Operaciones vectoriales

Departamento De Ciencias – Cajamarca Facultad De Ingeniería

OPERACIONES DIFERENCIALES

GRADIENTE𝛁𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧

El gradiente implica la dirección de

máximo crecimiento de una función o

campo escalar.Ejm:Si se toma como

campo escalar y se le asigna a cada punto

del espacio una temperatura T, entonces

el vector gradiente en cualquier punto del

espacio indicará la dirección en la cual la

temperatura cambiará más rápidamente.

La definición operacional será:

Coordenadas cartesianas:

𝛁𝜑 = 𝜕

𝜕𝑥𝑖 +

𝜕

𝜕𝑦𝑗 +

𝜕

𝜕𝑧𝑘 𝜑

=𝜕𝜑

𝜕𝑥𝑖 +

𝜕𝜑

𝜕𝑦𝑗 +

𝜕𝜑

𝜕𝑧𝑘

Coordenadas cilíndricas:

∇𝜑 = 𝜕

𝜕𝑟𝑒𝑟 +

1

𝑟

𝜕

𝜕∅𝑒∅ +

𝜕

𝜕𝑧𝑒 𝑧 𝜑

Coordenadas esféricas:

∇𝜑 = 𝜕

𝜕𝑟𝑒𝑟 +

1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃𝑒𝜃 +

1

𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜕

𝜕∅𝑒∅ 𝜑

Obs:

La componente de 𝛁𝜑en la dirección de

un vector unitario 𝑎 es igual a 𝛁𝜑. 𝑎 y

se llama derivada de 𝜑 en la dirección

de 𝑎 , o bien, derivada de 𝜑 según 𝑎 .

Si queremos movernos en la dirección

en que 𝜑 crece más rápidamente

debemos movernos en la dirección de

𝛁𝜑.

Si queremos movernos en la dirección

en que 𝜑 decrece más rápidamente

debemos movernos en la dirección de

–𝛁𝜑.

El campo vectorial gradiente muestra

la dirección que es ortogonal a todas

las superficies de nivel de 𝜑

RELACIÓN ENTRE LA DIRECCIÓN DEL

GRADIENTE Y UNA SUPERFICIE DE

NIVEL

Para ilustrar que el gradiente de un

campo escalar es perpendicular en todo

punto a las superficies de nivel de ese

campo. Sea P1 cualquier punto sobre la

superficie de nivel 𝑔 𝑟 = 𝐶 y sea P2 un

segundo punto situado a una distancia

vectorial infinitesimal 𝑑𝑟 del punto P1.

Además, supóngase que P2 se localiza en la

misma superficie de nivel. Por lo tanto.

𝑑𝑔 𝑟 = 𝑔 𝑃2 − 𝑔 𝑃1 = 0 = 𝛻𝑔 𝑟 . 𝑑𝑟

En este caso particular.

Siempre y cuando la magnitud de 𝛻𝑔 𝑟

sea distinta de cero en el punto P1 el lado

derecho de la ecuación anterior sugiere

que 𝑑𝑟 debe ser perpendicular a ∇𝑔(𝑟 )en

el punto P1 puesto que el vector 𝑑𝑟 , entre

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dos puntos que estén sobre la misma

superficie debe ser tangencial a la

superficie, se concluye que ∇𝑔 𝑟

evaluando en el punto en el punto P1 debe

ser perpendicular a la superficie de nivel

de g 𝑟 que pasa por el punto P1

Para medir la rapidez de cambio de un

campo vectorial se utilizará la divergencia

y el rotacional. Fundamentalmente, estas

son las dos formas en que un campo

vectorial puede “cambiar”: una es

(escalar) midiendo el grado en que el

campo “diverge” (o “explota”, por así

decirlo) en cada punto. Y la otra

(vectorial) es midiendo la tendencia a

“girar” (o formar remolinos internos).

DIVERGENCIA𝛁. 𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧)

Si imaginamos que 𝑉 es el campo de

velocidades de un fluido, entonces 𝑑𝑖𝑣𝑉

representa la razón de expansión por

unidad de volumen bajo el flujo del fluido.

Si 𝑑𝑖𝑣𝑉 < 0 , el fluido se está

comprimiendo. Para un campo vectorial en

el campo 𝑉 , la divergencia se define como:

En coordenadas cartesianas

𝛁. 𝑉 = 𝜕

𝜕𝑥𝑖 +

𝜕

𝜕𝑦𝑗 +

𝜕

𝜕𝑧𝑘 . 𝑣1𝑖 + 𝑣2𝑗 + 𝑣3𝑘

𝜕𝑣1

𝜕𝑥+

𝜕𝑣2

𝜕𝑦+

𝜕𝑣3

𝜕𝑧

En coordenadascilíndricas

𝛁. 𝑉 =1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟 𝑟𝑉𝑟 +

1

𝑟

𝜕

𝜕∅ 𝑉∅ +

𝜕𝑉𝑧

𝜕𝑧

En coordenadasesféricas

∇. 𝑉 =1

𝑟2

𝜕

𝜕𝑟 𝑟2𝑉𝑟 +

1

𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜕

𝜕𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑉𝜃

+1

𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜕𝑉∅

𝜕∅

Mide la razón de expansión del volumen.

1. Sea el campo vectorial F (x, y, z) =

(exsen(y),excos (y), z) determine su

divergencia.

Solución:

𝛁. 𝐹 = 𝜕 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦

𝜕𝑥+

𝜕 𝑒𝑥 cos 𝑦

𝜕𝑦

+𝜕 𝑧

𝜕𝑧

𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 1

= 1

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ROTACIONAL𝛁 × 𝑉

𝛁 × 𝑉 = 𝜕

𝜕𝑥𝑖 +

𝜕

𝜕𝑦𝑗 +

𝜕

𝜕𝑧𝑘

× 𝑣1𝑖 + 𝑣2𝑗 + 𝑣3𝑘

=

𝑖 𝑗 𝑘

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝑣1 𝑣2 𝑣3

=

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝑣2 𝑣3

𝑖 − 𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑧𝑣1 𝑣3

𝑗 +

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦𝑣1 𝑣2

𝑘

= 𝜕𝑣3

𝜕𝑦−

𝜕𝑣2

𝜕𝑧 𝑖 −

𝜕𝑣3

𝜕𝑥−

𝜕𝑣1

𝜕𝑧 𝑗

+ 𝜕𝑣2

𝜕𝑥−

𝜕𝑣1

𝜕𝑦 𝑘

En coodenadascilíndricas

𝛁 × 𝑉 =

𝑒 𝑟 𝑟𝑒 ∅ 𝑒 𝑧𝜕

𝜕𝑟

𝜕

𝜕∅

𝜕

𝜕𝑧𝑉𝑟 𝑟𝑉∅ 𝑉𝑧

En coordenadasesféricas

𝛁 × 𝑉 =1

𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑒 𝑟 𝑟𝑒 𝜃 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑒 𝜑𝜕

𝜕𝑟

𝜕

𝜕𝜃

𝜕

𝜕𝜑𝑉𝑟 𝑟𝑉𝜃 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝐴𝜑

1. Sea el campo vectorial F (x, y, z) = (0,

cos (xz), −sen (xy)) determine

surotacional.

Solución:

𝛁 × 𝑉 = 𝜕(−𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 )

𝜕𝑦−

𝜕(cos(𝑥𝑧)

𝜕𝑧 𝑖

− 𝜕(0)

𝜕𝑥−

𝜕(−𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 )

𝜕𝑧 𝑗

+ 𝜕(cos 𝑥𝑧 )

𝜕𝑥−

𝜕(0)

𝜕𝑦 𝑘

= −𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 + 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑧 𝑖 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 𝑗

+ (−𝑧𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑧 )𝑘

𝑥 −𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑧 𝑖 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 𝑗

+ (−𝑧𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑧 )𝑘

2. Determine si el campo vectorial

definido por F (x, y, z) = (2xy, x2 + 2yz,

y2) es un campo conservativo.

Solución:

Un campo vectorial es conservativo si

𝛁 × 𝑉 = 0 , para verificar aplicamos el

rotacional a la función.

𝛁 × 𝐹 = 𝜕(𝑦2)

𝜕𝑦−

𝜕(𝑥2 + 2𝑦𝑧)

𝜕𝑧 𝑖

+ 𝜕(2𝑥𝑦)

𝜕𝑥−

𝜕(𝑦2)

𝜕𝑧 𝑗

+ 𝜕(𝑥2 + 2𝑦𝑧)

𝜕𝑥−

𝜕(2𝑥𝑦)

𝜕𝑦 𝑘

= 2𝑦 − 2𝑦 𝑖 + 0 − 0 𝑗 + (2𝑥 − 2𝑥)𝑘

= 0𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘

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En donde queda demostrado que F (x, y,

z) = (2xy, x2 + 2yz, y2) es un campo

conservativo

FÓRMULAS EN LAS QUE INTERVIENE

EL OPERADOR𝛁

1.𝛁 φ + ρ = 𝛁φ + 𝛁ρ

2. 𝛁. 𝐀 + 𝐁 = 𝛁. 𝐀 + 𝛁. 𝐁

3. 𝛁 × 𝐀 + 𝐁 = 𝛁 × 𝐀 + 𝛁 × 𝐁

4. 𝛁. φ𝐀 = 𝛁φ . 𝐀 + φ 𝛁. 𝐀

5. 𝛁 × φ𝐀 = 𝛁φ × 𝐀 + φ(𝛁 × 𝐀)

6. 𝛁. 𝐀 × 𝐁 = 𝐁. 𝛁 × 𝐀 − 𝐀. (𝛁 × 𝐁)

7. 𝛁 × 𝐀 × 𝐁 = 𝐁. 𝛁 𝐀 − 𝐁 𝛁. 𝐀 −

𝐀. 𝛁 𝐁 + 𝐀(𝛁. 𝐁)

8.𝛁. 𝛁φ = 𝛁𝟐φ =∂2φ

∂x2 +∂2φ

∂y2 +∂2φ

∂z2

Donde: 𝛁𝟐 =∂2

∂x2 +∂2

∂y2 +∂2

∂z2 se denomina

operador laplaciano.

1. Siendo 𝜑 = 2𝑥3𝑦2𝑧4, hallar 𝛁. 𝛁φ

Solución:

Como 𝛁. 𝛁φ es 𝛁𝟐entonces tenemos:𝛁𝟐 =∂2

∂x2 +∂2

∂y2 +∂2

∂z2

𝛁𝟐𝜑 =∂2(2𝑥3𝑦2𝑧4)

∂x2+

∂2(2𝑥3𝑦2𝑧4)

∂y2

+∂2(2𝑥3𝑦2𝑧4)

∂z2

= 12𝑥𝑦2𝑧4 + 4𝑥3𝑧4 + 24𝑥3𝑦2𝑧2

2.Hallar∇. A × r sabiendo que ∇ × A = 0

Solución:

Sabiendo que ∇. A × B = B. ∇ × A −

A. (∇ × B)

Entonces ∇. A × r = r. ∇ × A − A. (∇ × r)

∇. A × r = r. ∇ × A − A. (∇ × r)

∇. A × r = −A. (∇ × r)y por simple

inspección ∇ × r = 0

Por lo tanto ∇. A × r = 0