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CURSO OPERATIVA 1
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Raul Araujo Cajamarca
Proyectos:
Un proyecto es cualquier empresa humana
con un claro principio y un claro final
(Gallagher)
Poseen algunas características comunes:
Combinación de actividades
Relación secuencial entre actividades
Preocupación por el tiempo
Preocupación por los recursos
Raul Araujo Cajamarca
Planeación, programación y control
La Planeación requiere desglosar el
proyecto en actividades, estimar recursos,
tiempo e interrelaciones entre actividades.
La Programación requiere detallar fechas de
inicio y terminación.
El Control requiere información sobre el
estado actual y analiza posibles trueques
cuando surgen dificultades.
Raul Araujo Cajamarca
Herramientas de planeación,
programación y control Gráficas de Gantt
Modelos de redes:
Redes deterministas (CPM = Método de la ruta crítica)
Redes probabilistas (PERT = Técnica de evaluación y revisión de programas)
También existen otras técnicas
Raul Araujo Cajamarca
Ejemplo: Construcción de una casa
Activ
Descripción
Predecesor
Durac. (sem)
A Cimientos, paredes - 4
B Plomería, electricidad
A 2
C Techos A 3
D Pintura exterior A 1
E Pintura interior B, C 5
Raul Araujo Cajamarca
Ruta crítica
La Ruta Crítica es la ruta más larga a
través de la red
Determina la longitud del proyecto
Toda red tiene al menos una ruta crítica
Es posible que haya proyectos con más
de una ruta crítica
Raul Araujo Cajamarca
¿Cuál es la ruta crítica de la red
anterior?
Este proyecto tiene tres rutas posibles:
Inicio – A – B – E – Fin
Inicio – A – C – E – Fin
Inicio – A – D – Fin
¿Cuál es la duración de cada una?
Raul Araujo Cajamarca
¿Cómo se encuentra la ruta crítica?
Es necesario agregar a la red los
tiempos de cada actividad
Los tiempos se agregarán en cada
nodo
Las flechas sólo representan la
secuencia de las actividades
Raul Araujo Cajamarca
¿Cómo se encuentra la ruta crítica?
Para cada actividad se calcularán 4
tiempos
Se denotarán:
ES EF
LS LF
Raul Araujo Cajamarca
¿Cómo se encuentra la ruta crítica?
1. Tiempo de inicio temprano: Es el
tiempo más temprano posible para
iniciar una actividad
ES = EF más alto de la(s)
actividad(es) anterior(es)
Raul Araujo Cajamarca
¿Cómo se encuentra la ruta crítica?
2. Tiempo de terminación temprano: Es
el tiempo de inicio temprano más el
tiempo para completar la actividad
EF = ES de la actividad más
duración de la actividad
El ES y el EF se calculan recorriendo
la red de izquierda a derecha
Raul Araujo Cajamarca
¿Cómo se encuentra la ruta crítica?
Inicio A
B
C
D
E Fin
0 4
2
3
1
5 0
0 0 0 4
0+4=
4 6
4 7
4 5
7 12 12 12
Raul Araujo Cajamarca
¿Cómo se encuentra la ruta crítica?
3. Tiempo de terminación más lejana: Es
el tiempo más tardío en que se puede
completar la actividad sin afectar la
duración total del proyecto
LF = LS más bajo de la(s)
actividad(es) próxima(s)
Raul Araujo Cajamarca
¿Cómo se encuentra la ruta crítica?
4. Tiempo de inicio más lejano: Es el
tiempo de terminación más lejano de
la actividad anterior menos la duración
de la actividad
LS = LF de la actividad – duración de
la actividad
Para calcular LF y LS la red se
recorre de derecha a izquierda
Raul Araujo Cajamarca
¿Cómo se encuentra la ruta crítica?
Inicio A
B
C
D
E Fin
0 4
2
3
1
5 0
0 0 0 4
4 6
4 7
4 5
7 12 12 12
12 12
12
12 7
11
7 5
7 4
4 0 0 0
Raul Araujo Cajamarca
¿Cómo se encuentra la ruta crítica?
Después de calculados los cuatro
tiempos de cada actividad, se calculan
las holguras
La holgura es el tiempo que se puede
atrasar una actividad sin afectar la
duración total del proyecto
H = LF – EF
Raul Araujo Cajamarca
¿Cómo se encuentra la ruta crítica?
Inicio A
B
C
D
E Fin
0 4
2
3
1
5 0
0 0 0 4
4 6
4 7
4 5
7 12 12 12
12 12
12
12 7
11
7 5
7 4
4 0 0 0 H=0
H=0
H=7
H=0
H=1
H=0 H=0
Raul Araujo Cajamarca
¿Cómo se encuentra la ruta crítica?
La ruta crítica se encuentra como
aquella ruta para la cual todas sus
actividades tienen holgura igual a cero
Generalmente se marca en la red la
ruta crítica
En este caso es la ruta:
Inicio – A – C – E – Fin
Raul Araujo Cajamarca
¿Cómo se encuentra la ruta crítica?
Inicio A
B
C
D
E Fin
0 4
2
3
1
5 0
0 0 0 4
4 6
4 7
4 5
7 12 12 12
12 12
12
12 7
11
7 5
7 4
4 0 0 0 H=0
H=0
H=7
H=0
H=1
H=0 H=0
Raul Araujo Cajamarca
Se desea determinar la duración de todo el proyecto,
dados los tiempos de duración de cada actividad:
Actividad Precedencia Duración
(Semanas)
A --- 3
B A 4
C A 5
D B, C 2
E B, C 3
F D, E 3
Graficar la red de actividades del proyecto: “Instalación
de un equipo nuevo”
Diagrama Gant: Construir Casa Actividad Duracion Precedente
Bases 4 -
Estructura 10 Bases
Griferia 9 Estructura
Electricidad 6 Estructura
Paredes Interiores 8 Grif / Elect
Paredes Exteriores 16 Estructura
Pintura interior 5 Pared Interior
Pintura Exterior 9 Pared Exterior
Acabados 6 Pint. Int & Ext. Raul Araujo Cajamarca
Caso probabilístico: El método PERT.
En la vida real, las actividades que comprenden
un proyecto ocurrirán en el futuro y el futuro es
incierto.
Esto se refleja en la existencia de incertidumbre
en la duración de cada actividad.
En el ejemplo anterior, ¿Quién garantiza que la
actividad C se inicie exactamente en la semana 3 y
dure 5 semanas? Más aún, ¿Quién garantiza que el
proyecto dure exactamente 14 semanas?
Al existir incertidumbre, se ingresa al terreno de
las probabilidades. Raul Araujo Cajamarca
8.1 Supuestos que establece el método PERT
A) La duración de cada actividad (ti) se convierte en una variable aleatoria continua la cual se expresa bajo tres tipos de estimaciones, en orden ascendente:
Una estimación optimista (o) Es la duración si todo sale bien.
Una estimación más probable (m) Es la duración más realista, si todo sale normal.
Una estimación pesimista (p) Es la duración si todo sale mal.
o m p Raul Araujo Cajamarca
B) Dicha variable aleatoria se distribuye
aproximadamente como una Distribución Beta con
una dispersión de 6 desviaciones estándar entre
las colas. Por lo tanto, el promedio y la varianza de
dicha variable aleatoria se calcula de la siguiente
manera:
o m p
P(ti)
ti
4Promedio:
6i
o m pt
2
2Varianza: 6it
p o
Raul Araujo Cajamarca
8.2 Cálculo de la probabilidad de que el
proyecto termine en determinada fecha
Para ello se necesita:
Dos supuestos adicionales a los establecidos por el
método PERT:
Las duraciones de cada actividad ti son variables
aleatorias estocásticamente independientes.
A pesar que la duración de cada actividad es una variable
aleatoria, la ruta crítica siempre será la misma.
Los dos supuestos anteriormente descritos
permiten la aplicación del Teorema del Límite
Central.
Raul Araujo Cajamarca
El Teorema del Límite Central establece
que:
La suma de “n” variables aleatorias
independientes tiende aproximadamente a una
Distribución Normal con:
Promedio: μ = μ1 + μ2 + μ3 + … + μn
Varianza: σ 2 = σ1 2 + σ2
2 + σ3 2 + … + σn
2
Raul Araujo Cajamarca
Por lo tanto, la duración de un proyecto es una
variable aleatoria aproximadamente normal con:
Promedio = La suma de las duraciones promedio de
las actividades que forman la ruta crítica.
Varianza = La suma de las varianzas de las
actividades que forman la ruta crítica.
Si el proyecto posee más de una ruta crítica, la
varianza de la duración del proyecto se
determina calculando las varianzas de cada ruta
crítica y luego eligiendo aquella de mayor valor.
Raul Araujo Cajamarca
8.3 Ejemplo de aplicación del método
PERT
Volviendo al proyecto: “Instalación de un
equipo nuevo”:
Supóngase que ante la incertidumbre se consulta
a expertos sobre la duración de cada actividad,
consolidando sus apreciaciones en el siguiente
cuadro:
Raul Araujo Cajamarca
Proyecto: “Instalación de un equipo
nuevo”
Activi-
dad Nombre
Prece-
dencia
Tiempo (semanas)
Opti-
mista
Más
proba-
ble
Pesi-
mista
A Detener operaciones de la línea --- 1 2 9
B Preparación del suelo A 2 3.5 8
C Preparación del sistema eléctrico A 4 4 10
D Calibración del nuevo equipo B, C 1 2 3
E Conexión del nuevo equipo B, C 1 2 9
F Pruebas y arranque final D, E 1 2 9
Raul Araujo Cajamarca
Se desea saber lo siguiente:
A) La ruta crítica del proyecto.
B) ¿Cuál es la distribución de probabilidad asociada a la
variable aleatoria: “Duración del Proyecto”?
C) ¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto a lo
más en 14 semanas?
D) Si el contratista que llevará a cabo el proyecto lo
termina en 12 semanas, recibe un bono de $1000.00
¿Qué probabilidad hay en ganar el bono?
E) ¿En qué fecha como máximo debe ofrecerse la
entrega del proyecto para tener un 90% de probabilidad
de cumplir? Raul Araujo Cajamarca
A) La ruta crítica del proyecto
Se grafica la red y se trabaja con los tiempos
promedios de duración de cada actividad:
Acti-
vidad
Prece-
dencia
Tiempo (semanas)
Opti-
mista
Más
probable
Pesi-
mista
Prome-
dio
Varian-
za
A --- 1 2 9 3 1.778
B A 2 3.5 8 4 1.000
C A 4 4 10 5 1.000
D B, C 1 2 3 2 0.111
E B, C 1 2 9 3 1.778
F D, E 1 2 9 3 1.778
Raul Araujo Cajamarca
Red con fechas más tardías y rápidas de
inicio y de fin.
INICIO
0 FIN
14
A(3)
B(4) D(2)
E(3) C(5)
F(3)
0 3
0 3
3 7
4 8
3 8
3 8
8 10
9 11
8 11
8 11
11 14
11 14
Duración normal o promedio del proyecto = 14 semanas.
Raul Araujo Cajamarca
B) ¿Cuál es la distribución de probabilidad
asociada a la variable aleatoria: “Duración del
Proyecto”? La duración del proyecto es la duración de la ruta crítica
A – C – E – F
Aplicando Teorema del Límite Central:
La duración del proyecto se ajusta a una Distribución Normal
con:
Promedio: μA + μC + μE + μF = 3 + 5 + 3 + 3 = 14 semanas.
Varianza: σA2 + σC
2 + σE2 + σF
2 = 1.778 + 1 + 1.778 + 1.778 = 6.334
semanas2.
OJO: Si existiera más de una ruta crítica, se calcula
la varianza de cada ruta crítica y se elige la mayor.
Raul Araujo Cajamarca
C) ¿Cuál es la probabilidad de terminar el
proyecto a lo más en 14 semanas?
Sea X = “Terminar el proyecto a lo más en 14
semanas”
Sabiendo que la duración del proyecto ≈
Normal (=14, 2 = 6.334), entonces:
5.00334.6
141414
ZPZPXP
Raul Araujo Cajamarca
D) Si el contratista que llevará a cabo el proyecto lo
termina en 12 semanas, recibe un bono de $1000.00
¿Qué probabilidad hay en ganar el bono?
Sea Y = “Ganar el bono” es equivalente a
“Terminar el proyecto a lo más en 12 semanas”
Sabiendo que la duración del proyecto ≈ Normal
(=14, 2 = 6.334), entonces:
2134.07947.0334.6
141212
ZPZPXP
Raul Araujo Cajamarca
E) ¿En qué fecha como máximo debe ofrecerse la
entrega del proyecto para tener un 90% de
probabilidad de cumplir?
Lo que se pide es P( duración del Py ≤ Plazo) =
0.90
0.90
14
6.334
141.28
6.334
en la semana 17.22
PlazoZ
Plazo
Plazo
0.90
Plazo
Raul Araujo Cajamarca
Preguntas adicionales:
F) Se ha establecido la siguiente política de
multas al contratista si se retrasa el proyecto:
Se pide hallar el valor esperado de la multa.
Entre 14 y 16 semanas $ 1000
Entre 16 y 18 semanas $ 2000
Más de 18 semanas $ 3000
Raul Araujo Cajamarca
Sea X = “Duración del Proyecto” ≈ Normal (=14,
2=6.334). Para hallar el valor esperado, primero se
hayan las probabilidades para cada tipo de multa (la
suma de estas probabilidades debe ser igual a 1):
0.50 0.29 0.16 0.05
14 16 18
Valor esperado = 0 * 0.5 + $1000 * 0.29
+ $2000 * 0.16 + $3000 * 0.05
Valor esperado = $ 760
Raul Araujo Cajamarca
G) ¿Cuál debe ser la duración mínima y máxima
del proyecto, para un nivel de confianza del 95%?
Teniendo en cuenta que x ≈ Normal ( =14,
2 = 6.334), se tiene:
0.95
b a
( ) 0.95
( ) 0.025
9.06 semanas
( ) 0.975
18.93 semanas
P a x b
P x a
a
P x b
b
Raul Araujo Cajamarca
G) ¿Cuál debe ser la duración mínima y máxima
del proyecto, para un nivel de confianza del 95%?
Teniendo en cuenta que x ≈ Normal ( =14,
2 = 6.334), se tiene:
0.95
b a
( ) 0.95
( ) 0.025
9.06 semanas
( ) 0.975
18.93 semanas
P a x b
P x a
a
P x b
b
Raul Araujo Cajamarca
H) La actividad D requiere de un técnico
especializado que llegará al inicio de la semana 9.
¿Cuál es la probabilidad que se requiera de ese
técnico antes? Se pide: P(D requiera técnico antes de la
semana 9)
Es decir: P(Fecha más rápida de inicio de D ≤ 9)
Fecha más rápida de inicio de D ≈ Normal con:
Promedio = ICD = A + C = 8 semanas
Varianza = σ2A + σ2
C = 2.778
Entonces:
726.060.0778.2
89
ZPZP
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9. Bibliografía
Obligatoria:
Hillier y Lieberman. “Investigación de
Operaciones”, 7ma. Edición. Editorial Mc. Graw
Hill, 2001. Capítulo 10.
Código Biblioteca: 658.4034/H54/2001
Complementaria:
Klastorin, Ted. “Administración de proyectos”. 1°
Edición. Editorial Alfaomega, 2005. Capítulo 1, 2,
4, y 6.
Raul Araujo Cajamarca
Raul Araujo Cajamarca
C) ¿Cuál es la probabilidad de terminar el
proyecto a lo más en 14 semanas?
Sea X = “Terminar el proyecto a lo más en 14
semanas”
Sabiendo que la duración del proyecto ≈
Normal (=14, 2 = 6.334), entonces:
Raul Araujo Cajamarca
D) Si el contratista que llevará a cabo el proyecto lo
termina en 12 semanas, recibe un bono de $1000.00
¿Qué probabilidad hay en ganar el bono?
Sea Y = “Ganar el bono” es equivalente a
“Terminar el proyecto a lo más en 12 semanas”
Sabiendo que la duración del proyecto ≈ Normal
(=14, 2 = 6.334), entonces:
Raul Araujo Cajamarca
E) ¿En qué fecha como máximo debe ofrecerse la
entrega del proyecto para tener un 90% de
probabilidad de cumplir?
Lo que se pide es P( duración del Py ≤ Plazo) = 0.90
Raul Araujo Cajamarca
G) ¿Cuál debe ser la duración mínima y máxima
del proyecto, para un nivel de confianza del 95%?
Raul Araujo Cajamarca
ACT DESCRIPCION PREDECESORAS OPTIMISTA PESIMISTA MAS PROBABLE
A Diseño del producto - 2 10 6
B Estudio del mercado - 4 6 5
C emitir ordenes materiales A 2 4 3
D recibir materiales C 1 3 2
E construir prototipo A,D 1 5 3
F desarrollo y promocion B 3 5 4
G puesta en marcha planta para produccion
masiva E 2 6 4
H distribucion productos a almacenes G,F 0 4 2
Antes de poder introducir un nuevo producto al mercado se debe realizar todas
las actividades que se muestran en la tabla(todos los tiempos están en
semanas).
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