View
1
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
C A
Mı Eı M S C 2005
P 6
1. a) ¿A que distancia de 16 basta tomar x para asegurar que:
(i) 1√x ∈
(0, 1
2
)
(ii) 1√x ∈
(15 ,
13
)
(iii) 1√x ∈
(14 − 1
1000 ,14 + 1
1000
)?
b) Para cada β > 0 encontrar un x , 16 tal que∣∣∣∣ 1√
x − 14
∣∣∣∣ < β. ¿Hay mas de uno?, ¿de dos?
2. ¿Tiene sentido buscar un δ > 0 tal que:
a) 3x2 − 5x + 1 > 0 en (1 − δ , 1 + δ)?
b) 1 − x2 > 0 en(
12 − δ , 1
2 + δ)?
c) f (x) > 2 en (1 − δ , 1 + δ) siendo f (x) =
x2 , x > 1
x + 1 , x < 1?
d) f (x) < 12 en (−2 − δ,−2 + δ) siendo f (x) =
1 , x ∈ Q0 , x < Q
?
Si la respuesta es afirmativa, hallarlo.
3. a) Probar por definicion que:
(i) lımx→1
(x − 1) sen(
1x−1
)= 0
(ii) lımx→a
√x =√
a , para a > 0
(iii) lımx→−1
3x2+7x+22x2+7x+3 = 1
b) Enunciar la definicion de lımx→a
f (x) = b , considerando que a, b pueden tomar tanto valoresfinitos como infinitos.
c) Calcular y probar por definicion los siguientes lımites
(i) lımx→0
x+1−x2+1
(ii) lımx→∞
3x2−2x2+x+1
(iii) lımx→1
sen xx−1
4. Demostrar usando solo la definicion que:
a) lımx→3
x2 = 9
b) lımx→7
1x
=17
2 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005
c) lımx→−5
x2 + 3x − 10x2 + 3x
= 0
d) lımx→0
sen x +√
x2 + 1 = 1
5. Analizar la existencia de los siguientes lımites:
a) lımx→0
cos(
1x
)
b) lımx→0
x cos(
1x
)
c) lımx→0
x + sen(
1x
)
6. Calcular:
a) lımx→− π2
2 cos3 x2x+π
b) lımx→ π
2
(tg2 x)cos2 x
c) lımx→0+
e1/x
log x
d) lımx→+∞
log(x2 + 3) − log(x2 + 2)
e) lımx→+∞
log(1+ex)x
f) lımx→0
(1 + x)1/ tg x
g) lımx→0
(cos x)1/x
h) lımx→+∞
ex+sen xex+cos x
7. ¿Que informacion necesitarıa tener sobre las funciones g y h para poder decidir si la siguientefuncion
f (x) =
g(x) , x < 5
−12 , x = 5
h(x) , x > 5
a) es continua en 92?
b) es continua a derecha en 5?
c) es continua en 214 ?
d) es continua en 5?
8. Probar que si f es una funcion que verifica | f (x)| 6 |x| para todo x ∈ R, entonces f escontinua en 0. ¿Hace falta realmente pedir que verifique esa desigualdad en todo R?
FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005 3
9. Para cada una de las siguientes funciones
� estudiarla en cada punto de su dominio
� en los puntos que no pertenezcan al dominio, definirla —si es posible— de modo queresulte continua
a) f1(x) =
x , x ∈ Q−x , x /∈ Q
b) f2(x) =
cos(πx2
), |x| 6 1
|x − 1| , |x| > 1
c) f3(x) = x . arctg(
1x + 1
x−1
)
d) f4(x) =
sen xx , x < 0
−x2 + 52 x , x > 1
e) f5(x) =
sen xx2 , x > 0
x2 + 1 , x 6 0
f) f6(x) =
sen(e2 x)x , x < 0
(1 + 2x)1/x , 0 < x < 1
x2−1x2−4x+3 +
1−√x1−x , x > 1
10. Sea f continua y tal que f (x) = 0 para todo x ∈ Q.
a) Calcular f (√
2)
b) Calcular Im( f ).
11. a) Probar que existe x ∈ (1, 2) tal que x3 − 3x + 1 = 0.
b) Probar que existe x ∈ R tal que cos x = x.
c) Encontrar un numero r tal que f (x) = x9 − 100x4 + 3x3 + 12 tenga al menos una raız realen el intervalo (−r, r).
12. Sea f : R→ R tal que Im( f ) = [a, b] ∪ [c, d], con a < b < c < d. ¿Es continua?
13. ¿Como deben ser las funciones continuas que solo toman valores racionales?
4 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005
14. Probar que las siguientes funciones son uniformemente continuas en el intervalo indicado:
a) f (x) = x3 en (2, 3)
b) f (x) = xx2+1 en R
c) f (x) = 1x en [2,+∞)
d) f (x) = ex en (−1, 1]
15. Sea A ⊂ R y f : A → R una funcion tal que existen sucesiones (xn) , (yn) ⊂ A y un numeroα > 0 que satisfacen:
� xn − yn −→n→∞
0
� | f (xn) − f (yn)| > α para todo n > n0
Probar que f no es uniformemente continua en A.
16. Probar las siguientes funciones no son uniformemente continuas en el intervalo indicado:
a) f (x) = 1x en (−1, 0)
b) f (x) = 3x2 en R
c) f (x) = ex en R>1
17. a) Probar que si una funcion f es uniformemente continua en [a, b] y en [b,+∞), entonceslo es en [a,+∞).
b) Usar el resultado anterior para probar que√
x es uniformemente continua en R>0.
c) Sea f continua en R y tal que lımx→∞
f (x) = 0. Probar que f es uniformemente continua.
18. Calcular y graficar el dominio de las siguientes funciones:
a) f (x, y) =1x
b) f (x, y) =1√
x + y
c) f (x, y) =1
sen(x − y)d) f (x, y) = xy
e) f (x, y, z) = arcsen x + arcsen y + arcsen z
f) f (x, y) =1√
1 − x2 − y2+
√y − x2
g) f (x, y) =ln(x + y)
sen xh) f (x, y, z) = ln(1 − x2 − y2 − z2)
i) f (x, y) =
√9 − x2
1 +√
1 − y2
j) f (x, y, z) =ln(1 − x2) +
√4 − y2
√9 − z2
FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005 5
19. En cada uno de los casos siguientes, determinar el dominio y la imagen de cada funcion ycomparar los resultados
a) f (x) =√
x , g(x, y) =√
x , h(x, y, z) =√
x
b) f (x, y) = cos(πx) sen(πy) , g(x, y, z) = cos(πx) sen(πy).
20. Una empresa petroquımica esta disenando un deposito cilındrico con extremos semiesfericospara utilizarlo en el transporte de sus productos. Expresar el volumen del deposito en funcionde su radio r y la longitud h de su porcion cilındrica.
21. Identificar las siguientes superficies
a) x2 + 4y2 − 16z2 = 0
b) x2 + 4y2 + 16z2 − 12 = 0
c) x2 − 4y2 − 2z = 0
d) x − y2 + 2z2 = 0
e) x2 + 2y2 − 4z = 0
22. Identificar las siguientes superficies, hallar sus intersecciones con los planos coordenados ydibujar
a) 9x2 + 4y2 − 36z = 0
b) 9x2 + 4y2 + 36z2 − 36 = 0
c) 9x2 + 4y2 − 36z2 = 0
d) 9y2 − 4x2 − 36z2 − 36 = 0
23. a) La ecuacion:√
x2 + y2 = kz (k > 0) representa la hoja superior de un cono converice en el origen y el eje de las z positivas como eje de simetrıa. Dibujar la seccion enel plano z = z0 , (z0 > 0)
b) Sea S una hoja de un cono con vertice en el origen. Escribir una ecuacion para S sabiendoque
(i) el eje de las z negativas es el eje de simetrıa y la seccion en el plano z = −2 es unacircunferencia de radio 6
(ii) el eje de las y positivas es el eje de simetrıa y la seccion en el plano y = 3 es unacircunferencia de radio 1.
24. Hallar las curvas de nivel de las siguientes funciones
a) z = x + y
b) z =yx2
c) z = x2 + y2
d) z =√
xy
6 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005
e) z = ln(x2 + y)
f) z = x2 − y2
25. Hallar las superficies de nivel de las siguientes funciones
a) u = x + y + z
b) u = x2 + y2 + z2
c) u = x2 + y2 − z2
d) u = x2 + y2 + 2y
e) u = x2 + y2 + z2 + 2y + 4x − z
26. Hallar una ecuacion para la curva de nivel de f que contenga el punto P dado
a) f (x, y) = 1 − 4x2 − y2 , P = (0, 1)
b) f (x, y) = (x2 + y2)exy , P = (1, 0)
27. Hallar una ecuacion para la superficie de nivel de f que contenga el punto P dado
a) f (x, y, z) = x2 + 2y2 − 2xyz , P = (−1, 2, 1)
b) f (x, y, z) =√
x2 + y2 − ln z , P = (3, 4, e)
28. Encontrar la relacion entre los elementos de los tres grupos siguientes: funciones, mapas decurvas de nivel y graficos.
F
1. f (x, y) = 2x2 + 4y2
2. f (x, y) = sen x sen y
3. f (x, y) = xye−(x2+y2)1/2
4. f (x, y) = y2 − y3
5. f (x, y) = cos(√
x2 + y2) , −10 6 x, y 6 10
6. f (x, y) = sen x , 0 6 x 6 2π
C
a.
–1
–0.5
0.5
1
1.5
y
–3 –2 –1 1 2 3
x
FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005 7
b.
0
1
2
3
4
5
6
y
–6 –4 –2 2 4 6
x
c.
–10
–5
0
5
10
y
–10 –5 5 10
x
d.
–2
–1
1
2
y
–2 –1 1 2
x
e.
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
y
–1.5 –1 –0.5 0.5 1 1.5
x
8 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005
f.
0
2
4
6
8
10
12
y
2 4 6 8 10 12
x
G
A.
–10
–5
0
5
10
x
–10
–5
0
5
10
y
B.
0
2
4
6
8
10
12
x
0
2
4
6
8
10
12
y
–1
0
1
C.
–1.5–1
–0.50
0.51
1.5
x
–1.5–1
–0.50
0.51
1.52
y
–4
–2
0
2
4
FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005 9
D.
–2
–1
0
1
2
x
–2
–1
0
1
2
y
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
E.
–2
–1
0
1
2
x
–2
–1
0
1
2
y
0
2
4
6
8
F.
0
1
2
3
4
5
6
x
0
1
2
3
4
5
6
y
–1
0
1
29. Dibujar los siguientes subconjuntos de R2 y verificar graficamente que son abiertos
a) A = {(x, y) ∈ R2 / 1 < x2 + y2 < 7}b) B = {(x, y) ∈ R2 / 2x + y > 1}c) C = {(x, y) ∈ R2 / x , 0 , y , 0}
¿Alguno de estos conjuntos es conexo?
30. Dibujar los siguientes subconjuntos de R2 y verificar graficamente que son cerrados
a) A = {(x, y) ∈ R2 / 1 6 x 6 2 , 0 6 y 6 1}b) B = {(x, y) ∈ R2 / x + y > 1}c) C = {(x, y) ∈ R2 / x = 0 o y = 0}
¿Alguno de estos conjuntos es compacto?
10 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005
31. Dibujar los siguientes subconjuntos de R2 y verificar graficamente que no son abiertos nicerrados
a) A = {(x, y) ∈ R2 / 1 < x2 + y2 6 7}b) B = {(x, y) ∈ R2 / x , 0 , y = 0}
32. a) Comprobar graficamente que el parelelepıpedo P dado por: −1 < x < 1 , 0 < y < 2 ,0 < z < 3 es un conjunto abierto.
b) Calcular la adherencia de P.
33. a) Probar que
(i) lım(x,y)→(1,0)
x + y = 1
(ii) lım(x,y)→(−1,9)
xy = −9
(iii) lım(x,y)→(7,2)
x2 + y2 − xy = 39
(iv) lım(x,y)→(0,0)
sen(x2y)x2 + y2 = 0
(v) lım(x,y)→(0,1)
xexy = 0
(vi) lım(x,y)→(0,1)
y2 + cos(π − x)y
= 0
(vii) lım(x,y)→(0,2)
sen(xy)x
= 2
(viii) lım(x,y)→(0,104)
sen(x cos y)
b) Para cada ε = 1, 1100 , hallar un δ > 0 tal que:
‖(x, y) − (−1, 9)‖ < δ =⇒ |xy + 9| < ε
34. a) Sea f : B((a, b), r) −→ R tal que lım(x,y)→(a,b)
f (x, y) = 0. Probar que
lım(x,y)→(a,b)
sen( f (x, y))f (x, y)
= 1
b) Sea f : B((a, b), r) −→ R tal que lım(x,y)→(a,b)
f (x, y) = +∞. Probar que
lım(x,y)→(a,b)
ln( f (x, y))f (x, y)
= 0
c) Calcular
lım(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)x2 + y2 y lım
(x,y)→(0,0)(x2 + y2) ln(x2 + y2)
FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005 11
35. Analizar la existencia de los lımites de las siguientes funciones en el origen:
a) f (x, y) =x − yx + y
b) f (x, y) =xy
x2 + y2
c) f (x, y) =7x2 − 2y2
x2 + y2 − 1
d) f (x, y) =sen x
y
e) f (x, y) = |x|y
f) f (x, y) =sen(x − y)|x − y|
g) f (x, y) =1x
+1y
h) f (x, y) =x2 + y2
x2 − y2
i) f (x, y) = y sen( xy )
j) f (x, y) =x2
x2 + y2
k) f (x, y) =xy
|x| + |y|
l) f (x, y) =x2 + y2
√x2 + y2 + 1 − 1
m) f (x, y) =sen(x3 + y3)
x2 + y2
n) f (x, y) = (x2 + y2) sen( 1xy )
36. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados
a) f (x, y) =
x − yx2 + y2 si (x, y) , (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)en (1, 0) y en (0, 0)
b) f (x, y) =
|y|x(1 + x)y si (x, y) , (0, 0) , x > −1
1 si (x, y) = (0, 0)en (1, 1) y en (0, 2)
c) f (x, y) = sen(x cos y) en (1, 1) y en (0, 2)
d) f (x, y) =
x + y si x , 0 e y , 0
0 en otro casoen (0, 0) y en (1, 1)
e) f (x, y) =
1 si xy , 0
0 si xy = 0en (1, 0) y en (−1, 2)
12 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005
f) f (x, y) =
2x − y − 1x2 − y2 si |x| , |y|
12
si |x| = |y|en (1, 1)
37. Dada la funcionf (x, y) = xy sen( 1
x ) sen( 1y )
a) calcular su dominio
b) definirla —si es posible— en R2 − Dom( f ) de modo que resulte continua en todo R2.
38. Hallar el dominio y los puntos de discontiuidad de las siguientes funciones
a) f (x, y) = ln(x2 + y2)
b) f (x, y) =1
1 − x2 − y2
c) f (x, y) =sen(x − y)
x − y
d) f (x, y) =xy + 1x2 − y
e) f (x, y) =
2xyx2 + y2 si (x, y) , (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
f) f (x, y) = |y|39. Demostrar que la funcion
f (x, y) =
2xyx2 + y2 si (x, y) , (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
es continua respecto de cada una de las variables por separado pero que no lo es comofuncion de ambas.
40. Sea f : R2 −→ R definida por
f (x, y) =
3|x − y| si |x| 6 6
x2y si |x| > 6
Determinar los puntos de continuidad de f .
41. Encontrar los valores de a , b y c que hagan que f sea continua en (0, 0), siendo
f (x, y) =
3ay sen( 3
y ) + cos(πx) si y , 0
bx + c si y = 0
42. Sea f : Rn −→ R una funcion y K > 0 una constante tal que para cada x, y ∈ Rn se tiene
| f (x) − f (y)| 6 K ‖x − y‖Probar que f es uniformemente continua y –en consecuencia– continua. Deducir que todatransformacion lineal de Rn en R es uniformemente continua.
FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005 13
A: D R
Campo escalar
Llamaremos campo escalar a cualquier funcion f : Rn −→ R.
Conjuntos de nivel
Sean f : A ⊂ Rn −→ R y c ∈ R. El conjunto de nivel de valor c se define como
f −1(c) = {x ∈ A / f (x) = c}
N: para n = 2 se llama curva de nivel y para n = 3 superficie de nivel.
Conceptos topologicos
B r > 0: B(a, r) = {x ∈ Rn / ‖x − a‖ < r}
B r > 0: B(a, r) = {x ∈ Rn / ‖x − a‖ 6 r}
C : si esta contenido en B(0, r) para algun r > 0
E ∈ Rn: es un conjunto E que contiene una bola abierta centrada en a
C : es un conjunto que es entorno de cada uno de sus puntos. Es decir, unconjunto A ⊂ Rn es abierto si para cada a ∈ A existe un r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A.
A
a
B(a,r)
P : a ∈ A es un punto interior de A si existe un entorno de a contenido en A.
I :◦A = {a ∈ A / a es un punto interior de A}
C : es un conjunto cuyo complemento es un conjunto abierto. Es decir, unconjunto A ⊂ Rn es cerrado si para cada a < A existe un r > 0 tal que B(a, r) ∩ A = ∅.
14 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005
A
R -A
a
B(a,r)
n
F: ∂A = {x ∈ Rn / B(x, r) ∩ A , ∅ y B(x, r) ∩ (Rn − A) , ∅ para todo r > 0}
AR -A
B(x,r)
n
x
A C: A = A ∪ ∂A
C : es un conjunto cuyos puntos se pueden unir mediante caminos cuyastrazas estan contenidas en el.
A Bx
a g
f
y
b
la traza de f está contenida en A
A es arcoconexo B no es arcoconexo
cualquier camino g que una 'a' con 'b' tiene parte
de su traza fuera de B
C : es un conjunto cerrado y acotado.
ProposicionSean a ∈ Rn y r > 0, entonces
(i) B(a, r) es un conjunto abierto
(ii) B(a, r) es un conjunto cerrado
(iii) B(a, r) = B(a, r)
(iv) ∂B(a, r) = ∂B(a, r) = {x ∈ Rn / ‖x − a‖ = r}
FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005 15
Proposicion
Sea A ⊂ Rn. Se tiene
(i)◦A es un conjunto abierto
(ii) A es abierto si y solo si A =◦A
Proposicion
Sea A ⊂ Rn. Se tiene
(i) A es un conjunto cerrado
(ii) A es cerrado si y solo si A = A
Funcion acotada
Sea f : A ⊂ Rn −→ R. Se dice que f es acotada si existe M > 0 tal que | f (x)| 6 M paratodo x ∈ A.
Lımite — Continuidad
Lımite
Sean f : A ⊂ Rn −→ R un campo escalar, a ∈ A y ` ∈ R, decimos que el lımite de f cuandox tiende a a es ` —y lo notamos lım
x→af (x) = `— cuando para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que
x ∈ A y 0 < ‖x − a‖ < δ =⇒ | f (x) − `| < ε
Proposicion (Unicidad del lımite)
Sea f : A ⊂ Rn −→ R un campo escalar y a ∈ A. Si lımx→a
f (x) = `1 y lımx→a
f (x) = `2, entonces`1 = `2.
Proposicion
Sea f : A ⊂ Rn −→ R un campo escalar, a ∈ A y α ∈ R. Si lımx→a
f (x) = ` > α (resp. ` < α),entonces f (x) > α (resp. f (x) < α) para x en un entorno de a , x , a.
Proposicion
Sean f , g : A ⊂ Rn −→ R , a ∈ A y α, β ∈ R. Entonces, si lımx→a
f (x) = `1 y lımx→a
g(x) = `2,
(i) lımx→a
(α f + βg)(x) = α`1 + β`2
16 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005
(ii) lımx→a
f (x)g(x) = `1`2
(iii) lımx→a
f (x)g(x)
=`1
`2(si `2 , 0)
ProposicionSean f , g : A ⊂ Rn −→ R , a ∈ A tales que lım
x→ag(x) = 0 y f es acotada en un entorno de
a ∈ A. Entonces,lımx→a
f (x)g(x) = 0
ProposicionSean f : A ⊂ Rn −→ R y a ∈ A tales que lım
x→af (x) = `. Sean ε > 0 , h : (` − ε, ` + ε) −→ R
tal que lımy→`
h(y) = L y g : (t0 − ε, t0 + ε) −→ B(a, r) tal que lımt→t0
g(t) = a. Entonces,
lımx→a
h ◦ f (x) = L y lımt→t0
f ◦ g(t) = `
ProposicionSea f : A ⊂ R2 −→ R y a ∈ A. Entonces, lım
x→af (x) = ` si y solo si
f (xn, yn) −→ `
para toda sucesion((xn, yn)
) ⊂ A , (xn, yn) , a, que converge a a.N: lo mismo vale para A ⊂ Rm (m ∈ N).
CorolarioSi ((xn, yn)) , ((un, vn)) son dos sucesiones que convergen al punto (a, b) ∈ R2 para las cuales
f (xn, yn) −→ `1 y f (un, vn) −→ `2
con `1 , `2, entonces no existe el lımite de f cuando (x, y)→ (a, b).N: lo mismo vale en Rm (m ∈ N).
ProposicionSi existe lım
(x,y)→(a,b)f (x, y) = ` y ϕ(x) −−−→
x→ab , ψ(y) −−−→
y→ba, entonces
lımx→a
f (x, ϕ(x)) = ` y lımy→b
f (ψ(y), y) = `
ContinuidadSea f : A ⊂ Rn −→ R. Se dice que f es continua en a ∈ A si lım
x→af (x) = f (a).
Se dice que f es continua en A si es continua en cada uno de sus puntos.
FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005 17
Proposicion
Sean f : A ⊂ Rn −→ R y a ∈ A. Entonces, f es continua en a si y solo si para todo ε > 0existe δ > 0 tal que
x ∈ A y ‖x − a‖ < δ =⇒ | f (x) − f (a)| < ε
Proposicion
Sean f , g : A ⊂ Rn −→ R continuas en a ∈ A y α, β ∈ R. Entonces,
(i) α f + βg es continua en a
(ii) f g es continua en a
(iii)fg
es continua en a siempre que g(a) , 0
(iv) si h : ( f (a) − ε, f (a) + ε) −→ R es continua en f (a), h ◦ f es continua en a.
Teorema (Bolzano)
Sea f : A −→ R continua y A ⊂ Rn conexo por arcos. Si f toma un valor positivo y otronegativo, entonces existe a ∈ A tal que f (a) = 0.
Corolario
Sea f : A −→ R continua y A ⊂ Rn conexo por arcos. Si f (x) , 0 para todo x ∈ A, entonces
f > 0 en A o f < 0 en A
Teorema (de los valores intermedios)
Sea f : A −→ R continua y A ⊂ Rn conexo por arcos. Si f (x1) = a , f (x2) = b y a < c < b,entonces existe x0 ∈ A tal que f (x0) = c.
Continuidad uniforme
Sea f : A ⊂ Rn −→ R. Se dice que f es uniformemente continua en A si para cada ε > 0existe δ > 0 tal que
‖x1 − x2‖ < δx1, x2 ∈ A
=⇒ | f (x1) − f (x2)| < ε
Teorema (Heine-Cantor)
Sea K ⊂ Rn un conjunto compacto y f : K −→ R continua. Entonces f es uniformementecontinua en K.
Recommended