Probabilidad Dist.Mat298 (Cap. VI) · un experimento de probabilidad. El espacio muestral S es el...

Cap. 6Distribuciones de Probabilidad Normal

SPSS & Excel

6.1 Distribución de probabilidad normal6.2 Distribución normal estándar6.3 Aplicaciones de las distribuciones

normales6.4 Notación z

Variable aleatoria (x)

Es la variable que asume un valor numérico único para cadauno de los resultados que aparecen en el espacio muestral deun experimento de probabilidad. El espacio muestral S es elconjunto de todos los resultados posibles de un experimento.Ese espacio muestral puede ser representado: lista, undiagrama de árbol, un sistema de rejilla, tablas, entre otras.La variable aleatoria es un valor funcional definido

Variable aleatoria continua (medición)

Variable aleatoria discreta (conteo)

La variable aleatoria es un valor funcional definidosobre un espacio muestral que puede ser discreto ocontinuo . Para S de algún experimento, una variablealeatoria es cualquier asociación con cada resultadoen S.

Distribución Normal

La más importante de las distribuciones teóricas es la Distr ibuciónNormal, conocida como Curva Normal y Curva de Gauss. De Moivr epublicó en 1773 su trabajo sobre la Curva Normal. Gauss y Lapl ace,contemporáneos de De Moivre, la dedujeron independienteme nte.

En sus orígenes, la Curva Normal se aplicó para estudiar ladistribución de los errores (desviaciones) con respecto al promedio,de ahí que también se le conoce como Curva Normal de Error . En lade ahí que también se le conoce como Curva Normal de Error . En laDistribución Binomial, la variable x es de naturaleza discr eta, es decir,sus valores son resultado de un conteo, por ello este tipo dedistribuciones se conocen con el nombre de distribuciones d evariable discreta. Sin embargo, muchos de los datos que se an alizanestán indicados en magnitudes que varían continuamente (po rejemplo estaturas, IQ, salarios, mediciones antropométri cas enfósiles, indicadores económicos, entre otros). Las distri buciones quese tratan con este tipo de datos se conocen con el nombre deDistribuciones de Variable Continua.

Ejemplo: Fórmula del Cociente de Inteligencia (CI o IQ)

Escala de Inteligencia de Alfred Binet

Distribución de Probabilidad Normal

100acronológicedad

mentaledadCI

====

Distribución de Probabilidad Normal

La distribución de probabilidad normal tiene una variablealeatoria continua y utiliza dos funciones: una funciónpara para determinar las ordenadas (valores de y=f(x)) dela gráfica que muestra la distribución y una segundafunción para determinar las probabilidades P(x).

Función de distribución de probabilidad normal

(((( ))))

zx

quevarobser

)reales(Rxtodopara2

exfy

x

2x21

x

====µµµµ−−−−

∈∈∈∈ππππσσσσ

========

σσσσµµµµ−−−−−−−−

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))dxxfbxaP

áreaadprobabilidlaCalcular

zquevarobser

b

a

x

∫∫∫∫====≤≤≤≤≤≤≤≤

====σσσσ

x)DS(estándarDesviación

lpoblacionaMedia

σσσσµµµµ

Función de distribución de probabilidad normal estándar

(((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( ))))2

ezfy

21

exfy

2z2

z21 2

ππππ========⇒⇒⇒⇒

ππππ========

−−−−−−−−

1,0quevarobser x ====σσσσ====µµµµ

Distribución Normal Estándar

La Distribución Normal Estándar es unadistribución de probabilidad normal que tieneuna media de 0 ( z = 0.00) y una DS igual a 1.

La mayor aplicación de la Distribución Normalse hace a partir de las áreas bajo la CurvaNormal. El área total bajo la Curva Normal esigual a uno . Como las distribuciones teóricas seemplean con cierta frecuencia como modelos,que permiten establecer la media y la DS de lapoblación .

Normal es sólo el título tradicional para este tipoespecífico de distribución. Aunque hay otros tipos dedistribuciones continuas (rectangulares, triangulares,sesgadas, entre otras).

Propiedades de la Distribución Normal Estándar

� El área bajo la curva normal es igual a 1.� El área bajo la curva normal es igual a 1.� La curva tiene forma de campana y es simétrica,se extiende indefinidamente en ambas direcciones� La distribución tiene una media 0 y unadesviación estándar de 1.� La media divide el área a la mitad, 0.50 a cadalado.� Casi todo el área está entre z=-3.00 y z=+3.00.

%5050.0 = %5050.0 =

µ X

0 z

0.00

1 σMedia µσ12 σ 2 σ3 σ 3 σ

Regla EmpíricaLas áreas comprendidas bajo la Curva Normal serán:68 % a una desviación estándar con respecto a µ

95 %a dos desviaciones estándar con respecto µ

99.7% a tres desviaciones estándar con respecto µ

-1.00-2.00 0

Z =−1.00

z

frecuencia acumulada relativa

0.50

-1.00-2.00 0 z

(((( )))) 1587.000.1zPseao00.1deizquierdalaa

NormalCurvalabajo)adprobabilid(áreaelEncuentre

≈≈≈≈−−−−<<<<−−−−

µ x0

1.00 2.00

Z =1.52

z

1.00 2.000

(((( )))) ≈≈≈≈>>>> 52.1zPseao52.1dederechalaa

NormalCurvalabajo)adprobabilid(áreaelEncuentre

(((( )))) 0643.052.1zP ≈≈≈≈>>>>

1.00 2.00

Z =1.52

z

1.00 2.000

(((( )))) ≈≈≈≈<<<< 52.1zPseao52.1deizquierdalaa

NormalCurvalabajo)adprobabilid(áreaelEncuentre

(((( )))) 9357.05.04357.052.1zP ====++++≈≈≈≈<<<<

1.00 2.00

Z =1.96

z

1.00 2.000

(((( )))) ≈≈≈≈<<<<<<<< 96.1z0Plaseao96.1y0entre

NormalCurvalabajo)adprobabilid(áreaelEncuentre

(((( )))) 0250.096.1z0P ≈≈≈≈<<<<<<<<

Ejemplo (Aplicación)

Un uso clásico de la Distribución Normal se inspiróen una carta enviada a una consejera sentimentalen la que una esposa aseguraba haber dado a luz308.0 días después de una breve visita de suesposo, que estaba sirviendo en la Armada deEstados Unidos. Los tiempos (duración) de losEstados Unidos. Los tiempos (duración) de losembarazos se comportan normalmente con unamedia poblacional de 268.0 días y una DSpoblacional igual a 15.0 días . Dada esainformación, determine la probabilidad de que unembarazo dure más de 308.0 días . ¿Qué sugiere elresultado?

~X (((( ))))(((( ))))2250.15,0.268N 22x ========σσσσ====µµµµ

Z =

1.00 2.00

µ = 268.0

z

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))500019

1000038

seao0038.067.2zPdías0.308xP

67.21540

0.150.2680.308x

z

zPdías0.308xP

x

====≈≈≈≈>>>>====>>>>

≈≈≈≈====−−−−====

σσσσµµµµ−−−−====

≈≈≈≈>>>>====>>>>0.00

308.0 x

Ejemplo (Aplicación)

Las duraciones de los embarazos se comportannormalmente con una media poblacional de 268.0días y una DS poblacional igual a 15.0 días. Siestipulamos que un bebé es prematuro si nace almenos tres semanas antes de lo debido, entonces¿qué porcentaje de bebés nacen prematuramente?¿qué porcentaje de bebés nacen prematuramente?Esta información es importante para losadministradores de los hospitales y aseguradoras,que necesitan asegurarse de que se cuente con elequipo efectivo para atender las necesidadesespeciales de los bebés prematuros y sus madres.

=µ x

0 z

1.00 2.000

Z =1.96

z

1.00 2.000

(((( )))) ====++++≈≈≈≈<<<< 5.096.1zP

(((( )))) ≈≈≈≈<<<< 96.1zPseao96.1deizquierdalaa

NormalCurvalabajo)adprobabilid(áreaelEncuentre

-1.00-2.00

Z =−1.96

z

-1.00-2.000

(((( )))) 9750.05.04750.096.1zP ====++++≈≈≈≈−−−−>>>>

(((( )))) ≈≈≈≈−−−−>>>>−−−− 96.1zPseao96.1dederechalaa

NormalCurvalabajo)adprobabilid(áreaelEncuentre

Ejemplo (Aplicación)

La vida útil de las baterías para una lámpara secomportan normalmente con una mediapoblacional de 35.6 horas y una DS poblacional de5.4 horas. Se seleccionó aleatoriamente una dedichas baterías y así estimar su tiempo útil (o vida).¿Cuál es la probabilidad de que la batería¿Cuál es la probabilidad de que la bateríaseleccionada tenga un tiempo útil menor que 40.0horas?

(((( )))) (((( )))) ≈≈≈≈<<<<====<<<< 1t zzPhoras0.40xP

35.6

Z =

X(t)

1.00 2.00

35.6 X(t)

0.00 z

(((( )))) (((( )))) ≈≈≈≈<<<<====<<<< 1t zzPhoras0.40xP

(((( )))) (((( )))) ≈≈≈≈>>>>====>>>> 1t zzPhoras0.40xPcalcularAdemás

-1.00-2.00

Z =-1.96

z

-1.00-2.000

(((( )))) ≈≈≈≈−−−−<<<< 96.1zP

(((( )))) ≈≈≈≈−−−−<<<<−−−− 96.1zPseao96.1deizquierdalaa

NormalCurvalabajo)adprobabilid(áreaelEncuentre

Ejemplo (Aplicación)

El dispositivo de apertura automática de unparacaídas de carga se diseño para que lo abriera a200.0 m sobre el suelo. Suponga que la altura deapertura en realidad se comporta normalmente conuna altura de apertura media de 200.0 m y DS de30.0 m. La carga útil se dañará si el paracaídas se30.0 m. La carga útil se dañará si el paracaídas seabre a una altura menor que 100.0 m. ¿Cuál es laprobabilidad de que se dañe la carga útil de almenos uno de 5 paracaídas lanzados en formaindependiente?

(((( )))) (((( )))) ≈≈≈≈<<<<====<<<< 1h zzPm0.100xP:1#Paso

=µ x

0 z

Z =−1.96

z

Z = 1.96

-1.00-2.00 0.00z

(((( )))) (((( )))) 95.04750.024750.04750.096.1z96.1P ========++++≈≈≈≈++++<<<<<<<<−−−−

1.00 2.00

(((( )))) ≈≈≈≈<<<<<<<<−−−−−−−− 96.1z96.1Plaseao96.1y96.1entre

NormalCurvalabajo)adprobabilid(áreaelEncuentre

Z =−1.96

z

Z =−1.65

-1.00-2.00 0.00

(((( )))) 0245.04505.04750.065.1z96.1P ====−−−−≈≈≈≈−−−−<<<<<<<<−−−−

1.00 2.00

(((( )))) ≈≈≈≈−−−−<<<<<<<<−−−−−−−−−−−− 65.1z96.1Plaseao65.1y96.1entre

NormalCurvalabajo)adprobabilid(áreaelEncuentre

Z =1.96

z

Z = 2.05

-1.00-2.00 0.00

(((( )))) ====−−−−====<<<<<<<< 05.2z96.1P

1.00 2.00 3.00

(((( )))) ≈≈≈≈<<<<<<<< 05.2z96.1Plaseao05.2y96.1entre

NormalCurvalabajo)adprobabilid(áreaelEncuentre

¿Cómo encontrar la puntuación “z” que acota unárea o probabilidad?

¿Qué valor de “z” mínimo representa el 14%superior (“top”) de una Curva Normal?

1.00 2.00

Z =

z

0.1400

1.00 2.000

(((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))08.1z

ccolumna1401.0bcolumna3599.0acolumna08.1z

1401.0enontramos)cola(ccolumnalaEn

1400.0zzP

1

1

1

====∴∴∴∴====

≈≈≈≈>>>>

¿Cómo encontrar la puntuación “z” asociado conun percentil?

¿Cuál valor de “z” es asociado con el percentil 75de una Curva Normal?

75P75P

Z =

z

0.7500=0.5000 + 0.2500

1.00 2.000

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))67.0z

ccolumna2514.0bcolumna2486.0acolumna67.0z

)25.0a.aproxmejor(2486.0enontramosbcolumnalaEn

2500.05000.07500.0zzPcomovemosloP

1

1

175

====∴∴∴∴====

++++====≈≈≈≈<<<<

−1.00

¿Cómo encontrar las puntuaciones “z” acotan unárea o probabilidad central de una CurvaNormal?

¿Qué valores de “z” acotan el 95% medio de unaCurva Normal?

Z =

z

Z =

1.00 2.000

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))96.1z

ccolumna0250.0bcolumna4750.0acolumna96.1z

4750.0enontramosbcolumnalaEn

4750.0zz0P,4750.00zzP

4750.0295.0

2%95

i

i

21

±±±±====∴∴∴∴====

====<<<<<<<<====<<<<<<<<

========÷÷÷÷

−1.00−2.00

Ejemplo (Aplicación)

Considere que los cocientes de inteligencia o IQpara los sujetos se comportan normalmente, conuna media poblacional de 100.0 y D.S. poblacionalde 16.0. Si un sujeto se selecciona aleatoriamente ,¿cuál es la probabilidad de que su IQ esté entre100.0 y 115.0? P(100.0<X(IQ)<115.0?100.0 y 115.0? P(100.0<X(IQ)<115.0?

Además calcular la probabilidad de que el sujetoseleccionado aleatoriamente tenga un IQ mayorque 90.0.¿Qué porcentaje de los IQ están bajo 90?

Calcular el percentil 33 correspondiente a un sujeto

Notación

Calcular las probabilidades asociadas:

1. z(0.05)2. z(0.90)3. z(0.95)

(((( )))) (((( ))))αααα−−−−αααα 1z,z

3. z(0.95)4. z(0.9750)5. z(0.01)6. z(0.025)7. z(0.005)8. z(0.001)

Aplicaciones

1. Para un grupo pacientes adultos del Hospital XYZ con una edad particular, la distribución de lecturas de colesterol (mg/dl) se distribuye normalmente con una media poblacional igual a 210 mg/dl y una DS poblacional igual a 15 mg/dl.

� ¿Qué porcentaje de la población de esos pacientes tiene lecturas que exceden de 250.00 mg/dl?

� ¿Qué porcentaje de esa población de pacientes tiene lecturas inferiores a 150?

dlmg /00.210=µ x

0 z

2. Un uso clásico de la Distribución Normal se inspiró en una carta enviada a una consejera sentimental (Dear Abby) en la que una esposa aseguraba haber dado a luz 308 días después de una breve visita de su esposo, que estaba sirviendo en la Armada de Estados Unidos. Los tiempos (duración) de los embarazos se comportan normalmente con una media de 268.0 días y una DS igual a 15.0 días. Dada esa información, determine la probabilidad de que un embarazo dure 308 días o más. ¿Qué sugiere el resultado?

=µ x

0 z

3. Las duraciones de los embarazos se comportan normalmente con una media de 268 días y una DS igual a 15 días. Si estipulamos que un bebé es prematuro si nace al menos tres semanas antes de lo debido, entonces ¿qué porcentaje de bebés nacen prematuramente? Esta información es importante para los administradores de los hospitales y aseguradoras, que necesitan asegurarse de que se cuente con el equipo efectivo para atender las necesidades especiales de los bebés prematuros y sus madres.

4. Las puntuaciones de IQ están distribuidas normalmente con una media de 100.0 y una DS igual a 15.0. XYZ es una organización para personas con cociente intelectual elevado, y sólo acepta personas con un IQ mayor que 131.5.

� Si se selecciona aleatoriamente a una persona, entonces determine la probabilidad de que satisfaga el requisito de XYZ.� En un ciudad representativa con 75000 habitantes, ¿cuántos son elegibles para XYZ?