ser escrito como un numerocomplejo de la forma a+0¡=a. por lo tanto, todo número real es unnumero complejo.C= { a + b¡ ⁄ a,b Є IR e ¡= }

Igualdad de números complejos:

Dos números complejos(a, b) y ( a’, b’) son iguales y se denotan:

Ejemplo: Los números complejos ( , 3) y (0.5, ), son iguales?

Solución: ( , 3) = (0.5, ) ya que tenemos que = 0.5 y 3 =

DESARROLLO DEL CONTENIDO

Suma y producto de números complejos:

Si ( a, b) y (c, d) son números complejos, entonces:La suma de los mismos se definen:(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) El producto de los mismos se definen:(a, b) · (c, d) = (ac – bd , ad + bc)

Ejemplo: calcular la adición o suma de los siguientes números complejos (3 +5¡) + (7¡).Solución: ( 3 + 5¡) + (7¡) = ( 3 + 5¡) + ( 0 + 7¡)

= ( 3 + 0) + ( 5¡ + 7¡) = 3 + 12¡

Potencia de i o unidad imaginaria:Observemos con detenimiento las siguientes potencias, de ¡0 hasta ¡8:

¡0 = 0¡1 = ¡¡2 = -1

¡3 = ¡2 . ¡= (-1). ¡=-1¡4 = ¡2 . ¡2 = (-1). (-1)= 1

¡5 = ¡4 . ¡= 1. ¡ = ¡¡6 = ¡4 . ¡2= 1 . (-1) =-1¡7 = ¡6 . ¡ = (-1) . ¡ =-¡

¡8 = ¡6 . ¡2= (-1) . (-1) = 1

Se observa, que los valores de la potencia de ¡, se repiten periódicamente al aumentar el exponente en 4. Las cuatros primeras potencias de ¡ son diferentes. Cada cuatro potencias sucesivas se repiten los valores 1, ¡, -1, -¡.En general, para obtener una potencia de ¡, se divide el exponente de ¡ entre 4 y usamos como nuevo exponente el resto de la división.Calculo de ¡n aplicando la reglas.

n 4r c ¡n = ¡r

Ejemplo: calcular las siguientes potencias de ¡.¡11 = ¡4 . 2 + 3 pues 11= 4.2+3

= ¡4 . 2 . ¡3 propiedad de an . am = a n+m

= (¡4)2 . ¡3 propiedad (an)m = an . m

= (1)2 . (-¡)= -¡

Opuesto y conjugado de un complejoSe llama opuesto de un número complejo:

Ejemplo:Dado el número complejo tenemos que el opuesto es

Se llama conjugado de un numero complejo:

Ejemplo:Dado el número complejo tenemos que el conjugado es

Actividades de evaluación:Evaluación formativa:

Técnica de la pregunta: Analizar el cuadro y completarlo, con

las definiciones ya dadas:

Número complejo Opuesto Conjugado

Razonamiento: Marcar con una x el numero al cual pertenece cada numero.

Números Imaginario puro

Referencia bibliográfica

Libro de Matemática para 1er año de Educación Media

Diversificada y Profesional, es una obra colectiva concebida,

diseñada y elaborada por el Departamento Editorial Santillana,

S.A.

Serie Matemática Progresiva: Algebra y Geometría.