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Prof. David Becerra Rojas
1
Variables Aleatorias Unidimensionales
Definición 1: Sea E un experimento, y sea S un espacio muestral asociado a E. Entonces una función X, que a cada elemento del espacio muestral, le asocia un número real, recibe el nombre de variable aleatoria.
X : S R
si X(si)= xi
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Variables Aleatorias Unidimensionales
Definición 2: Sea X una v.a. Entonces llamaremos recorridode la v.a. X, y lo denotaremos por Rx, al conjunto de todos losvalores que toma la v.a. X. Rx = {xi R / X(si) = xi , si S }
S R
Xs1
s2
:si
: :
Rx x1
x2
:X(si)=xi
: :
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Variables Aleatorias Unidimensionales
Definición 3: Sea X una v.a. Entonces si el recorridode la v.a. X, ( Rx), es un conjunto finito o infinito numerable,entonces diremos que X, es una v.a. Discreta.
Definición 4: Sea X una v.a.discreta. Entonces a cada valor que toma la variable (xi Rx), le asociaremos un número p(xi) = P(X=xi), y que cumple con las siguientes condiciones:
1
,....2,1
1)(.)
)(.)
ii
i
xpii
ioxpi
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Definición 5:
Sea E un experimento, sea S un espacio muestral asociado a E, sea Rx, el recorrido de la variable aleatoria X y sea B Rx. EntoncesSi definimos A = { s S / X(s) = x B }, entonces, diremos que A y B son equivalentes, A B y P(A) = P(B)
s1
s2
s3
si
x1
x2
xi
S Rx
A B
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Ejemplo:Sea el experimento E: se lanza una moneda dos veces y se registrael signo que aparece en la cara superior. Luego el espacio muestralS = {cc, cs, sc, ss }. Sea la v.a. X : número de sellos que aparecen.
En este caso el recorrido de la v.a. Será Rx = {0, 1, 2}
cccsscss
X(cc) = x1=0X(cs) = X(sc) = X(ss) = x3=2
S Rx
} x2=1
X
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Luego:
p(x1) = P(X = x1) = p(0) = P(X=0) = P(cc) = 1/4
p(x2)= P(X = x2) = p(1) = P(X=1) = P(cs,sc) = P(cs) + P(sc) = 1/2
p(x3) = P(X = x3) = p(2) = P(X=2) = P(ss) = 1/4
Por lo tanto:
p(xi) = p(0) + p(1) + p(2) = 1/4 + 1/2 +1/4 = 1
De la definición 5 tenemos:
Si A={cc, cs, sc} y si B={0, 1} P(A) = P(B) = ¾
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Ejercicio
De un curso de 15 personas (5 hombres y 10 mujeres) se Seleccionan al azar dos, una después de otra, y se clasificansegún el sexo. Determine:
a.- el espacio muestralb.- la probabilidad de que ambas sean mujeres
c.- la prob. que el número de mujeres seleccionadas sea 2d.- la prob. que el número de mujeres sea al menos una
Para las preguntas c) y d) determine previamente:la variable aleatoria X, yel recorrido de X (Rx)
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Ejercicio:
Sea la variable aleatoria X: mes en que un computador tiene problemas.
, k = 1,2,3,4,5,6
Determine:1.- el valor de C2.- p( 5 ) = P( X = 5 )3.- P( X 2 ) =
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)4()()(
kCkXPkp
1
,....2,1
1)(.
)(.
ii
i
xpii
ioxpiRecordar:
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Luego
Esto quiere decir que:
2112*7
4)()(
kkkXPkp
17
24201612841)(
6
1
CCCCCCkp
ii
1.- De la condición ii.- tenemos :
12
1
84
71
7
84 C
C
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10
b.- 21
5
21)5()5(
kXPp
c.- )6()5()4()3()2()2( pppppXP
21
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Proposición:
i.- La Función P, se denomina Función de Probabilidad
ii.- El par ( xi , p(xi) ): se denomina Distribución de Probabilidad
En realidad, la Distribución de Probabilidad, es la gráfica de la Función de Probabilidad.
p(xi)
xi
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Ejercicio:
Supongamos que la probabilidad de que un camión de trasportellegue a destino sin problemas es de 0.57 ( es decir en el 57% delos casos). Supongamos además que es posible enviar una grancantidad de camiones. El envío continua hasta que llega el primercamión a destino sin problemas.
Determine la probabilidad de que el número de envíos necesariopara que llegue el primer camión sin problemas, sea k (k = 1,2,3...)
Previo Determine:a.- Espacio muestral
b.- La variable aleatoria X
c.- Recorrido de la v.a. X.
S = { A, BA, BBA, BBBA,.....}
Rx = {1, 2, 3, 4, ......}
Sea A : El camión llega a destino sin problemas _ y sea B : El camión no llega a destino sin problemas . B = A Luego el espacio muestral S, será:
X : Nº de envíos necesarias para que llegue el primer camión a destino sin problemas.
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Recordando;
A
B
A
B
A
B
A
B
0.57
0.57
0.57
0.570.43
0.43
0.43
0.43..............................Luego;
p(1) = P(X=1) = P(A) = (0.57)p(2) = P(X=2) = P(BA) = (0.43)(0.57)p(3) = P(X=3) = P(BBA) = (0.43)2 (0.57)p(4) = P(X=4) = P(BBBA) = (0.43)3(0.57)Por consiguiente tenemos que:
p(k) = P(X=k) = (0.43)k-1(0.57) ; k = 1,2,3......
S = { A, BA, BBA, BBBA,.....}
Rx = { 1 , 2 , 3 , 4 , .........} Según el diagrama del árbol tenemos:
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Debemos demostrar que :
p(k) = P(X=k) = (0.43)k-1(0.57) ; k = 1,2,3......
es efectivamente una función de probabilidad, es decir,que debe cumplir con:
1
,....2,1
1)(.
)(.
k
k
kpii
okpi
01
1
0
43.043.01
1
11
i
i
k
k
i
i
rr
Como
0
1)57.0(*43.01
1)57.0(*43.0i
i
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EjercicioRespecto al ejemplo anterior, supongamos que se
envían 3 camiones, independientemente. Determine:
a.- Espacio muestral
b.- la probabilidad de que el número de camiones
que llegue a destino sin problemas se k .
Previo: Determine el espacio muestral, la Variable
Aleatoria X, y el recorrido Rx.
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Distribución BinomialDef.: Sea E un experimento y sea A un suceso asociadoa E. Supongamos que P(A) = p, luego P(A) = 1 – p.Consideremos n repeticiones independientes del experimento E.Por lo tanto el espacio muestral del experimento total, estaráDado por todas las sucesiones posibles tal que ocurra A o A .
Si la v.a. X se define como: Número de veces que ocurre el sucesoA, diremos que X tiene una distribución binomial con parámetrosn y p, y la denotaremos:
X ~ b(n , p )
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Distribución Binomial
y su función de probabilidad está dada por:
knknk ppkXPkP )1()()(
Con k = 0,1,2,3,……….n
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Distribución de Bernoulli
Si el experimento se realiza una sola vez, la
variable X tomará los valores 0 y 1, y se dice que
tiene una distribución de Bernoulli con parámetros
1 y p.
kk ppkXPkP 1)1()()(Con k = 0,1
X ~ B(1 , p )
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Distribución de Poissón
Sea X una v.a.d., si su función de probabilidad está dada por:
,,,,,,,,3,2,1,0*
)()(
kconk
ekXPkP
k
Entonces diremos que X tiene una distribución de Poissón
con parámetro . Se anota: ( media y varianza )
X ~ P()
!
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Variables Aleatorias Continuas (vac)
Supongamos que X es una v.a. cuyo recorrido Rx, son todos los números reales.
RRf :Si definimos una función
y si cumple con las siguientes condiciones:
1)()(.
0)(.
xdxfii
Rxxfi x
Entonces diremos que X es una v.a.c. con función de densidad de
Probabilidad (f.d.p.) f
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1.- f(x) no es una probabilidad, como en el caso discreto, donde p(x) = P(X = x ).
2.- Las siguientes probabilidades, son equivalentes:
P(a x b) = P(a < x b) = P(a x < b)
= P(a < x < b)
Esto implica que P(X = k ) = 0
Observaciones
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Observaciones
b
a
xdxfbxaP )()()(.3
a b
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EjemploSea X una variable aleatoria continua (vac), con función
de densidad de probabilidad “f”(fdp). Talque:
casosotrosen
xkx
0
10 {f(x) =
1.- Determine el valor de k2.- Grafique la función f
3.- Calcule P( x 1/2 / 1/3 x 2/3)
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Función de Distribución Acumulativa
Def. : Sea X una variable aleatoria se define función
de distribución acumulativa o función de distribución como:
x
x
k
xdxf
kp
)()(
)( Si X v.a.d.
Si X v.a.c.
F(x) = P( X ≤ x ) ={
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Valor Esperado de una Variable Aleatoria
Def. : Sea X una variable aleatoria. Se define Valor esperado o Esperanza de X como:
)()(
)(1
xdxxf
xpxi
iiSi X v.a.d.
Si X v.a.c.
E ( x ) = {
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Varianza de una Variable Aleatoria
Def. : Sea X una variable aleatoria. Se define Varianza de X como:
V(x) = E( x - E(x) )2 = E ( x2 ) – ( E (x) )2
Donde : Si X v.a.d.
Si X v.a.c.
)()(
)(
2
1
2
xdxfx
xpxi
ii
E ( x2 ) ={
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Tarea Nº ___
• Propiedades de la Esperanza• Propiedades de la Varianza• Si X ~ b(n,p), determine la E(X) y V(X)• Si X ~ P(), determine la E(X) y V(X)• Demostrar que : E( x - E(x) )2 = E ( x2 ) – ( E (x) )2
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Ejemplo:
1.- Sea X v.a.d. con función de probabilidad dada por:
xi 1 2 3 4 5 Total
p(xi) 0.2 0.25 0.32 0.08 0.15 1.00
xip(xi)
x2ip(xi)
F(xi)
Determine : a.- Función de Distribución Acumulativa b.- Esperanza de X ( E(X) ) c.- Varianza de X ( V(X) ) d.- Grafique F(X)
0.2 0.45 0.77 0.85 1.00 ////0.2 0.50 0.96 0.32 0.75
0.2 1.00 2.88 1.28 3.75
2.73
9.11
= E ( x2 ) – ( E (x) )2 =
E(X)
E(X2)
9.11 – (2.73)2 = 1.6571= 2.73
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Gráfica de F(x)
1 2 3 4 5 x
F(x)
1.000.800.600.400.20
500.1
5485.0
4377.0
3245.0
2120.0
10
x
x
x
x
x
x
{F(x) =
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2.- Sea X v.a.c. con función de densidad de probabilidaddada por .
casosotrosen
xxxf
0
102)(
Determine : a.- Función de Distribución Acumulativa F(x)b.- Esperanza de X E(x)c.- Varianza de X V(x)
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La función f(x) y F(x), están dadas por:
11
10
00
)( 2
x
xx
x
xF
0 1
f(x)
2
0 1
F(x)
1
casosotrosen
xxxf
0
102)(
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Distribución Normal
Sea X una v.a.c. si su fdp está dada por:
xexf
x2
2
2
)(
2*
2
1)(
Entonces, diremos que X tiene una distribuciónNormal con media y varianza 2. Se denota:
X ~ N( , 2 )
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Características
• Tiene forma de campana ( por su descubridor es también llamada campana de GAUSS)
• Es simétrica con respecto a su media ()
• Es asintótica al eje horizontal.
• A +/- tres desv. típicas de la media, se encuentra prácticamente el 99.8% de su área ( +/- 3 )
- 3 + 3
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Teorema Central del Limite
• Sea X ~ N( , 2 ) entonces, ~ N(0 , 1 ) )(
X
Z
0
)( X
X
Z
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Ejercicio
Supongamos que en un estadio lleno, el 40% de los asistentes son mujeres. Una empresa comercial, realiza para promocionar un nuevo producto, toma una muestra de tamaño 20. Determine la probabilidad quer
la muestra contenga:
1.- exactamente 11 mujeres.2.- a lo más 8 mujeres.3.- al menos 5 mujeres.4.- exactamente 9 hombres.
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Previo: Determine
• el experimento E• el espacio muestral s:• el suceso de interés A• la probabilidad de A• el espacio muestral S:• la variable aleatorio X:• el recorrido Rx :
Se elije al azar una persona
= { A , B }
la persona es mujer
p = P(A) = 0.40
={A...A,.A..B,…..,B…B}
Nº de mujeres seleccionadas
= {0,1,2,….,20}
Luego: 1.- P(X = 11) = P(X 11) – P(X 10) por tabla2.- P(X 8) = 0.596 directo por tabla3.- P(X 8) = 1 – P(X 7) = 1 – 0.416 = 0.584
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