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PLAN DE REFUERZO
MATEMÁTICAS I
Curso 2018/2019
Fecha de entrega: martes, 3 de septiembre de 2019
Alumno/a: _______________________________ Curso: ________
Firma del padre/madre/tutor/a: ____________________________
(*) Los ejercicios y problemas deben ser elaborados de manera clara y organizada, debe incluirse el
procedimiento para la realización de los mismos, así como los cálculos realizados para la obtención del
resultado. Además debe aparecer la respuesta escrita a las cuestiones planteada en cada problema.
NOTA: Se recuerda que la realización de este plan de repaso no supone que se apruebe la asignatura, pero se
tendrá en cuenta positivamente a la hora de evaluar al alumno/a. Luego es importante su realización.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Criterio [BMTI01C01]: Utilizar procesos de razonamiento, de matematización y estrategias de
resolución de problemas en contextos reales (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o
probabilísticos), realizando los cálculos necesarios, comprobando las soluciones obtenidas y
expresando verbalmente el procedimiento seguido. Además, practicar estrategias para planificar, de
forma individual y en grupo, un proceso de investigación matemática, a partir de la resolución de un
problema y el análisis posterior, la generalización de propiedades y leyes matemáticas, o la
profundización en algún momento de la historia de las matemáticas; realizar demostraciones sencillas
de propiedades o teoremas y elaborar en cada situación un informe científico oral y escrito con el rigor
y la precisión adecuados, analizar críticamente las soluciones y otros planteamientos aportados por las
demás personas, superar bloqueos e inseguridades ante situaciones desconocidas, desarrollando
actitudes personales relativas al quehacer matemático y reflexionar sobre las decisiones tomadas,
valorando su eficacia y aprendiendo de ellas para situaciones similares futuras.
Criterio [BMTI01C02]: Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma,
realizando cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos, haciendo representaciones gráficas,
recreando situaciones matemáticas mediante simulaciones o analizando con sentido crítico situaciones
diversas que ayuden a la comprensión de conceptos matemáticos o a la resolución de problemas; así
como utilizar las tecnologías de la información y la comunicación de modo habitual en el proceso de
aprendizaje, buscando, analizando y seleccionando información relevante en Internet o en otras
fuentes, elaborando documentos propios, haciendo exposiciones y argumentaciones de los mismos y
compartiéndolos en entornos apropiados para facilitar la interacción.
Criterio [BMTI01C03]: Identificar y utilizar los números reales sus operaciones y propiedades, así
como representarlos en la recta para recoger, interpretar, transformar e intercambiar información
cuantitativa y resolver problemas de la vida cotidiana, eligiendo la forma de cálculo más apropiada en
cada caso. asimismo valorar críticamente las soluciones obtenidas, analizar su adecuación al contexto
y expresarlas según la precisión exigida (aproximación, redondeo, notación científica…) determinando
el error cometido cuando sea necesario; además, conocer y utilizar los números complejos y sus
operaciones para resolver ecuaciones de segundo grado, el valor absoluto para calcular distancias y el
número e y los logaritmos decimales y neperianos para resolver problemas extraídos de contextos
reales.
Criterio [BMTI01C04]: Analizar, simbolizar y resolver problemas contextualizados mediante el
planteamiento y resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones e inecuaciones; utilizando para ello
el lenguaje algebraico, aplicando distintos métodos y analizando los resultados obtenidos.
Criterio [BMTI01C05]: Identificar y analizar las funciones elementales, dadas a través de
enunciados, tablas, gráficas o expresiones algebraicas, que describan una situación real, a partir de sus
propiedades locales y globales, y después de un estudio completo de sus características para
representarlas gráficamente y extraer información práctica que ayude a interpretar el fenómeno del que
se derivan.
Criterio [BMTI01C06]: Utilizar los conceptos de límite y continuidad de una función aplicándolos
en el cálculo de límites y el estudio de la continuidad de una función en un punto o un intervalo, para
extraer conclusiones en situaciones reales.
Criterio [BMTI01C07]: Utilizar las técnicas de la derivación para calcular la derivada de funciones y
resolver problemas reales mediante la interpretación del significado geométrico y físico de la derivada.
Criterio [BMTI01C08]: Utilizar las razones trigonométricas de un ángulo, de su doble, mitad, y las
transformaciones, los teoremas del seno y coseno, y las fórmulas trigonométricas para aplicarlas en la
resolución de ecuaciones, de triángulos o de problemas geométricos del mundo natural, artístico, o
tecnológico.
Criterio [BMTI01C09]: Utilizar los vectores en el plano, sus operaciones y propiedades, para
resolver problemas geométricos contextualizados, interpretando los resultados; además, identificar y
construir las distintas ecuaciones de la recta y los lugares geométricos, reconociendo sus
características y elementos.
Criterio [BMTI01C10]: Describir y comparar conjuntos de datos de distribuciones bidimensionales,
con variables discretas o continuas, procedentes de contextos relacionados con el mundo científico y
obtener los parámetros estadísticos más usuales, mediante los medios más adecuados (lápiz y papel,
calculadora, hoja de cálculo) y valorando la dependencia entre las variables. Interpretar la posible
relación entre dos variables y cuantificar la relación lineal entre ellas mediante el coeficiente de
correlación, valorando la pertinencia de ajustar una recta de regresión y, en su caso, la conveniencia de
realizar predicciones, evaluando la fiabilidad de las mismas en un contexto de resolución de problemas
relacionados con fenómenos científicos. Además, utilizar el vocabulario adecuado para la descripción
de situaciones relacionadas con la estadística, analizando un conjunto de datos o interpretando de
forma crítica informaciones estadísticas presentes en los medios de comunicación, la publicidad y
otros ámbitos, detectando posibles errores y manipulaciones tanto en la presentación de los datos
como de las conclusiones.
a) b) 23
4
2
3
3
8
3
2
2
⋅ ⋅ ⋅⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
−5 3 6
6 3 5
7 3 4
2 3 14
⋅ ⋅⋅ ⋅
−
− − −
Ejercicio 1:Simplifica y expresa el resultado como potencia.
Ejercicio 2:Escribe como potencias de exponente fraccionario estos radicales.
d) 4 a−5b) a a a3
a c)
aa) a a
Ejercicio 3:Expresa mediante un solo radical.
d)1
2b) c) 3
23 2
a) 3 55
Opera y simplifica.
a ) 3 2 −( )5 4 2⋅ −( )3
b) 2 7 + 3 2( ) 5⋅ −2 2( )
c) 3 + 2( ) 3⋅ − 2( )
d) 5 2 −3( ) 5 2⋅ + 3( )
Ejercicio 4:
Ejercicio 5:Efectúa y simplifica.
b) 811
3
1
33
1
4 48
⋅ ⋅⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠:a)
22 2
22 2
34 4 3
252
⋅⋅
⋅⋅
−
−
Ejercicio 6:Elimina las raíces del denominador.
d)4 2
3 2 − 5b)
3
+2 3
c)−
−
5
23a)
1
+2 1
a) 2 log4 16 + log2 32 − 3 log7 49
b) log2 8 + log3 27 + log5 125
c) log5 625 − log9 81 + log8 64
Ejercicio 7:Halla el resultado de las expresiones, mediante las propiedades de los logaritmos.
Página 1 de 4
Ejercicio 8:Determina, utilizando la calculadora.
a) log5 362 b) c) log6 100 d) log4 315log2 31
Ejercicio 9:Halla el valor de los logaritmos decimales, teniendo en cuenta que log 2 = 0,3010.
a) log 1.250
b) log 0,125
c) log 5
d) log 0,04
b) log3 d) logx 3 = 22
3x =
log56 625 = x
Ejercicio 10:Halla el valor de x en las siguientes igualdades.
a) logx 256 = −8 c)
Ejercicio 11:Racionaliza los siguientes denominadores.
a) —2�
5
5�— b) —
2�54
5�— c) —
2�5�5
� 1—
a) log38 b) log��0,012
Ejercicio 12:Sabiendo que log2 � 0,301 y que log3 � 0,477, halla:
Ejercicio 13:Simplifica el valor de cada expresión.
a)
b) —2
4
7
5
�
3
1
5
5
�
�
(
(
�
�
1
7
5
5
)
)6
4
0
0
—
c) �3� � 2��27 � ��12
�—3
2—�
�2
� �—4
3—�
�3
——2�4 � 3�3
Ejercicio 14:
Calcula el valor de x en cada caso.
a) 2500 � 2000 � 1,05 x
b) 20 � log x 5 � 15
c) 2 � 106 � x12
Página 2 de 4
Ejercicio 15:
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a)
b)3(x −2)
(2x− − )1 =2
0
2 −x 1 −x 1− = x
3 7 2
Ejercicio 16:Resuelve estas ecuaciones.
a) 3(x2 −1) + 2(x −5) −20 = 0b) (2 −x)(5x + 1) − (3 + x)(x − 1) + 8x2−15x + 3 = 0c) (x + 2)(x −3) −x(2x + 1) + 6x = 0d) 3x(x −2) + 2(1 + 9x) −2 = 3x(x + 4)
e) (2 −x)(2x + 2) −4(x −3) −5x = 0
Ejercicio 17:Halla las soluciones de estos sistemas.
b)yx
− +x 4() y
−5 + − =⎫⎪⎪⎪⎬⎪
1
3 52
+ 1 = 3 ⎪⎪⎭6
2
3(2 )
3(2 6(4+ 3(
+x y− +x y x y
x − y =) ⎫⎪⎪−2 + )6 = ⎬⎪⎪⎭
− −)1 154
a)
a) x2 −3x + 2 ≤0
b) x2 −3x + 2 ≥0
c) x2 −9x >0
d) x2 −9 <0
e) x2 + 2 ≤0
Ejercicio 18:Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
a) 8x4 + 26x2 + 15 = 0
b) 9x4 + 80x2 −9 = 0
Ejercicio 19:Estas ecuaciones tienen menos de cuatro soluciones. Determínalas.
b) 32 1+ −2x x + =2 0
a) 2x x+ + 3 6=
Ejercicio 20:
Resuelve y comprueba las soluciones.
Página 3 de 4
3y2 +x + zxx y z
=− +y2 3z =
− + − = − ⎪⎪⎭
⎫⎪⎪⎪⎬⎪
116
2
Ejercicio 21:
Determina las soluciones de estos sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Ejercicio 22:Resuelve las ecuaciones.
b)3
+ 2 + 10
x
x
x− 5 − =
a)x
2x −3 − 3 − x
x−=
1 + 10
2
Página 4 de 4
Ejercicio 1:
Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos.
53 cm
28 cm
45 cm
b) sen α= 0,2a) cos α = 23
Ejercicio 2:Calcula las razones trigonométricas del ángulo si:
B
c
A
b
14 cm88°
55°
Ejercicio 3:Calcula b y c en estos triángulos.
a) C
35° 42°
25 m
h
x
B
Ejercicio 4:Observa la situación y, con ayuda de la trigonometría, calcula la altura h a la que está el punto B.
4
a) sen 131°
b) cos 334° 46'
c) tg 146° 22"
Ejercicio 5:Reduce los ángulos al 1.er cuadrante y calcula estas razones.
Ejercicio 6:En un triángulo rectángulo cuyo ángulo recto es A$, se sabe que b = 30 m y c = 25 m. Resuélvelo.
Ejercicio 7:Calcula las razones trigonométricas del ángulo si:
a) sen α = 1 b) tg α = 0,49
Calcula el área de este triángulo.
46°
25 m
37°
Ejercicio 8:Resuelve el triángulo, sabiendo que dos de sus lados miden 14 cm y 18 cm, respectivamente, y el ángulo opuesto a uno de ellos mide 70°. Dibuja el triángulo.
Ejercicio 9:
Ejercicio 10:
Un globo aerostático se encuentra sujeto al suelo, mediante dos cablesde acero, en dos puntos que distan60 m. El cable más corto mide 80 m y el ángulo que forma el otro cablecon el suelo es de 37°.
Calcula.
a) La medida del otro cable.b) La distancia del globo al suelo.
37°
60 m
80 m
r: �x � 2 � 2ty � 6 � t , t � R
a)b)c)
r: x � ky � 1 � 0; s: kx � 4y � 3 � 0, paralelas.
r: kx � 2y � 4k � 0; s: x � 3y � 4 � 0, coincidentes.
r: 2kx � 5y � 1 � 0; s: 3x � ky � 2 � 0, paralelas.
Ejercicio 11:Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2 ,6) y es paralela a:
Ejercicio 12:En cada caso, calcula el valor del parámetro k para que las rectas tengan la posición relativa indicada.
Ejercicio 13:Estudia la posición de la recta x + y = 0 con relación a la circunferencia: x2 + y2 + 6x + 2y + 6 = 0.
Ejercicio 14:Calcula la pendiente de las siguientes rectas:
a) r: y � �2x � 3b) r: 2x � 3y � 5 � 0
c) r: �—3
2— x � —
1
5— y � 5 � 0
e) Recta que pasa por los puntos P (1, a) y Q (1, 3a).
f) Recta cuyo vector director es �u� � (�3, 5).
g) Recta cuyo vector normal es �n� � (2, �7).
d) Recta que pasa por los puntos P(�1, 2) y Q(1, 3). h) r : �x � �3 � 5�y � �1 � 2�
a)
Ejercicio 15:Calcula las ecuaciones explícitas de las rectas siguientes:
b)c)d)
Pasa por A(�1, 2) y tiene pendiente m � 2.
Pasa por los puntos A(�1, 3) y B(2, 4).
Pasa por A(2, �3) y forma con la parte derecha del eje de abscisas un ángulo de 30�.
Pasa por A(�2 , 5) y forma con la parte izquierda del eje de abscisas un ángulo de 120�.
a) (−1 − i) + (−4 + 5i ) c) −1 −( i)(−4 + 5i )
b) d)− +2( ) ( +i i )
− +−
1 3
212
ii
− + 54
1− − i
i
z1 = 230° z2 = cos 60° + i sen 60°
calcula.
a) z1 ⋅ z2 c) z3 ⋅ z3
b) d) 21( )2z z⋅1 ⋅z z 3
z3 = 2 π5
4
z1 = 4330° z2 = cos 120° + i sen 120° z3 = 1 − i
calcula.
b) (z2)3 c) d)a) (z1)221( )2z z⋅3( )z 4 ⋅ 3z
Ejercicio 16:Resuelve las siguientes operaciones.
Ejercicio 17:Dados los números complejos:
Ejercicio 18:Dados los números complejos:
b) −2 3i g)
h)
i)
c) −3 − i
d) 6i
e) −4
3 i
−3 2 i
3
2
5
3− i
b) 3 −27
a) 3150°
Ejercicio 19:Representa los números en el plano complejo.
a) 5 + i f ) −2i
Ejercicio 20:
Calcula las siguientes raíces.
2.- Calcular: xaxxx
lim
3.- Calcular el límite de la función 2
cos1)(
x
xxf
, en el punto 0, en el punto 1 y en
4.- Calcular el siguiente límite: x
x x
x
12
32lim
5.- Calcular el valor de la constante c para que ex
xcx
x
3lim
1.- Determinar el valor de a para que: 1lim
xx 2 axx
2
Ejercicios propuestos:
7.- Calcular a y b para que la función definida por
1 si x 1
si 0 x 1ax b
si x 0
f (x )
2
x lnx
xe x
sea continua
8.- Probar que la función definida por 8
1f (x )
2
x 3 7x
x no es continua en x=1. Indicar que tipo
de discontinuidad presenta.
6. - Determinar a y b para que la función real f, definida por
b(x 1) si x 0x
3asenx
b cosx si x 0f (x )
ae x
sen2x
sea continua en la recta real.
1.- A partir de la definición de derivada de una función en un punto, calcular la derivada de las
funciones f(X)=3X, en xo=1, y ( ) 5g x x= − en xo=9.
2.- Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función 1 si x 0
( ) 1
0 si x 0
x
x
f x e
= + =
en xo=0.
3.- Sea k un número real y f una función real definida sobre R, mediante
2 1 si x 0
( )
0 si x 0
x sen kxf x x
+
= =
a) Calcular la derivada de f en el punto xo=0b) Calcular la función derivada
Ejercicios porpuestos:
4.- Estudiar la derivabilidad de la función
+
=
1 si x 1
si -1 x 12
si x -1+5 3
)
x 2 −3x
x
f (x
5.- Calcular a y b para que la función 3
2
x )
bx (f x
ax
x − si x -1=
+ si x -1 sea derivable.
6.- Calcular las derivadas de las funciones:
( )23
cos2 4
2) ) 1 )
2
xx xf(x g(x) = tg h(x x I(x Arcsenx
sen x= = + =
7.- Derivar y simplificar: 2
21 1) ) · 1
1 2 4 4
x x xf(x Arctg Arctgx g(x Arcsenx x
x
+= − + −= −
−
8.- Calcular la derivada n-ésima de la función 2xf x( ) = e
9.- Hallar un punto del intervalo [0,1], donde la tangente a la curva 2f(x) =1+ x − x , sea paralela al
eje de abscisas.
10.- Hallar los puntos en los que la tangente a la curva 3
2− x − 3x +13
xf(x) = sea:
a) Paralela el eje OX
b) Paralela a la recta: g(x) x5= + 3
c) Perpendicular a la recta: 13
x(h x) = +
2(x) (1 )f xln= +11.- Halla el punto de la curva en el que la tangente es perpendicular a la tangente
trazada por el punto de abscisa x=1.
12.- Sea f la función definida por 2f(x) 4= − x
a) Halla las ecuaciones de la recta normal y de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de
abscisa x=2.b) Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta
: 2r x 2y+ − = 0
1. Sea la siguiente distribución estadística:
Hallar:
a) La moda, mediana y media.
b) El rango, desviación media, varianza, desviación típica y C.V.
c) Los cuartiles 1º y 3º.
d) Los percentiles 30, 70 y 97.
xi fi
[10, 15) 3 [15, 20) 5 [20, 25) 7 [25, 30) 4 [30, 35) 2
Ejercicios Resueltos:
2.- Al laboratorio de la policía científica de Casablanca, han llegado 30 botellas de agua de distintas
marcas, para analizar su contenido en sales minerales,
Se han obtenido los siguientes datos, expresados en mg.
46 25 27 30 48 40 76 75 49 59 33 52 21 32 45 27 44 37 62 56 29 54 45 66 69 34 53 45 75 56
1. Clasifica la variable estadística de concentración de sales.
2. Agrupa los datos en una tabla de 7 intervalos.
3. Completa la tabla con todas las columnas necesarias.4. La media y la moda.5. La mediana y los cuartiles6. Los percentiles P40, P80 y P987. La desviación media8. La varianza y la desviación típica9. El coeficiente de variación
10. Representa los datos mediante el gráfico que consideres más adecuado.
3.- Al lanzar 30 veces un dado, se obtienen los siguientes resultados:
2,5,4,3,1,6,4,5,4,2,4,6,1,3,6,3,1,2,4,1,5,4,6,4,1,2,3,4,1,4
a) Recuenta los datos y organízalos en una tabla.b) Calcula la media, la mediana y la moda.c) Calcula el recorrido.d) Calcula la varianza y la desviación típica.e) A la vista de la tabla, ¿Se puede sospechar que el dado está trucado?
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