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Física para Arquitectura
Oscilaciones amortiguadas y
forzadas. Resonancia
Oscilaciones amortiguadas. Oscilaciones forzadas.
Resonancia. Caso Puente Tacoma
12/04/23 Yuri Milachay 2
Oscilaciones amortiguadas• Los sistemas reales tienen siempre
fuerzas disipadoras como el rozamiento, por lo que las oscilaciones cesan con el tiempo.
• La disminución de la amplitud se denomina amortiguación y el movimiento que realiza se llama oscilación amortiguada.
• Cuando colgamos un bloque del resorte, éste se deforma hasta llegar a su posición de equilibrio; x = 0. Alrededor de dicho punto, el bloque realizará un movimiento armónico simple si no hay fricción.
• Si el medio en el que está el bloque es viscoso, se debe agregar al modelo del oscilador armónico la componente de la fuerza de amortiguación, la cual es directamente proporcional a la velocidad del cuerpo oscilante.
x xF kx bv
Posición de equilibrio
Ver animación de la oscilación amortiguada
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Amortiguador de autos
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Puente Franjo Tudjman (Duvrobnik)
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Oscilaciones amortiguadas• De acuerdo con la segunda
ley de Newton, se tiene la expresión:
• De donde se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden, cuya solución para valores de b pequeños es la expresión
• La frecuencia angular de la oscilación ´está dada por:
(b/ 2m)tx Ae cos( 't )
2k b' ( )
m 2m
x xkx bv ma
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• Si hacemos que ’ sea nula, tendremos la expresión de la derecha;
• En estos casos, el sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar, entonces se dice que se tiene una amortiguación critica.
• Si se cumple que b > , se dice que la oscilación es sobreamortiguada. Los sistemas de amortiguación de un auto deben estar críticamente amortiguados o un poco sub amortiguados.
2k b' ( ) 0
m 2m
2k b( ) 0
m 2m
b 2 km
Oscilaciones crítica
2 km
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Gráfica de (b/ 2m)tx Ae cos( 't )
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Movimiento amortiguado
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Ejercicios• Problema. Un ratón de 0,300
kg se mueve en el extremo de un resorte con k = 2,50 N/m , sometido a la acción de una fuerza amortiguadora Fx=-bvx . A) Si b = 0,900 kg/s, ¿qué frecuencia de oscilación tiene el ratón? B) ¿Con qué valor de b la amortiguación será crítica?
• Solución• A) De la ecuación
• De donde,
• B)
• Problema. Un objeto de 50,0 g se mueve en el extremo de un resorte con k=25,0 N/m . Su desplazamiento inicial es de 0,300 m . Una fuerza amortiguadora actúa sobre el objeto y la amplitud del movimiento disminuye a 0,100 m en 5,00 s . Calcule al constante de amortiguación.
• Solución• Resolviendo b de
2
2
2,50 N m 0,900 kg s ω 2,47 rad s
0,300 kg 4 0,300 kg
0,393 Hz2
ωf
π
b 2 km 2 2,50 N m 0,300 kg 1,73kg s
b2mt
2 1A A e
1
2
2m Ab ln 0,0220 kg s
t A
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max dF(t) F cos( t)
Oscilaciones forzadas y resonancia
• Un oscilador armónico amortiguado aislado dejará de moverse tarde o temprano, pero podemos mantener una oscilación de amplitud constante aplicando una fuerza que varíe con el tiempo periódicamente, con un periodo definido.
• La solución de la ecuación es la expresión:
• Donde la amplitud se expresa a través de la frecuencia angular y las constantes k y m.
• La amplitud es máxima cuando
max dF kx bv F cos( t)
dx A sen( t )
max
2 2 2 2d d
FA
(k m ) b
d k/ m
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La frecuencia angular para la que la amplitud es máxima se llama frecuencia de resonancia.
Oscilaciones forzadas y resonancia
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Caso: Puente Tacoma Narrow
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Ejercicios• Problema. Una fuerza
impulsora que varía senoidalmente se aplica a un oscilador armónico amortiguado con constante de fuerza k y una masa m . Si la constante de amortiguación tiene el valor b1, la amplitud es A1 cuando la frecuencia angular impulsora es (k/m)1/2. En términos de A1, ¿cuánto vale la amplitud con la misma frecuencia impulsora y la misma amplitud de la fuerza impulsora Fmáx si la constante de amortiguación es 3b ?
• Solución• Cuando tiene lugar la
resonancia,
• Problema. Un paquete experimental y su estructura de soporte que se colocarán a bordo de la estación espacial actúa como sistema resorte-masa subamortiguado con constante de fuerza 2,10 x 106 N/m y masa 108 kg . Un requisito de la NASA es que no haya resonancia para oscilaciones forzadas en ninguna frecuencia menor que 35,0 Hz, ¿satisface el paquete tal requisito? Es decir, ¿tiene frecuencias naturales coincidentes?
• Solución• La frecuencia resonante es:
• De acuerdo con el resultado, el paquete no cumple con el requisito solicitado.
max
d
FA
b
1AA
3
6k m (2,10 10 N m) 108kg) 139rad s
f 22,2Hz
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