View
52
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
UNIDAD 5. CUADRILÁTEROS
PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero cuyos
lados opuestos son paralelos.
RECTÁNGULO: Es un cuadrilátero con sus
cuatro ángulos interiores congruentes.
ROMBO: Es un cuadrilátero con sus cuatro
lados congruentes.
CUADRADO: Es un cuadrilátero con sus
cuatro ángulos interiores congruentes y sus
cuatro lados congruentes, es decir, es
rectángulo y rombo a la vez.
TRAPECIO: Es un cuadrilátero convexo con
un par de lados paralelos y el otro par no
paralelos.
TRAPECIO ISÓSCELES: Es un trapecio
cuyos lados no paralelos son congruentes.
TRAPECIO RECTÁNGULO: Es un trapecio
con algún ángulo recto.
TRAPEZOIDE: Es un cuadrilátero que no
tiene lados paralelos.
ABCD es un trapecio
AB ll DC AD ll
c
BC
D
A B
lls s
C
ABCD es un cuadrado
A B C D
AB BC CD DA
c
C D
B A
ABCD es un rectángulo
A B C D
c
C
B A
D
ABCD es un rombo
AB BC CD DA
cB
A
C
D
D
A
C
B s
s
ABCD es un paralelogramo
AB DC AD BC
c
P P
ABCD es un trapecio rectángulo
ABCD es un trapecio A 90º
c
D
A B
C
D
A B
C ABCD es un trapecio isósceles
ABCD es un trapecio AD BC
c
Unidad cinco cuadriláteros, Página 1 de 38
PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS
TEOREMA: En todo paralelogramo se cumplen
las siguientes propiedades:
1. Los lados opuestos son respectivamente
paralelos.
2. Los lados opuestos son respectivamente
congruentes.
3. Los ángulos opuestos son respectivamente
congruentes.
4. Las diagonales se cortan en su punto
medio.
Dm: Tomemos un paralelogramo ABCD, con
AB DC y AD BCP P .
1. Trazamos DB , luego ABDCDB por:
A: ABDCDB, (sAlt.Int. AB DCP ),
L: BD=DB, (común),
A: ADBCBD, (sAlt.Int. AD BCP ).
Entonces AB=DC y AD=BC (LsHs).
2. Como A+B=180, (sCol.Int.AD BCP ) y
B+C=180, (sCol.Int. AB DCP )
entonces A=180–B=C. Similarmente
se prueba que B=D.
3. Sea O el punto de corte de AC y DB , luego
OABOCD por:
A: OABOCD, sAlt.Int. AB DCP ,
L: AB=CD, por (1),
A: OBAODC, Alt.Int. AB DCP .
Entonces AO=OC y BO=OD, (LsHs).
CRITERIOS DE PARALELOGRAMO
TEOREMA: Un cuadrilátero convexo es un
paralelogramo sii cumple cualquiera de las
siguientes propiedades:
1. Los lados opuestos son paralelos.
2. Los lados opuestos son respectivamente
congruentes.
3. Un par de lados opuestos son paralelos y
congruentes.
4. Los ángulos opuestos son respectivamente
congruentes.
5. Las diagonales se cortan en su punto
medio.
Dm: (Ejercicio)
PROPIEDADES DE LOS RECTÁNGULOS
TEOREMA: En todo rectángulo se cumplen las
siguientes propiedades:
1. Los cuatro ángulos interiores son rectos.
2. El rectángulo es paralelogramo.
3. Las diagonales son congruentes.
Dm: Sea ABCD un rectángulo:
1. A=B=C=D, por definición y
A+B+C+D=360, por ser convexo,
entonces A=B=C=D=90.
2. Como los ángulos opuestos son
respectivamente congruentes entonces es
un paralelogramo.
3. Por (2) es paralelogramo, luego
AO=OC=AC/2 y BO=OD=BD/2. Además
en el triángulo rectángulo ABD, AO es la
mediana relativa a la hipotenusa DB ,
ABCD es un trapezoide
AB ll
c
DC AD ll BC
D
A
B
C
D
A
C
B
Unidad cinco cuadriláteros, Página 2 de 38
entonces AO=DB/2 y como AO=AC/2 se
obtiene DB=AC.
CRITERIOS DE RECTÁNGULO
TEOREMA: Un cuadrilátero convexo es un
rectángulo sii cumple cualquiera de las
siguientes propiedades:
1. Tiene tres ángulos rectos.
2. Es un paralelogramo con un ángulo recto.
3. Las diagonales son congruentes y se cortan
en su punto medio.
Dm: Sea ABCD un cuadrilátero convexo.
3. Si AC=BD y se cortan en su punto medio
O entonces es paralelogramo y además en
el DAB resulta la mediana AO=DB/2,
luego el ángulo A es recto. En definitiva,
por (2), ABCD es un rectángulo.
PROPIEDADES DEL ROMBO
TEOREMA: En todo rombo se cumplen las
siguientes propiedades:
1. Los cuatro lados son congruentes.
2. Es paralelogramo.
3. Las diagonales son perpendiculares.
4. Cada diagonal es bisectriz.
Dm: (Ejercicio)
CRITERIOS DE ROMBO
TEOREMA: Un cuadrilátero convexo es un
rombo sii cumple cualquiera de las siguientes
propiedades:
1. Los cuatro lados son congruentes.
2. Es un paralelogramo con dos lados
consecutivos congruentes.
3. Las diagonales son perpendiculares y se
cortan en su punto medio.
4. Cada diagonal es bisectriz.
Dm: Sea ABCD un cuadrilátero convexo.
4. Supongamos que las diagonales AC y BD
son bisectrices de los ángulos, entonces
ABDCBD (ALA), luego AB=CB y AD=CD
(LsHs). En el ABC, se tiene
A/2+B+C/2=180 y en el ADC se
tiene A/2+D+C/2=180, luego B=D
y por lo tanto el ABD resulta isósceles
con AB=AD. En definitiva AB=BC=CD=DA,
es decir ABCD es un rombo.
PROPIEDADES DE LOS CUADRADOS
TEOREMA: Todo cuadrado es paralelogramo,
rectángulo y rombo y por lo tanto cumple todas
las propiedades de éstos.
Dm: (Ejercicio)
CRITERIOS DE CUADRADO
TEOREMA: Un cuadrilátero convexo es un
cuadrado sii cumple cualquiera de las siguientes
propiedades:
1. Es rectángulo y rombo.
2. Es un rectángulo con dos lados
consecutivos congruentes.
3. Es un rombo con un ángulo recto.
4. Las diagonales son perpendiculares,
congruentes y se cortan en su punto medio.
Dm: (Ejercicio)
Unidad cinco cuadriláteros, Página 3 de 38
A B
M P N
C
A B
E F
C
PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS
TEOREMA: En todo trapecio los lados
paralelos son desiguales.
Dm: En efecto, si los lados paralelos fuesen
congruentes se obtendría un
paralelogramo y entonces el otro par de
lados serían paralelos.
En un trapecio, los lados paralelos se llaman
BASE MAYOR y BASE MENOR; el segmento
que une los puntos medios de los lados no
paralelos se llama la BASE MEDIA; la
distancia entre las bases es la ALTURA.
TEOREMA: En todo trapecio, los ángulos
adyacentes a cada uno de los lados no paralelos
son suplementarios.
Dm: (Ejercicio)
TEOREMA: La base media del trapecio es
paralela a las bases y es congruente con la
semisuma de las bases mayor y menor, es decir:
Base mayor Base menor
Base media2
Dm: Sea ABCD un trapecio con ABllDC y
ADllBC (no paralelos).
Tracemos DB , MP
y PN con M, P y N
los puntos medios
de DA, DB y CB .
En el DAB,
MP AB y MP AB/2P (base media) y en el
BCD, PN DC y PN DC/2P (base media),
luego por el Postulado de Euclides las rectas
MP y PNsuur sur
coinciden y resulta AB MN DCP P y
MN=(AB+DC)/2.
TEOREMA: El segmento que une los puntos
medios de las diagonales de un trapecio está
contenido en la base media y es congruente con
la semidiferencia entre las bases mayor y
menor.
Dm: (Ejercicio)
PROPIEDADES DEL TRAPECIO ISÓSCELES
TEOREMA: En todo trapecio isósceles se
cumplen las siguientes propiedades:
1. Los lados no paralelos son congruentes.
2. Los ángulos adyacentes a cada una de sus
bases son congruentes.
3. Los ángulos opuestos son suplementarios.
4. Las diagonales son congruentes.
5. Las mediatrices de las bases coinciden, y
las mediatrices de los cuatro lados
concurren.
Dm: Sea ABCD un trapecio isósceles con
AB DCP y AD ║BC (no paralelos) y
AD=BC.
1. Tracemos las alturas DE y CF , entonces
DE=CF (AB DCP ) y por RHC,
AEDBFC, luego A=B (sHs).
Además A+D=180 y B+C=180,
entonces D=C.
4. Tracemos las diagonales AC y BD ,
entonces ABCBAD por
L: BC = AD, (hipótesis)
A: B = A, (por 1)
L: AB=BA, (común)
Luego AC BD .
Unidad cinco cuadriláteros, Página 4 de 38
A B
E F
C
CRITERIOS DE TRAPECIO ISÓSCELES
TEOREMA: Un trapecio es isósceles sii cumple
cualquiera de las siguientes propiedades:
1. Los lados no paralelos son congruentes.
2. Los ángulos adyacentes a una de las bases
son congruentes.
3. Un par de ángulos opuestos son
suplementarios.
4. Las diagonales son congruentes.
5. Las mediatrices de las bases coinciden.
Dm:
2. Sea ABCD un trapecio tal que ABllDC y
ADllBC con A=B.
Tracemos las alturas DE y CF , entonces
DE=CF (AB DCP ) y por el teorema RCAop,
AEDBFC, luego AD=BC (LsHs) y el
trapecio es isósceles.
5. Supongamos que MNsuur
es la mediatriz de
AB y CD , con M y N puntos medios de
AB y CD respectivamente. Si trazamos
las alturas DE y CF , resultan los
rectángulos DEMN y NMFC (3s rectos) y
entonces EM=MF y por lo tanto AE=BF.
Ahora, por RCC AEDBFC, luego AD=BC
y el trapecio es isósceles.
CONSTRUCCIONES
1. Construir un paralelogramo si se conocen:
a. Sus lados y uno de los ángulos que
ellos forman.
b. Sus lados y una de sus diagonales.
c. Sus diagonales y uno de los ángulos
que ellas forman.
d. Sus diagonales y uno de sus lados.
2. Construir un rectángulo si se conocen:
a. Un lado y su diagonal.
b. Sus diagonales y uno de los ángulos
que ellas forman.
3. Construir un rombo si se conocen:
a. Su lado y una sus diagonales.
b. Sus diagonales.
4. Construir un cuadrado si se conoce su
diagonal.
5. Construir un trapecio si se conocen:
a. Sus bases, su altura y una de sus
diagonales.
b. Sus lados no paralelos, su altura y una
de sus diagonales.
6. Construir un trapecio isósceles, si se
conocen
a. Sus bases y su altura.
b. Uno de sus ángulos, su altura y su
diagonal.
c. Su altura, su lado no paralelo y su
diagonal.
Unidad cinco cuadriláteros, Página 5 de 38
CRUCIGRAMA CUADRILÁTEROS
(Elaboró: Carlos Alberto Ríos Villa)
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 11
12 13 14
15 16
17
18
19
20
21 22
23
24
25 26
27
28
29 30
31
32
Unidad cinco cuadriláteros, Página 6 de 38
HORIZONTALES
1 360º 3 UNA DE LAS PROPIEDAD DE LOS ANGULOS EN UN PARALELOGRAMO. 5 EN TODOS LOS PARALELOGRAMOS PASA LO MISMO CON SUS DIAGONALES,
AUNQUE ELLAS NO SEAN IGUALES 6 ASÍ SON LAS DIAGONALES DE LOS RECTÁNGULOS Y DEL TRAPECIO ISO. 7 LADOS PARALELOS DE UN TRAPECIO 8 DEFINICIÓN DE PARALELOGRAMO. ES UN CUADRILÁTERO CON ..... 9 CUADRILÁTERO CON UN PAR DE LADOS PARALELOS Y LOS OTROS DOS NO
PARALELOS 10 POR ESTA RAZÓN LOS ANGULOS CONSECUTIVOS EN UN PARALELOGRAMO O
LOS ADYACENTES A LOS LADOS DE UN TRAPECIO SON SUPLEMENTARIOS 12 SEMENTO QUE UNE LOS PUNTOS MEDIOS DE LOS LADOS NO PARALELOS EN
UN TRAPECIO 13 TODO POLÍGONO DE CUATRO LADOS 14 SON LAS CARACTERISTICAS QUE SIEMPRE SE CUMPLEN, EN ESTE CASO EN
LOS CUADRILÁTEROS. 15 CUADRILÁTERO DOS PARES DE LADOS COSECUTIVOS IGUALES 16 SI EN UN PARALELOGRAMO SON IGUALES, ENTONCES ÉSTE SERÁ UN
RECTÁNGULO 17 ESTE CUADRILATERO ES PARALELOGRAMO, ROMBO Y RECTANGULO A LA VEZ 18 CRITERIO DE ROMBO 19 ASÍ SON LOS LADOS OPUESTOS DE LOS PARALELOGRAMOS Y LOS NO
PARALELOS DE UN TRAPECIO ISO. 20 ESTE TRAPECIO TIENE AL MENOS UN ÁNGULOS RECTO 21 SI UN CUADRILATERO CONVEXO ES AL MISMO TIEMPO ESTOS OTROS DOS,
ENTONCES POREMOS CONCLUIR QUE ES UN CUADRADO. 24 SUMA DE LOA ANGULOS INTERIORES DE CUALQUIER CUADRILATERO 25 SI SABEMOS ESTO ACERCA DE UN CUADRILÁTERO CONVEXO PODEMOS
CONCLUIR QUE ES UN RECTÁNGULO 26 ESTE CUADRILÁTERO ENTRE OTRAS PROPIEDADES TIENE UN PAR DE LADOS
PARALELOS, LOS ÁNGULOS DE LA BASE IGUALES, LAS DIAGONALES IGUALES
Y SUS MEDIATRICES CONCURREN 27 ASÍ SON LOS LADOS NO PARALELOS DEL TRAPECIO ISOSCÉLES 28 EN EL TRAPECIO ESTAS RECTAS CONCURREN EN UN PUNTO 29 EN ALGUNOS CUADRILATEROS ESTOS SEGMENTOS PARECEN GEMELOS, POR
EJEMPLO EN EL RECTÁNGULO Y EN EL TRAPECIO ISO 31 NOMBRE DADO A UN PARALELOGRAMO CON LADOS CONSECUTIVOS
DIFERENTES 32 ESTE CUADRILÁTERO NO TIENE LADOS PARALELOS
VERTICALES
2 EN TODO PARALELOGRAMO LOS CONSECUTIVOS LO SON, PERO TAMBIEN LOS OPUESTOS EN UN TRAPECIO ISO. Y LOS ADYACENTES A LOS LADOS NO PARALOS DE TODO TRAPECIO
4 EN EL TRAPECIO ISÓSCELES ESTOS SON IGUALES 11 SI ESTA PROPIEDAD SE CUMPLE EN UN CUADRILÁTERO
CONVEXO, ENTONCES SE PUEDE CONCLUIR QUE DICHO CUADRILÁTERO ES UN ROMBO.
13 SIRVEN PARA CONCLUIR QUE CLASE DE CUADRILATERO SE TIENE SI SE CONOCEN CIERTAS PROPIEDADES
22 CUADRILÁTERO EQUILÁTERO 23 ËSTE CUADRILÁTERO TIENE LADOS OPUESTOS PARALELOS 30 EL TEOREMA DE LA BASE MEDIA PERO CON HIPOTESIS Y
LA TESIS INVERTIDAS, ESCRITO SIMPLIFICADAMENTE
Unidad cinco cuadriláteros, Página 7 de 38
UNIDAD 5
CUADRILATEROS
Para afrontar la solución de los ejercicios correspondientes a esta unidad debes tener
presente la diferencia entre propiedades de los cuadriláteros y los criterios para
determinar la clase de cuadrilátero, identificar correctamente los datos en los enunciados
de tal forma que puedas determinar fácilmente lo que es hipótesis y lo que es la tesis. En la
solución de los ejercicios es necesario recordar los siguientes aspectos:
1. propiedades fundamentales de cada tipo de cuadrilátero
- paralelogramo
- rectángulo
- rombo
- cuadrado
- trapecio
- trapecio isósceles
- trapecio recto
2. Criterio para determinar cuándo un cuadriláteros es
- paralelogramo
- rectángulo
- rombo
- cuadrado
- trapecio
- trapecio isósceles
- trapecio recto
Se hace recomendable la realización de un resumen sobre dicho tema.
Unidad cinco cuadriláteros, Página 8 de 38
1. En un ABC se prolongan Hasta M y N tal que y Se traza
probar que M B y que N
GRAFICA 49
1.
2.
3.
4.
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 y ACB
2. En un se trazan las diagonales AC y BD que se cortan en “O” .Demostrar que
OAB
GRAFICA 50
AFIRMACION RAZON
1
2
3 ( )
Unidad cinco cuadriláteros, Página 9 de 38
3. Sobre los lados de un XOY dado, se toman los puntos A sobre
( )y se construye
El gr OACB ¿Cuál es el lugar geométrico del vértice C del
GRAFICA 51
:
1.
2. ( )
por lo tanto
entonces
asi EOD es un
– n
4. Probar que en un isosceles la diferencia de las distancias desde un punto p sobre
la prolongación de la base a los lados iguales es constante. usa esta propiedad para
hallar el L.G de los puntos tales que la diferencia de sus distancias a dos rectas
secantes dadas sea igual a una medida constante dada
Unidad cinco cuadriláteros, Página 10 de 38
GRAFICA 52
AFIRMACION RAZON
1 s
2 CG
3
4
5
6
7
8
9 ( )
10
11 ( ) ( )
12
5. Demostrar que La mediana de un triángulo está comprendida entre la semisuma y la
semidiferencia de los lados trazados desde el mismo vértice.
GRAFICA 53
| |
AFIRMACION RAZON
1
2 | |
3
Unidad cinco cuadriláteros, Página 11 de 38
6. En un cuadrado ABCD se unen los puntos M,N,P,Q puntos medios de los lados
consecutivos. Probar que resulta un cuadrado.
GRAFICA 54
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
6
7
7. Dado un recto en A, sobre los lados AB y AC se construyen los cuadrados ABDE y
ACFG luego se trazan Y s a BC probar que:
a. DD +FF'= BC
b. D-A-F
c. DE y FG concurre en la prolongación de la altura AH
GRAFICA 55
1.
3.
4.
a.
b.
c.
Unidad cinco cuadriláteros, Página 12 de 38
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
6
7
8
9 ( )
10
11 ( ) ( )
12
13 ( )
14
15
( ) ( )
16 ( )
17
18 ( )
19
20 ( )
21 ( )
8. Demostrar que si dos s son cortadas por una transversal las bisectrices de los ángulos
interiores forman un rectángulo.
GRAFICA 56
Unidad cinco cuadriláteros, Página 13 de 38
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 o ( ) ( )
9. Demostrar que las bisectrices de un gr forman un rectángulo
GRAFICA 57
1.
2.
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
6 de ( ) ( )
10. Dado un rombo ABCD desde los vértices B y D se trazan las s BM,BN,DP y DQ a los
lados opuestos que se cortan en E y F demostrar que BFDF es un rombo y que sus s
son iguales a los de ABCD.
GRAFICA 58
1.
2. DP
1.
2.
Unidad cinco cuadriláteros, Página 14 de 38
Para realizar este ejercicio hay muchas variaciones, podemos aprovechar el teorema AAL
para demostrar que los triángulos BMA, ∆DPA,∆DQC,∆BNC son congruentes lo que nos
llevaría a demostrar la congruencia entre los segmentos DM,PB,QB Y ND para permitirnos
llegar a que los triángulos DME, ∆BPE,∆DNF Y ∆BQF también son congruentes
nuevamente por AAL y por lo tanto DEBF es Rombo.
Realízalo utilizando afirmación – razón y demuestra la segunda parte.
11. En un ABC, se toman los puntos medios M, N y P de los lados , y . se
traza la altura y los segmentos , y . Demostrar que MNPH es un
trapecio isósceles.
GRAFICA 59
AFIRMACION RAZON
1
2 ( )
3
4
5 ( ) ( )
6
7 ( ) ( ) ( )
12. Por el punto medio M del lado de un ABC, se traza una recta cualquiera que
corta a en N. Se toma P tal que P–M–N con PM=MN. Demostrar que .
GRAFICA 60
1.
2.
AB AC BC
AH MN NP MH
AB XY
AC PB AC
Unidad cinco cuadriláteros, Página 15 de 38
AFIRMACION RAZON
1
2
3 ( )
4
5
6
13. En un ABC se traza la mediana relativa al lado . Se traza la recta con E punto
medio de y F sobre . Probar que AF=AC/3.
GRAFICA 61
:
1.
2.
3.
AFIRMACION RAZON
1
2 ( )
3
4 ( ) ( )
5 ( )
14. En un paralelogramo ABCD se unen los vértices B y D con los puntos medios de y
respectivamente. Probar que resulta dividida en tres segmentos iguales
GRAFICA 62
AD BC BEF
AD AC
AD BC
AC
Unidad cinco cuadriláteros, Página 16 de 38
AFIRMACION RAZON
1
2
3 ( ) ( )
4 ( )
5
6
7 ( ) ( )
15. En un trapecio isósceles ABCD (AD=BC) se trazan las diagonales y , las bisectrices de los
ángulos DAB y DBA que se cortan en F y las bisectrices de los ángulos CBA y CAB que se cortan
en G. Demostrar que ABFG // .
GRAFICA 63
1.
2.
3.
4.
AFIRMACION RAZON
1
2 ( )
3
( )
4
5 ( )
6
7 ( ) ( )
8 ( )
AC BD
Unidad cinco cuadriláteros, Página 17 de 38
16. Se prolongan los lados no paralelos de un trapecio ABCD hasta que se corten en E. Se unen los
puntos medios M y N de y , y los puntos medios P y Q de las diagonales y .
Demostrar que MNPQ es un trapecio.
GRAFICA 64
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
6
7 ( ) ( ) s
8 ( ) ( )
AE BE AC BD
Unidad cinco cuadriláteros, Página 18 de 38
EJERCICIOS UNIDAD 5- CUADRILÁTEROS
1. En un paralelogramo ABCD se prolongan en BE=BC y en DF=DC.
a. Probar que DCF=BCE.
b. Demostrar que los puntos F, C y E están alineados.
Grafica 56
1. De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema determina la
hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones
determina la razón de cada
paso.
AFIRMACION RAZON
01 DF DC
02 Δ FDC isósceles
03 ∢DFC ∢FCD
04 ∢FDC ∢DAB ∢CBE
05 ∢FDC+2∢DCF ∢CBE+2∢BCE
06 ⇒ ∢DCF ∢BCE
07 ∢FDC DCB
08 ∢FDC+2∢DCF 180°
∢FDC+∢DCF+DCF 180°
09 ∢BCE+∢DCF+∢BCE 180°
∢FCE 180°
10 F-C-E colineales
AB AD
Unidad cinco cuadriláteros, Página 19 de 38
2.En un paralelogramo, el segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos tiene
por punto medio al punto de corte de las diagonales.
Grafica 57
1. De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema
determina la hipótesis y la
tesis
2. Dada las afirmaciones
determina la razón de cada
paso.
AFIRMACION RAZON
01 AB=DC
02
AB
DC AN NB=DM=DC
03 ∢MIC ∢NIA
04 ΔMIC ΔNIA
05 IC IA
IM IN
06 I punto medio de AC
07 DB AC {I}
08 I punto medio de MN
Unidad cinco cuadriláteros, Página 20 de 38
3.Probar que en un triángulo isósceles la suma de las distancias desde un punto P de la
base a los lados iguales es constante. Usar esta propiedad para hallar el lugar geométrico
de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos rectas secantes dadas, sea igual a
una medida constante dada.
Grafica 56
1. De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema determina la
hipótesis y la tesis
2. Dada la siguiente explicación al
problema organizarla de tal forma
que se determine claramente la
afirmación y su correspondiente
razón.
01 Podemos construir el rombo ACBC’ hallando el punto C’ simétrico a C sobre AB
02 Trazamos QR’⊥AC y que pasa por P tal que A-P-B
03 QR’ también cumple QR’⊥C’B por ser ACBC’ rombo AC ∥ BC’
04 Desde P trazamos PR⊥CB donde ∢RBP ∢PBR’ y PB lado común, por lo tanto ΔPRB ΔPR’B ⇒ PR PR’
05 Desde B trazamos la altura BD⇒ QR’∥BD
06 QD∥R’B ya que AC∥B’C y por ⇒ QDBR’ es paralelogramo
07 DB QR QP + PR ⇒ de ⑥ y suma de segmentos
08 DB QP+PR ⇒ PR’ PR
09 K QP+PR ⇒la longitud de la altura es constante
Unidad cinco cuadriláteros, Página 21 de 38
4.Se considera un paralelogramo ABCD tal que CD= 2AD. Se unen A y B con el punto
medio M de Demostrar que el AMB es recto.
Grafica 57
1. De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema
determina la hipótesis y la
tesis
2. Dada las afirmaciones
determina la razón de cada
paso.
AFIRMACION RAZON
01 DM=MC=
DC
02 CD 2AD ⇒ AD
DC
03 DM=MC=AD=BC
04 ΔADM ΔBCM isósceles
05 ∢D+∢C 180°
06 ∢DAM ∢DMA
∢CMB ∢CBM
07 ∢D+2∢DMA 180°
08 ∢C+2∢CMB 180°
09 ∢D+∢C+2∢DMA+2∢CMB 360°
180°
10 ∢DAM+∢CMB 90°
11 ∢DMA+CMB+∢AMB 180°
12 ∢AMB 90°
CD
Unidad cinco cuadriláteros, Página 22 de 38
5.En un cuadrado ABCD se prolongan sus lados opuestos en su longitud y en sentidos
opuestos: BM=AB, DN=CD, CP=BC, AQ=DA. Se trazan y . Demostrar que
MN=PQ.
Grafica 58
1. De acuerdo a la gráfica y
al enunciado del problema
determina la hipótesis y la
tesis
2. Dada las afirmaciones
determina la razón de cada
paso.
AFIRMACION RAZON
01 AB=BN=BC=CP=CD=DN=AD=AQ
02 ∢NDA ∢ADC ∢DCB ∢DCP ∢ABC
∢CBM ∢BAD ∢BAQ YO’
03 ∢P ∢Q
∢M ∢N
04 Tracemos los segmentos MC , AN
05 ΔABQ ΔBCM ΔCDP ΔDAN
06 BQ CM DP AN
∢BCM CDP
07 ΔMCN ΔPDQ →LAL
→DP MC , ∢MCN ∢PDQ, CN DQ
08 MN PQ
MN PQ
Unidad cinco cuadriláteros, Página 23 de 38
6.En un cuadrado ABCD se toman M sobre y N sobre con AM=DN. Demostrar
que .
Grafica 58
1. De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema
determina la hipótesis y la
tesis
2. Dada las afirmaciones
determina la razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 AB=AD
02 ∢BAM ∢ADN 90°
03 AM=DN
04 ΔBAM ΔADN
05 θ= β
06 + β 90°
θ + 90°
07 + θ + β 180°
08 + + β 180°
90°
09 90°
10 AN ⊥ BM
AD DC
AN BM
Unidad cinco cuadriláteros, Página 24 de 38
7.Sobre los lados , , y de un cuadrado ABCD se toman los puntos A’, B’, C’ y
D’ tales que AA’, BB’, CC’ y DD’ sean la cuarta parte del lado del cuadrado y se unen dichos
puntos. Demostrar que A’B’C’D’ es un cuadrado y que los dos cuadrados tienen el mismo
punto de concurso de las diagonales.
Grafica 59
1. 1. De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema determina
la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina
la razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 A B C D
02 AA’ BB CC’ DD’
03 AB=BC=CD=DA
04 A’B B’C C’D D’A
05 ΔAA D ΔBB A ΔCC B ΔDD’C’
06 1 2 3 4 6 8 9
07 1 + 6 2 + 3 + 8 4 +9=90°
08 6 + β + 2 + θ + 3
8 + + 4 9 + + 1 180°
09 β θ 90°
10 A’B’ B’C’ C’D’ D’A’
11 A’B’C’D’ cuadrado
AB BC CD DA
Unidad cinco cuadriláteros, Página 25 de 38
8.Sobre los lados de un cuadrado y hacia el exterior se construyen cuatro triángulos
equiláteros AEB, BFC, CGD y DHA. Probar que E, F, G y H son los vértices de un cuadrado.
Grafica 60
1. De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema determina
la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones
determina la razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 AB=BC=CD=AD=DG=AH=BF=CF=CG=DG=HD=AE
02 β θ 120°
03 ΔBEF ΔCFG ΔDGH ΔAEH
04 EF FG GH HE
05 ΔBEF,CFG,DGH,AEH isosceles
06 ∢HEF ∢EFG ∢FGH ∢GHE=90°
07 HEFG cuadrado
Unidad cinco cuadriláteros, Página 26 de 38
9.En un rombo ABCD se traza y . Demostrar que BMDN es un
rectángulo.
Grafica 61
1. De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema
determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina
la razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 A C, AB DC , AD BC
02 ∢BMA ∢DNC
03 ΔBMA ΔNDC
04 BM ND , AM NC
05 AD AM BC NC ⇒
MD BN
06 BMDN paralelogramo
07 ∢BMD ∢DNB 90°
08 BMDN rectángulo
BM AD DN BC
Unidad cinco cuadriláteros, Página 27 de 38
10.Probar que si se unen los puntos medios de los lados consecutivos de un trapecio
isósceles el cuadrilátero que se forma es un rombo.
Grafica 62
1. De acuerdo a la gráfica
y al enunciado del problema
determina la hipótesis y la
tesis
2. Dada las afirmaciones
determina la razón de
cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 MNPQ paralelogramo
02 DM=MA=CP=PB=
AD=
BC
03 DQ=QC
04 Δ MQD ΔPCQ
05 MQ QP
06 MNPQ rombo
Unidad cinco cuadriláteros, Página 28 de 38
11.Por el punto medio M del lado de un ABC se traza la perpendicular a dicho
lado. Demostrar que si N es el punto medio del lado entonces el ABC es rectángulo.
Grafica 63
1. De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema
determina la hipótesis y la
tesis.
2. Dada las afirmaciones
determina la razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 AM=MB
02 BN=NC
03 ∢AMN ∢BMN 90°
04 MN base media
05 MN AC
06 ∢CAB ∢NMB 90°
07 ΔABC recto en A
AB MN
BC
Unidad cinco cuadriláteros, Página 29 de 38
12.En un ABC, se trazan las medianas y , por N se traza una paralela a y
por C una paralela a ; estas dos paralelas se cortan en P. Sea D el punto medio de ,
demostrar que .
Grafica 64
1. De acuerdo a la
gráfica y al enunciado
del problema
determina la
hipótesis y la tesis.
2. Dada las afirmaciones
determina la razón de
cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 PN CB PC BN
02 PNBC paralelogramo
03 PN=BC
04 PD=DN=
PN
CM=MB=
BC
05 PD DN CM MB
06 DN CM
07 DNMC paralelogramo
08 DN MN
AM BN BC
BN PN
CD MN
Unidad cinco cuadriláteros, Página 30 de 38
13.En un paralelogramo ABCD se unen los vértices B y D con los puntos medios de y
respectivamente. Probar que resulta dividida en tres segmentos iguales.
Grafica 65
1. De acuerdo a la gráfica y
al enunciado del problema
determina la hipótesis y la
tesis
2. Dada las afirmaciones
determina la razón de cada
paso.
AFIRMACION RAZON
01 DM=NB=MC=AN=
AB
DC
02 DM NB
03 DMNB paralelogramo
04 DQ MP QN MB
05 PC=QP
06 AQ=QP
07 AQ=QP=PC
08 AC=3AQ=3QP=3PC
CD
AB AC
Unidad cinco cuadriláteros, Página 31 de 38
14.En un ABC cualquiera se traza la bisectriz del A, con B–F–C. Se trazan ABFE //
, y BCED // , con E sobre y D sobre . Probar que AE=BD.
Grafica 66
1. De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema
determina la hipótesis y la
tesis
2. Dada las afirmaciones
determina la razón de cada
paso.
AFIRMACION RAZON
01 ED FB EF DB
02 EDBF paralelogramo
03 EF=DB
04 ∢ EFA ∢FAB
05 ∢EAF ∢FAB
06 ∢EAF ∢EFA
07 ΔEAF isósceles
08 EA=EF
09 EA= DB
AF
AC AB
Unidad cinco cuadriláteros, Página 32 de 38
15.Se considera un trapecio ABCD tal que la base menor sea igual a la suma de los
lados no paralelos y . Probar que las bisectrices de los ángulos A y B concurren
sobre la recta .
Grafica 67
1. De acuerdo a la
gráfica y al enunciado
del problema determina
la hipótesis y la tesis
2. Dada las
afirmaciones determina
la razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 ∢QAB ∢DQA
02 ∢CPB ∢PBA
03 ∢DAQ ∢QAB
04 ∢CBP ∢PBA
05 ∢DAQ ∢DQA
06 ∢CPB ∢CBP
07 ΔDAQ isósceles
08 ΔPCB isósceles
09 AD=DQ
10 PC=CB
11 DC=DP+PQ+QC
12 DC=(DP+PQ)+(QC+PC)-PQ
13 DC=AD+BC-PQ
14 DC=AD+BC-PQ
15 AD+BC=AD+BC-PQ
16 PQ=0
17 P=Q
CD
AD BC
DC
Unidad cinco cuadriláteros, Página 33 de 38
NOTAS DE GEOMETRÍA C.A.V.A
EJERCICIOS SOBRE CUADRILÁTEROS
1. En un ABC, se prolongan AB y AC
hasta M y N tal que BM=AB, y CN=AC; se
traza MN . Probar que M=B y
N=C.
2. En un paralelogramo ABCD se prolongan
AB en BE=BC y AD en DF=DC.
a. Probar que DCF=BCE.
b. Demostrar que los puntos F, C y E
están alineados.
3. En un paralelogramo ABCD se trazan las
diagonales AC y BD que se cortan en O.
Demostrar que OAB=OCD.
4. En un paralelogramo, el segmento que une
los puntos medios de dos lados opuestos
tiene por punto medio al punto de corte
de las diagonales.
5. Sobre los lados de un XOY dado, se
toman los puntos A sobre OX
y B sobre
OY
tales que OA+OB=k (k longitud dada),
y se construye el paralelogramo OACB.
¿Cuál es el lugar geométrico del vértice C
del paralelogramo ?.
6. Probar que en un triángulo isósceles la
suma de las distancias desde un punto P
de la base a los lados iguales es
constante. Usar esta propiedad para
hallar el lugar geométrico de los puntos
tales que la suma de sus distancias a dos
rectas secantes dadas, sea igual a una
medida constante dada.
7. Probar que en un triángulo isósceles la
diferencia de las distancias desde un
punto P sobre las prolongaciones de la
base a los dos lados iguales es constante.
Utilizar esta propiedad para hallar el
lugar geométrico de los puntos tales que
la diferencia de sus distancias a dos
rectas secantes dadas, sea igual a una
medida constante dada.
8. Se considera un paralelogramo ABCD tal
que CD= 2AD. Se unen A y B con el punto
medio M de CD . Demostrar que el AMB
es recto.
9. Demostrar que la mediana de un triángulo
está comprendida entre la semisuma y la
semidiferencia de los lados trazados
desde el mismo vértice.
10. En un cuadrado ABCD se prolongan sus
lados opuestos en su longitud y en
sentidos opuestos: BM=AB, DN=CD,
CP=BC, AQ=DA. Se trazan MN y PQ .
Demostrar que MN=PQ.
11. En un cuadrado ABCD se unen los puntos
medios M, N, P y Q de los lados
consecutivos. Probar que el cuadrilátero
obtenido es un cuadrado.
12. En un cuadrado ABCD se toman M sobre
AD y N sobre DC con AM=DN.
Demostrar que AN BM .
13. Dado un triángulo rectángulo ABC, recto
en A, sobre los lados AB y AC se
construyen los cuadrados ABDE y ACFG.
Luego se trazan DD' y FF'
perpendiculares a BC . Probar que:
a. DD’+FF’=BC
b. D, A y F son colineales
c. Las rectas DE
y FG
concurren sobre
la prolongación de la altura AH .
14. Sobre los lados AB , BC , CD y DA de un
cuadrado ABCD se toman los puntos A’, B’,
C’ y D’ tales que AA’, BB’, CC’ y DD’ sean la
cuarta parte del lado del cuadrado y se
unen dichos puntos. Demostrar que
A’B’C’D’ es un cuadrado y que los dos
cuadrados tienen el mismo punto de
concurso de las diagonales.
EJERCICIOS SOBRE CUADRILÁTEROS
NOTAS DE GEOMETRÍA C.A.V.A
2
15. Demostrar que si dos paralelas son
cortadas por una secante, entonces las
bisectrices de los ángulos interiores
forman un rectángulo.
16. Sobre los lados de un cuadrado y hacia el
exterior se construyen cuatro triángulos
equiláteros AEB, BFC, CGD y DHA.
Probar que E, F, G y H son los vértices de
un cuadrado.
17. Demostrar que las bisectrices de los
ángulos de un paralelogramo forman un
rectángulo. Examinar los casos en los que
el paralelogramo sea rectángulo, rombo.
18. En un rombo ABCD se traza BM AD y
DN BC . Demostrar que BMDN es un
rectángulo.
19. Dado un rombo ABCD, desde los vértices
B y D se trazan las perpendiculares BM ,
BN , DP y DQ a los lados opuestos.
Estas perpendiculares se cortan en E y F.
Demostrar que el cuadrilátero BFDE es un
rombo y que sus ángulos son iguales a los
del rombo ABCD.
20. Probar que si se unen los puntos medios
de los lados consecutivos de un trapecio
isósceles el cuadrilátero que se forma es
un rombo.
21. En un ABC, se toman los puntos medios
M, N y P de los lados AB , AC y BC . se
traza la altura AH y los segmentos MN ,
NP y MH . Demostrar que MNPH es un
trapecio isósceles.
22. Por el punto medio M del lado AB de un
ABC se traza la perpendicular MN a
dicho lado. Demostrar que si N es el
punto medio del lado BC entonces el
ABC es rectángulo.
23. Por el punto medio M del lado AB de un
ABC, se traza una recta XY
cualquiera
que corta a AC en N. Se toma P tal que
P–M–N con PM=MN. Demostrar que
PB AC .
24. En un ABC, se trazan las medianas AM
y BN , por N se traza una paralela a BC
y por C una paralela a BN ; estas dos
paralelas se cortan en P. Sea D el punto
medio de PN , demostrar que CD MN .
25. En un ABC se traza la mediana AD
relativa al lado BC . Se traza la recta
BEF
con E punto medio de AD y F sobre
AC . Probar que AF=AC/3.
26. En un paralelogramo ABCD se unen los
vértices B y D con los puntos medios de
CD y AB respectivamente. Probar que
AC resulta dividida en tres segmentos
iguales.
27. En un paralelogramo ABCD se unen los
vértices B y D con los puntos medios de
AD y BC respectivamente. Probar que
AC resulta dividida en tres segmentos
iguales.
28. En un ABC cualquiera se traza la
bisectriz AF del A, con B–F–C. Se
trazan FE AB , y ED BC , con E sobre
AC y D sobre AB . Probar que AE=BD.
29. En un trapecio isósceles ABCD (AD=BC)
se trazan las diagonales AC y BD , las
bisectrices de los ángulos DAB y DBA que
se cortan en F y las bisectrices de los
ángulos CBA y CAB que se cortan en G.
Demostrar que FG AB .
30. Se considera un trapecio ABCD tal que la
base menor CD sea igual a la suma de los
lados no paralelos AD y BC . Probar que
las bisectrices de los ángulos A y B
concurren sobre la recta DC
.
31. Se prolongan los lados no paralelos de un
trapecio ABCD hasta que se corten en E.
Se unen los puntos medios M y N de AE
y BE y los puntos medios P y Q de las
diagonales AC y BD . Demostrar que
MNPQ es un trapecio.
1
TALLER N°6- CUADRILATEROS
01 Probar que si se une los puntos medios de lados consecutivos de un cuadrilátero
cuyas diagonales son perpendiculares, resulta un rectángulo.
02 En un paralelogramo se unen los vértices y con los puntos medios de
y respectivamente. Probar que resulta dividida en tres segmentos
iguales.
03 En un paralelogramo se prolongan en y en .
Probar que .
04 Se considera un paralelogramo tal que . Se unen y con el
punto medio de .Demostrar que el es recto.
05 Demostrar que las bisectrices de los ángulos interiores de un paralelogramo
forman un rectángulo.
06 En un cuadrado se toman sobre y sobre con .
Demostrar que .
07 En un cuadrado se unen los puntos puntos medios de los lados
consecutivos. Probar que resulta un cuadrado.
08 En un cuadrado y sobre se toma igual a y luego trazamos
perpendicular a con sobre . Demostrar que son iguales o
congruentes.
09 En un rombo se traza y . Demostrar que es un
rectángulo.
10 Probar que si se unen los puntos medios de los lados consecutivos de un trapecio
isósceles resulta un rombo.
11 En un trapecio ABCD , de base mayor AB , se trazan las bisectrices de los A y
B que se cortan en un punto F que está sobre DC . Demostrar que
DC AD BC .
12 En un rectángulo ABCD se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos y se unen
los puntos medios M y N donde concurren, demuestre que el cuadrilátero AMNB
es un trapecio Isósceles.
13 En un rectángulo ABCD se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos y se unen
AD DC
AN BM
BM AD DN BC
2
los puntos medios M y N donde concurren, demuestre que el segmento MN es
igual a la diferencia de los lados adyacentes del rectángulo.
14 Demostrar que si dos paralelas son cortadas por una transversal las bisectrices
de los ángulos interiores forman un rectángulo.
15 Por el punto medio del lado de un triángulo , se traza una recta
cualquiera , que corta a en . Se toma un punto tal que y
, probar que es paralela a .
16 Demostrar que en todo cuadrilátero, el ángulo formado por las bisectrices de dos
ángulos consecutivos es igual a la semisuma de los otros dos ángulos.
17 En un , se toman los puntos medios , y de los lados AB , AC y BC .
Se traza la altura AH y los segmentos XY , YZ y XH . Demostrar que es
un trapecio isósceles.
18 En un rombo se ubican los puntos medios y de los lados y ,
intersecta a y en los puntos y respectivamente. Si , calcule
la longitud de
19 Si desde los vértices de un paralelogramo ABCD se trazan perpendiculares AF,
DE, CG, BH a una recta cualquiera EH situada fuera del paralelogramo, tal que E-
F-G-H. Sabiendo que AM ED y BN CG, demuestre que la suma de las dos
perpendiculares trazadas desde dos vértices opuestos es igual a la suma de las
otras dos.
20 Demostrar que en un cuadrilátero que tiene dos ángulos opuestos rectos, las
bisectrices de los otros dos son paralelas.
Recommended