View
218
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
Fundamentos del Portafolio Cifras
Citation preview
~ = J ~ -~ J
~ l' .. ( ~~A • • ~ e ' '" .j
)<i.¡ t> !io
Á~J ~
. 1
241
- z.J1 o ~o . .
Texto manuscrito del profesor Cario Federici
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
ARTÍCULOS
NUMEROSIDAD* Definición restringida de la numerosidad entendida como:
concepto que permite comparar cualitativamente la extensión discreta de los elementos de dos o más conjuntos
Autor: Juan Carlos Negret P.
Aun antes de la construcción de los numeros cardinales propietivos es posible
comparar la numerosidad "entre" dos o más conjuntos. En efecto, sin contar, un sujeto
puede establecer si hay más personas que sillas en una reunión, más flores que floreros
en una mesa, etc.
La numerosidad es el nombre que le damos al concepto que permite comparar la
cantidad de cosas o eventos entre dos o más conjuntos, sin utilizar el número cardinal.
No se trata entonces, en un sentido estricto de una cuantificación, es una comparación
de una cualidad particular de los conjuntos: su dimensión física referida en este caso a "la
extensión discreta de los elementos" que los componen. Como esta extensión discreta
no ha sido aun contada, es una comparación aun cualitativa, pero muy aproximada a la
cuantificación.
Definamos entonces de manera más estricta la numerosidad: Es el nombre que le
damos al concepto que permite comparar cualitativamente la extensión discreta de los
elementos de dos o más conjuntos.
La operación que permite comparar la cantidad de cosas de dos o más conjuntos, sin
el uso del número, es la correspondencia uno a uno. En cuanto a la correspondencia, es
pertinente hacer una diferenciación entre correspondencia perceptiva, la correspondencia
cualitativa y la correspondencia cuantitativa:
Correspondencia perceptiva:
Es la que se establece buscando una buena forma perceptiva, esto es una organización
en el espacio de los objetos, de tal manera que queden previamente organizados de
acuerdo a un patrón.
Correspondencia cualitativa:
Es la que permite establecer relaciones entre conjuntos de objetos a partir de las
propiedades físicas de los objetos.
Correspondencia numérica:
Es la que permite establecer relaciones entre dos o más conjuntos a partir de las
propiedades lógicas que un sujeto les atribuye a los objetos. En este caso la propiedad
* Este texto es una interpretación del autor. elaborada a partir de las lecciones del profesor Cario Federici.
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 15
16
1-'M'CJG I-<AMA
(ífr"As·
que determina la relación es la numerosidad, entendida como la equivalencia uno a uno
entre los objetos de los conjuntos, sin una consideración necesaria por la disposición
espacial de los objetos (buena forma perceptiva) ni por las cualidades físicas de los mismos (correspondencia cualitativa).
El resultado de esta comparación se expresa en tres proposiciones
El conjunto A es más
El conjunto A es menos
El conjunto A es lo mismo de
numeroso que el conjunto B
numeroso que el conjunto B
numeroso que el conjunto B
En el lenguaje común estas proposiciones se expresan de manera variada con frases
como:
En la caja hay más
En la caja hay menos
En la caja hay lo mismo de
naranjas que en la mesa
naranjas que en la mesa
naranjas que en la mesa
En ambos casos la constante son los adverbios comparativos de orden: más que, menos que, Jo mismo que. Son los mismos adverbios con los que se construyen las relaciones
de orden primario. Lo importante es que cuando se aplican los adverbios de orden al
discurso, siempre se debe explicitar la cualidad que ordenan. Como en este caso se trata
de la numerosidad, se hace necesario enunciarla. Ejemplifiquemos la explicitación de la
numerosidad en los distintos niveles de abstracción del discurso:
Más naranjas que
Menos naranjas que
más cosas que
menos cosas que
más numeroso que
menos numeroso que
Cuando la relación señala una diferencia de numerosidad (más cosas que, menos cosas
que) se trata de una re lación de orden, cuando la relación establece una equivalencia de numerosidad, se trata de una relación de equivalencia.
RELACIONES DE ORDEN RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Es más numeroso que Es lo mismo de numeroso que
Es + que
Es que
Es que
La numerosidad es entonces, una relación de orden fundamental, sobre la cual se va a
construir el concepto de número cardinal propietivo. La numerosidad es el producto de
aplicar la correspondencia, siempre y cuando esta operación permita ordenar los conjuntos
comparados. La correspondencia como una habilidad lograda en sí misma, debe estar
ligada a las situaciones de numerosidad para recuperar su eficacia aritmética.
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromientosygestion.com • correo@herramientasygestton.com H&G
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
ARTÍCULOS
CARDINALIDAD* Definiendo la cardinalidad como el concepto que permite establecer
numéricamente la cantidad de cosas de un conjunto
Autor: Juan Carlos Negret P
La cardinalidad es el nombre que le damos al concepto que permite establecer nu
méricamente la cantidad de cosas de un conjunto. El número que se utiliza en este caso
es el número cardinal propietivo, según ha sido definido por el Profesor Carlos Federici: Se llaman propietivos porque establecen una propiedad en los conjuntos: la cantidad de los
elementos que posee. Se diferencia de los números cardinales relativos o medidores porque éstos establecen relaciones.
La cardinalidad, como los demás conceptos, se construye enfrentando a los sujetos
a situaciones de cardinalidad. Una situación de cardinalidad, es una situación significativa
para el sujeto, la cual debe ser resuelta aplicando el concepto de cardinalidad.
La forma general de la situación de contabilidad se traduce en la presentación de un
conjunto de cosas o de eventos, ligados a la pregunta ¿Cuántas cosas hay?
Las situaciones de contabilidad son subsidiarias de las situaciones de numerosidad.
En efecto, una vez que el sujeto ha establecido que en un conjunto hay más cosas que
en otro, la pregunta siguiente es: ¿Cuántas cosas más? Esta pregunta puede presentarse
de muchas formas:
• ¿Cuántas cosas hay más en A que en B?
• ¿Cuántas cosas hay menos en A que en B?
• ¿Cuántas sobran en N
• ¿Cuántas faltan en B?
• Ni más, ni menos.
• Ni sobran, ni faltan.
• ¿Cuántos son estos?
Podemos introducir y clarificar con un ejemplo como un juego de bolos entre tres
niños:
Después de tirar con la pelota, Hugo, Paco y Luis obtuvieron el siguiente resultado:
• Hugo tumbó 3 bolos
• Paco tumbó 6 bolos
• Luis tumbo 8 bolos
* Este texto es una interpretación del autor. e laborada a partir de las lecciones del profesor Cario Federici.
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 17
18
1-'M'CJG I-<AMA
(ífr"As·
Se les pide que sobre un pape l dibujen la situación de los bolos después del tiro de la
pelota. Los tres niños reproducen con un dibujo realista de intención, la disposición de
los bolos. Después se les pide que señalen con rayas los bolos caídos y con cruces los bolos en pie.Acto seguido se hace la entrevista a Paco:
ENTREVISTADOR: ¿Quién ganó?
PACO: Luis ganó
E: ¿Por qué?
P: Porque tumbó más
Hasta aquí se trata de una situación de numerosidad. En efecto, Paco sin manejar nece
sariamente los números puede establecer una correspondencia uno a uno entre los bolos
derribados por él y por Luis, los de Hugo los descarta de entrada porque la diferencia
es marcada. La siguiente pregunta del entrevistador, en el mismo juego lo introduce en una situación de cardinalidad:
E: ¿Y cuántos más tumbó?
Paco mira los bolos, su dibujo, las rayas, y haciendo con los dedos la señal de dos,
dice:
P: Estos
E: Estos que tu señalas con los dedos son los mismos que las dos rayas, o que los dos
bolos dibujados, o que los dos bolos caídos?
P: Sí
E: ¿Y cuántos son estos?
P: Dos
Suponiendo en el mejor de los casos, que Paco no conozca el significado de dos, la
intención del ejercicio es mostrarle la equivalencia o la equinumerosidad de los sucesivos
conjuntos presentes en el juego: bolos, dibujo de los bolos, rayas, los cuales tienen una
propiedad común: Pueden ser puestos en correspondencia uno a uno con los dedos de
la mano.
Esta equivalencia simultánea entre diversos conjuntos, que no es otra cosa que el
establecimiento de la semejanza entre varios conjuntos, puede ser ya nombrada, o renom
brada: pues todos los conjuntos que tengan tantos elementos como "éstos (señalando
con los dedos de la mano) se llaman conjuntos de "dos elementos".
El lector podría objetar muy posiblemente que el niño en esta situación ya sabe contar,
y que el ejercicio no tiene sentido. Ante esta objeción, respondemos de dos maneras:
En primer lugar, si bien el niño sabe contar y de inmediato dice que Luis tumbó dos
bolos más que él, la puesta en relación de los diversos conjuntos equivalentes, acompañada
de la expresión:" los bolos, el dibujo, las rayas se parecen porque tienen, como los dedos,
el mismo número de elementos ; y si no pongámoslos en correspondencia, y ese mismo
número se llama dos", le permite al niño, desde muy pequeño comprender, no solo el con
cepto del cardinal dos, sino acercarse a la definición aritmética formal, a la cual solo podrá
acceder con consistencia muchos años después. Se acompaña entonces, la comprensión de una conceptualización explícita, que permite además, resolver la situación, enunciarla,
decirla, hacerla discurso, lo que es pedagógicamente un significativo ava nce.
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromie ntosygestion.com • correo@he rramientasygestton.com H&G
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
En segundo lugar, si el niño sabe contar y dice que Luis tumbó 8 bolos y él tumbó 6
bolos, la situación de contabilidad no se agota, pues la pregunta pertinente es: ¿Cuántos
más tumbó? Si Paco contestó, porque sabía que 8 es mayor que 6, que Luis ganó porque
tumbó más bolos, está entonces, a raíz de la pregunta, enfrentado a un nuevo problema;
¿Cuántos más tumbó? Se trata pues de una situación aditiva. En este punto podemos
suponer dos cosas: La primera es que Paco, la resuelve retrocontando o restando y dice "dos", si sucede así Paco no solamente ha construido la cardinalidad, sino que ya esta
manejando por lo menos las bases de la adición. La situación nos permitió descubrirlo,
pero en el caso de que no maneje aun los fundamentos de la adición, tendrá que establecer
una correspondencia uno a uno y señalar con los dedos o con los bolos y acto seguido
dirá "estos" señalando los dedos o los bolos cuántos más tumbó Luis que él. Pero además
como consecuencia de la actividad bien aplicada, el entrevistador tiene ya elementos adi
cionales, para hacer de esta situación de contabilidad una situación aditiva que le permite
establecer las formas y el nivel de manejo de la operación aditiva en Paco.
Esta simple actividad pedagógica complejizada solo por el análisis, puede ser repro
ducida de muchas formas y con muchos contenidos. Ella nos permite concluir:
• El hecho inmediato de que una actividad concreta, pone en escena de manera
simultánea e indivisa, múltiples situaciones evaluativas didácticas.
• La evidencia de que la didáctica no consiste sólo en la posibilidad de que el aprendiz
resuelva problemas, sino que solicitando e interviniendo en su discurso, él pueda
no sólo transformarlo, sino ir accediendo a la comprensión conciente del conoci
miento matemático. Si bien no se pretende que el niño elabore conceptualmente
las definiciones en intención del discurso matemático, si puede paulatinamente y
desde primer momento, estar asimilando inconscientemente el discurso aritmético
en todo su rigor.
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 19
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
A RTÍCULOS
ORDEN Y ORDINALIDAD* Definiendo la ordinalidad como la estructura de orden discreto del sistema
de los números cardinales propietivos
Autor: Juan Carlos Negret P.
El orden fundamental del sistema de los números cardinales propietivos o la ordinalidad
Los Números Cardinales Propietivos son los nú meros que permiten establecer la cardi
nalidad: cant idad de cosas o eventos de un conjunto. Los números cardinales propietivos
son un sistema ordenado. El orden fundamental de los números cardinales consiste en
una serie o sucesión de elementos discretos.
Definimos po r Ordinalidad a la Estructura de Orden Discreto del sistema de los números cardinales propietivos.
La construcción de la ordinalidad
La est ructura o perato r ia de Orden del sistema de los números ha de ser constru ida
po r el niño, y no se confunde con el Orden Perceptivo o Figura/ de los elementos de una
figura, ni con el Orden Revelado u O rden memorizado de la ser ie de los núme ros.
El orden figural
Consiste en la asimilación de una serie de objetos dispuestos o rdenadamente en el espa
cio -una figu ra o una configuración- con una imagen mental -esquema intuitivo de orden-.
La acción de niño consiste aquí en reconocer o discriminar una serie o en realizar
mate r ial mente esa ser ie.
Orden revelado
Consiste en la enunciación consecutiva y memoríst ica de los números card inales sin
una comprensión sistemática de las relaciones que esa o rdenación implica. Se trata de la
sucesión revelada, o sucesión significante aprendida que permite repet ir la sucesión de
los números. La significación de esta sucesión es variable. Comprender el o rden de los
cardinales es comprender la razón lógica de dicha sucesión.
* Este texto es una interpretación del autor. elaborada a part ir de las lecciones del profesor Cario Federici.
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 21
22
1-'M'CJG I-<AMA
(ífr"As·
El orden operatorio
Las relaciones de orden elemental:
Las relaciones de orden elemental son las que le permiten al sujeto comprender y establecer la diferencia en una cualidad o en una propiedad física o lógica entre parejas
de objetos.
Las cualidades y propiedades que pe rmiten comparar y ordenar por su diferencia los
objetos, son múltiples. En el cuadro siguiente se il ustran de manera general algunas:
CUALIDAD FÍSICA CUALIDAD LÓGICA
Diferencias en:
• Color
• Olor
• Sabor
• Sonoridad
• Tamaño
• Otros:
Edad
Afectos y Gustos
CANTIDAD
Discreta Continua o Magnitud
• Numerosidad • Longitud
• Cardinalidad • Anchura
• Área
• Peso
Disposición Espacial Secuencia Temporal
• Cerca de • Antes de
• Lejos de • Después de
El orden elemental se establece en el lenguaje a partir de:
Adjetivos Connotativos C alificativos Comparativos: Dan el grado de signifi-
cación de un sustantivo comparando una cualidad entre dos objetos.
• Comparat ivo de igualdad: Tanto ... como
• Comparativo de Superioridad: Más ... que
• Comparativo de Inferioridad: Menos ... que
Es posible comparar consecutivamente pares de objetos sin que se establezca una
ordenación sistemática de los tres o más elementos
Dados los elementos A.B.C.D.E.F con una diferencia de tamaño. El sujeto puede
establecer consecutivamente en el t iempo:
Momento 1: A mayor que B
Momento 2: C menor que B
Momento 3: A mayor que C
Momento 4: A mayor que F
Es posible también que el sujeto establezca relaciones entre ternas aplicando las
nociones de
Grande, mediano y pequeño
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromientosygestion.com • correo@herramientasygestton.com H&G
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
La composición de las relaciones de orden elemental:
Una ordenación de tres o más elementos implica la composición de las relaciones:
• Es más grande que el primero y a la vez el más pequeño de los que quedan. ..
La introducción de un elemento en una serie implica la coordinación de las relaciones:
• Va aquí porque es mayor que y menor que .. .
Las relaciones de orden superior:
Las relaciones de orden superior son las que permiten hacer la ordenación de tres o
más elementos en un solo sistema ordenado.
Las relaciones de orden superior se construyen a partir de la composición de las
relaciones de orden elemental, o bien componiendo las binas -cuando comparten un elemento común-, o bien componiendo las ternas, -cuando comparten un elemento
en común-, para producir un sólo conjunto sistemáticamente ordenado.
Esta ordenación se realiza mediante una operación que es la composición de dos o más relaciones de orden elemental. En este caso se trata de una composición aditiva de relaciones de orden, para diferenciarla de la composición multiplicativa en la cual el niño debe ordenar dos o más conjuntos entre sí.
El producto de esta composición le permite al aprendiz organizar una serie de objetos estableciendo entre ellos una relación de orden superior a partir de las diferencias con
secutivas en una o más propiedades de los objetos: la numerosidad, para las cantidades discretas y la magnitud para las cantidades continuas.
Los significantes del lenguaje que dan cuenta de esta relac ión son:
Operadores o relatores La preposición
Siguiente de (los siguientes) entre
El siguiente de (el inmediatamente
siguiente)
El producto de la composición busca que el aprendiz:
• Componga relaciones:
- Más que ... y menos que ...
- Mayor que ... y menor que .. .
- Antes de . .. y después de .. .
• Establezca relaciones de consecutividad:
- El siguiente de ...
- Los siguientes de ...
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 23
24
1-'M'CJG I-<AMA
(ífr"As·
ETAPAS DE LA CONSTRUCCIÓN OPERATORIA DE LA ESTRUCTURA DE ORDEN
ORDENACIÓN DE ELEMENTOS
ESTADIO lA
Ningún intento de seriación o realización de colecciones figurales.
ESTADIO 1 B
Fracaso en la serie total, pero asoc1ac1ones por
cualidades absolutas (grandes, pequeños)
a. Pares incordiándoos entre sí (pares de elemen
tos grandes y pequeños).
b. Tríos incordiándoos entre sí (uno grande, uno mediano, uno pequeño, etc.).
c. Seriación en línea de los vértices correcta pe ro
sin base horizontal.
d. Seriación en techo con cobert ura.
ESTADIO 11
Éxito mediante tanteos, pero si se agregan como suplemento nuevos elementos intercalares, el aprendiz
no ensaya método alguno para colocarlos de una vez, prefie re, en general, comenzar de nuevo.
ESTADIO 111
Éxito operativo reconocible por tres caracte res:
a. El sujeto sigue un método sistemático consisten
te en partir del mayor de todos y, a continuación, del más grande de los restantes, etc. (lo que
implica la coordinación de las dos relaciones de orden).
b. Los elementos intercalares se colocan sin dificultad.
c. El sujeto admite la transitividad (no siendo A y e vis ibles juntos).
SISTEMA LINGÜISTICO
DICOTOMÍAS: Los términos utilizados son
"grande" y "pequeño"; bien sea que diga "pequeño,
pequeño, grande, grande" o "pequeño, grande; pequeño, grande".
TRICOTOMÍAS: Int roducen el término " mediano"; bien sea "pequeño, pequeño, mediano, mediano, gran
de, grande" o "pequeño, mediano, grande; pequeño, mediano grande"
ETIQUETAJES: Se utilizan categorizaciones detalladas o nombres siempre diferentes para cada
elemento. Por ejemplo: " pequeño del todo, algo pequeño, pequeño, medio pequeño, medio grande,
etc.
DESCRIPCIONES COMPARATIVAS CON SENTIDO ÚNICO
Por e jemplo:"EI más pequeño, más grande, todavía más grande, el más grande". Cuando se solicita la
descripción con sentido inverso el niño esta confuso, porque el penúltimo, que era "todavía más grande",
se convierte en "más pequeño", lo cual le cuesta aceptar.
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromie ntosygestion.com • correo@he rramientasygestton.com H&G
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
ARTÍCULOS
UNA APROXIMACIÓN
AL CONCEPTO DE NÚMERO Presentando al número como un sistema y diferenciándolo
del sistema numérico y del de numeración
Autores: Equipo investigador
de fa Facultad de Psicofogia de fa Universidad javeriana
¿Cuál es el significado que tiene un numeral de una cifra como el 7?
Su significado formal es: el conjunto de todos los conjuntos que se pueden poner en
correspondencia término a término con un conjunto como <x,x,x,x,x,x,x>.lgual podría
decirse de otros numerales. Para un niño el conjunto <x,x,x,x,x,x,x,> puede ser por
ejemplo 7 dedos extendidos, o mejor aún, los dedos de una mano y dos de la otra.
Pero si bien este es el significado formal de 7, no puede pensarse que el concepto
de SISTEMA NUMÉRICO esta compuesto de los significados aislados de los numeroso.
Por el contrario debe pensarse en términos de un SISTEMA, de tal manera que puede
afirmarse que el concepto de un número existe gracias a la existencia de los otros, a las
relaciones y a las operaciones (al menos de tipo aditivo, para el caso de números peque
ños) que se establecen entre ellos.
La diferencia entre el significado que le asigna un adulto que ha hecho una elaboración
conceptual del número y el que asigna un niño que apenas esta construyéndolo, consiste
en que para el primero es un concepto que hace parte de un sistema de conceptos: el
sistema numérico, que no remite a una imagen particular, sino a la red de relaciones y
operaciones que conforman el sistema (el 7 es mayor que otros números y a las vez menor
que otros, pero también que este 7 es el inmediato siguiente de ... y a la vez el inmediato
anterior a ... y que es el resultado de múltiples composiciones o descomposiciones aditivas:
6 + 1, 5 + 2, 4 + 3, ... y 8 - 1, 9 - 2, 1 O -3, ... ). Todas estas relaciones y operaciones se dan
en el pensamiento de manera simultánea y sin necesidad de realizar ningún proceso de
razonamiento que le suponga hacer inferencias, simplemente esta información se tiene
sin más, precisamente porque el 7 no es un concepto aislado sino que esta ligado a un
sistema. Es decir, el verdadero concepto de número no es un concepto par ticular sino el
sistema total de los numeroso, ¿Qué pasa en el caso del niño? El significado, en un mo
mento más (o menos elaborado de su construcción -hay momentos que corresponden
a niveles más rudimentarios- remite a imágenes muy ligadas a las situaciones concretas,
por ejemplo dedos, que cada vez se van integrando en una red de relaciones (hay más,
hay menos, hay lo mismo) y acciones (reunión o agregación, descomposición o desagre
gación) mentales que, como ya se dijo, aun se encuentran muy ligadas a acciones físicas
y como tales adolecen de la movilidad necesaria para que cada imagen este ligada a la
* Equipo compuesto por:Angela María Robledo. Jorge Castaño G. y Juan Carlos Negret P.
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 25
26
1-'M'CJG I-<AMA
(ífr"As·
multiplicidad de relaciones y operaciones que el sistema numérico comporta. Esto se
ilustra muy bien con lo que contestaba un niño de primer grado al que se le pedía que
calculara ¿cuántas canicas reúnen Pedro y Alberto, si el primero tiene 4 y el segundo
3! El niño contestaba "7". Al preguntársele como lo hacia contestaba: "Yo estiré en mi
mente 4 deditos y después 3 deditos y después los conté". Mientras se permanezca en
este plano, las relaciones y operaciones que se puedan ligar la gran conquista del niño son escasas y resultan aun muy r ígidas. En síntesis, en el caso del adulto el concepto es
abstracto y en el caso del niño el "concepto" aún se encuentra a medio camino, entre
las acciones físicas y la abstracción conceptual.
Aclarado lo anterior ¿Cómo pensar el significado de un numeral como "75"! ¿Qué
es lo que se representa un sujeto en su pensamiento al escuchar"setenta y cinco" o leer
"75"! ¿Será que se pueden formar imágenes de "75" parecidas a las que en un momento
se pueden formar de números pequeños como "7"! Es difícil sostener tal posición. Defi
nitivamente aquí ya no se puede estar tan directamente ligado a lo concreto. Parece más
razonable pensar que en este plano las imágenes que se construyen se hacen sobre la
base de relaciones y operaciones más abstractas, y como tales deben soportarse en un
sistema de numerales -no necesariamente el que corresponde al producto terminado
del sistema decimal de numeración- con los cuales se pueda operar. Quizás la imagen
más elemental que pueda pensarse como adecuada sea la de 7 grupos de diez y 5 sueltas.
Pero de nuevo en este plano no se puede pensar un número aislado de los otros sino
como un sistema total, axial como se planteo arriba para los números pequeños, solo
que en este caso las relaciones y operaciones de composición que se requieren resultan
mas complejas, esto se mostrará mas adelante.
Antes de pasar a hacer un estudio de la lógica que comporta el sistema decimal de
numeración, y aunque resulte reiterativo, conviene dejarnos la siguiente inquietud: La
forma como tradicionalmente se procede al enseñar los números mayores que 9 consiste
en enseñar la sucesión numérica 1 O, 1 1, 12, .. , tratando de mostrar las reglas que rigen
su escritura, considerando que de all í surge la lógica necesaria para llenar de significado
estos numerales. Lo que se procura mostrar en este trabajo puede sintetizarse en:
Está del lado de lo que es propiamente el sistema numérico -no de los numerales- ,
el niño tiene que reconstruir en este nuevo plano lo que ya construyó en el nivel
inferior. Es decir debe reconstruirse ese sistema de relaciones y operaciones que dará
origen al concepto de número en este nuevo rango numérico.Y esto debe ayudarse
a elaborar al niño, simultáneamente con la enseñanza del sistema de los numerales,
para que estos cobren un real significado.
Los numerales escritos en el sistema decimal de numeración y los algoritmos for
males de las operaciones matemáticas, requieren una lógica más o menos compleja
a la que el niño no logra acceder por el hecho de representarle un numeral como
tantas decenas y tantas unidades y por adiestrarlo en los procedimientos. Insistir en
lo que tradicionalmente se hace lleva al niño a memorizar, sin lograr una adecuada
comprensión del Sistema Decimal de Numeración que a su vez soporte una profunda
comprensión de los algoritmos. El camino pedagógico que parece ser más conveniente
es adecuar el estud io del Sistema Decimal de Numeración a las elaboraciones que el
niño va logrando en ese proceso constructivo del concepto de números mayores.
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromientosygestion.com • correo@he rramientasygestton.com H&G
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
ARTÍCULOS
COMPRENSIÓN DEL VALOR POSICIONAL (Basado en la teoría de Kan1ii)
Construir el número toma muchos años, el niño no puede construir el sistema de decenas sobre el sistema de unidades, hasta tanto pueda conservar el sistema de unidades
en su cabeza y lo divida en partes de diez Autor: Caro/ Susana Acosta C.
En cuanto a la importancia que tiene para los niños la comprensión del valor po
sicional de nuestro sistema de numeración, es imperativo hacer referencia al trabajo
desarrollado por Constante Kamii, quien retoma la tesis piagetana sobre la construcción
del número para analizar y justificar las dificultades que presentan, los aprendices de
primero a quinto de primaria, para construir el sistema de decenas y manejar la noción
de valor posicional.
Con respecto a las razones por las cuales el valor de posición es tan difícil, Constante
Kamii resalta tres puntos:
l. El concepto de número corresponde al conocimiento lógico-matemático, cuyo ori
gen descansa en la acción mental del niño y no en grupos de objetos de la realidad
externa.
2. Construir el número toma muchos años, el niño no puede construir el sistema de
decenas sobre el sistema de unidades, hasta tanto pueda conservar e l sistema de
unidades en su cabeza y lo divida en partes de diez.
3. El valor de posición involucra la multiplicación. Por ejemplo "sesenta y uno" significa
"seis veces diez y uno más". La multiplicación tiene que construirse sobre la suma y
no como una simple extensión de la misma.
Estos tres puntos responden las innumerables preguntas que diariamente nos hacemos
los maestros del porqué hasta nosotros mismos le tememos a las matemáticas, sufrimos al
aprenderlas y le huimos a enseñarlas; y es que si nosotros mismos aún no entendemos la
lógica de la construcción de nuestro sistema de numeración, muy difícilmente podremos
hacer que nuestros aprendices lo hagan, de allí la importancia de retomar el artícu lo de
Kamii: "Valor de posición: una explicación de sus dircultades e implicaciones educacionales
para los alumnos de primaria", en el cual se hace una detallada explicación sobre las tres
clases de conocimiento distinguidas por Piaget. En primer lugar el conocimiento fís ico
referido al reconocimiento de los objetos que existen en la realidad externa y que pue
den conocerse por observación. En segundo lugar, el conocimiento lógico matemático
conformado por las relaciones que cada individuo construye por ejemplo al establecer
diferencias o similitudes mediante la comparación de dos o mas objetos o sucesos. El
niño continúa construyendo el conocimiento lógico-matemático mediante la coordina
ción de relaciones previamente creadas ante los objetos. Por ejemplo coordinando las
relaciones de igualdad, diferencia, y más, es capaz de deducir que hay más animales que
vacas en el mundo. Por último el conocimiento social tiene por fuente las convenciones
* Basado en el art ículo: "El valor de posición, una explicación de sus dificultades e implicaciones educacionales" 1988.
Kamii
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 27
28
1-'M'CJG I-<AMA
(ífr"As·
establecidas por la gente, su principal característica es su carácter totalmente arbitrario;
de esta manera, las palabras "uno", "dos" y "tres" y la escritura de los numerales 1, 2
y 3 pertenecen al conocimiento social, pero sus conceptos numéricos pertenecen al conocimiento lógico-matemático.
Para Kamii en la enseñanza tradiciona l, la principal dificultad con el valor posicional se encuentra en la suposición errada de que los numerales simplemente representan
números de objetos o grupos de objetos y realmente la dificultad va más allá va más allá,
se trata de un problema de abstracción conceptual; sobre este tema Piaget distinguió
dos clases de abstracción: Empírica, que tiene que se evidencia cuando el niño se centra
en una sola propiedad de los objetos e ignorar las otras; por otro lado la abstracción
reflexiva que involucra la construcción de las relaciones entre objetos, es este tipo de abstracción el que se señala como "vital" dentro de las matemáticas y la que precisamente
los maestros pasamos por alto.
Si un niño ha construido el número mediante abstracción reflexiva (por síntesis de
orden e inclusión jerárquica), no podría dar a las palabras "uno", "dos" y "tres" ... el
significado que un adulto les da.
Entonces, la construcción del sistema de decenas, en el cual " una decena", "dos dece
nas","tres decenas" ... involucra la construcción de un segundo sistema jerárquico sobre el
primero que los niños han construido, esta construcción requiere de una división mental
del primero, en partes iguales de diez, mientras el primer sistema permanece intacto.
Después de hacer esta d ivisión, el niño debe hacer un proceso de ordenamiento y de
inclusión jerárquica de las mismas.
A continuación se presentan las entrevistas aplicadas a niños de diferentes grados de
primaria, basadas en la experiencia de Kamii.
ENTREVISTA 1:
Andrés -7 años 6 meses- grado primero. (Situación tomada de Const.l.nce Kamii)
Se verificará que el niño cuenta, lee y escribe los números hasta 99.
E: ¡Cuántas fichas hay aquí? (Se le entrega un montón de 36 fichas)
N: Cuenta correctamente de uno en uno
E: A un amigo tuyo le pedimos que contara cuántas fichas había en este montón (de
43) y él hizo así: Primero formó un grupo de di ez (Se for ma delante del niño y contando de uno en uno el grupo de diez y se separa del montón de 43), después
hizo otra de diez (se forma el segundo grupo) y siguió así, ¡entiendes?
N: Sí.
E: Cuando formó todos los grupos de diez, nos dijo cuántas fichas había en el mon
tón. Puedes contar como lo hace tu amigo? Se le revuelven los dos montones
antes hechos.
N: Forma los grupos de diez y los va separando sobre la mesa. (4 grupos de diez y 3 sueltas)
E: ¡Cuántas fichas hay?
N: 1 O (A la vez que señala el primer grupo), al llegar al segundo, toma de a uno y
cuenta de" 1 1, 12, ... ",hace lo mismo con el tercero y el cuarto, ...
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromie ntosygestion.com • coneo@herramientasygestton.com H&G
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
ENTREVISTA 2:
Juan -8 años- Segundo
E: Explica el procedimiento de agrupar de a diez. ¿Tú lo puedes hacer así?
N: Sí
E: ¿Cuántos hay aquí? (Se le entrega un montón de 58)
N: Hace 5 montones de a 1 O y deja los restantes aparte. 1 O, 20, 30, 40, 50 y 8 (A
medida que cuenta cada grupo de diez, pone una mano sobre él como indicando
que ya lo contó).
¿Por qué el primer niño no puede dar cuenta de la cantidad de fichas contando de
diez en diez? Al hacer grupos de diez, el niño se enfrenta a un conjunto con unidades
heterogéneas (las de diez y las de uno), si no está en capacidad de manejarlas simultánea
mente se vera en la obligación de homogenizarlas para poderlas contar. Podrá dar cuenta
o de los grupos de diez o de las sueltas, pero no de ambos a la vez; al hacer los grupos
de diez, la totalidad se divide en partes y para dar cuenta de la totalidad el niño debe ser
capaz de volverla a componer en el pensamiento. Esto lo ilustra Kamii ( 198) "Cuando pedí a los niños de primer grado que contaran las fichas por decenas, inmediatamente preguntaron " ¿Usted quiere grupos de diez?" Yo les conteste que quería que contaran las fichas por
decenas, de la forma que quisieran, e hicieron grupos de diez. Después les pregunte
que cuántas fichas había por todo, contestaron "siete" (refiriéndose a los siete grupos),
cuando pregunte" ¿En total siete fichas?, dando a entender que no estaba satisfecha con
esta respuesta, los niños de primero cambiaron su respuesta a "diez" (significando que
en cada grupo había diez). Estas respuestas no son sorprendentes, si se tiene en cuenta
que las relaciones cuantitativas de parte a todo son muy difíciles antes de los 7 u 8 años
de edad. La mayoría de los alumnos de primero pueden pensar en la totalidad y en las
partes sucesivamente, pero no simultáneamente ... "
SEGUNDA SITUACIÓN
E: Resulta que tú tienes 142 rayas, con esas rayas vas a hacer grupos de a diez.
¿Cuántos grupos de diez puedes hacer?
N: ¿Con rayas? ¿Cuántas rayas hay?
E: Son 142 rayas.
N : Y en grupos de a diez ... ¿Ciento qué?
E: 142
N: ¡Ya! . . . 1 O grupos
E: 1 O grupos. ¿Por qué?
N: Uno empieza 1 O, 20, 30, 40, 50: serían S grupos y otros 1 O, 20, 30, 40, 50, son diez
grupos ... (Guarda silencio como si ya hubiera terminado)
E: Con esos diez grupos ¿Cuántas rayas tendrías?
N : 100 rayas
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 29
30
1-'M'CJG I-<AMA
(ífr"As·
El niño sigue haciendo intentos por resolver el problema, finalmente la entrevista
se desenvuelve as í:
E: Entonces ¡Cuántos grupos se forman con las 142 rayas?
N: Son 1 O grupos ... ¡Ah, no! Son 1 1 O grupos
E: ¡Por qué?
N: Porque mira, iban 100 y eran 142, serían 140 grupos.
E: ¡Serían 140 grupos de diez?
N: Sí
E: ¡Por qué?
N: Como habían 1 O grupos de diez, uno completa 1 00 y uno suma otros 1 O y quedan
110, y otros 10, 120 y otros 10, 130 y otros 10 son 140 ...
E: ¡ 140 qué?
N: 140 grupos de diez
E: ¡Y cuántas rayas son?
N: ¡En total? 140 rayas
E: La pregunta que te hago es: Con las 142 rayas ¡Cuántos grupos de diez pueden
salir?
N: ¡De diez? ... 1 OO ... , 1 O, 240 (Haciendo cuentas mentalmente) 140 serían ... 140
grupos de 1 O.
E: ¡ 140 grupos de diez?
N: Sí, 140 grupos de diez.
E: Y si tienes 140 grupos de diez, ¡Cuántas rayas son?
N: 140 rayas (convencido, le parece obvio)
E: O sea que ¡Es lo mismo tener 140 rayas que tener 1 O grupos de diez?
N: ¡No! (Lo dice con seguridad)
Nota: El niño cae en la cuenta de la contradicción, reinicia sus cuentas hasta terminar
resolviendo correctamente el problema.
RESULTADOS:
Sumando a la experiencia de Kamii las entrevistas anteriormente expuestas, podemos
reafirmar sus conclusiones:
l. Contar fichas a su manera: La mayoría de los estudiantes de primaria, cuentan por
unidades grandes cantidades de fichas. Contar por decenas, mediante la completa
separación en grupos de diez no aparece en los primeros grados. Una técnica fre
cuentemente usada fue contar pares, sin e mbargo, ésta es tan sólo una forma más
rápida de contar unidades.
2. Contar Fichas por decenas: En esta parte se evidencia claramente que la dificultad que
presentan los aprendices para contar unidades de segundo orden tiene que ver con
la dificultad para establecer relaciones parte-todo. Se presentan situaciones como:
- No saber como contar las fichas, es decir, niños a los cuales les fue imposible en
contrar la manera de contar las fichas presentadas por decenas.
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromientosygestion.com • coneo@herramientasygestton.com H&G
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
- Contar cada ficha como si fuera una decena, es decir, se relaciona con la matemática moderna, la cual enseña a los niños a hacer grupos de dos, tres, cuatro, etc., y codificar
y decodificar grupos de números y de unidades en una variedad de bases.
- No diferenciar el todo en sus partes, es decir, contar grupos de diez, separarlos
físicamente pero no poder dar cuenta de qué cantidad están conformando esos grupos de diez
- Hacer grupos de diez conservando el todo. en donde se hacen los grupos de diez pero se mant iene la totalidad al poder expresar que cifra representan esos grupos
de diez.
Al analizar estas entrevistas podemos comprender la conclusión de Kamii con respecto a la enseñanza de las matemáticas en los primeros grados: "La dificultad generalizada del valor de posición puede deberse, por lo menos en parte, a los procedimientos clásicos de enseñanza. El procedimiento de empezar con las unidades estimula a los niños a contestar irreflexivamente respuestas sin pensarlas. Los procedimientos convencionales parecen ser eficientes para el adulto. Pero los niños pequeños no piensan como los adultos y si quisiéramos mejorar la enseñanza necesitaríamos enfocarla en la forma como ellos piensan. El valor de posición y los procedimientos convencionales son producto de centurias de construcción por parte del adulto. Los niños no pueden "tragarse" estos productos en su forma final. Para dominar el valor de posición y continuar con otras cosas que dependen de su fundamentación, ellos deben seguir un proceso de reconstrucción".'
1 Kamii. M. El valor de posición, una explicación de sus dificultades e implicaciones educacionales para los
alumnos de primaria. 1998.
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 31
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
ARTÍCULOS
SITUACIONES ADITIVAS NUMÉRICAS SIMPLES Entendidad como las situaciones de la vida escolar o cotidiana que para ser resueltas
requieren de la realización de una operación aditiva numérica
Autores: Equipo investigador
de fa Facultad de Psicología de fa Universidad javeriana
A continuación presentamos un trabajo de investigación y conceptualización sobre
situaciones aditivas numéricas simples que son propias de la etapa del desarrollo en la
cual se encuentran los aprendices. En la primera parte se describen las diferentes clases
de situaciones aditivas numéricas simples, ejemplificando cada una de ellas; en la segunda
parte se muestran también de forma ejemplificada los diferentes procedimientos a emplear
para resolver dichas situaciones, y por último se presentan los procedimientos a seguir
en la resolución de cada tipo de situación.
l. Clasificación descriptiva de las situaciones aditivas numéricas simples
Entendemos por situaciones aditivas numéricas simples, las situaciones de la vida
escolar o cotidiana que para ser resueltas requieren de la realización de una operación
aditiva numérica. Se llaman "simples" para diferenciarlas de las situaciones aditivas nu
méricas "compuestas" las cuales requieren para su resolución de la realización de dos o
más operaciones aditivas numéricas.
Toda situación aditiva numérica simple presenta tres elementos, los cuales correspon
den lógicamente a dos partes (P 1 y P2) y una totalidad (T) resu ltante de la composición
de las dos partes. Su forma genérica sería:
Parte uno (P 1) + Parte dos complementaria (P2) = T (Totalidad)
Como se trata de una situación problema, esto es, una situación que ha de ser resuelta
por el sujeto, se caracteriza porque presentan dos elementos conocidos para obtener el
tercero desconocido a partir de estos dos.
De acuerdo a diversos factores , las situaciones aditivas numéricas simples son sus
ceptibles de ser clasificadas y tipificadas lógicamente. Con el propósito de hacer una
clasificación lógica de dichas situaciones, presentamos el siguiente cuadro que ilustra sin
orden alguno diferentes situaciones aditivas numéricas simples:
* Equipo compuesto por:Angela María Robledo. jorge Castaño G. y Juan Carlos Negret P.
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 33
1-'M'CJG I-<AMA
(ífr"As·
DIVERSAS SITUACIONES ADITIVAS NUMÉRICAS SIMPLES
• Pedro tiene 15 bolitas, Javier tiene 16 bolitas, ¿Cuántas bolitas tienen entre los dos?
• Tienes 1 O bolitas, juegas y pierdes 4 bolitas, ¿Con cuántas bolitas te quedas al final?
• Pedro t iene 15 bolitas, ¿Cuántas bolitas le faltan para completar 30?
• Pedro t iene $100 y Javier tiene $80, ¿Cuánta plata más tiene Pedro que Javier?
• Jugaste y ganaste 4 bolitas, y al final del juego quedaste con 9 bolitas, ¿Cuántas bolitas tenías antes de empezar el juego?
• Jugaste y perdiste 7 bolitas, y al final del juego quedaste con 8 bolitas, ¿Cuántas bolitas tenías antes de
empezar el juego?
Primer lapso
Situaciones Aditivas de la forma 1 (con evento)
En un primer análisis de las situaciones presentadas se puede observar que algunas
de ellas se caracterizan porque se refieren a sucesos ocurridos en el tiempo, en donde
un evento transforma una situación inicial. Se tienen por ejemplo 5 bolas, se ganan 8 y se
pregunta por e l número de bolas con las que se queda después del juego. En términos
generales podemos definir estas situaciones porque se componen de un Estado Inicial
(Ei), un Evento (Ev) que transforma el estado inicial, y un estado Final (Ef) resultante de
esa t ransformación. De manera más sistemática podríamos analizar esas situaciones así:
Segundo lapso Tercer lapso
Estado inicial--i> Ei Evento --i> Ev Estado Final--i> Ef
Tienes 4 bolitas
Dato 1
Pedro tiene S bolitas
juegas y te ganas 5 ¿Con cuántas te quedaste?
Situaciones Aditivas de la forma 11 (sin evento)
Las situaciones restantes se caracterizan porque no hacen referencia a un evento
que transforme en algún momento un estado de cosas. Presentan dos datos que hacen
referencia a estados de cosas y se hace una pregunta que pone en relación esos datos,
preguntándose por el tercer dato que cumple la re lación especificada. Podemos ilustrar
estas situaciones así:
Dato 2 Dato resultante
Javier tiene 16 ¿Cuántas bolitas tiene más Javier que Pedro?
34 Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® H&G Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromientosygestion.com • correo@herramientasygestton.com
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
En las primeras situaciones mencionadas se trata de dar cuenta de una T RANS
FORMACIÓN CONCRETA, que sucedió realmente, descrita por el EVENTO. En las
otras situaciones se trata de encontrar mediante una operación el dato que verifica la
RELACIÓN ABSTRACTA, que la situación demanda, descrita por la pregunta. En otras palabras la pregunta define la re lación aditiva que el sujeto tiene que establecer entre
los elementos conocidos para obtener una operación aditiva numérica, el elemento
desconocido. Como consecuencia de lo anterior encontramos que las primeras situa
ciones implican temporalidad, a diferencia de las segundas que hacen abstracción de toda
temporali dad.
En el cuadro siguiente presentamos las situaciones aditivas clasificadas de acuerdo a la presencia de una TRANSFORMACIÓN real descrita por un EVENTO (situaciones
con evento), o de una RELACIÓN (situaciones sin evento).
Las 4 situaciones aditivas numéricas simples sin evento
·Tipo de situación Forma de pregunta Ejemp.los
Tipo 1 ¿Cuánto se reúne? . Pedro tiene 15 bolitas, ¿Cuánto suma? Etc. Javier tiene 16 bolitas,
¿Cuántas bolitas reúnen entre los dos?
Tipo 11 ¿Cuánto es la diferencia? • Pedro tiene 50 bolitas, ¿Cuál es la resta? Etc. Javier tiene 16 bolitas
¿Cuál es la diferencia de bolitas entre Pedro y Javier?
Tipo 111 ¿Cuánto le falta? • Pedro tiene 15 bolitas, ¿Cuánto menos? ¿Cuántas bolitas le faltan ¿Cuánto hay que ponerle? para completar 30? Etc. • Pedro tiene $15, José tiene
$30, ¿Cuánto menos tiene Pedro con relación a José?
Tipo IV ¿Cuánto le sobra? • José tiene $30, ¿Cuánto le ¿Cuánto más? sobra con relación a Juan ¿Cuánto hay que quitarle? que tiene $18? Etc. • Pedro tiene $1 00 y Javier
tiene $80, ¿Cuánta plata más tiene Pedro que Javier?
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 35
1-'M'CJG I-<AMA
(ífr"As·
Las 6 situaciones aditivas numéricas simples con evento
Tipo de la situación Forma de la situación Ejemplo estados-evento
Tipo 1 Ei Ev+ 1 • Tiene 4 bolitas, juegas y te ganas 5 bolitas, ¿Con cuántas bolitas te quedaste al final?
Tipo 11 Ei Ev- ? • Tienes 1 O bolitas, juegas y pierdes 4 bolitas, ¿Con cuántas bolitas te quedas?
Tipo 111 Ei ?+ Ef • Tienes 25 bolitas, juegas y al final del juego te das cuenta que tienes 32 bolitas, ¿Qué pasó en el juego? ¿Cuántas bolitas ganaste?
Tipo IV Ei 1_ Ef • Tienes 23 bolitas, juegas y al final del juego te das cuenta que tienes 15 bolitas, ¿Qué pasó en el en el juego? ¿Cuántas bolitas perdiste?
Tipo V 1 Ev+ Ef • Jugaste y ganaste 4 bolitas, y al final del juego quedaste con 9 bolitas, ¿Cuántas bolitas tenías antes de empezar el juego?
Tipo VI ? Ev- Ef • Jugaste y perdiste 7 bolitas, y al final del juego te quedaste con 8 bolitas, ¿Cuántas bolitas tenías antes de empezar a jugar?
36 Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromientosygestion.com • correo@herramientasygestton.com H&G
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
11. Esquemas cognitivos usados para la resolución de situaciones aditivas numéricas simples
A continuación se presentan los diferentes esquemas cognitivos que se emplean para resolver las situaciones adit ivas numéricas, dichos esquemas permiten comprender la
lógica de resolución de cada una de las situaciones anteriormente descritas.
Situación de tipo 1: Composición
Este tipo de situación sucede cuando un estado se ve transformado por un evento
positivo (ganar, recibir, etc.); o cuando se presentan dos datos referidos a estados de
cosas y se pregunta por LA SUMA (o la reunión o el total, etc.). Lo que se demanda
lógicamente para resolverlas es que el sujeto tenga al menos una INTUICIÓN DE LA
RELACIÓN DE COMPOSICIÓN.
EJEMPLOS:
Forma 1: Tienes 6 monedas, en casa te regalan 3 monedas más, ¿Con cuántas monedas te quedas
al final?
Forma 11: Tienes 1 O monedas y Juan tiene 8, ¿Cuántas bolitas tienen entre los dos?
Forma directa -y ún ica- de asimilar y resolver la situación: En este caso el sujeto re
suelve la situación reuniendo física o mentalmente los conjuntos que la situación presenta o, adicionando numéricamente los datos de la misma.
En términos de relaciones de parte y todo, para resolver esta situación, al sujeto
le basta tener la INTUICIÓN de que lo que se le demanda es hacer una composición
de los datos considerados como partes para obtener la totalidad , (P 1 + P2 ---P T).
En ciertos casos es posible el reconocimiento de que esa totalidad abarca las dos partes
(T ---P P 1 + P2). El esquema que sintetiza las relaciones descritas, se expresa en la
siguiente fórmula:
PI + P2 ---P?
El signo + representa las acciones aditivas que el sujeto debe ejecutar.
El signo ---P representa el PRODUCTO de las situaciones aditivas.
Situación de tipo 2: Descomposición
Esta situación sucede cuando un estado se ve transformado por un evento negativo
(perdió, entregó, etc.); o porque se presentan dos datos referidos a estados de cosas y se pregunta por la RESTA (o la diferencia, etc.). Lo que demanda lógicamente para re
solver estas situaciones es que el sujeto descubra, intuitivamente, al menos en ellas una
SITUACIÓN DE DESCOMPOSICIÓN.
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 37
38
1-'M'CJG I-<AMA
(ífr"As·
EJEMPLO:
Forma 1: Tienes 1 O monedas, vas a la tienda y gastas 4 monedas, ¿Con cuántas monedas te quedas!
Forma 11: Ayer tenías 1 O monedas y hoy sacaste 4 ¿Cuántas monedas te quedan!
Formas de asimilar y resolver esta situación
a. Forma Directa: Por la vía de la descomposición: En este caso el sujeto resuelve la
situación separando física o mentalmente el conjunto correspondiente al número menor del conjunto correspondiente al número mayor, o sustrayendo numéricamente
el dato menor del dato mayor.
En términos de las relaciones parte y todo, para resolver esta situación, al sujeto le
basta tener la INTUICIÓN de que lo que se le demanda es hacer una DESCOMPOSICIÓN
de la totalidad para obtener la parte desconocida (T- P 1 --i> P2), intuición que puede
ser lograda por el sujeto preoperatorio. Pero tal como se dice es una INTUICIÓN. El
hecho de reconocer que la totalidad se puede descomponer en dos partes y que al retirar
una queda la otra, no necesariamente supone que el sujeto reconozca que al retirar una
parte lo que queda es la parte complementaria.
El esquema que sintetiza las relaciones descritas, lo expresamos en la siguiente for
mula: T-PI --i>?
b. Forma con transformación por la vía del complemento: En este caso el sujeto
resuelve la situación partiendo del dato menor, buscando lo que le falta para completar
el dato mayor.
En términos de las relaciones parte y todo a diferencia de la forma directa de repre
sentarse y resolver la situación, en este caso el sujeto se representa, ya en algún grado,
la coordinación de las relaciones de composición y descomposición.
Esta coordinación cuando es operatoria es la equivalencia que se expresa en la fór
mula: T - P 1 = P2 4--i> P 1 + P2 = T
Como en este momento se trata de una coordinación intuitiva, es como si el sujeto
se representara que la obtención de la parte desconocida (P2) por la descomposición
del todo, corresponde a buscar el complemento de la parte conocida con respecto al
TODO.
El esquema que sintetiza las relaciones y la coordinación descritas, lo expresamos en
la siguiente fórmula:
(T - P 1 --i> ?) ===P (P + --i> T)
El signo===Prepresenta la coordinación intuitiva que no es aún la equivalencia entre
las relaciones descritas.
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromie ntosygestion.com • correo@herramientasygestton.com H&G
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
Situaciones de tipo 3: Complemento
Este tipo de situaciones se caracteriza cuando se trata de una situación de FORMA
porque un estado se ve transformado por un evento positivo (ganó, recibió, etc.) que es desconocido, produciéndose un nuevo estado conocido (se quedó, etc.); o cuando se
trata de una situación de FORMA 11 porque se presentan dos datos referidos a estados
de cosas y se pregunta por LO QUE FALTA (o cuanto menos, cuántos debe poner para . .. ,
etc.). Lo que demanda lógicamente para resolver estas situaciones es que el sujeto descubra en ellas UNA RELACIÓN DE COMPLEMENTO.
EJEMPLO:
Forma 1: Tienes 18 monedas, en tu cumpleaños te regalan varias monedas y cuando te das cuenta ya tienes 25 monedas, ¿Cuántas monedas te regalaron?
Forma 11: Si tienes 18 monedas, ¿Cuántas te faltan para completar 30?
Formas para asimilar y resolver esta situación
a. Forma directa por la vía del complemento: En este caso el sujeto resuelve la situación partiendo del dato menor, buscando lo que falta para completar el dato
mayor.
En términos de las relaciones parte y todo para resolver esta situación, el sujeto ha
de comprender que lo que se le demanda es encontrar el complemento de la parte conocida con respecto al todo.
Para comprender que a una parte (P 1) se le puede agregar otra parte (P2) para
complementar el todo, es necesario que el sujeto tenga intuición de COMPOSICIÓN y que comprenda que la parte que ha de encontrar (P2) es ahora la parte
complementaria (que notamos P2). Esto no significa que el sujeto comprende que el complemento equivalga a la sustracción de la parte conocida de la totalidad.
Como se desconoce una de las partes, la fórmula del esquema como el sujeto se representa esta situación es:
PI +
b . Forma con transformación por la vía de la sustracción: En este caso el sujeto
resuelve la situación sustrayendo del dato mayor que reconoce como la totalidad, el dato menor que reconoce como la parte.
Este tipo de resolución se produce porque además de la forma directa de representarse y resolver esta situación, es también posible que si el sujeto tiene en algún grado la
coordinación de las relaciones de composición y descomposición, pueda representarse esta situación.
Es como si el sujeto representara que la obtención de la parte complementaria (P2)
con respecto al todo (T) a partir de la parte conocida (P 1 ); corresponde a comprender que la parte complementaria (P2) es lo que queda una vez que a la totalidad le
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 39
40
EJEMPLO:
1-'M'CJG I-<AMA
(ífr"As·
sustrae la parte conocida (P 1 ). El esquema que sintetiza las relac iones y la coordinación
descritas, lo expresamos en la siguiente fórmu la:
P 1 + ? ---i> T ===P T - P 1 ---i> P2
El signo ===P representa la coordinación intuitiva que no es aún la equivalencia
entre las relaciones descritas.
Situaciones de tipo 4: Excedencia
Este tipo de situaciones se caracteriza cuando se trata de una situación de la FORMA
1 porque un estado se ve transformado por un evento negativo (pe rdió, entregó, etc.) que es desconocido, produciéndose un nuevo estado conocido (se quedó con ... );o cuando se
trata de una situación de la FORMA 11 porque se presentan dos datos referidos a estados de cosas y se pregunta por LO QUE SOBRA (o ¿Cuánto más! ¿Cuántos se deben quitar
para ... !, etc.). Lo que se demanda lógicamente para resolver la situación es que el sujeto descubra en ella UNA RELACIÓN DE EXCEDENCIA.
Forma 1: Tienes 25 monedas, vas a la tienda y compras varias golosinas, te quedaron 1 O monedas, ¿Cuántas monedas gastaste!
Forma 11: Tienes 25 monedas Juan tiene 50, ¿Cuántas monedas más tiene Juan!
Formas resolver esta situación
a. Forma directa por la vía de la excedencia: En este caso el sujeto resuelve la situación partiendo del dato mayor, y buscando el dato que sustraído a éste, le permite
obtener el dato conocido.
En términos de relaciones parte y todo para resolver esta situación, el sujeto ha de comprender que lo que se le demanda es encontrar la excedencia del todo conocido
con respecto a la parte conocida.
Para comprender que se puede encontrar lo que a la totalidad (T) le sobra con res
pecto a una parte conocida (P2), parecería bastar que el sujeto tenga la intuición de la descomposición. El esquema que sintetiza de manera general las relacio nes descritas
en esta forma de representarse la situación, se puede expresar en la fórmula:
T-? ---i> PI
b. Forma con transformación:
• Por la vía de la sustracción: En este caso el sujeto puede resolver la situación sustrayendo el dato mayor que reconoce como la totalidad, el dato menor que reco
noce como una de las partes. Este tipo de resolución se produce porque además de
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromientosygestion.com • correo@herramientasygestton.com H&G
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
la forma directa de representarse y resolver esta situación, es también posible que
si el sujeto tiene, en algún grado, la coordinación de las relaciones de composición
y descomposición, puede representársela como una relación de descomposición. Es como si el sujeto se representara que la obtención de la parte excedente (P2) con
respecto al todo (T) a partir de la parte conocida (P 1 ), corresponde a comprender que la parte excedente (P2) es lo que queda una vez que a la totalidad se le sustrae
la parte conocida (P 1 ). El esquema que sintetiza las relaciones y la coordinación
descritas lo expresamos en la siguiente fórmula:
(T - ? --i> P 1 ) ~ (T-PI --i> ?)
• Por la vía del complemento: En este caso el sujeto puede resolver la situación
buscando el complemento de la parte menor con respecto a la parte mayor. Este tipo de resolución se produce porque además de las formas precedentes de re
presentarlas y resolver esta situación, es también posible que si el sujeto tiene en algún grado, la coordinación de las relaciones de composición y descomposición,
pueda representarse y resolver esta situación buscando el complemento de la parte conocida con respecto al todo conocido. Es como si el sujeto se representara que
la obtención de la parte excedente (P2) con respecto al todo (T) a partir de la parte conocida (P 1 ), corresponde a comprender que la parte excedente (?) desconocida
es lo que le falta a la parte conocida (P 1) para completar la total idad. El esquema que sintetiza las relaciones y coordinación descritas, se expresa en la siguiente
fórmu la:
(T - ? --i> P 1 ) ~ ( p 1+}
Situaciones de tipo 5: Complemento a izquierda
Este tipo de situaciones que solo se presentan en la FORMA 1 se caracterizan por
que un estado inicial desconocido (no se sabe cuánto tenía) se ve t ransformado por un evento posit ivo (juega y gana, recibe, etc.) produciendo un nuevo estado conocido (se
queda con). Lo que se demanda lógicamente para encontrar el estado inicial desconocido (cuánto ten ía) es que el sujeto establezca UNA RELACIÓN DE COMPLEMENTO
A IZQUIERDA
EJEMPLO:
Forma 1: Te encontraste 3 monedas y con las que tenías reuniste 9 monedas ¡Cuántas monedas
tenías al principio!?
Forma 11: No aplica
Formas resolver esta situación
a. Forma directa por la vía del complemento a la izquierda: En términos de las
relaciones parte y todo para resolver esta situación, el sujeto se representa que lo que t iene que encontrar es la parte desconocida (P 1) que adicionada con la parte co-
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 41
42
1-'M'CJG I-<AMA
(ífr"As·
nocida (P2) le produce la totalidad. Para comprender que el estado inicial es una parte
desconocida, que adicionada con el evento que es la otra parte, produce el estado final
que es la totalidad, es necesario que el sujeto tenga la intuición de la composición:
? + P2 ---i> T
Pero en este caso con la intuición de la descomposición resultaría insuficiente. En efecto, además de la intuición de la composición, en esta situación el sujeto debe te
ner en cuenta de manera más precisa las relaciones de temporalidad, presente en las
situaciones anterio res de la FORMA I.Y esto porque en los casos anteriores, el sujeto
establece las relaciones parte y todo en el mismo orden en que suceden en el tiempo
puesto que siempre conoce el estado inicial. En este caso, lo que sucede es que el sujeto
tiene que representarse un evento que actuó en el pasado, sobre un estado inicial que él desconoce.
Entonces para representarse las partes a componer debe reconstruir, en el tiempo,
la situación y comprender que lo que tenía era una parte que modificada por el evento
-la otra parte- le produjo el estado final -/a totalidad-. Esto se refleja de manera muy clara
cuando a algunos sujetos al presentarles la situación exigen que se les de el estado inicial.
Veamos un ejemplo en la siguiente entrevista:
E: No sabías cuántas bolitas tenías, juegas y ganas 5 bolitas, y ahora tienes 13 bolitas.
¿Cuántas bolitas tenías antes de jugar!
N: Pero ¿Cuántas tenía al principio!
E: Eso es lo que te estoy preguntando
N: Si no me dice cuántas tenía al comienzo, no le puedo responder.
Esto explica por qué las situaciones de tipo 5, que se resuelven a partir de la intui
ción de la composición son más difíciles de resolver para los sujetos, que las anteriores
que se basan en esta misma intuición. En efecto, si bien un sujeto tiene la intuición de la
composición (P 1 + P2 ---i> T),lo que se le dificulta aquí es reconocer en los datos del
problema, qué corresponde a las partes y qué al todo, y cuáles son las relaciones entre
ellos y la incógnita. El esquema que representa las relaciones descritas en esta forma de
presentarse y resolver la situación, se pueden expresar en la fórmula:
? + Ev ---i> Ef
? + P2 ---i> T
b. Formas con transformación
Por la vía del complemento a derecha: En este caso el sujeto puede resolver la situación
partiendo del evento, buscando lo que le falta para completar el estado final. Este tipo
de resolución se produce porque además de la forma precedente de representarse y
resolver esta situación, el sujeto tiene, en algún grado, la coordinación de las relacio
nes de composición y descomposición y el manejo de las relaciones de temporalidad
implicadas en la situación, que le permiten comprender el dato-evento como la parte
conocida a la que se le demanda encontrar el complemento.
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromie ntosygestion.com • correo@he rramientasygestton.com H&G
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
Es como si el sujeto se representara que la parte desconocida (P 1 !), corresponde a
obtener el complemento a derecha de la parte conocida (P2) con respecto al todo. El esquema que sintetiza las relaciones y la coordinación descritas, lo expresamos en la
siguiente fórmula:
(? + P2 --i> T) ~ ( P2 +? --i> T)
Por la vía de la sustracción: En este caso el sujeto puede resolver la situación sustrayendo del dato -estado final- que reconoce como la totalidad y el dato-evento
que corresponde como una de las partes. Este tipo de resolución se produce porque además de la forma directa de representarse y resolver esta situación es también posible
que si el sujeto tiene, en algún grado, la coordinación de las relac iones de composición
y descomposición , puede presentarse que el complemento a izquierda se puede hacer corresponder con la descomposición.
Es como si el sujeto representara que la parte desconocida (P 1) es lo que queda una
vez que a la totalidad se le sustrae la parte conocida (P2). El esquema que sintetiza las relaciones y la coordinación escritas, lo expresamos en la siguiente fórmula:
( ? + P2 --i> T) ~ (T - P2 --i> ?)
Situaciones de tipo 6: Recomposición
En este caso para resolver este tipo de situaciones que solo se presentan en la FORMA
se caracterizan porque un estado inicial desconocido (no se sabe cuánto tenía ... ) se ve transformado por un evento negativo (juega y pierde, entrega, etc.) produciéndose un
nuevo estado conocido (se queda con ... ) Lo que se demanda lógicamente para encontrar el estado inicial escocido, es que el sujeto establezca una relac ión de composición
que por el carácter fuertemente temporal de esta situación llamamos RELACIÓN DE COMPOSICIÓN.
EJEMPLO:
Forma 1: Gastaste 6 monedas y te quedaron 8, ¿Cuántas monedas ten ías antes de gastar!
Forma 11: No aplica
Formas para asimilar y resolver esta situación
a. Forma directa por la vía de la descomposición: En términos de las relaciones parte y todo para resolver esta situación el sujeto se representa que lo que tiene
que encontrar es la totalidad desconocida -el estado inicial- que al sust raerle la parte conocida -el evento- le produce la otra parte -el estado final- . Para comprender que
el estado inicial es la totalidad desconocida a la que al sustraerle la parte conocida -el evento- produce el estado final que es la otra parte:
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 43
44
1-'M'CJG I-<AMA
(ífr"As·
E·? l.
T?
Ev ......P Ef
P 1 ----i> P2
Ahora, para tener la intuición de la descomposición, en este caso, se requiere que el
sujeto sea capaz de representarse el estado inicial como el Todo. Pero en este caso el
todo es desconocido el sujeto debe conservarlo a pesar de que fue descompuesto por el evento - una de las Partes- que le produjo el estado final -la otra Parte-.
111. Procedimientos para la resolución de situaciones aditivas numéricas simples
Cuando el sujeto se ve enfrentado a una situación aditiva en primera instancia se
representa la situación asimilada a determinados esquemas cognitivos tal como los presentados anteriormente. Pero para la resolución de la situación el sujeto realiza una
especie de acciones particulares que llamamos PROCEDIMIENTOS.
Siguiendo los planteamientos de Piaget, los procedimientos consisten en secuencias de acciones que sirven de medios para conseguir el objetivo, siendo este lo que determina
las acciones. Estas consecuencias son verdaderos sistemas de acción que en tanto tales se pueden identificar y se caracterizan en términos generales porque:
Están estrictamente vinculados a los esquemas cognitivos, los cuales les otorgan significación y pertinencia.
Están dirigido a alcanzar un objetivo.
Es difícil abstraerlos de su contexto, ya que se relacionan con situaciones específicas
y heterogéneas.
Son temporales, en el sentido en que el método posterior sustituye al anterior que ya no resulta necesario.
Son transferib les entre situaciones pero no generalizables como los esquemas.
Procedimiento 1: Reunión y conteo
Es aquel que cuando para resolver una situación, el sujeto procede de la siguiente manera:
• Junta física o mentalmente los conjuntos A y B.
Cuenta el número de elementos del conjunto resultante C.
Expresado dicho procedimiento en una fórmula sería: R(A;B) e ere
En donde R(A;B) significa la reunión de los conjuntos A y B; y crC significa el número cardinal del conjunto C.
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromientosygestion.com • correo@herramientasygestton.com H&G
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
ENTREVISTA
lván- 6 años-preescolar
E: Tienes 4 bolitas y te ganas S bolitas. ¡Cuántas bolitas tienes en total?
N : (Dibuja primero 4 bolitas y después las otras S)
o o
Me quedo con 9.
o o
o o
o o
E: ¡Cómo hiciste para saber que eran 9?
o
N: Conté 1 ,2,3,4,S,6,7,8,9, (señalando las bolitas)
Procedimiento 2:Agregación sucesiva y reflexión
En este caso el sujeto parte del cardinal del primer conjunto y agrega sucesivamente
el número de veces designado por el cardinal del segundo conjunto. Su fórmula es:
CRa (+lyrB -i> CRc
Donde(+ 1) elevado al "crB" significa que la acción de agregar 1 se repite tantas veces como lo indica el cardinal B, hasta obtener el cardinal C.
ENTREVISTA
Fabio- 8 años-Primero
E: Tienías 4 bolitas jugaste y ganaste S bolitas. ¡Con cuántas bolitas quedaste al final?
N: 9 (contesta inmed iatamente)
E: ¡Cómo hiciste para saber que eran 9?
N: Pensando
E: ¡Cómo?
N: En la mente
E: ¡Cómo pensaste en la mente?
N: Sumando. Dice 4 (levanta la mano), S (agachando un dedo), 6 (agachando el siguiente), y así sucesivamente 7,8,9
El sujeto adiciona los cardinales a los dos conjuntos, bien sea acudiendo a los algo
ritmos aritméticos posic ionales o no posicionales.
Procedimiento 3: Adición por procedimientos no posicionales: El sujeto
adiciona los cardinales de los conjuntos por procedimientos no posicionales descomponiendo y recomponiendo los cardinales con los que opera.
Los procedimientos no posicionales son muy diversos dependiendo de las cantidades
con las que se esté trabajando. En algunas ocasiones se descompone el número en decenas (el 24 en 20 y 4) en otras ocasiones se le agrega al número lo necesario para completar
la decena siguiente (el 24 al 30), etc.
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 45
46
ENTREVISTA
1-'M'CJG I-<AMA
(ífr"As·
Procedimiento lB: Adición por procedimientos posicionales: El sujeto adi
ciona los cardinales de los conjuntos siguiendo el procedimiento posicional (el algoritmo
aritmético que se aplica cuando se suman los cardinales dispuestos en columnas).
Diego -9 años- Grado Segundo
E: Tienes 23 fichas. Estamos jugando y te ganas 15 fichas. ¿Cuántas tienes en total?
N: 38 (dudando)
E: ¿Cómo hiciste para saber que eran 38?
N: Tenía 23 y gané 15, entonces pensé que eran 20 y si eran 15 entonces eran 35;y después sumé los otros tres y me dio el resultado
ENTREVISTA
Procedimiento 4: Separación y conteo
Para resolver la situac ión el sujeto procede de la siguiente manera:
• Separa física o mentalmente el conjunto A del C.
• Cuenta el número de elementos del conjunto resultante B.
Expresado este procedimiento en una fórmu la, sería:
S(A,C) ~ crB
En donde S(A,C) significa la separación del conjunto A del conjunto C , y crB significa el cardinal del conjunto B.
FABIO -8 años- Grado Primero
E: Tienes 17 bolitas juegas y al final miras y tienes 25 bolitas. ¡Qué pasó durante el juego?
N: (El niño pinta las 17 bolitas y se queda en silencio)
E: Y al final miras y tienes 25 bolitas, ¿Qué pasó?
N: No entendí nada
E: (Repite el problema)
N: Que le gané a mi hermano
E: ¡Cuántas?
N: (El niño pinta las 25 bolitas) y dice le gané 25
E: Pero tu ya tenías 17 bolitas
N: Le gané 8 ... Tapé las mías y conté las que le gané a mi hermano
Procedimiento 5: Desagregación sucesiva y reflexión
El sujeto parte del cardinal del conjunto que reconoce como la totalidad y desagrega
sucesivamente (-1) el número de veces designado por el cardinal del segundo conjunto. Su fórmula es:
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromientosygestion.com • correo@herramientasygestton.com H&G
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
CrC (-1) erA -i> crB
Donde (-1) elevado al erA significa que la acción de desagregar se repite tantas veces como lo indique el cardinal A, hasta obtener el cardinal B.
ENTREVISTA
Wilson -7 años- Grado Primero
E: No sabías cuántas bolitas tenías, jugaste y ganaste 7 bolitas, al final quedaste con 1 1 bol itas
¿Cuántas bolitas ten ías al principio!
N: No me acuerdo, repítemelo
E: (Repite el problema)
N: ¿Cuántas me gané?
E: 7 bolitas
N: (Dibuja 1 1 palitos y él mismo se pregunta ¿Con cuántas terminé? Y se contesta). Con 1 1 (Se pregunta ¿me gané 7? Entonces tacha 7 palitos y dice:) Tenía 4 bolitas al principio
E: {Por qué sabes que tenías 4!
N: Porque 4 más 7 igual a 1 1
Procedimiento 6: Sustracción
El sujeto sustrae e l cardinal del conjunto menor del cardinal del conjunto mayor, bien
sea acudiendo a algoritmos aritméticos posicionales o no pos icionales.
Procedimiento 6": Sustracción Por Procedimientos No Posicionales: El sujeto
sustrae el cardinal del conjunto que reconoce como la parte, del cardinal del conjunto que reconoce como la totalidad por procedimientos no posicionales, descomponiendo
o recomponiendo los cardinales con los que opera. Al igual que en el caso de la adición , estos procedimientos son muy diversos depend iendo de las cantidades con las que se
este trabajando.
Procedimiento 6b: Sustracción Por Procedimientos Posicionales: El sujeto sustrae el cardinal del conjunto -parte del cardinal del conjunto Todo- siguiendo el
procedimiento posicional (el algoritmo aritmético que se aplica cuando se sustraen los cardinales dispuestos en columnas).
ENTREVISTA
Camilo -7 años- Grado Primero
E: No sabías cuántas bolitas tenías, te ganaste 2 bolitas, al final quedaste con 6 bolitas. Entonces ¿Cuántas bolitas ten ías al principio?
N: 4
E: ¿Cómo supiste que eran 4!
N: Pues yo ten ía un montoncito que no sabía cuánto era, entonces me gané 2, entonces me quedan
6, porque 6-2=4. Entonces me di cuenta de que tenía 4 al principio
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 47
1-'M'CJG I-<AMA
(ífr"As·
Los Procedimientos Posibles Para Resolver Las Situaciones Aditivas
Nombre Descripción del procedimiento Fórmula lógica
Hipótesis y verificación El sujeto asume hipotéticamete un dato y lo verifica en la situación.
Reunión y conteo El sujeto reune los conjuntos presentes o figurados y obtiene cuenta (obtiene R(A, B) ---] C ---] crC el cardinal) del conjunto resultante.
Separación y conteo El sujeto separa física o mentalmente el conjunto -parte del conjunto- S(C,A) --] B ---] crB todo y cuenta el conjunto que le queda.
Conteo repetido y el sujeto parte del cardinal del primer reflexión conjunto y cuenta repetidamente CrA(+ l)CrB --] ere
(agregando + 1) el número designado por el cardinal del segundo conjunto.
Reconteo repetido y El sujeto parte del cardinal del conjunto reflexión todo y retrocuenta repetidamente
(desagregando -1) el número de veces crC(-l)c,.s --] erA
designado por el cardinal del conjunto-parte.
Adición por El sujeto adiciona los cardinales de los procedimientos No conjuntos por procedimientos no posicionales ANP posicionales, descomponiendo y
recomponiendo los cardinales con los que opera.
Adición por El sujeto adiciona los cardinales de los procedimientos conjuntos siguiendo el procedimiento posicionales APP posicional (el algoritmo aritmético).
Sustracción por El sujeto resta el cardinal del conjunto procedimientos no parte del conjunto todo por posicionales SNP procedimientos no posicionales,
descomponiendo y recomponiendo los cardinales.
Sustracción por El sujeto resta el cardinal del conjunto procedimientos parte del cardinal del conjunto todo posicionales APP siguiendo el procedimiento posicional
(el algoritmo aritmético).
48 Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® H&G Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromientosygestion.com • correo@herramientasygestton.com
PROGRAMA
(ifr?J.S©
Caja de herramientas Cuadro con los tipos de situaciones aditivas numéricas simples, formas
de preguntar, esquemas y procedimientos para su resolución
H E RRA MI E N TA S & GES T I Ó N
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
Tipos de situaciones aditivas numéricas simples, formas de preguntar, esquemas y procedimientos para su resolución
SITUACIONES FORMAS FORMAS PSICOLÓGICAS DE REPRESENTACIÓN Y RESOLUCIÓN DE LAS SITUACIONES
TIPO DE
DE SITUACIÓN PREGUNTAR ESQUEMAS ADITIVOS NUMÉRICOS PROCEDIMIENTOS
TIPO 1 ¿Con cuántos se PI + P2 --i> ' Reunión y Conteo
Composición quedó? Agreg. Sucesiva y reflexiva Adición
¿Con cuántos se T- PI --i> ? Separación y Conteo
TIPO 11 quedó? Desagrreg. Sucesiva y reflexiva
Descomposición Sustracción
¿Cuál es la T- PI --i> ' ===P PI + ? --i> T Agreg. Sucesiva y reflexiva diferencia Adición
¿Cuántos ganó? PI ' --i> T T - Pl--i> '
Separación y conteo + ===P Desagreg. Sucesiva y reflexiva
TIPO 111 ¿Cuántos le Sustracción
Complemento faltan?
a Izquierda ¿Cuántos p + ' --i> T Agreg. Sucesiva y reflexiva
menos? Adición
¿Cuántos perdió? T - ? --i> PI ==::p T - PI --i> ?
Separación y conteo Desagreg. sucesiva y reflexiva
¿Cuántos le Sustracción
TIPO IV sobran?
T-? --i>PI ===P PI + ?--i>T Agreg. Sucesiva y reflexiva
Excedencia ¿Cuántos más? Adición
¿Cuántos hay Agreg. Sucesiva y reflexiva
que quitarle? T-?--i> PI Hipótesis y verificación
Separación y conteo
' + PI --i> T===P T- Pl--i> ' Desagreg. Sucesiva y reflexiva Sustracción
TIPO V
Complem ento ¿Cuántos ten ía? ' + Pl--i> T ===P PI + ?--i> T Agreg. Sucesiva y reflexiva
a derecha Adición
' PI --i> T Agreg. Sucesiva y reflexiva
+ Hipótesis y verificación
TIPO VI ' - P 1 --i> P2 ==::p P2 + PI --i> T Recomposición
¿Cuántos ten ía? Todos excepto separación y
PI + P2 --i> T conteo
H&G Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® 51 Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com
H&G
... 1-(0GKAMA
(ífr?J.s·
Alcance y secuencia conceptual
El siguiente esquema representa la relación directa y articulación de los fundamentos
teóricos expuestos en esta primera parte, con cada una de las fases y pasos que hacen
parte de la metodología del Programa Cifras. Pretendemos ilustrar de forma práctica el
alcance y secuencia conceptual de nuestra propuesta.
Sistema/concepto Fase/pasos Artículo
. Signos y numerosidad . Dígitos. Pasos l y2 . Numerosidad . Cifras paso 1
. Cardinalidad . Dígitos: Paso 3 . Cardinalidad . Cifras pasos 2 a 4
. Orden y secuencia . Dígitos: Pasos 4 y S . Orden y ordinalidad
. Cifras: Pasos 3 a S
. Composición y descomposición . Dígitos: Paso 6 . Una aproximación al concepto de número
. Sumas . Dígitos: Pasos 7 y 8 . Comprensión el valor posicional
. Restas . Cifras: Pasos 6 a 8 . Situaciones aditivas numéricas simples
. Complemento
. Problemas
Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herramientosygestion.com • coneo@herromientosygestion.com 55
Recommended