View
3.546
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Aplicaciones de la derivada.G. Edgar Mata Ortiz
licmata@hotmail.com
http://www.forismagna.com/
Máximos y mínimos relativosEjemplo 4.1. Proceso de solución iniciando con una aproximación sin cálculo, empleando primero aritmética y geometría, luego geometría analítica y finalmente la derivada.
Enunciado del problema
Enunciado del problema
• La figura muestra la forma en que seconstruirá la caja una vez recortados loscuadrados en las esquinas.
Análisis del problema
• Observa el diagrama que representa elproblema planteado.
• ¿Crees que el tamaño del cuadrado que serecorta haga que cambie el volumen de lacaja?
Procedimiento de solución
• Para ver si el volumen cambia, vamos a probar con diferentes medidas del cuadrado que se recorta.
Si se recortan cuadrados de 2 cm por lado, ¿cuáles serán las dimensiones de la caja resultante?
Procedimiento de solución
• Para ver si el volumen cambia, vamos a probar con diferentes medidas del cuadrado que se recorta.
En la figura podemos observar las dimensiones: longitud (36) y ancho (26) de la caja.
Procedimiento de solución
• La longitud y ancho de la caja ya los conocemos, ¿y la altura? ¿cuánto será?
Procedimiento de solución
• Una vez determinadas las dimensiones, calculamos el volumen.
Procedimiento de solución
• Si se recortan cuadrados de 3 cm por lado las dimensiones y el volumen cambian.
Procedimiento de solución
• Ya vimos que al aumentar el tamaño del cuadrado que se recorta, el volumen aumenta.
• Vamos a probar con otros valores.
• Para facilitar el proceso organizaremos la información en una tabla con valores.
Tamaño del recorte
Longitud de la caja
Ancho de la caja
Altura de la caja
Volumen de la caja
2 36 26 2 1872
3 34 24 3
4 32 22
Procedimiento de solución
• Probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.
Procedimiento de solución
• Resultados al probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.
El volumen de la caja sigue
aumentando, pero cada vez
menos.
Procedimiento de solución
• Resultados al probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.
El volumen de la caja
disminuyó…
Procedimiento de solución
• Resultados al probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.
Procedimiento de solución
• Resultados al probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.
Procedimiento de solución
• Podemos concluir que el volumen máximo se obtiene cuando el cuadrado que se recorta mide 6 cm por lado.
Procedimiento de solución
• Las dimensiones de la caja son:
• Longitud = 28 cm
• Ancho = 18 cm
• Altura = 6 cm
• Volumen = 3024 cm3
• Podemos concluir que el volumen máximo se obtiene cuando el cuadrado que se recorta mide 6 cm por lado.
Procedimiento de solución
• Las dimensiones de la caja son:
• Longitud = 28 cm
• Ancho = 18 cm
• Altura = 6 cm
• Volumen = 3024 cm3
• Podemos concluir que el volumen máximo se obtiene cuando el cuadrado que se recorta mide 6 cm por lado.
Procedimiento de solución
• Las dimensiones de la caja son:
• Longitud = 28 cm
• Ancho = 18 cm
• Altura = 6 cm
• Volumen = 3024 cm3
• ¿Estamos seguros de este resultado?
• Hemos tomado solamente valores enteros para el tamaño del cuadrado que se recorta
• ¿No puede ser un valor decimal?
Procedimiento de solución
• Encontramos un tamaño de recorte que aumenta le volumen.
Volumen máximo
Procedimiento de solución
• Las dimensiones de la caja son:
• Longitud = 29 cm
• Ancho = 19 cm
• Altura = 5.5 cm
• Volumen = 3030.5 cm3
• ¿Estamos seguros de este resultado?
• Hemos tomado algunos decimales, pero…
• ¿No puede ser un valor con dos o tres decimales?
Procedimiento de solución• Las dimensiones de la caja son:
• Longitud = 29 cm
• Ancho = 19 cm
• Altura = 5.5 cm
• Volumen = 3030.5 cm3
• Está claro que no podemos obtener la solución exacta.
• Siempre habrá la posibilidad de que existan medidas de cuadrados que mejoren más el volumen.
• Tal vez debemos considerar otras herramientas.
Procedimiento de solución• Las dimensiones de la caja son:
• Longitud = 29 cm
• Ancho = 19 cm
• Altura = 5.5 cm
• Volumen = 3030.5 cm3
• La geometría y la búsqueda de mayor exactitud aumentando el número de decimales no es suficiente
• Vamos a trazar la gráfica con los datos obtenidos en la tabulación.
Procedimiento de solución
Procedimiento de solución
Procedimiento de solución
Vo
lum
en
máxim
o
Procedimiento de soluciónEn la gráfica se observa que la solución está entre 5 y 6,
pero no podemos
obtener un resultado más
exacto.Aparentemente se trata de una
parábola… V
olu
me
n m
áximo
Procedimiento de solución
• Si podemos determinar que se trata de una parábola, será sencillo encontrar la solución, ya que el volumen máximo se encontraría en el vértice de la parábola.
• Vamos a determinar la ecuación que describe el volumen en función del tamaño del cuadrado que se recorta para construir la caja.
Procedimiento de solución
• Las dimensiones de la caja tomando la medida del cuadrado que se recorta como “x”.
Procedimiento de solución
• El volumen se obtiene multiplicando longitud por ancho por altura.
Procedimiento de solución
• No es una parábola, ya que la ecuación de esta curva es de segundo grado y se obtuvo una cúbica.
• La estrategia de determinar el punto máximo mediante el vértice no puede aplicarse en este problema.
Procedimiento de solución
Trazando la curva sobre los
puntos que tenemos como datos podemos observar que, efectivamente no se trata de una parábola, ya que no es
simétrica.
Procedimiento de soluciónQuitando los
puntos se observa mejor que no se trata
de una parábola, sólo para verificar
seguimos graficando para valores mayores
de equis en la siguiente
diapositiva
Procedimiento de solución
Esta es la gráfica de una función cúbica con tres
soluciones reales distintas. Observa en qué
puntos la gráfica corta el
eje de las equis.x1 = ?x2 = ?x3 = ?
Procedimiento de solución
Esta es la gráfica de una función cúbica con tres
soluciones reales distintas. Observa en qué
puntos la gráfica corta el
eje de las equis.x1 = 0
x2 = 15x3 = 20
Procedimiento de soluciónSoluciones de la función cúbica.
x1 = 0x2 = 15x3 = 20
¿Qué significan, en el problema de la caja, estos
valores?Recuerda que x es la medida del
cuadrado que se recorta.
Procedimiento de soluciónx1 = 0
Significa no recortar nada, no se forma ninguna
caja
x2 = 15Significa recortar 15 cm, se termina
la hoja
x3 = 20Significa recortar 20 cm, se termina la hoja en el otro
lado…
Procedimiento de solución
• El uso de la función cúbica nos ha permitido entender más el problema, pero no lo hemos resuelto.
• Todavía tenemos solamente una solución aproximada que, en ocasiones, pude ser útil, pero no es suficiente para nosotros.
• Las dimensiones de la caja son:
• Longitud = 29 cm
• Ancho = 19 cm
• Altura = 5.5 cm
• Volumen = 3030.5 cm3
Procedimiento de solución
• Comenzamos planteando el problema con las herramientas básicas; aritmética y geometría.
• Después tratamos de usar funciones y gráficas y algo de geometría analítica, pero no se obtuvo una ecuación de segundo grado.
• Necesitamos otra herramienta: El cálculo diferencial.
Procedimiento de solución
• El procedimiento para resolver este problema mediante derivadas recibe el nombre de máximos y mínimos relativos.
• Es un proceso sencillo:
1. Obtener la función que describe el fenómeno en estudio
2. Determinar la primera derivada
3. Igualar a cero la derivada
4. Resolver la ecuación obtenida
Procedimiento de solución
1. Obtener la función que describe el fenómeno en estudio.
• Este paso ya lo realizamos, se trata de la función que expresa el volumen en función de la medida del cuadrado que se va a recortar:
• y = 4x3 – 140x2 + 1200x
Procedimiento de solución
2. Determinar la primera derivada.
• Aplicando las fórmulas obtenemos:
• La derivada también puede representarse como y’ (ye prima).
3 2
2
4 140 1200
12 280 1200
y x x x
dyx x
dx
Procedimiento de solución
3. Igualar a cero la derivada
• Al igualar a cero la derivada estamos tratando de encontrar los puntos críticos de las función.
2
0
12 280 1200 0
dy
dx
x x
Procedimiento de solución
4. Resolver la ecuación obtenida
• La ecuación obtenida es una ecuación de segundo grado que podemos resolver mediante la fórmula general.
2
2
12 280 1200 0
4
2
x x
b b acx
a
2 0
12
280
1200
ax bx c
a
b
c
Procedimiento de solución
4. Resolver la ecuación obtenida
• Sustituyendo en la fórmula general
2
2
12 280 1200 0
( 280) ( 280) 4(12)(1200)
2(12)
x x
x
Procedimiento de solución
4. Resolver la ecuación obtenida
• Efectuando operaciones
2( 280) ( 280) 4(12)(1200)
2(12)
280 78400 57600
24
280 20800
24
280 144.22205
24
x
x
x
x
Procedimiento de solución
4. Resolver la ecuación obtenida
• Dos soluciones.
1
2
2
1 17.675918792439
280 144.22205
2
5.6574145408933
4
280 144.22205
24
280 144.22205
24
x
x
x
x
x
Este resultado necesita ser interpretado.
¿Por qué hay dos soluciones?¿Cuál solución es la correcta?
¿Ambas son correctas?Si solo una solución es
correcta:¿Por qué aparecen dos?
¿Qué significa la que no es correcta?
Procedimiento de solución
• Hemos resuelto la ecuación y obtuvimos dos resultados, para entender por qué es necesario observar la gráfica.
• Específicamente debemos observar, ¿dónde se encuentran las soluciones encontradas en la gráfica?
1 217.675918792439 5.6574145408933x x
Procedimiento de solución
1 17.6759x
2 5.6574x
Procedimiento de solución
Para entender mejor el resultado que nos da la
derivada debemos recordar que aplicamos una herramienta que se
llama:“Máximos y mínimo
relativos”Nosotros buscábamos el volumen máximo, pero
el método nos da también el mínimo.
Procedimiento de solución
Para entender mejor el resultado que nos da la
derivada debemos recordar que aplicamos una herramienta que se
llama:“Máximos y mínimos
relativos”Nosotros buscábamos el volumen máximo, pero
el método nos da también el mínimo.
La solución a nuestro problema es el valor que maximiza el volumen: x2
Respuesta al problema
• Lo que nos preguntan es:
• ¿Cuánto deben medir los cuadrados que se recorten?
• ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja?
• ¿Cuánto es el volumen máximo?
• El valor de x2 responde solamente a la primera pregunta.
Respuesta al problema
• Se deben recortar cuadrados que midan 5.65741454 cm por lado.
• Las dimensiones de la caja serán:
• Longitud = 28.6851709
• Ancho = 18.6851709
• Altura = 5.65741454
• Para un volumen máximo de:
• 3032.3024606
GRACIAS POR SU ATENCIÓN
PBL – Problem Based Learning
Es una técnica consistente en iniciar el tema de interés con un problema que conduzca al alumno a la necesidad de aprender dicho tema.
El objetivo del presente material es abordar el tema de derivadas a partir de un problema.
Dicho problema es irresoluble por métodos analíticos previos al cálculo,.
Se muestran soluciones aproximadas logradas mediante estas herramientas y finalmente se plantea la solución mediante máximos y mínimos relativos.
Recommended