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6/21/2019
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Difraccion
d
Esto hace que la fase inicial de las fuentes sea identicaβ¦nocierto?
Supongamos una onda plana incidente perpendicular al arreglo de fuentes.
Las fuentes pueden ser, en nuestro ejemplo:
Agujeritos equiespaciados sobre una pantalla opaca Reemisores atΓ³micos equiespaciados linealmente
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d
Diferencia de camino que incurre la emisiΓ³n de cada fuente (i.e. diferencia de fase) respecto de la primera fuente a la derecha
Nos va a interesar analizar el patron generado muy lejos de las fuentes⦠Por ejemplo, aquel que se forma en el infinito (condición de difracción de Franhauffer).
En otras palabras quiero caracterizar la emisiΓ³n en una direcciΓ³n dada.
π
Diferencia de camino que incurre la emisiΓ³n de cada fuente (i.e. diferencia de fase) respecto de la primera fuente a la derecha
d
π
0 2 1 11 β¦
π ππ β π1 = π π β π sin π = π β π π sin ππΏ
= π β πΏ
Para la fuente i-esima, el desfasaje respecto a la primera resulta:
π = π΄ cos ππ + π€π‘ + ν +π΄ cos ππ + πΉ + π€π‘ + ν + π΄ cos ππ + ππΉ + π€π‘ + ν + β―+ π΄ cos ππ + (π΅ β π)πΉ + π€π‘ + ν
El campo resultante en direccion π:
β¦
con πΏ = π π sin π
desfasaje entre una y la siguiente
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Es un problema de interferencia de muchas fuentes, para calcular la intensidad en algΓΊn punto hay que resolver como sumar este tipo de
cosasβ¦
Y luego, calcular el desfasaje en funciΓ³n de la geometrΓa del problema πΏ π = π π sin π
π (πΏ) = π΄ cos ππ + π€π‘ + ν +π΄ cos ππ + πΉ + π€π‘ + ν + π΄ cos ππ + ππΉ + π€π‘ + ν + β―+ π΄ cos ππ + (π΅ β π)πΉ + π€π‘ + ν
Hay que calcular el campo resultante como funciΓ³n del desfasaje entre fuentes πΏ
Es un problema de interferencia de muchas fuentes, para calcular la intensidad en algΓΊn punto hay que resolver como sumar este tipo de
cosasβ¦
π (πΏ) = π΄ cos ππ + π€π‘ + ν +π΄ cos ππ + πΉ + π€π‘ + ν + π΄ cos ππ + ππΉ + π€π‘ + ν + β―+ π΄ cos ππ + π΅πΉ + π€π‘ + ν
Como sumar esto?
1) Abrir todos los cosenos, anular mil tΓ©rminos y enfermarse.
2) Pasarlo a nΓΊmeros complejos, donde los cosenos se vuelven exponenciales
y la suma se resuelve muy fΓ‘cil β¦ si uno sabe complejos.
3) GeomΓ©tricamente.
π 2 πΏ = π΄ cos ππ + π€π‘ + ν +π΄ cos ππ + πΉ + π€π‘ + ν
= π΄ cos πΌπ +π΄ cos πΌπ
πΌπ
πΌπ
π 2 πΏ = 2π΄ πππ βπΌ
2
π΄π
cos πΌ con πΌ =
πΌ2+πΌ1
2
βπΌ = πΌ2 β πΌ1
Amplitud π΄π de la suma de fasores
πΌ
π΄ πππ πΌ2
π΄ πππ πΌ1 π΄ πππ πΌ2
Suma de fasores
Analiticamenteβ¦(slide siguiente)
Veamos como sumar las dos primeras
π (πΏ) = π΄ cos ππ + π€π‘ + ν +π΄ cos ππ + πΉ + π€π‘ + ν + π΄ cos ππ + ππΉ + π€π‘ + ν + β―+ π΄ cos ππ + (π΅ β π)πΉ + π€π‘ + ν
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La matematica del slide anterior* π = π΄ πππ πΌ1 +π΄ πππ πΌ2
definimos πΌ =πΌ2 + πΌ1
2
βπΌ = πΌ2 β πΌ1
πΌ1 = πΌ ββπΌ
2
πΌ2 = πΌ +βπΌ
2
π = π΄ πππ πΌ ββπΌ
2+π΄ πππ πΌ +
βπΌ
2
= π΄ πππ πΌ cosβπΌ
2+ π΄ sin πΌ sin
βπΌ
2+ π΄ πππ πΌ cos
βπΌ
2β π΄ sin πΌ sin
βπΌ
2
π = 2π΄ cosβπΌ
2πππ πΌ
πΌπ
πΌπ πΌ
Suma de fasores
Entonces ya sabemos sumar contribuciones desfasadas geometricamente
π 2 πΏ = π΄ cos ππ + π€π‘ + ν +π΄ cos ππ + πΉ + π€π‘ + ν
= π΄ cos πΌπ +π΄ cos πΌπ
πΌ1(π‘)
πΌπ(π) π 2 πΏ = 2π΄ πππ
βπΌ
2 cos πΌ
con πΌ =πΌ2+πΌ1
2
βπΌ = πΌ2 β πΌ1
πΌ (π‘)
π΄ πππ πΌ2(π‘)
π΄ πππ πΌ1(π‘) π΄ πππ πΌ2(π‘)
Suma de fasores
π΄π = 2π΄ πππ βπΌ
2= 2π΄ cos
πΏ
2
La amplitud resultante depende de la diferencia de fases
Para seguir sumando fuentes seguimos geometricamenteβ¦..
Esta parte depende del tiempoβ¦
π΄π πππ πΌ (π‘)
2π΄ πππ πΏ
2 cos ππ + π€π‘ + ν + πΏ/2
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El vector resultante de sumar la suma de arriba, con seis tΓ©rminos. Esta resultante es una funciΓ³n geomΓ©trica no trivial de:
el desfasaje πΏ, el numero de tΓ©rminos (resulta en una suerte
de espiral) y es, sencillamente multiplicativa por la
amplitud (si todas son iguales.) 2πΏ
A πΏ
π΄π(2) = 2π΄ cosπΏ
2
N=6
π΄π(6) = expresion analitica?
π (πΏ) = π΄ cos ππ + π€π‘ + ν +π΄ cos ππ + πΉ + π€π‘ + ν + π΄ cos ππ + ππΉ + π€π‘ + ν + β―+ π΄ cos ππ + (π΅ β π)πΉ + π€π‘ + ν
πΏ
N=6
A
El teorema de la pizza.
A
πΏ π β πΏ
π β πΏ
2
bisectriz
π β πΏ
2
π₯
π β πΏ
2+
π β πΏ
2+ π₯ = π
Como en todo triangulo: la suma de sus angulos debe ser π
π₯ = πΏ
Ya encontramos graficamente Ar⦠habra una manera de obtener una expresion analitica?
π (πΏ) = π΄ cos ππ + π€π‘ + ν +π΄ cos ππ + πΉ + π€π‘ + ν + π΄ cos ππ + ππΉ + π€π‘ + ν + β―+ π΄ cos ππ + (π΅ β π)πΉ + π€π‘ + ν
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Por el teorema de la pizza.
A/2
πΏ
πΏ
πΏ/2
π΄
2= π sin
πΏ
2
π =π΄
2 sinπΏ2
Los puntos van definiendo un poligono inscripto en una circunferencia de radio r
r
N=6
π (πΏ) = π΄ cos ππ + π€π‘ + ν +π΄ cos ππ + πΉ + π€π‘ + ν + π΄ cos ππ + ππΉ + π€π‘ + ν + β―+ π΄ cos ππ + (π΅ β π)πΉ + π€π‘ + ν
A
r
π =π΄
2 sinπΏ2
πΏ
ππΏ π΄π
2= π sin
ππΏ
2
π΄π (πΏ) = π΄sin
ππΏ2
sinπΏ2
Amplitud de la onda resultante
πΌπ (πΏ) = πΌ0
sin2 ππΏ2
sin2 πΏ2
Irradiancia resultante en
funcion del desfasaje entre fuentes πΏ
πΈπ = π΄π cos πΌπ(π‘)
N=6
πΌπ(π‘)
πΌπ = π΄π 2 cos2 πΌπ(π‘)
π (πΏ) = π΄ cos ππ + π€π‘ + ν +π΄ cos ππ + πΉ + π€π‘ + ν + π΄ cos ππ + ππΉ + π€π‘ + ν + β―+ π΄ cos ππ + (π΅ β π)πΉ + π€π‘ + ν
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πΌπ (πΏ) = πΌ0
sin2 ππΏ2
sin2 πΏ2
πΏ
πΌπ /πΌ0 N=10
Maximos principales
Minimos
Maximos secundarios
El patron de maximos y minimos tiene mucha estructura relacionada con la geometria de las fuentes. En esto se basan las aplicaciones derivadas de solucionar el problema inverso que mencionabamos antes
2π β2π
π (πΏ) = π΄ cos ππ + π€π‘ + ν +π΄ cos ππ + πΉ + π€π‘ + ν + π΄ cos ππ + ππΉ + π€π‘ + ν + β―+ π΄ cos ππ + (π΅ β π)πΉ + π€π‘ + ν
πΌπ (πΏ) = πΌ0
sin2 ππΏ2
sin2 πΏ2
πΏ
πΌπ /πΌ0 N=10
Maximos principales
Minimos
Maximos secundarios
Animemonos!
2π β2π
π (πΏ) = π΄ cos ππ + π€π‘ + ν +π΄ cos ππ + πΉ + π€π‘ + ν + π΄ cos ππ + ππΉ + π€π‘ + ν + β―+ π΄ cos ππ + (π΅ β π)πΉ + π€π‘ + ν
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πΏ
πΌπ /πΌ0
πΌπ (πΏ) = πΌ0
sin2 ππΏ2
sin2 πΏ2
πΏ
sin2 ππΏ
2β
ππΏ
2
2 y sin2 πΏ
2β
πΏ
2
2
πΌπ (πΏ) = πΌ0
ππΏ2
2
πΏ2
2
πΌπ /πΌ0
sin2 ππΏ
2= 0
sin2πΏ
2= 0 πΌπ (πΏ = 0) = πΌ0π
2
Maximos principales se producen cuando se anula el denominador (y por tanto tambien el numerador):
πΏ = π2π
π
πΏ = 2ππ πΏ
2= ππ
ππΏ
2= ππ
(si se cumple esto, se cumple lo de arriba: m=2*n*N)
Vemos cuanto valen los max: Si πΏ β 0
N=10
2π β2π
π (πΏ) = π΄ cos ππ + π€π‘ + ν +π΄ cos ππ + πΉ + π€π‘ + ν + π΄ cos ππ + ππΉ + π€π‘ + ν + β―+ π΄ cos ππ + (π΅ β π)πΉ + π€π‘ + ν
πΌπ (πΏ) = πΌ0
sin2 ππΏ2
sin2 πΏ2
πΏ
πΌπ /πΌ0
sin2 ππΏ
2= 0
sin2πΏ
2β 0
Minimos se producen cuando se anula el numerador, pero no el denominador:
πΏ = 2ππ
π
πΏ β 2ππ πΏ
2β ππ
ππΏ
2= ππ πΏπππ =
2π
π, 2
2π
π, 3
2π
π,β¦ , (π β 1)
2π
π
Tengo N-1 minimos entre 2 maximos cualesquiera.β¦contando minimos puedo saber cuantas fuentes tengo!
N=10
2π β2π
π (πΏ) = π΄ cos ππ + π€π‘ + ν +π΄ cos ππ + πΉ + π€π‘ + ν + π΄ cos ππ + ππΉ + π€π‘ + ν + β―+ π΄ cos ππ + (π΅ β π)πΉ + π€π‘ + ν
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0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
N=100
Cual es el sentido βgeometricoβ?
Si cada βporcionβes 2pi/n, n porciones suman?
πΌπ (πΏ) = πΌ0
sin2 ππΏ2
sin2 πΏ2
πΏ =2π
π
2π
π
4π
π
6π
π
πΏ
π (πΏ) = π΄ cos ππ + π€π‘ + ν +π΄ cos ππ + πΉ + π€π‘ + ν + π΄ cos ππ + ππΉ + π€π‘ + ν + β―+ π΄ cos ππ + (π΅ β π)πΉ + π€π‘ + ν
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
N=100
2
n
4
n
6
n
3
n
5
n
Para N suficientemente grande, la intensidad del segundo maximo (primero secundario) es un 5% del valor del pico
central. Esto es independiente de N
sin2 ππΏ
2= 1
Maximos secundarios se producen en maximos del numerador:
π (πΏ) = π΄ cos ππ + π€π‘ + ν +π΄ cos ππ + πΉ + π€π‘ + ν + π΄ cos ππ + ππΉ + π€π‘ + ν + β―+ π΄ cos ππ + π΅πΉ + π€π‘ + ν
πΌπ (πΏ) = πΌ0
sin2 ππΏ2
sin2 πΏ2
πΏ =(2π + 1)π
π
ππΏ
2= 2π + 1 π/2
πΌπ (πΏ = 3π/π) = πΌ01
sin2 3π2π
~πΌ0π2
2
3π
2
πΌπ πΏ =3π
π~πΌ0π
22
3π
2
~0.05 πΌ0π2
π = 1,2,β¦
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πΌπ (πΏ) = πΌ0
sin2 ππΏ2
sin2 πΏ2
Ya entendimos como funciona la intensidad emitida de acuerdo al desfasaje
πΏ
π (πΏ) = π΄ cos ππ + π€π‘ + ν +π΄ cos ππ + πΉ + π€π‘ + ν + π΄ cos ππ + ππΉ + π€π‘ + ν + β―+ π΄ cos ππ + π΅πΉ + π€π‘ + ν
A que direccion en particular corresponde un desfasaje dado?
π
πΏ = π π sin π
Maximos (πΏ = 2ππ)
π π sinππππ₯ = 2ππ
sinππππ₯ =2ππ
π π= π
π
π
d Notar que si π/d>1 tengo un unico maximo (!) correspondiente a m=0
Fuentes en fase
π = 0 maximo de orden cero (m=0)
π π sinππππ
πΏπππ
=2π
π
πΏπππ =2π
π
πΏ = 2Ο/π
ππππ
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Maximos (πΏ = 2ππ)
π π sinππππ₯ = 2ππ
sinππππ₯ =2ππ
π π= π
π
π
πΏ
El ancho de la campana principal resulta de analizar los primeros minimos a izq y derecha
2π
π β
2π
π
ΞπΏ
Minimos (πΏ = Β±2π/π)
π π sinπmin Β± = Β±2π
π sinπmin Β± = Β±
π
ππ
Notar que si π < π se produce un unico maximo correspondiente m=0
π < π para que haya un unico maximo Cuantas mas fuentes mas angosto ese maximo
πΌπ (πΏ) = πΌ0
sin2 ππΏ2
sin2 πΏ2
πΏ = π π sin π
La campana de difraccion
( )s e nd
( )s e n
D
( )s e n
n d D
Lo mejor de los dos mundos β¦ un mΓ‘ximo central angosto sin mΓ‘ximos laterales.
Nuevamente una estrategia de borrado constructiva. Para eliminar los mΓ‘ximos laterales, agregar mas fuentes.
En tΓ©rminos del problema inverso, de adivinar la fuente que emite (o la textura del material
que difracta la luz) a partir del espectro. Hay algΓΊn problema?
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La rendija
En una rendija de ancho D sobre la que incide luz Cuantas fuentes hay?
La rendija
πΌπ (πΏ) =π΄2
2
sin2 ππΏ2
sin2 πΏ2
πΏ
πΏ = π π sin π π
π β π = ππ‘π = π·
π β π΄ = ππ‘π
limπ β β Tengo muchisisimas fuentes (Huygens)
limπ β 0 Infinitamente cerca unas de otras
limπ΄ β 0 Cada una emite una amplitud diferencial
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Tomando limites para entender la rendija
πΌπ (πΏ) =π΄2
2
sin2 ππΏ2
sin2 πΏ2
πΏ = π π sin π
π β π = ππ‘π = π·
π β π΄ = ππ‘π
limπ β β Tengo muchisisimas fuentes (Huygens)
limπ β 0 Infinitamente cerca unas de otras
limπ΄ β 0 Cada una emite una amplitud diferencial
πΌπ ππππππ(πΏ) = limπββπβ0π΄β0ππ=π·ππ΄=ππ‘π
π΄2
2
sin2 ππΏ2
sin2 πΏ2
=π΄2
2
sin2 ππ π sin π2
sin2 π π sin π2
=π΄2
2
sin2 π π· sin π2
sin2 π π sin π2
~π΄2
2
sin2 π π· sin π2
π π sin π2
2 =π΄2
2
sin2 π π· sin π2
π ππ sin π2π
2 =(π΄π)2
2
sin2 π π· sin π2
π π· sin π2
2
(no prigunto cuantos sonβ¦sino que vayan saliendo)
sin πΌ~πΌ πΌ β 0
Tomando limites para entender la rendija
πΌπ (πΏ) =π΄2
2
sin2 ππΏ2
sin2 πΏ2
πΏ = π π sin π
π β π = ππ‘π = π·
π β π΄ = ππ‘π = π
limπ β β Tengo muchisisimas fuentes (Huygens)
limπ β 0 Infinitamente cerca unas de otras
limπ΄ β 0 Cada una emite una amplitud diferencial
πΌπ ππππππ =π2
2
sin2 π π· sin π2
π π· sin π2
2 = limπββπβ0π΄β0ππ=π·ππ΄=ππ‘π
π΄2
2
sin2 ππΏ2
sin2 πΏ2
=π2
2
sin2 π½
Ξ²2
π½ =π π· sin π
2
πΌπ ππππππ =π2
2
sin2 π½
Ξ²2
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N fuentes vs 1 rendija
πΌπ (πΏ) = πΌ0
sin2 ππΏ2
sin2 πΏ2
πΏ = π π sin π
πΏ
(minimos π½ = Β±π)
πΌπ ππππππ =(π΄π)2
2
sin2 π½
Ξ²2
π½ =π π· sin π
2
limπ β β
lim π β 0
lim π΄ β 0
π 2π β2π βπ
π = 10
π π· sin ππππ
π= Β±π sin ππππ = Β±
π
π·
Ancho campana (minimos πΏ = Β±2π/π)
π π sinπmin Β± = Β±2π
π sinπmin Β± = Β±
π
ππ
2π
π
4π
π
6π
π β
4π
π β
2π
π π½
Entendamos los minimos de la rendija
πΌπ ππππππ =π2
2
sin2 π½
Ξ²2=
π2
2sinc2 π½
con π½ =π π· sin π
2
Ancho de la campana de difraccion: primeros minimos a izq y derecha
π½ = Β±π
π π· sin ππππ
π= Β±π
π· sin ππππ = Β±π
ππππ
π·
π½ π 2π β2π βπ
El minimo se produce porque en esta direccion, por cada fuente secundaria hay otra que emite a contrafase
manera Γ±oΓ±a de
escribir sin2 π½
Ξ²2
ππππ
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Lo que acabamos de resolver es esto
πΌπ ππππππ =π2
2
sin2 π½
Ξ²2 =π2
2sinc2 π½ con π½ =
π π· sin π
2
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