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PROPUESTA A
1. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 7·I – 2·X + A·X = B, suponiendo que todas
las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad). (0.75 puntos)
b) Si
17
03A , calcula la matriz X que cumple IXA , donde I es la matriz identidad de
orden 2. (0.75 puntos)
2. Los alumnos de 2º de Bachillerato de un centro escolar votan entre los tres posibles destinos para el viaje
fin de curso: Roma, Londres y París. El número total de votos es 120. El número de alumnos que
quieren ir a Roma es el triple de la diferencia entre los que quieren ir a París y los que quieren ir a
Londres. El número que quieren ir a París es la mitad de la suma de los que quieren ir a Roma y a
Londres.
a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita saber cuántos alumnos quieren ir a Roma, Londres y
París. (1.5 puntos)
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)
3. Se ha registrado el ruido que se produce en una cocina industrial durante 4.5 horas. La función
R(t) = t3 – 9t2 + 24t + 28, representa el ruido medido en decibelios (db) y t el tiempo medido
en horas, 0 < t < 4.5.
a) En la primera hora (t = 1), ¿cuántos decibelios se registraron? (0.25 puntos)
b) ¿En qué momento se produce mayor ruido?,¿cuál fue el valor máximo del ruido registrado? (1.25 puntos)
4. Se considera la función
11)2(
1)(
2
2
xsix
xsixxxf . Se pide:
a) Continuidad en x = 1. (0.5 puntos)
b) Extremos relativos en el intervalo ( 1, 4). (0.5 puntos)
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en (1, +∞ ). (0.5 puntos)
5. En un instituto el 30 % de los alumnos juegan al baloncesto, el 25 % juegan al fútbol, y el 50 % juegan al
fútbol o al baloncesto o ambos deportes.
a) Se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol y juegue al baloncesto?
(0.75 puntos)
b) Si elegimos un alumno al azar y juega al baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol?
(0.75 puntos)
6. Se sabe que “el peso de los paquetes de harina”, que se producen en una fábrica, sigue una distribución
normal de media desconocida y desviación típica 20 gramos. Se seleccionan al azar 50 paquetes de
harina y se observa que tienen u peso medio de 745 gramos.
a) Halla el intervalo de confianza para el peso medio de los paquetes de harina de dicha fábrica con un
nivel de confianza del 97 %. (1 punto)
b) Explica razonadamente, como podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (1 punto)
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
2.0
2.1
0.9772
0.9821
0.9778
0.9826
0.9783
0.9830
0.9788
0.9834
0.9793
0.9838
0.9798
0.9842
0.9803
0.9846
0.9808
0.9850
0.9812
0.9854
0.9817
0.9857
2
PROPUESTA B
1. Una empresa tiene 3.000 bolsas de ajo morado de Las Pedroñeras y 2.000 botellas de aceite de oliva de
Los Montes de Toledo. Desea elaborar dos tipos de lotes para regalo con dichos productos: lotes del
tipo A formados por tres bolsas de ajos y una de botella de aceite de oliva, que venderá a 50 €; lotes de
tipo B formados por una bolsa de ajos y dos botellas de aceite de oliva que venderá a 80 €.
a) Dibuja la región factible. (1 punto)
b) ¿Cuántos lotes de cada tipo deberá preparar para obtener la mayor cantidad de dinero?(0´5 puntos)
2. Una empresa fabrica tres modelos de lavadoras A, B y C.
Para fabricar el modelo A se necesitan 3 horas de trabajo en la unidad de montaje, 2 horas en la unidad
de acabado y 1 hora en la unidad de comprobación.
Para fabricar el modelo B se necesitan 4 horas de trabajo en la unidad de montaje, 2 horas en la unidad
de acabado y 1 hora en la unidad de comprobación.
Para fabricar el modelo C se necesitan 2 horas de trabajo en la unidad de montaje, 1 horas en la unidad
de acabado y 1 hora en la unidad de comprobación.
Sabiendo que se han empleado 430 horas en la unidad de montaje, 240 horas en la unidad de acabado
y 150 horas en la unidad de comprobación, se pide:
a) Plantea un sistema que permita saber cuántas lavadoras de cada modelo se han fabricado. (1.5 puntos)
b) Resuelve el sistema planteado. (0.5 puntos)
3. Dada la función f(x) = x3 + ax
2 + bx + c, calcula los valores de las constantes a, b, y c para que la
gráfica de la función pase por el punto (0,4), tenga un mínimo relativo en el punto de abcisa x = – 1
y un punto de inflexión en x = – 2. (1.5 puntos)
4. Se considera la función
21)3(
2)(
2
2
xsix
xsitxxxf . Se pide:
a) Hallar el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0.5 puntos)
b) Para t = 0, representa gráficamente la función. (1 punto)
5. En una empresa se producen dos tipos de muebles: A y B, en una proporción de 2 es a 3,
respectivamente. La probabilidad de que un mueble de tipo A sea defectuoso es 0.05 y de que un
mueble tipo B sea defectuoso es 0.1.
a) Elegido un mueble al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? (0.75 puntos)
b) Se escoge al azar un mueble y resulta ser no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea
del tipo B? (0.75 puntos)
6. Se estudio el cociente intelectual de 10 estudiantes de 2º de Bachillerato, elegidos aleatoriamente de un
determinado centro escolar, siendo estos valores 80, 96, 87, 104, 105, 99, 112, 89, 90, 110. Sabiendo
que el cociente intelectual se distribuye según una normal con desviación típica 15, se pide:
a) Halla el intervalo de confianza al nivel 95 % para la media del cociente intelectual de los estudiantes
de 2º de Bachillerato de dicho centro escolar. (1.25 puntos)
b) Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor amplitud con
el mismo nivel de confianza. (0.75 puntos)
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
1.8
1.9
0.9641
0.9713
0.9649
0.9719
0.9656
0.9726
0.9664
0.9732
0.9671
0.9738
0.9678
0.9744
0.9686
0.9750
0.9693
0.9756
0.9799
0.9761
0.9706
0.9767
3
SOLUCIONES – PROPUESTA A
1. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 7·I – 2·X + A·X = B, suponiendo que
todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad). (0.75 puntos)
b) Si
17
03A , calcula la matriz X que cumple IXA , donde I es la matriz identidad de
orden 2. (0.75 puntos)
Solución.
a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 7·I – 2·X + A·X = B, suponiendo que
todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad). (0.75 puntos)
Mediante los siguientes cambios algebraicos llegamos a la solución,
IBXAIIBXAXBXAXI ·7)·2(·722·7
Siendo I la matriz identidad del mismo orden que X.
En tal caso, exclusivamente cuando la matriz (– 2·I + A) tenga inversa (es decir, sea cuadrada y
tenga determinante no nulo), podremos despejar la matriz X del modo:
)·7()2( 1 IBAIX
Además, para que (– 2I + A) sea cuadrada sólo cabe la posibilidad de que lo sean A e I y además
tengan el mismo orden.
Por lo tanto, )·7()3( 1 IBAIX , si (– 2∙I +A) posee matriz inversa, A e I a son del
mismo orden y su número de columnas es igual que el de filas de (B –7· I).
b) Si
17
03A , calcula la matriz X que cumple IXA , donde I es la matriz identidad de
orden 2. (0.75 puntos)
La ecuación tendrá solución, siempre y cuando la matriz A tenga matriz inversa, esto es, cuando
su determinante sea 2. Calculamos el determinante de A,
0317
03A
Por lo tanto, la ecuación tendrá solución. Para calcularla, resolvemos matricialmente según,
11 AIAXIXA
4
Calculamos la matriz inversa de A, Para ello, procedemos a calcularla mediante la fórmula,
A
AAdjA
t
1
Siendo At la matriz transpuesta de A y adj[A
t] la matriz adjunta de la transpuesta.
Realizamos las operaciones correspondientes:
37
01
3
1
37
01])[
10
731AAadjA tt
En ese caso, la solución X será:
13/7
03/11AX
2. Los alumnos de 2º de Bachillerato de un centro escolar votan entre los tres posibles destinos
para el viaje fin de curso: Roma, Londres y París. El número total de votos es 120. El número
de alumnos que quieren ir a Roma es el triple de la diferencia entre los que quieren ir a París
y los que quieren ir a Londres. El número que quieren ir a París es la mitad de la suma de los
que quieren ir a Roma y a Londres.
a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita saber cuántos alumnos quieren ir a Roma,
Londres y París. (1.5 puntos)
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)
Solución.
a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita saber cuántos alumnos quieren ir a Roma,
Londres y París. (1.5 puntos)
Llamamos “x” al número de votos que obtiene Roma; “y” al número de votos que obtiene
Londres; y “z” al número de votos que obtiene París. En estas condiciones los siguientes
enunciados corresponden a las siguientes ecuaciones:
El número total de votos es 120 120 zyx
El número de alumnos que quieren ir a Roma es el triple de la
diferencia entre lo que quieren ir a París y los que quieren ir a Londres )(·3 zyx
El número de alumnos que quieren ir a Paris es la mitad de la suma de
los que quieren ir a Roma y a Londres
2
yxz
5
Por lo tanto, el sistema que responde a las condiciones del problema viene determinado por:
2
)(·3
120
yxz
zyx
zyx
que ordenando convenientemente quedará de la forma:
02
033
120
zyx
zyx
zyx
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)
Resolvemos el sistema por el método de Gauss:
02
033
120
zyx
zyx
zyx
La matriz de Gauss queda determinada por:
0211
0331
120111
zyx
Aplicamos el método de Gauss:
120300
120240
120111
0211
0331
120111
133
122
´
´
FFF
FFF
zyxzyx
Si reescribimos la matriz como sistema, podemos resolver de modo sencillo,
40
12040·24
12040
3/120
12024
120
1203
12024
120
z
y
zx
z
zy
zyx
z
zy
zyx
40
)4/(200
120
40
2004
120
40
801204
120
40
120804
12040
z
y
zx
z
y
zx
z
y
zx
z
y
zx
6
40
50
30
40
50
8050
z
y
x
z
y
x
Por lo tanto, hay 30 votos para ir a Roma, 50 votos para ir a Londres y 40 votos para ir a París.
3. Se ha registrado el ruido que se produce en una cocina industrial durante 4.5 horas. La
función R(t) = t3 – 9t
2 + 24t + 28, representa el ruido medido en decibelios (db) y t el tiempo
medido en horas, 0 < t < 4.5.
a) En la primera hora (t = 1), ¿cuántos decibelios se registraron? (0.25 puntos)
b) ¿En qué momento se produce mayor ruido?, ¿cuál fue el valor máximo del ruido
registrado? (1.25 puntos)
Solución
a) En la primera hora (t = 1), ¿cuántos decibelios se registraron? (0.25 puntos)
Sustituimos la función por t = 1 obteniendo los decibelios que se registraron en la primera hora:
R(1) = 13 – 9·1
2 + 24·1 + 28 = 1 – 9 + 24 + 28 = 44 db
Por lo tanto, se registraron 44 db en la primera hora.
b) ¿En qué momento se produce mayor ruido?, ¿cuál fue el valor máximo del ruido
registrado? (1.25 puntos)
Calculamos los máximos y mínimos relativos a partir de la primera derivada.
La primera derivada de la función es:
R´(t) = 3t2 – 18t + 24
Igualamos a cero y resolvemos la ecuación de segundo grado:
6
3618
6
28832418
32
24341818024183
22 ttt
26
618
46
618
6
618
Luego los posibles máximos o mínimos relativos de la función R(t) están situados en las abcisas
t = 2 y t = 4.
7
Como el dominio de la función es 0 < t < 4, estudiamos el signo de la derivada de la función en
esta región para determinar si son máximos o mínimos:
Intervalo Valor representante R(t) = 3t2 – 18t + 24
Creciente/Decreciente
(0, 2) 1 3·12 – 18·1 + 24 = 22 > 0 Creciente
(2, 4) 3 3·32 – 18·3 + 24 = – 3 < 0 Decreciente
Por lo tanto, la función presenta un máximo relativo y absoluto en t = 2 sobre el dominio
establecido (0,4). Se observa que es absoluto puesto que la función antes de t = 2 crece y después
decrece. No hay ningún otro valor que pueda ser superior en coordenada a t = 2.
Por lo tanto, concluimos que para t = 2 horas se obtiene el mayor ruido y que dicho valor,
medido en decibelios es de:
R(2) = 23 – 9 · 2
2 + 24 · 2 + 28 = 8 – 36 + 48 + 28 = 48 db.
El máximo nivel de decibelios en las 4 horas es de 48 db y se alcanza a las 2 horas.
4. Se considera la función
11)2(
1)(
2
2
xsix
xsixxxf . Se pide:
a) Continuidad en x = 1. (0.5 puntos)
b) Extremos relativos en el intervalo ( 1, 4). (0.5 puntos)
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en (1, +∞ ). (0.5 puntos)
Solución.
a) Continuidad en x = 1. (0.5 puntos)
Para que una función sea continua en un valor de abcisa x = a se debe cumplir que los límites
laterales en el punto x = a coincidan con a imagen de la abcisa x = a. Dicho de otro modo,
)()(lim)(lim afxfxfaxax
En nuestro caso, debemos estudiar la continuidad en x = 1. Por lo tanto, estudiaremos los límites
laterales y el valor de la función en el punto x = 1.
011lim)(lim 2
11
xxxf
xx
21)2(lim)(lim 2
11
xxf
xx
011)1( 2 f
Al coincidir todos los valores, concluimos que la función f NO es continua en x = 1.
8
b) Extremos relativos en el intervalo ( 1, 4). (0.5 puntos)
Para el estudio de los extremos relativos, realizamos la derivada por cuanto aun siendo una
función a trozos, el estudio se debe realizar exclusivamente sobre la expresión algebraica
f(x) = (x – 2)2 + 1 ya que es ahí donde señalan el domino a estudiar. Procedemos a derivar:
En tal caso, la primera expresión algebraica (x ≤ 0) es una parábola. El vértice lo tiene en el valor
que anula la derivada. Por tanto, derivando la expresión,
[ ( x – 2)2 + 1 ]´ = 2(x – 2)
e igualando a cero, obtenemos,
2(x – 2) = 0 x = 2
Luego el posible máximo o mínimo relativo de la función f(x) en (1,4) está situado en la abcisa x
= 2 y debemos sondear también x = 1 y x = 4. Estudiamos el signo de la derivada de la función
en esta región para determinar si son máximos o mínimos:
Intervalo Valor representante f´(x) = 2(x – 2)
Creciente/Decreciente
(1, 2) 1´5 2·(1´5 – 2) = – 1 < 0 Decreciente
(2, 4) 3 2 · (3 – 2 ) = 2 > 0 Creciente
Por lo tanto, la función presenta un mínimo relativo y absoluto en x = 2 ya que se trata de una
parábola, sobre el dominio establecido (1,4).
Para el estudio de los máximos valoramos x = 1 y x = 4 ya que, la función es decreciente antes
de x = 2 y creciente a partir de x = 2. Por lo tanto, el máximo absoluto de la función en el
intervalo (1,4) estará en x = 1 o x = 4.
f(1) = (1 – 2)2 + 1 = 2
f(4) = (4 – 2)2 + 1 = 5
Concluimos que f(x) tiene un mínimo relativo y absoluto de (1, 4) en x = 2 mientras que,
restringiéndonos a (1,4) presenta un máximo absoluto en x = 4.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en (1, +∞ ). (0.5 puntos)
Analizando los resultados del apartado b) podemos concluir que el mínimo absoluto del intervalo
(1,4) sigue siendo un mínimo absoluto para f(x) en el intervalo (1, + ∞). Al mismo tiempo, la
función no presenta máximo absoluto en la región puesto que:
1)2(lim)(lim 2xxfxx
Pudiéndose considerar que en x = 1 hay un máximo relativo.
9
5. En un instituto el 30 % de los alumnos juegan al baloncesto, el 25 % juegan al fútbol, y el 50
% juegan al fútbol o al baloncesto o ambos deportes.
a) Se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol y juegue al
baloncesto? (0.75 puntos)
b) Si elegimos un alumno al azar y juega al baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que juegue
al fútbol? (0.75 puntos)
Solución. Consideramos los sucesos A = “El alumno juega al fútbol” y el suceso B = “El alumno
juega al baloncesto. Mediante el enunciado se nos está señalando que
P(A) = 0´3, P(B) = 0´25 y P(AB) = 0´5
a) Se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol y juegue al
baloncesto? (0.75 puntos)
Se nos está preguntando la probabilidad de la intersección de los sucesos A y B. Su probabilidad
viene dada por:
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
En tal caso,
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0´3 + 0´25 – 0´5 = 0´05
Luego hay una probabilidad del 0´05 de que juegue a ambos dos deportes, es decir, un
porcentaje del 5 % de que juegue a fútbol y a baloncesto.
b) Si elegimos un alumno al azar y juega al baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que juegue
al fútbol? (0.75 puntos)
Se nos está preguntando la probabilidad del suceso condicionado A/B. Su probabilidad viene
dada por:
)(
)()/(
BP
BAPBAP
En tal caso,
20́250́
050́
)(
)()/(
BP
BAPBAP
Luego hay una probabilidad del 0´2 de que juegue al fútbol si sabemos que juega al
baloncesto, es decir, un porcentaje del 20 % de que juegue a fútbol si sabemos que juega al
baloncesto.
10
6. Se sabe que “el peso de los paquetes de harina”, que se producen en una fábrica, sigue una
distribución normal de media desconocida y desviación típica 20 gramos. Se seleccionan al
azar 50 paquetes de harina y se observa que tienen u peso medio de 745 gramos.
a) Halla el intervalo de confianza para el peso medio de los paquetes de harina de dicha
fábrica con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)
b) Explica razonadamente, como podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza.
(1 punto)
Solución.
a) Halla el intervalo de confianza para el peso medio de los paquetes de harina de dicha
fábrica con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)
La media muestral es gramosX 745 . El valor 17.22/ z y n = 50. Por lo tanto,
el intervalo de confianza será:
b) Explica razonadamente, como podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza.
(1 punto)
Podemos hacerlo de dos modos:
1) Disminuyendo el nivel de confianza del intervalo. Esto hará que la semiamplitud del
intervalo disminuya y tendremos un intervalo más pequeño pero con mucha menos
fiabilidad.
2) Podríamos aumentar el tamaño de la muestra puesto que es el denominador de la semi-
amplitud del intervalo. Cuanto más grande sea el tamaño muestral, más pequeña será la
semi-amplitud y la amplitud del intervalo de confianza. Además, el teorema central del
límite lo confirma. A mayor tamaño muestral mejor estimación de la media poblacional
mediante la media muestral.
11
SOLUCIONES – PROPUESTA B
1. Una empresa tiene 3.000 bolsas de ajo morado de Las Pedroñeras y 2.000 botellas de aceite de
oliva de Los Montes de Toledo. Desea elaborar dos tipos de lotes para regalo con dichos
productos: lotes del tipo A formados por tres bolsas de ajos y una de botella de aceite de
oliva, que venderá a 50 €; lotes de tipo B formados por una bolsa de ajos y dos botellas de
aceite de oliva que venderá a 80 €.
a) Dibuja la región factible. (1 punto)
b) ¿Cuántos lotes de cada tipo deberá preparar para obtener la mayor cantidad de dinero?
(0´5 puntos)
Solución.
a) Dibuja la región factible. (1 punto)
Si llamamos “x” al número de lotes tipo A e “y” al número de lotes del tipo B, tendremos que
los datos anteriores nos llevan a una expresión algebraica de la región factible del tipo:
20002
30003
0,0
yx
yx
yx
Las dos primeras expresiones nos determinan una recta vertical, x = 0, una horizontal y = 0 junt
con dos oblicuas 3x + y = 3000, x + 2y = 2000 que restringen la zona de soluciones a un
cuadrilátero.
En cuanto a la tercera expresión, 3x + y ≤ 3.000, representamos el semiplano de posibles
soluciones a que da lugar a partir de, primeramente, la representación de la recta y = 3.000 – 3x
x y = 3.000 – 3x
0 3.000
1.000 0
En cuanto a la cuarta expresión, x + 2y ≤ 2.000, representamos el semiplano de posibles
soluciones a que da lugar a partir de, primeramente, la representación de la recta
y = (2.000 – x)/2
x y = (2.000 – x)/2
0 1.000
2.000 0
Representamos las rectas y los rectángulos en un mismo plano cartesiano determinando la
pertenencia a los semiplanos que generan mediante la verificación o no del punto (0,0), (que la
verifican todos).
La región coloreada en amarillo es la región factible.
12
Calculamos los vértices de la región factible:
Punto A de intersección de las rectas x + 2y = 2.000 e x = 0, da como solución A(0, 1.000).
Punto B de intersección de las rectas x + 2y = 2.000 con 3x + y = 3.000, da como solución
B(800, 600).
Punto C de intersección de las rectas 3x + y = 3000 con y = 0, da como solución C(1000, 0).
Punto O es el origen de coordenadas.
b) ¿Cuántos lotes de cada tipo deberá preparar para obtener la mayor cantidad de dinero?
(0´5 puntos)
La función objetivo que hay que maximizar viene determinada por la expresión algebraica:
F(x,y) = 50x + 80y
Sustituyendo los vértices en la función objetivo:
F(O) = F(0,0) = 50·0 + 80·0 = 0
F(A) = F(0,1000) = 50·0 + 80·1000 = 80.000
F(B) = F(800,600) = 50·800 + 80·600 = 88.000
F(C) = F(1000,0) = 50·1000 + 80·0 = 50.000
Obtenemos que hace máxima la función objetivo es B con un valor total de 88.000 €.
Por lo tanto, hay que vender 800 lotes del tipo A y 600 lotes del tipo B para obtener una
ganancia máxima de 88.000 €.
13
2. Una empresa fabrica tres modelos de lavadoras A, B y C.
Para fabricar el modelo A se necesitan 3 horas de trabajo en la unidad de montaje, 2 horas en
la unidad de acabado y 1 hora en la unidad de comprobación.
Para fabricar el modelo B se necesitan 4 horas de trabajo en la unidad de montaje, 2 horas en
la unidad de acabado y 1 hora en la unidad de comprobación.
Para fabricar el modelo C se necesitan 2 horas de trabajo en la unidad de montaje, 1 horas en
la unidad de acabado y 1 hora en la unidad de comprobación.
Sabiendo que se han empleado 430 horas en la unidad de montaje, 240 horas en la unidad de
acabado y 150 horas en la unidad de comprobación, se pide:
a) Plantea un sistema que permita saber cuántas lavadoras de cada modelo se han fabricado.
(1.5 puntos)
b) Resuelve el sistema planteado. (0.5 puntos)
Solución.
a) Plantea un sistema que permita saber cuántas lavadoras de cada modelo se han fabricado.
(1.5 puntos)
Llamamos “x” al número de lavadoras modelo A; “y” al número de lavadoras modelo B; y “z”
al número de lavadoras del tipo C. En estas condiciones los siguientes enunciados
corresponden a las siguientes ecuaciones:
“modelo A se necesitan 3 horas de trabajo en la unidad de montaje”
“modelo B se necesitan 4 horas de trabajo en la unidad de montaje”
“modelo C se necesitan 2 horas de trabajo en la unidad de montaje”
“se han empleado 430 horas en la unidad de montaje”
430243 zyx
“modelo A se necesitan 2 horas de trabajo en la unidad de acabado”
“modelo B se necesitan 2 horas de trabajo en la unidad de acabado”
“modelo C se necesitan 1 horas de trabajo en la unidad de acabado” “se han empleado 240 horas en la unidad de acabado”
24022 zyx
“modelo A se necesitan 1 horas de trabajo en la unidad de comprobación”
“modelo B se necesitan 1 horas de trabajo en la unidad de comprobación”
“modelo C se necesitan 1 horas de trabajo en la unidad de comprobación”
“se han empleado 150 horas en la unidad de comprobación”
150 zyx
Por lo tanto, el sistema que responde a las condiciones del problema viene determinado por:
430243
24022
150
zyx
zyx
zyx
Donde hemos colocado convenientemente las ecuaciones para aplicar el método de Gauss:
14
b) Resuelve el sistema planteado. (0.5 puntos)
Resolvemos el sistema por el método de Gauss:
430243
24022
150
zyx
zyx
zyx
La matriz de Gauss queda determinada por:
430243
240122
150111
zyx
Aplicamos el método de Gauss:
20110
60100
150111
430243
240122
150111
133
122
3´
2
FFF
FFF
zyxzyx
Si reescribimos la matriz como sistema, podemos resolver de modo sencillo,
6020
60
60150
2060
60
15060
20
60
150
y
z
yx
y
z
yx
zy
z
zyx
40
60
50
40
60
4090
40
60
9040
40
60
90
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
yx
Por lo tanto, hay 50 lavadoras modelo A, 40 lavadoras modelo B y 60 lavadoras modelo C.
3. Dada la función f(x) = x3 + ax
2 + bx + c, calcula los valores de las constantes a, b, y c para que
la gráfica de la función pase por el punto (0,4), tenga un mínimo relativo en el punto de abcisa
x = – 1 y un punto de inflexión en x = – 2. (1.5 puntos)
Solución. Puesto que la función pasa por el punto (0,4) entonces f(0) = 4 y por lo tanto,
f(0) = 03 + a·0
2 + b·0 + c = 4 c = 4
Puesto que tiene un mínimo en el valor de abcisa x = –1 entonces f´(– 1) = 0. Como la derivada de
f(x) es f´(x) = 3x2 + 2ax + b, entonces si f´(– 1) = 0 tendremos que:
3 – 2a + b = 0,
15
Por otra parte, puesto que f(x) tiene un punto de inflexión en x = – 2 entonces f´´(– 2) = 0. Como
la derivada de f´(x) es f´´(x) = 6x + 2a, entonces si f´´(– 2) = 0 tendremos que:
– 12 + 2a = 0,
De donde obtenemos que a = 6 y, sustituyendo en la ecuación 3 – 2a + b = 0, tendremos que
3 – 12 + b = 0 b = 9
Por lo tanto, a = 6 y b = 9 y c = 4.
4. Se considera la función
21)3(
2)(
2
2
xsix
xsitxxxf . Se pide:
a) Hallar el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0.5 puntos)
b) Para t = 0, representa gráficamente la función. (1 punto)
Solución.
a) Hallar el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0.5 puntos)
Para que una función sea continua en un valor de abcisa x = a se debe cumplir que los límites
laterales en el punto x = a coincidan con a imagen de la abcisa x = a. Dicho de otro modo,
)()(lim)(lim afxfxfaxax
En nuestro caso, debemos imponer la continuidad en x = 2. Por lo tanto, estudiaremos los límites
laterales y el valor de la función en el punto x = 2.
ttxxxfxx
24lim)(lim 2
22
21)3(lim)(lim 2
22
xxf
xx
tf 22)2( 2
Por lo tanto, para que la función f(x) sea continua en x = 2 deberá cumplirse que
4 – 2 + t = 2 t = 0
Concluimos que la función f(x) es continua en x = 2 si t = 2.
16
b) Para t = 0, representa gráficamente la función. (1 punto)
Representamos la función
21)3(
2)(
2
2
xsix
xsixxxf
Se trata de dos parábolas que conforman una función, f(x), que sabemos por el apartado a) que es
continua.
Para la representación de y = x2 – x en x ≤ 2 tendremos que calcular su vértice:
5.02
1
1·2
)1(
2
a
bVx
Tomando dos valores a cada lado del eje de simetría de la parábola, x = 0.5 en el
dominio x ≤ 2 tendremos la representación del primer trozo de f(x).
x y = x2 – x
0.5 0.52 – 0.5 = 0.25 – 0.5 = – 0.25
1 12 – 1 = 1 – 1 = 0
2 22 – 2 = 4 – 2 = 2
0 02 – 0 = 0
– 1 (– 1)2 – (– 1) = 1 + 1 = 2
Para la representación de y = (x – 3)2 + 1 en x > 2 tendremos que la parábola se puede reexpresar
mediante la expresión:
y = (x – 3)2 + 1 = y = x
2 + 9 – 6x + 1 = x
2 – 6x + 10
Su vértice será:
32
6
1·2
)6(
2
a
bVx
Tomando dos valores a cada lado del eje de simetría de la parábola, x = 3 en el dominio x > 2
tendremos la representación del otro trozo de f(x).
x y = (x – 3)2 + 1
3 (3 – 3)2 + 1 = 0 + 1 = 1
2 (2 – 3)2 + 1 = 1 + 1 = 2
2.5 (2.5 – 3)2 + 1 = 0.25 + 1 = 1.25
4 (4 – 3)2 + 1 = 1 + 1 = 2
5 (5 – 3)2 + 1 = 4 + 1 = 5
17
En tal caso, la gráfica de la función f(x) viene descrita por la siguiente representación:
5. En una empresa se producen dos tipos de muebles: A y B, en una proporción de 2 es a 3,
respectivamente. La probabilidad de que un mueble de tipo A sea defectuoso es 0.05 y de que
un mueble tipo B sea defectuoso es 0.1.
a) Elegido un mueble al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? (0.75 puntos)
b) Se escoge al azar un mueble y resulta ser no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que
sea del tipo B? (0.75 puntos)
Solución.
a) Elegido un mueble al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? (0.75 puntos)
El problema se puede expresar mediante el siguiente diagrama de árbol:
En ese caso, la probabilidad de que sea defectuoso se puede calcular mediante el teorema de la
probabilidad total según:
))()/()()/()( BPBdefectuosoPAPAdefectuosoPdefectuosoP
080́500
40
5
3
100
10
5
2
100
5
5
31́0
5
2050́
Por lo tanto, la probabilidad de que un mueble al azar sea defectuoso es 0´08.
18
b) Se escoge al azar un mueble y resulta ser no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que
sea del tipo B? (0.75 puntos)
En ese caso, la probabilidad de que el mueble sea del tipo B, sabiendo que no es defectuoso,
se puede calcular mediante el teorema de Bayes según:
)()/()()/(
)()/()/(
BPBdefectuosoNoPAPAdefectuosoNoP
BPBdefectuosoNoPdefectuosonoBP
5870́
5
390́
5
2950́
5
390́
Por lo tanto, la probabilidad pedida es de 0´587 aproximadamente.
6. Se estudio el cociente intelectual de 10 estudiantes de 2º de Bachillerato, elegidos
aleatoriamente de un determinado centro escolar, siendo estos valores 80, 96, 87, 104, 105,
99, 112, 89, 90, 110. Sabiendo que el cociente intelectual se distribuye según una normal con
desviación típica 15, se pide:
a) Halla el intervalo de confianza al nivel 95 % para la media del cociente intelectual de los
estudiantes de 2º de Bachillerato de dicho centro escolar. (1.25 puntos)
b) Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor
amplitud con el mismo nivel de confianza. (0.75 puntos)
Solución.
a) Halla el intervalo de confianza al nivel 95 % para la media del cociente intelectual de los
estudiantes de 2º de Bachillerato de dicho centro escolar. (1.25 puntos)
Sea la variable aleatoria X que mide el coeficiente intelectual. Según los datos del problema
esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida e igual a σ = 15.
Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 10 estudiantes y nos dicen que su media
muestral es 2´97X según:
2´9710
972
10
110908911299105104879680
X
En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 – α = 0´95 respecto a la
media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:
nzX
nzX
2/2/ ,
Puesto que 1 – α = 0´95, entonces α = 0´05 y α/2 = 0´025 por lo que zα/2 = 1´96.
19
Por tanto, sustituyendo en la fórmula del intervalo:
)497´106,903´87(10
15961́2´97,
10
15961́2´97
Concluimos que el intervalo de confianza al 95 % para el coeficiente intelectual medio de los
alumnos de 2º de Bachillerato de ese centro escolar es (87´903, 106´497).
a)
b) Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor
amplitud con el mismo nivel de confianza. (0.75 puntos)
Podemos aumentando el tamaño de la muestra puesto que es el denominador de la semi-
amplitud del intervalo. Cuanto más grande sea el tamaño muestral, más pequeña será la semi-
amplitud y la amplitud del intervalo de confianza. Además, el teorema central del límite lo
confirma. A mayor tamaño muestral mejor estimación de la media poblacional mediante la
media muestral.
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