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Examen de Sistemas Automaticos EPSIG 10 de febrero de 2005

Problema 1

El motor de corriente continua ha sido utilizado habitualmente en la industria para todotipo de tareas en las que se precisa control preciso de la velocidad o de la posicion. En la figura 1se muestra el esquema de control de posicion (θ(t)) de este motor por medio de un reguladorproporcional; en la figura 2 el controlador es un proporcional integral con prefiltro; y en lafigura 3 se presenta como alternativa el control en cascada. La figura 4 recoge los diagramas deBode de magnitud de diversas funciones de transferencia relativas a las tres implementaciones,siendo P las curvas correspondientes al control proporcional, PI al proporcional-integral conprefiltro, y C al control en cascada.

1. Analizar comparativamente la capacidad de seguimiento de referencias de las tres alterna-tivas. Indicar el ancho de banda de cada una de ellas.

2. Analizar comparativamente la capacidad de rechazo de perturbaciones de carga (TL(t)) delas tres alternativas.

3. ¿Cual de las tres alternativas es la mas robusta desde el punto de vista de la posible variacionde los parametros del motor?

4. Evaluar el efecto de una perturbacion de carga (TL(t)) de amplitud 1Nm y frecuencia 0, 1Hzsobre la posicion en cada una de las alternativas presentadas.

5. Para poder implementar cualquiera de estas alternativas, es necesario utilizar un actuadorque proporcione al motor la tension de alimentacion necesaria (u(t)) para su funcionamiento.¿Que opcion necesita un actuador de mas prestaciones (desde el punto de vista de generartension de mayor amplitud)? ¿Cual serıa la alternativa que necesitarıa un modulador detension de menos capacidad?

6. Evaluar la tension necesaria (u(t)) para rechazar una perturbacion de carga (TL(t)) deamplitud 1Nm y frecuencia 0, 1Hz en cada una de las alternativas presentadas. ¿Se elimi-nara totalmente la perturbacion?

7. ¿Que funciones de transferencia serıan necesarias para determinar la corriente i(t) que habrıaque inyectar al motor para poder implementar el control? Obtener matematicamente unade ellas solo para el caso del control proporcional.

8. ¿Que ventajas e inconvenientes presenta el control proporcional-integral con prefiltro frenteal control proporcional?

Nota: Todas las respuestas deben estar justificadas adecuadamente.

P1

Ls R+ pK1

Js B+1s

bemfK

( )u s ( )i s ( )eT s

( )LT s

( )sω ( )sθ

( )bemfu sMotor de corriente continua

*

*

( )

( )

s

s

θ

θ ′

( )sε

Figura 1: Diagrama de bloques del control de posicion de un motor de corriente continua pormedio de un regulador proporcional (P).

El examen continua en el reverso de la pagina.Pagina 1 de 2

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PI1

Ls R+ pK1

Js B+1s

bemfK

( )u s ( )i s ( )eT s

( )LT s

( )sω ( )sθ

( )bemfu sMotor de corriente continua

*( )sθ ( )sεF

* ( )sθ ′

Figura 2: Diagrama de bloques del control de posicion de un motor de corriente continua pormedio de un regulador integral con prefiltro (PI).

1Ls R+

( )u s ( )i s

( )bemfu s

( )CC s*( )i s

pK( )eT s1

ˆpK

*( )eT s 1Js B+

( )LT s

( )sω 1s

( )sθ( )VC s

*( )sω( )PC s

*

*

( )

( )

s

s

θ

θ ′

bemfKMotor de corriente continua

( )sε

Figura 3: Diagrama de bloques del control de posicion de un motor de corriente continua pormedio de regulacion en cascada (C).

Frecuencia (rad/s)

Mag

nitu

d (d

B)

10-1

100

101

102

103

104

105

Frecuencia (rad/s)

10-1

100

101

102

103

104

105

-150

-100

-50

0 ( )*( )

s

s

θ

θ

-150

-100

-50

0

Mag

nitu

d (d

B)

( )( )L

sT sθ

-50

0

50

( )*( )

u s

sθ

-30

-20

-10

0

10( )( )L

u sT s

-60

-40

-20

0

-60

-40

-20

0 ( )*'( )

s

s

ε

θ

Mag

nitu

d (d

B)

P

P

P

P

PP

PI

PI

PI

PI

PI

PI

C

C

C

C

C C

( )*( )

s

s

ε

θ

Figura 4: Funciones de transferencia de los sistemas de control de posicion.

Fin del examen. No olvidar escribir el nombre y apellidos antes de entregar.Pagina 2 de 2

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Problema 2

En la figura 1 se propone un esquema de control para la orientacion de un LEM (modulo de excursionlunar, aeronave destinada a transportar los astronautas desde el modulo de mando a la superficie dela Luna; ver figura 2 derecha). Como se aprecia, el par T (s) generado por los chorros de gas se haconsiderado proporcional a la senal del compensador V (s). Puede suponer a efectos de calculos K2

J = 1.Analisis inicial. Dibuje a mano alzada y razone (no hace falta que calcule valores) como sera la

respuesta ante entrada escalon:

1. del sistema en cadena abierta (K1 = 0) y sin compensar (Gc(s) = 1)

2. del sistema en cadena cerrada (K1 = 1) y sin compensar (Gc(s) = 1)

Diseno. Se desea que el sistema realimentado presente un ancho de banda (ωB) de 3 rad/seg, uncoeficiente de amortiguamiento relativo ζ = 0,45 y un error nulo en regimen permanente referido alseguimiento de rampas.

1. Obtenga usando el diagrama de Bode una red de compensacion que cumpla los requisitos. Puedehacer uso de la relacion mostrada en la figura 2.

2. Interprete los resultados alcanzados apoyandose en los lugares de las raıces del sistema sin com-pensar y del sistema compensado.

Figura 1: Control de orientacion en el modulo de excursion lunar (LEM)

Figura 2: Izda. Relacion entre amortiguamiento relativo y margen de fase. Dcha. Apolo 11 LEM aban-donando la Luna, con la Tierra al fondo. Fotografıa de la NASA.

NOTA: Las graficas ası como la inspiracion del problema han surgido del libro ”Modern ControlSystems”, de R.C. Dorf y R. H. Bishop, 9a edicion, Prentice Hall, 2001.

Fin del problema. No olvide escribir el nombre y apellidos antes de entregar.Pagina 1 de 1

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Problema 3

El sistema de control de una planta de tipo ball & beam (bola y carril), consta de lossiguientes elementos (ver fig. 1):

mg sen(θ)

mg

m θ

servo

Controlador

sensor de

posición

x*

x

x

u

Figura 1: Sistema de control del Ball & Beam

Ball & beam: El sistema consiste en una bola que gira por un carril inclinado un angulo θ cuya ecuaciondel movimiento es la siguiente:(

J

R2+ m

)· x = m · g · sen(θ)−B · x + m · x · (θ)2

m = 0,1 kgR = 0,015 mJ = 0,00001 kg ·m2

g = 10 m/s2

B = 0,2 N · s ·m−1

Servo: El angulo θ se gobierna mediante un servo cuya relacion entre la referencia de tension u(t)y el angulo θ es un sistema de primer orden de ganancia K = 1 y constante de tiempoτ = 0,1 s.

Sensor : La posicion de la bola se mide mediante un sensor de ultrasonidos que puede considerarseinstantaneo y de ganancia unitaria

x = x

Controlador : El control es de tipo proporcional

u = Kp · (x∗ − x)

Se pide:

1. Linealizar el sistema en torno al punto de equilibrio dado por x∗ = 0. (→ 10 %)

2. Obtener el diagrama de bloques. (→ 10 %)

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3. Dado el Bode de la fig. 2, hallar los margenes de ganancia y de fase para Kp = 1. Deter-minar el rango de valores de Kp que hacen el sistema estable. (→ 10 %)

4. Describir para Kp = 1 la naturaleza del movimiento que describe la bola ante un cambiode consigna, dando cifras aproximadas donde sea posible, en cuanto (→ 60 %):

a) Estabilidad relativa del sistema.

b) Caracter oscilatorio del movimiento de la bola.

c) Rapidez de los movimientos de la bola.

d) Precision de la posicion final de la bola en relacion con la consigna.

e) ¿que pasa con la bola si por un desajuste en el acoplamiento mecanico del motor elangulo del carril tiene 5o de diferencia con el teorico?

f ) El sensor de posicion tiene un retardo puro debido al tiempo de ida y vuelta delos pulsos de ultrasonidos. Indicar que efectos puede producir eso en el sistema decontrol.

5. Describir los problemas que pueden encontrarse al implementar de forma practica el sis-tema de control. (→ 10 %)

-60

-40

-20

0

20

40

60

Mag

nitu

de(d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se(d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figura 2: Bode de la funcion de lazo L(jω) = Gmotor(jω) ·Gballbeam(jω) ·Gsensor(jω)

Fin del problema. No olvidar escribir el nombre y apellidos antes de entregar.Pagina 2 de 2

Apartados 1,2 y 3

Problema 3