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limites de funciones y continuidad
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EJERCICIOS Y PROBLEMASTEMA 7.- LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
1.- Calcula los siguientes límites:
a) b) c) d) e) xd3lim 3x2 − 1 = 26 xd−∞lim 3−5x = +∞
xd0lim x+1
x−3 = − 13 xd+∞lim x+3
2 = +∞xd−1lim x−5
x2−x+3= − 6
5
2.- Calcula los siguientes límites indeterminados :( ∞∞ )
Ejemplo 1:
xd+∞lim x2+5x3x2−2x+1 =
(1) (+∞)2+5(+∞)3(+∞)2−2(+∞)+1
= +∞+∞ =
(2)xd+∞lim
x2+5xx2
3x2−2x+1x2
=(3)
xd+∞limx2x2 + 5x
x23x2x2 − 2x
x2 + 1x2
=xd+∞lim 1+ 5x
3− 2x + 1
x2=
(4) 1+ 5+∞
3− 2+∞ + 1
+∞= 1+0
3−0+0 = 13
(1) Sustituimos la x por el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito para ver si hay indeterminación. En este caso +∞ ∞∞
(2) Buscamos la potencia mayor de la x, “ ” y dividimos por ella el numerador y el denominador.x2
(3) Separamos las sumas y restas y simplificamos cada una de la fracciones.(4) Volvemos a sustituir el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito, hasta obtener el resultado del límite.+∞
Ejemplo 2:
xd+∞limx3+ x5
5x2−4 =(1) (+∞)3+ (+∞)5
5(+∞)2−4= +∞
+∞ =(2)
xd+∞lim
x3+ x5
x35x2−4
x3=
(3)xd+∞lim
x3x3 + x5
x6
5x2x3 − 4
x3=xd+∞lim
1+ 1x
5x − 4
x3=
(4) 1+ 1+∞
5+∞ − 4
+∞=
1+ 00−0 = 1
0 = +∞
(1) Sustituimos la x por el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito para ver si hay indeterminación. En este caso +∞ ∞∞
(2) Buscamos la potencia mayor de la x, “ ” (y no porque esta potencia está afectada por una raíz cuadrada) y dividimos por ella el numerador y el denominador.x3 x5
(3) Separamos las sumas y restas y simplificamos. Hay que tener en cuenta que para introducir un en una raíz cuadrada, hay que elevar al cuadrado, quedando un dentro.x3 x6
(4) Volvemos a sustituir el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito, hasta obtener el resultado del límite.+∞
Ejemplo 3:
(1) Sustituimos la x por el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito para ver si hay indeterminación. En este caso −∞ ∞∞
(2) Buscamos la potencia mayor de la x, “ ” (y no porque esta potencia está afectada por una raíz cúbica) y dividimos por ella el numerador y el denominador.x3 x4
(3) Separamos las sumas y restas y simplificamos. Hay que tener en cuenta que para introducir un en una raíz cúbica, hay que elevar al cubo, quedando un dentro.x3 x9
(4) Volvemos a sustituir el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito, hasta obtener el resultado del límite.−∞
Ejemplo 4:
(1) Sustituimos la x por el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito para ver si hay indeterminación. En este caso +∞ ∞∞
(2) Buscamos la potencia mayor de la x, “ ” y dividimos por ella el numerador y el denominador.x2
(3) Separamos las sumas y restas y simplificamos cada una de la fracciones.(4) Volvemos a sustituir el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito, hasta obtener el resultado del límite.+∞
a) b) c) d) xd+∞lim x2−3x+5 = +∞ xd−∞lim 2x−1
x2 = 0 xd−∞lim 7−3x22x2−1
= − 32 xd+∞lim x+ x2+1
x−2 = 2
e) f) g) h) xd+∞limx +2x
x2+1= 2 xd+∞lim 2x3
3x+1 = +∞ xd−∞lim 5x+21− x = a xd−∞lim −x2
3x−2 = 13
3.- Calcula los siguientes límites indeterminados :00
Ejemplo 1:
(1) Sustituimos la x por el y simplificamos para ver si hay indeterminación. En este caso 3 00
(2) Descomponemos en factores los polinomios utilizando la ecuación de segundo grado: y
⎧
⎩
⎨ ⎪
⎪
⎪
⎪
x2 − 4x + 3 = 0 e x =4! 16−12
2 = 4!22 e
⎧
⎩ ⎨ ⎪
⎪
x = 3x = 1 u x2 − 4x + 3 = (x − 1) $ (x − 3)
x2 − 9 = 0 e x2 = 9 e x = ! 9 = !3 e x2 − 9 = (x − 3) $ (x + 3)
sustituimos cada polinomio por su factorización.(3) Simplificamos la fracción.(4) Volvemos a sustituir el y simplificamos hasta obtener el resultado del límite.3
Ejemplo 2:
(1) Sustituimos la x por el y simplificamos para ver si hay indeterminación. En este caso 2 00
(2) Descomponemos en factores el polinomio del numerador sacando factor común: y utilizando la ecuación de segundo grado: x3 − 4x = x $ (x2 − 4) x2 − 4 = 0 e x2 = 4 e x = ! 4 = !2con lo que su descomposición es: x3 − 4x = x $ (x2 − 4) = x $ (x − 2) $ (x + 2)y descomponemos en factores el polinomio del denominador utilizando Ruffini:
y sustituimos cada polinomio por su factorización.x3 − 3x2 + x + 2 = (x − 2)(x2 − x − 1)
(3) Simplificamos la fracción.(4) Volvemos a sustituir el y simplificamos hasta obtener el resultado del límite.2
I. E. S. CABO BLANCO 1º de BachilleratoDepartamento de Matemáticas Ciencias y Tecnología
RgFA
xd−∞lim3 x4 +2x
x3−2 =(1) 3 (−∞)4 +2(−∞)
(−∞)3−2= +∞
−∞ =(2)
xd−∞lim
3 x4 +2xx3
x3−2x3
=(3)
xd−∞lim3 x4
x9 + 2xx3
x3x3 − 2
x3=xd−∞lim
3 1x5 + 2
x2
1− 2x3
=(4)
31
(−∞)5 + 2−∞
1− 2−∞
=3 0 +01−0 = 0
1 = 0
xd+∞lim2x2− x3
3x2+ x4+1=
(1) 2(+∞)2− (+∞)3
3(+∞)2+ (+∞)4+1= +∞
+∞ =(2)
xd+∞lim2x2− x3
x23x2+ x4+1
x2
=(3)
xd+∞lim2x2x2 − x3
x4
3x2x2 + x4
x4 + 1x4
=xd+∞lim2− 1
x
3+ 1+ 1x4
=(4)
2− 1(+∞)
3+ 1+ 1(+∞)4
=2− 0
3+ 1+0= 2
4 = 12
xd3lim x2−4x+3
x2−9=
(1) 32−4$3+332−9
= 00 =
(2)xd3lim
(x−1)$(x−3)(x−3)$(x+3) =
(3)xd3lim
(x−1)(x+3) =
(4) 3−13+3 = 2
6 = 13
xd2lim x3−4x
x3−3x2+x+2=
(1)xd2lim 23−4$2
23−3$22+2+2= 0
0 =(2)
xd2lim x(x−2)(x+2)
(x−2)(x2−x−1) =(3)
xd2lim x(x+2)
x2−x−1=
(4) 2$(2+2)22−2−1
= 81 = 8
1 -3 1 22
1 -1 -1 02 -2 -2
Ejemplo 3:
=xd−1lim x+1
x(x+1)(2+ 3−x )=
(4)xd−1lim 1
x(2+ 3−x )=
(5) 1(−1) 2+ 3−(−1)
= − 14
(1) Sustituimos la x por el y simplificamos para ver si hay indeterminación. En este caso −1 00
(2) Multiplicamos por el numerador y el denominador por el conjugado del numerador para eliminar la raíz y simplificamos.(3) Simplificamos el numerador y descomponemos en factores el polinomio del denominador sacando factor común: y sustituimos el polinomio por su factorización.x2 + x = x $ (x + 1)(4) Simplificamos la fracción.(5) Volvemos a sustituir el y simplificamos hasta obtener el resultado del límite.−1
Ejemplo 4:
=xd−2lim
(x+2)(x2−2x+4) x2+5 +3(x−2)$(x+2) =
xd−2lim
(x2−2x+4) x2+5 +3x−2 =
((−2)2−2(−2)+4) (−2)2+5 +3−2−2 = 12$(6)
−4 = −18
(1) Sustituimos la x por el y simplificamos para ver si hay indeterminación. En este caso −1 00
(2) Multiplicamos por el numerador y el denominador por el conjugado del numerador para eliminar la raíz y simplificamos.(3) Descomponemos en factores el polinomio del numerador utilizando Ruffini:
y simplificamos y descomponemos el denominadorx3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x − 4)utilizando la ecuación de segundo grado: con lo que su descomposición es: y sustituimos cada polinomio por su factorización.x2 − 4 = 0 e x2 = 4 e x = ! 4 = !2 x2 − 4 = (x − 2) $ (x + 2)(4) Simplificamos la fracción.(5) Volvemos a sustituir el y simplificamos hasta obtener el resultado del límite.−2
a) b) c) d) xd0lim x2−x
x = −1xd2lim x2−4
x2−3x+2= 4
xd−1lim x2+2x+1
x3+1= 0
xd3lim x−3
3x2−9x = 19
e) f) g) h) xd3lim x+1 −2
x−3 = 14 xd1
limx −1x−1 = 1
2 xd0lim x2+4 −2
x = 0xd0lim x3−3x2
2x2−x4 = − 32
4.- Calcula los siguientes límites indeterminados :(∞−∞)
Ejemplo 1: xd+∞lim x2 + 3 − x =(1) (+∞)2 + 3 − (+∞) = +∞ −∞ = +∞ − ∞ =
(2)xd+∞lim
x2+3 −x $ x2+3 +x
x2+3 +x=xd+∞lim
x2+32
−x2
x2+3 +x=
=xd+∞lim x2+3−x2
x2+3 +x=xd+∞lim 3
x2+3x +x=
(3) 3(+∞)2+3(+∞) +(+∞)
= 3+∞ = 0
(1) Sustituimos la x por el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito para ver si hay indeterminación. En este caso +∞ ∞−∞(2) Multiplicamos y dividimos la expresión por su conjugado y simplificamos.(3) Volvemos a sustituir el y simplificamos hasta obtener el resultado del límite.+∞
Ejemplo 2: xd+∞lim x − x2 − 3x =(1)
+∞ − (+∞)2 − 3 $ (+∞) = +∞ − +∞ = +∞ −∞ =(2)
xd+∞limx− x2−3x $ x+ x2−3x
x+ x2−3x=
=xd+∞limx2− x2−3x
2
x+ x2−3x=xd+∞lim
x2−(x2−3x)x+ x2−3x
=(3)
xd+∞lim 3xx+ x2−3x
= ∞∞ =
(4)xd+∞lim
3xx
xx + x2
x2 − 3xx2
=xd+∞lim 31+ 1− 3
x= 3
1+ 1− 3+∞
= 31+ 1−0
= 32
(1) Sustituimos la x por el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito para ver si hay indeterminación. En este caso +∞ ∞−∞(2) Multiplicamos y dividimos la expresión por su conjugado y simplificamos.(3) Volvemos a sustituir el y simplificamos hasta ver que ahora tenemos una indeterminación .+∞ ∞
∞
(4) Resolvemos la nueva indeterminación.
Ejemplo 3: xd1lim 2
x2−1− x
x−1 =(1) 2
12−1− 1
1−1 = 20 − 1
0 = ∞ −∞ =(2)
xd1lim 2
(x−1)(x+1) − xx−1 =
xd1lim 2
(x−1)(x+1) − x(x+1)(x−1)(x+1) =
=xd1lim −x2−x+2
(x−1)(x+1) =(3) −12−1+2
(1−1)(1+1) = 00 =
(4)xd1lim −(x−1)(x+2)
(x−1)(x+1) =xd1lim −(x+2)
(x+1) = −(1+2)(1+1) = − 3
2
(1) Sustituimos la x por el y simplificamos para ver si hay indeterminación. En este caso 1 ∞−∞(2) Realizamos la resta de fracciones algebraicas, factorizando los denominadores y reduciéndolos a común denominador , y simplificando todo lo que se pueda.(3) Volvemos a sustituir el 1 y simplificamos hasta ver que ahora tenemos una indeterminación .0
0(4) Resolvemos la nueva indeterminación.
a) b) c) d) xd−∞lim x3 + x2 = −∞ xd+∞lim x − x2 + 1 = 0 xd+∞lim x2 − x4 − 4x2 = 2 xd−∞lim x2 + 2x + x = −1
e) g) f) g)xd0lim 1
x2 − 3x = +∞ xd−∞lim 2x − 4x2 + x = − 1
4 xd+∞lim x + 1 − x + 2 = 0xd−2lim 5
x+2 + xx2−4
= !∞
5.- Calcula los siguientes límites indeterminados :(1∞)
Ejemplo 1: xd+∞lim xx+3
x2=
(1) (+∞)(+∞)+3
(+∞)2= ( +∞
+∞ )+∞ = 1+∞ =(2) exd+∞lim x
x+3 −1 $x2= exd+∞lim x−x−3
x+3 $x2=
= exd+∞lim −3x+3 $x2
= exd+∞lim −3x2x+3 =
(3) e−3(+∞)2(+∞)+3 = e
+∞+∞ = e−∞ = 1
e+∞ = 1+∞ = 0
(1) Sustituimos la x por el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito para ver si hay indeterminación. Tras resolver la indeterminación de la base obtenemos .−∞ 1∞
(2) Utilizamos la fórmula para resolver la indeterminación , 1∞ xd+∞lim f(x)g(x) = exd+∞lim (f(x)−1)$g(x)
(3) Volvemos a sustituir el y resolvemos la indeterminación−∞ ∞∞
I. E. S. CABO BLANCO 1º de BachilleratoDepartamento de Matemáticas Ciencias y Tecnología
RgFA
xd−1lim
2− 3−xx2+x
=(1) 2− 3−x
(−1)2+(−1) = 00 =
(2)xd−1lim
(2− 3−x )(2+ 3−x )(x2+x)(2+ 3−x )
=(3)
xd−1lim
22−( 3−x )2
(x2+x)(2+ 3−x )=xd−1lim 4−3+x
x(x+1)(2+ 3−x )=
xd−2lim x3+8
x2+5 −3=
(1) (−2)3+8(−2)2+5 −3
= 00 =
(2)xd−2lim
(x3+8) x2+5 +3
x2+5 −3 x2+5 +3=
(3)xd−2lim
(x3+8) x2+5 +3
x2+52
−32=xd−2lim
(x3+8) x2+5 +3
x2+5−9=
1 0 0 8-2
1 -2 4 0-2 4 -8
Ejemplo 2: xd−∞lim x2−xx2−1
−2x=
(1) (−∞)2−(−∞)(−∞)2−1
−2(−∞)= ( +∞
+∞ )−∞ = 1−∞ =(2) exd−∞lim x2−x
x2−1−1 $(−2x)
=
= exd−∞limx2−x−(x2−1)
x2−1$(−2x)
= exd−∞lim −x+1x2−1
$(−2x)= exd−∞lim 2x2−2x
x2−1 =(3) e
2(−∞)2−2(−∞)(−∞)2−1 = e
+∞+∞ = e2
(1) Sustituimos la x por el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito para ver si hay indeterminación. Tras resolver la indeterminación de la base obtenemos .+∞ 1∞
(2) Utilizamos la fórmula para resolver la indeterminación , 1∞ xd+∞lim f(x)g(x) = exd+∞lim (f(x)−1)$g(x)
(3) Volvemos a sustituir el y resolvemos la indeterminación +∞ ∞∞
a) b) c) d) xd+∞lim 1 + 1x2
x2= e xd+∞lim (1 + 2
x )x
= e2xd+∞lim ( x−1
x )x
= 1e xd+∞lim x2
x2−1
3x= 1
e) f) f) g) xd−∞lim (1 + 2x )
3x= e6
xd+∞lim 1 + 1x2−1
x2= e xd+∞lim 2 − x2
x2+2
4x= 1
xd−2lim 3
x2−1
1x+2 = e
43
6.- Calcula los siguientes límites:a) b) c) d)
xd0lim 3x+1
2x+3 = 32 xd2
lim ( x +3 − 2x + 1 ) = 0 xd+∞lim 3x+1x−5
2x−4= +∞ xd+∞lim 2x2+3x−2
x2−2x= 2
e) f) g) h) xd−∞lim x3−3x4−2x = −∞
xd1lim 1
x−1 − 3x2−1
= !∞ xd+∞lim x − 2x2 + 1 = −∞ xd+∞lim 2x+12x−5
x+3= e3
i) j) k) l) xd1lim x+1
3x−11
x−1 = 1e xd−1
lim x2−1x2+3x+2
= −2xd0lim x5−3x3
x3−2x2+x = 0xd−1lim (x+1)3
(x+2)(x2+2x+1) = 0
m) n) ñ) o) xd+∞lim x2+3xx2−2
3x= e9
xd−∞lim 2x+1x+3
x+5= 0
xd1lim x4−x3−x2+x
x4−2x3+2x2−2x+1= 1 xd−∞lim 2x−3
x2+1= −2
p) q) r) s) xd−∞lim x2 − 2 − 3x = +∞xd3lim 2x+1
3x−21
x−3 = e− 17
xd−2lim x2−4
x+2 = 0xd1lim 2
x2+x−2− 1
x−1 = !∞
t) u) v) xd−∞lim3 x3+x
2x = 12 xd−∞lim x2 + 1 − x2 − 4x = −2
xd−2lim 2x2+x3
x3+8= 1
3
w) x) y) z) xd3lim 2+7x2
1+x+x2 = 5 xd+∞lim (1 − 1x )
3x−4= 1
e3 xd−1lim x+1
x2+3x+2= +∞ xd+∞lim x2+2
x2+x+5
x2= 0
7.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
Ejemplo 1: Estudia la continuidad de la función: f(x) = x2−4x+3x2−9
Se trata de una función racional que sólo tiene problemas de continuidad en los puntos donde la función no existe, es decir, donde se anulael denominador.
Buscamos esos puntos: y estudiamos la continuidad en esos puntos:x2 − 9 = 0ux2 = 9ux = ! 9 = !3
presenta una discontinuidad esencial en .x = −3
f(−3) =(−3)2−4$(−3)+3
(−3)2−9= 9+12+3
9−9 = 240 = a
xd−3+lim x2−4x+3x2−9
= 240 = −∞
xd−3−lim x2−4x+3x2−9
= 240 = +∞
⎫
⎭
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ u f(x) x = −3
presenta una discontinuidad evitable en x = 3
f(3) = 32−4$3+332−9
= 9−12+39−9 = 0
0 = a
xd3+lim x2−4x+3x2−9
= 00 =
xd3+lim(x−1)$(x−3)(x−3)$(x+3) =
xd3+lim(x−1)(x+3) = 3−1
3+3 = 26 = 1
3
xd3−lim x2−4x+3x2−9
= 00 =
xd3−lim(x−1)$(x−3)(x−3)$(x+3) =
xd3−lim(x−1)(x+3) = 3−1
3+3 = 26 = 1
3
⎫
⎭
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ u f(x) x = 3
Por tanto, es continua en:f(x) ‘ − −3,3
Ejemplo 2: Estudia la continuidad de la función: f(x) =
⎧
⎩
⎨ ⎪
⎪
x − 5 ; x < −1x2 + 2 ; − 1 [ x < 24 + x ; x m 2
La función está compuesta por tres funciones: , y . Todas ellas funciones polinómicas,f(x) f1(x) = x − 5 f2(x) = x2 + 2 f3(x) = 4 + xcontinuas en todo .‘
Por tanto, los únicos problemas de continuidad de la función pueden aparecer en los puntos donde hay un cambio de definición, esto es: y . Estudiemos que ocurre en esos puntos:x = −1 x = 2
presenta una discontinuidad de salto en .x = −1f(−1) = (−1)2 + 2 = 1 + 2 = 3
xd−1+lim f(x) =xd−1+lim (x2 + 2) = 1 + 2 = 3
xd−1−lim f(x)xd−1−lim (x − 5) = −1 − 5 = −6
⎫
⎭
⎬ ⎪
⎪
⎪
⎪ u f(x) x = −1
I. E. S. CABO BLANCO 1º de BachilleratoDepartamento de Matemáticas Ciencias y Tecnología
RgFA
es continua en .x = 2
f(2) = 4 + 2 = 6
xd2+lim f(x) =xd2+lim (4 + x) = 4 + 2 = 6
xd2−lim f(x) =xd2−lim (x2 + 2) = 22 + 2 = 4 + 2 = 6
⎫
⎭
⎬ ⎪
⎪
⎪
⎪ u f(x) x = 2
Por tanto, es continua en: f(x) ‘ − −1
Ejemplo 3: Estudia la continuidad de la función: f(x) =
⎧
⎩
⎨ ⎪
⎪
1x+4 ; x < −2x2 ; − 2 [ x < 3
4x − 3 ; x m 3
La función está compuesta por tres funciones: función racional, continua en , y f(x) f1(x) = 1x+4 ‘ − 4 f2(x) = x2 + 2 f3(x) = 4 + x
funciones polinómicas, continuas en todo .‘
Por tanto, los problemas de continuidad de la función pueden aparecer en por la continuidad de y en los puntos donde hay unx = −4 f1cambio de definición, esto es: y . Estudiemos que ocurre en esos puntos:x = −2 x = 3
presenta una discontinuidad esencial en .x = −4
f(−4) = 1−4+4 = 1
0 = a
xd−4+lim f(x) =xd−4+lim 1
−4+4 = 10 = +∞
xd−4−lim f(x)xd−4−lim 1
−4+4 = 10 = −∞
⎫
⎭
⎬ ⎪
⎪
⎪
⎪ u f(x) x = −4
presenta una discontinuidad de salto en .x = −2
f(−2) = (−2)2 = 4
xd−2+lim f(x) =xd−2+lim x2 = (−2)2 = 4
xd−2−lim f(x) =xd−2−lim 1
x+3 = 1−2+3 = 1
1 = 1
⎫
⎭
⎬ ⎪
⎪
⎪
⎪ u f(x) x = −2
es continua en x = 3
f(3) = 4 $ 3 − 3 = 9
xd3+lim f(x) =xd3+lim (4x − 3) = 4 $ 3 − 3 = 9
xd3−lim f(x) =xd3−lim x2 = 32 = 9
⎫
⎭
⎬ ⎪
⎪
⎪
⎪ u f(x) x = 3
Por tanto, es continua en: f(x) ‘ − −4, −2
a) es continua en f(x) = −3x + 1 f(x) ‘
b) es continua en f(x) = x2 − 5x + 4 f(x) ‘
c) es continua en y presenta discontinuidad esencial en f(x) = 1x f(x) ‘− 0 x = 0
d) es continua en f(x) =⎧
⎩ ⎨
x + 2 ; x [ −1−2x − 1 ; x > −1 f(x) ‘
e) es continua en y presenta discontinuidad de salto en y en f(x) =
⎧
⎩
⎨ ⎪
⎪
2 ; x < 0x2 − 3 ; 0 [ x [ 3
x + 2 ; x > 3f(x) ‘− 0,3 x = 0 x = 3
f) es continua en f(x) = 2 − 6x f(x) ‘
g) es continua en y presenta discontinuidad de salto en f(x) =
⎧
⎩
⎨ ⎪
⎪
1 − x ; x < −12 ; − 1 [ x [ 4
2x2 + 1 ; x > 4f(x) ‘− 4 x = 4
h) es continua en y presenta discontinuidad de salto en f(x) =
⎧
⎩
⎨ ⎪
⎪
−x + 2 ; x [ −22 + x − x2 ; − 2 < x [ 1
3x − 1 ; x > 1f(x) ‘− −2 x = −2
i) es continua en f(x) = x2 − 5x − 6 f(x) ‘
j) es continua en y presenta discontinuidad esencial en f(x) = 1x+3 f(x) ‘− −3 x = −3
k) es continua en f(x) = −8 + 6x − x2 f(x) ‘
l) es continua en y presenta discontinuidad esencial en f(x) =⎧
⎩ ⎨ ⎪
⎪
−x2 + 2 ; x [ 11x ; x > 1 f(x) ‘− 0 x = 0
m) es continua en y presenta discontinuidad evitable en f(x) = x2−2xx−2 f(x) ‘ − 2 x = 2
n) es continua en f(x) = 9 − 3x f(x) ‘
ñ) es continua en f(x) =⎧
⎩ ⎨
3x − 1 ; x [ −1x2 + x − 4 ; x > −1 f(x) ‘
I. E. S. CABO BLANCO 1º de BachilleratoDepartamento de Matemáticas Ciencias y Tecnología
RgFA
o) es continua en y presenta discontinuidad de salto en f(x) =
⎧
⎩
⎨ ⎪
⎪
x ; x < 0x2 − 2 ; 0 [ x [ 3
x + 4 ; x > 3f(x) ‘− 0 x = 0
p) es continua en y presenta discontinuidad evitable en y discontinuidadf(x) = 2x+6x2+2x−3 f(x) ‘− −3,1 x = −3
esencial en x = 1
q) es continua en f(x) = 5x − x2 f(x) ‘
r) es continua en y presenta discontinuidad esencial en f(x) =
⎧
⎩
⎨ ⎪
⎪
x + 3 ; x < −14 − 2x2 ; − 1 < x [ 2
4x−2 ; x > 2
f(x) ‘− 2 x = 2
s) es continua en y presenta discontinuidad evitable en f(x) =⎧
⎩ ⎨ ⎪
⎪
2xx2−2x
; x [ 1x − 3 ; x > 1
f(x) ‘− 0 x = 0
8.- Calcula las asíntotas de las siguientes funciones:
Ejemplo 1: Estudia las asíntotas de la función: f(x) = −3xx+3
Verticales: puede haber asíntota vertical en los puntos que anulan el denominador, en este caso , vamos si efectivamente hay unax = −3asíntota en ese punto.
tiene una asíntota vertical en .xd−3+lim f(x) =xd−3+lim −3x
x+3 = −3$(−3)3+(−3) = 9
0 = +∞
xd−3−lim f(x) =xd−3−lim −3x
x+3 = −3$(−3)3+(−3) = 9
0 = −∞
⎫
⎭
⎬ ⎪
⎪ u f(x) x = −3
Horizontales: veamos si tiene calculando los siguientes límites.
tiene tiene una asíntota horizontal en .xd+∞lim f(x) =xd+∞lim −3xx+3 = −3$(+∞)
3+(+∞) = −∞+∞ = −3
xd−∞lim f(x) =xd−∞lim −3xx+3 = −3$(−∞)
3+(−∞) = +∞−∞ = −3
⎫
⎭
⎬ ⎪
⎪ u f(x) y = −3
Como hay asíntotas horizontales, no hay oblicuas.
Ejemplo 2: Estudia las asíntotas de la función: f(x) = x−31−x2
Verticales: puede haber asíntota vertical en los puntos que anulan el denominador, en este caso , vamos si efectivamente hay unax = !1asíntota en ese punto.
tiene una asíntota vertical en .xd−1+lim f(x) =xd−1+lim x−3
1−x2 = −1−31−(−1)2 = −2
0 = −∞
xd−1−lim f(x) =xd−1−lim x−3
1−x2 = 1−31−(−1)2 = −2
0 = +∞
⎫
⎭
⎬ ⎪
⎪ u f(x) x = −1
tiene una asíntota vertical en .xd1+lim f(x) =xd1+lim x−3
1−x2 = 1−31−12 = −2
0 = +∞
xd1−lim f(x) =xd1−lim x−3
1−x2 = 1−31−12 = −2
0 = −∞
⎫
⎭
⎬ ⎪
⎪ u f(x) x = 1
Horizontales: veamos si tiene calculando los siguientes límites.
tiene tiene una asíntota horizontal en .xd+∞lim f(x) =xd+∞lim x−3
1−x2 =(+∞)−31−(+∞)2 = +∞
−∞ = 0
xd−∞lim f(x) =xd−∞lim x−31−x2 =
(−∞)−31−(−∞)2 = −∞
−∞ = 0
⎫
⎭
⎬ ⎪
⎪ u f(x) y = 0
Como hay asíntotas horizontales, no hay oblicuas.
Ejemplo 4: Estudia las asíntotas de la función: f(x) = x22x−4
Verticales: puede haber asíntota vertical en los puntos que anulan el denominador, en este caso , vamos si efectivamente hay unax = 2asíntota en ese punto.
tiene una asíntota vertical en .xd2+lim f(x) =xd2+lim x2
2x−4 = 222$2−4 = 4
0 = +∞
xd2−lim f(x) =xd2−lim x2
2x−4 = 222$2−4 = 4
0 = −∞
⎫
⎭
⎬ ⎪
⎪ u f(x) x = 2
Horizontales: veamos si tiene calculando los siguientes límites.
tiene no tiene asíntotas horizontales.xd+∞lim f(x) =xd+∞lim x22x−4 =
(+∞)22$(+∞)−4 = +∞
+∞ = +∞
xd−∞lim f(x) =xd−∞lim x22x−4 =
(−∞)22$(−∞)−4 = +∞
−∞ = −∞
⎫
⎭
⎬ ⎪
⎪ u f(x)
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Oblicuas: tienen la forma , calculemos m y n.y = mx + nHacia +∞ :
m =xd+∞lim f(x)x =xd+∞lim x2
2x−4 : x =xd+∞lim x22x2−4x =
(+∞)2
2(+∞)2−4$(+∞) = +∞+∞ = 1
2
n =xd+∞lim f(x) − 12 x =xd+∞lim x2
2x−4 + x2 =xd+∞lim x2−x2−2
2(x−2) =xd+∞lim −22(x−2) = −2
2(+∞−2) = −2+∞ = 0
Por tanto la asíntota oblicua hacia es la recta: +∞ y = 12 x
Hacia −∞ :
m =xd−∞lim f(x)x =xd−∞lim x2
2x−4 : x =xd−∞lim x22x2−4x =
(−∞)2
2(−∞)2−4$(−∞) = +∞+∞ = 1
2
n =xd−∞lim f(x) − 12 x =xd−∞lim x2
2x−4 + x2 =xd−∞lim x2−x2−2
2(x−2) =xd−∞lim −22(x−2) = −2
2(−∞−2) = −2−∞ = 0
Por tanto la asíntota oblicua hacia es la recta: −∞ y = 12 x
Ejemplo 4: Estudia las asíntotas de la función: f(x) = 2x2−3x5−x
Verticales: puede haber asíntota vertical en los puntos que anulan el denominador, en este caso , vamos si efectivamente hay unax = 5asíntota en ese punto.
tiene una asíntota vertical en .xd5+lim f(x) =xd5+lim 2x2−3x
5−x = 2$52−3$55−5 = 35
0 = −∞
xd5−lim f(x) =xd5−lim 2x2−3x
5−x = 2$52−3$55−5 = 35
0 = +∞
⎫
⎭
⎬ ⎪
⎪ u f(x) x = 5
Horizontales: veamos si tiene calculando los siguientes límites.
tiene no tiene asíntotas horizontales.xd+∞lim f(x) =xd+∞lim 2x2−3x5−x = 2$(+∞)2−3$(+∞)
5−(+∞) = +∞−∞ = −∞
xd−∞lim f(x) =xd−∞lim 2x2−3x5−x = 2$(−∞)2−3$(−∞)
5−(−∞) = +∞+∞ = +∞
⎫
⎭
⎬ ⎪
⎪ u f(x)
Oblicuas: tienen la forma , calculemos m y n.y = mx + nHacia +∞ :
m =xd+∞lim f(x)x =xd+∞lim 2x2−3x
5−x : x =xd+∞lim 2x2−3x5x−x2 = 2$(+∞)2−3$(+∞)
5$(+∞)−(+∞)2 = +∞−∞ = 2
−1 = −2
n =xd+∞lim f(x) − (−2)x =xd+∞lim 2x2−3x5−x + 2x =xd+∞lim 2x2−3x+10x−2x2
5−x =xd+∞lim 7x5−x = 7$(+∞)
5−(+∞) = +∞−∞ = 7
−1 = −7
Por tanto la asíntota oblicua hacia es la recta: +∞ y = −2x − 7
Hacia −∞ :
m =xd−∞lim f(x)x =xd−∞lim 2x2−3x
5−x : x =xd−∞lim 2x2−3x5x−x2 = 2$(−∞)2−3$(−∞)
5$(−∞)−(−∞)2 = +∞−∞ = 2
−1 = −2
n =xd−∞lim f(x) − (−2)x =xd−∞lim 2x2−3x5−x + 2x =xd−∞lim 2x2−3x+10x−2x2
5−x =xd−∞lim 7x5−x = 7$(−∞)
5−(−∞) = −∞+∞ = 7
−1 = −7
Por tanto la asíntota oblicua hacia es la recta: −∞ y = −2x − 7
a) Verticales: Horizontales: Oblicuas: No hayf(x) = 2xx−3 x = 3 y = 2
b) Verticales: Horizontales: Oblicuas: No hayf(x) = x−1x+3 x = −3 y = 1
c) Verticales: Horizontales: No hay Oblicuas: f(x) = x2−1x x = 0 y = x
d) Verticales: Horizontales: Oblicuas: No hayf(x) = 12−x x = 2 y = 0
e) Verticales: ; Horizontales: Oblicuas: No hayf(x) = x2x2−4 x = −2 x = 2 y = 1
f) Verticales: Horizontales: Oblicuas: No hayf(x) = 3−2xx−5 x = 5 y = −2
g) Verticales: Horizontales: No hay Oblicuas: f(x) = x2−4xx−2 x = 2 y = x − 2
h) Verticales: No hay Horizontales: No hay Oblicuas: f(x) = 2x3x2+1 y = 2x
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