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Liacutemites y Continuidad
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El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo
infinitesimal (diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el
valor al que tiende una funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero
determinado o al infinito
Definicioacuten de liacutemite
Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a
observar queacute sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se
aproxima) a un valor determinado
Ejemplo
En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el
entorno de 2 y calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)
x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la
derecha tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se
aproxima tiende cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x
de 2 o lo que es lo mismo cuando la diferencia en valor
absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea asimismo la diferencia en
valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada vez maacutes pequentildea
(Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha)
Osea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la
variable independiente se aproxima tambieacuten a un valor
constante
19
199
1999
19999
20001
2001
201
21
261
29601
2996001
299960001
300040001
3004001
30401
341
|x - 2| | f (x) - 3|
|19-2| = 01
|199-2| = 001
|1999-2| = 0001
|19999-2| = 00001
|20001-2| = 00001
|2001-2| = 0001
|201-2| = 001
|21-2| = 01
|261-3| = 039
|29601-3| = 00399
|2996001-3| = 0003999
|299960001-3| = 000039999
|300040001-3| = 000040001
|3004001-3| = 0004001
|30401-3| = 00401
|341-3| = 041
De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2
es 3
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Definicioacuten eacutepsilon-delta
Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x)
cuando x tiende a a es L y se escribe
Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista
Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten epsiloacuten-delta)
En los ejercicios 1 a 7 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la
definicioacuten Epsiloacuten-delta
S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten
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2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
Teoremas de liacutemites
Para facilitar la obtencioacuten del liacutemite de una funcioacuten sin tener que recurrir cada vez a la
definicioacuten Epsiloacuten-Delta se establecen los siguientes teoremas
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia Nota los teoremas se presentan sin demostracioacuten pero quien quiera verla puede hacer clic en el viacutenculo
correspondiente
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Liacutemites y Continuidad
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Teorema de liacutemite1 Si k es una constante y a un nuacutemero cualquiera entonces
Teorema de liacutemite 2 Para cualquier nuacutemero dado a
Teorema de liacutemite 3 Si m y b son dos constantes cualesquiera entonces
Teorema de liacutemite 4
Teorema de liacutemite 5
Teorema de liacutemite 6 Si f es un polinomio y a es un nuacutemero real entonces
Teorema de liacutemite 7 Si q es una funcioacuten racional y a pertenece al dominio de q entonces
Teorema de liacutemite 8
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Procedimiento para calcular liacutemites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores el liacutemite se calcula
directamente Con respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1 2 3 y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto que
nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando
calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la propiedad 7 se aplica a una
funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten
Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indetermidada 00 es posible
calcular el liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la funcioacuten de tal
modo que se pueda evitar la divisioacuten por cero para lograr esto disponemos de
procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacioacuten la conjugada etc
Ejercicios resueltos Evalueacute los siguientes liacutemites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en
cada paso
S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00
no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL1
7 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00
no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL7 o el TL4(III)
8 Solucioacuten
Si pretendieacuteramos aplicar el liacutemite directamente a partir del TL7 nos dariacutea la forma
indeterminada 00
por lo que se debe factorizar y luego simplificar la expresioacuten antes de poder hacer uso del
TL6
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Liacutemites y Continuidad
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9 Solucioacuten
No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no obstante
luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la
expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y simplificando se puede aplicar el TL para
hallar el liacutemite
10 Solucioacuten
Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8
11 Solucioacuten
El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no
obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el
liacutemite mediante los TL7 y TL6
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Liacutemites y Continuidad
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12 Solucioacuten
Teorema de estriccioacuten y liacutemites de funciones trigonomeacutetricas
El llamado teorema de estriccioacuten de intercalacioacuten o del saacutendwich es importante para
la demostracioacuten de otros teoremas Tambieacuten se utiliza el teorema de estriccioacuten para calcular
cierta clase de liacutemites
Teorema de estriccioacuten (TL9)
Demostracioacuten
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Liacutemites y Continuidad
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Teorema de liacutemite10
Teorema de liacutemite11
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
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1 Solucioacuten
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Liacutemites unilaterales
Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene
sentido
Ejemplo
Liacutemite unilateral por la derecha Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el
liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe
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Liacutemite unilateral por la izquierda Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x)
cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe
Liacutemite bilateral
Teorema de liacutemite12
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
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4 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable
independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
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Liacutemites y Continuidad
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Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de limite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
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2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
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5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Teorema de liacutemite 18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
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Teorema de liacutemite 19
Ejercicios resueltos
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Definicioacuten eacutepsilon-delta
Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x)
cuando x tiende a a es L y se escribe
Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista
Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten epsiloacuten-delta)
En los ejercicios 1 a 7 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la
definicioacuten Epsiloacuten-delta
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Teoremas de liacutemites
Para facilitar la obtencioacuten del liacutemite de una funcioacuten sin tener que recurrir cada vez a la
definicioacuten Epsiloacuten-Delta se establecen los siguientes teoremas
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia Nota los teoremas se presentan sin demostracioacuten pero quien quiera verla puede hacer clic en el viacutenculo
correspondiente
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Teorema de liacutemite1 Si k es una constante y a un nuacutemero cualquiera entonces
Teorema de liacutemite 2 Para cualquier nuacutemero dado a
Teorema de liacutemite 3 Si m y b son dos constantes cualesquiera entonces
Teorema de liacutemite 4
Teorema de liacutemite 5
Teorema de liacutemite 6 Si f es un polinomio y a es un nuacutemero real entonces
Teorema de liacutemite 7 Si q es una funcioacuten racional y a pertenece al dominio de q entonces
Teorema de liacutemite 8
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Procedimiento para calcular liacutemites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores el liacutemite se calcula
directamente Con respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1 2 3 y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto que
nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando
calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la propiedad 7 se aplica a una
funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten
Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indetermidada 00 es posible
calcular el liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la funcioacuten de tal
modo que se pueda evitar la divisioacuten por cero para lograr esto disponemos de
procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacioacuten la conjugada etc
Ejercicios resueltos Evalueacute los siguientes liacutemites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en
cada paso
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6 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00
no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL1
7 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00
no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL7 o el TL4(III)
8 Solucioacuten
Si pretendieacuteramos aplicar el liacutemite directamente a partir del TL7 nos dariacutea la forma
indeterminada 00
por lo que se debe factorizar y luego simplificar la expresioacuten antes de poder hacer uso del
TL6
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No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no obstante
luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la
expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y simplificando se puede aplicar el TL para
hallar el liacutemite
10 Solucioacuten
Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8
11 Solucioacuten
El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no
obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el
liacutemite mediante los TL7 y TL6
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Teorema de estriccioacuten y liacutemites de funciones trigonomeacutetricas
El llamado teorema de estriccioacuten de intercalacioacuten o del saacutendwich es importante para
la demostracioacuten de otros teoremas Tambieacuten se utiliza el teorema de estriccioacuten para calcular
cierta clase de liacutemites
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Demostracioacuten
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ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
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Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene
sentido
Ejemplo
Liacutemite unilateral por la derecha Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el
liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe
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cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe
Liacutemite bilateral
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existe deacute la razoacuten
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Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable
independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
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Teorema de limite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
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vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
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Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
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Para facilitar la obtencioacuten del liacutemite de una funcioacuten sin tener que recurrir cada vez a la
definicioacuten Epsiloacuten-Delta se establecen los siguientes teoremas
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia Nota los teoremas se presentan sin demostracioacuten pero quien quiera verla puede hacer clic en el viacutenculo
correspondiente
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Procedimiento para calcular liacutemites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores el liacutemite se calcula
directamente Con respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1 2 3 y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto que
nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando
calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la propiedad 7 se aplica a una
funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten
Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indetermidada 00 es posible
calcular el liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la funcioacuten de tal
modo que se pueda evitar la divisioacuten por cero para lograr esto disponemos de
procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacioacuten la conjugada etc
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cada paso
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No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00
no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL1
7 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00
no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL7 o el TL4(III)
8 Solucioacuten
Si pretendieacuteramos aplicar el liacutemite directamente a partir del TL7 nos dariacutea la forma
indeterminada 00
por lo que se debe factorizar y luego simplificar la expresioacuten antes de poder hacer uso del
TL6
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No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no obstante
luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la
expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y simplificando se puede aplicar el TL para
hallar el liacutemite
10 Solucioacuten
Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8
11 Solucioacuten
El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no
obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el
liacutemite mediante los TL7 y TL6
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El llamado teorema de estriccioacuten de intercalacioacuten o del saacutendwich es importante para
la demostracioacuten de otros teoremas Tambieacuten se utiliza el teorema de estriccioacuten para calcular
cierta clase de liacutemites
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Demostracioacuten
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Teorema de liacutemite10
Teorema de liacutemite11
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
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Liacutemites y Continuidad
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1 Solucioacuten
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Liacutemites unilaterales
Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene
sentido
Ejemplo
Liacutemite unilateral por la derecha Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el
liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe
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Liacutemite unilateral por la izquierda Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x)
cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe
Liacutemite bilateral
Teorema de liacutemite12
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
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Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable
independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
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Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de limite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
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Teorema de liacutemite 18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
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Teorema de liacutemite 19
Ejercicios resueltos
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Teoremas de liacutemites
Para facilitar la obtencioacuten del liacutemite de una funcioacuten sin tener que recurrir cada vez a la
definicioacuten Epsiloacuten-Delta se establecen los siguientes teoremas
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia Nota los teoremas se presentan sin demostracioacuten pero quien quiera verla puede hacer clic en el viacutenculo
correspondiente
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Teorema de liacutemite1 Si k es una constante y a un nuacutemero cualquiera entonces
Teorema de liacutemite 2 Para cualquier nuacutemero dado a
Teorema de liacutemite 3 Si m y b son dos constantes cualesquiera entonces
Teorema de liacutemite 4
Teorema de liacutemite 5
Teorema de liacutemite 6 Si f es un polinomio y a es un nuacutemero real entonces
Teorema de liacutemite 7 Si q es una funcioacuten racional y a pertenece al dominio de q entonces
Teorema de liacutemite 8
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Procedimiento para calcular liacutemites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores el liacutemite se calcula
directamente Con respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1 2 3 y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto que
nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando
calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la propiedad 7 se aplica a una
funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten
Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indetermidada 00 es posible
calcular el liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la funcioacuten de tal
modo que se pueda evitar la divisioacuten por cero para lograr esto disponemos de
procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacioacuten la conjugada etc
Ejercicios resueltos Evalueacute los siguientes liacutemites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en
cada paso
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5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00
no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL1
7 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00
no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL7 o el TL4(III)
8 Solucioacuten
Si pretendieacuteramos aplicar el liacutemite directamente a partir del TL7 nos dariacutea la forma
indeterminada 00
por lo que se debe factorizar y luego simplificar la expresioacuten antes de poder hacer uso del
TL6
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9 Solucioacuten
No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no obstante
luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la
expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y simplificando se puede aplicar el TL para
hallar el liacutemite
10 Solucioacuten
Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8
11 Solucioacuten
El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no
obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el
liacutemite mediante los TL7 y TL6
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12 Solucioacuten
Teorema de estriccioacuten y liacutemites de funciones trigonomeacutetricas
El llamado teorema de estriccioacuten de intercalacioacuten o del saacutendwich es importante para
la demostracioacuten de otros teoremas Tambieacuten se utiliza el teorema de estriccioacuten para calcular
cierta clase de liacutemites
Teorema de estriccioacuten (TL9)
Demostracioacuten
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ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
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Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene
sentido
Ejemplo
Liacutemite unilateral por la derecha Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el
liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe
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cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
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Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable
independiente se acerca a un valor fijo determinado
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Teorema de limite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
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vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
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Teorema de liacutemite 2 Para cualquier nuacutemero dado a
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Procedimiento para calcular liacutemites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores el liacutemite se calcula
directamente Con respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1 2 3 y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto que
nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando
calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la propiedad 7 se aplica a una
funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten
Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indetermidada 00 es posible
calcular el liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la funcioacuten de tal
modo que se pueda evitar la divisioacuten por cero para lograr esto disponemos de
procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacioacuten la conjugada etc
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cada paso
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No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00
no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL1
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No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00
no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL7 o el TL4(III)
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Si pretendieacuteramos aplicar el liacutemite directamente a partir del TL7 nos dariacutea la forma
indeterminada 00
por lo que se debe factorizar y luego simplificar la expresioacuten antes de poder hacer uso del
TL6
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No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no obstante
luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la
expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y simplificando se puede aplicar el TL para
hallar el liacutemite
10 Solucioacuten
Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8
11 Solucioacuten
El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no
obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el
liacutemite mediante los TL7 y TL6
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El llamado teorema de estriccioacuten de intercalacioacuten o del saacutendwich es importante para
la demostracioacuten de otros teoremas Tambieacuten se utiliza el teorema de estriccioacuten para calcular
cierta clase de liacutemites
Teorema de estriccioacuten (TL9)
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Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene
sentido
Ejemplo
Liacutemite unilateral por la derecha Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el
liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe
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cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe
Liacutemite bilateral
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Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
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vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
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directamente Con respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1 2 3 y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto que
nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando
calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la propiedad 7 se aplica a una
funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten
Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indetermidada 00 es posible
calcular el liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la funcioacuten de tal
modo que se pueda evitar la divisioacuten por cero para lograr esto disponemos de
procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacioacuten la conjugada etc
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no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL1
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No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00
no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL7 o el TL4(III)
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Si pretendieacuteramos aplicar el liacutemite directamente a partir del TL7 nos dariacutea la forma
indeterminada 00
por lo que se debe factorizar y luego simplificar la expresioacuten antes de poder hacer uso del
TL6
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No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no obstante
luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la
expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y simplificando se puede aplicar el TL para
hallar el liacutemite
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Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8
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El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no
obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el
liacutemite mediante los TL7 y TL6
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El llamado teorema de estriccioacuten de intercalacioacuten o del saacutendwich es importante para
la demostracioacuten de otros teoremas Tambieacuten se utiliza el teorema de estriccioacuten para calcular
cierta clase de liacutemites
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Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene
sentido
Ejemplo
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liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe
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cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe
Liacutemite bilateral
Teorema de liacutemite12
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
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2 Solucioacuten
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Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable
independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
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Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de limite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
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Teorema de liacutemite 18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
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6 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00
no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL1
7 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00
no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL7 o el TL4(III)
8 Solucioacuten
Si pretendieacuteramos aplicar el liacutemite directamente a partir del TL7 nos dariacutea la forma
indeterminada 00
por lo que se debe factorizar y luego simplificar la expresioacuten antes de poder hacer uso del
TL6
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9 Solucioacuten
No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no obstante
luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la
expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y simplificando se puede aplicar el TL para
hallar el liacutemite
10 Solucioacuten
Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8
11 Solucioacuten
El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no
obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el
liacutemite mediante los TL7 y TL6
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12 Solucioacuten
Teorema de estriccioacuten y liacutemites de funciones trigonomeacutetricas
El llamado teorema de estriccioacuten de intercalacioacuten o del saacutendwich es importante para
la demostracioacuten de otros teoremas Tambieacuten se utiliza el teorema de estriccioacuten para calcular
cierta clase de liacutemites
Teorema de estriccioacuten (TL9)
Demostracioacuten
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Teorema de liacutemite11
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
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Liacutemites unilaterales
Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene
sentido
Ejemplo
Liacutemite unilateral por la derecha Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el
liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe
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Liacutemite unilateral por la izquierda Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x)
cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe
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independiente se acerca a un valor fijo determinado
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Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
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Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8
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obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el
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El llamado teorema de estriccioacuten de intercalacioacuten o del saacutendwich es importante para
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derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene
sentido
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uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
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derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene
sentido
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Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
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Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
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derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene
sentido
Ejemplo
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asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
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Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
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derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene
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Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable
independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
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Teorema de limite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
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Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
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Liacutemites unilaterales
Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene
sentido
Ejemplo
Liacutemite unilateral por la derecha Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el
liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe
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cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe
Liacutemite bilateral
Teorema de liacutemite12
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
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Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
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Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
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