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MÉTODO DE DIFERENCIAS MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS (FDM)FINITAS (FDM)
MÉTODO DE DIFERENCIAS MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS (FDM)FINITAS (FDM)
● Cambia ecuaciones diferenciales a ecuaciones en diferencias finitas
● Relaciona el valor de la variable dependiente en un punto a valores de puntos vecinos
FDM: PASOS PARA UNA FDM: PASOS PARA UNA SOLUCIÓNSOLUCIÓN
● Dividir la región de solución en una grilla de nodos
● Aproximar la Ec. Diferencial en una Ec. de Diferencias Finitas equivalente, que relacione la variable independiente en un punto dentro de la región de solución a sus valores en varios puntos cercanos
● Solucionar las Ec en Diferencias sujetas a las Condiciones de Frontera y/o a las Condiciones Iniciales
NO OLVIDEMOS QUE:NO OLVIDEMOS QUE:
● La naturaleza del problema● La región de solución ● El tipo de CF
FDM depende de:FDM depende de:
PATRONES DE GRILLA 2DPATRONES DE GRILLA 2D
ESQUEMAS DE DIFERENCIAS ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS: Primera DerivadaFINITAS: Primera Derivada
Diferencia Directa BPDiferencia Directa BP
Diferencia Inversa PADiferencia Inversa PA
Diferencia Central BADiferencia Central BA
ESQUEMAS: Segunda DerivadaESQUEMAS: Segunda Derivada
Cualquier aproximación de una derivada en términos Cualquier aproximación de una derivada en términos de sus valores en un conjunto discreto de puntos es de sus valores en un conjunto discreto de puntos es llamada: aproximación de llamada: aproximación de Diferencias FinitasDiferencias Finitas
ESQUEMAS: SERIE DE TAYLORESQUEMAS: SERIE DE TAYLOR
¿Qué es O( h¿Qué es O( hnn ) ? ) ?
Error introducido al truncar la serie
Error del orden de (x)4
Los términos que son más grandes que (x)4
ESQUEMAS: SERIE DE TAYLORESQUEMAS: SERIE DE TAYLOR
¿Qué error existe?¿Qué error existe?
O(O(x)x)22
O(O(x)x)
Este error existe en todas las Diferencias
Finitas
FDM: SOLUCIÓNFDM: SOLUCIÓN
Función a determinarFunción a determinar
Aproximación de Diferencia Aproximación de Diferencia central en el nodo central en el nodo (i, j)(i, j)
FDM: PDE PARABÓLICASFDM: PDE PARABÓLICASDifusión de Calor 1D
FDFD CDCD
FDM: PDE PARABÓLICAS FDM: PDE PARABÓLICAS Formula ExplicitaFormula Explicita
(x, t + t) (x, t)
El valor de El valor de a lo largo a lo largo de la 1º fila, t =de la 1º fila, t = t, t, puede ser calculado en puede ser calculado en términos de las CF y CI, términos de las CF y CI, entonces los valores de entonces los valores de de la 2º fila, t = de la 2º fila, t = 22t, t, son calculados en son calculados en términos de la 1º fila y. . términos de la 1º fila y. . ..
MOLÉCULA COMPUTACIONALMOLÉCULA COMPUTACIONAL
0 r 1/2
El cuadrado se usa para representar el punto de la grilla El cuadrado se usa para representar el punto de la grilla donde donde se presume conocido y el circulo donde se presume conocido y el circulo donde es es desconocidodesconocido
SOLUCIÓN ESTABLESOLUCIÓN ESTABLE
(1 – 2r) > 0(1 – 2r) > 0 0 0 r r 1/21/2
Si r = 1/2Si r = 1/2
Crank y Nicholson: Crank y Nicholson: Formula Formula impícitaimpícita
Puesto que la solución estable depende de r o del tamaño del paso t, la formula explícita es ineficiente
CF( j )
CF( j +1)
Formula ImplícitaFormula Implícita
El lado derecho consiste de tres valores conocidos, mientras el lado izquierda tiene tres valores desconocidos de
Formula ImplícitaFormula Implícita
Si existen n nodos libres a lo largo de cada fila, entonces para j = 0, Si existen n nodos libres a lo largo de cada fila, entonces para j = 0, aplicando la ecuación implícita a los nodos i = 1, 2, . . ., n resulta en n aplicando la ecuación implícita a los nodos i = 1, 2, . . ., n resulta en n ecuaciones simultáneas con n valores desconocidos y con CF y CI ecuaciones simultáneas con n valores desconocidos y con CF y CI conocidos de conocidos de . Similarmente, para j =1, se obtiene n ecuaciones . Similarmente, para j =1, se obtiene n ecuaciones simultaneas en términos de los valores conocidos de j = 0, y así simultaneas en términos de los valores conocidos de j = 0, y así sucesivamente.sucesivamente.
El paso puede ser escogido mucho mas grande que el de la formula El paso puede ser escogido mucho mas grande que el de la formula implicita. Se pueden escoger muchos valores de implicita. Se pueden escoger muchos valores de rr pero es pero es conveniente escoger conveniente escoger r = 1:r = 1:
|
EJEMPLOEJEMPLO
EJEMPLO: MÉTODO EJEMPLO: MÉTODO EXPLICITOEXPLICITO
MAL despeje
EJEMPLO: MÉTODO EJEMPLO: MÉTODO EXPLICITOEXPLICITO
EJEMPLO: MÉTODO IMPLÍCITOEJEMPLO: MÉTODO IMPLÍCITO
EJEMPLO: MÉTODO IMPLÍCITOEJEMPLO: MÉTODO IMPLÍCITO
EJEMPLO: MÉTODO IMPLÍCITOEJEMPLO: MÉTODO IMPLÍCITO
FDM: PDE HIPERBÓLICASFDM: PDE HIPERBÓLICAS
Ec OndaEc Onda u: u: velocidad de ondavelocidad de onda
FDMFDM
Formula Explícita MoléculaFormula Explícita Molécula
r r ≤≤ 1 1
EstabilidadEstabilidad
F. Explícita – Molécula simple r = 1F. Explícita – Molécula simple r = 1
r = 1r = 1
Inicio del Algoritmo de SoluciónInicio del Algoritmo de Solución
j = 0, t = 0j = 0, t = 0
?? Suponiendo ...Suponiendo ...
EJEMPLO: HiperbólicasEJEMPLO: Hiperbólicas
CFCF
CICI
CFCF
Solución AnalíticaSolución Analítica
EJEMPLO: HiperbólicasEJEMPLO: Hiperbólicas
FDM Explicito:FDM Explicito: r = 1r = 1
EJEMPLO: HiperbólicasEJEMPLO: Hiperbólicas
Puesto que u = 1 y r = 1, Puesto que u = 1 y r = 1, △△t = t = △△x. También, dado x. También, dado que el problema es simétrico con respecto a x = 0.5, que el problema es simétrico con respecto a x = 0.5, se soluciona únicamente para 0 < x < 0.5, t ≥ 0.se soluciona únicamente para 0 < x < 0.5, t ≥ 0.
EJEMPLO: SoluciónEJEMPLO: Solución
FDM: PDE's ELIPTICASFDM: PDE's ELIPTICASPoissonPoisson
FDM: PDE's ELIPTICASFDM: PDE's ELIPTICAS
Para cada punto (i , j) en la grilla de la Ec. de PoissonEc. de Poisson
h: Tamaño de la grilla
Laplace
PROMEDIO!
FDM ELIPTICAS MOLECULASFDM ELIPTICAS MOLECULAS
2° Orden2° Orden
FDM ELIPTICAS MOLECULASFDM ELIPTICAS MOLECULAS
4° Orden4° Orden
QUIZQUIZDIBUJE UN DIAGRAMA DE FLUJO PARA DETERMINAR LA SOLUCION CON LA FORMULA EXPLICITA
DIBUJE UN DIAGRAMA DE FLUJO PARA DETERMINAR LA SOLUCION CON LA FORMULA IMPLICITA
FDM: PDE's ELIPTICASFDM: PDE's ELIPTICAS
SOLUCION
GRAN NUMERO DE GRAN NUMERO DE ECUACIONESECUACIONES
ALGEBRAICASALGEBRAICAS
Método MatricialMétodo Matricial
[A]: Matriz [A]: Matriz SparseSparse (muchos ceros) (muchos ceros)[X]: Matriz columna de todos los valores [X]: Matriz columna de todos los valores desconocidos en desconocidos en
los los nodos libres.nodos libres.[B]: Matriz columna de todos los valores [B]: Matriz columna de todos los valores conocidos en los conocidos en los
nodos fijos.nodos fijos.
Método MatricialMétodo Matricial
La matriz La matriz AA también se caracteriza por tener también se caracteriza por tener los términos no nulos, agrupados cerca a la los términos no nulos, agrupados cerca a la diagonal.diagonal.
Para determinar los valores de Para determinar los valores de XX desconocidos: desconocidos:
Métodos IterativosMétodos IterativosLos métodos iterativos son generalmente usados para Los métodos iterativos son generalmente usados para solucionar grandes sistemas de ecuaciones simultaneas. solucionar grandes sistemas de ecuaciones simultaneas.
Un método iterativo para solucionar ecuaciones es aquel que Un método iterativo para solucionar ecuaciones es aquel que utiliza una primera aproximación para calcular la segunda utiliza una primera aproximación para calcular la segunda aproximación, luego esta es usada para calcular la tercera aproximación, luego esta es usada para calcular la tercera aproximación y así sucesivamente.aproximación y así sucesivamente.
GaussSeidelGaussSeidelSuccessive over – relaxationSuccessive over – relaxation
SORSORJacobiJacobi
SORSOR
Residuo: cantidad en que el valor Residuo: cantidad en que el valor (i, j)(i, j) no no satisface la ecuación anteriorsatisface la ecuación anterior
+
Para mejorar la convergencia:
SORSOR
●El parámetro El parámetro se denomina el se denomina el factor de relajación factor de relajación mientras la mientras la técnica es conocida como el método de SobreRelajación Sucesiva técnica es conocida como el método de SobreRelajación Sucesiva (SOR). El valor de (SOR). El valor de se encuentra entre 1 y 2. ( Cuando se encuentra entre 1 y 2. ( Cuando = = 1, el 1, el método simplemente se llama relajación sucesiva). Su valor óptimo método simplemente se llama relajación sucesiva). Su valor óptimo optopt debe hallarse con prueba y error. debe hallarse con prueba y error.
●Para iniciar el Algoritmo, se comienza con un valor inicial Para iniciar el Algoritmo, se comienza con un valor inicial 00(i, j) (i, j) para cada nodo libre. Típicamente se elige para cada nodo libre. Típicamente se elige 00(i, j) = 0 o con el (i, j) = 0 o con el promedio de promedio de en los nodos fijos. en los nodos fijos.
EJEMPLOEJEMPLO
Solucione la ecuación de Laplace:Solucione la ecuación de Laplace:
concon
Paso:Paso:
EJEMPLO: ElípticasEJEMPLO: Elípticas
EJEMPLO: ElípticasEJEMPLO: Elípticas
EJEMPLO: ElípticasEJEMPLO: ElípticasSolucione la ecuación de Poisson (usando SOR):Solucione la ecuación de Poisson (usando SOR):
Banda AislanteBanda Aislante
EJEMPLO: Elípticas EJEMPLO: Elípticas Sol. Analítica Sol. Analítica
CF Heterogéneas
CF Homogéneas
EJEMPLO: Elípticas – Sol. AnalíticaEJEMPLO: Elípticas – Sol. Analítica
EJEMPLO: Elípticas – Sol. AnalíticaEJEMPLO: Elípticas – Sol. Analítica
EJEMPLO: Elípticas – SOREJEMPLO: Elípticas – SOR
Factor de sobreFactor de sobrerelajaciónrelajación
ConCon
NNxx N Nyy:: Numero de divisiones Numero de divisiones
a lo largo del eje x y ya lo largo del eje x y y
NNx x = N= Ny y = 4, 12, 20= 4, 12, 20 x = x = y = 1/4, 1/12, 1/20y = 1/4, 1/12, 1/20
Recordando el problemaRecordando el problema
Banda AislanteBanda Aislante
EJEMPLO: Elípticas – SOREJEMPLO: Elípticas – SOR
Precisión y Estabilidad de las Precisión y Estabilidad de las soluciones del FDMsoluciones del FDM
● La La estabilidadestabilidad y la y la precisiónprecisión son son extremadamente importantes, si la solución extremadamente importantes, si la solución se desea confiable y útise desea confiable y útill
● La La precisiónprecisión es una medida de la cercanía de es una medida de la cercanía de la solución aproximada a la solución exacta la solución aproximada a la solución exacta (si existe).(si existe).
● La La estabilidadestabilidad es el requerimiento de que el es el requerimiento de que el esquema no incrementa la magnitud de la esquema no incrementa la magnitud de la solución al incrementar el tiempo (paso).solución al incrementar el tiempo (paso).
Fuentes de ErrorFuentes de Error
Existen tres fuentes de error, casi inevitables Existen tres fuentes de error, casi inevitables en la solución numérica de problemas físicos:en la solución numérica de problemas físicos:
Error deError de ModeladoModelado
Error deError de TruncamientoTruncamiento(Discretizar)(Discretizar)
Error deError deRedondeoRedondeo
PRECISIONPRECISION
Error de ModeladoError de Modelado
Sistema Sistema No LinealNo Lineal
SistemaSistemaLinealLineal
●Los errores de Modelado son causados por Los errores de Modelado son causados por ciertas suposiciones hechas en el ciertas suposiciones hechas en el modelamiento matemático.modelamiento matemático.
●Por ejemplo, un Sistema No Lineal que puede Por ejemplo, un Sistema No Lineal que puede representarse por medio de una PDE lineal.representarse por medio de una PDE lineal.
Error de Truncamiento Error de Truncamiento (Discretizaci(Discretizacióón)n)
● En análisis numérico se trata con un numero En análisis numérico se trata con un numero finito de términos cuando el proceso es finito de términos cuando el proceso es descrito por una serie infinita.descrito por una serie infinita.
● Por ejm, en varios esquemas de derivación Por ejm, en varios esquemas de derivación de FD, algunos términos de orden mayor en de FD, algunos términos de orden mayor en la serie de Taylor fueron despreciados.la serie de Taylor fueron despreciados.
Error de TruncamientoError de Truncamiento
● Se pueden reducir usando grillas mas finas, decrementando el tamaño de la grilla h y el incremento temporal (paso) t. t.
● También se pueden disminuir usando También se pueden disminuir usando aproximaciones de ordenes mas grandes.aproximaciones de ordenes mas grandes.
● Al utilizar aproximaciones de orden mayor Al utilizar aproximaciones de orden mayor pueden producirse soluciones falsas o pueden producirse soluciones falsas o inestabilidad.inestabilidad.
Error de RedondeoError de Redondeo
● Los cálculos se pueden realizar solo con una Los cálculos se pueden realizar solo con una precisión finita en un computador.precisión finita en un computador.
● Esta fuente de error Esta fuente de error inevitableinevitable se debe al se debe al tamaño limitado de los registros en la unidad tamaño limitado de los registros en la unidad aritmética del computadoraritmética del computador
● Los errores de redondeo pueden ser Los errores de redondeo pueden ser minimizados usando la aritmética de doble minimizados usando la aritmética de doble precisión precisión
Redondeo DiscretizaciónRedondeo Discretización
¿Y la solución puede crecer sin ¿Y la solución puede crecer sin limites?limites?
● Un algoritmo numérico es estable si un Un algoritmo numérico es estable si un pequeño error en cualquier ciclo produce un pequeño error en cualquier ciclo produce un error acumulativo pequeño.error acumulativo pequeño.
● La consecuencia de la inestabilidad es La consecuencia de la inestabilidad es desastrosa.desastrosa.
● En el paso En el paso nn ocurre un error ocurre un error nn, asumiendo , asumiendo una variable independiente.una variable independiente.
● En el paso En el paso n+1n+1, la amplificación de este error , la amplificación de este error es: es: n+1n+1==ggnn
EstabilidadEstabilidad
● g: factor de amplificación● Para dos o mas variables:
Matriz
n+1n+1==ggnn EstabilidadEstabilidad
Método de Von NeumannMétodo de Von NeumannPDE Parabólica:
Serie de Fourier:
k: numero de onda
PDE aprox.PDE aprox.LinealLineal
Método de Von NeumannMétodo de Von Neumann
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