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Mecanica Cuantica y RelatividadCampos Espinoreales
Weyl, Majorana y DiracReferencias
Fermiones de Dirac y Majorana
Juan Cajales Bello
Departamento de FisicaUniversidad Tecnica Federico Santa Maria
11 de mayo de 2015
Juan Cajales Bello Fermiones de Dirac y Majorana
Mecanica Cuantica y RelatividadCampos Espinoreales
Weyl, Majorana y DiracReferencias
Contenido
1 Mecanica Cuantica y RelatividadEcuaciones Schrodinger y Klein-GordanEcuacion de Dirac
2 Campos Espinoreales¿como transforma un campo?Lagrangiano de DiracSoluciones de la ecuacion de Dirac¿Left o Right?
3 Weyl, Majorana y DiracFermiones de WeylFermiones de MajoranaFermiones de Dirac
4 Referencias
Juan Cajales Bello Fermiones de Dirac y Majorana
Mecanica Cuantica y RelatividadCampos Espinoreales
Weyl, Majorana y DiracReferencias
Ecuaciones Schrodinger y Klein-GordanEcuacion de Dirac
Ecuaciones de Schrodinger y Klein-Gordan
Podemos encontrar muchos axiomas relativos a la mecanica cuantica,nosotros nos centraremos en uno que dice que ”La evolucion temporal delestado de un sistema es gobernado por la ecuacion de Schrodinger”. Uncamino para derivar la ecuacion de Schrodinger es comenzar con la relacionclasica de energia y momentum:
E =p2
2m
Aplicando el principio de correspondecia p→ −i~5, E → i~ ∂∂t
obtenemos:
i~ ∂∂t|Ψ〉 = − ~2
2m∇2 |Ψ〉
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Ecuaciones Schrodinger y Klein-GordanEcuacion de Dirac
Ecuaciones de Schrodinger y Klein-Gordan
La ecuacion de Klein-Gordon puede ser obtenida a traves del mismocamino, pero trabajando esta vez con la relacion relativista de energia ymomentum: E2 − p2c2 = m2c4 o escrita de mejor manera como:
pµpµ −m2c2 = 0 (1)
Aplicando pµ → i~∂µ(∂µ ≡ ∂
∂xµ
)reemplazando esto en la ecuacion (1) y
dejandola actuar sobre la funcion de onda ψ obtendremos:
−~2∂µ∂µψ −m2c2ψ = 0
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Ecuaciones Schrodinger y Klein-GordanEcuacion de Dirac
La estrategia de Dirac
Dirac se puso a buscar una ecuacion que fuera compatible con la relacionrelativista de energia y momentun y ademas de primer orden en el tiempopara esto penso en la factorizacion de dicha relacion, de lo cual obtuvo:
pµpµ −m2c2 = (βκpκ +mc)(γλpλ −mc
)(2)
donde los βκ y γλ son coeficientes que aun debemos determinar.Multiplicando explicitamente el lado derecho de (2) obtenemos:
βκγλpκpλ −mc (βκ − γκ) pκ −m2c2 (3)
no necesitamos terminos lineales en p por lo cual escojemos βκ = γκ,debemos determinar entonces coefficientes γ que cumplan con la condicion
pµpµ = γκγλpκpλ (4)
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Ecuaciones Schrodinger y Klein-GordanEcuacion de Dirac
Matrices de Dirac
Es aqui donde Dirac tiene su brillante idea, los γ‘s deberian ser entoncesmatrices! ya que las matrices no conmutan podemos encontrar γ‘s tales que:(
γ0)2 = 1 ∧(γ0)2 =
(γ0)2 =
(γ0)2 = −1 (5)
y que cumplan ademas con:
(γµγν + γνγµ) = 0 ⇒ µ 6= ν (6)
o mas estrictamente:γµ, γν = 2ηµν1 (7)
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Ecuaciones Schrodinger y Klein-GordanEcuacion de Dirac
Ecuacion de Dirac
Las matrices mas pequenas que pueden cumplir estas propiedades son de4x4 y entonces las relacion de energia momentum nos queda de la forma:
pµpµ −m2c2 = (βκpκ +mc)(γλpλ −mc
)= 0 (8)
Escogemos una de los terminos,sin importar cual ya que ambos por si solosson solucion de la ecuacion de Klein-Gordan:
γµpµ −mc = 0 (9)
Si ademas utilizamos la interpretacion cuantica del momentum pµ → i~∂µencontramos la Ecuacion de Dirac!:
i~γµ∂µψ −mcψ = 0 (10)
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Weyl, Majorana y DiracReferencias
¿como transforma un campo?Lagrangiano de DiracSoluciones de la ecuacion de Dirac¿Left o Right?
Campo Espinoreal
Ya que los γ′s son matrices de 4x4 entonces nuestros ψ deberan sercolumnas de 4 elementos:
ψ =
ψ1
ψ2
ψ3
ψ4
.
A pesar de tener 4 componentes este objeto no es un cuadrivector ya que notransforma como tal, contruiremos para esto una matriz Sρσ tal que cumplacon:
Sρσ =1
4[γρ, γσ] (11)
Bajo transformaciones de Lorentz tendremos que el spinor cambia segun:
ψα (x)→ S [Λ]αβ ψβ (Λ−1x
)(12)
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¿como transforma un campo?Lagrangiano de DiracSoluciones de la ecuacion de Dirac¿Left o Right?
¿como transforma un campo?
Donde
Λ = exp
(1
2ΩρσM
ρσ
)(13)
S [Λ] = exp
(1
2ΩρσS
ρσ
)(14)
La matriz rotacion vendra dada por:
Sij =
[e+i
ϕσ2 0
0 e+iϕσ2
]
considernado una rotacion de 2π sobre el eje 3, es decir ϕ = (0, 0, 2π)
Sij =
[eiπσ 0
0 eiπσ
]
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¿como transforma un campo?Lagrangiano de DiracSoluciones de la ecuacion de Dirac¿Left o Right?
¿como transforma un campo?
Esta transformacion tambien puede ser vista como
S [Λ] = cos(ϕ
2
)− 2Sij sin
(ϕ2
)Al realizar la rotacion por 2π nuestra transformacion valdra:
S [Λ] = −1 (15)
lo que sobre nuestro spinor provoca:
ψα (x)→ −ψα (x) (16)
verificamos que al realizar una vuelta completa no nos encontramos con elmismo elemento, por tanto el campo espinoreal no es un cuadrivector.
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¿como transforma un campo?Lagrangiano de DiracSoluciones de la ecuacion de Dirac¿Left o Right?
La accion de Dirac
Ya que contamos con un nuevo campo con el cual trabajar contruiremos apartir de el su accion asociada y por tanto el Lagrangiano correpondiente.Con esto en mente definimos el Adjunto de Dirac ”:
ψ = ψ†γ0 (17)
si ahora realizamos el producto ψψ
ψ (x)ψ (x) = ψ(Λ−1x
)ψ(Λ−1x
)(18)
Este producto cumple entonces con ser un escalar de lorentz. Con estopodemor ahora contruir la accion de Dirac nuestra eleccion sera
S =
∫ψ (x) (iγµ∂µ −m)ψ (x) d4x (19)
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¿como transforma un campo?Lagrangiano de DiracSoluciones de la ecuacion de Dirac¿Left o Right?
Lagrangiano de Dirac
Necesitamos ahora corroborar que nuestra accion es la correcta, debemospor tanto minimizarla, es decir δS = 0 vemos ademas que nuestrolagrangiano es de la forma
L(ψ, ∂µψ) = ψiγµ∂µψ − ψmψ
variando primero respecto de ψ obtenemos
iγµ∂µψ −mψ = 0 (20)
variando ahora respecto de ψ tendremos que
i∂µψγµ +mψ = 0 (21)
Como esperabamos hemos encontrado las 2 ecuaciones de movimientonecesarias y ya que nuestra accion esta construida a base de invariantespodemos afirmar que nuestra ecuacion de movimiento tambien es unainvariante de Lorentz.
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¿como transforma un campo?Lagrangiano de DiracSoluciones de la ecuacion de Dirac¿Left o Right?
Soluciones reales
¿Podra la ecuacion de Dira tener soluciones reales como la ecuacion deklein-gordon?. Para que esto se cumpla todas las matrices γ′s deberan sercompletamente complejas. Dicha matrices son conocidas como larepresentacion de Majorana y sera dada por:
γ0 =
[0 σ2
σ2 0
]
γ1 =
[iσ1 00 iσ1
]γ2 =
[0 σ2
−σ2 0
]γ3 =
[iσ3 00 iσ3
]
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¿como transforma un campo?Lagrangiano de DiracSoluciones de la ecuacion de Dirac¿Left o Right?
Fermiones de Majorana
Esta representacion entrega soluciones reales que cumplen con la asiconocida condicion de Majorana
ψ = ψ∗ (22)
La representacion de Majorana sera relativa a otras representaciones atraves de una matriz unitaria U = U† tal que :
γµ = UγµU† (23)
Aplicando la condicion de Majorana para una representcion cualquieraobtenemos:
ψ = UUTψ∗ (24)
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¿como transforma un campo?Lagrangiano de DiracSoluciones de la ecuacion de Dirac¿Left o Right?
Si U es unitaria entonces el producto UUT tambien lo sera, con esto enmente se define:
UUT = γ0C (25)
Si decimos ademas que ψ = γ0Cψ∗ entonces un Fermion de Majorana
cumplira siempre queψ = ψ (26)
La matriz C es conocida como la matriz de conjugacion de la carga y paracualquier representacion cumple con la condicion:
C−1γµC = γTµ (27)
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¿como transforma un campo?Lagrangiano de DiracSoluciones de la ecuacion de Dirac¿Left o Right?
Helicidad
Trataremos de entender el concepto de ”handedness”, el cual tiene que vercon la orientacion relativa del Spin respecto del momentum de la particula.Esta definicion gira en torno de la helicidad:
hp =Σ•p|p| (28)
donde Σ denota la matriz de Spin. El operador h tiene eigenvalores +1 y -1de lo cual una particula sera definida:
right− helical→ +1
left− helical→ −1
Ademas h cumple con:[H,h] = 0 (29)
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¿como transforma un campo?Lagrangiano de DiracSoluciones de la ecuacion de Dirac¿Left o Right?
Quiralidad
La quiralidad es la propiedad que nos permite distinguir entre lascomponentes espinoreales. Para esto definiremos la matriz γ5 = iγ0γ1γ2γ3
la cual cumple con:γ5, γµ = 0 (30)
y tambien que (γ5)† = γ5 ∧
(γ5)2 = 1 (31)
Desde esta matriz podemos crear los operadores
L =1
2
(1− γ5) ∧ R =
1
2
(1 + γ5) (32)
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¿como transforma un campo?Lagrangiano de DiracSoluciones de la ecuacion de Dirac¿Left o Right?
Entonces dado cualquier objeto ψ que cumpla con la ecuacion de Dirac lopodremos expresar como:
ψ = ψL + ψR (33)
DondeψL = Lψ ∧ ψR = Rψ (34)
Tales projecciones son conocidas como left− chiral y right− chiral. Adiferencia de la helicidad la quiralidad no conmutan con el hamiltoniano
[H,h] 6= 0 (35)
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Fermiones de WeylFermiones de MajoranaFermiones de Dirac
Espinores de Weyl
Utilizaremos ahora un set de matrices dado por:
γ0 =
∣∣∣∣ 0 11 0
∣∣∣∣ .,
γi =
∣∣∣∣ 0 σi
−σi 0
∣∣∣∣ .Estas matrices son conocidas como la representacion de Weyl o Chiral, coni=1,2,3 y donde cada elemento al interior de las matrices es en si mismouna matriz de 2x2. Veamos entonces como queda el lagrangiano de DiracL = ψ (iγµ∂µ −m)ψ bajo la descomposicion
ψ =
(ψLψR
).
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Fermiones de WeylFermiones de MajoranaFermiones de Dirac
L = iψ†Rσµ∂µψL + iψ†Lσ
µ∂µψR −m(ψ†LψR + ψ†RψL
)(36)
Desde aqui podemos ver que fermiones masivos requieren ambos tipos dequiralidad ya que los ψL y ψR se acoplan sobre el termino de masa, sinembargo para fermiones sin masa obtenemos
iσµ∂µψR = 0 or iσµ∂µψL = 0 (37)
Estas son conocidas como las ecuaciones de Weyl, de lo cual tanto ψL comoψR son conocidos como los espinores de Weyl.
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Fermiones de WeylFermiones de MajoranaFermiones de Dirac
Un fermion de Majorana es masivo por tanto debe poseer ambasquiralidades, dicho termino deber de ser de tal forma que se cumpla
ψ = ψ
Sabemos queRψL = 0 −→ (1 + γ5)χ = 0
aplicando el complejo conjugado y multiplicando por γ0C obtendremos
(1− γ5) χ = 0
de lo cual se desprende queχ = γ0Cχ
∗
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Fermiones de WeylFermiones de MajoranaFermiones de Dirac
Entonces un fermion que cumpla la condicion de Majorana podra serescrito como
ψM = χ+ χ
puesto que χ = γ0Cχ∗, ψM tiene efectivamente una unica proyeccion de
helicidad independiente. De la ecuacion anterior se sigue que el espinor deMajorana satisface una ligadura: es auto-conjugado:
ψM = [(ψM )]c (38)
De esto vemos que el termino de masa de majorana puede ser escrito como
LM = m (χχ+ χχ) (39)
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Fermiones de WeylFermiones de MajoranaFermiones de Dirac
Tambien son fermiones masivos por tanto tambien deben tener ambos tiposde quiralidad, esta vez la solucion no tiene ninguna ligadura de lo cual uncampo de Dirac puede ser dado por:
ψM = χ1 + χ2
Donde χ1 y χ2 pueden ser por ejemplo 2 espinores de Weyl con left-chiral,desde aqui vemos que el termino de masa asociado a un espinor de Diracsera:
LD = m (χ1χ2 + χ1χ2) (40)
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Referencias
David Tong.Quantum Field Theory, University of Cambridge Part IIIMathematical Tripos.2006.
Palash B. Pal.Dirac, Majorana and Weyl fermions.2010.
Javier Rubio Pena.FISICA DE NEUTRINOS.
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