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Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras
planas: una trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Marco Emilio Correa Repizo
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería y Administración
Maestría en Enseñanza de la Ciencias Exactas y Naturales
Palmira, Colombia
2020
Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras
planas: una trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Marco Emilio Correa Repizo
Tesis o trabajo de investigación presentada(o) como requisito parcial para optar al título
de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director (a):
PhD. Teresa Pontón Ladino
Línea de Investigación: Educación Matemática
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería y Administración
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Palmira, Colombia
2020
(Dedicatoria o lema)
A Dios y a toda mi familia por ser parte
fundamental en mi vida y ayudarme a lo largo de
todo este proceso.
Declaración de obra original
Yo declaro lo siguiente:
He leído el Acuerdo 035 de 2003 del Consejo Académico de la Universidad Nacional.
«Reglamento sobre propiedad intelectual» y la Normatividad Nacional relacionada al
respeto de los derechos de autor. Esta disertación representa mi trabajo original, excepto
donde he reconocido las ideas, las palabras, o materiales de otros autores.
Cuando se han presentado ideas o palabras de otros autores en esta disertación, he
realizado su respectivo reconocimiento aplicando correctamente los esquemas de citas y
referencias bibliográficas en el estilo requerido.
He obtenido el permiso del autor o editor para incluir cualquier material con derechos de
autor (por ejemplo, tablas, figuras, instrumentos de encuesta o grandes porciones de
texto).
Por último, he sometido esta disertación a la herramienta de integridad académica, definida
por la universidad.
Marco Emilio Correa Repizo
Nombre
Fecha 07/07/2020
Agradecimientos
A mi estimada profesora Teresa Pontón Ladino, admiración y respeto por lo que
representas para mí y muchos estudiantes en la maestría, tu entrega a nosotros a lo largo
de cada proceso hará que muchos profesionales en la educación, en particular la
educación matemática, tomen tu ejemplo y comencemos a transformar nuestras prácticas
y aplicar todas tus enseñanzas, sobre todo estoy muy agradecido por llevarme a umbrales
en la comprensión de los que implica ser un profesional en educación y ser un profesor de
matemáticas.
También te doy gracias por formarme como investigador y hacerme más consciente de la
entrega que exige la academia.
A los directivos, administrativos, profesores de la I. E. Manuel Antonio Sanclemente por
abrirme las puestas de su institución educativa y brindarme todas las garantías para
realizar mi trabajo, especialmente mis más sinceros agradecimientos la profesora Iliana
Holguín Peña por ser parte activa de este proyecto.
A Yamileth Sandoval Ocampo, admiración por lo bien que realiza su labor y el haber
trabajado contigo me permitió crecer como persona y profesional, con sinceridad atesórate
tu amistad.
A Paola Andrea Toro Pantoja y Lina Verónica Collazos por brindarme su apoyo, amistad y
aliento cuando más lo necesitaba a lo largo de la maestría y a Augusto Lema Villegas un
agradecimiento espacial, por hacer de los espacios de la maestría un lugar grato para
compartir y debatir.
Resumen y Abstract XI
Resumen
En este informe de trabajo final, se presenta un estudio de los procesos de visualización
que se movilizan en estudiantes de grado séptimo de educación básica, cuando se
enfrentan a una trayectoria hipotética de aprendizaje (THA), que apunta a la comprensión
del tópico de áreas de figuras planas y al desarrollo de su pensamiento geométrico y
métrico. La implementación de la THA que aquí se presenta se llevó a cabo con tres grupos
de estudiantes de grado séptimo de una Institución Educativa oficial ubicada en la ciudad
de Buga (Valle del Cauca). Para identificar los elementos y procesos que permitirían el
desarrollo de este trabajo se tomó como referente la propuesta semiótico-cognitiva
desarrollada por Duval (1999, 2001, 2005), la cual parte de la premisa de que el
aprendizaje de las matemáticas en particular de la geometría radica en la debida
coordinación de registros de representación semiótica y su interpretación. También se
recurrió a las investigaciones de Marmolejo (2007, 2014), para orientar el diseño de una
trayectoria de aprendizaje la cual, permitió entender como los estudiantes alzaban un
acercamiento a la comprensión del tópico de interés, mediante la exploración heurística de
figuras geométricas que permitirían la comparación, clasificación y reconfiguración de las
formas y la elaboración de explicaciones, determinando así, una mejor conceptualización
del tópico de interés. Finalmente, los resultados de este estudio permiten concluir que la
comprensión desarrollada por los estudiantes se logró establecer que ésta se encuentra
mediada por una diversidad de recursos semióticos que les ayuda a tomar conciencia
frente al registro figural y que dotan de sentido a los procesos de visualización que se van
desarrollando.
Palabras clave: procesos de visualización, teoría semiótica-cognitiva, registros
semióticos, trayectoria hipotética de aprendizaje y áreas de figuras planas.
XII Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Abstract
In this final paper report, it shows a study about the visualization processes that are
mobilized in seventh grade students of basic education, when they face a hypothetical
learning trayectory (THA), which aims the understanding of flat figures area topic and
devlopment od geometric and metric thinking. The THA implementation presented here
was carried out with three groups of seventh grade students from an official Educational
Institution located in Buga city (Valle del Cauca). To identify the elements and processes
that would allow the development of this paper, the semiotic-cognitive proposal developed
by Duval (1999, 2001, 2005) was taken as a reference, which starts from the premise that
the mathematics learning in particular from geometry, lies in the proper registers
coordination of semiotic representation and their interpretation. Also, the Marmolejo`s
research (2007, 2014) was used to guide the design of a learning trajectory, which allowed
to understand how students raised an approach to understand the topic, through the
heuristic exploration of geometric figures that allows the forms comparison, classification
and reconfiguration and the elaboration of explanations, determining a better
conceptualization of the interest topic. Finally, this study results allow us to conclude about
the understanding developed by the students developed by the students, it was established
that it is mediated by a diversity of semiotic resources that helps them become aware about
the figural register and that give meaning to the visualization processes that are going
developing.
Keywords: Processes of visualization, semiotic - cognitive theory, semiotic registers,
hypothetical learning trajectories and plane figures, areas.
Contenido XIII
Contenido
Pág.
Resumen ........................................................................................................................ XI
Lista de figuras ............................................................................................................ XVI
Lista de tablas ............................................................................................................. XXI
Introducción .................................................................................................................... 1
1. Contextualización y planteamiento del campo problemático ............................... 5
1.1 Planteamiento del problema ............................................................................... 5 1.2 Justificación ...................................................................................................... 10 1.3 Antecedentes ................................................................................................... 15
1.3.1 Investigaciones relacionadas con aspectos de la enseñanza y/o aprendizaje de la geometría vista desde un enfoque semiótico cognitivo ................................... 16 1.3.2 Investigaciones que registran adelantos frente al trabajo con áreas .......... 20 1.3.3 Investigaciones que abordan la metodología de trayectorias de aprendizaje 23
1.4 Planteamiento de la pregunta de investigación ................................................ 25 1.5 Objetivos .......................................................................................................... 26
1.5.1 Objetivo general ........................................................................................ 26 1.5.2 Objetivos específicos ................................................................................ 26
2. Fundamentos Teóricos .......................................................................................... 27
2.1 Algunos elementos de la teoría semiótica-cognitiva ......................................... 27 2.1.1 Los procesos cognitivos en geometría ...................................................... 29 2.1.2 Las condiciones cognitivas de ver en geometría ....................................... 30 2.1.3 Las entradas en geometría ........................................................................ 32 2.1.4 La manera de ver requerida en geometría “una quinta entrada” ................ 36
2.2 Formas de aprehensión en geometría .............................................................. 41 2.2.1 La aprehensión perceptiva ........................................................................ 41 2.2.2 Aprehensión operatoria ............................................................................. 42 2.2.3 Aprehensión discursiva ............................................................................. 45
2.3 La influencia de los libros de texto escolar en el desarrollo de la visualización de un contenido especifico en geometría ......................................................................... 47
2.3.1 Elementos generadores del control visual ................................................. 48 2.3.2 Tipos de control visual ............................................................................... 54
XIV Contenido
2.4 El área de figuras planas .................................................................................. 61 2.5 Deducciones de fórmulas para hallar el área de algunas figuras geométricas .. 64
3. Fundamentos metodológicos y de diseño ........................................................... 75
3.1 Las trayectorias de aprendizaje: una teoría para el diseño ............................... 76 3.2 Elementos constitutivos de las trayectorias hipotéticas de aprendizaje ............. 78 3.3 Elementos por considerar para la recolección y análisis de información ........... 81 3.4 Contextualización de la implementación y planificación metodológica .............. 83 3.5 Elementos primarios de diseño ......................................................................... 86
3.5.1 Orientaciones didácticas ............................................................................ 87 3.5.2 Conocimientos previos de los estudiantes ................................................. 89
3.6 Síntesis general de los niveles de aprendizaje pensados a priori para diseñar la THA 90
4. Diseño de la THA: tareas por niveles ................................................................... 95
4.1 Primer nivel de aprendizaje ............................................................................... 95 4.2 Segundo nivel de aprendizaje ......................................................................... 105 4.3 Tercer nivel de aprendizaje ............................................................................. 112 4.4 Cuarto nivel de aprendizaje ............................................................................ 126 4.5 Quinto nivel de aprendizaje ............................................................................. 133
5. Análisis a posteriori: constitución de una trayectoria real de aprendizaje ..... 143
5.1 Presentación general del instrumento de valoración del proceso de análisis de datos 144 5.2 Presentación general de los resultados del grupo de tareas que conforman el primer nivel de aprendizaje ........................................................................................ 145
5.2.1 Hallazgos de aspectos por mejorar del primer nivel de aprendizaje ......... 155 5.2.2 Reflexión de cierre del primer nivel de aprendizaje .................................. 159
5.3 Presentación general de los resultados del grupo de tareas que conforman el segundo nivel de aprendizaje .................................................................................... 159
5.3.1 Hallazgos de aspectos por mejorar del segundo nivel de aprendizaje ..... 166 5.3.2 Reflexión de cierre del segundo nivel de aprendizaje .............................. 170
5.4 Presentación general de los resultados del grupo de tareas que conforman el tercer nivel de aprendizaje ......................................................................................... 171
5.4.1 Hallazgos de aspectos por mejorar del tercer nivel de aprendizaje .......... 180 5.4.2 Reflexión de cierre del tercer nivel de aprendizaje ................................... 182
5.5 Presentación general de los resultados del grupo de tareas que conforman el cuarto nivel de aprendizaje ........................................................................................ 183
5.5.1 Hallazgos de aspectos por mejorar del cuarto nivel de aprendizaje ......... 190 5.5.2 Reflexión de cierre del cuarto nivel de aprendizaje .................................. 192
5.6 Presentación general del grupo de tareas que conforman el quinto nivel de aprendizaje ................................................................................................................ 193 5.7 Reflexión de cierre de la THA para constituirse como una TRA ...................... 200
6. Conclusiones ....................................................................................................... 203
6.1 Respecto a los elementos de corte teórico y documental ................................ 203 6.2 Respecto al diseño e investigación de la trayectoria y los niveles de aprendizaje 206
Contenido XV
6.3 Respecto a los procesos de visualización, tratamientos figurales y factores de visibilidad ...................................................................................................................209 6.4 Recomendaciones ...........................................................................................211
A. Anexo: Rejilla de análisis de las variables consideradas para le diseño de la
THA 215
B. Anexo: Algunas evidencias fotográficas de las intervenciones realizadas en los
grados séptimos de I.E. Manuel Antonio Sanclemente ............................................ 217
Referencias Bibliográficas ......................................................................................... 223
Contenido XVI
Lista de figuras
Pág.
Figura 2-1. Ejemplo de visualización icónica. ................................................................. 31
Figura 2-2. Ejemplo de visualización de una tarea no icónica. ....................................... 32
Figura 2-3. Ejemplo de representación de algunas figuras euclidianas elementales. ..... 33
Figura 2-4. Ejemplo alusivo a una tarea de la entrada del topógrafo–geómetra. ............ 34
Figura 2-5. Ejemplo de construcción de un polígono ABCD. .......................................... 35
Figura 2-6. Ilustración de la reconfiguración de un paralelogramo ABCD en un rectángulo
con una sola partición. .................................................................................................... 36
Figura 2-7. Ejemplo de descomposición estrictamente homogénea de un cuadrado. ..... 37
Figura 2-8. Ejemplo de descomposición homogénea de un cuadrado. ........................... 38
Figura 2-9. Ejemplo de descomposición heterogénea. ................................................... 39
Figura 2-10. Ejemplo de descomposición de unidades figurales por deconstrucción
dimensional de una forma poligonal. ............................................................................... 40
Figura 2-11. Representación de un trapecio ABCD realizado en Geogebra. .................. 42
Figura 2-12. Ejemplo de aprehensión operatoria. ........................................................... 44
Figura 2-13. Ilustración del paso crucial para reconfigurar la figura inicial en subfiguras.
....................................................................................................................................... 44
Figura 2-14. Representación de la operación figural de sustracción. .............................. 45
Figura 2-15. Ilustración del ejemplo de la aprehensión discursiva. ................................. 46
Figura 2-16. Adaptación del ejemplo del elemento de generador de control visual de
procedimiento usando la réplica como forma de control. ................................................. 50
Figura 2-17. Adaptación del ejemplo del elemento de generador de control visual de
procedimiento usando la referencia como forma de control. ........................................... 51
Figura 2-18. Ejemplo del elemento de generador de control visual de visibilidad. .......... 52
Figura 2-19. Ejemplo del elemento de generador de control visual de visibilidad. .......... 53
Figura 2-20. Ejemplo del elemento de generador de control visual de iconismo. ............ 54
Figura 2-21. Despliegue del tipo de visualización de control visual simple. .................... 55
Figura 2-22. Adaptación del ejemplo presentado por (Marmolejo y González, 2015, p.21).
....................................................................................................................................... 56
Figura 2-23. Ejemplo de control visual ambiguo. ............................................................ 58
Figura 2-24. Representación de la solución propuesta para el ejemplo de control visual
ambiguo. ......................................................................................................................... 59
Figura 2-25. Ilustración de la segunda solución al ejemplo de control visual ambiguo. ... 60
Figura 2-26. Representación de una línea poligonal....................................................... 65
Contenido XVII
Figura 2-27. Representación de un rectángulo ABCD con un área ab. .......................... 66
Figura 2-28. Representación figural de un conjunto elemental. ..................................... 67
Figura 2-29. Representación de un cuadrado OPQR con área a2. ................................. 67
Figura 2-30. Representación de la aprehensión operatoria por configuración de un
paralelogramo ABCD a un rectángulo EFCD. ................................................................. 68
Figura 2-31. Ilustración de la aprehensión operatoria de un cambio figural para hallar la
fórmula de un triángulo ABC al transformarlo en un romboide ABDC. ............................ 70
Figura 2-32. Representación de un trapecio ABDC. ...................................................... 70
Figura 2-33. Representación de un rombo ABCE. ......................................................... 71
Figura 2-34. Representación de un rectángulo regular ABCDE. .................................... 72
Figura 3-1. Adaptación del Ciclo de enseñanza de Simon (1995). ................................. 78
Figura 3-2. Esquema de elementos a considerar para planear la estructura del diseño. 86
Figura 4-1. Presentación del diseño de la T1-Nv1. ........................................................ 96
Figura 4-2. Presentación de la solución esperada de la T1-Nv1. ................................... 97
Figura 4-3. Presentación del diseño de la T2-Nv1. ........................................................ 98
Figura 4-4. Presentación de la solución esperada de la T2-Nv1. ................................... 98
Figura 4-5. Presentación del diseño de la T3-Nv1. ........................................................ 99
Figura 4-6. Presentación de la solución esperada de la T3-Nv1. ..................................100
Figura 4-7. Presentación de la opción de solución esperada la T3-Nv1. .......................101
Figura 4-8. Presentación del diseño de la T4-Nv1. .......................................................102
Figura 4-9. Presentación de la solución esperada de la T1(a)-Nv1. ..............................103
Figura 4-10. Presentación de la solución esperada de la T1(b)-Nv1. ............................104
Figura 4-11. Presentación del diseño de la T1-Nv2. .....................................................106
Figura 4-12. Presentación de la solución esperada de la T1-Nv2. ................................106
Figura 4-13. Presentación del diseño de la T2-Nv2. .....................................................107
Figura 4-14. Presentación de una posible solución esperada de la T2-Nv2 ..................108
Figura 4-15. Presentación del diseño de la T3-Nv2. .....................................................109
Figura 4-16. Presentación una posible solución de la T3-Nv2. .....................................109
Figura 4-17. Presentación del diseño de la T4-Nv2. .....................................................110
Figura 4-18. Presentación del diseño de la T4-Nv2. .....................................................111
Figura 4-19. Presentación del diseño de la T1-Nv3. .....................................................113
Figura 4-20. Presentación de una posible solución de la T1-Nv3. ................................115
Figura 4-21. Presentación del diseño de la T2-Nv3. .....................................................118
Figura 4-22. Representación de la posible solución de la primera situación de la T2-Nv3.
......................................................................................................................................119
Figura 4-23. Representación de la posible solución de la segunda situación de la T2-Nv3.
......................................................................................................................................119
Figura 4-24. Representación de la posible solución de la tercera situación de la T2-Nv3.
......................................................................................................................................120
Figura 4-25. Presentación del diseño de la T3-Nv3. .....................................................122
Figura 4-26. Representación de la posible solución esperada de la T2-Nv3. ................123
Figura 4-27. Presentación del diseño de la T4-Nv3. .....................................................123
Figura 4-28. Representación de la posible solución de la T4-Nv3.................................124
Figura 4-29. Presentación del diseño de la T5-Nv3. .....................................................125
Contenido XVIII
Figura 4-30. Representación de la solución esperada de la T5-Nv3. ............................ 126
Figura 4-31. Presentación de los diseños de las T1 y T2-Nv4. ..................................... 127
Figura 4-32. Representación de las soluciones esperadas de la T1 -Nv4. ................... 129
Figura 4-33. Representación de las soluciones esperadas de la T2 -Nv4. ................... 129
Figura 4-34. Presentación del diseño de la T3-Nv4. ..................................................... 130
Figura 4-35. Representación de la solución esperada de la T3-Nv4. ............................ 130
Figura 4-36. Presentación del diseño de la T4-Nv4. ..................................................... 131
Figura 4-37. Representación de la solución esperada de la T4-Nv4. ............................ 132
Figura 4-38. Presentación del diseño de la T1-Nv5 parte 1. ......................................... 133
Figura 4-39. Presentación del diseño de la T1-Nv5 parte 2. ......................................... 134
Figura 4-40. Presentación del diseño de la T1-Nv5 parte 3. ......................................... 134
Figura 4-41. Presentación del diseño de la T1-Nv5 parte 4. ......................................... 135
Figura 4-42. Representación de las soluciones esperadas de la T1-Nv5. .................... 136
Figura 4-43. Presentación del diseño de la T2-Nv5. ..................................................... 137
Figura 4-44. Representación de la posible reconfiguración del rombo del diseño de la T2-
Nv5. .............................................................................................................................. 138
Figura 4-45. Presentación del diseño de la T3-Nv5. ..................................................... 139
Figura 4-46. Presentación de los trazos esperados para la solución de la T3-Nv5. ...... 140
Figura 5-1. Evidencia 1 de solución de la T1-Nv1. ....................................................... 147
Figura 5-2. Evidencia 2 de solución de la T1-Nv1. ....................................................... 147
Figura 5-3. Evidencia 1 de las producciones de la T2-Nv1. .......................................... 148
Figura 5-4. Evidencia 2 de las producciones de la T2-Nv1. .......................................... 149
Figura 5-5. Evidencia de una de las producciones representativas de los estudiantes de
la T3-Nv1. ..................................................................................................................... 150
Figura 5-6. Evidencia de una de las producciones representativas de los estudiantes de
la T3-Nv1. ..................................................................................................................... 151
Figura 5-7. Evidencia 1 de solución de la T4-Nv1 ítem (a). .......................................... 152
Figura 5-8. Evidencia 2 de solución de la T4-Nv1 ítem (a). .......................................... 152
Figura 5-9. Evidencia 1 de solución de la T4-Nv1 ítem (b). .......................................... 153
Figura 5-10. Evidencia 2 de solución de la T4-Nv1 ítem (b). ........................................ 153
Figura 5-11. Evidencia 1 de solución de la T4-Nv1 ítem (c).......................................... 154
Figura 5-12. Evidencia 2 de solución de la T4-Nv1 ítem (c).......................................... 155
Figura 5-13. Evidencia 1 de un uso inadecuado de las reglas de la designación. ........ 155
Figura 5-14. Evidencia 2 de un uso inadecuado de las reglas de la designación. ........ 156
Figura 5-15. Evidencia de un obstáculo en la designación del círculo. ......................... 156
Figura 5-16. Evidencia 1 de la distorsión de la conservación de la unidad de medida. . 157
Figura 5-17. Evidencia 2 de la distorsión de la conservación de la unidad de medida. . 158
Figura 5-18. Evidencia 3 de la distorsión de la conservación de la unidad de medida. . 158
Figura 5-19. Evidencia de solución de la T1-Nv2. ........................................................ 161
Figura 5-20. Evidencia 1 de solución de la T2-Nv2. ..................................................... 161
Figura 5-21. Evidencia 2 de solución de la T2-Nv2. ..................................................... 162
Figura 5-22. Evidencia 3 de solución de la T2-Nv2. ..................................................... 162
Figura 5-23. Evidencia de algunas de las soluciones de la T3-Nv2. ............................. 163
Figura 5-24. Evidencia de algunas de las soluciones de la T3-Nv2. ............................. 164
Contenido XIX
Figura 5-25. Evidencias de algunas de las soluciones de la T3-Nv2. ............................164
Figura 5-26. Evidencia de muestra de una de las soluciones de la T4-Nv2. .................165
Figura 5-27. Evidencia 1 de casos con variantes en la T1-Nv2. ....................................166
Figura 5-28. Evidencia 2 de casos con variantes en la T1-Nv2. ....................................166
Figura 5-29. Evidencia 1 de los casos con variantes en la T2-Nv2. ..............................167
Figura 5-30. Evidencias de casos con variantes en la T2-Nv2. .....................................167
Figura 5-31. Evidencia de un caso de casos con variantes en la T2-Nv2. ....................168
Figura 5-32. Evidencia en que falto una cuadrícula para recubrir la superficie en la T3-
Nv2. ...............................................................................................................................168
Figura 5-33. Evidencia donde faltó una cuadrícula para recubrir la superficie en la T4-
Nv2. ...............................................................................................................................169
Figura 5-34. Evidencia (1A) representativa del trabajo con áreas sombreadas desde una
relación parte-todo en la T1-Nv3. ..................................................................................172
Figura 5-35. Evidencia (1B) representativa del trabajo con áreas sombreadas desde una
relación parte-todo en la T1-Nv3. ..................................................................................173
Figura 5-36. Evidencia (1C) representativa del trabajo con áreas sombreadas desde una
relación parte-todo en la T1-Nv3. ..................................................................................174
Figura 5-37. Evidencia (1D) representativa del trabajo con áreas sombreadas desde una
relación parte-todo en la T1-Nv3. ..................................................................................174
Figura 5-38. Evidencia 1 representativa de la T2-Nv3. .................................................175
Figura 5-39. Evidencia 2 representativa de la T2-Nv3. .................................................175
Figura 5-40. Evidencia 1 representativa de la T3-Nv3. .................................................176
Figura 5-41. Evidencia 2 representativa de la T3-Nv3. .................................................177
Figura 5-42. Evidencia representativa de resolución de la T4-Nv3. ..............................178
Figura 5-43. Evidencia 1 representativa de resolución de la T5-Nv3. ...........................179
Figura 5-44. Evidencia 2 representativa de resolución de la T5-Nv3. ...........................179
Figura 5-45. Evidencia de aspectos puntuales por atender de la T1-Nv3. ....................180
Figura 5-46. Evidencia de aspectos puntuales por atender de la T2-Nv3. ....................181
Figura 5-47. Evidencia de uno de los casos en que faltó colocar las unidades de áreas
T5-Nv3. .........................................................................................................................182
Figura 5-48. Evidencia 1 representativa de reconfiguración figural T1-Nv4. .................185
Figura 5-49. Evidencia 2 representativa de reconfiguración figural T1-Nv4. .................186
Figura 5-50. Evidencia 1 representativa de reconfiguración figural T2-Nv4. .................186
Figura 5-51. Evidencia 2 representativa de reconfiguración figural T2-Nv4 ..................187
Figura 5-52. Evidencia representativa de reconfiguración figural sin elemento de
contraste T3-Nv4. ..........................................................................................................188
Figura 5-53. Evidencia representativa de deconstrucción figural T4-Nv4. .....................189
Figura 5-54. Evidencia de caso por aspecto a mejorar en el uso de la medida T1-Nv4.
......................................................................................................................................190
Figura 5-55. Evidencia de caso por aspecto a mejorar coordinar la visualización con
unidades de referenciaT4-Nv4. .....................................................................................191
Figura 5-56. Evidencia 1(a) de reconfiguración de áreas a una forma específica T1-Nv5.
......................................................................................................................................194
Contenido XX
Figura 5-57. Continuación de evidencia 1(a) de reconfiguración de áreas a una forma
específica T1-Nv5. ........................................................................................................ 195
Figura 5-58. Evidencia 2(a) de reconfiguración de áreas a una forma específica T1-Nv5.
..................................................................................................................................... 195
Figura 5-59. Continuación de evidencia 2(a) de reconfiguración de áreas a una forma
específica T1-Nv5. ........................................................................................................ 196
Figura 5-60. Evidencia 1 de reconfiguración el área de un rombo T2-Nv5. .................. 197
Figura 5-61. Evidencia 2 de reconfiguración el área de un rombo T2-Nv5. .................. 198
Figura 5-62. Evidencia 1 de descomposición figural de un área poligonal T3-Nv5. ...... 199
Figura 5-63. Evidencia 2 de descomposición figural de un área poligonal T3-Nv5. ...... 200
.
Contenido XXI
Lista de tablas
Pág.
Tabla 2-1: Compilación de las diferentes modificaciones operatorias. ........................... 43
Tabla 2-2: Presenta una síntesis de los mencionados elementos de control para el
tratamiento del tópico de área de figuras planas presentes en los libros escolares. ....... 49
Tabla 3-1: Pensamientos y estándares asociados al contenido de áreas, propuestos por
el (MEN, 2006). .............................................................................................................. 88
Tabla 3-2. Estructura general de los niveles de aprendizaje de la THA. ......................... 90
Tabla 4-1. Compilación de las descripciones esperadas para cada seccionamiento del
polígono ABCDEF. ........................................................................................................141
Tabla 5-1. Ejemplo de tabla de balance de los procesos evaluados en los estudiantes
para un nivel de aprendizaje..........................................................................................145
Tabla 5-2. Valoración de los resultados, posterior a la aplicación. ................................146
Tabla 5-3. Balance de los procesos evaluados en los estudiantes para el segundo nivel
de aprendizaje. ..............................................................................................................160
Tabla 5-4. Balance de los procesos evaluados en los estudiantes para el tercer nivel de
aprendizaje. ...................................................................................................................171
Tabla 5-5. Balance de los procesos evaluados en los estudiantes para el cuarto nivel de
aprendizaje. ...................................................................................................................184
Tabla 5-6. Balance de los procesos evaluados en los estudiantes para el quinto nivel de
aprendizaje. ...................................................................................................................193
Introducción
La educación matemática como campo de estudio e investigación busca dar respuesta a
los interrogantes que emergen en torno a la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas, en especial la comprensión de los objetos matemáticos, lo que implica que
los trabajos que se propongan, no se limiten a la selección de contenidos o escogencia de
estrategias para su enseñanza; sino que, más importante aún, generen espacios de
análisis y reflexión donde la aprehensión del conocimiento sea motivo suficiente para
actuar, en aras de ayudar a superar las debilidades que presentan los estudiantes cuando
despliegan sus razonamientos.
Así, en el amplio espectro de la educación matemática, el interés de este trabajo está
centrado en la enseñanza de la geometría, por ser uno de los campos con mayor
necesidad de estudio, debido al bajo nivel de desempeño que presentan los estudiantes
en distintos niveles de la formación escolar, TIMSS (2007) y PISA (2018) que reportó el
ICFES (2010, 2018). Ese nivel de desempeño es quizás explicado por una enseñanza
tradicional centrada en la formalidad y la desarticulación de los contenidos en los currículos
escolares (Camargo y Acosta, 2012). Lo que trae fuertes consecuencias tales como el
alejamiento de la capacidad de realizar acercamientos heurísticos que permitieran
desarrollar habilidades específicas del pensamiento geométrico en los estudiantes.
En ese sentido, cabe recalcar que el aprendizaje de la geometría, visto desde un
posicionamiento semiótico y cognitivo recurre como mínimo a dos registros de
representación: el registro figural y el registro de la lengua natural, debido a que para
asegurar que se produzca un aprendizaje en esta disciplina se hace necesario alcanzar
una interacción entre ambos registros, en el que su coordinación permitirá al educando dar
cuenta de la apropiación de una serie de conocimientos.
2 Introducción
Conforme a lo anterior, este trabajo propone abordar el tópico de áreas de figuras
planas, para realizar un acercamiento hacia el tratamiento de las figuras geométricas y
mostrar las posibilidades que permite plantear una propuesta que estimule los procesos
de visualización por ser una actividad cognitiva fundamental para desarrollar en los
estudiantes.
Todos estos elementos se conjugaron para el diseño de una trayectoria hipotética de
aprendizaje (THA) que se aplicaría en la clase de geometría a estudiantes de grado
séptimo de una Institución Educativa pública de la ciudad de Buga (Valle del Cauca), la
cual, fue analizada y ajustada por el docente investigador, la profesora de aula y la tutora
quien dirigió este trabajo. En definitiva, el objetivo de este trabajo de indagación busca
estudiar los procesos visuales que emergen cuando se orientan a los estudiantes mediante
los diseños de un grupo de tareas que pone en juego los factores de visibilidad y los
elementos de control visual.
Respecto a los elementos de control visual y factores de visibilidad (Marmolejo y
González, 2013, 2015) se consideran como partes de la estructura de los diseños de tareas
dado que, los tratamientos sobre las figuras estimulan el desarrollo de procesos propios
del pensamiento geométrico y de medida en el que los estudiantes deberán dar cuentas
de las trasformaciones realizadas sobre las figuras para decir algo sobre ellas, pero esto
está lejos de ser un asunto espontáneo y de fácil aprehensión.
Por lo tanto, es importante enseñar a los jóvenes a desarrollar su pensamiento
geométrico y hacer que las figuras geométricas sean un soporte intuitivo para el desarrollo
de actividades geométricas, porque estas al estar acompañadas de descripciones dejaran
ver lo que los estudiantes entienden y este asunto debe ser atendido en la enseñanza de
toda la escolaridad. Luego para este fin, es necesario que los estudiantes aprendan a
diferenciar las diferentes formas de ver que una figura posibilita y según sea el caso hacer
posible la discriminación sobre las figuras y subfiguras que pueden presentar diversas
configuraciones geométricas.
Este trabajo final se organizó de la siguiente manera: en el primer capítulo se describen
los elementos considerados para el planteamiento del problema de investigación, se
presentan los antecedentes de este trabajo y se dan argumentos que sustentan su
Introducción 3
importancia, para después formular la pregunta indagación y los objetivos del mismo. En
el segundo capítulo hace un recorrido por todos los conceptos y posturas que caracterizan
el marco teórico que orientaron este trabajo, es decir, se hace una descripción general de
la perspectiva semiótica y cognitiva para el aprendizaje de las matemáticas, en particular
de la geometría propuesta por Duval (1999, 2001, 2005) y sus colaboradores. Al mismo
tiempo que se destacan los elementos de control visual Marmolejo y González (2015) como
una extensión que serviría de apoyo para la construcción de una propuesta de orden
teórico, que ha de acompañar tanto al diseño de las tareas como sus análisis posteriores,
teniendo lugar de desarrollo en los grados séptimos.
En el tercer capítulo se presentan las características que conllevan la investigación
basada en el diseño y dentro de ese espectro, se encuentra las trayectorias hipotéticas de
aprendizaje las cuales determinaron la metodología con la que se desarrolló este trabajo.
Así mismo se estructuró la trayectoria en la que se establecieron una serie de metas de
aprendizaje las cuales debían responder a unas expectativas de desempeño por parte de
los educados, todo esto mediante la valoración de unos procesos que eran alusivos a las
tareas diseñadas. Después, en el cuatro capítulo se describen los grupos de actividades
que se diseñaron para determinar los niveles de aprendizaje, acompañados de los análisis
que dan respuesta a particularidades de su diseño en relación con los elementos de control
visual y los factores de visibilidad en el que, trabajos como los que elaboró Marmolejo
(2007, 2014) han sido explicitados. Mientras que, en el quinto capítulo se presentan los
criterios bajo los cuales de analizaron las respectivas producciones de los estudiantes
para, determinar si los resultados obtenidos avalan el diseño de la trayectoria hipotética de
aprendizaje como una trayectoria real de aprendizaje.
En la parte final del informe se describen las conclusiones a las que se llegaron con la
implementación de la trayectoria de aprendizaje, para dar cuenta de cómo se consiguieron
los objetivos trazados y cómo está se constituyó como una propuesta de enseñanza que
estimula el desarrollo de la visualización para la comprensión del trabajo con áreas. Por
último, se incluyen algunas observaciones para el desarrollo de futuras investigaciones
como también se adjuntan un grupo de evidencias fotográficas de las aplicaciones que
soportan este trabajo.
1. Contextualización y planteamiento del campo problemático
Este primer capítulo tiene como objetivo presentar los elementos que hicieron posible
mostrar que existe una problemática que sustenta esta investigación; por lo que
inicialmente se hace un recuento de algunas características que debería tener, el pensarse
un trabajo que se instaura en el marco de la enseñanza de las ciencias exactas y naturales,
para después resaltar las condiciones particulares que implica pensarse un trabajo
reflexivo que centra su interés en comprender los procesos cognitivos, en particular la
visualización en geometría ubicada al inicio de la formación de la básica secundaria.
También se presentan la justificación y antecedentes que respaldaron y orientaron las
razones por las cuales ameritaba desarrollarse este trabajo. Para después cerrar con el
planteamiento de la pregunta de indagación y los objetivos los cuales, se constituyeron
como los ejes conductores de este trabajo de investigación.
1.1 Planteamiento del problema
Las actividades que desarrolla todo sujeto en su vida cotidiana en trasfondo tienen algo
de ciencia aplicada en ellas, pero suelen ser obviadas particularmente por los estudiantes
por ser naturales en el quehacer diario, por lo que rescatar en la sociedad el interés por
cuestionarse sobre ciertos fenómenos que suceden en nuestro entorno hace parte de la
tarea que tiene todo educador en ciencias, tal y como lo expresan Campanario y Moya
(1999) afirmando “no se espera que el alumno descubra por sí mismo los contenidos
científicos” (p.182). En efecto, la enseñanza de las ciencias es un proceso lento, puesto
que requiere de un cierto grado de madurez intelectual y su aprendizaje debe ser
progresivo y debido al amplio espectro que representa comprenderlas en ese sentido se
pensó en clasificarla en ramas de conocimiento como la química, la física y las
matemáticas, por solo mencionar algunas.
6 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
A partir de esa idea, se debería afrontar el reto de la enseñanza de las ciencias exactas
y naturales con el interés de dar solución a problemas afines en un contexto determinado,
que sea real para las personas que aprenden, es decir, a los estudiantes que se le ha de
compartir un conocimiento.
La enseñanza en general y la de la matemática en particular son asuntos de la
mayor importancia para la sociedad contemporánea. A lo largo del tiempo, las
sociedades han conformado instituciones con el objeto de incorporar a la
matemática y a la ciencia en la cultura de la sociedad, con la clara intención de
favorecer entre la población una visión científica del mundo (Cantoral y Farfán,
2003, p.28).
Se ha elegido establecer este trabajo en el campo de la educación matemática, debido
a que se ha constituido como un campo de investigación y de reflexión autónomo que a lo
largo de los últimos años ha ganado legitimidad dentro de una comunidad científica, en el
cual son aceptados todos los esfuerzos por mejorar la enseñanza y el aprendizaje. Debido
a que estamos en un mundo vertiginoso y en constante cambio a nivel social, tecnológico,
científico y educativo producto de la globalización y un país como Colombia debe estar
generando, adaptando o aplicando políticas educativas que estén a la par de las exigencias
de estándares de calidad como son las pruebas TIMSS, PISA y las desarrolladas
nacionalmente por el ICFES que son las pruebas Avancemos, Saber once y Saber Pro
esto por solo referenciar al ámbito educativo.
De manera que existe la necesidad por mejorar los procesos tanto de enseñanza como
de aprendizaje en los establecimientos educativos, lo cual conlleva una gran
responsabilidad debido a que los procesos de cualificación demandan resultados positivos
en el menor tiempo posible pero la escuela deberá lograr esto sin perder el carácter
formativo de ciudadanos. Respecto a ello Guzmán (2007) plantea que la complejidad de
la educación matemática y la matemática misma, den permanecer abiertas a los cambios
profundos que la situación global exija para tener mayores competencias al afrontar los
retos de orden didáctico, pedagógico y disciplinar. En este arduo camino de culturización
científica ha generado cambios en el sistema educativo:
Capítulo 1 7
Cambios que nos ayudan a reconocer la necesidad de implementar modificaciones
educativas en el campo particular de las matemáticas con base en diseños mejor
adaptados a las prácticas escolares. Del estudio sistemático de los efectos de tales
procesos se ocupa la matemática educativa (Cantoral y Farfán, 2003, p.28).
Situación que, en el caso de Colombia a partir del movimiento de la renovación
curricular que se denominó “matemática moderna”, en los años sesenta y setenta, trajo
una serie de cambios profundos en la enseñanza de la matemática a nivel curricular, de
formación de maestros y en la forma en que se presentaban los contenidos de los libros
de texto. Lo que tuvo ciertas repercusiones en la formación de las personas de aquel
tiempo y que ha sido difícil de desarraigar de los sistemas educativos, a pesar de que no
ha sido la única reforma que se ha dado a nivel nacional dado a que instauró cambios muy
drásticos tal y como menciona Guzmán (2007):
Se subrayaron las estructuras abstractas en diversas áreas, en espacial el álgebra.
Se pretendió enfatizar en el rigor lógico (teoría de conjuntos) y la comprensión de
aspectos operativos y manipulativos, la geometría elemental y la intuición espacial
perdieron lugar en los currículos (pp.22-23).
A nivel nacional en buena parte de las escuelas se practica una enseñanza tradicional
sobre todo en el caso de la geometría que si bien, expertos en educación y educadores
matemáticos han intentado que esta recupere un lugar en los currículos escolares no se
está aprovechando toda su potencialidad, además, que la formación del pensamiento
geométrico es compleja de estructurar, frente a esto se gestaron múltiples esfuerzos
renovación y transformación en la enseñanza de las matemáticas en el país. Esto se logra
gracias a la Ley 115 de 1994 o Ley general de Educación dado que:
Dentro de los límites fijados por la presente ley y el proyecto educativo institucional,
las instituciones de educación formal gozan de autonomía para organizar las áreas
fundamentales de conocimientos definidas para cada nivel, introducir asignaturas
optativas dentro de las áreas establecidas en la ley, adaptar algunas áreas a las
necesidades y características regionales, adoptar métodos de enseñanza y
organizar actividades formativas, culturales y deportivas, dentro de los lineamientos
que establezca el Ministerio de Educación Nacional (p.17).
8 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
De ahí que, las escuelas gocen de autonomía sobre el desarrollo y direccionamiento de
sus proyectos educativos institucionales. A partir de este punto un grupo selecto de
profesionales en el campo de la educación matemática y grupos de investigación
pedagógica referentes a nivel nacional elaboraron unos documentos rectores conocidos
como los Lineamientos Curriculares en Matemáticas (MEN, 1998) y los Estándares
Básicos de Competencias (MEN, 2006).
Los Lineamientos, pretenden ser una guía orientadora para los maestros colombianos,
con el fin de establecer criterios claros en los currículos que se ponen en marcha en los
establecimientos educativos en función de las áreas de conocimiento y sobre los enfoques
que son necesarios para comprender las matemáticas en función de su enseñanza, de tal
manera que sea significativa para los aprendices, es decir, los lineamientos serán los
encargados de promover en los educadores procesos de reflexión y de análisis crítico para
que realicen ajustes pertinentes en su entorno educativo y comunidad académica (MEN,
1998).
Mientras que los Estándares refuerzan y esclarecen las orientaciones del anterior
documento rector, dado que ofrece un modelo que parte de criterios claros donde se
establecen niveles de competencias que deberían desarrollar un individuo a medida que
supera ciertos ciclos en su formación primaria, de básica secundaria y educación media.
Sin embargo, si se quiere realizar un aporte a la educación matemática, en particular
de la geometría debido a la alta complejidad que representa este campo de desafíos,
debemos considerar una perspectiva que permita reflexionar sobre la forma en que los
estudiantes comprenden, debido a la particularidad que tienen los procesos de aprendizaje
y desde la perspectiva que se pretende implementar que es la línea semiótica cognitiva es
una alternativa propicia para incursionar en ese sentido, debido a que se necesita mejorar
los desempeños frente a la construcción de conocimiento matemático en todos los niveles
de formación académica, y que están por debajo de lo esperado por el Estado. Lo cual es
inquietante para toda la comunidad de educadores matemáticos puesto que, la enseñanza
en la educación básica según la UNESCO en 2011 tiene como principal desafío asegurar
una educación matemática de calidad para todos (Artigue, 2014), lo que no se refleja en
los resultados actuales de las evaluaciones ni nacionales ni internacionales.
Capítulo 1 9
Ahora, desde hace un par de décadas cuando surgieron los Lineamientos Curriculares
en Matemáticas ((MEN, 1998) como ya se mencionó, se establecieron diferentes maneras
de concebir la educación matemática en Colombia, debido a que formar el pensamiento
matemático en los estudiantes no es tarea fácil, no obstante los profesores han hecho
énfasis en una serie de procesos que se constituyen como herramientas para desarrollar
la cultura matemática por lo que se dividió en cinco tipos de pensamiento matemático su
enseñanza y aprendizaje los cuales son: el pensamiento numérico, el aleatorio, el
variacional, el espacial y el métrico.
En respuesta a la anterior para poder atender el análisis de la actividad de aprendizaje
matemático, será necesario centrar este trabajo de reflexión y de práctica sobre un par de
pensamientos en los que se divide el saber matemático como son el espacial y sistemas
geométricos y en parte el métrico y sistemas de medida para así poder delimitar la
problemática. Esto es necesario para la construcción de una posible vía de trabajo que sea
significativa para los estudiantes y así poder describir el proceso de desarrollo del
pensamiento geométrico, el cual lo presentan como “…el conjunto de los procesos
cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones
mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, sus
diversas traducciones o representaciones materiales” (MEN, 1998, p.56). Lo que implica
que según MEN (2006):
Contempla las actuaciones del sujeto en todas sus dimensiones y relaciones para
interactuar de diversas maneras con los objetos situados en el espacio, desarrollar
varias representaciones y, a través de la coordinación entre ellas, hacer
acercamientos conceptuales que favorezcan la creación y manipulación de nuevas
representaciones mentales (p.61).
Dada la riqueza que requiere el estudiar y comprender por un lado los conceptos y
propiedades de los objetos en el espacio físico y por otro, del espacio geométrico que
hacen parte de un corpus teórico interesante de abordar y de analizar, debido a la alta
exigencia que tiene el aprendizaje de la geometría. Más aún alcanzar la debida
coordinación de diferentes registros de representación semiótica, y el afianzar los
diferentes procesos de cognitivos que deben subjetivamente interiorizarse, hace que la
geometría sea una entrada propicia para estimular el desarrollo del pensamiento
10 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
matemático en general, y mejor aún enfocarse en una trabajo de intervención y de reflexión
que este ubicado al inicio de la formación básica secundaria, dado que es un punto
neurálgico que no siempre es fácil de asimilar que es el paso de primaria a la básica
secundaria. A continuación, se expondrán los diferentes argumentos que respaldaron el
desarrollo y realización de este trabajo final.
1.2 Justificación
En este apartado se pretende resaltar los elementos que sustentan la realización del
presente trabajo de investigación, exaltando elementos del porqué la elección de la
geometría, bajo qué proceso cognitivo se espera hacer énfasis, sustentar la elección de
un contenido específico como es el área de figuras planas y su potencialidad al entrar en
relación con otros elementos didácticos y semióticos cognitivos, como también justiciar la
elección de la metodología que permitirá realizar la intervención en el aula. La geometría
goza de una amplia riqueza multifacética producto de su variada relación con otros
dominios de conocimiento propios de la matemática misma y otras áreas de saberes como
son las ciencias naturales, sociales y la vida cotidiana, respecto a estas variadas relaciones
Camargo y Acosta (2012) relacionan las siguientes dimensiones:
En su dimensión biológica, se relaciona con capacidades humanas como el sentido
espacial, la percepción y la visualización. En su dimensión física, indaga por
propiedades espaciales de los objetos físicos y sus representaciones, modelando
el espacio circundante. En su dimensión aplicada, se constituye en una herramienta
de representación e interpretación de otras ramas del conocimiento. En su
dimensión teórica, integra una colección de diversas teorías que han sido ejemplo
de rigor y abstracción (p.4).
Lo mencionado hasta aquí supone que la toma de conciencia de esta
multidimensionalidad pueda estar relacionada con un cambio de perspectiva en el que su
estudio no solo se concibe como una disciplina formal, sino que se ha comenzado a
integrar como parte de la actividad humana y que las matemáticas que han de ser
enseñadas se conviertan en herramientas que estimulen las distintas formas de pensar
matemática y lógicamente. Por lo que su aporte desde las diferentes dimensiones cumple
Capítulo 1 11
un rol importante para la formación del individuo, justificando entonces que se incursione
en propuestas que incentiven su enseñanza.
No obstante, en la multiplicidad de la geometría coexisten dos polos en permanente
tensión que en palabras de Camargo y Acosta (2012) son “el empírico, donde se ubican la
percepción, la intuición, la visualización y el carácter instrumental de la geometría; y el
teórico, relacionado con los aspectos abstractos, conceptuales, deductivos, formales y
rigurosos de la geometría, como disciplina científica” (p.4). Como se puede apreciar cada
polo atrae a la actividad geometría a su manera y no es posible concebir una geometría
sin la mutua dependencia de esta polaridad. Esto se puede corroborar con las diferentes
geometrías que son: la euclidiana, la proyectiva, la descriptiva, la analítica, las no
euclidianas y la topología que han surgido a lo largo de la historia debido a su estrecha
relación entre actividades humanas, sociales, culturales, científicas y tecnológicas
mediadas por la resolución de problemas a la hora de interpretar hechos o dar
explicaciones.
Sin embargo, en algún momento de la historia debido al movimiento de la reforma de
las matemáticas modernas con los trabajos del grupo Bourbaki, se llegó alcanzar la idea
de prescindir de toda huella intuitiva o empírica, es decir, abolir de cualquier representación
figural la enseñanza de la geometría. Pero gracias a los trabajos de Goedel, estos
mostraron la imposibilidad de lo antes mencionado y aceptar una base intuitiva o no
racional en la matemática, por otra parte:
Los avances en piscología y epistemología reforzaron el punto de vista según el
cual el origen de los conceptos matemáticos no es la racionalidad pura, sino un
proceso que parte de los esquemas de acción innatos, que se van complejizando
por la integración con el mundo hasta desarrollar modelos mentales racionales
(Camargo y Acosta, 2012, p.5).
Por estas razones, es que se ha venido reconociendo para la educación matemática,
en particular la enseñanza de la geometría la necesidad de retomar el polo empírico para
servir de base en la construcción del polo teórico. Esto nos invita a pensar en cómo nuestro
quehacer puede hacer que se alcance un equilibrio entre ambos polos que son al fin de
cuentas los que rigen la actividad geométrica para nuestros estudiantes.
12 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Buscando que nuestros estudiantes cuando trabajen de manera perceptiva con las
figuras recurran a la teoría para guiar y controlar la percepción, y cuando trabajen
de manera deductiva en los enunciados teóricos, recurran a la percepción para
representar y comprender la teoría (Camargo y Acosta, 2012, p.7).
Respecto a la respuesta que se plantea, conlleva a pensar en un currículo flexible para
que los alumnos puedan hacer uso de sus presaberes y experiencias que son de
naturaleza matemática así no esté representado en lenguaje matemático, se podrá
aprovechar este elemento en el acercamiento a un nuevo tópico que será cotejado con la
intuición geométrica, abriendo paso a una construcción de conocimiento más accesible y
significativo para los estudiantes. En ese sentido los profesores deberán articular sus
conocimientos pedagógicos con una propuesta de enseñanza apropiada al contexto en el
que se necesite.
Hoy en día existen muchos desarrollos en cuanto propuestas de enseñanza y
aprendizaje en este caso la teoría semiótica y cognitiva, es potente en el sentido que su
interés esta entrado en los procesos de pensamiento que tienen el sujeto o los sujetos que
aprenden que en este caso son los estudiantes de grado séptimo de la Institución
Educativa pública de interés.
La teoría que se fundamenta este trabajo es la propuesta y desarrollada por Duval
(1999, 2001, 2004, 2005, 2006) puesto que dentro de su espectro de intervención el
investigador en cuestión centra muchas de sus reflexiones en el aprendizaje de la
geometría. Duval (2001, 2005) expresa desde su postura que si se quiere aprender
geometría se debe considerar que esta disciplina se deben desarrollar tres actividades
cognitivas que son: la construcción, el razonamiento y la visualización. Además de
demandar la articulación y movilización entre dos registros de representación semiótica,
los cuales son el registro figural (RF) y el de lengua natural (RLN), respecto a esto se
ahondará con más detalle en el marco teórico.
Esta propuesta se centrará en la actividad cognitiva de la visualización, dado a que es
un atributo que es aplicable no solo en el ámbito geométrico debido a que contribuye al
desarrollo de la capacidad explotaría, de representar y de describir de los estudiantes. A
demás, la geometría es necesaria para poderla aplicar y trabajar en toda la matemática y
Capítulo 1 13
en otros campos de conocimiento como son la química, la física, las ciencias sociales, etc.
Centrando la mirada desde la geometría la visualización alude a las representaciones
espaciales (figuras, gráficos cartesianos, tablas, esquemas…) y permite “la ilustración de
proposiciones, la exploración heurística de situaciones complejas, echar vistazos
sinópticos sobre ella o realizar verificaciones subjetivas” (Duval, 1999, p.37).
Otro rasgo para recalcar es que existen múltiples investigaciones frente a esta actividad
cognitiva; tales como las realizadas por Padilla (1992), Duval (1999), Marmolejo (2007,
2014), Marmolejo y Vega (2012), Marmolejo y González (2013, 2015) entre muchas más,
y tienen la particularidad de estar asociadas al registro figural, que si bien las figuras
geométricas desempeñan un papel muy importante desde lo heurístico como soporte en
el desarrollo de actividades geométricas. Diferentes estudios ponen de manifiesto realizar
transformaciones sobre las figuras, reorganizarlas en otras figuras de contorno global
distinto y realizar procesos de conversión cuando hay presente una consigna en un
enunciado de problema, son asuntos que están lejos de ser un algo espontáneo Padilla
(1992), Duval (1999), Marmolejo (2007, 2014), Marmolejo y Vega (2012). Por el por el
contrario es necesario saber el tipo de aprehensión pertinente para resolver un problema
determinado.
Por consiguiente, se puede decir que la visualización adquiere matices y características
diferentes según el tipo de registro semiótico que se considere, es en este caso será el de
las figuras geométricas de naturaleza plana o bidimensional. Según Marmolejo y González
(2015) “se considera que este tipo de representaciones son soportes intuitivos
fundamentales para dotar de sentido y significado a los conceptos matemáticos” (p.303).
Lo cual invita a definir la visualización según (Duval, 1999, 2001) como una actividad
cognitiva que permite primero que todo el reconocimiento y discriminación de las
organizaciones posibles de una configuración geométrica, además, de aquellas que se
imponen a primera vista, segundo las modificaciones de naturaleza configural como el
cálculo de una variable en función de otras que pueden ser aplicadas sobre una figura
dada.
En definitiva, el papel que desempeña la visualización en la construcción de objetos
matemáticos es complejo. Pero que su estudio debe tomarse en consideración a lo largo
de toda la educación básica (Marmolejo y Vega, 2012). Por otro lado, dentro de la amplia
14 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
gama de contenidos que se enseñan en geometría, adolecen de promover y estimular las
actividades cognitivas exaltadas por Duval debido a que muchas de esas prácticas de
enseñanza aún están permeadas por un estilo tradicional en el que se limitan a desarrollar
actividades en el que se “enfatizan en la aplicación de fórmulas y aspectos memorísticos,
lo que trae como consecuencia que procesos de visualización, argumentación y
justificación no tengan un papel preponderante en la enseñanza de la disciplina” (Gamboa
y Ballestero, 2010, p.125).
Por lo tanto, la pertinencia de este trabajo que buscó la manera de encontrar una
entrada propicia a las actividades cognitivas como es el caso de la visualización para un
contenido específico como es el área de superficies planas, no solo por tratarse de un
tópico cuya construcción se realiza durante gran parte de la formación de la básica
secundaria si no porque:
Procesos como la construcción de la magnitud de área, la medida de cantidades
de área y la diferenciación entre área y perímetro de una figura, suscitan la
aplicación de operaciones que transforman bidimensionalmente las figuras y el
paso de centrar la atención en la superficie de la figura a hacerlo en algunas de sus
partes constituyentes de dimensión inferior (Marmolejo y González, 2015, p.304).
Estos aspectos, son determinantes para una investigación que intente analizar los
procesos de visualización que están presentes en las actividades que resuelven los
estudiantes cuando intentan discriminar entre diferentes formar de ver para reconocer las
que son pertinentes y potentes para la resolución de una actividad matemática, añadiendo
también que muchas de las tareas que están presentes en los libros de texto o guías
educativas que se llevan a trabajar en el aula no necesariamente están bien estructuradas
ya sea desde lo disciplinar o lo pedagógico. Pontón (2012) hace hincapié en que los
enunciados de problemas poseen elementos lingüísticos claves que permiten la
comprensión de la actividad a resolver y si no se cuenta con una consigna lo
suficientemente clara dicha actividad no podrá ser abordada eficazmente. En definitiva, se
necesitará pensar en el diseño de situaciones que estén acordes a la línea semiótica
cognitiva y que se articulen y vinculen los elementos lingüísticos y disciplinares, para
alcanzar claridad en las tareas que se pretenden elaborar y ordenar en una trayectoria de
aprendizaje.
Capítulo 1 15
Las anteriores son consideradas un instrumento metodológico flexible y válida para el
campo, debido a que en la institución educativa en la que se pretende aplicar los
estudiantes no han trabajado o les han aplicado propuestas con un enfoque como el estilo
de la presente, ni se les ha enseñado a ver y a tratar a las figuras geométricas como lo
propone Duval, además se necesitará hacer conjeturas y cambios en la orientación en el
contenido específico seleccionado esto con la finalidad de tomar las decisiones más
pertinentes desde la perspectiva que el docente investigador considere para constituir una
ruta de aprendizaje que logre alcanzar las metas de aprendizaje que se planteen.
A continuación, se dará paso a la presentación de los antecedentes que sustentan el
presente trabajo y que son una clara evidencia que la problemática escogida mereció su
estudio y realización dado a que los múltiples esfuerzos que se han venido haciendo
respaldan su elección y el aportar al campo de la educación matemática desde este
posicionamiento lo hace pertinente.
1.3 Antecedentes
Existen diversas investigaciones que se han preocupado por otorgar a la enseñanza de
la geometría un estatus relevante dentro de los currículos escolares, a tal punto que esto
ha permitido que exista en la actualidad múltiples miradas de cómo analizar las líneas de
pensamiento de cómo podría promoverse su enseñanza. Así cómo, identificar y analizar
los factores didácticos, curriculares y cognitivos que dificultan su aprendizaje en los
estudiantes.
En este sentido, numerosos estudios reconocen la dificultad que representa la
enseñanza y el aprendizaje de la geometría debido a la carga cognitiva que representa la
coordinación de los registros semióticos y los procesos inherentes a esta disciplina, han
dejado claro que existe una problemática a nivel general y que ha sido objeto de estudio,
por ende, se ha motivado a los diferentes investigadores como, Camargo (2010), Vásquez
(2011), Acosta y Fiallo (2017) entre otros a profundizar en cada una de estas dificultades
que la afectan. A continuación, se hace referencia explícita y breve de algunas
investigaciones que han encargado de estudiar el campo de interés mencionado.
16 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Para ello se presentan los antecedentes clasificándolos en tres subapartados los cuales
son: mostrar aquellos trabajos concernientes a la enseñanza y/o aprendizaje de la
geometría vista desde un enfoque semiótico-cognitivo, luego se presentarán las
investigaciones alusivas a trabajos con áreas de figuras planas. Por último, se reunirán las
algunas investigaciones que han abordado la metodología de las trayectorias de
aprendizaje.
1.3.1 Investigaciones relacionadas con aspectos de la enseñanza y/o aprendizaje de la geometría vista desde un enfoque semiótico cognitivo
Desde una mirada internacional los trabajos que se pretende destacar en la línea
semiótica y cognitiva se encuentran los desarrollados por Duval (1999, 2001, 2004, 2005,
2006) debido a que el aprendizaje de la matemática, en particular de la geometría es un
campo de estudio propicio para el análisis de actividades cognitivas importantes como son
la construcción, el razonamiento y la visualización. Dado que se requiere de la articulación
de registros de representación semiótica como son el registro figural y el de lengua natural.
Además de los respectivos tratamientos y conversiones que se pueden movilizar entre
ambos registros. Esto no son un proceso que se dé, de manera espontánea, de tal manera
que, si quiere llegar a la comprensión de un objeto matemático particular, se debe lograr
que el sujeto pueda visualizar las diversas maneras representar determinado objeto
matemático y que logre de manera armónica la coordinación de los registros en que este
se puede representar.
En la misma línea de Duval se desarrollaron casi que paralelamente los trabajos
doctorales de Mesquita (1989) que se centró en el estudio de los tratamientos figurales
que facilitan o inhiben tanto el reconocimiento de las situaciones representadas como la
búsqueda de heurísticas que permitan clarificar su comprensión, esto en cuanto a tareas
con figuras geométricas. Por otro lado, Padilla (1992) analizó las situaciones cuando se
enfrenta los estudiantes a tareas fuera de la aprehensión perceptual, e intentar analizar los
factores que inciden en el número de respuestas exitosas y por ende el grado de éxito sea
bajo.
En la misma perspectiva investigativa exciten múltiples adelantos como se verá a
continuación donde ha tomado fuerza en el panorama nacional desde hace ya un tiempo
Capítulo 1 17
en la comunidad de educadores matemáticos, sobre la manera en que debería pensarse
la educación actual del campo, para responder a las demandas nacionales y globales que
requiere el ciudadano del siglo XXI para desenvolverse en la vida diaria y otros ámbitos
como el académico y laboral. Por ende, el desarrollo de habilidades y competencias
matemáticas juegan un rol primordial en las formas de aprehensión del conocimiento
adquirido. Puesto que “Las competencias matemáticas no se alcanzan por generación
espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones
problema significativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia
más y más complejos” (MEN, 2007, p.4). Con respecto a ello localmente los trabajos que
delimitan y guían la orientación del pensamiento geométrico que anteceden a esta
propuesta se encuentran:
En su tesis doctoral, León (2005) realizó un profundo análisis de los antecedentes
curriculares, reformas e implementación de nuevas metodologías de enseñanza en
geometría a nivel nacional. Al mismo tiempo tomó y contrastó los resultados de
evaluaciones nacionales e internacionales (llámese pruebas SABER), aplicadas a
estudiantes que finalizaban su formación básica, o del tercer estudio Internacional de
Matemáticas y Ciencias TIMSS- Colombia, aplicadas a estudiantes de grado séptimo y
octavo en el año 1996, la Evaluación de Competencias Básicas Secretaria Distrital de
Educación, aplicadas a los estudiantes de tercero, quinto, séptimo y noveno en el año
1999. En la cual se evidencia que todas esas pruebas estandarizadas se obtuvieron un
muy bajo rendimiento por parte de los estudiantes colombianos en el área de geometría.
Teniendo como dato curioso que estas pruebas primaba como factor común la evaluación
de la visualización en transformaciones de figuras, es decir, tratamientos de registros
figurales.
Teniendo en cuenta las evidencias anteriores León (2005), reconoce que existe un
problema desde cómo se está efectuando y direccionando la enseñanza y el aprendizaje
de la geometría proponiendo que este último debe establecerse desde un enfoque
comunicativo y argumentativo, debido a que un aprendizaje que sea mediado por la
argumentación y el empleo de registros semióticos como el natural y el figural permiten
desarrollar un saber más estructurado desde el orden didáctico.
18 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Otro trabajo por referenciar es el de Galeano (2015), quien propuso desde una
perspectiva semiótica y cognitiva, fomentar el trabajo y desarrollo del pensamiento espacial
partiendo de figuras geométricas, para ello diseñó un experimento de enseñanza, en que
el buscó estimular los procesos cognitivos de construcción, visualización y razonamiento
en geometría, teniendo como referente la teoría de Duval.
Entre sus hallazgos obtuvo, la caracterización de algunas situaciones que favorecen la
elaboración de propuestas novedosas en el aula de clases, debido a que la implementación
de la propuesta cognitiva de Duval permitió ampliar la comprensión del proceso de
construcción en situaciones en la que se explora con el uso de instrumentos no
convencionales como reglas no graduadas, moldes rotos y plantillas para sentar las bases
en el tratamiento sobre las figuras, en cuanto a los convencionales como las reglas y
escuadras aparecieron después como una herramienta potente y con un uso más
significativo para los estudiantes.
También (Galeano, 2015) al diseñar y aplicar ciertos tipos de actividades muestra que
se logró superar una visualización icónica perceptiva en los estudiantes a tal punto que
lograran otras formas de ver en el que ya podían dar el paso al reconocimiento de
subfiguras y otros elementos constitutivos de una visualización matemáticamente más
pertinente, para finalmente sentar las bases de los elementos de corte cognitivo que
permiten analizar las producciones de los estudiantes en el que se pueden relacionar las
tres actividades cognitivas de visualización, razonamiento y construcción. La presente
propuesta se aplicó en una institución educativa privada en el grado sexto de la ciudad de
Cali. Sirviendo como referente para el planteamiento de este trabajo investigativo para el
diseño de situaciones que movilicen la visualización.
Por esta misma línea, tenemos el trabajo desarrollado por Bonelo y Maca (2018),
quienes implementaron un experimento de enseñanza, que tenía como objetivo potenciar
el desarrollo de la visualización en los estudiantes de grado sexto mediante el
establecimiento de equivalencia de polígonos cuando se involucran las Transformaciones
Isométricas, a través del tratamiento figural valiéndose de la implementación del software
de geometría dinámica Geogebra. Entre los resultados que se destacan en este trabajo se
tiene que: la mediación del recurso tecnológico potenció los procesos de visualización en
Capítulo 1 19
los tratamientos figurales de equivalencia de polígonos a través de transformaciones
isométricas, dado que la actividad heurística de estas.
Además, se vio potenciada en el uso de la herramienta gracias a su facilidad en la
variabilidad que ofrece en actividades de construcción que abre la posibilidad de
exploración dinámica, clasificación y elaboración de explicaciones, dando paso a que los
estudiantes tengan una mejor conceptualización a lo que respecta a tratamientos figurales
y operaciones visuales reafirmando así lo dicho por (Duval, 2006) sobre la articulación del
discurso en geometría. Este trabajo permitirá ilustrar el planteamiento de tareas que se
piensen desde la mediación de algún recurso no tradicional o manipulativo para la
trayectoria de aprendizaje.
También se destaca el trabajo elaborado por Galvis (2017), el cual se instauró desde
una mirada semiótica-cognitiva desarrollada por Duval (1999), con el propósito de
identificar y describir, las formas de aprehensión que movilizan los estudiantes frente a
diversos registros de la demostración gráfica del teorema de Pitágoras. Galvis centró su
interés en la identificación de las relaciones matemáticas y geométricas que emergen, a
través de comparaciones de área y figuras geométricas, desde tratamientos y
procedimientos netamente geométricos, mediados por la coordinación de RF y de RLN.
Por lo que será un trabajo que sentará bases de análisis para lo geométrico y los objetos
matemáticos escogidos en el trabajo que se desarrolló.
Por último se cuenta con el trabajo de Sainz (2014), quien en su propuesta investigativa
de maestría que realizó en la Universidad de Cantabria presenta un estudio de cómo se
encuentra el nivel de formación y desarrollo de la visualización en estudiantes para
profesor y profesores en ejercicio en grado tercero de la ESO, en particular, cómo el tema
de la orientación espacial en los objetos geométricos y cuerpos se ha venido abordando
desde la visualización mostrando como resultado que se ha estado fallando en la forma de
introducir y estimular el desarrollo de habilidades para que los estudiantes sean
competentes en las resolución de actividades donde impera la visualización y el juego de
perspectivas. En la que concluye que una posible acción para mejorar esos resultados
puede darse en la enseñanza de tratamientos del registro figural (las formas) para la
exploración de estas.
20 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
1.3.2 Investigaciones que registran adelantos frente al trabajo con áreas
Respecto al del concepto de área de superficies planas y su comprensión se cuenta
con la tesis doctoral de elaborada por Corberán (1996) en la Universidad de Valéncia,
quien realizó un análisis exhaustivo de cómo se ha realizado el estudio de este tópico a lo
largo de la formación primaria hasta llegar a la universidad. Para ello, realizó un análisis
didáctico del contenido, luego estudió los grados de comprensión que se tienen del
concepto los estudiantes a través de una pruebas al finalizar la primaria y observar, si ese
grado de comprensión experimenta algún tipo de evolución en los alumnos en relación al
nivel educativo al que pertenecen, para después hacer lo mismo en los otros niveles de
formación y hacer un contraste frente a lo que se está enseñando en las unidades
didácticas, es decir, verificar si están realmente comprendiendo de eso que se enseñanza
por parte de los estudiantes.
Algunos de las conclusiones que dejó este trabajo Corberán (1996) es que existe un
elevado grado de incomprensión del concepto de área por parte de los estudiantes y la
principal causa se debe a la insuficiente dedicación y el incorrecto modo en el que se
realiza su enseñanza. No se hace una buena adaptación en términos de complejidad de
dicho concepto con relación al nivel educativo. Su enseñanza debería centrarse en el
estudio de procedimientos para comparar medir áreas de superficies planas, el analizar las
características de distintos procedimientos variando el nivel de dificultad. De igual modo,
quedó en evidencia que la incomprensión que poseen los estudiantes en general sobre las
fórmulas para el cálculo de cantidad de área se debe a la inmadurez mental de su
formación matemática específica para comprenderla como el producto de dos dimensiones
lineales. Concretamente los alumnos antes de estudiar las fórmulas de área; deberían
estar familiarizados con las otras manifestaciones de área geométricamente hablando
(transformaciones figurales, comparación de superficies, relaciones entre formas y
determinadas regiones poligonales, etc.).
Ahora pues, como principal referente que fundamenta este trabajo de profundización
se encuentra en un primer momento Marmolejo (2007) con su trabajo de maestría
desarrollado en la Universidad del Valle, en el cual analiza la importancia de los procesos
de visualización y factores de visibilidad frente al registro de representación figural los
Capítulo 1 21
cuales como objeto de aprendizaje se han dejado de lado en los currículos escolares. El
registro al cual hace referencia cumple con un rol esencial, pero que en las aulas escolares
no se enseña a tratarlas, y mucho menos a discriminar las diferentes maneras de ver, como
tampoco se exploran los llamados factores de visibilidad que las acompañan.
Marmolejo (2007), en sus análisis se encuentra que existe una fuerte concepción tanto
en estudiantes como de profesores de matemáticas, que las figuras hablan por sí mismas,
y acceder a las posibilidades heurísticas que emergen de ellas es un asunto “espontáneo”
y carente de complejidad. Para mostrar lo contrario escogió el tópico especifico áreas de
figuras geométricas bidimensionales ya que es un contenido propicio para generar
situaciones donde predomina la exigencia de transformar las figuras en otras de contorno
global distinto, pero de igual área, en el que se puede prestar para la indagación y
exploración de diversas formas de razonamiento y maneras de ver en el registro figural.
El segundo momento Marmolejo (2014) en su tesis doctoral desarrollada en la
Universidad de Salamanca España, profundiza en su trabajo que inició en la maestría pero
esta vez analizando cómo los libros de texto escolar tanto españoles como colombianos
estructuran o ejercen un tipo de control visual en la presentación de tareas, actividades y
ejercicios del área de superficies planas, debido a que la visualización si bien es un proceso
que puede desarrollarse, los estudiantes de primaria en adelante no la están desarrollando
como se pretende mediante la implementación de estos materiales. Por lo que se apoya
en la teoría de Duval (1999, 2004) para establecer un instrumento de análisis para
establecer categorías en la que identifica, caracteriza y analizan las aprehensiones
visuales, las factores de visibilidad, los tipos de control visual y la forman en que se
presenta el contenido de área, para poder así establecer relaciones sobre las maneras de
ver y operar que predominan en los libros de texto para el tópico específico en mención y
que pueden servir al docente investigador para reflexionar sobre su quehacer y dar un
criterio sobre los tipos de actividades que estimulan ciertos tipos de visualización.
Además de contar con trabajos posteriores como Marmolejo y González, (2015b),
donde realiza una presentación del estado de la cuestión sobre las diferentes maneras en
que se ha abordado el tópico de áreas de superficies planas, en el cual, resalta la
complejidad latente que existe en su enseñanza y aprendizaje llegando a plantear cuatro
frentes de análisis como son: el tratamiento y la conceptualización del área, la medida de
22 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
cantidades de área, la conservación del área y su papel en el tratamiento del concepto y
su relación con otros objetos matemáticos. En el que a manera de conclusión después de
realizar un análisis a detalle de la literatura especializada considera a la visualización como
un núcleo común para abordar el tópico de áreas y poner de manifiesto su enfoque para
el tratamiento y la visualización para abordar dicho contenido.
También se cuenta con el trabajo de D`Amore y Fandiño (2007), quienes en su
investigación realizan un estudio sobre las concepciones de estudiantes y maestros frente
a cómo estos establecen conexiones entre el perímetro y el área de una figura plana, para
ello aplican una prueba donde el perímetro y el área tienen se conservan y como al variar
la forma de una figura puede ser mayor o menor. Para desarrollar dicho estudio toman una
muestra de análisis de los argumentos que hacen explícitos los participantes desde el
lenguaje, es decir, dejan evidencia oral y escrita de lo que ven y piensan frente a los
cambios que surge cierta figura.
Entre los resultados más destacados de la investigación de en mención se encuentra
que generalmente las actividades que trabajan las relaciones perímetro-área se aplican en
figuras convexas, lo que provoca una idea errónea de que las figuras cóncavas no pueden
ser usadas para trabajar tal relación, además, las tareas de relación entre perímetro y área
casi no se efectúan sobre la misma figura insistiendo más en las diferencias que en las
relaciones reciprocas.
Otro trabajo a presentar es el desarrollado por Caviedes, De Gamboa, y Badillo (2019),
quienes en la Universidad Autónoma de Barcelona elaboraron un estudio cuyo objetivo
consistía en indagar sobre las conexiones matemáticas entre las manifestaciones de áreas
que (establecen o no), un grupo de maestros en formación cuando se les aplica una serie
de actividades asociadas al cálculo de áreas de superficies planas, donde tenían
condicionantes como el empleo de dos o más procedimientos para resolver una misma
tareas y justificar dichos procedimientos con medidas, encontrado con resultados donde
se evidencia que el trabajo con áreas prima el uso de fórmulas y procedimientos
numéricos, ignorando procedimientos geométricos e intuitivos para la medicación,
cuantificación y comparación de áreas.
Capítulo 1 23
Por último, se cuenta con el trabajo de González (2016), quien trabajó sobre la
construcción y la comprensión del concepto de área, centrándose particularmente en seis
figuras planas: el cuadrado, el rectángulo, el paralelogramo, el triángulo, el rombo y el
trapecio. A partir de la creación de situaciones apoyadas en la teoría cognitiva de los
niveles de Van Hiele para estudiantes de grado décimo de un aula inclusiva. Cuya
propuesta dotó de significado al uso de las fórmulas, mediante la implementación de
materiales manipulativos e instrumentos tradicionales en el cual se evidencio como
resultado que los estudiantes comprendieron de dónde se obtienen y para qué se usan.
Por lo que este antecedente servirá de insumo en caso de necesitar orientación desde lo
didáctico o para la construcción de situaciones que estimulen el saber hacer de los
estudiantes con métodos alternativos en la construcción de la trayectoria hipotética de
aprendizaje.
1.3.3 Investigaciones que abordan la metodología de trayectorias de aprendizaje
Dentro del panorama de campo de la investigación de diseño se encuentra los
desarrollos documentados por Molina, Castro, Molina, y Castro (2011), donde se realiza
un esfuerzo por describir este paradigma metodológico, además de realizar una
presentación ejemplificada de las principales características de este tipo de estudios con
el fin de dar difusión y conocimiento del mismo, teniendo como una de sus principales
premisas el gran potencial que ofrecen este tipo de estudios para desarrollar teorías de
enseñanza/aprendizaje de contenidos específicos.
Uno de los trabajos más representativos a nivel de reflexión frente al uso de trayectorias
hipotéticas de aprendizaje se encuentra el trabajo elaborado por Gómez y Lupiánez (2007),
los cuales caracterizan un trabajo que muestra un esfuerzo por mejorar los procesos de
formación de profesores, en particular de matemáticas para que estos sean capaces de
mejorar la calidad de sus prácticas de aula mediante la implementación este constructo
teórico. Esta investigación deja como aporte, una luz de cómo implementar las trayectorias
de aprendizaje como un instrumento eficaz para mejorar los diseños que se piensan llevar
al aula de clases y como puede conjugarse con el ciclo de enseñanza propuesta por Simon
(1995), donde se puede combinar el conocimiento de contenido por parte del profesor para
potenciar las competencias que se pretenden desarrollar en los estudiantes.
24 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Dentro del mismo panorama encontramos interés por aportar con trabajos
investigativos para desarrollar elementos de análisis en las trayectorias de aprendizaje, un
claro ejemplo de ello lo encontramos en una publicación realizada en la revista
Mathematics Thinking and Learning, en el cual Clements & Sarama (2011) exponen la
elaboración y diseño de una trayectoria de aprendizaje para niños empleando un software
para el trabajo con figuras geométricas y muestran cómo este es uno de los desafíos más
imperiosos a los que hoy en día se enfrenta la educación matemática y los profesores en
general, para trabajar en propuestas basadas en el diseño de materiales de instrucción.
Por esa misma línea se encuentra el trabajo conjunto elaborado por Sánchez, Moreno,
Pérez, y Callejo (2018), quienes pretenden caracterizar el uso de la trayectoria de
aprendizaje de la longitud y su medida como un instrumento conceptual para favorecer la
adquisición de la competencia docente “mirar profesionalmente” el conocimiento de los
niños, con el fin de hacer uso de este instrumento para hacer que los profesores en
formación lograran hacer un análisis en el que puedan describir e interpretar las
producciones de los estudiantes, para después hacer una propuesta de diseño que
involucraran tareas que favorecieran la comprensión de los jóvenes. Los resultados
obtenidos frente a este trabajo fueron divididos puesto que, no se logró el objetivo
propuesto desde el punto de vista cognitivo en los estudiantes, pero a nivel de reflexión
dejó elementos para reflexionar desde cuestiones didácticas.
A nivel nacional se han llevado a cabo varios trabajos con esta metodología de
intervención entre los más relevantes se encuentran los desarrollos de Suárez y León
(2016), quienes tienen cómo foco de interés estudiar los procesos de enseñanza y
aprendizaje que promueven la visualización espacial en niños y niñas en un espacio de
construcción del ser dentro del aula en área de matemáticas, específicamente geometría,
dicho proceso de intervención intenta promover a las trayectorias de aprendizaje como el
medio que mostrará que no existe un factor de superioridad de un género sobre otro.
Dando continuidad a lo ya presentando se encuentra el trabajo de Quevedo (2018),
quien elaboró en su tesis de maestría en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas
una trayectoria de aprendizaje que pretende caracterizar los elementos cuasi-lógicos
logrados por los estudiantes, basado en el enfoque propuesto por Pelerman y Olbrechts
(1989) en conjunto con la teoría de la argumentación desarrollada por León (2005). Dicha
Capítulo 1 25
investigación se llevó a cabo en una institución educativa de Bogotá con estudiantes de
grado sexto, en la que se desarrollaron actividades para promover la argumentación en la
orientación espacial a través de la situación argumentativa tomando como referencia los
trabajos de (Clements & Sarama, 2011).
Algunos de los resultados obtenidos fueron: que los estudiantes comenzaron a incluir
un lenguaje técnico para expresar o referenciar direcciones, locaciones y posicionamientos
en la que se asocia las experiencias vividas con el razonamiento espacial. También se
logró que los estudiantes vincularan las expresiones orales con expresiones corporales
cuando hicieran explicitas sus argumentaciones en 21 tipos de actividades donde tuvieran
que representar el espacio y se involucraran coordenadas cartesianas, esto último con
relación a su entorno.
1.4 Planteamiento de la pregunta de investigación
De acuerdo con todos los elementos presentados anteriormente, la pertinencia de
haber ejecutado un trabajo de esta naturaleza permitió desde la línea de investigación
semiótica-cognitiva, el abordar la problemática señalada dado que en la población de
estudiantes de grado séptimo de una institución educativa pública, requieren de un mejor
direccionamiento en los procesos que conciernen al pensamiento geométrico y las
actividades cognitivas que deberían trabajarse como es el caso de la visualización, para el
tópico especifico de áreas de algunas figuras planas. Por tal motivo, llevar a cabo este
trabajo permitió reflexionar al docente investigador y consecuentemente a la docente de
aula, sobre la propia práctica y replantear la manera en esta institución educativa los
docentes dentro del aula han venido trabajando en el área de geometría. Al mismo tiempo,
contribuir en el fortalecimiento de la formación de los docentes para que atiendan las
necesidades de los estudiantes de tal manera que se estimule el desarrollo del
pensamiento geométrico. Por todo lo anterior y otros aspectos que se presentan más
adelante, es posible establecer para este trabajo los objetivos del problema de indagación
con el propósito de responder la siguiente pregunta:
¿Cómo los procesos de visualización promueven la comprensión del tópico de áreas de
figuras planas mediante el diseño e implementación de una trayectoria hipotética de
aprendizaje dirigida a estudiantes de grado séptimo?
26 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
1.5 Objetivos
1.5.1 Objetivo general
❖ Analizar los procesos de visualización que permiten evidenciar que se está
logrando una comprensión del tópico de áreas de figuras planas presentes en las
producciones de los estudiantes de grado séptimo.
1.5.2 Objetivos específicos
❖ Identificar los elementos semióticos y cognitivos presentes en tareas que aborden
el contenido de áreas en figuras planas.
❖ Diseñar una trayectoria hipotética de aprendizaje que permita comprender el tópico
de áreas en figuras planas a partir de los procesos de visualización en estudiantes
de grado séptimo.
❖ Identificar los elementos de análisis que promueve la visualización en la aplicación
de la trayectoria hipotética de aprendizaje.
❖ Analizar los aportes del diseño de la trayectoria hipotética de aprendizaje que
permiten validarla como una trayectoria real de aprendizaje desde un enfoque
semiótico cognitivo.
2. Fundamentos Teóricos
En este capítulo se recopilan los elementos teóricos esenciales que orientan la
construcción de este trabajo: los fundamentos de la teoría semiótica y cognitiva de
Raymond Duval (1999, 2001, 2004, 2005, 2006) y Padilla (1992). Debido a que es una
perspectiva que estudia aspectos que conciernen al desarrollo del pensamiento humano,
en particular del matemático. Así mismo, se retomaron trabajos desarrollados por
Marmolejo (2007, 2014), Marmolejo y González (2015) y Barreto (2017) que se apoyan en
la anterior perspectiva y permiten analizar elementos de interés relativos al desarrollo de
la visualización y el tratamiento del área en figuras planas.
Para poder comprender la teoría de representaciones semióticas se debe tener claro
algunos aspectos de la naturaleza de los objetos matemáticos, como el hecho que son
inexistentes en el mundo real y que solo podemos acceder a ellos mediante sus
representaciones Duval, (1999, 2006). La anterior salvedad resalta el hecho que las
actividades que moviliza las matemáticas, en especial la geometría en la educación básica
secundaria se realiza generalmente desde los registros de la lengua natural y el figural, lo
cual conduce a establecer una serie de elementos teóricos que fundamentaron la
elaboración de esta trayectoria de aprendizaje que servirán como soporte para los análisis
a priori y a posteriori en las diferentes etapas del diseño, como también conducirán las
reflexiones finales que darán cumplimento a los diferentes objetivos planteados.
2.1 Algunos elementos de la teoría semiótica-cognitiva
El aprendizaje de las matemáticas constituye un campo de estudio privilegiado en la
comunidad académica y desde su perspectiva, Duval (1999), fundamenta sus trabajos
desde una teoría semiótica - cognitiva, debido a que considera fundamental investigar y
trabajar sobre el problema de la comprensión de los objetos matemáticos. Es por ello, que
al estudiar los sistemas de representación semiótica y analizar las actividades cognitivas
28 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
fundamentales como la conceptualización, el razonamiento, la resolución de problemas, e
incluso, la comprensión de textos. Le permita asegurar que la particularidad del aprendizaje
de las matemáticas recaiga o tenga mucho que ver con la constante aprehensión de
conceptos, el recurrir a diferentes sistemas de expresión distintos al de la lengua natural y
manipular las diferentes reglas en cada registro propios del saber matemático.
Ahora bien, algunos de los aspectos relevantes que presenta Duval (1999) en su
perspectiva se encuentra el rol de los registros semióticos debido a que cumplen con dos
propósitos: el primero tiene que ver con una función meramente comunicativa debido a
que constituye el único medio de acceso a los objetos matemáticos puesto que ellos no
son accesibles directamente por la percepción, sino que se debe recurrir a una
representación de estos, el segundo se relaciona intrínsecamente con las actividades
cognitivas inherentes a toda representación que son: la formación, los tratamientos y las
conversiones.
Respecto a las anteriores actividades cognitivas ligadas a la semiosis de los registros
de representación Duval (1999) las define como: la formación de un registro semiótico
particular ora en la construcción de marcas perceptibles que sean identificables como una
representación de algo en un sistema determinado. Hablamos de tratamiento de una
representación cuando se producen operaciones respetando las reglas propias del sistema
obtenido así una representación en el mismo registro. Y se reconoce como conversión
cuando se realiza una transformación en un registro distinto a la representación inicial. Ver
el ejemplo de elaboración propia a continuación:
Tarea. Se está construyendo una casa a la cual se le realizarán dos ventanas en su frente. La
primera ventana tiene forma cuadrada y mide 2.3 metros de lado y la ventana de forma rectangular
mide 7.3 metros de largo y 2.3 metros de alto, tal y como se muestra en la (figura ilustrativa). ¿Cuál
es el área de cada ventana?, ¿Cuánto mide el marco de cada ventana?
(figura ilustrativa)
Capítulo 2 29
La situación anterior es un ejemplo inventado que ilustra las actividades cognitivas de
trasformación, conversión y tratamiento. La trasformación se hace presente cuando se da
la premisa del problema en lengua natural de la situación a dar solución, teniendo en
cuenta que la Imagen * hace las veces de registro figural para dar claridad al interpretante
de los datos enunciados. Luego aparece la conversión cuando el sujeto interpreta el
enunciado problema y realiza un cambio de registro de representación que en este caso
es de lengua natural al registro numérico para proceder a estimar los perímetros y áreas.
Tal y como se ilustra a continuación:
Á𝑟𝑒𝑎𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 ∗ 𝑙𝑎𝑑𝑜 = 2.3 𝑚 ∗ 2.3𝑚 = 5.9𝑚2
𝑀𝑎𝑟𝑐𝑜𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 = 4 ∗ 2.3𝑚 = 9.2𝑚
Á𝑟𝑒𝑎𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑜 = 7.3 𝑚 ∗ 2.3 = 16.79𝑚2
𝑀𝑎𝑟𝑐𝑜𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 2 ∗ 7.3𝑚 + 2 ∗ 2.3𝑚 = 19.2𝑚
Acto seguido después de interpretar, al estar realizándose operaciones en un mismo
registro de representación en este caso numérico hacen acto de presencia los
tratamientos, para estimar los valores que respectivos solicitados para la ventana cuadrada
y rectangular, cuando finalizan estos y se ha llegado a los resultados se recurre
nuevamente a una conversión para dar respuesta a los interrogantes del enunciado
problema. todo lo anterior se ilustra de la siguiente manera:
¿Cuál es el área de cada ventana? 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 = 5.9 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 16.79 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
¿Cuánto mide el marco de cada ventana? 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 = 9.2 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 19.2 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
2.1.1 Los procesos cognitivos en geometría
La geometría es una disciplina que moviliza una gran carga de elementos cognitivos
dentro de la perspectiva, Duval (1999, 2001, 2004, 2005, 2006) menciona: “La
comprensión de los fenómenos asociados a la enseñanza y aprendizaje de la geometría
exige considerar el estudio de tres actividades cognitivas básicas: el razonamiento, la
construcción y la visualización” (p.1). Estos tres procesos cumplen con funciones
epistemológicas específicas en la geometría las cuales Duval, (2001) las presenta así:
30 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
❖ Los procesos de construcción se llevan a cabo mediante el uso de herramientas,
los cuales se encuentran clasificados en dos tipos: los que permiten
manipulaciones de objetos materiales y los que permiten operaciones de trazado
gráfico.
❖ Los procesos de visualización traen a colación a las representaciones espaciales
para la ilustración de proposiciones, permite las exploraciones heurísticas y dar
vistazos sinópticos brindando una verificación subjetiva.
❖ El razonamiento se encuentra relacionado con los dos procesos antes
mencionados haciendo las veces de extensión del conocimiento, además de estar
vinculado con procesos lingüísticos que permiten dar paso a explicaciones y
demostraciones.
Las anteriores se pueden considerar, según Duval (2001), procesos independientes
para su estudio, en el caso de la visualización esta no depende de la construcción debido
a que se puede acceder a las figuras independientemente de la forma en que fueron
construidas, eso sin desconocer que exista un razonamiento presente, mientras que el
proceso de construcción depende solo de las propiedades matemáticas y de las
restricciones que técnicas propias de las herramientas empleadas. Además, la
visualización es una habilidad que puede desarrollarse como recurso intuitivo; que al
combinarse con el proceso de razonamiento se convierte en otro espectro de análisis
desde el punto de vista cognitivo.
2.1.2 Las condiciones cognitivas de ver en geometría
La actividad matemática, en particular la geométrica en la educación básica y secundaria
demanda como ya se ha mencionado antes la articulación sinérgica cognitiva de dos
registros de representación muy diferentes que son el figural y el de la lengua natural,
según (Duval, 2005) “El primero se refiere a la visualización de las formas o su designación
y el segundo sirve para enunciar propiedades”. De aquí se generan muchas de las
dificultades en el aprendizaje de la geometría puesto que estos registros que se emplean
de manera usual en un ámbito fuera de las propias matemáticas.
Capítulo 2 31
Por ende, es una necesidad generar la coordinación de estos dos registros y es en ese
sentido que Duval enfoca su interés en buscar que los sujetos tomen conciencia de
aquellos tratamientos que son pertinentes en el registro figural. Respaldando esta postura
Marmolejo (2007), argumenta que las figuras son un soporte intuitivo para el desarrollo de
actividades geométricas, debido a que estas dejan “ver” mucho más que los enunciados,
permitiendo una exploración heurística de las situaciones. De este modo Duval (2005)
menciona existen dos maneras de ver las figuras cuando se movilizan en una actividad
propuesta, la icónica y la no icónica.
Para Duval (2005) “la visualización icónica es aquella “se asemeja al perfil de un objeto
real, la figura permanece como un objeto independiente de las operaciones que se
efectúen sobre ella” (p.9). Para una mejor ilustración de este concepto ver el ejemplo
presentado en la figura 2-1: Ejemplo. Con ayuda de una regla, construir un cuadrado DCBA
cuyos lados midan dos centímetros y un rectángulo HGFE que sea igual de alto que el
cuadrado DCBA y una base que un centímetro.
Figura 2-1. Ejemplo de visualización icónica.
Fuente: Elaboración propia.
De la figura 2-1, se puede apreciar que la presentación de la actividad solo implica un
reconocimiento visual global de una forma geométrica elemental en este caso dos
polígonos denotados como DCBA y HGFE los cuales se identificaron como cuadrado y
rectángulo sin presentar trazos internos o externos que permitan apreciar alguna
modificación de la figura geométrica representada. La otra forma de visualizar para Duval
(2005) es la no icónica la cual define como:
32 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
“una secuencia de operaciones que permiten reconocer propiedades geométricas
por la imposibilidad de obtener ciertas configuraciones, o por la invarianza de las
configuraciones obtenidas, es decir, la figura hace parte de una configuración
contextualmente destacada de una red o configuración más compleja” (pp.9-10).
Para una mejor ilustración de este concepto el siguiente ejemplo el cual se ilustra en la
figura 2-2. Ejemplo. Dado un triángulo ACB, identifica y clasifica los diferentes polígonos
que aluden a figuras geométricas contenidas en el. Sugerencia: Para la notación de las
subfiguras contendías hacer uso de letras mayúsculas.
Figura 2-2. Ejemplo de visualización de una tarea no icónica.
Fuente: Elaboración propia.
La figura 2-2 permite apreciar una percepción no icónica, dado que prestan trazos
internos que subdividen la figura global denotada como triángulo ACB y puede surgir el
uso de operaciones de reconfiguración que favorecen la resolución de la actividad, siendo
también los colores un elemento que permite diferenciar las figuras internas que favorece
la visualización de contornos diferentes, los elementos mencionados facilitan entonces los
posibles tratamientos visuales para dar solución a lo solicitado en la actividad.
2.1.3 Las entradas en geometría
La clasificación de las entradas o maneras de ver establecidas por Duval (2005) surgen
al tomar como criterio el tipo de operaciones aplicables sobre las formas dadas, así mismo,
posibilitan la movilización de propiedades geométricas en relación con la actividad que se
Capítulo 2 33
proponga, se pueden llegar a distinguir cuatro entradas que son: la del botánico, el
topógrafo, el constructor y la del inventor. La entrada del botánico es catalogada como la
más evidente e inmediata, debido a que en términos generales este tipo de actividad
consiste en saber distinguir y clasificar las formas euclidianas a simple vista, de tal manera
que el sujeto este en capacidad de generar una representación mental o manual sobre una
superficie. Dicho de otro modo:
Se trata de aprender a reconocer y nombrar las formas elementales usadas en
geometría plana: tipos de triángulos y cuadriláteros, obtener configuraciones
obtenidas por las distintas posiciones de dos rectas una con relación a la otra,
eventualmente las formas circulares y las formas ovales (Duval, 2005, p.5).
Un posible ejemplo se puede apreciar figura 2-3 la cual es acompañada de la siguiente
premisa: Ejemplo. Dibuja con diferentes colores la figura geométrica de círculo, cuadrado,
triángulo y rectángulo en tu cuaderno.
Figura 2-3. Ejemplo de representación de algunas figuras euclidianas elementales.
Fuente: Elaboración propia.
La entrada del topógrafo geómetra o agrimensor se reconoce como la entrada histórica.
Las tareas que fundamentan esta entrada consisten en actividades que permitan ir de una
escala a otra teniendo en cuenta las proporciones y las unidades de medida. “Se trata de
aprender a medir longitudes sobre un terreno, el suelo, o distancias entre dos señales, y a
prorrogarlas sobre un dibujo que toma el estatuto de plano” (Duval, 2005, p.6). Aunque en
esta entrada se puede considerar en sus tareas un trasfondo que implique algo más que
comparar medidas, sino que involucra la puesta en correspondencia el reconocer planos y
34 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
dimensiones entre figuras, introduciendo así al sujeto en la distinción de conocimientos
propios del pensamiento espacial tal y como se puede ver figura 2-4:
Ejemplo. Con ayuda de una regla en una hoja construir un cuadrado DCAB, con dos
centímetros de longitud de cada lado, dibuje a escala 2⁄1 cm y 1⁄2 cm el mismo cuadrado
DCAB.
Figura 2-4. Ejemplo alusivo a una tarea de la entrada del topógrafo–geómetra.
Fuente: Elaboración propia.
La entrada del constructor reconocida también como la necesaria según Duval (2005),
parte de la necesidad de recurrir de instrumentos como por ejemplo la regla y el compás
debido a que son herramientas que ayudan en la elaboración de representaciones de
figuras euclidianas, articulando así una figura con medidas y trazos, permitiendo al sujeto
tomar conciencia de las propiedades geométricas. Ver la presentación del siguiente:
Ejemplo. Con ayuda de una regla y compás realizar la construcción de un cuadrado ABCD.
Para lo cual se debería seguir estas instrucciones:
A. Trazar un segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
B. Trazar una recta 𝐿1que pase el punto 𝐴 y sea perpendicular al segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
C. Realizar el mismo procedimiento del ítem anterior, pero trazando una recta 𝐿2 que
pase por 𝐵.
Capítulo 2 35
D. Con ayuda del compás trazar una circunferencia 𝐶1, que tenga como centro el
punto 𝐴 y radio el extremo donde se encuentra el punto 𝐵.
E. Luego marcar la intersección con un punto que denotaras como 𝐶, entre la recta
𝐿1 y la circunferencia 𝐶1.
F. Trazar con la regla una recta 𝐿3, que pase por el punto 𝐶 y sea paralela al segmento
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
G. Marcar con un punto 𝐷 la intersección resultante entre la recta 𝐿2 y 𝐿3.
H. Finalizar resaltar con un color distinto el polígono ABCD, el cual denotara un
cuadrado.
Figura 2-5. Ejemplo de construcción de un polígono ABCD.
Fuente: Elaboración propia.
Del ejemplo presentado en la figura 2-5, se puede apreciar que la actividad de
construcción puede llevarse a cabo en un software como Geogebra el cual hace las veces
de herramienta de construcción, mostrándose como una vía alterna a instrumentos
clásicos, pero Duval menciona que el emplear este nuevo de tipo de herramientas permiten
tener en cuenta la conservación de las propiedades de una figura geométrica realizando
una prueba de arrastre cosa que con instrumentos clásicos no es fácil de percibir.
36 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
La entrada del inventor tiene la intención de realizar una reconstrucción de tipo visual
de formas elementales para después reconfigurar la figura inicial que se proponga, con la
salvedad que el sujeto debe “visualizar unos trazos suplementarios”. Para ilustrar esta
entrada véase el siguiente:
Ejemplo. Dado un paralelogramo ABCD, reconfigurarlo de tal manera que con un solo corte
se pueda formar un rectángulo.
Figura 2-6. Ilustración de la reconfiguración de un paralelogramo ABCD en un
rectángulo con una sola partición.
Fuente: Elaboración propia.
En el ejemplo presentado en la figura 2-6, para realizar la reconstrucción solicitada
puede presentar dos soluciones, un primer caso en el que se realice un trazo auxiliar que
parte del vértice 𝐷 y caiga de manera perpendicular al lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ o un trazo auxiliar que parte
de vértice 𝐵 que forme una perpendicular respecto al lado 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ . Independiente mente de la
elección se formará un triángulo rectángulo que dependiendo del caso se denotará como
𝐵𝑂`𝐶 o 𝐷𝑈`𝐴. Y al hacer una traslación del fraccionamiento realizado al paralelogramo
𝐴𝐵𝐶𝐷 se podrá reconfigurar en un a una nueva figura que en este caso es un rectángulo.
2.1.4 La manera de ver requerida en geometría “una quinta entrada”
Como se pudo apreciar anteriormente, existen cuatro entradas o clasificaciones de las
maneras de ver en geometría a su vez Raymond Duval apuesta hacia una quinta entrada
Capítulo 2 37
denomina deconstrucción dimensional de las formas, la cual “consiste descomponer
cualquier forma discriminada, es decir, reconocida como una forma nD/2Dn, en unidades
figurales de dimensiones inferior al de esta forma” (Duval, 2005, p.15). Con esto quiere
decir, por ejemplo: que un cubo que es una figura en 3D, su representación en 2D seria
descompuesto en cuadrados y estos a su vez en rectas y segmentos 1D y así, hasta llegar
a unidades figurales de 0D que serían los puntos. A continuación, se presentarán los tipos
de descomposición de las formas que Duval clasifico en: descomposición mereológica de
las formas reconocidas como heurísticas, la instrumental (para construir una figura) y la
descomposición por deconstrucción dimensional de las formas.
La descomposición heurística por división mereológica de las formas
reconocidas, esta manera de ver una figura demanda que el sujeto observe las formas
como si fueran partes de un rompecabezas, según Duval (2005) “Suponer que se divida
en unidades figúrales del mismo número de dimensiones que la figura inicial” (p.15). Por
lo que esta división mereológica de un todo en partes yuxtaponibles o superpuestas, se
hace para reconstruir una figura con las subpartes obtenidas que puede llegar a ser igual
o diferente a la original. Esta clase de descomposición se clasifican en tres clases que son:
las estrictamente homogéneas, las homogéneas y las heterogéneas.
Para Duval la descomposición estrictamente homogénea es aquella que se realiza
en unidades de la misma forma de la figura inicial y a su vez son consideradas las
descomposiciones más simples, ver ejemplo figura 2-7.
Figura 2-7. Ejemplo de descomposición estrictamente homogénea de un
cuadrado.
Fuente: Elaboración propia.
38 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
En la figura 2-7 se aprecia claramente como inicialmente un cuadrado 𝐷𝐶𝐵𝐴, puede
ser descompuesto en unidades de la misma forma, en este caso cuatro cuadrados que
pueden ser nombrados como: 𝐻𝐺𝐹𝐸, 𝐾𝐿𝐽𝐼, 𝑃𝑂𝑁𝑀, 𝑇𝑆𝑅𝑄, que al volverse a integrar
formaran nuevamente la figura inicial.
La descomposición homogénea es aquella que se realiza en unidades figurales de
forma distinta a la figura inicial, pero las con unidades figurales de igual forma, ver ejemplo
presentado en la figura 2-8.
Figura 2-8. Ejemplo de descomposición homogénea de un cuadrado.
Fuente: Elaboración propia.
En la figura 2-8, plantea una descomposición homogénea de un cuadrado 𝐷𝐶𝐵𝐴, que
al ser descompuesto en unidades figurales de distinta forma a la inicial (dos triángulos)
designados como 𝐴𝐵𝐷 y 𝐶𝐵𝐷 pueden formar nuevamente al cuadrado 𝐷𝐶𝐵𝐴.
Por último, se encuentra la descomposición heterogénea, posee el mayor grado de
complejidad puesto que es aquella que se realiza en unidades figurales de formas
diferentes entre ellas, ver ejemplo presentado en la figura 2-9:
Capítulo 2 39
Figura 2-9. Ejemplo de descomposición heterogénea.
Fuente: Elaboración propia.
Para el tercer caso se puede apreciar un problema de división de un paralelogramo
para reformarlo en un cuadrado, para esta solución se resalta el hecho que se conservó el
área de la figura inicial 𝐴𝐵𝐶𝐷 (paralelogramo) en comparación la figura final 𝐴𝐵𝐶𝑋
(cuadrado), cabe subrayar que Duval (2005) menciona que “las descomposiciones
homogéneas son transformaciones visualmente reversibles y que pueden ser iniciadas
espontáneamente con solo mirar la figura. En cambio, las descomposiciones heterogéneas
no son visualmente reversibles” (p.16). En definitiva, la descomposición por división
mereológica está estrechamente relacionada con la exploración visual y no existe una
forma determinada que conduzca directamente a la solución de un problema, puesto que
dependerá del enunciado problema.
La descomposición por deconstrucción dimensional de las formas es la manera
matemática de ver las figuras más exaltada por Duval, pero así mismo la más compleja
debido a que las situaciones que cumplan con las características de esta entrada son poco
trabajadas y de manera explícita menciono que “se hace necesaria una articulación con
una actividad discursiva. Hasta se podría decir que es de orden discursivo. Para
representarla gráficamente, es necesario trasformar hasta cierto punto las figuras
geométricas en esquemas” (Duval, 2005, p.17). La deconstrucción dimensional de las
formas debe causar una revolución cognitiva en la visualización icónica y no icónica, es
decir, es una gestión que va en contra de los procesos organizativos y perceptivos de las
formas, a lo que al autor mencionado añade “se parece a una reconstrucción deductiva de
los objetos representados”. En la figura 2-10 se presenta un ejemplo.
40 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 2-10. Ejemplo de descomposición de unidades figurales por deconstrucción
dimensional de una forma poligonal.
Fuente: Elaboración propia.
En la figura 2-10, se presenta una tarea tiene como premisa: En la figura poligonal
representada en el plano cartesiano deberás realizar lo siguiente:
A. Designar los vértices
B. Identificar las diferentes figuras geométricas que componen la figura inicial,
(nómbralas y resáltalas con un color).
Capítulo 2 41
C. Calcular el área de cada figura que visualizaste (sugerencia: puede hacer uso de
una regla en caso de ser necesario)
D. Halla el área total de la figura inicial dada
Nota. Cada cuadricula corresponde a un centímetro.
De lo anterior se puede apreciar que no existe un camino predeterminado para que un
sujeto siga debido a que las maneras de ver que tenga desarrolladas necesariamente son
serán idénticas a las de otro par, la secuenciación de pasos es una manera de numerar
una posible forma en que se puede visualizar la actividad la cual se aprecia como un
polígono compuesto es deconstruido en formas reconocibles de 2D y así hasta llegar a
unidades figurales de dimensión 1D y 0D que se pueden apreciar en el punto 5 y 6 de la
figura 2-10, la solución más simple de ver es un triángulo rectángulo, un paralelogramo y
un rectángulo, la sugerencia dada en el ítem (c) está de más, si se considera la nota,
aunque el uso de instrumentos podría considerarse si no se presentara la actividad con el
plano cartesiano.
2.2 Formas de aprehensión en geometría
Las figuras geométricas son esenciales para la actividad geométrica pues son un
soporte intuitivo para su desarrollo Duval (1999) plantea que la figura puede dar lugar a
tres tipos de aprehensión: la perceptiva, la operatoria y la discursiva. Aclarando que, por
aprehensión se entiende como tomar lo que se percibe por medio de los sentidos,
valiéndose de los procesos cognitivos y tomar lo más significativo de ese objeto. Los tipos
de aprehensión corresponden a tratamientos figurales y como se expuso anteriormente
realizar tratamientos implica tomar el registro figural y realizar transformaciones al interior
de ese registro. A continuación, se presenten los tres tipos de aprehensión:
2.2.1 La aprehensión perceptiva
Es una manera espontánea de reconocer las unidades figurales inmersas en una figura
presentada, que puede cumplir un rol facilitador o inhibidor en el acto de ver, en el que es
posible observar las figuras geométricas y se establezcan rápidamente lo pertinente para
dar solución al problema o por el contrario se dé lugar a que existan factores que impidan
el reconocimiento de unidades figurales que retrasen la visualización. Para mayor claridad
ver el ejemplo de la figura 2-11: Ejemplo. Al representar un trapecio 𝐴𝐸𝐷𝐶 con dos lados
42 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
de igual medida 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐸𝐷̅̅ ̅̅ y dos lados paralelos 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ este último tiene como punto medio
a 𝐹 que es equidistante a cualquier vértice. Descomponerlo en subfiguras.
Figura 2-11. Representación de un trapecio ABCD realizado en Geogebra.
Fuente: Elaboración propia.
La figura 2-11, ilustra una configuración de un trapecio 𝐴𝐸𝐷𝐶 que se clasifica como
isósceles, que a su vez puede ser descompuesto en subfiguras de diferente forma de la
figura inicial, como es el caso de una descomposición homogénea, de tres triángulos
isósceles que serían las figuras 𝐴𝐹𝐶, 𝐶𝐹𝐷 y 𝐹𝐷𝐸, para poderlos identificar es necesario
neutralizar la organización perceptiva del contorno global respecto a los puntos dados y
del trapecio sobre su lados no paralelos, también se puede considerar una sobreposición
de dos paralelogramos que compartes una base y que perceptivamente pueden ser
identificados como 𝐴𝐹𝐶𝐷 y 𝐹𝐸𝐷𝐶, Aunque el reconocimiento de unidades figurales
pueden ser discernibles dependiendo de la capacidad gestáltica de un sujeto por ejemplo
alguna persona puede llegar a solo ver un rectángulo acompañado de dos triángulos
rectángulos.
2.2.2 Aprehensión operatoria
Esta aprehensión se relaciona con la exploración heurística que permiten las figuras y
con todas las posibles modificaciones que se puedan realizar sobre ellas. Las cuales se
pueden clasificar como se muestra en la tabla 2-1:
Capítulo 2 43
Tabla 2-1: Compilación de las diferentes modificaciones operatorias.
Tipo de modificación
configural
Operaciones constituyentes de
la productividad heurística
Factores que juegan sobre
la visibilidad
Modificaciones mereológicas Reconfiguración, configuración Carácter convexo o no convexo de las partes
elementales
Modificaciones ópticas Superponibilidad, anamorfosis Recubrimiento parcial. Orientación
Modificaciones posicionales Rotación, traslación Estabilidad del señalamiento del campo perceptivo para el
soporte de la figura
Tabla 2-1. Presenta una síntesis de las diferentes modificaciones operatorias que están
asociadas a diferentes factores que facilitan o dificultan la visibilidad para la resolución de
problemas en geometría. Tomada de (Marmolejo, 2007, p.26).
De la tabla 2-1 se aprecia el importante rol de las figuras en geometría frente a los tipos
de modificaciones que podemos encontrar, debemos reconocer a las mereológicas como
aquellas en que teniendo una figura de partida esta se puede subdividir en subfiguras y de
ellas, se pueden realizar trasformaciones para llegar a otra figura de contorno global
diferente o no, poniendo en juego todas las relaciones entre las partes y el todo. Se
reconocen como las ópticas aquellas en que la figura se agranda, disminuye o se deforma
la figura inicial. En cuanto a las modificaciones posicionales se reconocen por recurrir a
cambios a manera de juegos de espejos en el que la figura no sufre modificaciones al
poder desplazarla conservando la forma o contorno global. En síntesis, la actividad
heurística que conlleva un problema en geometría contiene una alta gama de operaciones
cognitivas y para clarificar todo lo anterior debemos considerar la reconfiguración como
una actividad heurística importante a su vez como una herramienta en la resolución de un
problema. Apreciar el siguiente ejemplo:
Ejemplo. Dada la figura 2-12, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ es la diagonal del rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, compare las áreas
de los rectángulos sombreados.
44 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 2-12. Ejemplo de aprehensión operatoria.
Tomado de (Marmolejo, 2007, p.27).
La resolución de este problema pone en juego la habilidad visual del sujeto al
enfrentarse aún problema de comparación de áreas. La solución a esta problemática no
es simple, dado que desde el punto de vista perceptivo evidenciamos dos superficies
sombreadas denotadas como 𝐷𝐺𝐹𝐸 y 𝐹𝐻𝐵𝐼 que no parecen ser equivalentes si no son
isométricas, es decir, que si sus formas no coinciden por superposición entonces no
tendrán igual área. “El problema centra su interés en los rectángulos sombreados que no
son superponibles entre sí, por lo cual a simple vista no parecen equivalentes” (Marmolejo,
2007, p.28). Aunque el problema puede ser resuelto, haciendo uso de la división de la
figura de partida en subfiguras iguales haciendo uso de la diagonal 𝐴𝐶, ver la siguiente
figura:
Figura 2-13. Ilustración del paso crucial para reconfigurar la figura inicial en subfiguras.
Fuente: Elaboración propia.
Capítulo 2 45
Del anterior proceso queda a la vista que existen dos triángulos 𝐷𝐶𝐴 y 𝐴𝐶𝐵, los cuales
son congruentes entre sí y al realizar una “sustracción” a cada una de las dos
configuraciones obtenidas, la figura de partida 𝐴𝐵𝐶𝐷 se dividio en dos triángulos 𝐷𝐶𝐴 y
𝐴𝐶𝐵 luego a estos se les sustrae las configuraciones iguales 𝐴𝐸𝐹𝐺𝐶𝐴 y 𝐴𝐼𝐹𝐻𝐶𝐴, ver lo
descrito a continuación:
Figura 2-14. Representación de la operación figural de sustracción.
Fuente: Elaboración propia.
En la figura 2-14, se aprecia una operación sustractiva figural y por pasaje de
complementariedad. Esto significa que, “dos superficies tienen la misma área si ellas
resultan de una sustracción de superficies parciales iguales a las superficies totales
iguales” (Marmolejo, 2007, p.28). Se llega a la conclusión que las dos partes sombreadas
son iguales, es decir las áreas 𝐷𝐺𝐹𝐸 = 𝐹𝐻𝐵𝐼. También se debe mencionar que existen
otras soluciones para este problema en este caso se quiso ilustrar aquella en que la
operación de reconfiguración permite ver a través de comparaciones entre subfiguras,
generan ideas que permiten explicar y justificar la resolución de un problema en el que la
figura juega un rol de soporte intuitivo en problemas geométricos.
2.2.3 Aprehensión discursiva
Las figuras no constituyen por sí mismas un registro de tratamiento autónomo, esto se
hace evidente cuando los estudiantes intentan resolver una tarea de geometría en el que
podría centrarse en los elementos, relaciones y propiedades de una figura dada según sea
el caso, es decir, esta aprehensión es aquella que se encuentra ligada a las propiedades
asociadas a las hipótesis de lo que estas enuncian en un problema. Según Marmolejo
(2007) “la aprehensión discursiva de una figura es inseparable de una doble referencia:
46 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
por un lado, a una red semántica de objetos matemáticos y, por otra, a una axiomática
local” (p.37). Este tipo de aprehensión privilegia el estatus del enunciado que concede a
sus proposiciones, debido a que el tratamiento cognitivo corresponde a un razonamiento
de orden deductivo. Para dar claridad a lo todo lo mencionado ver la figura 2-15:
Figura 2-15. Ilustración del ejemplo de la aprehensión discursiva.
Tomado de (Torregrosa y Quesada, 2007, p.282).
De la figura 2-15, se aprecia dos casos el primero corresponde a un anclaje visual a un
anclaje discursivo, esto sucede cuando al dibujo representado se le asocia la afirmación
“ABC es un triángulo rectángulo”, señalando sus vértices con las letras 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶. Para llevar
a cabo esta asociación de sentido, el observador debe haber identificado el dibujo con todo
aquello que lo caracteriza.
Mientras que el segundo caso presenta un cambio de anclaje que parte de lo discursivo
a lo visual que es materializado en el registro figural, es decir, en la afirmación “𝐴𝐵𝐶 es un
triángulo rectángulo”, el estudiante deberá tener la capacidad de realizar la representación
del polígono que cumpla con la característica de ser triángulo rectángulo, de hecho,
Torregrosa y Quesada (2007) mencionan “esta configuración no tiene por qué ser la misma
para todos los alumnos” (p. 282). En ese sentido para comprender mejor el proceso
cognitivo de la visualización en geometría y sus implicaciones, conlleva como mínimo
considerar: cambios dimensionales, tratamientos figurales, algún tipo de aprehensión
Capítulo 2 47
visual, asociaciones de enunciados problemas con registros figurales. Todo esto deberá
estar enfocado en algún objeto matemático para ser estudiado, en este caso será el área
de figuras planas.
2.3 La influencia de los libros de texto escolar en el desarrollo de la visualización de un contenido especifico en geometría
Los textos escolares son reconocidos como uno de los materiales didácticos más
usados por los profesores a la hora de planificar, preparar y desarrollar sus clases debido
a que son un recurso auxiliar en la labor de enseñanza, de este modo se convierten en
una fuente para identificar clasificar contenido, además de mostrar formas de cómo puede
ser presentado en el aula de clases y servir de base para plantear actividades que permitan
la comprensión de los contenidos desde diferentes ámbitos.
Los textos escolares son un importantísimo referente a considerar para comprender
muchos fenómenos asociados a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas,
en particular las cuestiones relacionadas con la sinergia existente entre la
construcción del área y el rol que desempeña ella en la visualización. (Marmolejo y
González, 2015, p.4).
Conforme a lo anterior la comprensión de los fenómenos asociados a la enseñanza y
aprendizaje de la geometría debe considerar cómo influyen los textos escolares en las
decisiones y orientaciones que un profesor debe considerar a la hora de planificar la
enseñanza de un tópico particular como es el caso de las áreas de figuras planas para
desarrollo la actividad cognitiva de la visualización.
En este caso particular, (Duval, 1999, 2001, 2004, 2005, 2006) resalta que el proceso
cognitivo de la visualización permite: el reconocimiento o discriminación, discernir, así
como también explorar sobre todos las posibles formas o configuraciones susceptibles a
ser aplicadas en una figura que se estudia. Por lo tanto, el área de superficies planas es
un contenido propio para trabajar desde la visualización porque:
48 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
“Procesos como la construcción de la magnitud de área, la medida de cantidades
de área y la diferenciación entre área y perímetro de una figura, suscitan la
aplicación de operaciones que trasforman bidimensionalmente las figuras y el paso
de centrar la atención en la superficie de una figura a hacerlo en algunas de sus
partes constituyentes de dimensión inferior. Estos aspectos son, uno y otro,
terminantes en cualquier investigación que considere la visualización como un
objeto de estudios (Duval, 1999)” citado por (Marmolejo y González, 2015, p.2).
Dentro de las acciones que se han tomado para realizar investigaciones en este sentido,
se han formulado los denominados elementos generadores del control visual tomando
como referentes los trabajos de Duval (1999, 2001, 2004, 2005, 2006) y Padilla (1992) así
como las estructuras de control de Balacheff y Gaudin (2010), acerca de los factores que
guían o no las maneras de ver, denominados también cómo factores de visibilidad. Para
servir de referentes de análisis en las posibles actividades que se diseñan en los textos
escolares y/o clasificar las formas de visualización que se están privilegiando desarrollar
en los estudiantes. De manera que es fundamental que se tenga un modelo teórico
conceptual que proporcione información sobre como ver las figuras y las características
que hay trasfondo a ciertas tareas que permiten trabajar el concepto de área en los textos
escolares.
2.3.1 Elementos generadores del control visual
Teniendo presentes los elementos que fundamentan este estudio desde la línea
semiótica – cognitiva, es necesario analizar la influencia que tiene en los profesores los
libros de texto escolar debido a que son los materiales didácticos más usuales para guiar
su quehacer en el proceso de enseñanza y planeación de clases como soporte a su
conocimiento profesional y en el caso de las matemáticas no son la excepción. Teniendo
presente los trabajos de Duval (2004, 2005, 2006), Padilla (1992), Balacheff y Gaudin
(2010), al considerar los contenidos presentados en los textos escolares como parte de un
proceso de investigación se debe entender por estructura de control visual “como todo
conjunto de elementos y estrategias a las que recurren, explícita o implícitamente, los
textos escolares para expresar los caminos visuales a privilegiar en el desarrollo y
comprensión de las tareas propuestas” (Marmolejo y González, 2015, p.10). Tal estructura
permite caracterizar desde diferentes frentes los enunciados y explicaciones dados en
Capítulo 2 49
lengua natural, elementos de contraste (líneas punteadas, colores, flechas, etc.) y la
alusión a imágenes que de alguna forma determinan acciones en alguna tarea expuesta
sobre áreas de figuras bidimensionales. Aclarando que a cada una de los elementos y
estrategias que caracterizan una estructura de control se le denomina elementos
generadores de control visual, en este caso se constituyen cuatro categorías que son:
procedimiento, contenido, visibilidad e iconismo tal y como se aprecia en la tabla 2-2.
Tabla 2-2: Presenta una síntesis de los mencionados elementos de control para el
tratamiento del tópico de área de figuras planas presentes en los libros escolares.
Elementos Generadores del
Control visual Formas de control
Procedimiento
Directo: despliegue (total o parcial) de procedimientos;
descomposición de problemas complejos en otros de menor
complejidad y establecimiento de un orden de resolución;
indicaciones a seguir en el desarrollo del problema; y
representación de la figura de partida junto a la de llegada.
Replica: procedimientos previos.
Referencia: acciones y sugerencias que determinan la
operación a considerar y característica (figurales y de medida
de área) de la figura de llegada.
Contenido Alusión o presentación de definiciones de conceptos
matemáticos, formulas y propiedades geométricas.
Visibilidad
Factores de visibilidad: fraccionamiento dado, subfiguras
convexas, complementariedad de formas, desdoblamiento,
grado de inclinación de la figura o de un eje de simetría,
ubicación del centro de homotecia y características del
contorno.
Elementos de contraste: color, punteado y contraste en el tono
y el grosor del contorno de una figura y del fondo cuadriculado
en que se representa.
Índices: letras, segmentos continuos, puntos
sobredimensionados, flechas curvas y rectas, trazos, nombres
50 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Tabla 2-2. (Continuación) de las unidades a las que se alude, valor de la medida de unidad
y espacios en blanco.
Iconismo Características del objeto o acción física representada o
aludida.
Tabla 2-2. Elementos generadores del control visual. Tomados de (Marmolejo y González,
2015, p.15).
De la tabla 2-2 se puede apreciar de forma sintética los elementos generadores del
control visual sobre el tipo de visualización a contemplar en los libros de texto escolares,
para un mejor entendimiento de las formas de control se ilustrarán algunos ejemplos.
Ejemplo 1. Para las siguientes figuras ilustradas, copia o completa lo que falta para que las
figuras resultantes sean simétricas respecto al eje que se señala. Luego calcula el área de
cada figura resultante teniendo en cuenta que cada cuadricula corresponde a un
centímetro cuadrado.
Figura 2-16. Adaptación del ejemplo del elemento de generador de control visual de
procedimiento usando la réplica como forma de control.
Tomado de (Marmolejo y González, 2015, p.14).
Capítulo 2 51
Para el ejemplo presentado en la figura 2-16, la tarea propuesta la visualización se da
de forma directa, debido a que solo implica una la actividad de construcción de una figura
que está a medio completar, por lo que bastara con comparar las subfiguras que componen
a los contornos globales denotados como 𝑄𝑃𝑂𝑀𝐿𝐼𝐽𝐾 y 𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐴𝐵𝐶𝐷 para completar los
simétricos respecto a los ejes referenciados, este tipo de tareas se caracterizan porque
previamente se ha realizado una actividad similar y su desarrollo solo demanda de un poco
de atención y toma de medidas, en cuanto al cálculo del área deberá aplicarse la
aprehensión perceptual junto con el conteo de cuadricular para estimar el valor resultante
en las unidades solicitadas.
Ejemplo 2. Construye los polígonos 𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, 𝐾𝐿𝐺𝐻𝐼𝐽 y 𝑅𝑀𝑁𝑂𝑃𝑄, y con ayuda de una
regla busca la manera de dividirlos de tal manera que todas las partes que se obtengan
sean paralelogramos. (Ayuda. Cada cuadricula equivale a un centímetro cuadrado).
Figura 2-17. Adaptación del ejemplo del elemento de generador de control visual de
procedimiento usando la referencia como forma de control.
Tomado de (Marmolejo y González, 2015, p.15).
En la figura 2-17, se muestra el procedimiento por referencia, pero en esta ocasión se
tienen dos elementos de control visual los que caracterizan la tarea, por un lado, el
enunciado o consigna que hace explicita la acción de dividir los polígonos, por otro, se
caracteriza el tipo de figuras que deben resultar al ser divididos (“sean paralelogramos”),
los polígonos referenciados. Por lo que los aspectos en cuestión determinaran el desarrollo
de la tarea, por ejemplo, al polígono 𝐾𝐿𝐺𝐻𝐼𝐽 se le puede trazar un segmento 𝐿𝐼 y formara
así dos paralelogramos denotados como: 𝐼𝐽𝐾 y 𝐺𝐻𝐼𝐿.
52 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Ejemplo 3. Se presenta unas figuras sombreadas en una hoja cuadriculada, en la que se
debe determinar la cantidad de área de las regiones sombreadas y expresar el resultado
obtenido en unidades cuadradas.
Figura 2-18. Ejemplo del elemento de generador de control visual de visibilidad.
Tomado de (Marmolejo y González, 2015, p.204).
Del ejemplo de la figura 2-18, se puede apreciar que existe una ausencia de contraste
dado que las figuras respecto al fondo cuadriculado no resaltan ni por tono o grosor entre
su contorno o segmentos las constituyen, la introducción de estos elementos en la figura
representada privilegia u obstaculizan una forma de ver en detrimento de otras. En el caso
de las figuras que sobresalen en un tono oscuro tienden espontáneamente a ser
discriminadas como la unión de un gran número de pequeños cuadrados, asimismo la
figura y fondo se funden en un mismo objeto, el fondo no es un soporte, sino una parte de
la figura. Para calcular el área de la región sombreada se requerirá realizar una
reconfiguración mereológica de las formas para poder realizar un conteo de las cuadriculas
y expresar el cálculo de la medida bidimensional en unidades cuadradas. Ejemplo 4.
Determinar el área de la figura 𝐴𝐸𝐷𝐹𝐶𝐵, en las correspondientes unidades.
Capítulo 2 53
Figura 2-19. Ejemplo del elemento de generador de control visual de visibilidad.
Tomado de (Marmolejo y González, 2015, p.18).
Otro ejemplo de visibilidad se presenta en la figura 2-19, cuando se introducen líneas
punteadas segmentos discontinuos en la figura 𝐴𝐸𝐷𝐹𝐶𝐵. Debemos centrar la atención,
por ejemplo, en los ejes de simetría sobresalen respecto a la figura estudiada.
También se destacan como elementos que generan una buena visibilidad las unidades
a considerar y que guían a manera de índices la representación como es el caso de los
puntos, y las medidas de los segmentos en centímetros como 𝐴𝐵 = 2𝑐𝑚, 𝐶𝐹 = 6𝑐𝑚 y
𝐷𝐹 = 2𝑐𝑚, respecto a los espacios en blanco se puede deducir que los arcos que
sobresalen pueden sobreponerse en ellos fonda así una figura 𝐴𝐸𝐹𝐶 que es un rectángulo
con un área de 24 𝑐𝑚2.
Ejemplo 5. En la siguiente situación representada se aprecia la rotación de una región
azul que hace parte de los rines de una bicicleta, al seguir la secuencia numérica se aprecia
que la región azul rota. Tomar un color y pintar la región en donde quedaría tal región en
la secuencia 4 y 5.
54 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 2-20. Ejemplo del elemento de generador de control visual de iconismo.
Tomado de (Marmolejo y González, 2015, p.139).
La figura 2-20, alude a un objeto físico o una acción física, donde las características del
objeto o de la acción planteada guían la manera en que se procede visualmente por parte
del sujeto. (Marmolejo y González (2015) mencionan que este elemento de control se ve
reflejado en la tarea propuesta del ejemplo 5 ya que se propone una secuencia con cinco
figuras isométricas entre sí. Y quien resuelve la tarea deberá centrar su atención en las
tres primeras bicis con las ruedas marcadas con azul y discriminar la rotación a la
operación figural a privilegiar. Las figuras representan un mismo objeto físico (bicicletas),
por lo que se asocia la rotación de las llantas con el movimiento hacia adelante, por lo que
la representación otorga elementos al sujeto para que interprete y realice sus propias
deducciones para que infiera visualmente la solución.
2.3.2 Tipos de control visual
Los tipos de control visual surgen según el número de elementos de control visual
presentes en alguna tarea de un texto escolar, como también se pueden dar, según la
cantidad de visualizaciones. De las que se pueden privilegiar destacar tres tipos los cuales
fueron caracterizados por Marmolejo y González (2015) acompañados de un ejemplo
ilustrativo.
Control visual simple o disjunto: En este tipo de control los elementos que guían la
solución en la tarea determinan el tipo de visualización pertinente para la solución y la
manera de ver. En ese sentido, para el ejemplo que se presenta a continuación solo existe
un elemento. Por eso se denomina control simple, si son varios elementos los que fijan el
Capítulo 2 55
control en partes distintas de la secuencia visual en juego se le denominará control
disjunto. Para mayor claridad ver el siguiente ejemplo.
Ejemplo: Dado un cuadrado 𝐷𝐶𝐵𝐴 que ha sido representado en un fondo cuadriculado,
deberás dividirlo en dos triángulos rectángulos, ver la figura 2-21:
Figura 2-21. Despliegue del tipo de visualización de control visual simple.
Tomado de (Marmolejo y González, 2015, p.20).
Del anterior ejemplo, se puede analizar que sobre la figura inicial 𝐷𝐶𝐵𝐴 sin color y
fondo cuadriculado, se debe visualizar un fraccionamiento en dos triángulos rectángulos
designados como 𝐷𝐶𝐴 y 𝐶𝐵𝐴, para así, centrar la mirada y prestar atención de la figura
inicial 𝐷𝐶𝐵𝐴 a la de dos subfiguras como se muestra en el cuadrado 𝐷𝐶𝐵𝐴 con colores
azul y verde. Luego se debe verificar si ambas subfiguras 𝐷𝐶𝐴 y 𝐶𝐵𝐴 son realmente dos
triángulos rectángulos, para ello, el sujeto debe pasar de centrar su atención en las
características perceptivas globales de cada triángulo al de sus partes internas como son
sus ángulos, en particular los que sean rectos, en este caso serían los vértices 𝐴𝐷𝐶 y 𝐴𝐵𝐶
respectivamente.
También se aprecia que al fraccionar el cuadrado se encontraran dos triángulos, pero
uno de ellos está en lo que se puede denominar posición habitual “el triángulo 𝐷𝐶𝐴” y el
otro en una representación no habitual “𝐶𝐵𝐴”, por tanto, es necesario en palabras de
Marmolejo y González, (2015) aplicar sobre este último un cambio de focalización, es decir,
una rotación. El autor mencionado resalta el hecho que el enunciado del problema exigió
56 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
de entrada un fraccionamiento del cuadrado, pero la forma de proceder respecto al
contenido que hay trasfondo hace parte de los elementos de análisis de los tipos de control
visual. En este caso fue control simple porque la atención solo se centraba en dar un paso
fundamental para secuencialmente llegar a la solución del problema.
Control visual por refuerzo: Es la situación en la cual varios elementos generadores del
control de una tarea propuesta se fijan en un mismo aspecto de la secuencia visual
contemplada, en otras palabras, según Marmolejo y González (2015) “imponen una única
manera de ver pertinente a su desarrollo o comprensión” (p.21). A continuación, se
presenta un ejemplo de este tipo en la figura 2-22.
Ejemplo: Dado un rombo 𝐴𝐷𝐵𝐶, hacer un paralelogramo. Comparar las áreas y perímetros
de ambas figuras.
Figura 2-22. Adaptación del ejemplo presentado por (Marmolejo y González, 2015, p.21).
Fuente: Elaboración propia.
El ejemplo ilustrado en la figura 2-22, deja en evidencia la trasformación de un rombo
𝐴𝐷𝐵𝐶 en una figura con cuatro lados denominada paralelogramo la cual se designó como
𝐴𝐶𝐵𝐷 en el que se puede apreciar que tienen área ambas con 12 𝑐𝑚2 y distinto perímetro,
siendo el del rombo ADBC mucho menor en comparación con el del paralelogramo 𝐴𝐶𝐵𝐷
esto debido posicionamiento de sus subpartes constitutivas.
Capítulo 2 57
Respecto a lo anterior, se presentan ambas figuras descompuestas 𝐴𝐷𝐵𝐶 y 𝐴𝐶𝐵𝐷 en
cuatro subfiguras de forma triangular de igual área las cuales se designan como: 𝐴𝑂𝐷,
𝑂𝐵𝐷, 𝐶𝑂𝐵 y 𝐴𝑂𝐶. Se evidencia una flecha que indica la dirección de la transformación
aplicada. La actividad muestra la solución a través de un despliegue de unas subfiguras
que se derivan de la “figura original”. La secuencia visual de la trasformación está ligada a
los colores que representan ciertas subfiguras triangulares para que el sujeto interpretante
sepa cuál fue la ruta seguida para transformar una figura en otra. Por lo tanto, quien asuma
la tarea debe comparar la figura de inicio con la de llegada, aunque esto puede
interpretarse de igual manera si la actividad no tuviera colores, bastaría con las
designaciones de las subfiguras que constituyen el problema, pero esto dependerá de la
capacidad del interprete.
De esta manera se concluye que las subfiguras triangulares 𝐶𝑂𝐵 y 𝐴𝑂𝐶 permanecieron
quietas y que las designadas como 𝐴𝑂𝐷, 𝑂𝐵𝐷 se les aplicaron una composición de
traslaciones horizontal de tres unidades hacia la derecha y vertical de tres unidades hacia
arriba tal y como se aprecia en la figura 2-22. En este caso serían dos procesos de control
introducidos en el enunciado que son el procedimental y el de divisibilidad, el primero
aparece al asumir el desarrollo de la actividad cuando se compara la figura 𝐴𝐷𝐵𝐶 y la de
llegada 𝐴𝐶𝐵𝐷 y se presentan descompuestas en ambas figuras en subfiguras triangulares
𝐴𝑂𝐷, 𝑂𝐵𝐷, 𝐶𝑂𝐵 y 𝐴𝑂𝐶 para comprender como se realizó la trasformación. Mientras que
el segundo proceso de control se demarca con la introducción de los colores y la flecha
que guía el proceso de trasformación para así minimizar la complejidad de la
reconfiguración.
Control visual ambiguo: Se presenta cuando varios elementos de control determinan
distintos tipos de visualización en la figura, pero no todos son pertinentes al desarrollo de
la tarea propuesta, esto significa en palabras de “que la ambigüedad se produce cuando
se suscitan visualizaciones de naturaleza distinta a las tratadas en el tópico” (Marmolejo y
González 2015). Sea de estudio y que pueda o no ser tan viables para dar solución a la
tarea propuesta. Un ejemplo de este tipo es el siguiente:
58 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 2-23. Ejemplo de control visual ambiguo.
Tomada de (Multiáreas 5, Grupo editorial Norma, p.175).
El ejemplo presentado en la figura 2-23, se pide calcular el área de los pisos de cada
habitación del nuevo apartamento que Verónica y Sebastián compraron. Cuando se lee el
problema se supone que en teoría se le ha dado al estudiante la fórmula a aplicar o tiene
conocimiento de ella, la ilustración secciona el apartamento en las diferentes habitaciones
pero la sala representa un polígono irregular el cual no se le ha dado una fórmula directa
para calcular su área, por lo que es necesario realizar un fraccionamiento previo de figuras
en este caso rectangulares de las que se conozcan las fórmulas del cálculo del área.
La figura 2-23, es susceptible a dos tipos de descomposición para su solución, la
primera está relacionada con el fraccionamiento parcial de las medidas lineales de cada
habitación dadas en metros como unidad de medida referencial. Otra característica son los
contornos de las habitaciones que están diferenciados con colores para hacer aún más
evidente el fraccionamiento del apartamento, para lo cual se induce al posible sujeto que
busca solución de la actividad que tome aparte cada representación con sus medidas y
calcule el área de cada habitación y dar respuesta inmediata al cometido planteado. Véase
a continuación:
Capítulo 2 59
Figura 2-24. Representación de la solución propuesta para el ejemplo de control visual
ambiguo.
Fuente: Elaboración propia.
De la figura 2-24, se puede apreciar que la representación gráfica que incluye el libro
es un soporte que ofrece información al sujeto que interpreta y resuelve la tarea, pero la
carga cognitiva radica en realizar operaciones por medio de un registro numérico y análisis
mental (completar los valores de cada habitación), y cómo ira a operar con la fórmula que
ya es conocida teniendo en cuenta las respectivas unidades.
La segunda ruta de solución tiene en cuenta que la ilustración es una representación
auxiliar del problema planteado y dependiendo de la manera de ver que tenga el
interpretante puede hallar cada área dependiendo de los valores que están asignados a
ciertas longitudes para solamente reducir la actividad a una suma de longitudes faltantes
(contornos globales) que son claves para completar las medidas reales de las habitaciones
luego calcular las áreas casi de manera heurística. Tal y como se presenta en la figura 2-
25:
60 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 2-25. Ilustración de la segunda solución al ejemplo de control visual ambiguo.
Fuente: Elaboración propia.
Una vez vistas las soluciones no cabe duda de que, sea cual fuese el camino elegido
al fraccionar la figura, quien intente resolver la actividad en ambos casos, se debe ser
consciente del fraccionamiento inicial de la sala, luego centrar la atención en las subfiguras
que representa cada habitación que compone el apartamento, para luego aplicar la fórmula
que permite calcular el área en unidades de metros cuadrados. Pero como no sean dado
todos los datos de manera explícita de las longitudes de cada habitación es necesario
aplazar el empleo de la fórmula conocida para calcular el área en metros cuadrados, lo
que implica una actividad precavida de visualización antes de operar las longitudes.
En este caso los elementos de control introducidos en el ejemplo del texto de multiáreas
5 son el de contenido y el de divisibilidad, el primero aparece a través del enunciado de la
tarea, haciendo alusión al concepto del área a través de una unidad de medida (indirecta,
lo que implica una descomposición figural de la ilustración de inicio). Para después
proceder con alguno de los dos tipos de soluciones descritas y ejercer al final un cambio
Capítulo 2 61
dimensional. La visibilidad está demarcada por la introducción de la ilustración del
apartamento dividida en habitaciones y las demarcaciones de las longitudes dadas en
metros de cada habitación. La ambigüedad en el control es introducida en la primera
medida, debido a que se debe considerar un fraccionamiento del polígono irregular
presentado como “sala” y esto dependerá si el sujeto ha alcanzado cierto nivel de
descomposiciones figural o divisibilidad de las formas comunes.
2.4 El área de figuras planas
El concepto de área, a lo largo del tiempo, ha sido un elemento de estudio muy usual
debido a la practicidad que esta noción ha tenido con el desarrollo de actividades del
hombre como es el caso de la agricultura y la construcción, por lo que no es de desconocer
el hecho que según la Real Academia Española (RAE) se defina como “la superficie
comprendida dentro de un perímetro o la cantidad de tierra comprendida entre ciertos
límites”. Pero debido a la perspectiva que se está encaminado este trabajo es conveniente
mencionar a (González, 2016) quien cita a D`Amore y Fandiño (2007) quienes la definen
como “una medida bidimensional que siempre va acompañada de una unidad de medida
cuadrada. El concepto de área no nace con el ser humano, sino que es trasmitido a lo largo
de procesos históricos” (pp.27-28). Por lo que es necesario entender que cuando se
estudia ese concepto como objeto de enseñanza desde la escuela primaria a la secundaria
varia su complejidad, aunque está claro que la finalidad en estos niveles de formación no
es la construcción del concepto matemático, sino que se espera realizar un acercamiento
a la construcción del área desde el punto de vista geométrico, es decir, al tratamiento del
registro figural y sus respectivas reconfiguraciones y analizar la conservación de esta
magnitud.
Al remontarse a los antiguos griegos nos damos cuenta de que se puede abordar el
cálculo de áreas de superficies planas sin necesidad de precisar de un modo formal qué
se entiende por ella, por lo tanto, en niveles como primaria e inicios de la formación básica
secundaria, el tratamiento de este contenido habitualmente viene estructurado en las
siguientes categorías descritas por Marmolejo (2014) “cantidad de área, medida del área
y relación perímetro área” (pp.143-144). De la primera categoría se puede describir que se
refiere al momento en que los libros de texto operan superficies sin recurrir a medidas o
62 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
datos numéricos llamase unión, sustracción, composición o descomposiciones de
superficies y la comparación entre las mismas u otras.
La segunda categoría hace referencia la medida del área ya sea de manera directa
(replicación de unidades de referencia), o indirecta que alude a encontrar la unidad de
referencia para después aplicar un algoritmo dependiendo de la figura geométrica. Por
último, se encuentra la relación perímetro-área y esta puede encontrarse en tareas donde
se trabajan ambos conceptos o se solicita su determinación al encontrarse estrechamente
relacionados.
Otro aspecto que tiene que ver con la fundamentación teórica del área de figuras planas
(en adelante área) se encuentra en establecer ¿qué se entiende por los términos superficie
y área? está claro que ambos términos no atañen a un mismo significado puesto que
muchos investigadores y educadores matemáticos empelan la palabra superficie para
referirse al área, y a veces al área para referirse a la misma medida del área.
En palabras de Corberán (1996) “para algunos el área es un número, y para otros es
algo distinto del número que la mide” (p.38). Por lo que es necesario explicitar como es
que se entienden estos términos o el significado que se les otorgó en este trabajo porque
así mismo es se buscó que los estudiantes los comprendieran.
Si bien, como educadores debemos llegar a consensos de las reflexiones realizadas en
el desarrollo de nuestro quehacer el referente teórico que orienta la diferenciación es los
términos anteriormente mencionados es Corberán (1996) quien afirma “que el área es una
propiedad más de una superficie que puede ser medible, y por lo tanto se le puede asociar
un número como resultado de su medida” (p.40). La apuesta en este sentido, porque la
mayoría de los programas curriculares (MEN, 1998, 2006), se incluyen orientaciones
específicas para el tratamiento del área pero a pesar de los múltiples esfuerzos de
investigadores como (De Araújo y Dos Santos, 2009 citado por Marmolejo y González,
2015b) manifiestan que “son escasas las ocasiones en que esas técnicas de despliegue
de procedimientos de comparación de áreas se ven reflejados en las actividades que
resuelven los estudiantes, es más brillan por su ausencia”(p.46). Por otro lado, Olmo y
Moreno (1989) citados por (Marmolejo y González, 2015b) expresan que tradicionalmente
Capítulo 2 63
se asume que el alumno descubre por sí mismo el concepto de área y por eso se pasa
directamente a su medida.
Mientras que autores como (Kospentaris, Spyrou, & Lappas, 2011) afirman que, el
conocimiento geométrico formal, cuando se trabaja la percepción visual y las nociones
intuitivas personales, son factores que pueden determinar los procedimientos que los
estudiantes realizan en el estudio de la equivalencia de áreas. Mientras que el significado
de superficie viene a estar más ligado con la forma que describe cierta figura en un espacio
euclídeo, que para el nivel de escolarización en que se piensa aplicar será el campo
bidimensional.
Lo que se menciona anteriormente sobre la superficie es necesario que los estudiantes
desde un inicio en su formación escolar de básica secundaria se familiaricen con las
diferentes unidades de medida en que esta se puede medir, pero antes que eso es
necesario que comprendan porque es una magnitud bidimensional porque si no, se estaría
dando continuidad a la dificultad de la linealización de la magnitud del área tal y como
sucede cuando se enseña este tópico, cuando se enfatiza en el despliegue de fórmulas
dejando relegado a un segundo plano a la exploración del registro figural.
Teniendo presente los elementos mencionados respecto al estudio y enseñanza del
área es evidente que resulta ser un contenido propicio para trabajar desde la visualización,
no solamente por tratarse de un contenido cuya construcción se lleva a cabo durante la
mayor parte de la educación básica, sino por su riqueza en la movilización de procesos y
situaciones propias del pensamiento espacial y métrico, tales como: comprender procesos
de medición de longitudes, como perímetros, áreas y ángulos, aplicar de forma adecuada
los tratamientos figurales, emplear herramientas de medición y otros recursos, además de
poder aplicar expresiones matemáticas para calcular o deducir las áreas de ciertas figuras
geométricas básicas.
Respecto a la aplicación de expresiones matemáticas para calcular o deducir las áreas
de ciertas figuras geométricas Barreto (2017) se propuso deducir las fórmulas tomando
como punto de referencia a los antiguos griegos, específicamente aquellos conocimientos
geométricos que les permitieron hacer geometría partiendo de construcciones que se
regían de definiciones, nociones comunes, entre otras formas de organización teórica.
64 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Aclarado lo anterior Barreto (2017) parte del manejo de nociones primordiales que se
encuentran dentro del libro de los Elementos de Euclides. Respaldado en un enfoque de
procesos cognitivos, es decir, que le permitirán ir mostrando como operar las figuras
geométricas de forma tal que se podrá ir poco a poco visualizando y razonando de una
manera más fácil la deducción de fórmula del área de algunas figuras ya conocidas, todo
esto para ir generando un conocimiento progresivo.
Como consecuencia se pretende llegar a la coordinación de procesos cognitivos como
la visualización, las aprehensiones operatorias y mereológicas, que permitirán la
construcción de ciertas fórmulas que suelen ser usadas para calcular el área de figuras
planas, las cuales junto a los conceptos de conjunto elemental y figuras congruentes
facilitara de la deducción de las fórmulas.
2.5 Deducciones de fórmulas para hallar el área de algunas figuras geométricas
Generalmente, cuando se estudian las matemáticas se suele establecer relaciones
entre cantidades y magnitudes, esto se debe a que algunas propiedades que presentan
ciertos objetos matemáticos, en este caso tenemos a las figuras geométricas. Se les
pueden realizar ciertas operaciones lógicas para deducir algunas relaciones en las que se
conjugan ciertas definiciones como son la de magnitud y la línea poligonal, que en palabras
de (Barreto, 2017) son una manera de construir y deducir el algoritmo que permite calcular
el área de figuras planas elementales en términos de definiciones, teoremas y tratamientos
figurales. a continuación, se comenzarán a presentar algunos casos que ilustran este tipo
de procesos:
Definición 1. Magnitud escalar: Es todo aquello que se puede medir, las cuales se
identifican porque dan su valor, que siempre es un número real acompañado de
una unidad. Definición 2. Línea poligonal: Es la figura plana obtenida de trazando
segmentos no alineados, de modo que dos segmentos consecutivos tengan un
extremo en común (Barreto, 2017, p.1).
La figura 2-26 representa la combinación de las definiciones anteriores:
Capítulo 2 65
Figura 2-26. Representación de una línea poligonal.
Fuente: Elaboración propia.
Se puede apreciar de la figura 2-26, los segmentos consecutivos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , formando
así una sola línea poligonal que se denota 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ . Otro rasgo que la puede caracterizar es
que, si cada vértice pertenece a dos lados, a esta se la puede denominar línea poligonal
cerrada.
“Definición 3. (Polígono): Es una región del plano limitada por una línea poligonal
cerrada. Definición 4. (Cuadrilátero): Es un polígono de cuatro lados” (Barreto,
2017, p.1).
De las anteriores definiciones se puede deducir que también tendrá cuatro ángulos
interiores, formados por cada par de lados consecutivos. Los vértices de un cuadrilátero
son la intersección de cada dos lados. Por lo que se reconocerán como vértices opuestos
a aquellos que no se sitúan sobre el mismo lado y las diagonales de un cuadrilátero serán
los segmentos determinados por un par vértices opuestos.
“Definición 5. (Paralelogramo): Cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.
Definición 6. (Rectángulo): Son paralelogramos que tiene todos sus ángulos rectos”
(Barreto, 2017, p.1).
66 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
A partir de la estimación o cálculo de áreas se puede pensar a priori en desarrollar una
idea de medida y entenderla como una cantidad asociada a algún tipo de magnitud,
teniendo presente a Barreto (2017):
“Se puede evidenciar usando hechos primitivos como los conocidos por los griegos,
tales como: (i) El área de un rectángulo de lados a y b es igual a ab. (ii) El área de
un rectángulo es invariante por traslación” (p.1).
En la figura 2-27, se esclarece lo acabado de referenciar:
Figura 2-27. Representación de un rectángulo ABCD con un área ab.
Fuente: Elaboración propia.
Se aprecia que en la figura 2-27, el rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, denota como a y b a las medidas
de sus lados siendo a la que corresponde a los segmentos 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y b la medida asociada
a los segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ .
“Definición 7. (Conjunto elemental): Un conjunto se llama elemental si se puede
expresar como unión infinita de triángulos rectángulos” (Barreto, 2017, p.1).
En este caso podría decirse que cualquier polígono es un buen ejemplo de este
conjunto, ver la figura 2-28:
Capítulo 2 67
Figura 2-28. Representación figural de un conjunto elemental.
Fuente: Elaboración propia.
De acuerdo con lo presentado en la figura 2-28, un polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 puede verse como
la composición de otros como es el caso de un rectángulo 𝐴𝐵𝐷𝐸 y un triángulo 𝐵𝐶𝐷. En
ese sentido y con los hechos presentados tenemos que un paralelogramo rectángulo de
iguales lados se le reconoce y denomina como cuadrado y cuenta con la característica de
tener un área igual al producto de sus lados, véase en la figura 2-29:
Figura 2-29. Representación de un cuadrado OPQR con área a2.
Fuente: Elaboración propia.
68 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
De la figura 2-29, se puede ver que cada lado tiene una medida de a unidades y el
producto del lago y el ancho del cuadrado 𝑂𝑃𝑄𝑅 se le reconoce como área. Donde el
resultado anterior se obtiene el primer axioma el cual dice:
“Axioma (1): El área de un conjunto elemental es aditiva, es decir que, si A y B son
conjuntos elementales tal que A al ser intersecado con B es vacío, un punto o
segmento, entonces el área A unida con B es igual a la suma de las áreas en
cuestión”. Y por Definición 8. (Romboide): Es el paralelogramo que no tiene ni sus
ángulos ni sus lados iguales (Barreto, 2017, p.1).
Usualmente al romboide se le denomina simplemente paralelogramo o paralelogramo
no rectangular. En la figura 30, se aprecia en el lado izquierdo un paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷,
que puede ser transformado o reconfigurado en un rectángulo 𝐸𝐹𝐶𝐷 de igual área al
aplicar una aprehensión operatoria por reconfiguración, esto se logra al mover un triángulo
𝐴𝐷𝐸 al lado derecho del paralelogramo no rectangular 𝐵𝐶𝐹, aunque el triángulo como
figura aún no se ha definido se va a emplear en esta configuración porque los dos
triángulos mencionados tienen áreas iguales.
Figura 2-30. Representación de la aprehensión operatoria por configuración de un
paralelogramo ABCD a un rectángulo EFCD.
Fuente: Elaboración propia.
Otras apreciaciones de la figura 2-30, es que las longitudes de los paralelogramos
𝐴𝐵𝐶𝐷 y 𝐸𝐹𝐶𝐷 tienen como medida a “b” en sus lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ y como medida de las
Capítulo 2 69
alturas de los triángulos 𝐴𝐷𝐸, 𝐵𝐶𝐹 y lados 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐹̅̅̅̅ tenemos a “h”. De esta
manera si se parte de un razonamiento discursivo y visto como un proceso natural tenemos
que el área de un paralelogramo no rectangular viene dada por la fórmula: 𝐴𝑝 = 𝑏 × ℎ,
donde 𝐴𝑝 denota el área de un paralelogramo no rectangular. Cabe resaltar que, aunque
tiene la misma fórmula para calcular el área ambos polígonos, lo que cambiará por lo
regular siempre será la denotación de las longitudes.
Continuando con las construcciones de las áreas demos paso a las siguientes
definiciones:
Definición 9. (Figura congruente): Dos figuras son congruentes si pueden hacer
coincidir en todos sus puntos mediante una isometría, es decir, la aplicación o
transformación geométrica que conserva las distancias existentes entre rectas,
longitudes y ángulos, por ejemplo: las rotaciones, traslaciones y simetrías.
Definición 10. (Triángulo): Es un polígono de tres lados (Barreto, 2017, p.1).
Se debe aclarar que el término isometría hace referencia a algún tipo de transformación
geometría en la que se conserva ya sea las distancias entre lados de una figura, las
longitudes de sus segmentos y los ángulos. Por ejemplo, las rotaciones, traslaciones y
simetrías.
Ahora pues, para calcular el área de un triángulo 𝐴𝐵𝐶, es necesario aplicar una
aprehensión operativa de cambio figural, en este caso el triángulo 𝐶𝐵𝐷 como se ve en la
figura 2-31 del lado derecho, formando un romboide 𝐴𝐵𝐷𝐶, al hacer uso de la fórmula
obtenida anteriormente y partiendo de una conjetura sin demostración como menciona
Barreto (2017), teneos que el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶 es la mitad que la del romboide
𝐴𝐵𝐷𝐶.
70 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 2-31. Ilustración de la aprehensión operatoria de un cambio figural para hallar la
fórmula de un triángulo ABC al transformarlo en un romboide ABDC.
Fuente: Elaboración propia.
En la figura 2-31, se visualiza un triángulo 𝐴𝐵𝐶 y un romboide 𝐴𝐵𝐷𝐶 que tiene como
altura una longitud h y como base un segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ con medida b, luego la expresión que
permite obtener el área del triángulo viene dada por: 𝐴𝑇 = ℎ×𝑏
2. Cabe anotar en el proceso
de aprehensión empleado se recurrió a una congruencia de triángulos lo que implica que
ambos tienen igual área.
Definición 11. (Trapecio): Cuadrilátero que solo tiene dos lados paralelos. Véase en la
figura 32:
Figura 2-32. Representación de un trapecio ABDC.
Fuente: Elaboración propia.
Capítulo 2 71
Al observar la figura 2-32, se representa un trapecio 𝐴𝐵𝐷𝐶, en el que el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
con medida 𝑏2 es denominado como base menor, mientras que el segmento 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ con
medida 𝑏1es la base mayor, también se debe considerar que las alturas ℎ1 y ℎ2 al poseer
igual medida para términos prácticos la denominaremos simplemente h. Ahora pues, al
aplicar una aprehensión operativa figural y un razonamiento discursivo como proceso
natural tenemos:
𝐴𝑇𝐴𝐵𝐶 =𝑏1×ℎ1
2 (1) 𝐴𝑇𝐷𝐶𝐵 =
𝑏2×ℎ2
2 (2)
En el que (1) describe el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶 y (2) el área del triángulo 𝐷𝐶𝐵 y como
ya se mencionó que el área de un conjunto elemental es aditiva “Axioma 1” tenemos que
al sumar (1) y (2):
𝐴𝑇𝑃 =𝑏1 × ℎ1
2+
𝑏2 × ℎ2
2=
(𝑏1 + 𝑏2) × ℎ
2
Obtenemos 𝐴𝑇𝑃 que es la expresión que permite calcular el área de un trapecio gracias
a la suma de fracciones y asociación de términos semejantes ℎ1 = ℎ2 = ℎ.
“Definición 12. (Rombo): Es el paralelogramo que tiene todos sus lados iguales, pero sus
ángulos no son rectos” (Barreto, 2017, p.1).
Véase en la figura 2-33 de la izquierda:
Figura 2-33. Representación de un rombo ABCE.
Fuente: Elaboración propia.
72 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
En la figura 2-33, se aprecia un rombo 𝐴𝐵𝐶𝐸 con longitudes de diagonal mayor D y
diagonal menor d que corresponden a los trazos 𝐴𝐶 y 𝐸𝐵, respectivamente. En la parte
derecha de la misma figura 2-33, se aprecia el rombo ABCE dentro de un rectángulo con
las longitudes mencionadas, en los que se puede visualizar ocho triángulos congruentes:
AFE, 𝐴𝐹𝐸, 𝐴𝐺𝐵, 𝐵𝐻𝐶, 𝐶𝐼𝐸, 𝐴𝑂𝐸, 𝐴𝐵𝑂, 𝑂𝐵𝐶 y 𝐸𝑂𝐶 donde los últimos cuatro forman el
rombo 𝐴𝐵𝐶𝐸. Ahora bien, como D es la longitud de la base y d la longitud de la altura del
rectángulo 𝐹𝐺𝐻𝐼 que encierra al rombo 𝐴𝐵𝐶𝐸, tenemos que el A_R=D×d=b×h donde A_R
denota la expresión del área del rectángulo 𝐹𝐺𝐻𝐼, Al visualizar que la figura 2-33 del lado
derecho notamos que el rombo 𝐴𝐵𝐶𝐸 la mitad del área del rectángulo 𝐹𝐺𝐻𝐼 nos queda
que:
𝐴𝑅𝐵 =𝑏 × ℎ
2=
𝐷 × 𝑑
2
Donde 𝐴𝑅𝐵denota el área del rombo.
En general el área de un polígono regular (que tiene igual medida de sus lados) como
se puedo aprecia lo podemos deducir inductivamente, por ejemplo: Deducir al área de un
pentágono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 como el que se aprecia en la figura 2-34:
Figura 2-34. Representación de un rectángulo regular ABCDE.
Fuente: Elaboración propia.
Capítulo 2 73
A la izquierda de la figura 2-34, notamos un pentágono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, en el que existe
un punto F que se ubica equidistantemente sobre cualquiera de los vértices, se puede
evidenciar que el pentágono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 está conformado por cinco triángulos equiláteros, es
decir, que tiene lados de igual longitud tales como: 𝐴𝐵𝐹, 𝐵𝐹𝐶, 𝐶𝐹𝐷, 𝐷𝐹𝐸, 𝐸𝐹𝐴. En la
parte derecha de la figura 2-34, notamos uno esos triángulos descritos en el que existe un
trazo que llega al punto F y está formando una perpendicular al lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ el cual se le llama
altura del triángulo 𝐴𝐵𝐹, que a su vez viene siendo la apotema del polígono regular la cual
se conoce como: la menor distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Es un
segmento cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el punto medio de
cualquiera de sus lados, y es siempre perpendicular a dicho lado. Por lo que en este caso
analizado se tiene la de un pentágono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, luego a través de la aditividad de cada una
de ella, al ser un conjunto elemental podemos llegar al resultado:
𝐴𝑃𝑅 =𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑛𝑡á𝑔𝑜𝑛𝑜 × 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎
2 ,
𝑐𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑜𝑛𝑜 = 5 × 𝑙𝑎𝑑𝑜
Aunque la expresión más reconocida viene dada: 𝐴𝑝 =𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ×𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎
2, siendo 𝐴𝑝
y 𝐴𝑃𝑅 la denotación del área del pentágono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸. Por otro lado, parafraseando
a Barreto, (2017) las deducciones trabajadas para calcular el área de algunas figuras
planas, es una muestra clara que se movilizan diversos recursos cognitivos propios del
pensamiento geométrico. Lo cual ratifica este contenido como viable desde los sustentos
teóricos para diseñar la trayectoria de aprendizaje.
3. Fundamentos metodológicos y de diseño
En este capítulo se presentan y caracterizan de los fundamentos metodológicos que
guiaron este trabajo de investigación, en primer lugar se presentan las características
generales que componen el enfoque cualitativo, en segundo lugar, se presenta la
estructura y característica generales que compone el paradigma de la investigación de
diseño para finalmente, presentar aquellos elementos que hicieron parte de la planificación
de la toma, organización y clasificación de la información que produjo el diseño de la
trayectoria hipotética de aprendizaje para llevarla a cabo.
Como se pudo apreciar en el capítulo anterior, este trabajo tuvo un posicionamiento
teórico semiótico-cognitivo fundamentado Duval (1999, 2001, 2005) y con los aportes
desarrollados por Marmolejo (2007, 2014) frente al trabajo con áreas a partir de la
exploración heurística del registro figural, desde estas perspectivas, se ha centrado el
interés por estudiar los procesos de visualización que les permiten a los estudiantes
alcanzar la comprensión de ese tópico. De modo que diseñar una propuesta que articule
ambos trabajos se hace necesario puesto que desde la mirada en que se ha planteado
este trabajo para dar cumplimiento a los objetivos trazados tomando como enfoque la
investigación de diseño mediante la elaboración de una trayectoria hipotética de
aprendizaje, debido a que no se ha realizado un trabajo que tenga este posicionamiento
teórico con el objeto matemático de interés.
Cabe añadir, que la investigación de diseño tiene el potencial de ser una metodología
flexible y que se ajusta a las necesidades del contexto en que el docente-investigador quien
elaboró este trabajo estaba en la que cada intervención que realizara en el aula fuera lo
más efectiva posible además de combinar elementos como son análisis a priori y a
posteriori, los cuales hace parte de la ingeniería didáctica desarrollada por (Artigue,
Douady, Moreno y Gómez, 1995). Respecto a lo anterior, dichos elementos se hacen
76 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
necesarios incluirlos dado a que este trabajo investigativo es de corte cualitativo en el que
la validación del instrumento es interna y se hace desde la comparación teórica y empírica
de los análisis a priori y a posteriori.
Por consiguiente, este trabajo está posicionado en un paradigma de investigación
cualitativo porque estos se caracterizan por orientar los análisis de las situaciones de
aprendizaje hacia la búsqueda del significado y la interpretación del contenido de área de
figuras planas. Ya que el foco de interés de la pregunta problema busca la manera cómo
la actividad cognitiva de visualización emerger como una entrada propicia desde el
tratamiento figural para que los estudiantes alcancen la comprensión, es decir, en palabras
de Hernández, Fernández y Baptista (2014): “El interés debe estar centrado en
comprender los fenómenos, explorándolos desde las perspectivas de los participantes en
un ambiente natural y en relación con su contexto” (p.358). Por lo que ciertamente, esto es
un punto importante de estos paradigmas investigativos dado que, facilitan tener una
mirada integral y particular de los elementos que se conjugan en cada momento del
desarrollo de la investigación y el aula de clases.
3.1 Las trayectorias de aprendizaje: una teoría para el diseño
El concepto de trayectorias de aprendizaje nace de una corriente constructivista de la
enseñanza. Es preciso mencionar, que este constructo, el cual fue propuesto por Simon
en 1995, hace parte de la investigación de diseño, o diseños basados en la investigación
(Coobb, 2000; Sztajn, Confrey, Wilson, & Edgington, 2012), los cuales permiten estudiar
los procesos de enseñanza y aprendizaje mediante la toma de decisiones de tipo didáctico,
curricular y disciplinar. Adicionalmente, y en la búsqueda de cualificación de las
intervenciones de aula, se trazaron una serie de objetivos, que implicaron el diseño de
unas tareas, las mismas, que respondieron a una estructura de carácter hipotético, en aras
que las concepciones de los estudiantes progresaran de lo “informal”, hacia un
conocimiento más elaborado.
Durante todos estos años, desde su aparición, las trayectorias hipotéticas de
aprendizaje han servido de fundamento teórico para numerosos trabajos, en los cuales se
han evidenciado dos usos claramente diferenciados según Gómez y Lupiáñez (2005):
“como herramienta de investigación y como herramienta para la planificación” (p.81). En
Capítulo 3 77
ese sentido, un ejemplo del primer caso es el realizado por Clements & Sarama (2011) en
el que estos investigadores, centran su mirada en el tema específico de la composición de
figuras geométricas por parte de estudiantes de preescolar. Cabe anotar, que, en estos
trabajos, se diseñaron instrumentos que contribuyeron a identificar las progresiones en los
aprendizajes de los estudiantes, al establecer niveles de comprensión superiores, en
habilidades concernientes a la composición y descomposición figural.
Continuando con este enfoque instruccional del diseño, es necesario mencionar los
trabajos de León, Díaz, y Guilombo (2014), de Suárez y León (2016) y de Quevedo (2018).
Cabe subrayar, que los citados autores, enfrentando diferentes contextos, hicieron uso de
trayectorias para diseñar y planificar situaciones de aprendizaje, que ayudaron a los
estudiantes a desarrollar habilidades y alcanzar la comprensión, tomando como base los
trabajos de Clements & Sarama (2011). Además, después de establecer los fundamentos
de corte didáctico y disciplinar, y de aplicar actividades específicas, los estudiantes
alcanzaron las competencias esperadas, desde distintos niveles de desarrollo del
pensamiento espacial, utilizando estrategias que incluyeron el juego, o el uso de elementos
cuasi-lógicos (argumentaciones con fundamento).
En aras de alcanzar los objetivos trazados, se propuso una trayectoria hipotética de
aprendizaje como alternativa sobre la cual cimentar este trabajo de investigación, por ser
una teoría que orienta el diseño además de contar con la capacidad de permitir al profesor-
investigador, contrastar sus teorías sobre la concepción del aprendizaje con la puesta en
escena. En ese orden de ideas, la propuesta que se plantea este trabajo ve a las
trayectorias hipotéticas de aprendizaje como el medio por el cual unos diseños que ya
están respaldados por una teoría semiótica-cognitiva consolidada en el campo de la
educación matemática permiten alcanzar una comprensión del tópico de áreas a
estudiantes del grado séptimo. Por consiguiente, la idea no es validar un diseño, sino que
este enfoque instruccional ayude al profesor-investigador a plantear un escenario propicio
que promueva la comprensión del contenido de interés, tal y como se apreció en los
trabajos anteriormente mencionados.
A continuación, se procederá a presentar una síntesis general de la estructura de los
diferentes componentes que se pensaron para el diseño de la trayectoria hipotética de
aprendizaje.
78 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
3.2 Elementos constitutivos de las trayectorias hipotéticas de aprendizaje
Cuando se hace referencia al constructo teórico de las trayectorias hipotéticas de
aprendizaje en adelante THA como aquel enfoque instruccional o teoría que orienta el
diseño, se hace necesario mostrar cómo debería entenderse un ciclo de enseñanza
cuando estas se aplican. Dado que, al ser un concepto relativamente nuevo en la
educación matemática, dentro de la misma comunidad, aún no existe un consenso sobre
el alcance que estas puedan tener. La figura 3-1, muestra el ciclo de enseñanza propuesto
por Simon (1995), con algunas adaptaciones realizadas al trabajo que se ejecutó.
Figura 3-1. Adaptación del Ciclo de enseñanza de Simon (1995).
Referenciado por (Gómez y Lupiánez, 2007, p.80). Fuente: Elaboración propia.
Valoración y evaluación de los conocimientos de los estudiantes
Trayectorias hipotéticas de aprendizaje
Metas de aprendizaje del profesor
Plan del profesor para las
tareas de aprendizaje
Hipótesis del profesor sobre
el proceso de aprendizaje
Conocimiento matemático y teórico (semiótico cognitivo) del profesor del contenido sobre el
tópico de áreas de figuras planas
Reflexión en la acción:
frente a las tareas diseñadas,
el conocimiento de los
estudiantes y las metas u
objetivos trazados
Análisis a posteriori
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Trayectoria real de aprendizaje
Capítulo 3 79
En concordancia con lo planteado por Simon (1995), en la figura anterior, se presentan
los postulados del ciclo de enseñanza. Se debe mencionar, que este constructo, tiene una
estructura de cinco peldaños, cada uno de los cuales se refiere a un nivel de avance por
parte del profesor, en el dominio de las diferentes competencias que lo conforman. En ese
sentido, el nivel 1, se refiere al conocimiento que debe tener el profesor-investigador o si
es el caso el docente de aula frente al contenido de la asignatura, en los aspectos
matemático y semióticos-cognitivo; el nivel 2, contiene las tareas diseñadas en aras de
alcanzar unas metas específicas contempladas por el docente, el nivel 3, trata de la
evaluación pertinente, de acuerdo con el desempeño observado en el aplicativo de los
cometidos, el nivel 4, hace un análisis a posteriori, de las características de la evaluación,
en el fin avanzar o de dar continuidad en los procesos de aprendizaje y alentando la
comprensión de los alumnos, y el nivel 5, hace alusión, a la contrastación entre los
elementos constitutivos de la THA, con los que arrojaron los análisis de las producciones
de los estudiantes.
En cuanto al dominio disciplinar, (nivel 1), en la medida en que todo profesor crece en
experiencia, este va afianzando su conocimiento del contenido. Conviene señalar, que, en
el caso específico del aumento de las capacidades en el ámbito de la geometría, esto le
permitirá fundamentar sus decisiones curriculares. Adicionalmente, el docente tiene mayor
autoridad para redireccionar el camino de la clase, cuando sea necesario, lo que conducirá
a un mejor diseño del ambiente de aprendizaje. Al respecto, Simon, dice:
“Una trayectoria hipotética de aprendizaje le da al profesor criterios para
seleccionar un diseño instruccional particular, por lo tanto, esta toma las decisiones
de enseñanza, basado en la mejor conjetura acerca de cómo va a proceder con el
proceso de aprendizaje “(Simon, 1995, p.135).
Es importante hacer notar, que, en la anterior cita, subyacen las partes que configuran
una trayectoria de aprendizaje (TA). Conviene señalar, que, en primera instancia, se habla
de criterios instruccionales, los cuales necesariamente están conectados con las metas de
aprendizaje, que, a su vez, lo están, con los objetivos propuestos por el profesor quien
diseña. Adicionalmente, están contenidas las hipótesis de aprendizaje, las cuales permiten
establecer rutas y niveles de formación, que, los estudiantes de manera progresiva deben
ir alcanzando.
80 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Por último, se tienen las tareas en el que su cantidad y división por niveles, viene sujeta
a los elementos constitutivos ya mencionados y están fundamentadas desde la teoría
semiótica cognitiva propuesta por Duval y colaboradores. En cuanto a las trayectorias
hipotéticas de aprendizaje (nivel 2 del cuadro), allí se encuentra consignado el entramado
metodológico de la trayectoria hipotética de aprendizaje. Es preciso subrayar, que en el
momento en que el profesor escoge un contenido específico de estudio, en este caso, el
de los procesos de visualización que emergen cuando se trabaja con áreas de figuras
planas para estudiantes de grado séptimo, deberá tener presente que este acervo
instruccional, consta de tres elementos: a) los propósitos u objetivos de aprendizaje, b) las
conjeturas o hipótesis de aprendizaje, y c) las tareas que son diseñadas mediante un plan
que el profesor cree idóneo para ejecutar dentro del aula de clase.
Respecto al nivel (3), una vez se tenga el conjunto de tareas definidas, podrá tomarse
la decisión de realizar un pilotaje o iniciar las tareas proyectadas. En virtud de esta
definición, para valorar el estado de conocimientos que tiene el grupo de interés y
establecer la cantidad de niveles que contendrán los diseños, el profesor deberá solucionar
todas las tareas y hacer un análisis a priori. Al respecto, esta práctica le permite al docente
conocer, las posibles dificultades y soluciones que podrían encontrarse, cuando se haga
la intervención en el aula, aunque puede darse el caso que aparezcan respuestas de los
estudiantes que estén por fuera de los análisis que anticipa el profesor.
Una vez se cierre cada nivel, y se tome la decisión de seguir con el proceso, el profesor
investigador deberá ir al paso (4), en el que se hace la evaluación de las producciones de
los estudiantes. En este marco, el docente deberá auscultar otras formas de solución de
las tareas, las cuales pueden ser igualmente válidas. A su vez, debe llegar a descubrir,
elementos de análisis que tengan la capacidad de evidenciar las dificultades que existen
en cada tarea, las cuales, deberán ser solventadas antes de proseguir con el siguiente
nivel. En el desarrollo del ciclo de la THA, en aras que esta se logre consolidar como una
trayectoria real de aprendizaje (TRA), es condición sine qua non, establecer una serie de
categorías que pueden verse también como procesos transversales, de manera que,
permitan elaborar el análisis a posteriori. Conviene señalar, que este proceso constituye el
paso (5), y consiste en que el profesor deberá contrastar los elementos constitutivos de la
THA en conjunto con los que arrojó los análisis de las producciones de los estudiantes.
Capítulo 3 81
Finalmente, en este estadio del proceso, el profesor deberá analizar y argumentar por qué
se puede concluir que los estudiantes progresaron cognitivamente.
En resumen, si en algún momento el docente-investigador ve la necesidad de añadir
algún elemento a su diseño, con el propósito de solventar alguna dificultad, deberá hacer
los ajustes necesarios. En tal sentido, desde una postura flexible, será posible validar los
resultados grupales de la trayectoria, y desde allí, poder considerarlos efectivos, en el
alcance de la comprensión del tópico escogido, por parte de los estudiantes.
3.3 Elementos por considerar para la recolección y análisis de información
Este trabajo de investigación pretende emplear a la THA como medio para hacer que
el análisis trasfondo que conlleva el enfoque semiótico-cognitivo, los estudiantes logren
desarrollar procesos de visualización en ese sentido, se pensó en elaborar y organizar la
información según su naturaleza para su posterior análisis, es decir, las fuentes
documentales que sustentan este trabajo de investigación (antecedentes, marco teórico,
artículos sobre el trabajo con áreas, etc.); luego vienen aquellas que permiten ir
estructurando la THA con los diseños que conformaran el grupo de tareas (rejilla de
categorías de diseño) como también las que permiten agrupar los registros posterior a las
aplicaciones (tablas de síntesis de desempeño grupal).
Lo anteriormente mencionado tu tuvo como fuentes de información los siguientes
procesos: Para ordenar y clasificar las fuentes documentales, se llevó a cabo gracias a la
organización que ofrece el gestor de referencias bibliográfico Mendeley, el cual permitió
clasificar los documentos según fuera su aporte en cada capítulo de la investigación, lo
que facilitó la lectura y relectura de las fuentes bibliográficas para después pensar en los
análisis a priori y a posteriori, así como la adaptación de algunas tareas que conformarían
el diseño a aplicar. Una vez se tuviera la estructura general de los niveles de aprendizaje
que conformarían la THA, y tener una preselección de los posibles grupos de tareas que
conformarían cada nivel, se pensó en elaborar una rejilla de categorías de diseño (Anexo
A), que permitirían ir llevando un control sobre que procesos de visualización, las formas
de ver, el tipo de aprehensión visual que se irían trabajando con los estudiantes, con la
intención de ir aumentando el nivel de complejidad sin que se fuera repetitivo en las
mismas categorías de diseño en los grupos de tareas.
82 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Ahora pues, antes de implementar se pensó en llevar un registro clasificado de las
producciones de los estudiantes donde se salvaguardará su identidad para ello, se tomaron
los diferentes listados de clase y se manejó una codificación, por ejemplo: 7B3-24, en el
que el 7 indicaba el nivel escolar que era el grado séptimo y las letras A, B, C, D, eran un
indicativo del grupo al que pertenecería ese estudiante además, el 3 que aparecía
después, era el nivel de aprendizaje al que pertenecería la prueba, que al final se decidió
por cinco niveles mientras que, los últimos dos dígitos hacían referencia al número de lista
que tenía cada estudiante.
Luego, al contar con las producciones de los estudiantes se tendría una tabla general
en la que se valorarían los avances grupales en términos de procesos las cuales serán
descritas en el capítulo 5, lo que facilitaría al final de cada aplicación si había evidencias
de aprendizaje y desarrollo de procesos visuales.
Respecto a la población a la que fue dirigido este trabajo se puede mencionar lo
siguiente: Las aplicaciones llevaron a cabo en una institución educativa Manuel Antonio
Sanclemente. Es importante subrayar que este colegio, se encuentra ubicado en el sector
urbano de la ciudad de Buga (Valle del Cauca), pertenece al sector oficial, y presta sus
servicios como centro de formación para la educación básica secundaria y media técnica
en informática y gestión contable, además de contar con cinco escuelas anexas de la
ciudad; de las cuales tres de ellas pertenecen al sector rural. En la que atiende un total de
1057 estudiantes, de condición socioeconómica baja en doble jornada.
El trabajo de implementación de la THA fue propuesto para aplicar a estudiantes de
grado séptimo de la sede central, la cual cuenta con cuatro grupos de este nivel escolar,
por lo que optó porque solo se tomarían las producciones de 5 estudiantes más
representativas por cada grupo, sin dejar de considerar en cada intervención las restantes
producciones. Dicha decisión se tomó puesto que, cada grupo contaba con alrededor de
30 estudiantes y en total 120 producciones era poco viable de analizar a detalle. Además,
la idea principal era apoyarse con aquellos estudiantes que se mostraran más afines con
este trabajo y tuvieran una asistencia casi que ininterrumpida durante su proceso escolar
dado que, solo se disponían de nueve sesiones para realizar los aplicativos y
socializaciones. Otro dato para considerar es que los estudiantes que fueron participantes
Capítulo 3 83
de este proceso contaban con un rango de edades que oscilaban entre los 12 a 14 años y
nunca habían recibido un apoyo del tipo que caracteriza este trabajo.
En cuanto a los elementos e instrumentos de recolección de información: Como
la locación escogida para implementar era ajena al lugar de trabajo del docente
investigador, se debió solicitar dos permisos el primero para poder ingresar al
establecimiento educativo y segundo era solicitar el uso de derechos de imagen a los
estudiantes de manera colaborativa, como esto no fue posible en un alto grado, se decidió
solo contar con la producciones de cada intervención de los estudiantes, acompañadas de
una notas personales por parte de profesor investigador donde se incluían apuntes de las
observaciones a considerar para los análisis en cada intervención de los estudiantes y
apoyar con algunas fotos las evidencias de cada visita realizada a la institución educativa.
3.4 Contextualización de la implementación y planificación metodológica
El proceso de elaboración de la THA se inició con un trabajo documental que le permitió al
docente-investigador, encontrar un punto sinérgico entre la teoría semiótica-cognitiva y los
elementos que, en su opinión, debían afianzar los estudiantes para trabajar el contenido
de áreas de figuras planas. Como ya se mencionó se buscó una locación en donde se
llevaron a cabo las aplicaciones, y en ese sentido, se escogió a la Institución Educativa
Manuel Antonio Sanclemente. Una vez presentada la propuesta en la institución, se contó
con el respaldo del rector para realizar los aplicativos necesarios. Así mismo, dos
profesoras de grado séptimo dieron el visto bueno para colaborar y ser partícipes de la
ejecución de la trayectoria de aprendizaje, en aras que, esta experiencia pudiera contribuir
a transformar sus prácticas de aula, de acuerdo con lo proyectado en el diseño.
En consideración de lo anterior, una de ellas accedió a un proceso de “alfabetización
teórica”, con el propósito de comprender el trasfondo de las situaciones de aprendizaje
pensadas para aplicar en su aula. Más aún, con la información suministrada y socializada
por ambas partes (profesor-investigador y profesora de aula), esto contribuyó al docente-
investigador, a hacerse una idea del nivel académico de los estudiantes, concretamente
en matemáticas y de los contenidos que habían sido abordados hasta el momento en el
primer periodo y lo que verían en el segundo periodo académico de su respectivo año
escolar coincidiendo entonces con el contenido de áreas para el caso de la asignatura de
geometría.
84 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Paralelamente, al escudriñar las condiciones de aprendizaje de los estudiantes en la
citada institución educativa, se evidenció que, asignaturas como geometría y estadística
habían sido descuidadas. Es preciso resaltar, que, debido a la generación de este
escenario, las citadas asignaturas, habían obtenido un avance casi nulo en su desarrollo
vistos desde la perspectiva teórica que fundamentó este trabajo. Como estrategia de
implementación, y a partir que la institución contaba con cuatro grados séptimos, se tomó
la decisión de organizar el rol que tendría cada profesor en el proceso de esta investigación
en ese orden de ideas el docente-investigador junto con su tutora del trabajo se encargaría
de diseñar la THA y de definir los diseños de tareas que se aplicarían lo que al final resultó
un total de 20 tareas distribuidas para 5 niveles de aprendizaje.
En ese orden de ideas el docente-investigador (quien elaboró y documento este
trabajo), también participaría en las sesiones de implementación siendo este el que
marcaría la pauta dando una consignas y condiciones a los estudiantes de cómo debían
trabajar los aplicativos, coordinar y dirigir las socializaciones en la prueba y manejar los
tiempos de cada sesión, mientras que la docente de aula se encargaría de apoyar al
docente investigador en las sesiones programadas para cada intervención y garantizar los
espacios para llevar a cabo las mismas en la institución educativa.
En cada sesión se registraba la asistencia de los participantes y en apoyo con la
profesora de aula ella se encargaría de facilitar el material para aquellos estudiantes que
faltaban a los aplicativos con el fin de que no perdieran continuidad el proceso y
asegurándose que ellos mismos fueran los que los desarrollaran, ahora pues, luego de
cada intervención se preseleccionaban las producciones más destacadas teniendo en
consideración aquellas en las que la profesora de aula resaltaba por tener un mejor
conocimiento del grupo de estudiantes, aunque después se realizaban una revisiones con
más calma de manera general se añadirían otras producciones de estudiantes que
comenzaban a destacar y pudieran considerarse como muestras representativas. Sin
embargo, las demás producciones en todo momento se les haría un seguimiento porque
seguirían siendo parte del proceso debido a que podrían aportar algún elemento de análisis
que retroalimentara el reporte final.
Capítulo 3 85
Por otro lado, al cuarto grupo que correspondía al de la otra profesora de aula, se lo
dejó para aplicar pruebas de “pilotaje” las cuales eran las mismas que al final se aplicaron
a los otros tres grupos y sumaron en total 20, pero esto se hacía para afinar detalles que
sirvieron de referencia para el docente-investigador en la mediación de los aplicativos y
medir los tiempos que podrían tardarse los estudiantes para solucionar las tareas en los
grupos en que si se enfatizaría los análisis. Dado que, los tiempos que se ofrecieron para
trabajar con todos los grupos se limitaron y esto se salía de las manos de quien elaboró
este trabajo puesto que se habían pensado un total de nueve sesiones para desarrollar la
trayectoria de aprendizaje y al final terminaron siendo siete. Respecto al espacio que se
dispuso para el desarrollo de las tareas, se acordó realizarlas en las respectivas clases de
geometría, las cuales contaban con una asignación de dos horas a la semana, cada una
con una intensidad horaria de cincuenta minutos.
Haciendo referencia a la programación del año lectivo, la institución educativa maneja
el calendario A (febrero-noviembre), cuyo año está dividido en tres periodos académicos,
cada uno con una duración de doce a trece semanas. Teniendo en cuenta esto, se tomó
la decisión de realizar los aplicativos a finales del segundo periodo y desarrollar la
trayectoria de aprendizaje hasta que finalizara el año escolar esto debido a que los
estudiantes tendrían la posibilidad de avanzar más en sus clases magistrales y tener un
conocimiento previo y reciente del tópico de áreas. En consecuencia, durante todo el
primer periodo y gran parte del segundo, se llevaron a cabo clases de instrucción y
afinamiento de las tareas que comprenderían los niveles establecidos en la THA.
El desarrollo de la intervención se inicia con unas jornadas de socialización con los
diferentes grupos de estudiantes, con el objetivo de explicarles en qué consistía el trabajo
a desarrollar. Conviene subrayar, que, en esta parte del proceso, se les concientizó a los
niños, de la importancia de su participación, en aras de cumplir con los objetivos
planteados. Por añadidura, se les envió a los padres una circular, con el propósito de
obtener la aquiescencia de ellos o de sus acudientes, en cuanto a la necesidad de hacer
uso de recursos audiovisuales que contendrían imágenes de sus hijos, los mismos que se
utilizarían únicamente con fines académicos. Lo anterior se reitera que no fue posible en
un alto porcentaje por lo que solo se tenía para objeto de estudio las producciones de los
estudiantes y algunos registros fotográficos que fueron autorizadas por el rector.
86 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
3.5 Elementos primarios de diseño
La planeación de la trayectoria se inicia con la determinación de contenidos o áreas que
serán tenidas en cuenta para el desarrollo de la clase, y de la misma intervención. En ese
sentido, es necesario recalcar, que se debe obtener una muy buena sinergia entre lo que
se pretende abarcar en las tareas pensadas por el profesor, y los aspectos en los que, se
debe profundizar con los estudiantes. Además, la pretendida afinidad entre estos dos
aspectos de la trayectoria garantizaría un buen diseño del material de enseñanza. Entre
los nuevos aportes al trabajo de la clase de matemáticas, por parte de la comunidad de
educación en ciencias, es posible mencionar, que han surgido metodologías que buscan
una estimulación de procesos cognitivos de los estudiantes a través de tareas
cuidadosamente diseñadas. En esa dirección, es preciso decir, que estos nuevos
procedimientos, tienen un fuerte fundamento didáctico, epistemológico y cognitivo, lo que
los convierte en potentes herramientas para contribuir a la construcción de comprensión,
por parte de los estudiantes que se enfrentan a la visualización de figuras geométricas.
Además, permiten focalizar la atención en la problemática de la interpretación de los
contenidos.
Figura 3-2. Esquema de elementos a considerar para planear la estructura del diseño.
Fuente: Elaboración propia.
Capítulo 3 87
El esquema de la figura 3-2, muestra como el profesor, juega un papel central en su
condición de orientador del trabajo. Cabe señalar, que este, haciendo uso de su
conocimiento, debe lograr construir una propuesta que integre los fundamentos teóricos
estudiados en el capítulo dos, y que, además, estén en concordancia con el currículo que
establecen las orientaciones ministeriales. En ese sentido, para llevar a cabo una eficaz
intervención en el aula y planificación, es necesario entre otras cosas: garantizar la claridad
de las intervenciones discusivas para darse a entender a los estudiantes, construir diseños
claros de tareas, y ofrecer una orientación que medie en el educando la comprensión de
aquello que obstaculiza o le permite avanzar en su aprendizaje. Adicionalmente, también
se ilustran en el esquema, los elementos que fundamentan el diseño, a saber:
aprehensiones visuales, coordinación de registros semióticos de representación (RRS), el
uso de factores de visibilidad como parte de los elementos generadores de control visual,
como los más destacables.
En el proceso de construcción de la trayectoria, también hay que observar la
experiencia de los estudiantes, si se debe tener en cuenta, dado que el enfrentar las
exigencias lógicas del conocimiento geométrico no era tarea fácil. Por lo que, habría que
unir esfuerzos para que el docente realice de la mejor manera posible, la transposición
didáctica y mediación en las actividades de aula. Es preciso mencionar, que, de esta
manera, los profesores comprenderán el pensamiento matemático de sus estudiantes, y,
en segundo lugar, aumentará la probabilidad de éxito del proceso de enseñanza. Además,
no menos importante, es la elección de los referentes que fundamentan la estructura de
los diseños, más que validados por los múltiples trabajos que se han orientado por la
perspectiva.
3.5.1 Orientaciones didácticas
Dentro de las orientaciones que fundamentan las decisiones del profesor a la hora de
implementar su diseño, se debe tener como foco de interés el objetivo del trabajo
investigado. Cabe destacar, que en este caso consiste en: estudiar los procesos de
visualización que emergen cuando los estudiantes comienzan a comprender el concepto
matemático de áreas de figuras planas. Por lo tanto, es necesario dar a una mirada a las
directrices que presenta el MEN, a través de sus estándares, puesto es que un orientador
didáctico por excelencia y que marcó las pautas de las posibles tareas que debían
88 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
pensarse, apoyadas en conjunto con trabajos de grado, particularmente tesis de maestría
y doctoral.
Tabla 3-1: Pensamientos y estándares asociados al contenido de áreas, propuestos por el
(MEN, 2006).
Tipo de pensamiento matemático Estándares asociados
Pensamiento espacial y sistemas
geométricos
• Identifico, clasifico y designo polígonos en relación
con sus propiedades.
• Predigo y comparo los resultados de aplicar
transformaciones rígidas (traslaciones, rotaciones,
reflexiones) sobre figuras bidimensionales en
situaciones matemáticas.
Pensamiento métrico y sistemas
de metidas
• Utilizo técnicas y herramientas para la construcción de
figuras planas y con medidas dadas.
• Calculo áreas a través de composición y
descomposición de figuras.
• Identifico relaciones entre distintas unidades utilizadas
para medir cantidades de la misma magnitud.
• Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas
de estimación.
Fuente: Elaboración propia.
Como se puede apreciar en la tabla 3-1, existen muchas formas de abordar el tópico
de áreas de figuras planas para trabajar en el ciclo escolar escogido. Como se sabe, agotar
un estándar básico de competencia con una sola tarea, es imposible, debido a la
multiplicidad de procesos que ofrece la educación matemática. En ese sentido, la
profundidad con la que se piensen los diseños de las ateas y/o actividades, debe ir ajustado
al contexto en el que se va a desarrollar, además de distribuir los recursos que se
dispongan, y el tiempo que se emplee para trabajar con los estudiantes.
Otro punto importante para considerar durante el proceso de investigación es que el
profesor debe tener la suficiente agudeza, para analizar las variables que pueden darse
en el aula y, en consecuencia, tener la capacidad de anticiparse a las expectativas de
Capítulo 3 89
desempeño que puedan requerir sus estudiantes. Dicho de otra manera, es en el aula
donde se puede evidenciar la potencia de esta metodología, si se tiene en cuenta que es
una herramienta que permite tanto a los docentes como a los estudiantes, abordar
diferentes tareas, en aras de cumplir los objetivos que al fin de cuenta es “que
comprendan”. Del mismo modo, el proceso de diseño e implementación permitirá conocer
de primera mano, el razonamiento y formas de aprendizaje de los estudiantes, asumiendo
que ellos siempre tendrán un conocimiento propio, el cual puede ser distinto a la manera
de ver del investigador.
3.5.2 Conocimientos previos de los estudiantes
Para la implementación de la trayectoria, se deben tener en cuenta, contenidos
abarcados según el plan de clase, o en su defecto, algunos que debieron ser vistos por los
estudiantes, en su proceso de formación anterior. Anclando que, desde el posicionamiento
de las perspectiva semiótica -cognitiva los contenidos enseñados no deben ser vistos como
temas aislados sino, como una articulación de contenidos, donde los tratamientos y en
espacial las conversiones deben ser el objetivo de estudio. Porque es la manera en que
este enfoque puede justificar que el estudiante logrará alcanzar la comprensión de los
objetos matemáticos. Por lo que se sugiere indagar sobre los siguientes aspectos:
• Identificación de algunas figuras planas.
• Manejo de instrumentos de medida (regla y escuadra).
• Manejo de sistema de unidades de medida.
• Determinación o cálculo de áreas y perímetros en figuras planas.
Para finalizar, teniendo en cuenta que el direccionamiento que tuvo la trayectoria de
aprendizaje se encuentra más dirigida hacia la profundización y desarrollo de habilidades
visuales sobre el registro figural, por lo que es indispensable realizar un acompañamiento
continuo al estudiante, respecto al avance en los conocimientos antes enlistados. Lo
anterior quiere decir, que, si aún persisten vacíos, se sugiere que sean retomados y
solventados, antes de iniciar cualquier implementación en el caso ideal, lo contrario
tampoco se considera un impedimento para trabajar sobre el camino, teniendo en cuenta
deberán considerar una ampliación de los tiempos y ser lapsos para realizar algún
refuerzo.
90 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
3.6 Síntesis general de los niveles de aprendizaje pensados a priori para diseñar
la THA
En la tabla 3-4 se presenta la estructura de los niveles que conformaran la THA, la misma
que está dividida en cinco niveles de aprendizaje. Se debe agregar, que a medida que se
avanza, paralelamente se produce un aumento en la dificultad, teniendo en cuenta, que
cada nivel se apoya en el anterior para poder desarrollarse, atados por la coherencia. Más
aún, en cuanto a los contenidos matemáticos que esperan ser movilizados, es menester,
buscar la manera más adecuada para introducirlos, de modo que estos logren estimular
en los estudiantes la capacidad de visualizar para trabajar el contenido de áreas de figura
planas, haciendo un recorrido desde lo más elemental hasta lo más complejo.
Tabla 3-2. Estructura general de los niveles de aprendizaje de la THA.
Propósito: Que los estudiantes aprendan a identificar, clasificar y designar algunas
figuras geométricas planas.
Nivel de
aprendizaje
Contenidos matemáticos Tareas Expectativas de
desempeño
I • Identificación de algunas
figuras planas.
• Clasificación de polígonos
• Caracterización de una
forma geométrica.
• Deducción del área y
perímetro de una figura plana
4 • Realizar una mirada no
icónica
• Descomposición de
partes de menor
dimensión
• Recubrimiento de una
unidad de medida
haciendo uso de
instrumentos
• Descripción de manera
concisa de los procesos
visualizados
Propósito: Que los estudiantes empleen las transformaciones (translación, rotación,
cambios de posición y trazos complementarios), para configurar contornos globales
predeterminados, como también descomponerlos en otros subfiguras de igual
dimensión.
Capítulo 3 91
Tabla 3-2. (Continuación)
Nivel de
aprendizaje
Contenidos matemáticos Tareas Expectativas de
desempeño
II • Perímetro y área en una
mima figura plana
• Rotación y traslación de una
figura geométrica en un
espacio determinado
• Composición y/o
descomposición figural
4 • Discriminar visualmente
perímetro de área.
• Aplicación de isometrías
• Manejo de aprehensión
visual perceptiva
• Aplicación de trazos
auxiliares
Propósito: Que los estudiantes apliquen los elementos adquiridos en las tareas de la
situación dos, pero esta vez enfocados en la comparación y la estimación de la cantidad
de superficie de áreas sombreadas que tiene una figura dada en determinada situación
problémica, haciendo explícitos las visualizaciones llevadas a cabo mediante el uso de
la lengua natural.
Nivel de
aprendizaje
Contenidos matemáticos Tareas Expectativas de
desempeño
III • Áreas sombreadas (relación
parte-todo)
• Razonamiento y resolución
de problemas de
comparación de áreas
• determinación de medidas
de área
5 • Realizar trazos
suplementarios
• Mostrar y describir
procesos de tratamientos
figurales
• Superación de factores de
visibilidad (contraste y
fondos con cuadrículas)
Propósito: Que los estudiantes trabajen las aprehensiones visuales mediante la
reconfiguración de diferentes figuras geométricas y /o descomposiciones de estas.
92 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Tabla 3-2. (Continuación)
Nivel de
aprendizaje
Contenidos matemáticos Tareas Expectativas de
desempeño
IV • Descomposición y
reconfiguración figural
• Manejo del plano cartesiano
para determinar áreas de
polígonos
4 • Desarrollo y superación de
la mirada del inventor
• Avance respecto al nivel
descriptivo de los
procesos visualizados
Propósito: Afianzar los elementos trabajados en los anteriores niveles de aprendizaje.
Nivel de
aprendizaje • Contenidos matemáticos Tareas • Expectativas de
desempeño
V • Deducción de relaciones de
medida con una figura
• Deducción de fórmulas de
área
• Hallar y deducir área de
figuras planas
3 • Que la designación sea un
recurso familiar para
describir los procesos
registrados producto de la
visualización.
• Desarrollo de las
aprehensiones visuales a
un nivel elemental que
permite dar solución
efectiva a las tareas que
se diseñen.
Fuente: Elaboración propia.
A partir de la síntesis presentada en la tabla 3-2, se planteó una transformación en la
presentación de los contenidos que moviliza el trabajo con áreas y que fuera más acorde
con el ciclo se enseñanza que rige esta metodología y que se pensaron al inicio de la
construcción de la trayectoria. Ciertamente, fue un asunto complejo de ejecutar, y que,
además requirió de un cambio de actitud por parte del profesor de aula, en el sentido de
acceder a un replanteamiento de su quehacer, desde la idea que, la clase debe estar
centrada en el alumno y no en el profesor. No obstante, las dificultades, esta forma de
Capítulo 3 93
pensar emergió como una posibilidad de trabajo para seguir desarrollando las clases de
geometría de la Institución. Educativa Manuel Antonio Sanclemente.
Cuando se analizó la estructura del diseño de la trayectoria, esta se dividió en cinco
niveles de aprendizaje, lo que trajo consigo, una diversidad de tareas que condujeron a la
creación de conexiones entre la teoría semiótica-cognitiva del aprendizaje de la geometría
de Duval (1999, 2001, 2004, 2005) y la forma de pensarse la enseñanza del contenido por
parte del profesor-diseñador que es quien elaboró coordino este proceso. Igualmente, una
vez alcanzado un equilibro entre las partes, esperando que los estudiantes lograran aplicar
los conocimientos ya adquiridos, y los que estaban aún por adquirir.
No obstante, cabe mencionar que, para pasar de un nivel de otro, dependerá primero
que todo de evaluar el desempeño de los estudiantes y a si se fueron apropiado de los
contenidos matemáticos concernientes a cada nivel. Segundo que logren alcanzar las
expectativas de desempeño que planteó el docente, tercero que lograran desarrollar los
procesos que en transformado fueron recurrentes en cada nivel de aprendizaje, es decir,
aquellos que fueron transversales independientemente del enfoque de las tareas y el
propósito trazado. Los cuales fueron el reconocimiento de las figuras, la clarificación y/o
organización de las figuras y subfiguras, la configuración y reconfiguración figural y la
coordinación entre registro semióticos de representación (registro figura y de lengua
natural).
A continuación, en el siguiente capítulo se procederá a presentar las respectivas tareas
además de incluir las soluciones esperadas que conforman los diferentes niveles de
aprendizaje de la trayectoria hipotética de aprendizaje.
4. Diseño de la THA: tareas por niveles
El presente capítulo, tiene la finalidad de presentar los niveles de aprendizaje que
componen la THA, la cual fue planificada por el profesor-diseñador, quien elaboró este
trabajo, en conjunto con la tutora, quien orientó el proceso. Conviene señalar, que, para
estructurar la elaboración de estos análisis se apoyó en una rejilla que se dejará en la parte
de (Anexo A), la cual surgió de los fundamentaciones teóricos y metodológicos expuestos
en los capítulos dos y tres. De la misma manera, considerando la estructura de la
trayectoria, se pensaron un total de cinco niveles de situaciones, las cuales contiene cada
una, una cierta cantidad de tareas, que se ajustaron para desarrollarse en los tiempos
establecidos por cada sesión.
Complementariamente, se incluyeron las posibles tratamientos y soluciones esperadas
las cuales se exponen para cada tarea. Además, es necesario aclarar, que estas, irán
acompañadas de una breve explicación sobre los elementos que pueden generar
dificultades en la visualización, de acuerdo con la heurística definida para enfrentar figuras
bidimensionales. Igualmente, se busca que los estudiantes reafirmen algunas de las
competencias en las que han venido siendo instruidos en el aula de clases de manera que,
desarrollen los procesos transversales que se han de evaluar cuando se implementen las
tareas.
4.1 Primer nivel de aprendizaje
El primer nivel que compone la trayectoria pretende darles las siguientes herramientas
a los estudiantes: a) la capacidad de designar las figuras geométricas y clasificarlas, b) la
habilidad de descomponer las mismas, en otras partes de menor dimensión, c) la destreza
de realizar trazos auxiliares en la silueta geométrica. Cabe mencionar que, dentro del ciclo
de escolarización de los estudiantes, ellos no han estado familiarizados con la lectura y la
interpretación de enunciados y que han tenido poco tiempo para asimilar los elementos
96 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
anteriormente mencionados, por lo tanto, es factible encontrar dificultades en estos ítems.
Otro rasgo para mencionar es que, al diseñar este primer nivel de actividades, debía hacer
que los estudiantes superaran aspectos de la visualización que se interrelacionan con las
entradas clásicas de la geometría. En ese sentido, se esperaba que exista una fuerte
tendencia por parte de los alumnos hacia una mirada icónica y que se realicen inferencias
de ese tipo para lograr realizar las tareas propuestas, pero lo que verdaderamente marcará
indicios de entender la dinámica que plantea y si se han apropiado de ciertos
conocimientos, serán las explicaciones o procedimientos que ellos registren.
Figura 4-1. Presentación del diseño de la T1-Nv1.
Tarea 1.1 a. Designa las subfiguras encontradas en la figura, cuenta cuántas figuras identificaste en
total.
b. En la presente compilación de figuras geométricas debes clasificar cada una de ellas. Para ello debes registrar su nombre en la Tabla de Registro. En caso de no saberlo debes marcar la figura con una X y explicar la razón por la cual se te dificultó nombrarla.
figura
Tabla de Registro
Fuente: Elaboración propia.
Breve análisis a priori de la tarea 1.1: En esta tarea los estudiantes deben identificar
algunas de las figuras planas elementales tales como: el círculo, el triángulo, el
paralelogramo, el rombo, el hexágono. Ahora bien, para dar solución a la identificación
solicitada, el estudiante debe realizar la designación de tales figuras desde una mirada no
icónica de la figura, que en un inicio se le presenta, debido a que en ella hay una ausencia
de designaciones. Así mismo, se espera que los estudiantes hagan uso de las letras
Capítulo 4 97
mayúsculas del abecedario, para poder hacer una distinción entre cada subfigura,
mediante la “designación” cuyo término aún no les es muy familiar.
Desde luego, el papel del docente de aula es el de orientador, para que sean los
estudiantes, los que designen las figuras que identifican. De la misma manera, la tabla de
registro servirá para que los alumnos lleven un orden en el desarrollo de la tarea y esto
facilite al profesor la revisión y seguimiento de esta.
Una posible solución a la tarea 1 del nivel 1 sería la que se presenta a continuación: se
espera una tendencia a que la primera figura que se vea y designe sea el triángulo ABC.
En esa dirección, es posible que el niño no sea tan específico, al clasificar la clase de
polígonos que visualiza, es decir, que el triángulo ABC no se le caracterice como equilátero
y lo mismo puede pasar con el resto de subfiguras que componen el contorno global.
Figura 4-2. Presentación de la solución esperada de la T1-Nv1.
Lista de registro
Triángulo 𝐴𝐵𝐶.
Triángulos 𝐴𝐹𝐺, 𝐼𝐽𝐵, 𝐽𝐵𝐾, 𝑄𝑃𝑂.
Hexágono IKLMHG.
Rombo 𝐸𝐺𝐻𝐹.
Paralelogramo 𝐻𝑀𝑁𝑃.
Trapecios 𝐿𝑀𝐶𝑁 y 𝐻𝐹𝑄𝑂.
Un círculo con centro en el punto 𝐷.
Total, de once figuras geométricas
Fuente: Elaboración propia.
Breve análisis a priori de la tarea 2.1: En la segunda tarea se trabajará con polígonos
regulares e irregulares. Considerando que estos términos introducen a los estudiantes en
los tecnicismos propios de la geometría, y que, además, ellos deberían tener estos
conceptos claros, intencionalmente se han dejado las figuras, sin las designaciones para
que las hagan. Así mismo, se espera que marquen con una X, las figuras irregulares, o
hagan uso de la designación para referenciarlas.
98 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Dentro de las posibilidades de respuestas, se contempla el hecho que algunos de los
estudiantes aún no tengan claridad entre los términos regular e irregular. En gracia de esto,
podrían incurrir en marcar algún polígono regular, como irregular y viceversa, o
simplemente que su criterio para clasificar unas figuras en unas u otras no tenga la
justificación adecuada.
Figura 4-3. Presentación del diseño de la T2-Nv1.
Tarea 2.1 En la presente tarea deberás resolver los siguientes ítems:
a. Designar a cada uno de los vértices solamente con las (letras 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺), de cada uno de los polígonos presentados.
b. Marcar con una X aquellos polígonos no sean regulares. Para ello, debes hacer uso del espacio otorgado para tu explicación del por qué lo son, en conjunto con la respectiva designación.
Espacio para descripción
Fuente: Elaboración propia.
La solución esperada para la tarea 2 del nivel 1 es la siguiente:
Figura 4-4. Presentación de la solución esperada de la T2-Nv1.
Espacio otorgado para tu
explicación
Los polígonos que no son
regulares no tienen la
medida de sus lados iguales
en este caso serían el
triángulo rectángulo 𝐴𝐵𝐶 el
rectángulo 𝐷𝐸𝐹𝐺 y el
polígono irregular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺.
Fuente: Elaboración propia.
Capítulo 4 99
En la designación del ítem (a), se les exige que solo usen esas letras para que su
percepción, les permita ver, que dos figuras geométricas distintas pueden tener igual
designación y eso no quiere decir que tengan igual forma.
Breve análisis a priori de la tarea 3.1: En esta tarea se espera que los estudiantes
infieran el importante rol que cumple la designación sobre las figuras, para poder atribuirles
características a las subfiguras de menor dimensión. También, se espera que una
definición como la de vértice, les ayude a tener en cuenta que, en las figuras geométricas,
existe un punto que, por ser de dimensión cero, no se suele colocar (control visual por
refuerzo). De la misma manera, cuando se les solicita que tracen las diagonales (otra
característica de las figuras), con las designaciones, deberán registrar en una tabla la
información que caracteriza la figura, empleando su capacidad de razonamiento y de
contraste. En este caso, como hay varios elementos de control (las designaciones, las
diagonales, el tipo de polígono) estaríamos en un caso de control disjunto, el cual suele
ser una forma guiada de visualización básica.
Figura 4-5. Presentación del diseño de la T3-Nv1.
Tarea 3.1
a. Observa y analiza el siguiente ejemplo que contiene algunos elementos que son propios de una figura geométrica:
Caracterización de la figura
Geométrica
Polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷 (Trapecio)
Lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐷𝐴̅̅ ̅̅
Diagonales 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐷̅̅ ̅̅
Dadas las siguientes figuras geométricas debes nombrar los vértices asignando las letras del
abecedario.
100 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Una vez establezcas las designaciones de las figuras geométricas del anterior ítem, deberás
trazar sus diagonales, es decir, realizar un trazo que conecte vértices opuestos. (Hazlo con una
regla).
Fuente: Elaboración propia.
La solución esperada para la tarea 3 del nivel 1 es la siguiente:
Figura 4-6. Presentación de la solución esperada de la T3-Nv1.
Caracterización de la figura
Geométrica
Polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷
(Cuadrado)
Lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐷𝐴̅̅ ̅̅
Diagonales 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐷̅̅ ̅̅
Caracterización de la figura
Geométrica
Polígono 𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽
(Hexágono)
Lados 𝐸𝐽̅̅ ̅, 𝐼�̅�, 𝐼𝐻̅̅̅̅ , 𝐻𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐺𝐹̅̅ ̅̅ ,
𝐹𝐸̅̅ ̅̅
Diagonales 𝐸𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐹𝐼̅̅ ̅, 𝐺𝐽̅̅ ̅
Fuente: Elaboración propia.
Capítulo 4 101
No se espera que los alumnos tengan dificultad con la resolución de esta tarea. Del
mismo modo, aunque la solución que se presenta se podría considerar la típica, también
se pueden trazar otras diagonales, como se presenta a continuación:
Figura 4-7. Presentación de la opción de solución esperada la T3-Nv1.
Fuente: Elaboración propia.
Teniendo en cuenta este ejemplo, se puede deducir que por cada vértice del hexágono
EFGHIJ le corresponden a cada vértice tres diagonales, y en el caso representado, al
vértice J se le trazaron las diagonales 𝐽𝐺̅̅ ̅, 𝐽𝐻̅̅̅̅ , 𝐽𝐹̅̅ ̅.
Breve análisis a priori de la tarea 4.1: En la cuarta tarea, se espera evaluar los
estudiantes, en cuanto a la comprensión de los conceptos de área y de perímetro. Cabe
decir, que para este caso se acude a una figura básica como es el rectángulo, debido a
que es una figura plana que les es muy familiar a los niños, y que en libros de texto suele
ser presentado junto con el cuadrado. De la misma manera, el interés por esta tarea se
encuentra, en como los estudiantes desde el punto de vista del concepto dimensión,
recorren la figura por completo, determinando las unidades y haciendo uso de la función
referencial del lenguaje.
Es usual que suelan haber confusiones entre lo que representa la noción de área y la
de perímetro. Del mismo modo, en situaciones en las que debe determinarse cada una de
ellas, surgen preguntas como: ¿Cuándo se suma o cuándo se multiplica? el cual, es un
pensamiento estático de las figuras en el que prima el uso de fórmulas. En resumen, los
estudiantes, suelen confundir las unidades de longitud y las unidades bidimensionales.
102 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
También puede darse el caso de niños que captan la ayuda de los elementos visuales,
cuando realizan el ítem (b), y si pasaron por alto, esto corrijan o pasen de largo frente a la
unidad de referencia, en el ítem (a). Con respecto a esto, es importante aclarar que, las
gráficas tienen medidas reales. En ellas, cada cuadrícula corresponde a un centímetro. Sin
embargo, en el ítem (b), se prescinde de las cuadrículas, pero el polígono rectangular
EFGH sigue siendo el mismo por lo que la unidad de referencia que es el centímetro
cuadrado puede trabajarse como una relación parte-todo o una pavimentación.
Por último, se espera trabajar la noción de cantidad de área, a través de la unidad de
referencia ABC. Puesto que, esta unidad, guarda relación con la unidad referencial ABCD,
dada anteriormente, para los estudiantes, se facilita, ver esta situación entre figuras como
una relación parte de un todo, es decir, la superficie deberá ser cubierta por completo por
las pequeñas áreas.
Figura 4-8. Presentación del diseño de la T4-Nv1.
Tarea 4.1
a. Sea 𝐸𝐹𝐺𝐻 un rectángulo cuyas medidas vienen dadas de la siguiente manera 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ = 5𝑐𝑚,
𝐹𝐺̅̅ ̅̅ = 3𝑐𝑚, determina su perímetro. Justifica cómo llegaste a la respuesta.
b. Del anterior rectángulo 𝐸𝐹𝐺𝐻 determina su área teniendo en cuenta la unidad de medida
𝐴𝐵𝐶𝐷 que se muestra a continuación:
Capítulo 4 103
c. Una vez hecho lo solicitado, responde: ¿Cuántas unidades de medida 𝐴𝐵𝐶𝐷 están
contenidas en el lado 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ ? Y ¿Cuántas en el lado 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ ?, y ¿Si la unidad de medida fuera un triángulo 𝐴𝐵𝐶 cuantas veces estará contenida en 𝐸𝐹𝐺𝐻? muestra en la figura 𝐸𝐹𝐺𝐻 tu respuesta.
Fuente: Elaboración propia.
La solución esperada para la tarea 4 del nivel 1 es la siguiente: Supongamos que los
estudiantes toman la unidad ABCD y realizan el recubrimiento del rectángulo EFGH. En
esta tarea, ellos tienen la libertad de hacer uso de la regla, por lo que no sería extraño que
cometan errores a la hora de completar el recubrimiento y esto se deba más a una falencia
por mal uso del instrumento, que por interpretación de la consigna. También puede darse
la situación, que se quieran anticipar a deducir los datos, por ende, recuerden el algoritmo
de sumar la medida de los lados del rectángulo. Para ello, deben completar la información,
debido a que solo se les dio en la consigna dos datos de las longitudes y ellos deberán
sacar sus propias conclusiones: que los lados paralelos tienen igual longitud.
Figura 4-9. Presentación de la solución esperada de la T1(a)-Nv1.
𝑚𝐻𝐸̅̅ ̅̅ + 𝑚𝐻𝐺̅̅ ̅̅ + 𝑚𝐹𝐺̅̅ ̅̅ + 𝑚𝐸𝐹̅̅ ̅̅ = 3𝑐𝑚 + 5𝑐𝑚 + 3𝑐𝑚 + 5𝑐𝑚 = 16𝑐𝑚
Fuente: Elaboración propia.
104 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
En el caso del siguiente ítem, seguramente los estudiantes recordarán de sus clases
pasadas, la metodología implementada por la profesora de aula, en el sentido que solo es
cuestión de multiplicar las unidades de medida de la base y la altura de la figura EFGH,
obteniendo como resultado 15 cm2. Quizás dejen en un segundo plano la figura, y se
olviden de las unidades del área, también se espera que no ignoren la información de la
consigna.
Figura 4-10. Presentación de la solución esperada de la T1(b)-Nv1.
Solución esperada del ítem (b), en el que se
evidencia quince unidades cuadradas
recubriendo el contorno rectangular 𝐸𝐹𝐺𝐻.
Solución esperada del ítem (c), en el que se
visualiza que el recubrimiento completo
obedece a treinta triángulos 𝐴𝐵𝐶 como unidad
referencial.
Fuente: Elaboración propia.
En el ítem (c), se solicita a los estudiantes que respondan a una serie de interrogantes
que necesariamente requiere que ellos razonen sobre la figura EFGH. Es preciso recalcar,
que, si realizan bien los solapamientos, las inferencias saldrán sin mucha dificultad. En
caso contrario, de no haber realizado un buen recubrimiento, sus respuestas no serán
correctas a no ser que contrasten con lo calculado analíticamente y vean que algo no
concuerda desde lo numérico con lo visual.
Otra variable que se agrega en la consigna emerge cuando se cambia la forma de la
unidad de referencia y pasa de ser un cuadrado ABCD, a un triángulo ABC, es decir, la
mitad de esa unidad. En ese sentido, es claro que se necesita el doble de esa unidad para
recubrir la superficie y la respuesta se espera, que sea deducida a partir de una
visualización y se registre la cantidad de 30cm2 correspondientes a la nueva unidad.
Capítulo 4 105
4.2 Segundo nivel de aprendizaje
En el segundo nivel de aprendizaje se busca trabajar las nociones de área y perímetro.
En ese sentido, los estudiantes deberán mostrar como visualmente hablando, se puede
constituir el área de una figura, a partir de completar su superficie. Además, la tarea implica
plantearle diferentes figuras (contornos), al niño, para que determine el área.
También se incluirán tareas en las que los educandos, deberán realizar tratamientos
figurales a un molde, que hace las veces de unidad de referencia. Al respecto, es necesario
aclarar que, esta tarea consiste en calzar figuras de dimensión menor, en otra que es de
dimensión mayor, de contorno global predeterminado. Se debe agregar que, en este
cometido se espera que los estudiantes describan lo que han visualizado, primero en una
tarea que tendrá solución única con un solo molde, un segundo caso donde se les dará
libertad de elegir la configuración que más les parezca, es decir, dicha reconfiguración
dependerá de quien la visualice esta (actividad que está relacionada con el juego de Tetris,
el cual es familiar para los chicos), dado que en este juego, están implícitas las isometrías
de rotación y traslación.
Por último, se presenta una tarea en la que se deja abierto el tipo de solución, a la que
se puede recurrir en la descomposición figural. Es preciso aclarar, que a diferencia del T3-
Nv1, esta tiene la misión de pretender descomponer una figura en otras dos de igual
dimensión haciendo uso de las designaciones para referenciarlas.
En el caso de la primera tarea se presenta una visualización obstaculizarte estática
dado que, no existe congruencia y el dinamismo es mínimo en la figura ABC. Esta
visualización no suscita transformaciones bidimensionales ni unidimensionales puesto que
la consigna no permite que el sujeto tenga que realizar algún tipo de operación y
tratamientos sobre ella y no se alude directamente a la noción de área y perímetro
explícitamente. Por tal motivo, su inclusión en la enseñanza de las matemáticas no suscita
el desarrollo de habilidades visuales Marmolejo y González, (2017). Pero servirá de
introducción para saber que ven los estudiantes como perímetro y área.
106 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 4-11. Presentación del diseño de la T1-Nv2.
Tarea 1.2. Observando la cantidad de superficie y el contorno del triángulo 𝐴𝐵𝐶, ¿Qué crees que
represente el contorno (píntalo de azul) y la cantidad de superficie (píntala de café) en la figura
𝐴𝐵𝐶?
Fuente: Elaboración propia.
Breve análisis a priori de la tarea 1.2: En la solución de la tarea 1, la cual es de segundo
nivel, se debe considerar la cantidad de superficie, además del contorno. Cabe aclarar,
que se habla de cuando se refiere al espacio que está dentro de la figura, mientras que el
contorno está relacionado con los bordes que la delimitan. Añadido a esto, se aclara que
el haber propuesto esta tarea, implica tener claro desde la condición visual, qué
representan tanto el perímetro como el área. Ahora pues, en caso de haber una confusión
al respecto, es necesario atender ese obstáculo, antes de proseguir con las demás tareas
que componen el nivel. Solución esperada para la T1-Nv2:
Figura 4-12. Presentación de la solución esperada de la T1-Nv2.
Fuente: Elaboración propia.
Breve análisis a priori de las tareas 2.2 y 3.2: En estas tareas se representan dos figuras
con sus superficies disjuntas entre sí. Lo anterior quiere decir, que el desarrollo de cada
tarea exige solapar una de ellas (uso de los moldes) con la superficie de la otra. En
consecuencia, la tarea exige comparar las dos representaciones, a partir de sus contornos,
es decir, centrar la atención en los lados y vértices de la superficie global, e ir poco a poco
Capítulo 4 107
recubriendo el espacio de manera que coincidan ambas conjuraciones geométricas
(medidas), hasta ponerlos en correspondencia. Es preciso mencionar que el hacer uso de
rotaciones y traslaciones, en este caso específico, es fundamental para que le estudiante
logre superar este cometido.
Haciendo referencia a la tarea 2, es preciso decir que, esta presenta la característica de
contar con un solo molde. Así pues, en gracia de esto, el alumno deberá buscar la manera
de hacerlo coincidir con el contorno de la figura *, en un proceso en el que la anticipación
visual a cada posicionamiento tendrá que estar presente. Como elemento complementario
de la tarea, el estudiante deberá irlo registrando en la misma, haciendo uso, ya sea de una
regla para replicar el molde, o trazando una serie de cuadrículas sobre la superficie.
Teniendo en cuenta la anterior situación, se debe realizar unos procedimientos similares
en la tarea 3, pero con ciertas condiciones que se especifican en la consigna. En este caso,
se sugiere hacer uso del color, para que los estudiantes que lo consideren necesario
ejerzan una forma de control visual, que facilite la realización de este cometido. En este
sentido, esta misión, exige una mayor dificultad por tener tres moldes distintos y forzará a
los estudiantes a visualizar la configuración que se adapte mejor, en la idea de hacer calzar
los moldes con el contorno global, incluso, puede darse el caso que los estudiantes no
logren dar con la configuración que les permita no dejar ningún cuadro en blanco. Como
puede colegirse, las anteriores tareas, hacen referencia a los juegos de puzzle, los cuales
pueden ser una herramienta para estimular los tratamientos figurales en los estudiantes,
en el deseo de configurar contornos.
Figura 4-13. Presentación del diseño de la T2-Nv2.
Tarea 2.2. Calcula la medida del área de la figura * haciendo uso del molde. Describe que pasos
llevaste a cabo para cubrir exactamente la superficie.
Fuente: Elaboración propia.
108 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Para llegar a la solución de la tarea 2 del nivel 2, los estudiantes deberán aplicar al
molde, una serie de rotaciones y traslaciones, o combinaciones de ellas, en aras de llenar
totalmente la superficie que se quiere cubrir, tal y como se presenta a continuación:
Figura 4-14. Presentación de una posible solución esperada de la T2-Nv2
Fuente: Elaboración propia.
Así pues, cuando se logre recubrir toda la superficie, el estudiante notará que, para
hacer todo el proceso, tuvo que emplear ocho moldes, en aras de poder cubrir toda el área.
Conviene señalar que, cada molde está compuesto por tres unidades cuadradas, el
estudiante deberá concluir que el área total de la figura es de 8 moldes los cuales
representan la medida del área.
Finalmente, se puede decir que, al recubrir la superficie, puede darse el caso de que
los estudiantes asuman que el molde es algo estático e invariante por lo que pueden no
lograr recubrir el contorno de la figura *.
Tarea 3.2. Recubre la superficie del cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 haciendo uso de todos los moldes 1, 2, 3, 4
con las siguientes condiciones: que debes usarlos todos al menos una vez y cualquiera de ellos no
puede usarse en más de tres oportunidades. Muestra y describe que pasos llevaste a cabo en tu
procedimiento para llegar a la solución del problema.
Capítulo 4 109
Figura 4-15. Presentación del diseño de la T3-Nv2.
Fuente: Elaboración propia.
Una posible solución a la tarea 3 del nivel 2 puede ser:
Figura 4-16. Presentación una posible solución de la T3-Nv2.
Fuente: Elaboración propia.
En cuanto a la descripción que se les solicita a los estudiantes, se espera que
reconozcan que ellos deben cambiar las posiciones originales de los moldes a partir del
uso de rotaciones, además de hallar la configuración que mejor se adapte a selección de
los mismos. En virtud de esto, es probable que escojan los moldes 1,2 y 3 dado que, tienen
formas más simples y sencillas de cuadrar en la superficie ABCD. Otro aspecto para tener
presente es que, puede ser que los estudiantes realicen la tarea haciendo uso del conteo
110 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
de cuadrículas del contorno global ABCD, e intenten cuadrar la solución sabiendo ese dato
para después elegir los moldes que les sean convenientes. En el caso que llegaren a usar
este procedimiento, sería muy interesante ver como consignan sus procesos.
Breve análisis a priori de la tarea 4.2: Para la siguiente tarea, se presentarán algunas
figuras geométricas planas, a las cuales el estudiante deberá concederles la respectiva
designación. Conviene subrayar, que el objetivo de este cometido consiste en que los
estudiantes realicen trazos auxiliares para subdividir cada figura en dos figuras menores,
dependiendo de la particularidad de cada consigna. Añadido a esto, el cometido está
pensado para trabajar la descomposición figural en otras figuras, evocando elementos de
dimensión menor, a través del trazado de segmentos suplementarios y diagonales.
Figura 4-17. Presentación del diseño de la T4-Nv2.
Tarea 4.2. Se presentan una serie de figuras geométricas para que realices las respectivas
designaciones de sus vértices y luego procedas a realizar lo que se te solicita en cada una de
ellas como se muestra a continuación.
Divide la figura en dos cuadrados. Espacio para que describas cómo llegaste a
la solución y las designaciones de los
cuadrados obtenidos.
Divide la figura en un triángulo y un rectángulo.
Espacio para que describas cómo llegaste a
la solución y las designaciones del triángulo
y el rectángulo obtenido.
Divide la figura en dos triángulos.
Espacio para que describas cómo llegaste a
la solución y las designaciones de los
triángulos obtenidos.
Capítulo 4 111
Divide la figura en un trapecio y un triángulo.
Espacio para que describas cómo llegaste a
la solución y las designaciones del triángulo
y de trapecio obtenido.
Fuente: Elaboración propia.
Una posible solución para la tarea 4 del nivel 2 sería la siguiente:
Figura 4-18. Presentación del diseño de la T4-Nv2.
Divide la figura en dos cuadrados.
Espacio para que describas cómo llegaste a la
solución y las designaciones de los cuadrados
obtenidos.
Se realizó la correspondiente designación de vértices,
luego se colocó un par de puntos en la mitad de los
segmentos 𝐹𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ designados respectivamente
como E y B, luego se trazó el segmento 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ para así,
obtener los cuadrados 𝐹𝐸𝐵𝐴 y 𝐸𝐷𝐶𝐵.
Divide la figura en un triángulo y un
rectángulo.
Espacio para que describas cómo llegaste a la
solución y las designaciones del triángulo y el
rectángulo obtenido.
Se realizó la correspondiente designación de vértices,
luego se colocó un punto que es paralelo a L y que
está ubicado en el segmento 𝐻𝐽̅̅̅̅ , luego se trazó el
segmento 𝐿�̅� para obtener así el triángulo 𝐻𝐼𝐿 y el
rectángulo 𝐼𝐽𝐾𝐿.
Divide la figura en dos triángulos.
Espacio para que describas cómo llegaste a la
solución y las designaciones de los triángulos
obtenidos.
112 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Se realizó la correspondiente designación de vértices,
luego se trazó la diagonal 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ para así visualizar los
triángulos 𝐸𝐷𝐹 y 𝐷𝐺𝐹.
Divide la figura en un trapecio y un
triángulo.
Espacio para que describas cómo llegaste a la
solución y las designaciones del triángulo y de
trapecio obtenido.
Se inicia con la correspondiente designación de
vértices, después trazo un segmento 𝑄𝑁̅̅ ̅̅ , y luego
puedo visualizar que obtuve un triángulo 𝑄𝑀𝑁 y un
trapecio 𝑄𝑁𝑂𝑃.
Fuente: Elaboración propia.
De la anterior tarea, se espera que los estudiantes logren articular el registro figural y
el natural, con el propósito de acercarlos a la exploración heurística de las figuras
bidimensionales. En este caso, a pesar de que el lenguaje con que expresan sus ideas,
quizás, no emplee tecnicismos del lenguaje geométrico, y que seguramente no manejen
las referencias de los segmentos con el trazo que los caracteriza, las soluciones
presentadas pueden ser las esperadas, por ser aparentemente las más evidentes. Merced
a esto, puede darse en el caso del paralelogramo EFGD se trace un segmento 𝐸𝐺̅̅ ̅̅ , para
obtener dos triángulos EGD y DGF. Análogamente, pasaría lo mismo con el pentágono
MNOPQR, al que se le puede realizar un trazo en cualquiera de sus vértices para dar con
las figuras solicitadas.
4.3 Tercer nivel de aprendizaje
En este nivel, se trabaja la determinación y comparación de áreas en ciertas
problemáticas en la que es necesario realizar algún tipo de tratamiento figural para hallar
la solución. Conviene destacar, que en las tareas de áreas sombreadas que se presentan,
prima la operación de cambio figural de los contornos con sus subfiguras.
Capítulo 4 113
Según Duval (2001), el cambio figural alude al efecto que produce en una configuración
geométrica, la aplicación de acciones que transforman su organización perceptual y
determinan la naturaleza de la aprehensión operatoria. En gracia de este planteamiento,
son tres los cambios figurales identificados por Duval (2005):
a) mereológico, cuando la modificación pone en juego las relaciones existentes
entre las partes y el todo y se transforma el contorno global de la figura de inicio; b)
posicional, cuando se conserva la forma de la figura de partida y se cambia su
posición en el plano; c) óptico, es el tipo de “transformación, que es realizable como
un juego de lentes o de espejos, puede conservar la forma de partida o alterarla”
(Duval, 1999, p. 62).
Breve análisis a priori de la tarea 1.3: En esta tarea se les solicita a los estudiantes que
determinen el área sombreada en cada figura. Es preciso subrayar que, para ello, los
alumnos deberán relacionar el contorno global con las cuadrículas, como factor facilitador
de la visibilidad, y de esta manera, determinar qué fracción equivale a cada superficie
sombreada, respecto a la unidad que será el contorno global. En ese marco, se requiere
que ellos realicen una descripción, haciendo uso de las designaciones, con el propósito de
poder percibir los procesos de razonamiento sobre las figuras, y acceder a relacionar el
registro figural con un dato numérico en cada caso. Adicionalmente, la sucesión de figuras
está numerada de tal manera, que la dificultad aumenta levemente de manera gradual.
Figura 4-19. Presentación del diseño de la T1-Nv3.
Tarea 1. Determina la cantidad de superficie sombreada en cada caso, para ello deberás hacer uso
de la designación para hacer explícitos sus razonamientos visualizados en el espacio otorgado.
Figura 1.
Fracción de área sombreada:
Espacio para la descripción
114 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 2.
Fracción de área sombreada:
Espacio para la descripción
Figura 3.
Fracción de área sombreada:
Espacio para la descripción
Figura 4.
Fracción de área sombreada:
Espacio para la descripción
Figura 5.
Fracción de área sombreada:
Espacio para la descripción
Capítulo 4 115
Figura 6.
Fracción de área sombreada:
Espacio para la descripción
Fuente: Elaboración propia.
Una posible solución a la tarea 1 del nivel 3 sería la que se presenta a continuación:
Figura 4-20. Presentación de una posible solución de la T1-Nv3.
Tarea 1.3. Determina la cantidad de superficie sombreada en cada caso, para ello deberás hacer
uso de la designación para hacer explícitos sus razonamientos visualizados en el espacio
otorgado.
Figura 1.
Fracción de área sombreada: 1
2
Espacio para la descripción: Dada una
circunferencia con centro en B y radio 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , se
trazan dos cuerdas denotadas como AC y DE
que pasan por el centro lo que permite que se
visualice que la circunferencia tiene un área
sombreada que excede al segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ pero
que puede rellenar el espacio que esta e
blanco en forma de arco en el segmento 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ .
Por tanto, la figura 1 tendría la mitad de su
superficie sombreada y la otra mitad no.
Figura 2.
Fracción de área sombreada:2
4
Espacio para la descripción: Primero se
realiza la designación al contorno del cuadrado
116 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
𝐴𝐷𝐶𝐸, luego a los triángulos rectángulos 𝐴𝐵𝐷
y 𝐸𝐵𝐶 que están sombreados y por
consecuencia se visualizan los otros dos no
sombreados que son el 𝐴𝐵𝐸 y el 𝐷𝐵𝐶,
concluyendo que los cuatro dividen al cuadrado
𝐴𝐷𝐶𝐸 en partes iguales.
Figura 3.
Fracción de área sombreada: 1
6
Espacio para la descripción: Se realiza las
designaciones correspondientes para el
contorno global que tiene forma de
paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷, luego se visualiza con
ayuda de las cuadrículas una serie de trazos
auxiliares designados como: 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ y dos
punteados como: 𝐺𝐶̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐴𝐹̅̅ ̅̅ los cuales dejan ver
que el paralelogramo está dividido en seis
partes iguales en forma de forma triangular
congruente con la única región sombreada
𝐸𝐻𝐺.
Figura 4.
Fracción de área sombreada: 4
8
Espacio para la descripción: Se realizan las
designaciones de los vértices del contorno
global cuadrado 𝐿𝑀𝑁𝑂, luego el fondo
cuadriculado deja ver que las regiones
sombreadas corresponden a dos triángulos
designados como 𝑂𝑆𝑃 y 𝑃𝑊𝑁, después
realizamos un trazo auxiliar 𝑅𝑃̅̅ ̅̅ , el cual divide
el triángulo 𝑂𝑆𝑃 en dos que son el triángulo
𝑂𝑆𝑅 y 𝑅𝑆𝑃 caso análogo para el triángulo PWN
con un trazo 𝑋𝑊̅̅ ̅̅ ̅, lo que indica que el cuadrado
Capítulo 4 117
𝐿𝑀𝑁𝑂 está dividido en ocho triángulos de los
cuales cuatro están sombreados.
Figura 5.
Fracción de área sombreada: 4
12
Espacio para la descripción
Comenzamos con la designación de cada uno
de los vértices que componen cada una figura
sombreada que son dos triángulos rectángulos
𝐴𝐻𝐺 e 𝐼𝐽𝐾 y un trapecio 𝐹𝐿𝐶𝐷, mientras que el
contorno global es un rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷. Se
realizan una serie de trazos punteados que
indican que el triángulo 𝐼𝐽𝐾 puede trasladarse
al espacio 𝐻𝐾𝐺 formando así un rectángulo de
dos cuadrículas sombreadas, mientras que en
trazo 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ punteado indica que en el trapecio uno
de sus lados pude llevar para el espacio en
blanco 𝐸𝐷𝐹 y formar otro rectángulo de dos
cuadrículas sombreadas y como en total se
contabilizan 12 cuadrículas de las cuales 4
están sombreadas.
Figura 6.
Fracción de área sombreada: 1
16
Espacio para la descripción
Se realizan las designaciones
correspondientes al contorno global que tiene
forma de triángulo 𝐸𝐹𝐷, luego se complementa
la figura 6 con trazos horizontales 𝐿𝐽,̅̅̅̅ 𝑀𝐼̅̅ ̅̅ 𝑦 𝑁𝐺̅̅ ̅̅ ,
para así poder ver que existen dieciséis
divisiones congruentes en forma con respecto
al triángulo 𝐻𝐸𝐺 que es el sombreado.
Fuente: Elaboración propia.
118 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Breve análisis a priori de la tarea 2.3: En este punto se espera que los estudiantes,
después de haber trabajado los tratamientos figurales para determinar la fracción del área
sombreada, en la que anteriormente se apoyaron en la ayuda visual del fondo
cuadriculado; en esta ocasión, se enfrenten a una tarea de determinación y comparación
de regiones sombreadas, sin el citado fondo.
Conviene decir, que esto representa un mayor grado de dificultad, aunque en la tarea,
se les permita hacer uso de las designaciones y los elementos de dimensión 0D (puntos).
En virtud de esto, ellos están en capacidad de explicitar sus aprehensiones operatorias y
así, llegar a una conclusión descriptiva desde lo figural y, además, descrita en lengua
natural.
Tarea 2.3. Escribe la fracción que corresponde a la superficie sombreada con respecto a la unidad
que es el cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 en cada una de las situaciones. Para cada uno de los casos deberás
mostrar que hiciste gráficamente para ver la solución de la conclusión a la que llegaste a
acompañada de una descripción escrita en el espacio asignado. Para lo cual en deberás describir
tus procesos lo más detallado posible según lo que hallas visualizada para cada situación
específica.
Figura 4-21. Presentación del diseño de la T2-Nv3.
Fuente: Elaboración propia.
Una posible solución a la tarea 2 del nivel 3 sería la que se presenta a continuación:
Capítulo 4 119
Figura 4-22. Representación de la posible solución de la primera situación de la T2-Nv3.
(a)
(b)
Fuente: Elaboración propia.
Según la situación 1, tenemos una unidad referencial con forma cuadrada ABCD, al
realizarle ciertas modificaciones que se visualizaron, se puede apreciar en (b) que el
triángulo que se observaba en (a) denotado como PDG se trasladó y en el (b) ocupó la
posición que estaba en blanco designada como EFH, lo mismo ocurre con el triángulo PEH
de la figura (a), que se trasladó “oblicuamente” a la posición que tiene espacio en blanco
GCF, por lo tanto obtenemos dos rectángulos en (b), uno sombreado designado como
GHBC y uno no sombreado AHGD, los cuales dividen en dos partes iguales la unidad
cuadrada ABCD de la situación uno, dado como resultado un área sombreada uno igual a
1
2.
Figura 4-23. Representación de la posible solución de la segunda situación de la T2-Nv3.
(a)
(b)
Fuente: Elaboración propia.
120 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
En la situación 2 tenemos una unidad referencial cuadrada ABCD, la cual tiene tres
triángulos sombreados inicialmente en (a), los cuales están designados como: AID, IJL y
JKB estos dos últimos son congruentes, para llegar a la solución que se visualiza en (b),
vimos que el segmentos 𝐽�̅� podría extenderse hasta el segmento 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ y ser su punto medio
el cual designamos como P, después de decidió hacer “ un dobles, al triángulo AID” como
se parecía en (b), luego vimos un espacio en blanco designado ILC podría ser ocupado
por el triángulo JKB, si se le realizaba una traslación y una rotación para así formar un
cuadrado IJLC. Después de realizar estas modificadoras obtuvimos como se aprecia en
(b) dos rectángulos uno sombreado designado como DPLC y uno no sombreado PABL,
los cuales dividen en dos partes iguales la unidad cuadrada ABCD de la situación dos,
dando como resultado un área sombreada dos, igual a 1
2.. Que al ser comparada con la
situación uno es equivalentes.
Figura 4-24. Representación de la posible solución de la tercera situación de la T2-Nv3.
(a)
(b)
Fuente: Elaboración propia.
Al visualizar la configuración de regiones sombreadas del cuadrado ABCD en (a) se
decidió realizarle uno puntos auxiliares designados como E en medio del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , F
en medio de 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , H en medio de 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ e I en medio de 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ luego se visualizó que el triángulo
sombreado AQB se dividía en dos triángulos designados como AEQ y QEB, los cuales se
trasladaron a ocupar las posiciones que estaban en blanco designadas como DOM para
QEB y CTM para AEQ.
Capítulo 4 121
Luego se trazó un segmento 𝐻𝐼̅̅̅̅ que pasaba por Q el cual dividía el cuadrado ABCD en
dos y notamos que los triángulos sombreados ONP y TSR se dividían en dos partes al
igual que el cuadrado sombreado MNQS y se procedió a completar los espacios en blanco
al fraccionar las figuras sombreadas formando así un rectángulo OYIH que al juntarse con
DOTC, obtuvimos como se aprecia en (b) dos rectángulos uno sombreado designado como
DHIC y uno no sombreado HIBA, los cuales dividen en dos partes iguales la unidad
cuadrada ABCD de la situación tres, dando como resultado un área sombreada tres igual
a 1
2. Que al ser comparada con la situación uno y dos podremos concluir que todas son
equivalentes.
De la anterior tarea se espera que, por un lado, las “situaciones 1 y 2 planteadas en la
tarea 2”, sean fácilmente tratadas, partiendo de la idea en la que los estudiantes trabajen
la figura, con regiones equivalentes sombreadas. Por otro lado, la situación tres se torna
más compleja, pues, aunque en este cometido, se anticipa que algunas respuestas no
sean las correctas, sí se confía en que a partir de las descripciones se puedan percibir, los
procesos de visualización.
Breve análisis a priori de las tareas 3.3, 4.3 y 5.3: Las modificaciones se aplican sobre
unidades constituyentes de dimensión dos de la figura de partida. En ese sentido, la
organización perceptual de las unidades cambia momentáneamente y la figura inicial, no
sufre transformación alguna. Conviene mencionar, que este tipo de proceder se encuentra
en tareas donde se solicita calcular mediante conteo, el área de una figura que está
descompuesta en subfiguras, algunas de ellas con forma y área iguales a la unidad
asignada, otras con forma distinta y con una fracción del área de la unidad de medida: un
medio, un cuarto, etc.
Así mismo, la resolución de la actividad propuesta exige la unión de algunas de las
fracciones de unidad y el conteo de las veces que la unidad seleccionada es necesaria
para cubrir la superficie de la figura. Según Marmolejo y González (2013) se induce un
cambio figural intermitente (operatorio), pues para calcular el área de la figura, es necesario
considerar las subfiguras triangulares y rectangulares, además de asumir que la unión de
cada par o más de ellas, producirá una superficie igual a la unidad de medida considerada.”
122 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Para el caso particular de la tarea 3, existen unos puntos que servirán para facilitar el
conteo de lo que representa la región sombreada. Del mismo modo, teniendo en cuenta
que estamos en un nivel escolar donde los valores enteros son el conjunto numérico que
prima, no sobra incluir el registro numérico fraccionario para que hagan el ejercicio de
sumar, desde la visualización de las subpartes, y de esa manera, las unidades figurales,
las conviertan en enteras. La tarea 4 presenta una situación similar a la 3, pero con la
ventaja que la consigna cambia totalmente el sentido de la actividad que se quiere
desarrollar. Conviene subrayar, que, puesto que la tarea no consiste simplemente en
calcular, en este trabajo se les solicita también, verificar cierta información adicional. Sobre
este aspecto, es necesario aclarar, que en caso de obtener o no, una estimación correcta,
de cualquier manera, deberán explicitar sus procesos.
Figura 4-25. Presentación del diseño de la T3-Nv3.
Tarea 3.3. Determina el área de la región sombreada describiendo el análisis o procesos que tuviste
encuentra para lograr ver la solución a la que llegaste.
Fuente: Elaboración propia.
Una posible solución a la tarea 3 del nivel 3 sería la que se presenta a continuación: Se
realiza la designación de la región sombreada siguiente, con las letras
DCBAONLKJIHGFE. Se espera que los estudiantes encuentren que son siete las unidades
cuadradas enteras, contando las cuadrículas, además, que el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ pertenece
simultáneamente a dos triángulos, los cuales, al juntarlos forman una cuadrícula más,
llegando a ocho.
Capítulo 4 123
Al mismo tiempo, se espera que, los estudiantes realicen algún trazo auxiliar para
conectar los vértices D con I, mostrando que existe una región en blanco designada como
EFGH la cual visualmente equivale a un medio, pero al ver que existe una región LNOQ
que es un medio de la cuadricula sombreada por “complementariedad ” asuman que esa
región si se traslada al espacio en blanco EFGH como subpartes rectangulares LMPQ y
LMOP sumaran una unidad más llegando así a 9 unidades cuadradas.
Figura 4-26. Representación de la posible solución esperada de la T2-Nv3.
Fuente: Elaboración propia.
Figura 4-27. Presentación del diseño de la T4-Nv3.
Tarea 4.3. Yamileth es una joven estudiante que determinó el área de la región que aprecia en
figura, la cual afirma que da 22 unidades cuadradas o (22U2), ayuda a la joven a comprobar su
respuesta. En caso de estar equivocada explica porque se equivocó de estar en lo correcto muestra
que procedimientos viste para corroborar el resultado.
Fuente: Elaboración propia.
124 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Nota. La tarea 4 es una adaptación de una actividad analizada por (Marmolejo y González, 2013),
en el que cambió totalmente la consigna.
Una posible solución a la tarea 4 del nivel 3 sería la que se presenta a continuación:
Existe la posibilidad que los estudiantes intente realizar un conteo de las cuadrículas que
son enteras y notaran que hay solo 17 de ellas a primer golpe de ojo. Del mismo modo,
puede darse el caso que no realicen ninguna designación y que más bien realicen trazos
y guías que harán de su descripción, un ejercicio visual tal y como se muestra a
continuación. Finalmente, encuentran así, otras 5 cuadrículas que se formaran por
complementariedad de las medias regiones sombreadas tal y como se representa a
continuación:
Figura 4-28. Representación de la posible solución de la T4-Nv3.
Fuente: Elaboración propia.
En virtud de esto, sería posible concluir que efectivamente Yamileth tenía razón. Como
corolario, es posible decir, que puede darse el caso que no se presenten muchas
dificultades en la realización de esta tarea debido a que la anterior los “preparó para esta”.
Breve análisis a priori de la tarea 5.3: Se presentan elementos de control de la visibilidad
de los siguientes tipos: a) Índice: nombre dado a la unidad de medida que resulta de las
cuadrículas que pertenecen a las regiones A y B, además de los cuadros en blanco, b)
Elementos de contraste: nombre dado a las regiones sombreadas con un tono distinto
respecto a los trazos de las cuadrículas.
Capítulo 4 125
Conviene mencionar, que el tipo de control es ambiguo, debido a que se da cierto grado
de libertad para que el estudiante elija la manera en que llegará a dar respuesta a los ítems
de la tarea por lo que puede subdividir las regiones sombreadas o por conteo de
cuadrículas llegar calcular el área.
En esta tarea, se espera que los estudiantes realicen algún tipo de reconfiguración
figural. En esa dirección, puede darse el caso que comiencen a hacer uso de las áreas
para realizar un conteo de las cuadrículas que cada una contiene, para luego compararlas,
o, que vayan directamente al área que no está sombreada (sustrayendo las regiones A y
B).
Figura 4-29. Presentación del diseño de la T5-Nv3.
Tarea 5.3. Compara las regiones 𝐴 y 𝐵 que se presentan a continuación y responde a los siguientes
ítems:
a. Qué región tiene mayor área explica el porqué de tu elección.
b. Si se suman ambas regiones que área sombreada se tendría en total.
c. Con el dato del ítem anterior compara esa área con la que representa las cuadrículas en
blanco ¿Cuál es mayor? Explica los análisis que visualizaste, para concluir la respuesta que
diste.
Fuente: Elaboración propia.
Una posible solución a la tarea 5 del nivel 3 sería:
126 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 4-30. Representación de la solución esperada de la T5-Nv3.
Fuente: Elaboración propia.
Como se puede apreciar, al comparar las regiones coloreadas, tanto A como B tienen
igual cantidad de superficie, es decir, 12,5 unidades cuadradas cada una, dando respuesta
al primer ítem de la tarea. Así mismo, al sumar ambas cantidades, tememos 25 unidades
cuadradas. Es importante mencionar, que en este punto las figuras cumplen una función
informativa, si tenemos en cuenta que las cuadrículas que eran mitades se unieron para
formar unidades enteras. Con respecto al último ítem, es necesario recordar la situación
de primer nivel correspondiente a la tarea 4, lo que implica, que solo es cuestión de
multiplicar las 5 unidades de la longitud por las 14 unidades del ancho para concluir que
existen 70 cuadrículas que componen el área de trabajo. Seguidamente se procede a
restar las 25 unidades que suman las que están ocupadas por las regiones A y B,
obteniendo 45 cuadrículas en blanco. Por lo tanto, las cuadrículas en blanco son una
cantidad mayor a la que componen ambas regiones sombreadas, lo que visualmente se
aprecia con cierta dificultad y que deberán confirmar ellos.
4.4 Cuarto nivel de aprendizaje
Todas las tareas que componen este nivel se han pensado para que los estudiantes
pongan en juego las aprehensiones perceptuales, operatorias y discursivas haciendo
énfasis en la combinación de las dos últimas, respeto al registro figural. Adicionalmente, a
este nivel se espera que los estudiantes, hayan superado dificultades relacionadas con las
Capítulo 4 127
concepciones de área y las comparaciones entre ellas, como también el uso de las
designaciones para hacer sus descripciones.
Comprendido todo lo anterior, el trabajo se enfoca ahora desde la visión de Duval
(2005), la misma que se refiere al posicionamiento de la cuarta y adentrándose a la quinta
mirada, el cual alcanza un grado de comprensión suficiente, de manera que, afloran
heurísticas que permitan construir reconfiguraciones a partir de las figuras geométricas
reconocidas. Conviene aclarar, que, en todos los casos, se presenta un fondo cuadriculado
como estrategia de observación, salvo en el caso en que usa el plano cartesiano como
soporte. Finalmente, los tipos de control son disjuntos pues presentan distintos tipos de
información simultáneamente. En el caso de las tareas 1, 2 y 3, hay una inclinación hacia
la mirada del inventor, mientras que la tarea 4, se inclina hacia la deconstrucción
dimensional, siendo la tarea 5, una mezcla de todas, aunque se prioriza el estatus de
tratamiento figural sin importar que sea un control visual cuasi ambiguo.
Breve análisis de la tarea 1.4 y 2.4: Se espera que, en esta primera tarea, los
estudiantes al estar ya familiarizados con la realización de trazos auxiliares, como
instrumento útil en la visualización de figuras, que hacen parte de la composición de otras,
utilicen esa capacidad para descubrir, nuevas reconfiguraciones. Así que, partiendo de un
diferente contorno global, es posible llegar a la conclusión que, el área de la figura de
partida y el de la figura final es la misma y que lo único que permanece igual o variando es
el perímetro.
Figura 4-31. Presentación de los diseños de las T1 y T2-Nv4.
Tarea 1.4. Dado un cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 realiza un solo trazo en él, de tal manera que puedas formar
un triángulo isósceles. ¿Qué puedes decir al comparar las áreas y perímetros entre la figura inicial
(cuadrado) y obtenida (triángulo isósceles)?
128 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Tarea 2.4. Dado un paralelogramo 𝐸𝐹𝐺𝐻 con un solo trazo, reconfigúralo en un cuadrado. ¿Qué
puedes decir de sus áreas y perímetros al compararlas?
Fuente: Elaboración propia.
Una posible solución a la tarea 1 y 2 del nivel 4 sería la que se presenta a continuación:
Se espera que en la tarea 1, los estudiantes decidan irse por uno de los dos caminos que
ofrecen las diagonales del cuadrado ABCD. Conviene aclarar que, en el caso escogido se
trazó la diagonal 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y tal y como se aprecia en la figura 1*, lo que nos conduce a obtener
dos triángulos rectángulos designados como ADC y ABC, los cuales configura al cuadrado
ABCD inicial. Del mismo modo, al triángulo isósceles ADC, lo vamos a configurar,
aplicándole una rotación en sentido antihorario sobre el punto C, con el propósito de formar
el triángulo isósceles ADC. En ese sentido, si comparamos las áreas del cuadrado ABCD
y del triángulo ADC están son equivalentes. En cambio, en cuanto a sus perímetros, dado
que el segmento 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ es una diagonal y esta tiene mayor longitud que uno de los lados 𝐴𝐷̅̅ ̅̅
por lo tanto, el contorno del triángulo ADC tiene mayor longitud que el del cuadrado ABCD,
es decir, tiene mayor perímetro que la figura de partida.
Para solucionar la tarea 2, es preciso señalar, que esta solo tiene un solo camino de
solución. En efecto, este consiste en trazar un segmento 𝐻𝐹̅̅ ̅̅ sobre el paralelogramo
EFGH, obteniendo así dos triángulos designados como EFH y FGH, y aplicando sobre este
último, una traslación de dos unidades hacia la izquierda según las cuadrículas de
referencia visual, para así obtener un cuadrado EFGH. De la misma manera, merced a la
comparación de sus áreas, se encuentra que, tanto el paralelogramo EFGH como el
cuadrado EFGH, tienen igual área y sus perímetros también son iguales debido a que las
longitudes de sus contornos se conservaron en las mismas dos cuadrículas de referencia.
Capítulo 4 129
Figura 4-32. Representación de las soluciones esperadas de la T1 -Nv4.
Solución tarea 1. (Figura1*)
Fuente: Elaboración propia.
Figura 4-33. Representación de las soluciones esperadas de la T2 -Nv4.
Solución tarea 2. (Figura 2*)
Fuente: Elaboración propia.
Breve análisis a priori de la tarea 3.4: La tarea en cuestión es similar a los puntos
anteriores, específicamente en el uno y el dos, del ítem a y b de la tarea 4 de la situación
dos. Es preciso mencionar, que, a pesar de esas similitudes, esta, tiene el valor agregado
en la reconfiguración figural, lo que permite la comparación de áreas mediante el uso de
las cuadrículas. Así que, en ese orden de ideas, la tarea 1 de este nivel, aporta elementos
para que los niños, deduzcan que al tener un trapecio y ser descompuesto en otras
unidades figurales de igual dimensión, con el propósito de formar otra figura geométrica
(rectángulo), se conserva el área.
Tarea 3.4. En el trapecio 𝐴𝐵𝐶𝐷, deberás:
a. Realizar un par de trazos de tal manera que se forme un cuadrado y un par de triángulos. b. Designa las subfiguras obtenidas En el paso anterior.
Explica que harías (escríbelo) para que con esas las figuras formes un rectángulo. ¿qué se puede decir de las áreas de las figuras que obtuviste (paralelogramo respecto al rectángulo)?
130 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 4-34. Presentación del diseño de la T3-Nv4.
Fuente: Elaboración propia.
Una posible solución a la tarea 3 del nivel 4 sería la que se presenta a continuación:
Figura 4-35. Representación de la solución esperada de la T3-Nv4.
Fuente: Elaboración propia.
Para este caso, es necesario que los estudiantes hagan buen uso de los instrumentos
como la regla o la escuadra, dado que el trapecio ABCD no dispone de cuadrículas, y el
trazado de los segmentos auxiliares requerirá que sean “sean perpendiculares” respecto a
la base 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Conviene resaltar, que los puntos que se interceptan sobre la base son
designados como E y F para formar así los triángulos rectángulos AED, CFB y un cuadrado
DEFC. Adicionalmente, al triángulo AED, se le aplica una traslación hacia la derecha, y
una reflexión de tal manera que ocupe el espacio que se muestra como punteado CAB, y
se forme el rectángulo EBAD. En efecto, este, tiene igual área por estar formado por las
mismas subfiguras del trapecio ABCD descompuesto inicialmente.
Breve análisis a priori de la tarea 4.4: En esta tarea, se trabajará la descomposición
figural de un contorno global irregular, que hace uso de medidas, por medio de los ejes
Capítulo 4 131
coordenados. Acorde con esto, la consigna de la tarea se plantea apoyada en ítems, los
cuales deben transcurrir secuencialmente, desarrollando una solución, cuya génesis es la
combinación de elementos visuales propios del registro figural, los cuales a su vez actúan,
en coordinación con el registro de la lengua natural.
En esa dirección, para hacer referencia a las subfiguras de las que se pide determinar
su área, es necesario, hacer explícitos los procedimientos de cálculo. Esta tarea, se
concibe como una de las más complejas y por eso cierra este nivel, dado que, el contorno
final, se presta para identificar diferentes figuras, que surgieron desde el contorno inicial.
Figura 4-36. Presentación del diseño de la T4-Nv4.
Tarea 4.4. En la figura poligonal representada en el plano cartesiano deberás realizar lo siguiente:
A. Designar los vértices de la figura.
B. Identificar las diferentes figuras geométricas que componen la figura inicial
(nómbralas y resáltalas con un color).
C. Calcular el área de cada figura que visualizaste.
D. Halla el área total de la figura inicial dada.
Fuente: Elaboración propia.
Una posible solución a la tarea 4 del nivel 4 sería la que se presenta a continuación:
132 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 4-37. Representación de la solución esperada de la T4-Nv4.
Fuente: Elaboración propia.
Una vez se han designado los vértices de la figura ABCDEFG, notamos que se puede
visualizar un posible trazo auxiliar que va desde el punto G al D y puede extenderse hasta
la segunda unidad del eje coordenado el cual se designó como H. Así pues, en virtud de
esto, es posible visualizar tres figuras geométricas que son: un rectángulo HDCB, un
paralelogramo GFED y un triángulo rectángulo GHA, mostrándose esta solución de
descomposición como la más simple. Se sugiere el uso de un color a los estudiantes para
que les ayude visualmente los contrastes. Para dar respuesta al ítem (c) debemos inferir
visualmente los datos ya sea por el conteo de las cuadrículas, o haciendo uso de las
fórmulas de área de cada subfigura configurada, además de dar los resultados obtenidos
en unidades cuadradas.
Área del rectángulo HDCB = 8U2
Área del paralelogramo GFED = 6U2
Área del triángulo rectángulo = 1U2
La solución del punto (d) es cuestión de tomar las medidas de las cantidades de área
halladas y sumarlas, es decir:
Á𝑟𝑒𝑎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 8𝑈2 + 6𝑈2 + 1𝑈2 = 15𝑈2
Capítulo 4 133
4.5 Quinto nivel de aprendizaje
Para el presente grupo de tareas que conforman este nivel, se quiere que los
estudiantes apliquen las aprehensiones operatorias y discursivas, desarrolladas hasta
ahora. De igual manera, se espera que empleen las herramientas que en las anteriores
situaciones se utilizaron, tales como: las designaciones para referenciar las formas y
caracterizarlas, el establecimiento de relaciones entre áreas y perímetros, la realización de
trazos auxiliares, y la descomposición de los contornos globales en unidades figurales o
subfiguras. Igualmente, también se espera que apliquen procesos de visualización con el
propósito de razonar sobre las formas que ya les son “familiares”, y poder hacer
comparaciones en términos de áreas, además de deducciones de las expresiones útiles
para calcular estas, en el caso de las figuras planas.
Figura 4-38. Presentación del diseño de la T1-Nv5 parte 1.
Tarea 1.5. Dado el polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 que se nombró figura 1, debes estimar el área que tiene dicha forma en unidades cuadradas (U2).
Figura 1
Fuente: Elaboración propia.
Tarea 1.5 (a). Reconfigurar la figura 1 en la figura2. ¿Qué puedes decir sus áreas? ¿hay una mayor
o menor a otra muéstralo?
134 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 4-39. Presentación del diseño de la T1-Nv5 parte 2.
Figura 2
Fuente: Elaboración propia.
Figura 4-40. Presentación del diseño de la T1-Nv5 parte 3.
Tarea 1.5 (b). Reconfigurar la figura 1 en la figura 3. Describe los pasos que realizaste.
Figura 3.
Fuente: Elaboración propia.
Capítulo 4 135
Figura 4-41. Presentación del diseño de la T1-Nv5 parte 4.
Tarea 1.5 (c). Reconfigurar la figura 1 en la figura 4.
Figura 4.
Fuente: Elaboración propia.
Breve análisis a priori de la tarea 1.5: La presente tarea es una composición de los
cometidos del nivel anterior, con la diferencia que, en este caso, se prioriza el estatus del
tratamiento figural. Es preciso mencionar, que, dependiendo de la decisión del estudiante,
en el sentido de intentar o no, resolver la tarea, así mismo, se evidenciará cierto nivel de
razonamiento sobre las figuras tratadas y el nivel de sus deducciones, lo mismo que se
reflejará en el uso del lenguaje para explicitar sus decisiones, al visualizar la solución.
Una posible solución a la tarea 1 del nivel 5 sería la que se presenta a continuación: En
el primer ítem, se inquiere por el área que compone la figura 1, la misma que se designa
con las letras ABCDEF. Conviene recalcar, que, al contabilizar las cuadrículas, se concluye
que tiene 17 unidades cuadradas enteras y dos cuadrículas divididas a la mitad ubicadas
cerca al segmento 𝐸𝐷,̅̅ ̅̅ ̅ las cuales, si se juntan sumarían una unidad cuadrada más,
obteniendo así, una suma del área de la figura ABCDEF de 18 U2. Acto seguido, se solicita
realizar algún tipo de tratamiento figural para llevar la figura 1 a la forma que tienen las
figuras 2, 3 y 4 respectivamente. En estos casos, si son equivalentes sus áreas, y esto se
puede corroborar buscando formas de contar las cuadrículas que componen cada figura.
En consecuencia, las posibles transformaciones que se podrían hacer son las siguientes:
136 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 4-42. Representación de las soluciones esperadas de la T1-Nv5.
(a)
(b)
(c)
Fuente: Elaboración propia.
Para dar solución al punto (a), se tomó la figura ABCDEF y se le realizó un trazo auxiliar
desde el vértice E hasta A, dejando ver un triángulo FEA, al que se le realiza una traslación
de cuatro unidades hacia abajo hasta llegar a coincidir el segmento 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ con el segmento
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ obteniendo así la comparación solicitada.
En el siguiente ítem se debe partir de la figura ABCDEF y realizarle un trazo auxiliar
que parte del vértice C, hasta que llegue hasta un punto que sea paralelo a E, el mismo
que debe estar ubicado en el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ tal y como aparecía en (b), para después
producir una rotación en C del triángulo formado en sentido horario de 90°, formando así
la composición figural solicitada. Por último, se debe realizar una reflexión con respecto a
la base 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ de la figura ABCDEF, de tal manera que su posición quede invertida y su
contorno global, no sufra ninguna modificación, obteniendo así la figura solicitada en el
ítem (c).
Se espera que los estudiantes sean capaces de visualizar las soluciones presentadas,
independientemente del nivel de claridad y rigurosidad que tengas sus explicaciones.
Tarea 2.5. Dado un rombo 𝐴𝐵𝐶𝐷 cómo el que se presenta a continuación:
Capítulo 4 137
Figura 4-43. Presentación del diseño de la T2-Nv5.
Fuente: Elaboración propia.
Resuelve
a. Si el área del triángulo 𝐴𝑂𝐵 es igual a 3𝑐𝑚2 ¿Cuál sería el área total del rombo 𝐴𝐵𝐶𝐷?
b. Reconfigurar el Rombo 𝐴𝐵𝐶𝐷 tal manera que se forme un rectángulo. ¿Qué puedes
observar respecto a el área de las dos figuras?
c. Teniendo en cuenta que el segmento 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y el 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ son conocidas como las diagonales del
rombo 𝐴𝐵𝐶𝐷 y sus medidas respectivamente son 6 𝑐𝑚 y 2 𝑐𝑚.
d. Deduce la expresión que permitirá calcular su área. (sugerencia ten en cuenta el resultado
obtenido en el ítem a).
Breve análisis a priori de la tarea 2.5: De esta tarea, se exalta una función visual
heurística, y se propone la aprehensión operatoria para reconfigurar el rombo (figura de
partida), a un rectángulo. Ciertamente, en términos de Marmolejo y González (2013),
quiere decir que, se debe realizar una reconfiguración simple. En efecto, la figura de partida
se transforma en otra de forma distinta e igual área, y las unidades 2D que la conforman
(o algunas de ellas) son reubicadas bajo la acción de traslaciones, rotaciones o reflexiones
en lugares distintos al inicialmente ocupado por ellas. Sumado a esto, el color o lo tonos
de contraste en los triángulos rectángulos que configuran el rombo refuerza visualmente
las designaciones para ver con más claridad la posible reconfiguración y llevar un control
sobre la misma, aunque para esta tarea, la mayoría del material se aplicara con una copia
con escala de grises.
La información que resta en los ítems de la consigna demandará del estudiante, que se
apoye en el registro figural para establecer la relación entre la representación en mención,
y el de la lengua natural. De este modo, la actividad cognitiva de razonamiento relacionada
138 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
con la visualización le dará al intérprete (estudiante), una perspectiva Gestáltica muy
peculiar, por lo que en esta tarea se tiene una buena expectativa en cuanto a las
descripciones de los procedimientos.
Una posible solución a la tarea 2 del nivel 5 sería la que se presenta a continuación:
Si el área del triángulo AOB es igual a 3𝑐𝑚2, eso quiere decir que cada triángulo que
conforma el rombo ABCD tiene área 3𝑐𝑚2, lo que indica que la medida del área de los
triángulos 𝐴𝑂𝐵 + 𝑂𝐵𝐶 + 𝐷𝑂𝐶 + 𝐴𝑂𝐷 = 12𝑐𝑚2.
Cuando se solicita reconfigurar el rombo ABCD en un rectángulo DBZT los colores
facilitan la visualización para realizar la reconfiguración tal y como se presenta a
continuación:
Figura 4-44. Representación de la posible reconfiguración del rombo del diseño de la T2-
Nv5.
Fuente: Elaboración propia.
Las áreas del rombo ABCD y el rectángulo DBZT se puede decir que son iguales. Del
ítem (c), nos dan las medidas de las diagonales del rombo ABCD las cuales son 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =
6𝑐𝑚 y 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ = 2𝑐𝑚, lo que ayuda a inferir visualmente que los segmentos 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ y 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ cada
uno mide 3cm y que los segmentos 𝐷𝑂̅̅ ̅̅ y 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ miden 1cm, teniendo en cuenta la sugerencia
podemos inferir que la expresión para calcular el área del rombo 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ∗ 𝑚𝐷𝐵̅̅ ̅̅ =
12𝑐𝑚2.
Capítulo 4 139
Es posible que el mayor obstáculo se encuentre a la hora de asociar las designaciones
con los valores numéricos y así, poder llegar a la deducción de las fórmulas que permite
estimar el área del rombo ABCD.
Figura 4-45. Presentación del diseño de la T3-Nv5.
Tarea 3.5. En la presente figura plana desarrolla los siguientes ítems:
a. Designa con una letra mayúscula del abecedario a los vértices.
b. Determina las subfiguras que conforman la figura designada en el ítem (a) con su respectiva
designación.
c. Calcula el área de las subfiguras que encontraste en (b).
d. Determina el área total de la región poligonal.
Nota. Debes registrar los procesos que realizas para responder a cada ítem, intentando ser los más
claro posible.
Imagen Tomada de (Marmolejo y González, 2015), tarea adaptada.
Breve análisis a priori de la tarea 3.5: Esta tarea se espera que sea, la posible meta a
alcanzar, con los estudiantes a los que se les aplicará la trayectoria hipotética de
aprendizaje, con tareas que suelen estar en algunos libros de texto, o, en la parte de
actividades complementarias y de profundización. En este aspecto, conviene señalar que
el tipo de control es ambiguo tal y como lo expresan Marmolejo y González (2015), cuando
varios elementos ejercen control sobre la manera de ver en la figura. En esa misma
dirección, algunos introducen maneras de ver pertinentes para la resolución de la tarea
propuesta, mientras que otros, por el contrario, suscitan visualizaciones de naturaleza
distinta a las tratadas en el tópico en estudio y/o no pertinentes a la resolución de la tarea
propuesta, por lo que se produce un control ambiguo.
140 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
En la tarea 3. se pide calcular la medida del área de un polígono irregular, pregunta
para la que no se ha dado una fórmula a aplicar, por tanto, es necesario realizar
previamente un fraccionamiento en figuras, en aras de reconocer las fórmulas del cálculo
de área. Así mismo, hay que mencionar, que la figura poligonal, cumple una función visual
informativa puesto que la consigna per se, es insuficiente para que el estudiante pueda
resolver la tarea propuesta.
Del mismo modo, se puede deducir que, es estrictamente necesario apelar al registro
figural, puesto que, se encuentran datos que servirán para determinar los cálculos
necesarios en las subfiguras, como también se aprecian trazos auxiliares punteados, los
cuales, indica un control visual de contraste que dará indicios para avizorar las subfiguras
en que puede fraccionarse el contorno poligonal global.
Una posible solución a la tarea 3 del nivel 5 sería la que se presenta a continuación:
Figura 4-46. Presentación de los trazos esperados para la solución de la T3-Nv5.
El proceso de solución inicia con la designación de los vértices de la figura dada, la cual
se reconocerá como figura ABCDEF. En ese marco, se debe visualizar que la figura
ABCDEF, se puede descomponer en tres figuras las cuales son dos triángulos rectángulos
designados como ABH y EGF y dos rectángulos designados como BCIH y DEGI. Es
preciso mencionar, que esto puede darse, en virtud de los trazos auxiliares 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ , 𝑦 𝐸𝐺̅̅ ̅̅ ̅̅ que
ya estaban dados, lo que significa que solo debía agregarse 𝐷𝐼̅̅ ̅.
Capítulo 4 141
Finalmente, debe completarse la información suministrada por la figura ABCDEF para
obtener todas las medidas necesarias que permitirán estimar las áreas de cada subfigura
que compone el contorno global. En ese sentido, tenemos:
Tabla 4-1. Compilación de las descripciones esperadas para cada seccionamiento del
polígono ABCDEF.
El triángulo 𝑨𝑩𝑯 tiene como base la
medida 𝒎𝑨𝑯̅̅̅̅̅ =𝟏𝟎𝒎 y como altura
la medida 𝒎𝑩𝑯̅̅ ̅̅̅ =𝟏𝟐𝒎. Luego el
Á𝒓𝒆𝒂𝑨𝑩𝑯 =𝟏𝟎×𝟏𝟐
𝟐=
𝟔𝟎𝒎𝟐
El rectángulo 𝑩𝑪𝑰𝑯, tiene como base la medida del
segmento 𝒎𝑯𝑰̅̅̅̅ =𝟖𝒎 y altura la medida del
segmento 𝒎𝑯𝑩̅̅ ̅̅̅ =𝟏𝟐𝒎.
Á𝒓𝒆𝒂𝑩𝑪𝑰𝑯 = 𝟖 × 𝟏𝟐= 𝟗𝟔𝒎𝟐
El rectángulo 𝑫𝑬𝑮𝑰, tiene como base la medida del
segmento 𝒎𝑰𝑮̅̅̅̅ =𝟔𝒎 y altura la medida del
segmento 𝒎𝑬𝑮̅̅ ̅̅ =𝟓𝒎.
Á𝒓𝒆𝒂𝑫𝑬𝑮𝑰 = 𝟔 × 𝟓= 𝟑𝟎𝒎𝟐
El triángulo 𝑬𝑮𝑭, tiene como altura la medida del
segmento 𝒎𝑬𝑮̅̅ ̅̅ =𝟓𝒎 y base la medida del
segmento 𝒎𝑮𝑭̅̅ ̅̅ =𝟐𝒎 este dato se obtuvo se restar la
medida 𝒎𝑨𝑭̅̅ ̅̅ =𝟐𝟔𝒎. Con las medidas de los
segmentos 𝒎𝑨𝑯̅̅̅̅̅ =𝟏𝟎𝒎 y 𝒎𝑯𝑰̅̅̅̅ = 𝟖𝒎 e
𝒎𝑰𝑮̅̅̅̅ = 𝟓𝒎, obteniendo así:
Á𝒓𝒆𝒂𝑬𝑮𝑭 =𝟓 × 𝟐
𝟐= 𝟓𝒎𝟐
Á𝒓𝒆𝒂𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭 = Á𝒓𝒆𝒂𝑨𝑩𝑯 + Á𝒓𝒆𝒂𝑩𝑪𝑰𝑯 + Á𝒓𝒆𝒂𝑫𝑬𝑮𝑰 + Á𝒓𝒆𝒂𝑬𝑮𝑭 = 𝟏𝟗𝟏𝒎𝟐
Fuente: Elaboración propia.
Al en la tabla 4-1 se puede ver claramente el despliegue de procedimientos realizados
en el registro discursivo de la lengua natural coordinado con el registro numérico para
establecer la media del área para cada subfiguras visualizada y el contorno global.
Es importante recalcar que, terminado de presentar los diferentes análisis a priori de
cada grupo de tareas que compone cada nivel de aprendizaje, se puede dar vía libre para
que la trayectoria hipotética de aprendizaje sea aplicada a los estudiantes de grado
séptimo.
142 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Además, una vez se tengan los resultados de sus producciones, se podrán establecer
y analizar cómo influyeron las diferentes variables de los diseños de las tareas, cómo
también, valorar los avances en cuanto a la actividad cognitiva de la visualización y la
coordinación entre registros de representación a comprender el tópico de área de figuras
planas.
5. Análisis a posteriori: constitución de una trayectoria real de aprendizaje
En este capítulo se presentan y analizan las producciones más representativas de las
diversas aplicaciones que se llevaron a cabo para el desarrollo de la trayectoria hipotética
de aprendizaje. Tomando esto en consideración, la organización del capítulo se inició con
un apartado que presenta las diferentes categorías o procesos que se evaluaron a lo largo
de cada nivel de aprendizaje. Para sintetizar los resultados, se realizaron unas tablas que
muestran el alcance que se obtuvo con la aplicación, y además en relación con los
propósitos trazados por cada grupo de tareas que ya fueron presentados en el tercer
capítulo, permitieron tomar la decisión de avanzar al siguiente nivel de la trayectoria.
Del mismo modo, se realizaron los respectivos análisis por los niveles de aprendizaje
establecidos. Cabe aclarar, que por cada nivel se hizo una presentación que ilustra acerca
de cómo fue el desempeño de los estudiantes en general, y en qué condiciones lograron
cumplir con el objetivo trazado. Después se procede a describir particularidades que se
hallaron en la revisión post aplicación, aspectos que se adjuntan a la respectiva evidencia
acompañada de un breve análisis del profesor-investigador.
Una vez se presentados todos los análisis a posteriori, se incluyó un breve apartado de
cierre del capítulo. Conviene recalcar, que este epílogo, tuvo como propósito evaluar la
trayectoria hipotética de aprendizaje que recopiló todos los progresos a nivel cognitivo, que
evidenciaron los estudiantes en el trabajo con áreas de figuras planas.
Complementariamente, esto permitió argumentar, por qué esta trayectoria hipotética debe
constituirse como una trayectoria real de aprendizaje, para los estudiantes a quienes se
les aplicó, teniendo como base los avances de los procesos relacionados con la
visualización, vistos desde una mirada semiótica-cognitiva.
144 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
5.1 Presentación general del instrumento de valoración del proceso de análisis de datos
En principio, se pensó que los grupos de tareas que componían los diferentes niveles
de aprendizaje que se presentaron en el tercer capítulo, se debían clasificar su análisis en
una serie de categorías las cuales correspondieran a facilitar este desde los elementos
cualitativos del diseño y el seguimiento de los objetivos trazados. En virtud de esto, se
pudo hacer un análisis del alcance parcial o total de los propósitos de cada nivel de la
trayectoria. Añadido a esto, se decidió nombrar procesos a los elementos de valoración
del balance de resultados grupales post aplicación, dado que, van más con el estilo
metodológico del diseño que se implementó.
Los procesos que se postularon fueron los siguientes: (1) la comparación de las figuras
geométricas, (2) la clasificación de los componentes de las figuras, (3) la descomposición
/ reconfiguración de las representaciones bidimensionales, (4) la coordinación de las
explicaciones ligadas al registro figural, es decir, el uso de los registros semióticos de
representación figural y de lengua natural. Teniendo en cuenta las características de estos
procesos, se consideró la transversalidad de ellos, dado que, independientemente de la
tarea que desarrollaron los estudiantes, estos debían ejecutar cualquiera de esas
operaciones o combinación de estas, acompañada de las actividades cognitivas inherentes
a la geometría, en especial la de la visualización.
En la tabla 5-6 se muestran las ponderaciones de los diferentes niveles, con los cuales
se evaluó el desempeño de 30 estudiantes, los mismos que participaron en el ejercicio.
Conviene subrayar, que la tabla consta de cuatro procesos, y tres niveles de calificación.
Así mismo, estos últimos, tienen la misión de valorar los desempeños teniendo en cuenta
los siguientes criterios: (1): nivel que se refiere al caso en el que no se superó una media
de 14/30. Por ejemplo, alcanzaron las metas propuestas en los grupos de tareas de
visualización: 14, o 13, o 12, u 11… alumnos, de un grupo de 30, (2): nivel que indica que
el número de estudiantes en alcanzar los logros, estuvo contenido en un rango de 15/30 a
24/30, es decir: 15, o 16, o 17, o 18… (3) nivel que indica que se alcanzaron
satisfactoriamente las expectativas, con una razón de 25/30 o más estudiantes, es decir,
25 o 26, o 27 o 28…. Véase a continuación:
Capítulo 5 145
Tabla 5-1. Ejemplo de tabla de balance de los procesos evaluados en los estudiantes para
un nivel de aprendizaje.
Procesos
Comparación Clasificación y
reconocimiento
Descomposición y/o
Reconfiguración
Coordinación de RF y RLN
Nivel de
Aprendizaje 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
N.º T1 x x x
T2 x x x x
Fuente: Elaboración propia.
Es preciso señalar, que, en la fila de los niveles de aprendizaje, se hace referencia al
grupo de tareas a las que se les hizo un análisis. De la misma manera, se complementa la
información, a través de dos subfilas, en la que se emplea la nomenclatura T1, T2, la cual
indica la cantidad de tareas que acompañaron dicho nivel, y que fueron presentadas en el
capítulo 4. Una vez ejemplificada la manera en que se implementó este recurso, se
procede a presentar el respectivo análisis a posteriori.
5.2 Presentación general de los resultados del grupo de tareas que conforman el primer nivel de aprendizaje
Cuando se diseñó el grupo de tareas que conformaban este nivel de entrada de la THA,
se esperaba que los estudiantes fueran adquiriendo elementos que les permitiera ir
desarrollando los procesos de visualización, a medida que se enfrentaban a cada una de
las tareas. En virtud de esto, en cada tarea, se les exigía una evidencia de los
procedimientos que llevaban a cabo, empezando por el registro figural, y complementado
por el registro de lengua natural, de tal manera, que ellos poco a poco, pudieran ir
elaborando sus propias descripciones y explicaciones de lo que visualizaban. Por ejemplo:
a) referenciar una figura; b) distinguirla de otra mediante la designación; c) expresar las
ideas que surjan, a partir del análisis de la comparación de las figuras; d) hacer uso del
pensamiento geométrico, para hallar el área de una figura plana por medio de tratamientos
visuales.
Con el propósito de generar un ambiente académico de las mejores condiciones
posibles, todos los estudiantes se presentaron a las pruebas con su respectivo kit de
146 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
geometría, vale decir, escuadras de 30 y 45 grados, regla, compás, lápiz y borrador.
Conviene enfatizar, que cada una de las pruebas tuvo una duración de 100 minutos, tiempo
en el cual el estudiante debió desempeñarse individualmente, disponiendo de un espacio
prudencial para resolver cada tarea. Adicionalmente, se les autorizó a hacer uso de la
rutina de levantar la mano, en caso de presentarse alguna duda y requerir alguna medición
para comprender mejor las tareas. En la tabla 5-2, se presenta un balance de los resultados
que obtuvieron los aprendices, terminada la aplicación del primer grupo de tareas.
Tabla 5-2. Valoración de los resultados, posterior a la aplicación.
Procesos
Comparación Clasificación y
reconocimiento
Descomposición y/o
Reconfiguración
Coordinación de RF y RLN
Nivel De
Aprendizaje 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
I
T1 x x x x
T2 x x x
T3 x x x x
T4 x x x x
Fuente: Elaboración propia.
Al hacer una lectura de la tabla 5-2, se puede apreciar, que los desempeños de los
alumnos en el conjunto de tareas de primer nivel arrojaron un balance positivo. Del mismo
modo, en los casos en los que se presentaron dificultades, estas se consideraron para
formar una base para que el docente-investigador replanteará su mediación desde una
perspectiva diferente. En otras palabras, se generó un escenario en el que se observaron
características propias de cada alumno, en concordancia con el postulado de (León et al.,
2014): “los procesos de aprendizaje de cada estudiante varían por aspectos de tipo
histórico, académico, contexto social, y contexto familiar” (p.28). A partir de aquí, se pudo
inferir, que el estudiante está en capacidad de afrontar situaciones que no habían hecho
parte de su proceso formativo con anterioridad, además que se convirtieron en elementos
estructurantes de su pensamiento geométrico, estimulando las actividades cognitivas
establecidas por Duval.
En cuanto a los resultados de los procesos asociados a cada tarea, se observó lo
siguiente: a) para la tarea T1, los educandos lograron hacer uso de la designación dejando
ver las subfiguras que encontraron en una configuración geométrica dada; b) se mantuvo
Capítulo 5 147
un nivel medio en los tres primeros procesos con una razón de 21/30 estudiantes, y solo
en el último proceso bajó a una razón de 11/30. Así mismo, en la figura 5-1, el estudiante
registró un total de 12 figuras, ejercicio en el que no inició visualizando el contorno global
de la figura 5-1, además de no haber tenido dificultad en realizar la designación para
referenciar al círculo. Lo cual es una muestra que las hipótesis planteadas en el análisis a
priori en la presentación de los diseños de las tareas no se cumplieron para varios casos
entre ellos este que se trae a ilustración.
Figura 5-1. Evidencia 1 de solución de la T1-Nv1.
En la figura 5-2, se aprecia otra producción, en la que sí se cumple la hipótesis de
registrar como primera figura plana dentro de la tabla de registro, el contorno global como
triángulo ABC y casos como este fueron los más frecuentes.
Figura 5-2. Evidencia 2 de solución de la T1-Nv1.
148 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Otro rasgo que se pudo observar es que, una vez se inició la designación de las figuras
que se identificaron, no se presentaron casos en los que un estudiante a la hora de realizar
el registro de las figuras visualizadas dejase en blanco el espacio para enlistarlas. Aunque
es preciso señalar, que solo en unos pocos casos, se dejó pasar por alto la designación
del círculo o al menos registrarla en la tabla, es decir, se dejó pasar por alto el ítem b, de
la consigna.
Para la tarea T2 se logró con relativa desenvoltura clasificar los polígonos como
regulares e irregulares, con el argumento visual indicado, además de hacer uso de la
designación de los vértices que componían las figuras en cuestión. De la misma manera,
el nivel alcanzado en promedio por los dos primeros procesos que conciernen a la
clasificación y comparación; mostraron una razón de éxito satisfactoria de 25/30
estudiantes. Por el contrario, en el último, el cual está relacionado con la coordinación de
los registros semióticos figural y de lengua natural, bajó un poco a un rango medio de
22/30. Véanse las figuras 5-3 y 5-4 las cuales son los ejemplos representativos de la tarea
T2.
Figura 5-3. Evidencia 1 de las producciones de la T2-Nv1.
En la figura 5-4, se puede observar que el estudiante, realizó bien la designación de las
seis figuras y logró diferenciar las figuras regulares de las no regulares. Es preciso señalar,
que esta tarea tenía como trasfondo valorar la capacidad de los estudiantes para hacer
explicitas sus descripciones, teniendo como excusa a la propiedad de clasificar como
irregular o no la forma de una figura geométrica, utilizando expresiones como: “no
coinciden sus lados, sus lados son distintos o sus lados no son iguales”. En virtud de esto,
Capítulo 5 149
se puede inferir que la comprensión de ese criterio de regularidad se relaciona con la
noción de medida.
Por otro lado, en la figura 5-4, se observa que el estudiante realizó la designación y
clasificación de las figuras, pero no volvió a recurrir a ellas. De hecho, menciona que el
polígono de siete lados es un heptágono lo cual es correcto y deja en evidencia una
suficiente apropiación de los criterios para clasificar las figuras planas. Además, cuando
realiza las respectivas descripciones de las tres figuras discriminadas como irregulares,
cuando describe por qué estas tienen lados con diferente medida, es posible decir que,
desde la visualización que, sin necesidad de medir con una regla para asignar una medida
que efectivamente esa característica resalta al comparar los segmentos. Se resalta el
hecho que este caso fue el que menos se presentó en los estudiantes.
Figura 5-4. Evidencia 2 de las producciones de la T2-Nv1.
De la misma manera, ocho de los estudiantes recurrieron a este tipo de solución, lo que
permite inferir que al ser la designación de las figuras un proceso relativamente nuevo para
ellos es difícil que se realice su apropiación e implementación y requiere de más
acompañamiento por parte del profesor-investigador. En el caso de la tarea T3 alcanzó
una razón media de 25/30 de estudiantes, lo que permite ubicarla como la tarea en la que
mejor se desempeñaron los educandos. Tomando esto en consideración, se puede afirmar
que, a diferencia de las anteriores tareas, esta contaba con un ejemplo que guiaba el
proceso de resolución, es decir, hacía las veces de una modelación continua y ese
elemento de control visual fue potente, para guiar a los estudiantes en el camino de
diligenciar el llenado de las celdas de las respectivas tablas. Así mismo, al evaluar los
150 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
procesos, se evidencia que en lo que compete a comparación, clasificación y
descomposición, permanecieron en un nivel satisfactorio de 25/30 estudiantes, mientras
que el último bajó a 24/30. Ver sustento de algunas producciones de los estudiantes en la
figura 5-5 y 5-6:
Figura 5-5. Evidencia de una de las producciones representativas de los estudiantes de
la T3-Nv1.
De la figura 5-5, se puede mencionar 25 de 30 estudiantes resolvieron la tarea de esta
manera, y que la solución a la que llegó el estudiante responsable de la evidencia es la
misma que se presentó en los análisis a priori del capítulo anterior. Del mismo modo, se
puede afirmar, que faltó ejecutar la designación de los lados, y a las diagonales les faltó
trazar la línea indicativa de segmento, es decir, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Salvo ese detalle no se aprecia aluna
dificultad para la solución de cometido. Ahora bien, en la figura 5-6, el estudiante procedió
de manera distinta para el trazado de las diagonales del hexágono. Ciertamente, dichos
trazos son considerados en la presentación a priori como la solución alternativa, por lo
tanto, el estudiante en cuestión logró percibir un mayor número de diagonales en la figura,
lo cual es una muestra que el ejercicio de la visualización, permite desarrollar diferentes
alcances para cada sujeto.
Capítulo 5 151
Figura 5-6. Evidencia de una de las producciones representativas de los estudiantes de
la T3-Nv1.
De manera semejante, al hacer una minuciosa revisión de las producciones de los
estudiantes en la última tarea, se pudo concluir que algunos presentan dificultades en el
manejo de instrumentos de medida, dado que distorsionaban las unidades de referencia
dentro del contorno global, esto se debe a que no estaban familiarizados con su uso.
Por otro lado, aunque en muchos casos se logró dar respuesta a lo solicitado, los
procesos visuales muestran que en los alumnos no han construido procesos que les
permitan explicitar de manera habitual sus razonamientos por escrito. En la valoración de
los procesos, el promedio de aciertos en los tres primeros fue de 17/30 estudiantes y solo
11/30 lograron explicitar las soluciones como se propusieron en el capítulo pasado. A
continuación, se presenta algunas evidencias de las producciones representativas de la
tarea T4.
152 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 5-7. Evidencia 1 de solución de la T4-Nv1 ítem (a).
En la figura 5-7, el estudiante expresó una igualdad en la medida de los segmentos
𝐹𝐺̅̅ ̅̅ 𝑐𝑜𝑛 𝐻𝐸̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐻𝐺̅̅ ̅̅ 𝑐𝑜𝑛 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ lo cual, es una inferencia acertada gracias a que se puede
visualizar la representación del rectángulo EFGH. Cabe señalar que, para hacer esa
deducción, seguramente se apoyó en el fondo cuadriculado, además, hizo uso de su lógica
para sumar después las medidas y dar solución al ítem de la tarea. De la misma manera,
el estudiante que desarrolló la tarea de la figura 5-8, hizo más explícitos sus pensamientos,
a partir de la visualización que realizó en la figura lo que evidenció en una descripción más
detallada.
Figura 5-8. Evidencia 2 de solución de la T4-Nv1 ítem (a).
Capítulo 5 153
Para el ítem (b) de la tarea T4, (figura 5-9), el análisis permite afirmar los siguiente: 1)
no realizó ninguna clase de marcación visual o recubrimiento de la unidad de referencia
sobre la figura rectangular EFGH, y 2) mencionó que la unidad ABCD cabía o estaba
contenida 15 veces en el rectángulo dado. Véase la evidencia de lo mencionado se puede
ver en la figura 5-9.
Figura 5-9. Evidencia 1 de solución de la T4-Nv1 ítem (b).
Haciendo referencia a la figura 5-10, se puede afirmar que los estudiantes iniciaron el
ejercicio comparando el rectángulo EFGH con el del ítem (a), lo midieron con la regla, y le
hicieron unas “marcas visuales” a través de líneas punteadas, con el propósito de hacer el
conteo de las cuadrículas que se “asemejaban a la unidad de referencia”, tal y como se
muestra a continuación:
Figura 5-10. Evidencia 2 de solución de la T4-Nv1 ítem (b).
154 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
La figura 5-11, muestra un caso en el que la unidad de referencia utilizada es el triángulo
ABC.
Figura 5-11. Evidencia 1 de solución de la T4-Nv1 ítem (c).
La figura 5-12, muestra el mismo ítem “c” en el que se observa que el estudiante, logra
inferir la respuesta por asociación con el ejercicio anterior, demostró poca habilidad en el
manejo de la regla, con la consiguiente distorsión de la medida. Tomando esto en
consideración, se le dio la oportunidad de volver a intentar el ejercicio, esta vez, con ayuda
de la cuadrícula como elemento de contraste. Así que, esto implicó bajar el grado de
dificultad de la tarea. Cabe destacar, que el estudiante recurrió al conteo para mostrar que
efectivamente había 30 unidades de referencia contendías en el rectángulo EFGH.
Capítulo 5 155
Figura 5-12. Evidencia 2 de solución de la T4-Nv1 ítem (c).
5.2.1 Hallazgos de aspectos por mejorar del primer nivel de aprendizaje
En la primera tarea se detectaron algunos casos puntuales en el que se realizaba la
designación de los vértices de la figura geométrica, introduciendo elementos como: uso de
minúsculas, guiones, comas o puntos entre cada letra. Si bien, esto es una falencia de la
actividad cognitiva que se está estudiando, no desmerita el hecho que los estudiantes
lograron ver las figuras internas, como parte de la configuración geométrica de la tarea T1,
tal como se aprecia las figuras 5-13, 5-14 y 5-15.
Figura 5-13. Evidencia 1 de un uso inadecuado de las reglas de la designación.
156 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 5-14. Evidencia 2 de un uso inadecuado de las reglas de la designación.
Figura 5-15. Evidencia de un obstáculo en la designación del círculo.
Adicionalmente, dentro de las hipótesis surgidas a partir de los análisis a priori en la
presentación de los diseños, se pensó que el círculo que está presente dentro de la
configuración figural de la tarea T1, representaría un mayor esfuerzo cognitivo para los
estudiantes a la hora de realizar su designación. En ese sentido, algunos escribieron: “no
hay vértice”, lo cual revela la necesidad visual y lógica de los estudiantes de ver un vértice
o un punto. Además, se pudo inferir que algunos alumnos no sabían cómo designar el
círculo.
En la cuarta tarea se presentaron varios casos en que los estudiantes no conservaron
la medida de referencia para hacer el recubrimiento de un contorno rectangular EFGH. En
consideración de esto, se intuye que los estudiantes usualmente en sus clases de
Capítulo 5 157
geometría no usan instrumentos clásicos para medir, quizás solo lo hayan hecho en tareas
esporádicas, por lo que se tomó la decisión de volver a realizar la aplicación de la tarea
T4, pero con una instrucción guiada. Véanse ejemplos de la situación referenciada:
Figura 5-16. Evidencia 1 de la distorsión de la conservación de la unidad de medida.
Como puede observarse en la figura 5-16, el estudiante responsable de esta producción
no usó la regla para realizar el trazado de los segmentos. Del mismo modo, intentó dejar
unas marquillas en los lados del rectángulo EFGH, los cuales aparentemente le servían
para visualizar las cuadrículas. Sumado a esto, ignoró completamente la conservación de
la unidad de referencia y pasó por alto que los triángulos representados no son los mismos.
Para el caso de la figura 5-17, es muy notable la no conservación del triángulo ABC,
como unidad de medida referencial. Ahora bien, aunque el estudiante efectivamente
realiza el recubrimiento del rectángulo, una vez que se acerca al lado 𝐺𝐹̅̅ ̅̅ , a este, le queda
faltando una pequeña parte de la superficie por recubrir, y en ese caso el estudiante
interpreta que, como ya formó los 15 cuadrados ABCD, dentro de la superficie EFGH esa
pequeña área la puede ignorar porque el joven posiblemente al estar pensado en el ítem
anterior ya se pudo anticipar a que los cuadrado formados se pueden subdividir en 30
triángulos ABC y con eso es suficiente para responder correctamente el ítem (c) de la tarea.
Dejando de lado, el hecho de que esa pequeña superficie que no recubrió bien también
formaba parte del área.
158 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 5-17. Evidencia 2 de la distorsión de la conservación de la unidad de medida.
Es preciso subrayar, que se encontró un solo caso crítico en el desarrollo de esta tarea,
en el que no se logra realizar un recubrimiento total de la superficie del rectángulo EFGH.
Ciertamente, se infiere que el estudiante ha hecho un intento por trazar unas líneas que
sirvan de guía, para construir las cuadrículas necesarias con el propósito de cubrir toda la
longitud de los segmentos. Adicionalmente, aunque se le hubiera dado más tiempo para
trabajar, es evidente que no hubiera podido llegar a una respuesta correcta, lo cual se
corrobora visualmente.
Figura 5-18. Evidencia 3 de la distorsión de la conservación de la unidad de medida.
Se rescata de las producciones de las figuras 5-16, 5-17 y 5-18, la recursividad que
cada individuo en su momento implementó para hacer marcas visuales (líneas punteadas,
trazos continuos entre lados paralelos, numeración de unidades de medidas). De hecho,
esta capacidad les permitió a los estudiantes disminuir la dificultad del trazado del
recubrimiento y realizar más rápidamente el conteo de las unidades de referencia. Por lo
Capítulo 5 159
tanto, no se debe considerar como erróneas los casos en que ignoraron una parte del
contorno que no se logró recubrir. Cuando eso ocurrió, se les dio un nuevo rectángulo
EFGH con fondo cuadriculado para que comprobaran que las medidas realmente
calzaban. Como parte de la medición en estas tareas.
5.2.2 Reflexión de cierre del primer nivel de aprendizaje
Como una reflexión, al observar y analizar las diferentes dificultades y obstáculos en
cada tarea, se llegó a la conclusión que el docente debe ser muy cuidadoso en el uso de
su discurso, cuando enseña los objetos matemáticos y enuncia los tratamientos que se
deben realizar en un mismo registro. Así pues, debe asegurarse de involucrar a los
estudiantes cuando realiza una conversión (paso del registro figural RF al de lengua natural
RLN) pues, en muchas ocasiones los estudiantes dan por “obvio” que sus respuestas son
evidentes para el profesor.
También se debe considerar el hecho que, los errores en la designación de las figuras
geométricas planas pueden ser una posible mal interpretación de los estudiantes, o que,
no estaban acostumbrados a este tipo de actividad discursiva en las figuras. cuando el
profesor enunció las reglas, estas no fueron claras para ellos. Complementariamente, el
uso de instrumentos como la regla, se debió reforzarse antes de continuar con el siguiente
nivel, por lo que la introducción de un elemento de control visual como son las cuadrículas
será fundamental en el ejercicio subsiguientes. Cabe añadir, que en la última tarea de este
nivel se vio reflejado la afirmación que realizan investigadores como Brown, Carpenter,
Kouba, Lindquist, Plata y Swafford, (1988) citados por Marmolejo y González (2015b) “los
estudiantes tienen problemas para comprender el área como la suma de sus partes” (p.49).
Lo cual es un elemento clave para reflexionar sobre la conservación del área.
5.3 Presentación general de los resultados del grupo de tareas que conforman el segundo nivel de aprendizaje
La estructura del segundo nivel de aprendizaje concibe los procesos de la siguiente
manera: la comparación se refiere a que el estudiante deberá distinguir visualmente entre
el área y el perímetro en una misma figura. Así mismo, no deberá descuidar el uso de las
designaciones dirigidas a referenciar las figuras que se enuncian en sus explicaciones. En
cuanto al proceso de clasificación y/o comparación, estos se refieren a que deberán buscar
160 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
la manera de “armar” una configuración que se ajuste a un contorno figural dado, e ir
verificando el cumplimiento de las condiciones necesarias de determinada tarea.
Por otra parte, el proceso de descomposición o reconfiguración va sujeto a las
aprehensiones visuales, específicamente a las aprehensiones mereológicas y
posicionales. Es preciso señalar, que estas están registradas en la hoja de trabajo y
descritas por cada uno de los estudiantes. Como cierre de la tarea, se introduce un trazo
adicional en una figura plana elemental, con el propósito que el niño haga el ejercicio de
describir el proceso de descomposición de la figura inicial, y en ese nuevo escenario,
pueda visualizarla como dos áreas diferentes, con el correspondiente uso de las
designaciones que hará las veces de una función referencial cuando describa sus
procesos. En la tabla 5-3, se establece una cualificación media de la valoración de los
rendimientos en cada una de las tareas:
Tabla 5-3. Balance de los procesos evaluados en los estudiantes para el segundo nivel de
aprendizaje.
Procesos
Comparación Clasificación y
reconocimiento
Descomposición y/o
Reconfiguración
Coordinación de RF y RLN
Nivel de
Aprendizaje 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
II
T1 x x
T2 x x x x
T3 x x x x
T4 x x x x
Fuente: Elaboración propia.
De la tarea T1 se destaca que, si bien no se les solicitó una descripción en el registro
de lengua natural, dirigida a hacer un contraste de las interpretaciones de la visualización
de área y perímetro de una figura, la tarea dejó ver que los estudiantes en una razón de
28/30, la resolvieron sin problemas. En efecto, los procesos de comparación y de
reconocimiento alcanzaron un nivel satisfactorio para la mayoría del grupo. Una muestra
de ello se puede apreciar a continuación:
Capítulo 5 161
Figura 5-19. Evidencia de solución de la T1-Nv2.
En el caso de las dos tareas siguientes, el colectivo de estudiantes asumió este ejercicio
como un juego, el mismo que simultáneamente tenía visos de reto. En virtud de esto,
específicamente en el caso de la tarea T2, se logró dar con las soluciones en uno o dos
intentos, y solo un par de ellos no ejecutó el recubrimiento total de la superficie con el
molde. En cuanto a los tres primeros procesos, se alcanzó un nivel satisfactorio de 28/30
estudiantes, aunque las descripciones no fueron muy completas. Se pudo apreciar
finalmente, que la manera en que cada estudiante describió sus procesos marcó
tendencias. Por ejemplo, la figura 5-20:
Figura 5-20. Evidencia 1 de solución de la T2-Nv2.
En la producción referenciada en la figura 5-20, se muestra una lista de pasos
considerados por el estudiante, en el que se ha considerado el hecho que el molde debía
tener movimiento, dado que su posición original, no permitía recubrir la superficie. De
hecho, puede observarse que las demás descripciones, giran en torno a esa condición,
salvo la última, donde se explicita que la tarea debió construirse visualmente con moldes
162 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
de diferente color (unidades arbitrarias de medida de área), lo que es un indicador que
para algunas personas el juego de contrastes o uso de tonos distintos favorece la
visualización.
Contrariamente en el caso de la figura 5-21, no fue necesario asignar colores al molde,
y a diferencia de la evidencia anterior, se logró dar respuesta a la tarea con un tratamiento.
Figura 5-21. Evidencia 2 de solución de la T2-Nv2.
Para el caso que se muestra en la figura 5-22, el estudiante consignó hallar (la cantidad
de unidades arbitrarias de medida del área) que tuvo que emplear para rellenar por
completo el contorno dado. Cabe señalar que, aunque sus explicaciones no son muy
completas o claras, se pudo inferir que lo hizo a medida que realizaba la tarea.
Figura 5-22. Evidencia 3 de solución de la T2-Nv2.
Capítulo 5 163
Dentro de las particularidades de cada descripción, se aprecia que: a) los alumnos
asumen e interpretan que la posición original del molde necesariamente debe cambiarse
para dar cumplimiento al objetivo trazado, b) se valieron de una regla para replicar el molde
dentro del contorno, lo cual evidencia una mejoría respecto al ejercicio anterior de la tarea
T4-Nv1. Adicionalmente, usaron el color como un factor potenciador de la visibilidad. Del
mismo modo, lo aplicado en esa tarea, fue replicado en la tarea T3, es decir, se apoyaron
en los procesos visuales.
En las figuras 5-23, 5-24 y 5-25, se presentan tres tipos de soluciones, cada una con
una configuración de moldes distinta, lo que refleja diversas maneras de visualizar y de
construir configuraciones geométricas aplicadas a un mismo contorno, en este caso, el
cuadrado ABCD. Efectivamente, se evidencia el carácter individual que tiene la actividad
cognitiva de la visualización para cada sujeto, donde la diferencia fundamental radica en
las explicaciones o descripciones de los participantes.
Para el caso de la figura 5-23, se evidencia que el estudiante usó el artificio de ubicar
cada molde, conservando la numeración correspondiente. Adicionalmente, se observa que
empleó nueve de ellos y que la configuración del contorno correspondía a un área de 25
cuadrículas, de donde se infiere que este, leyó claramente la cantidad de cuadrículas que
constituía cada forma.
Figura 5-23. Evidencia de algunas de las soluciones de la T3-Nv2.
En la figura 5-24, se evidencia la capacidad de síntesis a la hora de describir los
procedimientos. Conviene señalar, que en este caso el estudiante, a partir de la
164 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
designación de los lados del cuadrado, alcanzó el recubrimiento de los moldes empleados
para solucionar la tarea en la que se empleaban unidades arbitrarias de medida de área.
Figura 5-24. Evidencia de algunas de las soluciones de la T3-Nv2.
De igual manera en la figura 5-25, se aprecia que el estudiante además de realizar bien
los tratamientos figurales describió las acciones haciendo uso correcto del registro de
lengua natural. Adicionalmente, se percibe que a medida que este recubría el contorno
ABCD con los diferentes moldes (unidades arbitrarias de medida de área), cuando fue
necesario, realizó ajustes.
Figura 5-25. Evidencias de algunas de las soluciones de la T3-Nv2.
Al analizar la tarea de cierre del segundo nivel de aprendizaje, se esperaba que en la
tarea T4 los estudiantes hicieran el trazado del segmento al que era necesario acudir, para
dar solución a la descomposición figural. Si bien, 24/30 de ellos, realizaron bien la
Capítulo 5 165
designación de los vértices, usando el citado trazo suplementario, en las descripciones
omitieron las designaciones de los puntos necesarios para referenciar las nuevas formas
configuradas, a pesar de que, tenían la posibilidad de apoyarse en el elemento de
dimensión cero que fue incluido intencionalmente. Así mismo, en la figura 5-26, el aprendiz
realizó efectivamente los trazos de los segmentos, apoyándose en la inclusión de puntos
que el después libremente designó, con el propósito de explicitar las subfiguras que se
conformaban según fuera el caso.
Figura 5-26. Evidencia de muestra de una de las soluciones de la T4-Nv2.
166 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
5.3.1 Hallazgos de aspectos por mejorar del segundo nivel de aprendizaje
En la tarea T1 después de la aplicación, se hallaron un par de producciones como se
aprecia en la figura 5-27, el estudiante colorea de amarillo lo que considera que es el área
del triángulo ABC, y además manifiesta: “esta es la cantidad de la figura”. En ese sentido,
quizás haya sido una idea que quedó incompleta o que, en sus imágenes mentales, asocia
la superficie que se encuentra encerrada con la noción de área. Paralelamente, expresa
que el perímetro viene siendo “toda la figura y su borde”, por lo tanto, da a entender, que
el perímetro contiene al área, desde lo visual. Puede ser que en el nivel pasado la distinción
entre la medida lineal y bidimensional no quedó muy clara para el estudiante.
Figura 5-27. Evidencia 1 de casos con variantes en la T1-Nv2.
En cambio, en la figura 5-28, el segundo estudiante alteró la designación en que estaba
referenciado el triángulo ABC a CBA. Cabe señalar, que a los estudiantes se les explicó
que no debían cambiar las referencias iniciales con que se designan los objetos así sean
únicos, en aras a que no se pierda la congruencia de la consigna con la conversión
realizada por el interpretante. Véase lo explicitado a continuación:
Figura 5-28. Evidencia 2 de casos con variantes en la T1-Nv2.
Los hallazgos detectados para la tarea T2, se pudo observar dos situaciones en la que
los estudiantes recurrieron a unas “marcas visuales” que caben dentro de la denominación
Capítulo 5 167
de índices según los elementos de control visual. Por un lado, la primera evidencia es un
equivalente de los moldes que se usan para ir recubriendo el contorno.
Figura 5-29. Evidencia 1 de los casos con variantes en la T2-Nv2.
Por otro lado, en la figura 5-30, las flechas se pueden interpretar como las rotaciones
que tuvo el molde. En particular, se nota en este segundo caso que, quedaron unos
espacios que no empatan, porque no fue totalmente recubierta la superficie de la figura.
En ese caso no se logró dar con el acoplamiento.
Figura 5-30. Evidencias de casos con variantes en la T2-Nv2.
Curiosamente en ambos casos, no se menciona la cantidad de moldes que emplearon
los aprendices para el recubrimiento de las figuras. En ese sentido, se puede interpretar,
que los chicos sabían que más que dar con la respuesta, era más significativo realizar la
tarea y explicarle al profesor lo hecho.
168 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Otro rasgo encontrado en las producciones de esta tarea (figura 5-131), es que el
estudiante toma el molde, lo referencia como “molde más pequeño” y esa información la
asimila como válida, en vez de intentar la designación de los vértices de este. Así mismo,
concluye que el molde está compuesto por tres cuadrados que, si bien no los marca, esto
le permite resolver la tarea como se puede apreciar:
Figura 5-31. Evidencia de un caso de casos con variantes en la T2-Nv2.
Para la tercera tarea presentada en la figura 5-132, es preciso mencionar, que el
estudiante no logró dar con un acomodamiento de los moldes que le permitiera rellenar
completamente el cuadrado ABCD, por más que empleó los colores como factor de
visibilidad. Sin embargo, fue consciente de ello y lo expreso en el espacio de registro, lo
que indica que puede darse el caso que la visualización en el grupo de estudiantes viene
desarrollándose de manera cuasi homogénea, solo que algunos de ellos, requieren de más
tiempo en el desarrollo de tareas específicas. Ver figura 5-32:
Figura 5-32. Evidencia en que falto una cuadrícula para recubrir la superficie en la T3-Nv2.
Capítulo 5 169
Para cerrar el nivel, se presenta una situación como la evidenciada en la figura 5-33,
donde el estudiante realiza una descripción muy pulida y cercana a lo pretendido en las
soluciones a priori, pero con la salvedad, que no hace una referencia de la figura de partida,
a pesar de haber hecho la correspondiente designación.
Figura 5-33. Evidencia donde faltó una cuadrícula para recubrir la superficie en la T4-Nv2.
También se destaca la manera en que se hace referencia a lados y vértices. Se
evidencia entonces, que el estudiante está empezando a apropiarse de elementos propios
del lenguaje disciplinar. En ese sentido, se puede inferir que se debe a que este ha estado
atendiendo la manera en que el profesor da las explicaciones a partir de un apropiado
lenguaje matemático. Por consiguiente, se ha generado una coordinación visual y cognitiva
de la escritura de esos elementos semióticos.
170 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
5.3.2 Reflexión de cierre del segundo nivel de aprendizaje
Como resultado de la segunda implementación, en este grupo de tareas las
producciones de los estudiantes permiten afirmar, que alcanzaron a desarrollar elementos
de dominio relevantes. De hecho, se han comenzado a movilizar elementos de
visualización matemática, específicamente en el afianzamiento de una aprehensión
perceptual, a través de una forma de ver no icónica. Esto se debe a que el aprendiz ha
logrado visualizar la solución de unas tareas que requieren una descomposición
mereológica homogénea y otras de tipo heterogéneo, las cuales han desarrollado con
éxito. Adicionalmente, se evidencia que ellos lograron realizar rotaciones y traslaciones de
forma que debían empatar en un contorno determinado y en ciertos casos con condiciones
prestablecidas. Todo lo anterior coincide con lo manifestado en la investigación de
Caviedes et al. (2019), de igual modo se aprecia que las tareas trabajadas invitan a la
reflexión de la comprensión de la conservación de la medida del área como un paso
preliminar pero obligado de la medida de esta, tal y lo como expresan Mather y Beattys
(1986) citador por Marmolejo y González (2015b).
También lograron dar un primer paso hacia la descomposición de figuras de igual
dimensión. En ese sentido, al realizar el trazo de un segmento cuya ubicación debían
inferir, y luego designar las nuevas configuraciones surgidas, se logra componer la figura
identificada inicialmente. En efecto, el paso de visualizar trazos independientes, se le
considera como un salto para posibilitar la resolución de problemas que requieran
establecer relación con propiedades geométricas.
Otro punto por considerar es que aún persisten dificultades para designar los objetos y
descubrir las relaciones existentes entre ellos. En este aspecto es posible afirmar que, han
mejorado mucho en cuestiones de la designación de las figuras geométricas y ha quedado
claro al menos visualmente, el significado del área y del perímetro en una figura
geométrica. Sin embargo, tales descripciones muestran que los estudiantes organizan
cortas proposiciones, pero que tales explicaciones aún no llenan la necesidad de
argumentar o razonar para justificar dichas acciones.
Capítulo 5 171
5.4 Presentación general de los resultados del grupo de tareas que conforman el tercer nivel de aprendizaje
Para este nivel de aprendizaje las tareas diseñadas giran en torno al trabajo con área
de figuras sombreadas. En este nuevo escenario, los procesos se asocian a esta temática
de la siguiente manera: por un lado, en la comparación se hace el hallazgo de la relación
parte-todo, o según sea el caso, se contrastan regiones sombreadas, para descubrir cuál
es mayor. Por otro lado, el proceso de reconocimiento está ligado con el de
descomposición / reconfiguración, porque, los estudiantes deben realizar algún trazo
auxiliar o señalamiento, para hallar el área de unas figuras a las que se les deben realizar
modificaciones, en aras a que alcancen la igualdad con la figura modelo. Agregado a esto,
se debe relacionar una región sombreada con otra que no lo es, y hallar su equivalencia
numérica.
Del mismo modo, el proceso de coordinación está asociado con el manejo de los
registros figural y de lenguaje natural, los mismos que los estudiantes han usado cuando
planteaban sus explicaciones y/o procedimientos. En la tabla 5-4, se muestra una síntesis
de la valoración de los resultados en cada una de las tareas.
Tabla 5-4. Balance de los procesos evaluados en los estudiantes para el tercer nivel de
aprendizaje.
Procesos
Comparación Clasificación y
reconocimiento
Descomposición y/o
Reconfiguración
Coordinación de RF y RLN
Nivel de
Aprendizaje 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
III
T1 x x x x
T2 x x x x
T3 x x x x
T4 x x x x
T5 x x x x
Fuente: Elaboración propia.
La tarea T1 abre el tercer nivel de aprendizaje, en un intento de articular esta, con la
tarea de cierre del nivel anterior. Conviene mencionar que, en esta tarea, se les solicitó a
los estudiantes que hicieran uso de los elementos trabajados como la designación y la
realización de trazos suplementarios, para determinar el área sombreada que comprende
172 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
cada caso. Los procesos de comparación, reconocimiento y reconfiguración quedaron
ubicados en un nivel medio, con una razón de 15/30 estudiantes, mientras que el proceso
de coordinación se mantuvo por debajo en una razón de 9/20.
La muestra más representativa de la tarea T1 se decidió analizar en cuatro partes. Dada
la complejidad de la tarea, se analizaron algunos aspectos interesantes. Por ejemplo, en
la figura 115 se aprecia que, en la primera silueta, el estudiante recurre a realizar el trazo
de dos rectas, las cuales nombra en su descripción, las mismas que se intersecan en el
punto C. Merced a esto, la solución a priori esperada, coincide con la del estudiante, razón
por la cual, él da por sentado, que con esos elementos se puede ver que el área sombreada
es equivalente a 1
2,.
Ahora bien, en el caso de la segunda figura, el estudiante mencionó que denotó los
vértices del cuadrado MONT, afirmando que está divido en cuatro partes y dos de ellas
están sombreadas, lo cual es correcto. Así pues, cuando ponemos en contraste ambas
soluciones, en una se recurrió a elementos extras para mostrar lo que el aprendiz
visualizaba, mientras que, en el segundo caso bastó con la designación para dar con el
área sombreada. Es preciso señalar que se hizo con la expresión fraccionaria 2
4, la cual es
equivalente a 1
2,. Véase sustento a continuación:
Figura 5-34. Evidencia (1A) representativa del trabajo con áreas sombreadas desde una
relación parte-todo en la T1-Nv3.
Capítulo 5 173
La tarea T1 continúa con un paralelogramo. El estudiante en cuestión, al igual que otros,
designaron la figura para después proceder con el seccionamiento de ella. Cabe señalar
que esta quedó dividida en seis fracciones, partiendo del triángulo sombreado NST. Con
respecto a este, si bien se logra visualizar y referenciar, el estudiante no lo hace en su
descripción, aunque su razonamiento desde la visualización es correcto, tal como se
aprecia en la figura 5-35.
Figura 5-35. Evidencia (1B) representativa del trabajo con áreas sombreadas desde una
relación parte-todo en la T1-Nv3.
Con respecto a lo descrito en esta figura, la solución que presentó el estudiante para la
silueta DERL, consistió en realizar tres trazos auxiliares acompañados de su designación,
procedimiento que condujo a dificultades para encontrar la verdadera equivalencia de la
región sombreada. Se le abona que, en su breve descripción, designa los triángulos
sombreados y los referencia, llegando a un razonamiento que es acertado, cuando deduce
que la figura DERL se divide en 8 partes.
Como consecuencia de la descripción anterior, se desprende el razonamiento en la
figura geométrica que acompaña la figura 5-36, se puede ver con claridad que el estudiante
realiza muy bien los trazos auxiliares para subdividir el contorno de la figura en doce partes.
Tomando esto en consideración, se observa que surgen problemas cuando este se
enfrenta a la reconfiguración de la figura JBZI debido a que esta, es equivalente a dos
174 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
cuadrículas y junto con los triángulos que logró designar, formarían una razón de 4
12 y no
de 3
12.
Figura 5-36. Evidencia (1C) representativa del trabajo con áreas sombreadas desde una
relación parte-todo en la T1-Nv3.
Por último, tenemos que, en la sexta figura de la tarea T1, el estudiante hace efectivo
el trazado de las rectas que dividen al triángulo que se designó como NER. Seguidamente,
hace un conteo de los diferentes subtriángulos que configuran el contorno global y un cierre
de la descripción, diciendo que el triángulo sombreado KET efectivamente representa una
fracción de dieciséis.
Figura 5-37. Evidencia (1D) representativa del trabajo con áreas sombreadas desde una
relación parte-todo en la T1-Nv3.
Para la tarea T2 se plantearon tres situaciones en las que, debían realizarse una serie
de tratamientos figurales para reorganizar las siluetas. En esa dirección, la búsqueda
consistió en comparar las áreas sombreadas equivalentes. Los procesos visuales de
comparación y reconfiguración obtuvieron una razón de 17/30 estudiantes y fue la tarea
que causó mayor dificultad para coordinar las descripciones, llegando solo a 13/30 con los
pasos válidos. Una muestra de ello se aprecia en las figuras 5-38 y 5-39 que fueron las
soluciones más frecuentes de esta tarea.
Capítulo 5 175
Figura 5-38. Evidencia 1 representativa de la T2-Nv3.
En la anterior ilustración se pudo observar, que el estudiante recurrió al uso de flechas
indicativas de los movimientos que iba realizando paulatinamente, con el propósito de
acomodar las partes. Así mismo, en las tres situaciones, se puede inferir que analizó que
fracción o parte de la unidad de referencia, era el contorno del cuadrado ABCD.
Efectivamente llegó a la respuesta esperada, pero el único indicio que se encontró en sus
registros fue la designación de la región sombreada que configuró. Sin embargo, no hay
evidencia que realizara una descripción como tal, de los procedimientos visualizados. En
la figura 120, este estudiante siguió con el mismo patrón de resolución, y, además dejó
evidencia visual de la utilización de unas fechas para indicar los movimientos de rotación
o traslación, en aras de aglutinar las regiones sombreadas. Tal producción es interesante,
debido a que, la representación en el registro figural es muy clara, a pesar de no ir
acompañada de un texto que complementara o describiera sus procedimientos.
Figura 5-39. Evidencia 2 representativa de la T2-Nv3.
176 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Conviene señalar, que el estudiante llega con facilidad a la conclusión esperada, la cual
es que cada región sombreada es equivalente a 1
2 del cuadrado ABCD, si se tiene en
cuenta que, elementos visuales de apoyo como flechas y trazos auxiliares, comienzan a
hacer parte de los recursos que apoyan la visualización de los estudiantes.
Ahora bien, en la tarea T3 la tendencia se orientó al desarrollo visual, en base al registro
figural. En gracia de esto, muchos estudiantes, el 24/30, han optado por explicitar sus
procesos de esta manera, quizás porque se sientan más cómodos debido a que su
estructura cognitiva, permite que evolucione más rápidamente el trabajo con
representaciones figurales y no tanto desde la escritura. Agregado a esto, se evidencia
que, en la oralidad, han demostrado buena capacidad, lo que implica que con las
descripciones o explicaciones relativamente les va mejor.
Cuando se analizó la tarea que se aprecia en la figura 5-40, lo primero que se observó
fue que efectivamente, la hipótesis de solución que se había planteado para ella se
cumplió. Los estudiantes dejaron de lado el uso de las designaciones, y así mismo
buscaron alguna manera de explicitar su forma de ver y resolver la tarea. En esa dirección,
es posible afirmar que los estudiantes fueron capaces de deducir a que equivalía una
cuadrícula, en concordancia con la forma que la relacionaba con su fraccionamiento.
Figura 5-40. Evidencia 1 representativa de la T3-Nv3.
Capítulo 5 177
También se debe señalar que los puntos que se introdujeron sirvieron de guía (véanse
figuras 5-40 y 5-41) para que los estudiantes conjeturaran sobre ellos, pudieran a su vez,
descubrir su utilidad. En virtud de esto, se puede afirmar que los elementos de control
visual que se introducen intencionalmente pueden ser muy efectivos, para apoyar de forma
pasiva los procesos de diseño de tareas en geometría.
Figura 5-41. Evidencia 2 representativa de la T3-Nv3.
Haciendo un balance de la tarea T4, este se puede considerar positivo porque en efecto,
la solución encontrada fue alcanzada por la mayoría de los estudiantes (27/30). Así mismo,
en cuanto a los procesos de clasificar y configurar, se relacionaron con la representación
de media cuadrícula, cuyas dos mitades debían juntarse, para formar una sola, y
contabilizarse junto con las cuadrículas enteras. La razón de acierto fue de 24/30
estudiantes mientras que las descripciones rondaron la razón de 22/30.
En la figura 5-42, se nota que el estudiante, usó el registro semiótico de representación
numérico para contar las cuadrículas enteras y en total encontró 17. Del mismo modo,
paulatinamente fueron tomando las mitades, las cuales fueron “chuleando” como se
aprecia en la evidencia. Es conveniente aclarar que, cada par de ellas al juntarlas formaban
5 cuadrículas y al sumarlas, efectivamente contabilizaban un total de 22 U2.
178 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 5-42. Evidencia representativa de resolución de la T4-Nv3.
Haciendo una comparación de los resultados, es posible afirmar que esta última tarea,
fue la que menor dificultad representó para los educandos. De la misma manera, haciendo
referencia a la tarea T5, se pretendía con esta, poner sobre el tapete el registro figural,
terreno en el que los estudiantes se han vuelto fuertes. Como ya se afirmó, los resultados
de la evaluación de esta práctica muestran que en promedio se sostuvo una razón de
26/30, de los cuales resolvieron con éxito la tarea un total de 23/30, evidenciando avances
en el registro de lengua natural. Los ejemplos icónicos de esta tarea se presentan en las
figuras 5-43 y 5-44.
En la figura 5-43, se puede ver como este estudiante se acerca mucho a la solución
hipotética que se anticipó en los análisis a priori, de donde parte haciendo uso del registro
figural como una manera de contabilizar la cantidad de cuadrículas que compone las
regiones A y B, para después mostrar que son equivalentes. De igual modo hace uso del
producto de las unidades que componen la superficie de trabajo vertical y horizontal y
menciona que son 70 cuadrículas que en total se encuentran representadas y este le resta
las correspondientes 25 cuadrículas que componen la suma de las regiones A y B para
llegar a la respuesta.
Capítulo 5 179
Figura 5-43. Evidencia 1 representativa de resolución de la T5-Nv3.
La producción de la figura 5-44, tiene una ligera variante, que consiste en plantearse
como contabilizar cada cuadrícula en blanco guiándose con un punto. Merced a esto, es
necesario referenciar cuántas de ellas son enteras y cuántas son mitades. Posteriormente
se deben sumar para llegar al mismo resultado que en el anterior caso (figura 124). Al
comparar ambas soluciones, el anterior resultaría más potente, pero eso no quiere decir
que el presentado en la figura 5-44, no sea válido e incluso se muestra más organizado y
eso facilitó mucho su comprensión.
Figura 5-44. Evidencia 2 representativa de resolución de la T5-Nv3.
180 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
5.4.1 Hallazgos de aspectos por mejorar del tercer nivel de aprendizaje
Al entrar a evaluar este nivel dentro de la trayectoria hipotética, se evidenciaron ciertos
obstáculos para las dos primeras tareas, quizás por ser las más complejas en cuanto a la
coordinación de registros. En virtud de esto, es posible inferir que esta situación se debe a
que es necesaria la demanda de un cierto nivel de desarrollo de la aprehensión discursiva,
aspecto que hasta el momento no se ha ahondado mucho en las tareas pasadas.
Por ejemplo, en la tarea T1 no hubo ningún estudiante que lograra dar con todas las
fracciones de área sombreada. En efecto, siempre se presentó dificultad ya fuera en el
caso de la figura cuatro o cinco de la tarea T1, o en la figura 5-45, donde el estudiante
confundió la relación que hay entre las fracciones sombreadas que son cuatro, respecto a
la unidad de referencia que eran las ocho partes. En el resto de la tarea, efectivamente
emplea las designaciones y además consigna las subpartes que fueron visualizadas en la
configuración.
Figura 5-45. Evidencia de aspectos puntuales por atender de la T1-Nv3.
Puede ser que los estudiantes arrastren dificultades desde el pensamiento numérico
cuando necesita realizarse una conversión, si tenemos en cuenta que esta es la primera
tarea que demanda uso de expresiones numéricas fraccionarias de los racionales menores
Capítulo 5 181
que la unidad. Así pues, la conjetura que plantea el docente-investigador en este caso, es
que se debe hacer un esfuerzo para enfrentar esta clase de contenidos y, de esta manera
se disminuye el problema de interpretación de la tarea.
Para el caso de la tarea T2, es necesario mencionar que fue la que causó mayor
dificultad para los estudiantes. Ciertamente se reconoce, que esta tarea, era la más
compleja de reorganizar y en el caso de cinco estudiantes, se dejó en blanco ese apartado
y solo diligenciaron las anteriores tal y como se aprecia en la figura 5-46.
Figura 5-46. Evidencia de aspectos puntuales por atender de la T2-Nv3.
Con el propósito de no dejar esos casos a la deriva, se procedió a mostrar la situación
en el tablero, con la esperanza que alguno de los estudiantes visualizara la configuración.
Ciertamente, uno de ellos, la visualizó y explicó a sus compañeros el procedimiento. Cabe
aclarar, que el docente de aula guiaba la descripción de las explicaciones, mediante la
designación de las regiones sombreadas para que todos siguieran la secuencia que al final
representaría un medio de la unidad. También cabe mencionar que, en las restantes
tareas, los estudiantes omitieron poner las unidades de área determinadas. Véase figura
5-47.
182 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 5-47. Evidencia de uno de los casos en que faltó colocar las unidades de áreas
T5-Nv3.
Finalmente, este aspecto se socializó con el grupo, debido a que fue uno de los
obstáculos identificados por Corberán (1996), y suele ser típico cuando se trabaja con el
contenido de áreas de figuras planas.
5.4.2 Reflexión de cierre del tercer nivel de aprendizaje
Al analizar las producciones de este nivel de aprendizaje, se puede afirmar que la
mayoría de los estudiantes ya han logrado superar la aprehensión perceptiva, que antes
les restringía la identificación de figuras de determinados contornos. Conviene recalcar,
que se evidenció la recurrencia de comparaciones en las que hay visualización
descentrada del contorno global, con el consiguiente reconocimiento defectuoso de partes
y propiedades de las figuras.
En el mismo sentido, sobre las modificaciones de las formas de visualizar las figuras
cuando se trabaja con áreas sombreadas, se encontró en los trabajos, indicios de una
génesis de la aprehensión operatoria y la deconstrucción dimensional. De la misma
manera, aparecen trazos sobre las figuras, los cuales dejan ver rectas o segmentos que
se pueden asociar a ficha figura y que podrán dar partida a otra configuración geométrica.
Capítulo 5 183
Conviene subrayar, que el uso del lenguaje ha tenido una evolución más lenta, dado
que persiste la no introducción de términos especializados, los cuales son reemplazados
por expresiones del uso común. Sin embargo, los estudiantes recurren a formas diversas
de realizar sus descripciones tal y como se apreció en las tres últimas tareas, donde el uso
del registro figural ayudó a conceptualizar sus procedimientos. En ese mismo orden de
ideas, es claro que los niveles de desarrollo de los procesos visuales cuando se logran
coordinar de manera efectiva con un lenguaje disciplinar puede dar muestras más fieles al
despliegue de procedimientos tal y como lo mostraron (D`Amore y Fandiño, 2007).
Otro aspecto que destacar es que los conceptos de compensación y de relación parte-
todo visto con las tareas de áreas se superficies sombreadas, así como las nociones de
reversibilidad y transitividad son fundamentales para el estudio del desarrollo de la
conservación del área, esto último lo corroboran Piaget et al., 1989 citado por Marmolejo y
González (2015b).
5.5 Presentación general de los resultados del grupo de tareas que conforman el cuarto nivel de aprendizaje
Las tareas en este nivel de aprendizaje hacen énfasis en la reconfiguración de figuras
geométricas, en las que se debe comparar si la figura de partida tiene o no igual área y
perímetro que la figura obtenida. De la misma manera, los otros procesos están incluidos
en los pasos intermedios, los cuales deben ser visualizados por los estudiantes cuando se
identifica una figura o se realiza un trazo auxiliar idóneo para descomponer en dos o más
partes una figura plana y transformarla en otra configuración geométrica de igual
dimensión. Teniendo presente las pautas que deben considerarse en el paso a paso de la
construcción geométrica, en la tabla 5-5, se consolidan los rangos por medio de los cuales,
los procesos fueron valorados.
184 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Tabla 5-5. Balance de los procesos evaluados en los estudiantes para el cuarto nivel de
aprendizaje.
Procesos
Comparación Clasificación y
reconocimiento
Descomposición y/o
Reconfiguración
Coordinación de RF y RLN
Nivel de
Aprendizaje 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
IV
T1 x x x x
T2 x x x x
T3 x x x x
T4 x x x x
Fuente: Elaboración propia.
En la tabla 5-5, se puede observar que se generó una tendencia a permanecer siempre
en los mismos rangos para los procesos de comparación, clasificación/reconocimiento en
una razón intermedia de 19/30 estudiantes. Así mismo, el de descomposición/
reconfiguración estuvo ligeramente más alto en 25/30. Lo anterior se debe a la naturaleza
descrita anteriormente de las tareas, donde el interés comenzó a centrarse en que los
educandos hicieran buen uso de la regla para sus construcciones geométricas, además de
la escritura, sin tanto uso de deícticos para aludir a enunciarlas figuras que producían.
La primera tarea en su consigna se presenta cuadrado ABCD, para que los estudiantes
con un solo trazo realicen la división de este y lo reconfiguren en un triángulo isósceles,
además de hacer algún comentario acerca de áreas y perímetros. Con ese planteamiento,
los elementos de control introducidos son en su mayoría pertenecientes a la categoría de
la visibilidad, si se tiene en cuenta que el citado cuadrado, cuenta con las designaciones
de sus vértices y sus lados, además de encerrar unas cuadrículas con un contraste menor.
Las soluciones más representativas se pueden ver en las figuras 5-48 y 5-49.
La solución planteada en la figura 5-48, muestra que el estudiante centra
exclusivamente su mirada en la búsqueda del trazo necesario para subdividir el cuadrado
ABCD, y después de eso, enumera los pasos que siguió para reconfigurarlo en un triángulo
isósceles. Cabe anotar, que, respecto al segundo requerimiento, el estudiante no
argumentó nada sobre áreas y perímetros. Es posible inferir que, aunque a simple vista el
área permanece constante, el estudiante pudo pensar que ocurría lo mismo con el
perímetro.
Capítulo 5 185
Figura 5-48. Evidencia 1 representativa de reconfiguración figural T1-Nv4.
Otro caso que se presentó con mucha recurrencia es el que se muestra en la figura 5-
49. En este caso, el estudiante realiza una reconfiguración a manera de despliegue
horizontal, en el que se opta por el trazo de la misma diagonal que se eligió en el caso de
la evidencia anterior, con el resultado que igualmente se llega a la reconfiguración.
Conviene resaltar que el área del cuadrado y la del triángulo isósceles son ambas de 9
unidades cuadradas, lo cual puede aseverarse como afirmación correcta porque las
cuadrículas puestas en el diseño son el sustento visual para hacerlo.
También vale la pena mencionar que este estudiante concluye, gracias a las
cuadrículas, que el perímetro del cuadrado es de 12cm. Cabe anotar que esto indica un
nivel interesante de razonamiento, el mismo que se aprecia cuando menciona que el
perímetro del triángulo isósceles es mayor que del cuadrado. En esa dirección, es posible
decir, que este estudiante tiene un nivel de percepción sobresaliente, si se compara la con
la solución típica de sus compañeros en la evidencia del caso anterior.
186 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 5-49. Evidencia 2 representativa de reconfiguración figural T1-Nv4.
Para el segundo cometido, se decidió darle seguimiento al mismo tipo de tarea, pero en
este caso se parte de un paralelogramo EFGH que con un solo trazo debe reconfigurarse
como un cuadrado, e igualmente, se debe aportar algún comentario, respecto a sus áreas
y perímetros. Los casos representativos que se citan en las figuras 5-50 y 5-51, fueron los
predominantes, por ejemplo, en la figura 5-50, el estudiante realiza una extensión de las
rectas que hace las veces de fondo cuadriculado, luego recurre a marquillas visuales para
contabilizar las cuadrículas que compone el paralelogramo EFGH, deduce que son 4
unidades cuadradas, para después hacer el despliegue descriptivo de los pasos que
visualizó.
Figura 5-50. Evidencia 1 representativa de reconfiguración figural T2-Nv4.
Capítulo 5 187
En cuanto a los pasos seis y siete, se registran dos conclusiones acertadas: a) se
menciona que el cuadrado configurado, posee las mismas cuatro unidades cuadradas de
área que el paralelogramo EFGH, b) de los perímetros concluye, que tiene mayor medida
el paralelogramo que el cuadrado debido a la contribución de la longitud que tenían los
segmentos 𝐸𝐻̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐺𝐹̅̅ ̅̅ . Por otro lado, en el caso de la figura 5-51, optan por descomponer
linealmente la figura de partida hasta dejar al lado derecho la figura a la que tienen que
llegar. Adicionalmente, las descripciones pueden apoyarse en este tipo de desarrollo y
muestra de ello, se da cuando el estudiante menciona que “traslada el triángulo EFH hacia
el triángulo HGF”, pero visualmente “la flecha” indica lo contrario, se entiende la idea que
despliega. También recurrió al uso del registro figural de manera icónica para mostrar que
los perímetros de ambas figuras geométricas eran los mismos, pero sin incluir las unidades
de medida.
Figura 5-51. Evidencia 2 representativa de reconfiguración figural T2-Nv4
Puede ser que visualmente ambos casos den muestra de elementos semióticos
valiosos, pero una coordinación que no esté al nivel del desarrollo del registro figural limita
o puede introducir obstáculos epistemológicos a las descripciones de los estudiantes. En
esa dirección, en la tarea T3 se tiene un caso que sobresale ante las otras producciones
del grupo. Cabe mencionar, que el estudiante en referencia, mostrado destacar en este
nivel de aprendizaje sobre sus compañeros, debido a que sus intervenciones han ido
evolucionando, cuando se socializaba la resolución de cada tarea. La evidencia se
presenta en a la figura 5-52:
188 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Figura 5-52. Evidencia representativa de reconfiguración figural sin elemento de
contraste T3-Nv4.
Ahora bien, la no inclusión del elemento de contraste, caso que sucedió en las dos
tareas últimas, no afecta la visualización del intérprete, cuando este se enfrenta a la
situación de reconfigurar el trapecio ABCD. De igual manera, cuando se sobredimensionan
los puntos de los vértices, para que sobre ellos puedan trazarse segmentos
perpendiculares con respecto a la base del trapecio, esto se presenta como muestra fiel
de la evolución del proceso de visualización.
El empleo de flechas que hacen las veces de índices, dentro de los elementos de control
visual, es recurrente, para los casos de reconfiguración de figuras de igual dimensión. En
virtud de esto, parece ser que intentar suplir dentro de las descripciones, la referencia de
las isometrías como la traslación, por ejemplo, no hace parte aún del léxico que ha de
formalizarse en los discursos de los estudiantes. También se logró un avance al comparar
las áreas de las figuras y deducir que son las mismas. Además, como en este caso no se
tuvo un elemento de contraste, como las cuadrículas, por ejemplo, esto impidió que se
diera una medida numérica de la misma.
Para concluir con este nivel de aprendizaje, tenemos la cuarta tarea T4 donde se
solicita, proceder poco a poco con la solución del cometido. De la misma manera, en
principio se pide que se designen los vértices de la figura poligonal, luego identifiquen las
Capítulo 5 189
subfiguras para después hallen el área de las subfiguras y su suma total. En la figura 5-53,
se tiene la solución representativa del estudiante que es más organizado del grupo.
Figura 5-53. Evidencia representativa de deconstrucción figural T4-Nv4.
Al proceder con los análisis de la producción antes evidenciada, se observa que el
estudiante realizó el trazo más económico de subdivisión del polígono BTSARMYZ. En la
misma dirección, la mayoría optó por esa solución, aunque hubo un caso de excepción, en
el que se realizó la misma división del polígono, visualizando cuatro partes, como se verá
más adelante con la figura 5-53. Es satisfactorio saber, que los estudiantes han aprendido
a elegir los caminos más cortos.
De la misma manera, se aprecia claridad en el desarrollo de toda la tarea, donde prima
la visualización no icónica y la mirada del inventor, ha logrado alcanzar un buen nivel.
Prueba de ello, se aprecia cuando el estudiante coordina de manera adecuada los registros
figurales, cartesiano y de lengua natural, recurriendo a una representación basada en
subfiguras deconstruidas visualmente, sin hacer uso de la designación. Es preciso
enfatizar, que quizás por practicidad y por no cargar visualmente las representaciones
figurales, el estudiante ha dejado el resto del procedimiento para que fuera internalizado,
y el operar, resultare más rutinario.
190 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
5.5.1 Hallazgos de aspectos por mejorar del cuarto nivel de aprendizaje
Existen algunos casos particulares que deben ser atendidos, antes de pasar al siguiente
nivel de aprendizaje. En relación con esto, se encontró que en la tarea T1 un estudiante
hizo uso de la regla como instrumento de apoyo para respaldar no solo su construcción
sino para establecer medidas en los segmentos y en los perímetros. Es preciso mencionar
que, esta manera de proceder la realizó tanto en las figuras de partida, como de llegada,
lo cual resultó contraproducente. Cabe decir, que la problemática de la medición puede
significar un obstáculo en los tratamientos figurales tal y como se puede ver en siguiente
figura.
Figura 5-54. Evidencia de caso por aspecto a mejorar en el uso de la medida T1-Nv4.
En la figura 5-54 se puede ver, que en el desarrollo de la reconfiguración del cuadrado
ABCD, el estudiante opta por medir con su instrumento las longitudes de los segmentos y
los designa. Ciertamente, aunque lo hace con letras minúsculas, hace buen uso de las
unidades y cifras que puede darle la regla. Hasta aquí, puede ser que solo midiera un solo
lado y por definición de cuadrado diera por hecha la igualdad de las longitudes. También
se valió de las cuadrículas para decir que el área es de 9 unidades cuadradas, lo cual es
correcto visualmente hablando, entrando en conflicto con las medidas que registró con su
regla.
Capítulo 5 191
Para terminar la reconfiguración, hizo uso de otro color de lapicero, con el propósito de
dejar una marca visual que ubica al triángulo isósceles, el mismo que, debe juntarse con
el que dejó estático y formar así, un nuevo triángulo isósceles. Con respecto a este último
triángulo, el estudiante afirma, que tiene 12 centímetros de perímetro, presentando
conflicto con las medidas que inicialmente tomó. Finalmente, al comparar tanto al cuadrado
inicial como el triángulo final, se afirma que este último tiene mayor perímetro.
Hay que mencionar también que, en el caso de la tarea T4 se encontraron cinco casos
en que los estudiantes designaron correctamente las representaciones geométricas, pero
cuando dividieron las regiones de las subfiguras que componían al polígono inicial, tuvieron
inconvenientes para extraer la información de las medidas de las bases o las alturas como
se muestra en la figura 5-55.
Figura 5-55. Evidencia de caso por aspecto a mejorar coordinar la visualización con
unidades de referenciaT4-Nv4.
Se aclara que cuando se hace mención del “triángulo 1” se afirma que su área es de 2
unidades cuadradas, lo cual es un dato incorrecto, porque su altura es de 2 unidades y su
base es de 1 unidad, por ende, su área es 1 unidad cuadrada. Así mismo, cuando se hace
referencia al rectángulo 4, se menciona que su área es de 4 unidades cuadradas, lo cual
es incorrecto porque realmente es de 8 unidades cuadradas. Es posible inferir que la falla
en la extracción de las medidas se deba a que este tipo de tareas en donde la función
informativa de las figuras está dada en un plano cartesiano, presenta dificultades, debido
192 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
a que requiere de mayor concentración y coordinación de registros semióticos de
representación (registro cartesiano, figural, lengua natural).
5.5.2 Reflexión de cierre del cuarto nivel de aprendizaje
Al cierre del cuarto nivel, se evidencia una evolución en el proceso de la visualización,
por parte de los estudiantes. Cabe anotar que esto es debido a que el estudiantado ha
empezado a afirmar una forma de ver no icónica, es decir, que el reconocimiento de las
subfiguras que son producto de trazos reorganizadores en las tareas ya no es suficiente
para realizar modificaciones mereológicas. En ese sentido, los estudiantes están
comenzando a consolidar la aprehensión de tipo operatorio, además de hacer uso de la
mirada del inventor en las tres primeras tareas, identificando con éxito la descomposición
figural.
Los resultados anteriores, han reforzado la hipótesis que es necesario hacer del
lenguaje, específicamente la lengua natural como objeto de enseñanza de las
matemáticas, un asunto de enseñanza no solo en la clase de geometría sino en general
para el área de matemáticas. En efecto, se debe pensar en actividades que permitan a los
estudiantes avanzar en la comprensión a través de operaciones discursivas. En virtud de
esto, pueden superar la etapa de primaria, en la que estaban acostumbrados a una
enseñanza donde primaba lo operatorio y no tanto los descriptivo e interpretativo de sus
producciones.
Otro aspecto central en los desempeños de los estudiantes al dar cierre con la última
tarea se pudo apreciar, desde el análisis de los resultados que los estudiantes logran dar
el paso dimensional. Conviene destacar, que los estudiantes pasan de ver las figuras de
dos dimensiones como unidades figurales, a ver las unidades de menor dimensión que las
conforman. Con esto se quiere decir, que para la mayoría de ellos ya es claro que esos
trazos de menor dimensión constituyen figuras de dimensión superior. Es por eso, que el
uso de la designación y la consigna de los procedimientos se espera que sea más fluida
para adentrarlos al último nivel diseñado de aprendizaje.
Todo lo anterior, es una muestra que pone de manifiesto que la orientación que está
teniendo este trabajo ha hecho que los estudiantes no evidencien serias dificultades para
Capítulo 5 193
aceptar que dos figuras puedan tener la misma área a pesar de tener formas distintas tal
y lo sí lo manifiesta en su investigación Popoca y Acuña (2001) citados por Marmolejo y
González (2015b).
5.6 Presentación general del grupo de tareas que conforman el quinto nivel de aprendizaje
El quinto y último nivel de la trayectoria hipotética de aprendizaje, se espera dar cierre
a este trabajo mediante la introducción de tres tareas que combinan y/o recopilan la mayor
parte de los elementos que estuvieron en relación con los niveles de aprendizaje. Cabe
señalar, que estos son: la designación de las representaciones figurales, la inclusión de
trazos auxiliares suplementarios para descomponer las figuras, la inclusión del registro de
lengua natural en la que se referenciaban los pasos visualizados, entre otras cuestiones.
Así mismo, los procesos que constantemente se pusieron a prueba para ser desarrollados,
se esperaba que se mantuvieran en un rango de desempeño bueno o satisfactorio tal y
como se aprecia en la tabla 5-6.
Tabla 5-6. Balance de los procesos evaluados en los estudiantes para el quinto nivel de
aprendizaje.
Procesos
Comparación Clasificación y
reconocimiento
Descomposición y/o
Reconfiguración
Coordinación de RF y RLN
Nivel de
Aprendizaje 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
V
T1 x x x x
T2 x x x x
T3 x x x x
Fuente: Elaboración propia.
Al respecto, se puede afirmar, que los estudiantes cumplieron con las expectativas de
desempeño que se estructuraron al final del capítulo tres. De hecho, se llevaron a cabo
tratamientos en los que ellos configuraban o reconfiguraban una figura dada desde el
registro bidimensional. Merced a esto, se pudo extractar información pertinente, para
articular los registros figurales con el registro numérico, cuando era necesario incluir
medidas de las longitudes de los segmentos y poder así, deducir las longitudes
unidimensionales que se concebían como un paso intermedio para determinar el área de
194 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
una figura plana. Ahora bien, cuando se habla de procesos transversales, como, por
ejemplo: comparación, reconocimiento, reconfiguración y coordinación, para introducir las
explicaciones de un registro a otro, en la tarea T1 siempre se sostuvo en un nivel intermedio
la valoración de los resultados, con una razón de 23/30 estudiantes.
En la evidencia que se muestra en la figura 5-56, se solicitó determinar el área de la
primera figura, además de realizar tratamientos figurales que permitieran llevar a cabo las
transformaciones figurales que fueran congruentes con la forma de la figura uno, la cual
hace las veces de muestra. En ese caso, cuando no se logra, se debían comparar sus
áreas si es que alguna era mayor que la otra. Para la evidencia en cuestión el estudiante
hizo uso de las cuadrículas que están con un contraste tenue de la primera figura y logró
determinar que efectivamente eran 18 U2.
Figura 5-56. Evidencia 1(a) de reconfiguración de áreas a una forma específica T1-Nv5.
Continuando con el análisis del caso, el estudiante procede a incluir unos trazos
suplementarios continuos y otros punteados en cada situación, lo que le ayudaba a ver “lo
diferente de cada figura”. Es preciso enfatizar, que esta debía ser modificada para poder
transformar las figuras 2, 3 y 4 de la tarea, en la figura de muestra inicial, acompañada de
su respectiva designación.
Capítulo 5 195
Cuando se procede a ver las descripciones que soportan los tratamientos que están
asociadas al registro figural, se evidencia que en la figura 5-57, el estudiante coordinó bien
lo visualizado con lo descrito, a excepción de cuando hace uso de las rotaciones,
traslaciones y simetrías. En efecto, en ningún caso, se dijo en qué sentido se realizó la
rotación. Finalmente, cuando se trazaron los segmentos continuos y se logró ver la figura
1 en cada caso, se recurrió a la figura hipotética que se configuraba con las líneas
punteadas las cuales siempre debían ser “completadas”.
Figura 5-57. Continuación de evidencia 1(a) de reconfiguración de áreas a una forma
específica T1-Nv5.
La anterior situación fue recurrente en las tres cuartas partes de los casos analizados.
Ahora bien, otro tipo de solución que se evidenció fue optar por un modelo más gráfico tal
y como se ve en la figura 5-58. En este, se hace un conteo de las cuadrículas en lengua
natural, pero se les registra con una representación icónica para después registrar el área
con las respectivas unidades.
Figura 5-58. Evidencia 2(a) de reconfiguración de áreas a una forma específica T1-Nv5.
196 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Contrariamente, algunos estudiantes que no hicieron uso del material donde estaban
plasmadas las figuras 2, 3 y 4, optaron por representarlas al respaldo de la hoja. Una
muestra de ello puede verse en la figura 140, para los dos primeros casos vistos de
izquierda a derecha. Conviene mencionar que, se evidencia que las soluciones, son
similares a lo estudiado en el caso anterior, y que la diferencia radica en que para el último
caso se cometió un error de construcción y esto se observa claramente cuando se
compara la figura representada en la evidencia de la figura 5-58, con la figura UZYXWV,
presentada en la figura 5-59 dado que, no son la misma, además de introducir el término
“reflejo”, para hacer quizás uso de la palabra reflexión (isometría). Del mismo modo, se
puede inferir que lo ocurrido puede ser un indicio que la actividad cognitiva de construcción
en los estudiantes tiene ciertas limitaciones, a más aún, cuando se coordina con el registro
de lengua natural.
Figura 5-59. Continuación de evidencia 2(a) de reconfiguración de áreas a una forma
específica T1-Nv5.
Sin embargo, en general el avance presentado y evidenciado en las muestras
representativas de la primera tarea, dan cuenta de una evolución y transformación del
pensamiento geométrico de los estudiantes. Cabe señalar, que independientemente del
nivel de la tarea, siempre se logró demostrar capacidades. En el caso específico de la tarea
T2, se buscaba trabajar aspectos como la designación, la reconfiguración, la determinación
y, comparación de áreas y deducción de la expresión del área. En ese sentido, los
estudiantes mantuvieron un desempeño satisfactorio con una razón de 26/30 lo que indica
que se logró resolver la tarea cumpliendo con cada pesquisa. Al analizar el proceso que
Capítulo 5 197
desarrolló el estudiante responsable de la producción que se ve en la figura 5-60, al
responder al ítem (a), el aprendiz asume que el área del triángulo AOB es congruente con
las otras tres figuras que componen al rombo ABCD. Así que se puede afirmar que, este
asocia tal configuración como la suma del área de sus subpartes en forma de triángulo
rectángulo y así obtiene los 12 cm2.
Con respecto al ítem (b), el estudiante en la representación del rombo que acompaña
la consigna realiza una superposición de otra figura. Ciertamente, la figura es un rectángulo
cuya área es el doble del área del rombo ABCD. En consecuencia, se puede afirmar, que
el chico enumeró en ocho partes las posibles subdivisiones que componían tal
configuración bidimensional. Así que, después procedió a representar la reconfiguración
del rombo en un rectángulo con cuatro triángulos los cuales designó. Un elemento de
control visual que se introdujo fue el de contraste de tonos o escala de grises, para ayudar
intuitivamente al estudiante en la designación de segmentos y diagonales. En virtud de
esto, el estudiante se está apoyando en ese elemento visual para verificar la congruencia
de las subpartes que componen el rombo. Lo interesante del procedimiento descrito
consiste en que cuando el joven relaciona la cantidad de partes con las subfiguras,
consigna que es una relación de un medio, es decir, deduce que el área del rombo ABCD
debe ser la mitad del rectángulo que numeró. Finalmente, el estudiante recurre a multiplicar
las medidas de las diagonales con el valor agregado de la relación que determinó y así,
dejar por sentado su razonamiento.
Figura 5-60. Evidencia 1 de reconfiguración el área de un rombo T2-Nv5.
198 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
El segundo caso más representativo presentado en la tarea T2, se muestra en la figura
142. En este caso, se presenta el área del triángulo AOB, y con ayuda de la representación
de este, se observa que esa representación figural se replica cuatro veces, entonces se
deduce que equivale a 12 cm2 el área total del rombo. Cabe mencionar que, en este caso,
se dispuso el material a colores a diferencia del primer caso general, esto con el fin de
contrastar cómo la variable color vs escala de grises, influía o no en la reconfiguración que
se le dio al rombo ABCD. En efecto, el desarrollo fue distinto y el tipo de reconfiguración,
se acercó más al que se propuso como solución a priori, tal y como se aprecia en la figura
5-61.
Figura 5-61. Evidencia 2 de reconfiguración el área de un rombo T2-Nv5.
Para dar cierre a lo observado en el segundo caso representativo de solución de tarea
T2, se puede afirmar que el ítem (c), presenta una solución idéntica a la del primer caso
general, con la diferencia que se visualizó, sin realizar una superposición del rectángulo
con la representación auxiliar del rombo de la consigna, es decir, esto se hizo mentalmente.
Agregado a esto, lo expresa en lengua natural, lo cual es un proceso más potente
cognitivamente hablando.
Capítulo 5 199
Haciendo el análisis de la tercera y última tarea, esta consistía en aplicar la designación
de los vértices sobre la figural poligonal dada, luego en encontrar y enlistar las subfiguras
y finalmente conformar el contorno global, teniendo presente las líneas que en un inicio
estaban punteadas y así poder determinar el área total de la figura. Las soluciones que se
presentaron se dividieron en dos grupos: el primero estaba asociado a la solución
anticipada o a priori, la cual recordemos que, después de designar al polígono dado, se
determinaba que, con un solo trazo vertical, el cual se podía ver que en total había 4 figuras
las que conformaban el contorno global. Véase la figura 5-62.
Figura 5-62. Evidencia 1 de descomposición figural de un área poligonal T3-Nv5.
En el caso que se referencia, se puede notar que es una tarea típica en que la figura
que acompaña la tarea cumple una función informativa debido a que, en ella existen las
medidas de la mayoría de los lados. Cabe anotar que aquellos que hacen falta por
determinar las medidas de sus lados, requieren hallarse. En ese sentido, gracias a
elementos como la designación, el estudiante logra de forma organizada guiar su
visualización y esto sirve para otorgarle rigurosidad a la estructura que se le quiere dar al
pensamiento geométrico.
Lo anterior apoyó la noción, en la que se logró deducir el valor que le faltaba a la base
𝑚𝐹𝐸̅̅ ̅̅ = 26𝑚 y que el estudiante registró como 𝐻𝐸̅̅ ̅̅ = 2𝑚. Lo mismo pasó cuando en el
ítem (b), se enlistaron las respectivas designaciones de las subfiguras. En este caso, se
200 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
hace una especie de anticipación de los datos que se necesita saber, para que en el punto
(c), se proceda a reemplazar los valores de cada fórmula, habiéndolos inferido visualmente
y al final, solo sea cuestión de sumar los valores de área determinados para encontrar en
ese caso el área del polígono ABCDEF.
El otro caso que se generalizó fue uno donde se realizaron dos trazos suplementarios.
Es necesario aclarar, que una vez formadas cinco subfiguras que componían el polígono
JPARMY, se evidenció (figura 5-63), el mismo razonamiento descrito en el caso en que al
tener que ver más figuras geométricas se tuvo que inferir en este caso, más medidas de
longitud de las subpartes visualizadas, llegando igualmente al mismo resultado.
Figura 5-63. Evidencia 2 de descomposición figural de un área poligonal T3-Nv5.
5.7 Reflexión de cierre de la THA para constituirse como una TRA
Al terminar los respectivos análisis de las diferentes producciones representativas que
se dieron por cada nivel de aprendizaje, se evidenció el notable progreso que tuvieron los
estudiantes de grado séptimo de la Institución Educativa Manuel Antonio Sanclemente. En
cuanto a los procesos de visualización que se desarrollaron, poco a poco adquirieron
elementos como: la designación para hacer referencia de los objetos geométricos,
superación de la aprehensión perceptual y profundización en la de tipo operatorio, logrando
Capítulo 5 201
la movilización de los tratamientos figurales en completa sinergia con registros numéricos,
y cartesianos.
Es necesario afirmar que, se colocaron en juego los llamados factores de visibilidad que
en principio influenciaban sus maneras de ver. Posteriormente, estos factores entraron a
formar parte de recursos visuales tales como: el trazo de líneas puntadas para hipotetizar
posiciones de figuras, realizar trazos suplementarios para descomponer figuras en otras
de igual dimensión o formar fondos cuadriculados para establecer una unidad de medida
referencial para el área, etc. Se puede considerar como un diseño de niveles de
aprendizaje exitoso que dieron cuenta de la aprehensión del trabajo del contenido de áreas
de figuras planas. Del mismo modo, se observa que se construyeron y adaptaron tareas
que, desde diferentes perspectivas sirvieron para estimular paulatinamente en los
estudiantes el uso de sus conocimientos. Es preciso mencionar que, gracias a las
decisiones que fue tomando el profesor en el curso del programa, se hicieron los ajustes
necesarios para hacer una mediación discursiva que fuera acorde con el nivel visual y
disciplinar de los jóvenes.
Para cerrar la reflexión particular de esta trayectoria, se puede afirmar, que puede
considerarse como una trayectoria real de aprendizaje, si se tienen en cuenta, las
evidencias citadas a lo largo del capítulo. No está de más añadir, que la estructuración de
cada nivel, puede ampliarse con el diseño de nuevas tareas que ayuden a fortalecer
aspectos en los que se requiere profundizar, por ejemplo: el tratamiento de las isometrías
(rotación, traslación y simetrías), debido a que los estudiantes mostraron ser conscientes
de los movimientos que realizaban las figuras en las reconfiguraciones, pero a la hora de
expresar las descripciones de manera oral o escrita, presentaron una baja apropiación de
ellas.
Cabe aclarar no esos elementos de contenido disciplinar y dentro de las perspectivas
de desarrollo no habían sido incluidas de forma explícita, como un objeto de enseñanza
las diferentes formas de referenciar esos movimientos en las figuras planas porque eso
ampliaría el tiempo que se disponía para poder aplicar los diseños y dado al contexto fue
un limitante que limitaba al profesor-investigador pero que se deja abierto para ser
ampliado por la profesora de aula. Para que continuo con su grupo con su grupo de
202 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
estudiantes, aunque esa decisión que está sujeta al contexto en que se desarrolle la
trayectoria de aprendizaje y los tiempos en que se pueda implementar.
6. Conclusiones
El desarrollo del presente trabajo dio lugar a una serie de resultados que, desde la
mirada de quienes estuvieron implicados en la investigación, aportan de manera
significativa a la enseñanza de la geometría y la medición especialmente, al inicio de la
formación de la básica secundaria. Estas conclusiones se dividirán en tres grupos: las
primeras centran la atención en aspectos de cohorte teórico y documental frente al tópico
de áreas de figuras planas desde una mirada semiótico-cognitiva, el segundo grupo tiene
que ver con los elementos que se asociaron al diseño de la trayectoria de aprendizaje que
permitieron la inclusión del objeto matemático de interés y ajustarlo gradualmente a los
niveles de aprendizaje. Por último, se encuentran los avances que alcanzaron los
estudiantes en cuanto a la visualización, para alcanzar la comprensión del trabajo con
áreas de figuras planas.
6.1 Respecto a los elementos de corte teórico y documental
El rastreo bibliográfico que se llevó a cabo para consolidar la base documental de este
estudio, estableció los fundamentos teóricos del diseño e implementación de esta
trayectoria de aprendizaje, la cual permitió avanzar en la comprensión de diversos
fenómenos que están asociados al trabajo de planeación y desarrollo de la clase de
geometría, dado que por un lado, son necesarios elementos teóricos que apoyen los
criterios de orientación, diseños y mediación de las clases por parte del profesor, pero por
otro, se necesitan de fundamentos teóricos en particular, este trabajo resalta la importancia
de aspectos de índole cognitivo que le permitan al educador acercarse a las estructuras
de pensamiento que construyen sus estudiantes.
204 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
En ese sentido, el marco teórico que fundamenta esta propuesta investigativa es una
opción sólida y bien estructurada porque está centrada, en primer lugar, en el sujeto que
aprende y en segunda instancia porque está pensada para desarrollar las actividades
cognitivas necesarias y los procesos fundamentales que deben implementar los
estudiantes para comprender los objetos matemáticos, tal como Duval (1999, 2001, 2005)
y colaboradores, plantean en su propuesta teórica semiótico-cognitiva para repensarse el
aprendizaje de las matemáticas, en particular de la geometría en la que se identifica
claramente las actividades cognitivas centrales del aprendizaje de los estudiantes como
son la construcción, el razonamiento y la visualización.
Cuando se estructuró este trabajo se escogió a la visualización por ser una entrada
propicia para el desarrollo de tareas de exploración donde se destacan las heurísticas que
pueden desplegarse cuando se trabaja en geometría, además, la aplicación de la
visualización no solamente es propia de las matemáticas, sino que, también está presente
en otras actividades que son afines a otros campos de conocimiento por su
polifuncionalidad.
En la fase de implementación se pudo ratificar que los estudiantes implicados en esta
investigación, aún no se les había enseñado a ver sobre las figuras, a explorarlas, y mucho
menos a decir algo sobre ellas, lo anterior se confirmó porque al entrevistar de manera
informal a los jóvenes estos concebían a las figuras geométricas con una naturaleza
estática y era otro rasgo que se resaltaba mucho en la literatura que se recopiló. De ahí
qué, surgiera la necesidad por realizar alguna acción que permitiera a los estudiantes
dotaran de sentido las clases de geometría.
El rastreo bibliográfico evidencia que no se puede concebir la enseñanza de ningún
saber en matemáticas sin recurrir al uso de registros de representación semiótica, pues,
en el caso de la geometría la docente de aula que colaboró en este trabajo en un inicio
tenía la noción que, las figuras hablaban por sí mismas y que su uso carecía de elementos
heurísticos como los tratamientos que obedecen a registro figural.
Conclusiones 205
Al mismo tiempo la profesora no realizaba el acompañamiento de un discurso oral o
escrito que describiera los procesos que se ejecutaban sobre las figuras. Por lo que una
vez se inició con el proceso de la alfabetización teórico-práctica alrededor de las clases de
geometría entre el docente investigador y el de aula, se comenzó a implementar la nueva
dinámica de clase y a estructurar los diseños secuenciales de los diferentes grupos de
tareas, que estarían pensados para promover los procesos de visualización en los
estudiantes.
Lo anterior, hizo que la lectura y fundamentación teórica esclareciera la posibilidad de
trabajar sobre tareas ya existentes de diferentes investigaciones que desde la perspectiva
semiótico-cognitiva han abordado el tópico de áreas de figuras planas por ser un objeto de
estudio propicio que exalta matices de a visualización donde los estudiantes comiencen a
incursionar sobre el trabajo del registro figural. En este sentido, las investigaciones
desarrolladas por Marmolejo (2007, 2014), además publicaciones que se generaron de sus
investigaciones como Marmolejo y Vega (2012), Marmolejo y González, (2015), sirvieron
como pilar de esta investigación al poner en juego los factores de visibilidad y elementos
de control visual para el tratamiento con áreas, cuyos aportes se aplicarían en los análisis
a priori y a posteriori del trabajo.
En el caso concreto de la investigación de diseño que es llevada a la práctica resulta
una apuesta acertada más aún cuando se trata de trabajos que en principio, como los ya
mencionados, se desarrollaron teniendo en consideración el contexto nacional colombiano,
por lo tanto, esa cercanía facilitó mucho la comprensión de los aspectos a considerar desde
el conocimiento disciplinar y didáctico.
Todas esas observaciones fortalecieron la propuesta, porque resaltaron el hecho de que
la implementación del instrumento que se diseñara para unas cuantas sesiones suscitaría
en los estudiantes procesos de visualización, pero eso no aseguraría la adecuada
movilización de ellos (procesos visuales y coordinación entre registros) y que el diseño de
las tareas debía necesariamente complementarse con el acompañamiento continuo del
profesor de aula e investigador.
206 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
6.2 Respecto al diseño e investigación de la trayectoria y los niveles de aprendizaje
Llevar a cabo el desarrollo de la trayectoria de aprendizaje para realizar un
acercamiento a la comprensión del trabajo con áreas de figuras planas permitió que desde
una aplicación teórico-práctica, se pusiera en juego una serie elementos teóricos de la
perspectiva cómo son: las maneras de ver, las aprehensiones visuales, los factores de
visibilidad y estudiar los elementos que ejercen control visual sobre las figuras geométricas,
todos y cada uno de ellos hicieron parte del proceso de diseño de la THA dando como
resultado, un constructo teórico que es pionero desde este enfoque para la Maestría en la
Universidad Nacional de Colombia sede Palmira. Cabe anotar que, en el escenario de la
práctica, surgieron elementos que condujeron a enriquecer la experiencia, los mismos que
el profesor, tomó para mejorar sus diseños y por consiguiente el escenario cognitivo.
Tal desarrollo permitió la organización de diferentes niveles de aprendizaje que se
enfocaban en desarrollar la actividad cognitiva de la visualización en estudiantes de grado
séptimo, de tal manera que les permitirá adquirir formas de realizar exploraciones
heurísticas sobre el registro figural e incursionar en el acompañamiento de descripciones
de sus procedimientos, y así, dejar en evidencia que es lo que los estudiantes lograban
ver y entendían cuando se enfrentaban a unas tareas.
Pensar en plantear cada nivel de aprendizaje condujo a considerar una serie de
contenidos matemáticos que son necesarios adquirir para responder a unas expectativas
de desempeño, lo cual significó un reto para el docente-investigador dado que, debía
contemplar no solamente variables de diseño, sino que en su plan de acción debía
anticiparse el posible ritmo de aprendizaje de sus estudiantes, lo que conduce a darle
prioridad a elementos que se deben profundizar desde los procesos alrededor del concepto
de áreas a trabajar aspectos como: la determinación del área, la comparación de áreas y
relacionar las magnitudes de área y perímetro.
Habría que añadir que, cada nivel de aprendizaje implícitamente se relacionaba a una
serie de procesos transversales que independientemente del grupo de tareas que se
trabajasen siempre girarían en torno al desarrollo de habilidades de comparación,
Conclusiones 207
clasificación, reconfiguración/configuración figural y coordinación entre registros
semióticos de representación.
Durante los aplicativos se pudo apreciar como los estudiantes no estaban apropiados
del lenguaje propio de la geometría, a veces referenciaban los objetos representados y la
clasificación de figuras geometrías mediante el uso deícticos, por lo que, el uso de la
designación y describir sus procedimientos visualizados resultaba ser una actividad
extraña o poco usual, permeada por la falsa concepción que “en matemáticas no se
escribe”, este aspecto como muchos otros fueron anticipados en la presentación a priori
de las tareas, así como las posibles dificultades que pudiesen presentarse.
En cuanto a los factores de visibilidad que eran necesarios en los primeros diseños
siempre fueron los fondos cuadriculados, los puntos sobre dimensionados e incluir
contrastes entre los contornos globales, una vez los estudiantes en la medida que eran
instruidos y progresaban en los grupos de tareas diseñadas, aprendieron hacer uso de los
trazos auxiliares e incluir puntos en las representaciones dispuestas para los aplicativos.
Lo que condujo a ver de una manera icónica las representaciones figurales y avanzar hacia
una mirada matemática.
Otro rasgo por destacar es que la determinación de áreas solo se realizaba por medio
de fórmulas por lo que resultaba un poco confuso para los estudiantes el trabajar con una
unidad de medida como la cuadrada qué, cómo se pudo apreciar, represento un obstáculo
más por el uso de un instrumento de medida que por la complejidad de la tarea.
Un hecho contundente que marco a los estudiantes se presentó cuando llegaron las
tareas de comparación de áreas de figuras bidimensionales mediante el conteo, que es
una entrada tradicionalista para después adentrarlos a la comparación por tratamientos
figurales, dado que en este punto habían avanzado hacia una aprehensión operatoria.
Luego al haber trabajado desde diferentes complejidades la determinación y
comparación de áreas y la familiarizaron los estudiantes con el tratamiento de ese registro
ellos comenzaron a tener un mayor despliegue en esa clase de procedimientos, dejando
un poco relegado al registro de lengua natural, lo cual se pudo apreciar descripciones de
208 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
sus producciones, pero igualmente surgieron progresos que antes no hacían parte de su
dominio.
En cuanto a las consignas estas tuvieron una presentación simple y clara, aunque las
algunas ocasiones se decidió cambiar la función que las asociaba con la representación
del registro figural, intentando en las últimas tareas otorgarle un sentido informativo para
que los estudiantes adquirieran la costumbre de recurrir a estas. Mientras que, en el caso
de las descripciones resultantes de los procedimientos visualizados estas debían
responder a algún aspecto concreto del trabajo del concepto de áreas, respecto a ello,
siempre se consideró para cada nivel de aprendizaje que el trabajo que desplegaran los
estudiantes fuera independiente de la intervención del profesor y estuviera más ligado a
un acompañamiento de las informaciones suministradas por las tareas.
Lo anterior representó una ganancia para los estudiantes porque en sus clases
magistrales siempre tenían la costumbre que el maestro debía leerles el enunciado de la
tarea y una vez terminado los respectivos procedimientos el mismo maestro, retomaba la
consigna y respondía a la pregunta respectiva. Mientras tanto, con el diseño de esta
trayectoria se concedía el protagonismo a los estudiantes y que ellos mismos mediante la
dirección del profesor eran los que respondían y concertaran en las socializaciones sus
soluciones. Aunque, debido a la limitante de tiempo que se contaba para la aplicación del
diseño, se debió concretarla en mes y medio por las disposiciones dadas en la institución
educativa.
Sin embargo, se considera que la conformación de los grupos de tareas fue acertada
para los ritmos de progreso que tenían los estudiantes, los resultados sintetizados en las
tablas de procesos presentados en el capítulo cinco lo ratifican, porque en la medida que
se dieron las sesiones de aplicación fueron alcanzado las metas de aprendizaje que se
establecieron en cada a nivel, donde las aprehensiones perceptuales debían superarse
para comenzar a incursionar en las aprehensiones de tipo operatorio e inicios de la
discursiva, además de tocar el nivel de la quinta entrada denominada por Duval (2005)
deconstrucción dimensional de las formas.
Conclusiones 209
6.3 Respecto a los procesos de visualización, tratamientos figurales y factores de visibilidad
Los estudiantes en los primeros diseños de tareas tuvieron una buena aceptación frente a
los factores de visibilidad que jugaban a su favor y que, en principio, cuando se
familiarizaron con los trazos suplementarios y el uso de índices (inclusión de flechas y
puntos) en las figuras, sirvieron como elementos que ayudaron a superar algunas
limitantes heurísticas en los tratamientos figurales sobre todo en las tareas de
comparación. Otro aspecto por destacar es que algunos de los estudiantes cuando se
enfrentaban a las tareas, lo único que veían era el contorno de la figura, luego cuando
comenzaron a tener más experiencia con la exploración figural donde se descomponían
las formas geométricas en unidades de menor dimensión, es decir, se pasaba a ver hacia
una mirada no icónica, se logró evidenciar cambios en las perspectivas en que concebían
a las figuras y su relación con otras configuraciones.
Por lo tanto, la evolución en la forma de ver de los estudiantes amplio su perspectiva,
lo que permitió que accedieran a explorar posibilidades que antes no veían y con ayuda
de la designación y el acompañamiento de un registro discursivo hizo que se accediera a
una experiencia que ellos no tenían, por ejemplo, descomponer y componer una figura
geométrica con una unidad arbitraria de área, comparar figuras geométricas de igual área,
pero de diferente forma.
Se pudo comprobar que parte del desarrollo de la visualización está se asociado a dos
tipos de experiencias: En primera estancia se encuentran las que empíricamente han
construido los estudiantes y en segunda estancia las que están asociadas a cómo los libros
de texto escolar tratan los contenidos del concepto de áreas, estos en ese sentido, no
promovían la exploración heurística, ni suscitaba a desarrollar la visualización en los
estudiantes porque las figuras representaban simples ilustraciones donde se limitaban a
estimar áreas con fórmulas.
También hay mencionar que la complejidad que radica del acompañamiento discursivo
oral o escrito de los tratamientos figurales que realiza un estudiante, debe ser un asunto
de enseñanza no solo para el tópico de áreas de figuras planas sino para las matemáticas
en general. Porque dentro de los resultados y las reflexiones de cierre de cada nivel de
aprendizaje queda en evidencia que no nos basta con saber designar a las figuras que los
210 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
estudiantes identifican, sino que además hay muchos aspectos dentro de los procesos
(tratamientos figurales) que los estudiantes no describen, lo que no se debe entender que
no estén realizando bien la actividad cognitiva de coordinar registros de presentación o las
conversiones.
Sino que, por el contrario, es una muestra fiel del hecho que, aún falta incursionar en la
enseñanza de elementos discursivos a parte de una función referencial de los objetos
matemáticos para que los estudiantes se apropien del lenguaje propio disciplinar el cual,
si es posible que puedan alcanzar, pero en un proceso que se piense a lo largo de su
formación de básica primaria, básica secundaria y media.
En relación con el trabajo con áreas de figuras planas se consideraron algunas
cuestiones de este objeto métrico como fue la comparación cualitativa, la asignación
numérica de esta medida bidimensional y se planteó la construcción de las deducciones
de las fórmulas de área, pero de una manera débil, es decir, un acercamiento a las
construcciones de la deducción de la fórmula del área del rombo. Los estudiantes lograron
responder a los diferentes frentes planteados recurriendo a diversos recursos visuales que
fueron analizados en las producciones representativas del capítulo cinco, además de surgir
hallazgos que permiten al investigador pensar en fortalecer dentro de su proceso de
mediación como profesor de aula en su práctica profesional.
Para finalizar cabe resaltar que del diseño y análisis a priori y a posteriori de las tareas
frente a la teoría que las sustentaba fue una labor compleja y que no fue fácil de sustentar
frente a la docente de aula y la tutora de este trabajo para convencerlas de la estructura
que tenía la trayectoria con sus diseños de tareas eran las oportunas para el contexto
institucional al que se verían aplicadas. La organización que tuvo el diseño debía partir de
elementos claves como la identificación y clasificación de las figuras geométricas, para
después comenzar a trabajar aspectos concernientes al trabajo con áreas desde la
determinación de su medida, pasando por procesos de comparación y construcción de las
áreas, hasta llegar a la configuración y deconstrucción dimensional de formas donde los
factores de visibilidad se conjugaran.
Conclusiones 211
Para que lo anterior fuese posible era necesario que los estudiantes fueran conscientes
de que los registros de representación figural podían ser manipulados y se podía decir algo
de ellos, pero para lograr ese cometido debían pasar por un proceso de aprendizaje que
los guiara de a poco a realizar tales exploraciones respetando ciertas reglas que en los
denominados Hallazgos del capítulo quinto debieron atenderse. pero después de haber
sido sometidas a aplicación las discusiones presentadas, los aportes recibidos y sobre todo
asumir los errores cometidos antes, durante y después de la implementación hacen pensar
que el balance fue positivo.
6.4 Recomendaciones
Una vez presentados los resultados del desarrollo de este trabajo de indagación, se
formulan algunas recomendaciones o sugerencias para los profesores de matemáticas, en
especial aquellos que estén interesados en profundizar en aspectos de la enseñanza y
aprendizaje de la geometría y que deseen implementar este tipo de propuestas teórico-
metodológicas en el aula, en el que se destaque el trabajo de la visualización mediante la
exploración del registro figural.
❖ Es importante que la formación del docente de aula este abierta a la posibilidad de
estar en constante renovación, pero también, cuando asuma el rol de investigador
tenga un posicionamiento teórico coherente con lo que quiere enseñar, dado que,
el aprendizaje de los estudiantes es un proceso que se construye de manera lenta
pero continuada y necesita de una guía, donde el educador debe necesariamente
tener un equilibrio entre su conocimiento disciplinar y didáctico.
❖ La apropiación de un marco teórico y, desde este una concepción de aprendizaje
no es tarea fácil, desde la experiencia personal unas cuentas sesiones y el tiempo
que se lleva en la maestría no es suficiente para garantizar que se denomina el
enfoque porque el tópico de áreas es una manera de incursionar en ellos, pero el
pensarse una propuesta desde otros objetos matemáticos trae consigo su
complejidad que se debe asumir.
❖ Por lo tanto, es importante que los profesores de matemáticas tomen posición
frente a cómo se deben aprender los objetos matemáticos y se posicionen dentro
un marco teórico fuerte que les permita respaldar sus decisiones en conjunto de los
orientadores ministeriales. En este caso se optó por escoger la perspectiva
212 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
semiótico-cognitiva desarrollada por Duval (1999, 2001, 2005, 2006), la cual, como
ya se evidenció, permite que los estudiantes lleguen a la comprensión de los
objetos matemáticos mediante la coordinación de diversos registros de
representación.
Lo anteriormente mencionado debe ser un asunto de enseñanza, pero como un
conjunto de saberes integrales y no visto como una serie de temáticas aisladas, además
de incluir el acompañamiento del uso discursivo para que los estudiantes comiencen a
describir, explicar, justificar, argumentar y demostrar sus procedimientos. Teniendo
presente que cada una de las anteriores formas de expansión discusiva contiene un valor
epistémico, unos de mayor complejidad que las otras pero que ayudaran a dejar ver el
grado de comprensión que tiene el estudiante.
❖ Se recomienda para el diseño de las trayectorias de aprendizaje, se realice un
estudio previo del contexto en el que se ha venido instruyendo a los estudiantes y
de las particularidades que presente el grupo de interés, dado que esta forma de
trabajo permite estructurar formas dinámicas de intervención para hacer de estos
procesos investigativos un proyecto inclusivo e integral.
❖ También se recomienda que para el diseño de propuestas donde se trabajen las
actividades cognitivas inherentes a la geometría, se centre la atención en la
enseñanza de relaciones que puedan surgir cuando se realicen transformaciones
como la conversión, debido a que no todos los registros de representación ofrecer
la misma información y esto es un elemento crucial que debe ser enseñado a los
estudiante antes, aunque es un asunto complejo de aprehensión pero que desde
la visualización, como se pudo apreciar a lo largo de este trabajo trae resultados
positivos y avances a corto, mediano y largo plazo.
Lo dicho hasta aquí sugiere la necesidad de comenzar a pensarse de manera crítica la
manera de formar el pensamiento geométrico y de medición, no solo en los estudiantes
sino también en los maestros, por lo que, en muchas instituciones educativas no logran
identificar factores que repercuten de manera poco positiva en la trasposición didáctica
pero, gracias a la implementación de este tipo de propuestas investigativas la educación
continua ayuda al docente de aula ampliar sus esquemas mentales y lo vincula a
incursionar en un proceso de alfabetización que le permite transformar su práctica para
hacerla más significativa. Aunque, esto no quiere decir que el problema del aprendizaje del
Conclusiones 213
contenido de áreas de figuras planas este resuelto, se logró una ganancia frente al
pensamiento matemático y geométrico más no es solución total de las problemáticas
identificas.
En adición a lo anterior, desde una postura personal, la Maestría en Enseñanza de las
Ciencias Exactas y Naturales permitió que surgiera el diseño y la estructura de esta
trayectoria de aprendizaje y que se ajustase al contexto que requería la institución
educativa. Aunque este producto teórico-práctico no está acabado, puede estar sujeto a
continuar su construcción, y en ese sentido, es una propuesta que puede seguir
evolucionando, visto desde la mirada semiótica cognitiva.
A partir de la confrontación teórica de los resultados surgieron interrogantes que podrían
considerarse importantes para el desarrollo de otras investigaciones, entre ellos que se
encuentran:
• ¿Cómo incide en la comprensión del estudiante la mediación que realiza un
docente frente a la enseñanza del trabajo con áreas de figuras planas?
• ¿Cómo el diseño desde un recurso digital puede potenciar los procesos de
visualización, razonamiento y construcción para el trabajo con áreas?
A. Anexo: Rejilla de análisis de las variables consideradas para le diseño de la THA
Categorías de Análisis
Clasificación de
Actividades
Tipo de Aprehensión
Función visual Tipo de Control visual Elementos generadores del control visual
Formas de Control
1er Nv.A. Perceptual Operatoria Discursiva Heurística
Inductiva Informativa Simple o disjunto
Refuerzo Ambiguo Procedimiento Contenido Visibilidad
I E V S Directo Replica Referencia General Contraste Índices Iconismo
Tareas
T1 x x x x x x x x x x
T2 x x x x x x x
T3 x x x x x x x x x x x
T4 x x x x x x x x x x x
2do Nv.A.
Tareas
T1 x x x x x x x
T2 x x x x x x x
T3 x x x x x x x x x x x
T4 x x x x x x x x x x
3er Nv.A.
Tareas
T1 x x x x x x x x x x x
T2 x x x x x x x x x x x
T3 x x x x x x x x x x x x
T4 x x x x x x x x x x x x x x
T5 x x x x x x x x x x x x
4to Nv.A.
Tareas
T1 x x x x x x x x x x x x x
T2 x x x x x x x x x x x x x
T3 x x x x x x x x x x x x
T4 x x x x x x x x x x x
5to Nv.A.
T1 x x x x x x x
T2 x x x x x x x x x x x
T3 x x x x x x x x x x x
B. Anexo: Algunas evidencias fotográficas de las intervenciones realizadas en los grados séptimos de I.E. Manuel Antonio Sanclemente
218 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Anexo B 219
220 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una
trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo
Anexo B 221
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