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EXPRESIONES RADICALES
Objetivo general: simplificar expresiones aritméticas y algebraicas aplicando las propiedades de las potencias
y de los radicales.
Rectángulo rojo Rectángulo azul Rectángulo anaranjado
Noción Histórica:
El término raíz viene del término latín Radix. Se denotaba con el símbolo Rx. Los árabes tomaron el
conocimiento, sobre radicación, de los hindúes, quienes inventaron las reglas para extraer raíces cuadradas y
cúbicas.
El símbolo que hoy conocemos ( ) fue publicado hasta 1525 y con este trabajamos actualmente.
Definición: Un radical es un número de la forma:
Donde se llama radical,
Observemos: i) 981 con esto podemos observar y desarrollar otras cantidades, ejemplo: desarrolle las
cantidades que faltan
817
3 275
08
15 3 10008 – 1966
5 328 + 1696 – 3 648 – 225
ii) coloque el nombre respectivo de
acuerdo a la parte del radical.
Repasemos algunas leyes de potencias
* a n = a•a•a•a…a n factores
a5 = 5 factores
( –3) 3=
( – 5) 4=
– 4 2=
iii) 10 a ; iv) 00 n; existeno00
0
3501 15010 0530 =
Definición: n m
n
m
aa Nota: toda potencia de exponente fraccionario se puede
convertir en una raíz.
EJEMPLOS
1)
2)
4)
5)
=
3 5
3
5
aa
3
2
3
aa
32225
2
5
55
1
33
n mak
n se llama índice, ma se llama subradical,
k se llama coeficiente.
Cuando no aparece el
índice existe un dos.
5 37
Trabajo Cotidiano 1: Traslade a notación radical las siguientes potencias y simplifique al máximo
a) 2
1
64 b) 2
1
253 c) 3
1
1252 d) 2
1
64
I- Traslade a notación radical las siguientes potencias y calcule, si es posible, el resultado.
2
1
1448 ________________
3
1
27 ________________
3
1
27 ________________
3
1
27 ________________
6
1
75 ________________
2
1
49 ________________
2
1
49 ________________
2
1
49 ________________
Importante es que recuerde que si
( – a) n El resultado es positivo si n es par.
( – a) n El resultado es negativo si n es impar.
III. Entonces responda si existe o no
9 ____________. Porque __________________________________________.
64 ____________. Porque __________________________________________.
3 64 ____________. Porque __________________________________________.
6 64 ____________. Porque __________________________________________.
4 25 ____________. Porque __________________________________________.
¿Existen raíces de números negativos? ( ) siempre ( ) No siempre
Conclusión: ________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
VI- Traslade a notación de potencias los siguientes radicales. Simplifique los exponentes que pueda.
3 28 ___________ 14 18 ___________ 13 745 5 ___________
58 2 ___________ 5 2 ___________ 18 64 7 ___________
11 8 ___________ 28 ___________ 6 127 75 ___________
742 75 ___________ 6 8 ___________ *** 12 1215 5 ___________
V. Complete la siguiente tabla con lo que se le solicita, en todos los casos simplifique al máximo
NOTACION
RADICAL
NOTACION DE
POTENCIAS
NOTACION
RADICAL
NOTACION DE
POTENCIAS
LEYES DE POTENCIAS:
1) 1 1 para todo n 8)
2) -1 1 si n es par 9)
3) -1 1 si n es impar
nn x nx
n x y x y
n
b b
b b b
0
10)
14) b 1 para todo 0 11)
5) 12)
6)
n n
n
n
n
n n nx y x y
n
x x x x
a a
b b
b bb
a b bb b b
b a a
b b b b
13)
7) 14)
n veces
n veces
m
nx mnn
m
x x x x x mnn
b b b
b b b b nb ab a b
Conclusión:
Algunas potencias se convierten en un radical, por lo tanto, los radicales cumplen las leyes de
potencias.
Potencias de un Radical.
Sabemos:
mna
Por lo tanto:
k
m
n
a
d
c
m
n
a
d
cna
nR
m ka
Como obtener raíces:
¿Recuerda qué es un factor? Es un elemento de una multiplicación.
Recordemos que
n
a b y
na
b
por lo tanto,
•m
na b
Si n
m
n
m
n
m
b
a
b
a
entonces
=
m
nm
a
b
Extracción de Factores del Subradical
Encontraremos casos diferentes. Ejemplos:
I- raíces
exactas de
potencias con
números
II- raíces
exactas de
números
III- raíces exactas
de potencias con
letras
IV- raíces
no-exactas de
potencias con
letras
V- raíces no-
exactas de
potencias con
números
VI- raíces no-
exactas de números
y letras
* 82
*
* 5 00030024
* 3 3a
*
3 17a
* 3 172
*
4 1235 mhc67228
*
3 1221 32
* 3 1252197
* 4 16a
* 5 3510ba
* 5 1237 up
5 1237 3111
Descomponga
24 300 000
2197
* * 125 * 67228 * *
Nota: recuerda que el asuntito de saber cual raíz es
Exacta o no se conoce hasta después de descomponer.
Trabajo cotidiano 2: Resuelva los siguientes ejercicios
i) 5 321
ii) 5 73
viii) 162
ix) 3
216
1
xv) 75
xvi)
21
449
xxii) 8 72120
xxiii)
5
486
32
iii) 5 128a
iv)
79
78
5
32
v) 3 1875
vi) 41
4802
x) 4
1
243
128
xi) 7 2114 28
xii) 6 276
xiii) 9 546
xvii) 2
1
50
18
xviii) 4 112
xix) 147
xx) 3 4a
xxiv) 3 250
xxv) 3 81
xxvi)
3
2764
8
xxvii)
2
1
98
80
vii) 3 1080
xiv)
3
1
7
94
2
35
xxi) 3 1711
xxviii) 4 405
Simplifique las siguientes raíces extrayendo factores del subradical.
* 3 86
hc3888 * 7 5
c256 * 6 126
mh729 * 4 4065
mhc50000
Objetivo General: Obtener radicales semejantes y radicales homogéneos.
RADICALES SEMEJANTES
Definición: Dos o más radicales son semejantes si poseen igual índice e igual Subradical.
Ejemplo: n mba es semejante
n mbk 3
36 son semejantes con 3 37
y con ___________________________________
875 es semejante con
8 751000y con ________________________________.
Trabajo cotidiano 3: Escriba 5 radicales semejantes a
3 87 ___________________________________________________________.
7 276 ___________________________________________________________.
RADICALES HOMOGÉNEOS
Definición: Dos o más radicales son homogéneos si poseen el mismo índice.
Ejemplo: n mba es homogéneo con
n tck
3 85 es homogéneo con 3 36
Trabajo cotidiano 3b: Escriba 5 radicales homogéneos a
3 87 __________________________________________________________.
7 276 __________________________________________________________.
¿Los radicales homogéneos siempre son semejantes?_______
¿Los radicales semejantes siempre son homogéneos?_______
Objetivo general: .Resolver sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de expresiones con radicales.
OPERACIONES CON RADICALES
Suma y resta de radicales.
Para sumar y restar radicales deben ser semejantes. Para operar se
el radical y se suma o resta el coeficiente.
Ejemplo:
i) ii) iii)
iv) v) vi )
Trabajo Cotidiano 4: realice las siguientes sumas y restas
333 108107103
7768711
6666 1710178177178
44 9695
n n n n
n
a d c d d d e d
d
2172522
666 555658
3 3 3 35 3 3 3 7 3 2 3
253232827 33 5 32224
3835
33 43
84
3
5
333 5651052
66 66
16
5
1
55 2
4
52
4
3
37
53
7
8
Nota: En algunos casos se simplifican los radicales para obtener radicales semejantes.
Ejemplos:
* 32 8
*
* 25
3
27
15
16
3
54 128
432
84323
333 43231282546
Trabajo Cotidiano 5: Realice las siguientes operaciones con radicales.
a) 33 34812
b) 501283
c) 33 324
d) 482123
e) 33 3752812
f) 110010
199
3
144
2
1
g) 3962
12523
h) 9
28
9
1122
4
63
2
1
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES
Recordemos:
n ma a :n ma a
na b
na
b
Para multiplicar o dividir radicales es necesario que posean igual índice, o sea, los radicales deben ser
_________________________. Se multiplican coeficiente por coeficiente y subradical por subradical.
Ejemplo:
a) b)
m cn nl a m bx mn nx a y a
c) d)
Trabajo cotidiano 6: RESUELVA LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES
c) d) e)
f) g) h)
Realice las siguientes operaciones y simplifique los resultados:
i) • 10 5 15 3 3 34 43a a b c 4b a b c ii) • 3 738 5a 9a a
iii) •
3 3551 927ab 27a b
3 5 iiii) • 5 53 2 26 a 6 a
3 35 8 82 3 •4 3a a
•35 7 2 7
3 35 4 • 3 3 • 55 6 2 7
888-3 8 32
• 8 • 92 3 3
33 3
3 89 • 6 • 12
6 5
55 43 87 n 5n 2 4643 •
PROBLEMAS:
Calcule el área de:
a) Un cuadrado de lado 35 m. b) Un rectángulo de largo 316 metros y ancho 155 m.
c) Un rectángulo de largo 316 metros y ancho 155 metros.
d) Un triángulo de altura 35 metros y base 275 metros.
e) Un rombo cuyo diagonal mayor mide 32 cm. y el diagonal menor 6 cm.
f) Un círculo cuyo diámetro mide 46 cm.
g) Un círculo cuyo diámetro mide 3 36 cm.
Asocie el nombre de la figura con su respectiva fórmula de área.
Ejemplo:
Encuentre el área de los triángulos adjuntos. Utilice la fórmula de Herón
csbsassA
cbaS
2
6m 6 m 9cm
10m 10cm 7cm
15 m 39m 75 Km
36 m 21 Km 72 Km
1. Rectángulo
2. Círculo
3. cuadrado
4. Polígonos regulares
5. Rombo
6. Triángulo
7. Romboide
( ) A =
( ) A =
( ) A =
( ) A =
( ) A =
( ) A =
( ) A =
2
Ax P
h x b
2
d x D
L x L
2r x
2
h x b
a x L
c b
a
Trabajo cotidiano 7: Encuentre el área de los triángulos adjuntos. Utilice la fórmula de Herón A =
DIVISIÓN DE RADICALES
Para dividir radicales es necesario que sean homogéneos, o sea, que posean igual ______________.
Se divide coeficiente entre coeficiente y subradical entre subradical.
Ejemplos:
a) b) c) d)
Trabajo Cotidiano 8: Realice las siguientes divisiones. Simplifique al máximo.
3
4
a3
a27
4 3
4 75
xz2
zx32
3,1 cm
3,4 cm
3,1 cm
5,5 cm
3,9 cm
2,4 cm
4,1 cm
3,9 cm
2,2 cm
2,00 cm
3,47 cm
4,01 cm
3 23 5 a2:a5
d
c
b
a
3
2:
4
75
3a
aba
ab
3
3 2
108
4
xy
xy
22
88
3 3
3 5
b2
b16
2
432
Objetivo General: Simplificar expresiones con radicales en las que se utilice la combinación de operaciones.
OPERACIONES COMBINADAS
Se trabaja en el orden acostumbrado.
Ejemplo:
a) b)
Trabajo Cotidiano 9: Realice los siguientes ejercicios:
360a15a553a 33243 2538
3333
4
35
4
3225
2
66
31553
8
6
356a32a5 353453
Resuelva las siguientes operaciones respetando las prioridades y extrayendo factores del subradical.
a) 5555 324:1237 b)
3333 1443562185
Introducción de Factores dentro del Subradical
Encontraremos casos diferentes
Ejemplos:
I- número dentro de raíz II- letra dentro de raíz
* 2 3
* 23 5
* 24 7
* 27 9
* 28 2
* 210 a
* a 5 ab
* a 8 b
* a3 5 3a
* ab2 6 3ab
Trabajo Cotidiano 10: Introduzca Factores dentro del Subradical
5ab 3 3a 7a3b
3 5a 6a3b
2c 7ac
Trabajo Cotidiano 11:Simplifique las siguientes raíces introduciendo factores dentro del radical, aplicando el
concepto de raíz de una raíz extrayendo factores del subradical.
4 3 511a33a
3 2 3 35a5a 7 aac
183 3 54 3 33 aa
Recuerde:
Resolvamos en forma de potencia
* 33= 3
2•3
1
* 42•4
1 =
* 52•5
1 =
* 3•3 = 3
2
* 4•4 =
Observe y resuelva en un solo
paso.
* 3 3 = 33 2
* 5 5 =
* 13 13 =
Observe y resuelva en un solo
paso.
* 555 53 32 3
3
* 3 2 223
* 3 223 233
* 100•100 = * 20 20 =
* 213 213 =
* 21453 21453 =
* 3 7 723
* 3 211 113
* 3 213481 134813
Trabajo Cotidiano 12
Complete la expresión para que
el resultado sea verdadero
* 5_______ 5
* 11_______ 11
* 35_______ 35
* 3_______ 3
* 2_______ 2
* 15_______ 15
* 65_______ 65
Complete la expresión para que
el resultado sea verdadero
* 5______ 52 3
* 5______ 5 3
* 3______ 32 3
* 86______ 86 3
* 51______ 512 3
* 16______ 162 3
* 6______ 62 3
RACIONALIZACIÓN
El proceso de racionalización que veremos este año consiste en operar para eliminar los radicales del
denominador de una fracción.
Ejemplos
* 2
1
* 3
1 *
5
1 *
7
1
* 2
3
* 25
1 *
26
3 *
57
5
* 2
3
* 7
53 *
6
26 *
87
75
* 2a
3a
* 7y
53xy *
ab 6
26ab3
* 8y7y
7y5y
* 3 3
1
* 3 4
3 *
3 25
3 *
3 24
3
* 3 3
53
* 3 24xy
3xy3
* 3 5xy5
3xy *
3 4xy
3xy3
Trabajo Cotidiano 13: simplifique los resultados extrayendo factores del subradical en donde se puede.
Racionalice y simplifique los resultados.
3 2a
ab
3b3
a
3 8
3
3
K
55
4
3 55
4
73
52
7
1
3
23
6
5
ba
3a
3
4
3
3 37
6
7
63
Trabajo extra clase Valor 5%
Deben de aparecer los pasos que utilizó para llegar al resultado cuando se necesiten.
Indicaciones: Cada uno de los enunciados que aparecen a continuación, tiene una sola opción que es válida
como respuesta, marque una equis (x) dentro del paréntesis de la opción que corresponde a la respuesta
correcta.
1. Al racionalizar la expresión x
x
3
2, se obtiene como resultado
( ) 3
6 2x ( )
3
32 x
( ) x23 ( ) 3
x
2. Para racionalizar la expresión 3 7
6, se debe multiplicar el numerador y denominador por la expresión
( ) 3 7 ( ) 3 49
( ) 3 42 ( ) 49
3. Al racionalizar la expresión ab
ab, se obtiene como resultado
( ) ab
ba 22
( ) ab
ab2
( ) ab ( ) ab
4. Al racionalizar la expresión 2
23, se obtiene como resultado
( ) 2
25 ( )
2
223
( ) 23 ( ) 2
2
5. Al racionalizar la expresión 3 22
4
aa, se obtiene como resultado
( ) 2
32
a
a ( )
a
a2
( ) 322 aa ( ) 2
32 aa
6. Para racionalizar la expresión 3 22
3
n
mn,se debe multiplicar el numerador y denominador por la expresión
( )3 242 n ( ) 3 4
( ) 24n ( ) 3 24n
7. Al racionalizar la expresión n
m
4
2, se obtiene como resultado
( ) n
nm2 ( )
n
nm
2
( ) nm2 ( ) m
mn2
8. Al racionalizar la expresión 2
23, se obtiene como resultado
( ) 2
25 ( )
2
223
( ) 23 ( ) 2
2
9. Para racionalizar la expresión 23
5,se debe multiplicar el numerador y denominador por la expresión
( ) 43 ( ) 2
( ) 8 ( ) 3 43
10. Al racionalizar la expresión n
mn , se obtiene como resultado
( ) n
nmn ( )
n
nmnn
( ) nmn ( ) n
mnmn
11. Al racionalizar la expresión n
mn , se obtiene como resultado
( ) n
nmn ( )
n
nmnn
( ) nmn ( ) n
nmn
12) El resultado simplificado 3 126 xx corresponde a:
42xA 24xB
15xC 10xD
13) El resultado simplificado 3 9664 yx corresponde a:
328 yxA 634 yxB
324 yxC 638 yxD
14) El resultado simplificado
3 92 83 aa corresponde a:
1124aA 66aB
56aC
56aD
15) El resultado simplificado 5
5
10
32
2
y
x
x
y corresponde a:
y
xyA xB
xC 2 xy
xyD
2
2
16) El resultado simplificado 12 84813 yxa corresponde a:
6 4293 yxaA 3 233 xyaB
6 2813 xyaC 6 42813 yxaD
17) El resultado simplificado
12 4x corresponde a:
3xA
2
3
xB
xC 3
1
xD
18) El resultado simplificado
6 482 mm corresponde a:
44mA mmB 82
mmC 22 mD 2
19) El resultado simplificado
3 2x corresponde a:
6 xA xB
3 2xC 3 xD
20) El resultado simplificado
3 964a corresponde a:
32aA
6 32 aB
6 32 aaC aaD 2
21) La Expresión 36 636b
es equivalente a:
6 36bA 6 36bB
36bC
6 bbD
22) El resultado de baba 22 94 corresponde a:
baA bB 5
bC 5 baD
23) El resultado de
43
2
1 24
2 kkk
corresponde a:
2
3 2kA kkB 2
2
kC
2kD
24) El resultado de
4 74 4 11b
bb
b
corresponde a:
4 2bA 4 3bB
4 11bC 4 28bD
25) El resultado de aaa 487527 corresponde a:
aA 3 aB 32
aC 33 aD 37
Simplifique al máximo las siguientes expresiones con radicales. Considérese todas las variables bien
definidas en IR. Escriba los procedimientos y la respuesta en el espacio asignado para tal fin.
1) El resultado simplificado de
valor 3 puntos
2) El resultado simplificado de
valor 3 puntos
3) El resultado simplificado de
valor 4 puntos
4) La expresión
3 556b simplificada corresponde valor 3 puntos
5) La expresión a
a
10
20 5
simplificada corresponde valor 2 puntos
SIMPLIFIQUE AL MAXÍMO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES. Considérese todas las variables bien
definidas en IR. Escriba los procedimientos y la respuesta en el espacio asignado para tal fin.
1) RESUELVA LA SUMA DE
323 443 47 37812242 bxxbxbbxb Valor 5 puntos
2) Resuelva la multiplicación de
6 24 32 12525 xyx Valor 5
puntos
3) Resuelva la multiplicación de
33 2 3894
3aba
Valor 5 puntos
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