Control y Programación de Robotsvivas/ayr2iaei/CIN_ROB.pdfintersectan, sobre la normal al plano que...

Geometría y CinemáticaGeometría y Cinemática

1

Control y Programación de Robots

Cinemática directa

Cinemática Inversa

Matriz Jacobiana

Cinemática de un Robot Manipulador

2

Cinemática del robot : Estudio de su movimiento con respecto a unsistema de referencia– Descripción analítica del movimiento espacial en función del tiempo– Relaciones: localización del extremo del robot-valores articulares

Problema cinemático directo: Determinar la posición y orientación delextremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas de referencia,conocidos los ángulos de las articulaciones y los parámetros geométricos de loselementos del robot

Problema cinemático inverso: Determinar la configuración que debe adoptar elrobot para una posición y orientación del extremo conocidas

Modelo diferencial (matriz Jacobiana): Relaciones entre las velocidades demovimiento de las articulaciones y las del extremo del robot

Cinemática de un Robot Manipulador

3

Cinemática de un Robot Manipulador

4

Cinemática de un Robot Manipulador

5

Resolución del problema cinemático directo con matrices detransformación homogéneas

Modelo directoModelo directo

6

Cálculo de la posición y orientación de cualquier punto del robot (Elemento Terminal) en función las variables articulares

q1

q2

qn-1

qn

p(x,y,z,α,β,γ)

Procedimiento sistemático de Denavit-Hartemberg

1. Identificar los Enlaces y Ejes de las articulaciones y trazar líneas imaginarias a lo largo de ellos.

Procedimiento de colocación de Ejes de Referencia

7

+1+1

2. Identificar la perpendicular común entre ejes consecutivos. El origen del SR i estará en la intersección del Eje i con la normal común entre los ejes i e i+1

Procedimiento de colocación de Ejes de Referencia

8

+1+1

3. Colocar el eje Zi sobre el eje de la articulación i

Procedimiento de colocación de Ejes de Referencia

9

+1+1

Zi Zi

4. Colocar el eje Xi sobre la perpendicular común, o si los ejes intersectan, sobre la normal al plano que forman los ejes Zi y Zi+1

Procedimiento de colocación de Ejes de Referencia

10

+1+1

Zi Zi

XiXi

5. Colocar el eje Yi completando un sistema de referencia dextrógiro

Procedimiento de colocación de Ejes de Referencia

11

+1+1

Zi Zi

XiXi

Yi Yi

Parámetros de Denavit-Hartemberg (D-H)

12

Cuatro Parámetros:

– Dos ángulos (θi, αi-1)

– Dos distancias (di, ai-1)

Parámetros D-H

Parámetros D-H

Definen el paso de un sistema de referencia asociado a unaarticulación al siguiente Sólo dependen de las características geométricas de cada

eslabón y de las articulaciones que le unen con el anterior ysiguiente (no dependen de la posición del robot)

Definen las matrices A que permiten el paso de un sistemade referencia asociado a una articulación al siguiente y portanto definen las matrices T

Cuatro Parámetros:– Dos ángulos (θi, αi-1)– Dos distancias (di, ai-1)

13

θi: Es el ángulo de xi-1 a xi medida sobre zi (utilizando la regla de la manoderecha).

di: Es la distancia de xi-1 a xi medida a lo largo de zi

ai: Es la distancia de zi a zi+1 medida a lo largo de xi

αi: Es el ángulo de zi a zi+1 medida sobre xi (utilizando la regla de la manoderecha).

Interpretación Parámetros D-H

14

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−

=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

=

−−−−

−−−−

−

−

−−

−−−

−−−

1000

0

1000100

00100001

100001000000

100001000010

001

100000000001

),0,0(),()0,0,(),(

1111

1111

1

1

11

111

111

iiiiiii

iiiiiii

iii

i

ii

iii

ii

iii

i

iiiiii

cdccssssdsccsc

asc

dcssca

cssc

A

dTzTaTxTA

ααθαθαααθαθα

θθ

θθθθ

αααα

θα

Matrices de transformaciónMatrices de transformación

15

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−

=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

=

−−−−

−−−−

−

−

−−

−−−

−−−

1000

0

1000100

00100001

100001000000

100001000010

001

100000000001

),0,0(),()0,0,(),(

1111

1111

1

1

11

111

111

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iii

i

ii

iii

ii

iii

i

iiiiii

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asc

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cssc

A

dTzTaTxTA

ααθαθαααθαθα

θθ

θθθθ

αααα

θα

Matrices de transformaciónMatrices de transformación

16

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−

=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

=

−−−−

−−−−

−

−

−−

−−−

−−−

1000

0

1000100

00100001

100001000000

100001000010

001

100000000001

),0,0(),()0,0,(),(

1111

1111

1

1

11

111

111

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iiiiiii

iii

i

ii

iii

ii

iii

i

iiiiii

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asc

dcssca

cssc

A

dTzTaTxTA

ααθαθαααθαθα

θθ

θθθθ

αααα

θα

Matrices de transformaciónMatrices de transformación

17

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−

=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

=

−−−−

−−−−

−

−

−−

−−−

−−−

1000

0

1000100

00100001

100001000000

100001000010

001

100000000001

),0,0(),()0,0,(),(

1111

1111

1

1

11

111

111

iiiiiii

iiiiiii

iii

i

ii

iii

ii

iii

i

iiiiii

cdccssssdsccsc

asc

dcssca

cssc

A

dTzTaTxTA

ααθαθαααθαθα

θθ

θθθθ

αααα

θα

Matrices de transformaciónMatrices de transformación

18

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−

=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

=

−−−−

−−−−

−

−

−−

−−−

−−−

1000

0

1000100

00100001

100001000000

100001000010

001

100000000001

),0,0(),()0,0,(),(

1111

1111

1

1

11

111

111

iiiiiii

iiiiiii

iii

i

ii

iii

ii

iii

i

iiiiii

cdccssssdsccsc

asc

dcssca

cssc

A

dTzTaTxTA

ααθαθαααθαθα

θθ

θθθθ

αααα

θα

Matrices de transformaciónMatrices de transformación

19

Cinemática de un Robot Planar 2GDL

20

Ejemplo:

Z0

X0

Y0

Z2X3

Y2

X2

Y3 d3

a1 a2

θ20a2-90º3θ20a102θ10001θidiai-1αi-1i

Z3Z1

Y1

X1

Cinemática de un Robot Manipulador

21

Ejemplo:

Robot Industrial RM-10

Cinemática de un Robot Manipulador

22

Cinemática de un Robot Manipulador

23

Cinemática de un Robot Manipulador

24

Matriz de Cambio para Matriz de Cambio para problema problema cinemáticocinemático directodirecto

Cinemática de un Robot Manipulador

25

Matriz de Cambio para Matriz de Cambio para problema problema cinemáticocinemático directodirecto

Cinemática Inversa

26

Cinemática Inversa: Posibles Soluciones

27

Cinemática Inversa: Métodos

28

Cinemática Inversa: Método Geométrico

29

Ejemplo de solución del problema Ejemplo de solución del problema cinemático cinemático Inverso por métodos Inverso por métodos geométricosgeométricos

Cinemática Inversa: Método Geométrico

30

Ejemplo de solución del problema Ejemplo de solución del problema cinemático cinemático Inverso por métodos Inverso por métodos geométricos (Múltiples soluciones)geométricos (Múltiples soluciones)

Cinemática Inversa: Método Matrices Homogéneas

31

Ejemplo de solución del problema Ejemplo de solución del problema cinemático cinemático Inverso mediante Inverso mediante matrices de transformación homogéneasmatrices de transformación homogéneas

0q3003q200-90º2q1l1001θidiai-1αi-1i

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

1000100

0000

1

11

11

10

lcqsqsqcq

A⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

100000010000

22

22

21

cqsq

sqcq

A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1000100

00100001

33

2

qA

z1

z0

z2

z3

x1

x0

x2

x3

Y0

Y1

Y2

Y3

Cinemática Inversa: Método Matrices Homogéneas

32

Ejemplo de solución del problema Ejemplo de solución del problema cinemático cinemático Inverso mediante Inverso mediante matrices de transformación homogéneasmatrices de transformación homogéneas

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

1000100

0000

1

11

11

lCqSqSqCq

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

100000

10000

1000100

00100001

100000010000

22

3

22

322

22

cqsqq

sqcq

qcqsq

sqcq

22223

1

22

2

111

)1(

arctan

)arctan(0

yxx

z

yx

x

yyx

ppSqpCqq

plpp

q

pp

qpSqpCq

+−−=

−

+=

=⇒=+

Cinemática Inversa: Método de reducción polinómica

33

Consiste en transformar las ecuaciones trascendentales obtenidaConsiste en transformar las ecuaciones trascendentales obtenidas por s por métodos algebraicos o geométricos para que adopten forma métodos algebraicos o geométricos para que adopten forma polinómicapolinómica, más fáciles en principio de resolver., más fáciles en principio de resolver.

2

2

2

12sin

11cos

2tan

uuuu

u

+=

+−

=

=

θ

θ

θ

Algunas Algunas transformaciones transformaciones usualesusuales

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−±

=∴

+−−±

=

=−+−+

+=+−

=+

−

cacabb

cacabbu

acbuucaucbuua

solutioncba

2221

222

2

22

tan2

0)(2)()1(2)1(

)sincos

θ

θθ

Cinemática Inversa: Desacoplamiento cinemático

34

Es típico en robots de 6 GDLEs típico en robots de 6 GDL

Se puede resolver de forma explícita Se puede resolver de forma explícita los 3GDL que definen la orientación de los 3GDL que definen la orientación de la garra. la garra.

Cinemática Inversa: Desacoplamiento cinemático

35

Es típico en robots de 6 GDLEs típico en robots de 6 GDL

Ejes 4,5,6 se Ejes 4,5,6 se intersectanintersectan en un en un punto punto ⇒⇒ Existe solución analítica Existe solución analítica por métodos algebraicos (Método por métodos algebraicos (Método de de PieperPieper).).

Cinemática Inversa: Consideraciones computacionales

36

•• Para seguimiento de trayectorias es necesario resolver el probPara seguimiento de trayectorias es necesario resolver el problema lema

cinemáticocinemático a gran velocidad (30 veces/a gran velocidad (30 veces/segseg o más).o más).

•• Son preferibles las soluciones cerradas explícitas (si existenSon preferibles las soluciones cerradas explícitas (si existen) a las ) a las

iterativas.iterativas.

•• Para acelerar cálculos generalmente se emplean tablas previamenPara acelerar cálculos generalmente se emplean tablas previamente te

calculadas (calculadas (looklook--up up tablestables) )

••El coste de calcular n soluciones, no es necesariamente n veces El coste de calcular n soluciones, no es necesariamente n veces el de el de

calcular una única solución.calcular una única solución.

Especificaciones del usuario y localizaciones estándar

37

{B}

{W}

{T}

{G}{S}

•• {S} Marco de referencia de la celda {S} Marco de referencia de la celda de trabajode trabajo•• {B} Marco de referencia base del {B} Marco de referencia base del robotrobot•• {T} Marco de referencia de la {T} Marco de referencia de la herramientaherramienta•• {G} Marco de referencia objetivo {G} Marco de referencia objetivo (Objeto a manipular)(Objeto a manipular)•• {W} Marco de referencia del extremo {W} Marco de referencia del extremo terminal del robot (Sin herramienta)terminal del robot (Sin herramienta)

Objetivo: Planear secuencia de movimientos articulares para llevar {T} a {G} satisfaciendo las

restricciones del problema

PRVRVV BABB

AP

BABp

AP

AORG

×Ω++=

Velocidades Lineales y RotacionalesVelocidades Lineales y Rotacionales

38

Transformación de velocidades lineales

Transformación de velocidades

angularesxB

YA

xA

ZA

YB

ZB

BPAP

AΩB

APORG

B ΩC{C}

{B}

{A}

CBA

BBA

CA R Ω+Ω=Ω

Matriz Jacobiana

39

Matriz Jacobiana

40

Relaciones DiferencialesRelaciones Diferenciales

Matriz Jacobiana

41

En Robótica la matriz En Robótica la matriz Jacobiana Jacobiana describe las relaciones entre las velocidades describe las relaciones entre las velocidades articulares (articulares (θθii) y las velocidades lineales y de rotación del efector final (x) y las velocidades lineales y de rotación del efector final (xii))

Matriz Jacobiana en el dominio de las fuerzas

42

Adicionalmente estamos interesados en conocer la relación entreAdicionalmente estamos interesados en conocer la relación entre los pares los pares articulares que se ejercen sobre el robot (articulares que se ejercen sobre el robot (ττii) y las fuerzas/momentos ejercidas ) y las fuerzas/momentos ejercidas por el efector final (por el efector final (FFii))

Principio de los trabajos Principio de los trabajos virtualesvirtuales

δθτδ TT XF =

Matriz Jacobiana en el dominio de las fuerzas

43

La Expresión anterior se puede La Expresión anterior se puede expandir comoexpandir como

δθδ JX =

Definición de Definición de JacobianoJacobiano

δθτδθ TT JF = FJ T=τδθ∀

Matriz Jacobiana

44

Ejemplo: Ejemplo: JacobianaJacobiana de un robot Plano de 3GDLde un robot Plano de 3GDL

Calcular las relaciones que Calcular las relaciones que describen las siguientes describen las siguientes igualdadesigualdades

Matriz Jacobiana

45

Ejemplo: Ejemplo: JacobianaJacobiana de un robot Plano de 3GDLde un robot Plano de 3GDL

Parametros Parametros del efector del efector finalfinal

Cinemática DirectaCinemática Directa

Matriz Jacobiana

46

Ejemplo: Ejemplo: JacobianaJacobiana de un robot Plano de 3GDLde un robot Plano de 3GDL

dtd

Matriz Jacobiana

47

En forma matricial tenemosEn forma matricial tenemos

Matriz Jacobiana

48

JacobianaJacobiana de un robot SCARAde un robot SCARA

Matriz Jacobiana Inversa

49

Matriz Jacobiana Inversa: Configuraciones Singulares

50