PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES

7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES

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“AÑO DE LA CONSOLIDACIÓN DEL MAR DE GRAU”

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE CHOTA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

1. ESFUERZOS COMBINADOS

2. COLUMNAS

Alumno

Campos Quispe, Ale Neise!

Profeor

I"#. Luis Sil$a %a!!illo

C!o"# $ Per%

INTRODUCCIÓN

El &esa!!ollo &e es'e '!a(a)o es'* (asa&o e" 'emas &e i"'e!+s pa!a el es'u&io

&e la !esis'e"ia &e ma'e!iales, 'oma"&o omo (ase los es-ue!os / las

&e-o!maio"es pa!a su a"*lisis, es'os so" (*sios pa!a el e"'e"&imie"'o &e los

'emas a '!a'a!.

La om(i"ai0" &e es-ue!os es al#o ue los i"#e"ie!os &e(e" &e

e"-!e"'a! al mome"'o &e &isea! u" eleme"'o es'!u'u!al &e(i&o a su

#eome'!3a / a su apliai0", o" &i-e!e"'es o"e"'!aio"es &e es-ue!os, /

&e(i&o a es'a i"4"i&a& &e posi(les o"e"'!aio"es &e es-ue!os u o'!as

a!a'e!3s'ias es &e $i'al impo!'a"ia o"oe! / e"'e"&e! los o"ep'os

(*sios &e los ue so" los es-ue!os om(i"a&os.

5e!o e" es'a oasi0" 'am(i+" se es'u&ia!a el 'ema &e olum"as /a ue es'as

so" -!eue"'eme"'e usa&as pa!a sopo!'a! $i#as o a!os so(!e los uales las

pa!'es supe!io!es &e las pa!e&es o 'e6os &esa"sa" po! lo 'a"'o e" el

p!ese"'e '!a(a)o a(o!&a!emos la lasi4ai0" / m+'o&os pa!a &ime"sio"a! u"a

olum"a, omo sa(emos es'e eleme"'o es'!u'u!al umple u" !ol -u"&ame"'al

e" e&i4aio"es, es po! eso ue es'e mo&es'o '!a(a)o $a e$oa&o pa!a

&i-u"&i! al#u"os o"ep'os / me'o&olo#3a &e &esa!!ollo &e los mismos.

O*+ETIVOS

• I"$es'i#a! la 'eo!3a &e Es-ue!os Com(i"a&os / a"alia! la i"'e!ai0" &e

es-ue!os al om(i"a!se e"'!e s3 al se! aplia&o a eleme"'os

es'!u'u!ales

• A"alia! la ma"e!a e" ue se !elaio"a" los es-ue!os po! a!#a aial,

po! a!#a &e 'o!si0" / po! a!#a &e 7ei0" ua"&o a'8a"

o")u"'ame"'e, pa!a &e'e!mi"a! el es-ue!o "e'o

• I"$es'i#a! la 'eo!3a &e olum"as pa!a "oso'!os po&e! &isea! eleme"'os

es'!u'u!ales ue sopo!'e" las &i-e!e"'es a!#as si" lle#a! al pu"'o &e

pa"&eo.

CAPITULO I

ESFUER,OS COM*INADOS

Los es-ue!os om(i"a&os !ep!ese"'a" la suma o om(i"ai0" &e $a!ios

es-ue!os ue so" aplia&os a u" eleme"'o sie"&o es'os es-ue!os &e a!#a

aial, es-ue!o po! a!#a &e 7ei0" o es-ue!o po! a!#a &e 'o!si0". Su

&e'e!mi"ai0" es &e mu6a u'ili&a& e" 'o&as las !amas &e la i"#e"ie!3a, /a

ue po! lo #e"e!al los eleme"'os a"alia&os "o es'*" some'i&os a u" solo 'ipo

&e es-ue!o, si "o, m*s (ie" a la i"'e!ai0" &e $a!ios es-ue!os &e ma"e!a

simul'*"ea. %am(i+" es u" m+'o&o pa!a seleio"a! / &ime"sio"a! el ma'e!ial

a&eua&o e" u" p!oeso &e o"s'!ui0"

Los eleme"'os &e u"a es'!u'u!a &e(e" &e sopo!'a!, a&em*s &e su p!opio

peso, o'!as -ue!as / a!#as e'e!io!es ue a'8a" so(!e ellos. Es'o oasio"a la

apa!ii0" &e &i-e!e"'es 'ipos &e es-ue!os e" los eleme"'os es'!u'u!ales,

es-ue!os &e '!ai0", omp!esi0", 7ei0", o!'a"'e / 'o!si0".

5e!o e" es'a oasi0" se es'u&ia!a los '!es 'ipos (*sios &e a!#as ue so"9

aiales, &e 'o!si0" / &e 7ei0", / su a'uai0" o")u"'ame"'e &e &os o m*s

om(i"aio"es posi(les &e esos es-ue!os.

(-(- COM*INACIÓN DE ESFUER,OS A.IALES / POR FLE.IÓN

La $i#a simpleme"'e apo/a&a &e la 4#u!a :;1a sopo!'a u"a a!#a

o"e"'!a&a Q. Supo"#amos ue la $i#a es'* u"i&a a los apo/os e" el

e"'!o &e #!a$e&a& &e la seio"es e'!emas. E" el pu"'o A, el es-ue!o

"o!mal &e 7ei0" es f < My/I. Es U"a 'e"si0" &i!i#i&a pe!pe"&iula!me"'e

al pla"o &e la sei0" !e'a, omo se i"&ia e" la 4#u!a, / la -ue!a ue

a'8a so(!e u" eleme"'o &i-e!e"ial &e *!ea A es f dA.

Si la misma $i#a apo/a&a e" la misma -o!ma se some'e solame"'e a la

ai0" &e u"a -ue!a aial 5 =Fi#. :;1(> los es-ue!os aiales se &is'!i(u/e"

u"i-o!meme"'e so(!e ualuie! sei0" '!a"s$e!sal =Se. 1;?>. Su $alo! es

a < 5@A / 'am(i+" es u"a 'e"si0" pe!pe"&iula! a la sei0" !e'a. La

-ue!a ue a'8a e" el mismo eleme"'o A es a dA.

Si am(as a!#as a'8a" simul'*"eame"'e e" la $i#a =Fi#. :;1> el es-ue!o

!esul'a"'e e" A se o('ie"e omo supe!posii0" &e los &os e-e'os aisla&os.

E" e-e'o, la -ue!a !esul'a"'e ue a'8a so(!e el eleme"'o &i-e!e"ial A es

el $e'o! suma &e las &os -ue!as oaiales a dA. f dA. Di$i&ie"&o es'a

-ue!a e"'!e el *!ea &A se &e&ue el es-ue!o !esul'a"'e < a f &i!i#i&o

pe!pe"&iula!me"'e a la sei0" !e'a.

A"*lo#ame"'e, e" u" pu"'o B &e la misma sei0", 'am(i+" a &is'a"ia /

&e la l3"ea "eu'!a, pe!o po! e"ima &e ella, el es-ue!o !esul'a"'e es

la &i-e!e"ia e"'!e los es-ue!os aial / po! 7ei0". Si a los es-ue!os &e

'e"si0" se les &a si#"o posi'i$o / a los &e omp!esi0", "e#a'i$os, el

es-ue!o !esul'a"'e e" u" pu'o ualuie!a &e la $i#a &a&o po! la suma

al#e(!aia &e los es-ue!os aial / &e 7ei0" e" auel pu"'o9

O (ie",

O(s+!$ese ue el es-ue!o aial pue&e se! &e 'e"si0" o &e omp!esi0".

Es'e es el mo'i$o &e po"e! los si#"os posi'i$o / "e#a'i$o &ela"'e &e 5@A, /

el !o&ea!los o" u" 3!ulo es pa!a !eo!&a! ue el es-ue!o aial es

u"i-o!me e" 'o&a la sei0" !e'a.

E" la euai0" =:;1> se 6a aplia&o el m+'o&o &e supe!posii0". A6o!a(ie", 6a/ ue 'e"e! e" ue"'a la mo&i4ai0" ue la a!#a aial pue&e

i"'!o&ui! e" el mome"'o 7eio"a"'e, omo se ala!a a o"'i"uai0". La

4#u!a :;2 mues'!a, mu/ ea#e!a&ame"'e, la 7ei0" p!o&ui&a po! u"a

a!#a '!a"s$e!sal Q e" u"a $i#a. Si 5 es &e 'e"si0", omo e" la 4#u!a :;2a,

el mome"'o 7eio"a"'e p!o&ui&o po! 5 e" ualuie! sei0", / ue $ale

, 'ie"&e a &ismi"ui! el mome"'o 7eio"a"'e p!o&ui&o po! Q /, po! 'a"'o,

!e&ue los es-ue!os po! 7ei0", / al o"'!a!io ou!!e si se '!a'a &e u"a

omp!esi0" aial. E" o'!as pala(!as, los $alo!es &a&os po! la euai0" =:;1>

so" al#o ma/o!es ue los !eales si 5 es &e 'e"si0", / me"o!es ue los

!eales si 5 es u"a omp!esi0". Es'e e-e'o es &esp!eia(le e" mu6as

oasio"es si las (a!!as o eleme"'os &e la es'!u'u!a so" 'a" !3#i&os ue

los es-ue!os p!o&ui&os po! 5 so" mu/ peueos -!e"'e a los p!o&ui&os

po! el mome"'o 7eio"a"'e &e las -ue!as '!a"s$e!sales Q, es &ei!, si las

&e7eio"es so" mu/ peueas. 5e!o si las (a!!as so" la!#as / 7ei(les,

el e-e'o pue&e 'e"e! su impo!'a"ia / &e(e" emplea!se o'!os

p!oe&imie"'os m*s ea'os &e *lulo.

(-&- N0CLEO CENTRAL DE UNA SECCIÓN- CARGAS APLICADAS FUERA DE

LOS E+ES DE SIMETRÍA

U" aso pa!'iula! &e es-ue!os aiales / &e 7ei0" om(i"a&os es el ue

!ep!ese"'a la 4#u!a :;a e" la ue u" pu"'al &e peuea lo"#i'u& sopo!'a

u"a a!#a 5 aplia&a o" u"a ie!'a ee"'!ii&a& o" !espe'o a u"o &e

los e)es p!i"ipales &e la sei0". La supe!posii0" &e u" sis'ema "ulo, &os

-ue!as i#uales / opues'as / &el mismo m0&ulo ue 5, aplia&as e" el

e"'!o &e #!a$e&a& &e la sei0", &a lu#a! al sis'ema eui$ale"'e i"&ia&o

e" la 4#u!a :;(. Los es-ue!os e" u"a sei0" ualuie!a m;" so" el

!esul'a&o &e la supe!posii0" &el es-ue!o aial a < P/A &e omp!esi0",

ue apa!ee e" la 4#u!a :;, / &el es-ue!o po! 7ei0" f < Mc/I < (Pe)/I

ue se $e e" la 4#u!a :;&. Si el es-ue!o po! 7ei0" m*imo es ma/o!

ue el es-ue!o aial, el es-ue!o !esul'a"'e 'ie"e la -o!ma &e la 4#u!a :;

e. El pu"'o &e es-ue!o "ulo es la

"ue$a posii0" &e la l3"ea "eu'!a / se e"ue"'!a -*ilme"'e 6alla"&o la&is'a"ia a la ue el es-ue!o po! 7ei0" =posi'i$o> es i#ual al es-ue!o

aial ="e#a'i$o>. 5o! 'a"'o,

E" &o"&e,

Es e$i&e"'e ue si el es-ue!o aial &e omp!esi0" es i#ual o ma/o! ue el

m*imo es-ue!o &e 7ei0", "o eis'i!* o"a al#u"a ue '!a(a)e a 'e"si0".

5a!a o"se#ui! es'o e" u"a sei0" !e'a"#ula! &e a"6o b / al'u!a h o" P

aplia&a o" u"a ee"'!ii&a& e =so(!e la al'u!a h, 4#u!a :;> se 6a &e

'e"e!9

E" es'as o"&iio"es, la ee"'!ii&a& m*ima pa!o "o 'e"e! 'e"si0"es9

Es'a -0!mula es el -u"&ame"'o &e la !e#la usual e" &iseo &e o(!as &e

la&!illo o &e o'!os ma'e!iales mu/ poo !esis'e"'es a 'e"si0", &e ue la

!esul'a"'e &e las a!#as &e(e pasa! po! el 'e!io e"'!al &e la sei0".

Co"si&e!emos a6o!a el aso #e"e!al e" el ue la a!#a P se aplia e" u"

pu"'o a!(i'!a!io &e u"a sei0" ualuie!a, sie"&o sus oo!&e"a&as e x / e y

o" !espe'o a los e)es p!i"ipales &e la sei0", omo i"&ia la 4#u!a :;.

Los mome"'os &e P o" !espe'o a los e)es / so", !espe'i$ame"'e, 5e /

/ Pe x . 5o! supe!posii0", el es-ue!o e" u" pu"'o ualuie!a =, /> &e la

sei0" $ie"e &a&o po!9

5a!a &e'e!mi"a! la l3"ea "eu'!a, o l3"ea &e es-ue!o "ulo, se !esuel$e la

euai0" < G. %e"ie"&o e" ue"'a ue , sie"&o !/ / !

los !a&ios &e #i!o !espe'o &e los e)es / , se 'ie"e9

Que es la euai0" &e u"a !e'a u/as i"'e!seio"es o" los e)es

=o!&e"a&a / a(sisa e" el o!i#e"> se o('ie"e" a"ula"&o / pa!a o('e"e! u, /

lue#o pa!a o('e"e! $, e" la euai0" (a). Se 'ie"e9

Quie!e es'o &ei! ue E.N. pasa po! el ua&!a"'e opues'o auel a&o"&e

a'8a 5 /, e" #e"e!al, "o es pe!pe"&iula! a la &i!ei0" O5. 5o! e)emplo,

e" la 4#u!a :;H( se !ep!ese"'a la &is'!i(ui0" &e es-ue!os e" u"a

sei0" !e'a"#ula! ua"&o la -ue!a 5 se aplia e" u" pu"'o -ue!a &e

los e)es p!i"ipales =Fi#. :;Ha>. Si se alula" los es-ue!os e" A, B / C, la

i"'e!sei0" &e la l3"ea "eu'!a o" AB / o" BC se alula po! seme)a"a

&e '!i*"#ulos. O(s+!$ese ue la i"'e!sei0" pue&e es'a! e" las

p!olo"#aio"es =Fi#. :;H>.

amos a &e'e!mi"a! a6o!a las oo!&e"a&as e / e/ &e la a!#a P pa!a las

ue la l3"ea "eu'!a pase po! u"a esui"a B, omo e" la 4#u!a :;H.

Sus'i'u/e"&o < G, x < -h/2, / y < -b/2 e" la euai0" =:;J> !esul'a9

Simpli4a"&o,

Que es la euai0" &e la !e'a m-n &e la 4#u!a :;H&, ue o!'a a los e)es X

/ Y e" h K 6 / b K 6, !espe'i$ame"'e. Es'a l3"ea es el lu#a! #eom+'!io &e los

pu"'os &e apliai0" &e 5 ue p!o&ue" e" es-ue!o "ulo e" B.

A"*lo#ame"'e, la !e'a m1"1 es el lu#a! #eom+'!io &e los pu"'os e" los

ue P, se p!o&ue u" es-ue!o "ulo e" C. Co"'i"ua"&o el p!oe&imie"'o, es

e$i&e"'e ue "i"#8" pu"'o &e la sei0" po&!* es'a! some'i&o a 'e"si0" sila a!#a se aplia &e"'!o o e" el (o!&e &el !om(o !a/a&o &e la 4#u!a, /a

ue la l3"ea "eu'!a pasa!* o -ue!a &e la sei0", o po! u"a esui"a,

o po! u" (o!&e !e'il3"eo. Es'a o"a &e la sei0" se llama "8leo &e la

Se &emues'!a &e -o!ma a"*lo#a ue el "8leo &e u"a sei0" i!ula! es

o'!o 3!ulo &e &i*me'!o i#ual a un cuart de! d"#metr de !a $ecc"%n.

(-1- VARIACIÓN DEL ESFUER,O CON LA ORIENTACIÓN DEL ELEMENTO

La ma#"i'u& / el 'ipo &e es-ue!o &epe"&e" &e la o!ie"'ai0" o i"li"ai0"

&el eleme"'o a o"si&e!a!. Como se pue&e $e! e" la 4#u!a :;:a, se 'ie"e

u" s0li&o some'i&o a la ai0" &e -ue!as &e euili(!io, e" el ual se 6ae"

pasa! po! el mismo pu"'o &os seio"es &e eplo!ai0" a;a / (;(, &o"&e a;

a es pe!pe"&iula! a la &i!ei0" &e la !esul'a"'e R &e 51 / 52, omo se

i"&ia e" la 4#u!a :;:(, / (;( es'a i"li"a&a o" !espe'o a la !esul'a"'e R,

omo se pue&e $e! e" la 4#u!a :;:. El eleme"'o !a/a&o &e la 4#u!a :;:(

es'* some'i&o 8"iame"'e a es-ue!o "o!mal, pe!o el eleme"'o e" el

mismo pu"'o ue es'* e" la 4#u!a :;:, es'* some'i&o a es-ue!os

"o!mal / o!'a"'e, p!o&ui&os po! N / %, !espe'i$ame"'e. E"'o"es

se pue&e o(se!$a! ue pa!a u" mismo pu"'o &e u" s0li&o ue es'*

some'i&o a u" es'a&o &e es-ue!os =u(ia&os e" la i"'e!sei0" &e a;a / (;

(>, los es-ue!os $a!3a" se#8" la &i!ei0" u o!ie"'ai0" &el eleme"'o

&i-e!e"ial ue se o"si&e!e e" &i6o pu"'o.

E" las seio"es si#uie"'es se es'u&ia 0mo $a!3a" los es-ue!os o" la

o!ie"'ai0" &el eleme"'o. Es'o es mu/ impo!'a"'e / lo ue se pe!si#ue es

&e'e!mi"a! e" u+ pla"os se !ep!ese"'a" los es-ue!os m*imos / alula!

sus $alo!es.

E" -o!ma #e"e!al, se 6ae imposi(le 6alla! &i!e'ame"'e los $alo!es &e los

es-ue!os e" u" pla"o ue 'e"#a u"a &i!ei0" ualuie!a. 5o! e)emplo e"

el aso &e $i#as, o" la -0!mula &e 7ei0" se pue&e" &e'e!mi"a! los

$alo!es &el es-ue!o "o!mal ue apa!ee" e" el pla"o pe!pe"&iula! al e)e

&e la $i#a. %am(i+" se pue&e alula! el es-ue!o o!'a"'e e" es'os &os

pla"os. E" el aso &e 'o!si0", o" su o!!espo"&ie"'e -o!mula se o('ie"e el

$alo! &el es-ue!o o!'a"'e e" pla"os pe!pe"&iula!es al e)e &e la (a!!a.

E"'o"es ua"&o u"a (a!!a es'* some'i&a simul'*"eame"'e a 7ei0" / a

'o!si0", omo se mues'!a e" la 4#u!a :;1G, se alula" los es-ue!os

o!!espo"&ie"'es a am(os 'ipos &e es-ue!o, pe!o solame"'e si los

eleme"'os es'*" o!ie"'a&os omo se pue&e $e! e" es'a 4#u!a. 5e!o eis'i!*

u"a &e'e!mi"a&a posii0" u o!ie"'ai0" e" &o"&e el es-ue!o "o!mal se!*

m*imo, omo lo i"&ia la 4#u!a :;:. Eis'e" &os m+'o&os pa!a &e'e!mi"a!

es'a posii0" u o!ie"'ai0" &el eleme"'o, / &el $alo! &el es-ue!o "o!mal

ua"&o es m*imo. Los uales so"9 el a"al3'io usa"&o ep!esio"es

ma'em*'ias, / el o'!o m+'o&o es el #!a4o u'ilia"&o el 3!ulo &e Mo6!.

(-2- ESFUER,O EN UN PUNTO

El es-ue!o e" u" pu"'o &e4"e el es-ue!o me&io u"i-o!meme"'e

&is'!i(ui&o so(!e u" eleme"'o &i-e!e"ial &e *!ea. E" la 4#u!a :;11 se

mues'!a el es-ue!o "o!mal e" la &i!ei0" ue eis'e e" u" pu"'o &e

oo!&e"a&as ,/, el ual es el es-ue!o u"i-o!me ue a'8a so(!e el *!ea

&i-e!e"ial &/&.

Cua"&o el es-ue!o e" u" pu"'o se &e4"e po! las ompo"e"'es ue a'8a"

e" $a!ias &i!eio"es e" el espaio, se pue&e !ep!ese"'a! po! los es-ue!os

ue a'8a" so(!e u" eleme"'o &i-e!e"ial &e $olume" ue !o&ee el pu"'o

o"si&e!a&o. 5o! e)emplo , / / / los es-ue!os e" u" pu"'o. E" la 4#u!a

:;12 se mues'!a las ompo"e"'es &el es-ue!o p!ese"'es e" u" eleme"'o

&i-e!e"ial.

E" es'a sei0", solo se o"si&e!a el es'a&o pla"o o (i&ime"sio"al &e

es-ue!os, e" el ue los es-ue!os a'8a" pa!alelame"'e a u" pla"o, 'al

omo el . E" u" es'a&o '!i&ime"sio"al &e es-ue!os la a!a Z &e u"

eleme"'o ue&a some'i&a a la ai0" &e u" es-ue!o "o!mal , as3 omo

los es-ue!os o!'a"'es / / ue se p!o&ue" e" las a!as / ,

!espe'i$ame"'e, los es-ue!os / / so" "um+!iame"'e i#uales.

E+ERCICIOS RESUELTOS

Pro3lem# N4 '(

Pro3lem# N4 '&

Pro3lem# N4 '1

Calula! los es-ue!os m*imos / loalia! el e)e "eu'!o e" la $i#a e" $ola&io

&e JGmm 1GGmm omo se i"&ia e" la 4#u!a ;2Solui0"

El es-ue!o m*imo ou!!i!* e" el e'!emo empo'!a&o, pues e" ese lu#a! el

mome"'o 7eio"a"'e es m*imo. La a!#a &e 7ei0" &e la 4#u!a ;2 =>

p!o&ue es-ue!os &e 'e"si0" e" las 4(!as supe!io!es / es-ue!os &e

omp!esi0" e" las 4(!as i"-e!io!es. La a!#a aial &e la 4#u!a ;2 =(> p!o&ue

es-ue!os &e 'e"si0" e" 'o&as las 4(!as. E"'o"es9

Lue#o9

CAPITULO II

COLUMNAS

U"a olum"a es u" eleme"'o aial some'i&o a omp!esi0", lo (as'a"'e

&el#a&o !espe'o su lo"#i'u&, pa!a ue a(a)o la ai0" &e u"a a!#a

#!a&ualme"'e !eie"'e se !ompa po! 7ei0" la'e!al o pa"&eo a"'e u"a a!#a

mu6o me"os ue la "eesa!ia pa!a !ompe!lo po! aplas'amie"'o. Es'o se

&i-e!e"ia &e u" pos'e o!'o se"'i&o a omp!esi0", el ual, au"ue es'+

a!#a&o e+"'!iame"'e, epe!ime"'a u"a 7ei0" la'e!al &esp!eia(le.

Au"ue "o eis'e u"a limi'a pe!-e'ame"'e es'a(lei&o e"'!e eleme"'o o!'o /

olum"a, se suele o"si&e!a! ue u" eleme"'o a omp!esi0" es u"a olum"a

si su lo"#i'u& es m*s &e &ie $ees su &ime"si0" '!a"s$e!sal me"o!.

U"a olum"a es u" eleme"'o aial some'i&o a omp!esi0", lo (as'a"'e

&el#a&o !espe'o su lo"#i'u&, pa!a ue a(a)o la ai0" &e u"a a!#a

#!a&ualme"'e !eie"'e se !ompa po! 7ei0" la'e!al o pa"&eo a"'e u"a a!#a

mu6o me"os ue la "eesa!ia pa!a !ompe!lo po! aplas'amie"'o. Las

olum"as suele" &i$i&i!se e" &os #!upos9 &ar'a$ e Intermed"a$. A $ees, los

eleme"'os o!'os a omp!esi0" se o"si&e!a" omo u" 'e!e! #!upo &e

olum"as. Las &i-e!e"ias e"'!e los '!es #!upos $ie"e" &e'e!mi"a&as po! su

ompo!'amie"'o. Las olum"as la!#as !e !ompe" po! pa"&eo o 7ei0" la'e!al

las i"'e!me&ias, po! om(i"ai0" &e es-ue!as, aplas'amie"'o / pa"&eo, / los

pos'es o!'os, po! aplas'amie"'o.

U"a olum"a i&eal es u" eleme"'o 6omo#+"eo, &e sei0" !e'a o"s'a"'e,

i"iialme"'e pe!pe"&iula! al e)e, / some'i&o a omp!esi0". Si" em(a!#o, las

olum"as suele" 'e"e! siemp!e peueas impe!-eio"es &e ma'e!ial / &e

-a(!iai0", as3 omo u"a i"e$i'a(le ee"'!ii&a& ai&e"'al e" la apliai0"

&e la a!#a. %o&o es'o se !ep!ese"'a mu/ ea#e!a&ame"'e e" la 4#u!a 11;1.

La u!$a'u!a i"iial &e la olum"a, )u"'o o" la posii0" &e la a!#a, &a" lu#a!a u"a ee"'!ii&a& i"&e'e!mi"a&a e, o" !espe'o al e"'!o &e #!a$e&a&, e"

u"a sei0" ualuie!a m - n. El es'a&o &e a!#a e" es'a sei0" es simila! al

&e u" pos'e o!'o a!#a&o e+"'!iame"'e, / el es-ue!o !esul'a"'e es'*

p!o&ui&o po! la supe!posii0" &el es-ue!o &i!e'o &e omp!esi0" / el

es-ue!o &e 7ei0" =o me)o! &i6o, po! 7ei0">.

Si la ee"'!ii&a& es peuea / el eleme"'o es o!'o, la 7ei0" la'e!al es

&esp!eia(le, / el es-ue!o &e 7ei0" es i"si#"i4a"'e ompa!a&o o" el

es-ue!o &e omp!esi0" &i!e'o. Si" em(a!#o, e" u" eleme"'o la!#o, ue es

mu6o m*s 7ei(le /a ue las 7eio"es so" p!opo!io"ales al u(o &e la

lo"#i'u&, o" u" $alo! !ela'i$ame"'e peueo &e la a!#a 5 pue&e p!o&ui!se

u" es-ue!o &e 7ei0" #!a"&e, aompaa&o &e u" es-ue!o &i!e'o &e

omp!esi0" &esp!eia(le. As3, pues, e" las &os si'uaio"es e'!emas, u"a

olum"a o!'a sopo!'a -u"&ame"'alme"'e el es-ue!o &i!e'o &e omp!esi0", /

u"a olum"a la!#a es'* some'i&a p!i"ipalme"'e al es-ue!o &e 7ei0".

Cua"&o aume"'a la lo"#i'u& &e u"a olum"a &ismi"u/e la impo!'a"ia /

e-e'os &el es-ue!o &i!e'o &e omp!esi0" / aume"'a o!!ela'i$ame"'e las &el

es-ue!o &e 7ei0". 5o! &es#!aia, e" la o"a i"'e!me&ia "o es posi(le

&e'e!mi"a! ea'ame"'e la -o!ma e" ue $a!3a" es'os &os 'ipos &e es-ue!os, o

la p!opo!i0" o" la ue a&a u"a o"'!i(u/e al es-ue!o 'o'al. Es es'a

i"&e'e!mi"ai0" la ue &a lu#a! a la #!a" $a!ie&a& &e -0!mulas pa!a las

olum"as i"'e!me&ias.

No se 6a &a&o, 6as'a au3, !i'e!io al#u"o &e &i-e!e"iai0" e"'!e olum"as

la!#as e i"'e!me&ias, eep'o e" su -o!ma &e '!a(a)a!, es &ei!, la olum"a

la!#a es'* some'i&a ese"ialme"'e a es-ue!os &e 7ei0" / la i"'e!me&ia lo

es'* a es-ue!os &e 7ei0" / omp!esi0" &i!e'a. La &is'!i(ui0" e"'!e am(os

'ipos &e aue!&o o" su lo"#i'u& s0lo pue&e omp!e"&e!se &espu+s &e 6a(e!

es'u&ia&o las olum"as la!#a

&-(- CARGA CRITICA

Colouemos $e!'ialme"'e u"a $i#a mu/ es(el'a, a!'iul+mosla e" sus

e'!emos me&ia"'e !o'ulas ue pe!mi'a" la 7ei0" e" 'o&as sus

&i!eio"es. Apliuemos u"a -ue!a 6o!io"'al e" su pu"'o me&io, &e

ma"e!a ue p!o&ua 7ei0" se#8" la &i!ei0" &e m*ima 7ei(ili&a&,

omo se i"&ia e" la 4#u!a 11;2a.

Como los es-ue!os &e 7ei0" so" p!opo!io"ales a la 7ei0", "o

epe!ime"'a!a" al#u"a si se aa&e u"a -ue!a aial P e" a&a e'!emo,

omo e" la 4#u!a 11;2(, / 6aie"&o ue &ismi"u/a simul'*"eame"'e

o" el aume"'o &e P &e ma"e!a ue la -lei0" , e" el e"'!o "o $a!3e. Es

es'as o"&iio"es, el mome"'o 7eio"a!'e e" el e"'!o es9

, e" el l3mi'e, ua"&o 6a &ismi"ui&o 6as'a a"ula!se,

E"'o"es, omo se i"&ia e" la 4#. 11;2, P! es la a!#a !3'ia "eesa!ia

pa!a ma"'e"e! la olum"a &e-o!ma&a si" empu)e la'e!al al#u"o. U"

peueo i"!eme"'o &e P so(!e es'e $alo! !3'io 6a!* ue aume"'e la

&e-lei0" , lo ue i"!eme"'a!* M, o" lo ual $ol$e!* aume"'a! / as3

suesi$ame"'e 6as'a ue la olum"a se !ompa po! pa"&eo. 5o! el

o"'!a!io, si P &ismi"u/e li#e!ame"'e po! &e(a)o &e su $alo! !3'io,

&ismi"u/e la &e7ei0", lo ue a su $e 6ae &ismi"ui! M, $uel$e a

&ismi"ui! , e'., / la olum"a 'e!mi"a po! e"&e!ea!se po! omple'o. As3,

pues, la a!#a !3'ia pue&e i"'e!p!e'a!se omo la a!#a aial m*ima a la

ue pue&e some'e!se u"a olum"a pe!ma"eie"&o !e'a, au"ue e"

euili(!io i"es'a(le, &e ma"e!a ue u" peueo empu)e la'e!al 6a#a ue

se &e-o!me / ue&e pa"&ea&a, omo e" la 4#. 11;2.

&-&- FORMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS / MU/ ES*ELTAS

E" el ao 1, el #!a" ma'em*'io suio Leo"a!&o Eule! !eali0 u"

a"*lisis 'e0!io &e la a!#a !3'ia pa!a olum"as es(el'as (asa&o e" la

euai0" &i-e!e"ial &e la el*s'ia I(d2 y/dx 2 ) < M. A6o!a se sa(e ue es'e

a"*lisis es $*li&o 6as'a ue los es-ue!os ala"a" el l3mi'e &e

p!opo!io"ali&a&. E" 'iempo &e Eule! "o se 6a(3a" es'a(lei&o los

o"ep'os &e es-ue!o, "i &e l3mi'e &e p!opo!io"ali&a&. 5o! lo ue +l "o

'u$o e" ue"'a la eis'e"ia &e u" l3mi'e supe!io! &e la a!#a !3'ia.

La 4#u!a 11;? mues'!a la l3"ea e)e &e u"a olum"a e" euili(!io (a)o laai0" &e la a!#a !3'ia P. Se supo"e ue la olum"a 'ie"e los e'!emos

a!'iula&os =me&ia"'e !0'ulas o pasa&o!es> &e ma"e!a ue "o pue&e"

'e"e! &esplaamie"'os la'e!ales. La &e-lei0" m*ima es lo

su4ie"'eme"'e peuea pa!a ue "o eis'a &i-e!e"ia ap!eia(le e"'!e la

lo"#i'u& i"iial &e la olum"a / su p!o/ei0" so(!e el e)e $e!'ial. E" es'as

o"&iio"es, la pe"&ie"'e &/@& es peuea / se pue&e aplia! la euai0"

&i-e!e"ial ap!oima&a &e la el*s'ia &e u"a $i#a9

El mome"'o M es posi'i$o e" la Fi#. 11;? al pa"&ea! la olum"a e" el

se"'i&o o"'!a!io al &el !elo), po! lo ue al se! la y "e#a'i$a, 6a &e i!

p!ee&i&a &el si#"o me"os. Si la olum"a se pa"&ea!a e" se"'i&o

o"'!a!io, es &ei!, e" la &i!ei0" &e y posi'i$a, el mome"'o se!3a

"e#a'i$o, &e aue!&o o" el !i'e!io &e si#"os a&op'a&o.

La euai0" a"'e!io! =a> "o se pue&e i"'e#!a! &i!e'ame"'e, omo se 6a3a

a"'e!io!me"'e /a ue all3 M solame"'e e!a -u"i0" &e x . Si" em(a!#o,

p!ese"'amos &os m+'o&os pa!a !esol$e!la. Co"oie"&o al#o &e &i"*mia

"os &amos ue"'a ue la euai0" a"'e!io! es seme)a"'e a la euai0" &e

u" ue!po ue $i(!a simpleme"'e9

5a!a lo ual u"a solui0" #e"e!al es9

De au3, po! a"alo#3a, la solui0" =a> $ie"e &a&a po!

Al aplia! las o"&iio"es &e -!o"'e!a pa!a < G, / / < G, lo ue &a C 2 < G

pa!a < L, / < G, &e la ue se o('ie"e

&-1- LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER

U"a olum"a 'ie"e a pa"&ea!se siemp!e e" la &i!ei0" e" la ual es m*s

7ei(le. Como la !esis'e"ia a la 7ei0" $a!ia o" el mome"'o &e i"e!ia, el

$alo! &e I e" la -0!mula &e Eule! es siemp!e el me"o! mome"'o &e i"e!ia

&e la sei0" !e'a. La 'e"&e"ia al pa"&eo 'ie"e lu#a!, pues, o" !espe'o

al e)e p!i"ipal &e mome"'o &e i"e!ia m3"imo &e la sei0" !e'a.

La -0!mula &e Eule! 'am(i+" &emues'!a ue la a!#a !3'ia ue pue&e

p!o&ui! el pa"&eo "o &epe"&e &e la !esis'e"ia &el ma'e!ial, si"o &e sus

&ime"sio"es / &el m0&ulo &e el*s'io. 5o! es'e mo'i$o, &os (a!!as &e

i&+"'ias &ime"sio"es, u"a &e ae!o &e al'a !esis'e"ia / o'!a &e ae!o

sua$e, se pa"&ea!*" (a)o la misma a!#a !3'ia /a ue, au"ue sus

!esis'e"ias so" mu/ &i-e!e"'es 'ie"e" p!*'iame"'e el mismo mo&ulo

el*s'io. As3 pues, pa!a aume"'a la !esis'e"ia al pa"&eo, i"'e!esa

aume"'a! lo m*s posi(le el mome"'o &e i"e!ia &e la sei0". 5a!a u" *!ea

&a&a, el ma'e!ial &e(e &is'!i(ui!se 'a" le)os omo sea posi(le &el e"'!o &e

#!a$e&a& / &e 'al ma"e!a ue los mome"'os &e i"e!ia o" !espe'o a los

e)es p!i"ipales sea" i#uales, o lo m*s pa!ei&os posi(le =omo e" u"a

olum"a 6uea>

5a!a ue la -0!mula &e Eule! sea aplia(le, el es-ue!o ue se p!o&ua e"

el pa"&eo "o &e(e ee&e! al l3mi'e &e p!opo!io"ali&a&. 5a!a &e'e!mi"a!

es'e es-ue!o, se sus'i'u/e e" la -0!mula el mome"'o &e i"e!ia I po! A!2 ,

&o"&e A es el *!ea &e la sei0" !e'a / r es el !a&io &e #i!o m3"imo.

La a"'i&a& &/r es la !elai0" &e es(el'e &e la olum"a. Es la!o, &a&o la

a"o'ai0" &el p*!!a-o p!ee&e"'e, ue el m3"imo $alo! &el !a&io &e #i!o r

&e(e usa!se al alula! la !elai0" &e es-ue!o / el es-ue!o !3'io &e la

olum"a.

La euai0" a"'e!io! mues'!a ue el es-ue!o !3'io es p!opo!io"al al

m0&ulo &e elas'ii&a& &el ma'e!ial e i"$e!same"'e p!opo!io"al al

ua&!a&o &e la !elai0" &e es(el'e &e la olum"a.

E+ERCICIOS RESUELTOS

E5er6767o N4 '(

De'e!mi"e la i"'e"si&a& pe!misi(le m*ima &e la a!#a &is'!i(ui&a ue

pue&e aplia!se al eleme"'o BC si" ausa! ue el eleme"'o AB se pa"&ee.Supo"#a ue AB es &e ae!o / es'a a!'uula&o e" sus e'!emos pa!a el pa"&eo

&el e)e P / 4)o e" sus e'!emos pa!a el pa"&eo &el e)e / P /. use u" -a'o!

&e se#u!i&a& o" !espe'o al pa"&eo &e ?. Ea < 2GG5a, / < ?GM5a

Soluio"

E)e / P /

Lue#o9

E5er6767o N4 '&

La olum"a 12H &e ae!o A;? 'ie"e u"a lo"#i'u& &e 12 pies. Si su

e'!emo i"-e!io! se e"ue"'!a 4)o / su e'!emo supe!io! es'a li(!e, &e'e!mi"e

la ma/o! a!#a aial ue pue&e sopo!'a!. Use u" -a'o! &e se#u!i&a& o"

!espe'o al pa"&eo &e 1.

Soluio"

E5er6767o N4 '1

5o! lo 'a"'o seleio"amos u" pe!4l 2GG?

E5er6767o N4 '2

La olum"a &e 1G pies 'ie"e las &ime"io"es mos'!a&as e" la 4#u!a,

&e'e!mi"a! la a!#a !i'ia si la pa!'e i"-e!io! es'a 4)a / la pa!'e supe!io! es'a

a!'iula&a. E < 1.1G? si, / < si.

Solui0"

Se 'ie"e ue * < G.

E5er6767o N4 '8

De'e!mi"e la ma/o! lo"#i'u& L "o apo/a&a pa!a la ual u" eleme"'o AB

a omp!esi0" S1GG11. se pue&e sopo!'a! e" -o!ma se#u!a la a!#a

+"'!ia mos'!a&a. Co"si&e!e σy < 2G Mpa / E< 2GGpa.

Si la a!#a &e G TN 6a se se! sopo!'a&a e" -o!ma se#u!a, &e(e 'e"e!se

σperm= P

60 x103 N

1460 x 10−6m

2=41.1 x 10

5o! o'!a pa!'e, pa!a el l3mi'e &e 7ue"ia &a&o, la 9('-2&:

2π 2 E

2(200 x109)

250 x10

6 =15.79 x10

3=125.7

Supo"ie"&o ue L@! C se usa la euai0" =1G.J?> / se es!i(e

σperm= π

1.92( Lr )2= π

2(200 x109 Pa)

1.92 x( Lr )2 =

1.028 x1012 Pa

( Lr )2

I#uala"&o es'a ep!esi0" po! al $alo! !eue!i&o &e σperm , se 'ie"e

1.028 x1012 Pa

2 =41.1 x10

L@!< 1H.2La 6ip0'esis so(!e L@! C es o!!e'a. Eso#ie"&o el me"o! &e los &os

!a&ios &e #i!o, !esul'a L

14.8 x10−3m❑=158.2

L=2.34m

CONCLUSIONES• Me&ia"'e la apliai0" &e la 'eo!3a / o"oimie"'os p!*'ios e" el

a"*lisis &e es'!u'u!as, es m*s omp!e"si(le el ompo!'amie"'o &e las

mismas (a)o a!#as sopo!'a&as.

• Co" los *lulos e)eu'a&os se o('ie"e" los es-ue!os p!i"ipales /

es-ue!os o!'a"'es e" u" pu"'o &e u"a es'!u'u!a, es'o p!opo!io"a los

eleme"'os "eesa!ios pa!a el &iseo &e las mismas, / pe!mi'e oloa!

los apo/os e" pu"'os la$e, &o"&e el es-ue!o es m*imo pa!a ue la

es'!u'u!a se ma"'e"#a es'a(le

• Se i"$es'i#0 / es'u&i0 la 'eo!3a &e olum"as / los &i-e!e"'es *lulos

ue &e(emos !ealia! pa!a "oso'!os po&e! &isea! eleme"'os

es'!u'u!ales ue sopo!'e" las &i-e!e"'es a!#as si" lle#a! al pu"'o &e

pa"&eo

REFERENCIAS *I*LIOGR;FICAS

Bee! / Vo6"s'o", Me*"ia &e ma'e!iales, 'a e&ii0" 2G1G. E&i'o!ialM!a;ill.

• i((ele!, R. C., Me*"ia &e Ma'e!iales, 'a e&ii0", M+io, 2GG.

E&i'o!ial 5EARSON EDUCACION• Vames M. e!e, Me*"ia &e Ma'e!iales, ma. E&ii0", 2GG:. Ce"#a#e

Lea!"i"# E&i'o!es, S.A &e C..• Ni6olas illems, Resis'e"ia &e ma'e!iales, 1:HH. E&i'o!ial M!a;ill.

• 5/'el ; Si"#e!, !esis'e"ia &e ma'e!iales, 1::J. E&i'o!ial meia"a.

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