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PROPUESTA A
1. Dada la ecuación matricial BAXX 6
a) Resuelve matricialmente la ecuación. (0.75 puntos)
b) Si
15
02A , calcula la matriz X que cumple IXA , donde I es la matriz identidad de
orden 2. (0.75 puntos)
2. Si dividimos el número “xyz” entre la suma de sus cifras se obtiene 37 de cociente y de resto 0. La
suma de las cifras de las decenas y de las centenas es el doble de la cifra de las unidades. En
cambio, si a esa suma le restamos la cifra de las unidades se obtiene 1. Se pide:
a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (1.5 puntos)
b) ¿Cuáles son las cifras del número “xyz”? (0.5 puntos)
3. Se considera la función
122
142)(
2
2
xsixx
xsixxxf . Se pide:
a) Estudia la continuidad en x = – 1. (0.5 puntos)
b) Extremos relativos de f en el intervalo ( – 2, 2). (1 punto)
4. En una sesión de Bolsa el precio, en euros, que alcanza una acción viene dado por la función
f(x) = 2t3 – 18t
2 + 48t + 1, en donde t representa el tiempo, en horas contado a partir del inicio de la
sesión y 0 ≤ t ≤ 3. Se pide:
a) Precio de la acción a las 3 horas de iniciada la sesión. (0.25 puntos)
b) ¿A qué hora la acción alcanza su valor máximo?, ¿cuál es ese valor? (1.25 puntos)
5. Una empresa tiene la misma cantidad de acciones del tipo A que del tipo B. Se sabe que el tipo A
tiene una probabilidad de doblar su precio de 0.3 y 0.2 para el tipo B.
a) Probabilidad de que una acción elegida al azar doble su precio. (0.75 puntos)
b) Si sabemos que una acción ha doblado su precio, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?
(0.75 puntos)
6. Se ha extraído una muestra de 10 familias de residentes en un barrio obteniéndose los siguientes
datos: 19987, 20096, 19951, 20263, 20014, 20027, 20023, 19942, 20078, 20069. Se supone que la
renta familiar de los residentes en el barrio sigue una distribución normal de desviación típica 100
euros.
a) Encontrar el intervalo de confianza al 97 % para la renta familiar media. (1 punto)
b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos)
c) Si deseamos obtener un intervalo de anchura menor, ¿Qué opciones tendríamos? Razona tu
respuesta. (0.5 puntos)
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 09812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
2
PROPUESTA B
1. Una empresa tiene 1800 botellas de vino de La Mancha y 1600 botellas de vino de Valdepeñas.
Desea elaborar dos tipos de lotes para regalo con dichas botellas: lotes de tipo A formados por tres
botellas de La Mancha y una de Valdepeñas, que venderá a 70 €; lotes de tipo B formados por una
botella de La Mancha y dos de Valdepeñas que venderá a 50 euros.
a) Dibuja la región factible. (1 punto)
b) ¿Cuántos lotes de cada tipo deberá preparar para obtener la mayor cantidad de dinero?
(0.5 puntos)
2. La asociación de Padres y Madres de un IES compra 170 pen drives a tres proveedores diferentes a
6.10, 6.20 y 6.30 euros cada pen drive. La factura total asciende a 1051 euros. Sabiendo que al
segundo proveedor le compran el doble del número de unidades que al primero, se pide:
a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (1.5 puntos)
b) Determina el número de unidades compradas a cada proveedor. (0.5 puntos)
3. Se considera la función
0|4|
022
24
)(2 xsixx
xsix
xsi
xf . Se pide:
a) Límites laterales de la función f en el punto x = 0. ¿Es continua la función f en x = 0?(0.5 puntos)
b) Representación gráfica de la función f. (1 punto)
4. El beneficio B, en miles de euros, de una sociedad de inversores, viene dado por la función
B(x) = – 2x2 + 56x + 3 en donde x representa los miles de euros invertidos. Estudiadas las
condiciones del mercado, se decide que 1 ≤ x ≤ 15. Se pide:
a) Beneficio máximo. (0.75 puntos)
b) Intervalos donde el beneficio crece y donde decrece. (0.75 puntos)
5. En un pabellón polideportivo hay 1000 personas de Albacete, 500 de Ciudad Real, 1000 de Toledo y
500 de Cuenca.
a) Se sortean dos ordenadores entre todas ellas, ¿cuál es la probabilidad de que no le toque a ningún
toledano? (puede tocarle a la misma persona los dos ordenadores). (0.75 puntos)
b) Se eligen al azar tres personas entre todas ellas para un concurso, de una en una y sin que puedan
repetir, ¿cuál es la probabilidad de que los tres sean ciudadrealeños? (0.75 puntos)
6. La duración de las llamadas de teléfono en una oficina comercial, sigue una distribución normal con
desviación típica 10 segundos. Se toma una muestra aleatoria de 100 llamadas y la media de
duración obtenida en esa muestra es de 50 segundos. Se pide:
a) Encontrar un intervalo de confianza al 95 % para la duración media de las llamadas. (1 punto)
b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos)
c) Si deseamos obtener un intervalo de anchura menor, ¿qué opciones tendríamos? Razona tu
respuesta. (0.5 puntos)
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
2.0 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 09699 0.9706
2.1 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
3
SOLUCIONES – PROPUESTA A
1. Dada la ecuación matricial BAXX 6
a) Resuelve matricialmente la ecuación. (0.75 puntos)
b) Si
15
02A , calcula la matriz X que cumple IXA , donde I es la matriz identidad de
orden 2. (0.75 puntos)
Solución.
a) Resuelve matricialmente la ecuación. (0.75 puntos)
Si Sacamos factor común a la matriz X por la izquierda, llegamos a que,
BAIX )6(
Siendo I la matriz identidad del mismo orden que X.
En tal caso, exclusivamente cuando la matriz (6·I – A) tenga inversa (es decir, cuando sea
cuadrada y tenga determinante no nulo), podremos despejar la matriz X del modo:
1)6( AIBX
Además, para que (6·I – A) sea cuadrada sólo cabe la posibilidad de que lo sean A e I y además
tengan el mismo orden.
Por lo tanto, 1)6( AIBX , si (6∙I – A) posee matriz inversa, A e I a son del mismo orden y
su número de columnas es igual que el de filas de B.
b) Si
15
02A , calcula la matriz X que cumple IXA , donde I es la matriz identidad de
orden 2. (0.75 puntos)
La ecuación tendrá solución, siempre y cuando la matriz A tenga matriz inversa, esto es, cuando
su determinante sea 2. Calculamos el determinante de A,
0215
02A
Por lo tanto, la ecuación tendrá solución. Para calcularla, resolvemos matricialmente según,
11 AIAXIXA
4
Calculamos la matriz inversa de A, Para ello, procedemos a calcularla mediante la fórmula,
A
AAdjA
t
1
Siendo At la matriz transpuesta de A y adj[A
t] la matriz adjunta de la transpuesta. Realizamos las
operaciones correspondientes:
25
01
2
1
25
01])[
10
521AAadjA tt
En ese caso, la solución X será:
12/5
02/11AX
2. Si dividimos el número “xyz” entre la suma de sus cifras se obtiene 37 de cociente y de resto 0.
La suma de las cifras de las decenas y de las centenas es el doble de la cifra de las unidades.
En cambio, si a esa suma le restamos la cifra de las unidades se obtiene 1. Se pide:
a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado.
(1.5 puntos)
b) ¿Cuáles son las cifras del número “xyz”? (0.5 puntos)
Solución.
a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado.
(1.5 puntos)
Llamamos “x” al número de centenas; “y” al número de decenas; y “z” al número de unidades.
En estas condiciones los siguientes enunciados corresponden a las siguientes ecuaciones:
Dividimos el número “xyz” entre la suma de sus
cifras se obtiene 37 de cociente y de resto 0. 0)(3710100 zyxzyx
La suma de las cifras de las decenas y de las
centenas es el doble de la cifra de las unidades. zyx 2
En cambio, si a esa suma le restamos la cifra de las
unidades se obtiene 1 1 zyx
Por lo tanto, el sistema que responde a las condiciones del problema viene determinado por:
1
02
37373710100
1
2
)(3710100
zyx
zyx
zyxzyx
zyx
zyx
zyxzyx
Donde, dividiendo la primera ecuación por 9 y ordenando el sistema pedido será:
1
02
0437
1
02
0362763
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
5
b) ¿Cuáles son las cifras del número “xyz”? (0.5 puntos)
Resolvemos el sistema por el método de Gauss colocando la tercera ecuación como la primera.
0437
02
1
1
02
0437
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
La matriz de Gauss queda determinada por:
0437
0211
1111
zyx
Multiplicamos la primera fila por – 1 y la sumamos a la segunda. De igual modo,
multiplicamos por – 7 a la primera fila y la sumamos con la tercera:
73100
1100
1111
0437
0211
1111
133
122
7´
2´
FFF
FFF
zyxzyx
Como la segunda fila puede, en términos de ecuación, ser despejada, pasamos al sistema
equivalente y resolvemos:
7310
1
2
71310
1
11
7310
1
1
7310
1
1
z
yx
y
z
yx
zy
z
zyx
zy
z
zyx
1
1
1
1
1
21
1
1
2
1010
1
2
y
z
x
y
z
x
y
z
yx
y
z
yx
Por lo tanto, el número es 111.
6
3. Se considera la función
122
142)(
2
2
xsixx
xsixxxf . Se pide:
a) Estudia la continuidad en x = – 1. (0.5 puntos)
b) Extremos relativos de f en el intervalo ( – 2, 2). (1 punto)
Solución.
a) Estudia la continuidad en x = – 1. (0.5 puntos)
Para que una función sea continua en un valor de abcisa x = a se debe cumplir que los límites
laterales en el punto x = a coincidan con a imagen de la abcisa x = a. Dicho de otro modo,
)()(lim)(lim afxfxfaxax
En nuestro caso, debemos estudiar la continuidad en x = – 1. Por lo tanto, estudiaremos los límites
laterales y el valor de la función en el punto x = 0.
54214)1(2)1(42lim)(lim 22
11
xxxf
xx
52212)1(2)1(22lim)(lim 22
11
xxxf
xx
21)10()0( 2 f
Al coincidir todos los valores, concluimos que la función f es continua en x = – 1.
b) Extremos relativos en el intervalo (– 2, 2). (0.5 puntos)
Para el estudio de los extremos relativos, descartamos realizar derivadas por cuanto la función
es a trozos y hay un valor absoluto de por medio. Procedemos a localizarlos mediante la
representación gráfica.
En tal caso, la primera expresión algebraica (x ≤ – 1) es una parábola. El vértice lo tiene en el
valor que anula la derivada. Por tanto, derivando la expresión,
[ x2 + 2x – 4 ]´ = 2(x+1)
e igualando a cero, obtenemos,
2(x + 1) = 0 x = – 1
Además, sabemos que la parábola es con ramas hacia arriba sin más que observar el coeficiente
del monomio de grado dos. Calculamos algunos valores a izquierda y derecha de la abcisa del
vértice, teniendo en cuenta que nuestro dominio para tal expresión es x ≤ – 1.
x y = x2 + 2x – 4
– 1 – 5
– 1´5 – 4´75
– 2 – 1
7
En esta tabla hay que tener en cuenta que x = – 2 no pertenece al intervalo (– 2, 2) aunque si
pertenece al dominio de la expresión que representamos.
Por otra parte, la segunda expresión algebraica (x > – 1) también es una parábola. El vértice lo
tiene en el valor que anula la derivada. Por tanto, derivando la expresión,
[ – x2 + 2x – 2 ]´ = 2·(– x + 1)
e igualando a cero, obtenemos,
2(– x + 1) = 0 x = 1
Además, sabemos que la parábola es con ramas hacia abajo sin más que observar el coeficiente del
monomio de grado dos.
Calculamos algunos valores a izquierda y derecha de la abcisa del vértice, teniendo en cuenta que
nuestro dominio para tal expresión es x > – 1.
x y = – x2 + 2x – 2
– 1 – 5
0 – 2
1 – 1
2 – 2
En esta tabla hay que tener en cuenta que x = 2 no pertenece al intervalo (– 2, 2) aunque si
pertenece al dominio de la expresión que representamos.
Por lo tanto, la representación gráfica pedida será:
Concluimos que existe un máximo relativo de la función f en el intervalo (– 2, 2) en el punto
(1, – 1) y existen un mínimo relativo de la función f en el intervalo (– 2, 2) en el punto (– 1,– 5).
8
4. En una sesión de Bolsa el precio, en euros, que alcanza una acción viene dado por la función
f(x) = 2t3 – 18t
2 + 48t + 1, en donde t representa el tiempo, en horas contado a partir del inicio
de la sesión y 0 ≤ t ≤ 3. Se pide:
a) Precio de la acción a las 3 horas de iniciada la sesión. (0.25 puntos)
b) ¿A qué hora la acción alcanza su valor máximo?, ¿cuál es ese valor? (1.25 puntos)
Solución.
a) Precio de la acción a las 3 horas de iniciada la sesión. (0.25 puntos)
Simplemente sustituimos t = 3 en la función:
f(3) = 2·33 – 18·3
2 + 48·3 + 1 = 2·27 – 18 ·9 + 144 + 1 = 54 – 162 + 144 + 1 = 37
Por lo tanto, la acción vale 37 €.
b) ¿A qué hora la acción alcanza su valor máximo?, ¿cuál es ese valor? (1.25 puntos)
Para encontrar el máximo de la función en el intervalo [0, 3], calculamos los máximos y
mínimos relativos y estudiamos la monotonía de la función en este intervalo.
La derivada de la función f(x) = 2t3 – 18t
2 + 48t + 1 es:
f´(x) = 6t2 – 36t + 48
Igualamos a cero y resolvemos para conocer los posibles valores de abcisa donde están los
máximos y los mínimos relativos:
12
1152129636
62
4864)36()36(048366
2
2 ttt
213
413
1312
1236
12
14436
t
ó
t
Estudiamos el signo de la primera derivada para concluir donde la función es creciente y donde
es decreciente:
Intervalo Valor f´(x) = 6t2 – 36t + 48 Signo f´(x) f(x) es
(– ∞, 2) 0 48 + Creciente
(2, 4) 3 – 6 – Decreciente
(4, + ∞) 5 48 + Creciente
De la información anterior concluimos que la función es tiene un máximo relativo en
t = 2. El valor de la acción en ese momento es:
f(2) = 2·23 – 18·2
2 + 48·2 + 1 = 2·8 – 18 · 4 + 96 + 1 = 16 – 72 + 96 + 1 = 41
Luego entonces, el momento donde la acción alcanza el máximo valor es a las 2 horas y
vale 41 €.
9
5. Una empresa tiene la misma cantidad de acciones del tipo A que del tipo B. Se sabe que el
tipo A tiene una probabilidad de doblar su precio de 0.3 y 0.2 para el tipo B.
a) Probabilidad de que una acción elegida al azar doble su precio. (0.75 puntos)
b) Si sabemos que una acción ha doblado su precio, ¿cuál es la probabilidad de que sea del
tipo B? (0.75 puntos)
Solución.
a) Probabilidad de que una acción elegida al azar doble su precio. (0.75 puntos)
El problema se puede expresar mediante el siguiente diagrama de árbol:
En ese caso, la probabilidad de que una acción elegida al azar doble su precio es:
P(Acción dobla su precio) = P(Acción tipo A) · P(Dobla su precio / Acción Tipo A) +
+ P(Acción tipo B) · P(Dobla su precio / Acción Tipo B) = 0.5·0.3 + 0.5·0.2 =
= 0.15 + 0.1 = 0.25
Por lo tanto, la probabilidad de que una acción elegida al azar se duplique es de 0.25.
b) Si sabemos que una acción ha doblado su precio, ¿cuál es la probabilidad de que sea del
tipo B? (0.75 puntos)
En ese caso, la probabilidad de que la silla sea del tipo B se puede calcular mediante el teorema
de Bayes según:
)/( preciosuDoblaBTipoP
)()/()()/(
)()/(
BTipoPBTipopreciosuDoblaPATipoPATipopreciosuDoblaP
BTipoPBTipopreciosuDoblaP
4.05.02.05.03.0
5.02.0
Por lo tanto, la probabilidad pedida es de 0´4.
10
6. Se ha extraído una muestra de 10 familias de residentes en un barrio obteniéndose los
siguientes datos: 19987, 20096, 19951, 20263, 20014, 20027, 20023, 19942, 20078, 20069. Se
supone que la renta familiar de los residentes en el barrio sigue una distribución normal de
desviación típica 100 euros.
a) Encontrar el intervalo de confianza al 97 % para la renta familiar media. (1 punto)
b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos)
c) Si deseamos obtener un intervalo de anchura menor, ¿Qué opciones tendríamos? Razona tu
respuesta. (0.5 puntos)
Solución.
a) Encontrar el intervalo de confianza al 97 % para la renta familiar media. (1 punto)
Sea la variable aleatoria X que mide la duración renta familiar. Según los datos del problema
esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida e igual a σ = 100 €.
Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 10 componentes y podemos calcular su
media muestral:
2004510
200450
n
xnX
ii s.
En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 – α = 0´97 respecto a la
media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:
nzX
nzX
2/2/ ,
Puesto que 1 – α = 0´97, entonces α = 0´03 y α/2 = 0´015 por lo que zα/2 = 2´17.
Por tanto, sustituyendo en la fórmula del intervalo:
)62´20518,38´20381(10
100172́20450,
10
100172́20450
Concluimos que el intervalo de confianza al 97 % para la renta familiar media
es (20381´38, 20518´62).
b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos)
La interpretación es sencilla. Hay una probabilidad del 97 % de que tomada una familia y su
renta familiar al azar, esta esté entre 20381´38 € y 20518´62 €.
c) Si deseamos obtener un intervalo de anchura menor, ¿Qué opciones tendríamos? Razona tu
respuesta. (0.5 puntos)
Aumentar el tamaño muestral ya que al ser un valor que aparece en el denominador, el
intervalo disminuiría. También se puede hacer disminuyendo la confianza del intervalo ya que
el valor zα/2 sería menor y al multiplicar, el resultado sería de menor valor que el actual.
11
SOLUCIONES – PROPUESTA B
1. Una empresa tiene 1800 botellas de vino de La Mancha y 1600 botellas de vino de Valdepeñas.
Desea elaborar dos tipos de lotes para regalo con dichas botellas: lotes de tipo A formados por
tres botellas de La Mancha y una de Valdepeñas, que venderá a 70 €; lotes de tipo B formados
por una botella de La Mancha y dos de Valdepeñas que venderá a 50 euros.
a) Dibuja la región factible. (1 punto)
b) ¿Cuántos lotes de cada tipo deberá preparar para obtener la mayor cantidad de dinero?
(0.5 puntos)
Solución.
a) Dibuja la región factible. (1 punto)
Si llamamos “x” al número de lotes del tipo A e “y” al número de lotes el tipo B, tendremos
que los datos anteriores nos llevan a una expresión algebraica de la región factible del tipo:
16002
18003
0,0
yx
yx
yx
Las dos primeras expresiones nos determinan que la región factible se halla en el primer
cuadrante.
En cuanto a la tercera expresión, 3x + y ≤ 1800, representamos el semiplano de posibles
soluciones a que da lugar a partir de, primeramente, la representación de la recta y = 1800 – 3x
x y = 1800 – 3x
0 1800
600 0
Sustituimos en a inecuación en punto (0,0) para conocer cuál de los dos semiplanos en los que
divide la recta al plano es en el que estará la región factible.
3·0 + 0 = 0 ≤ 1800
Como (0,0) verifica la desigualdad, el semiplano a elegir es al que pertenece el punto (0,0)
En cuanto a la cuarta expresión, x + 2y ≤ 1600, igualmente representamos el semiplano de
posibles soluciones a que da lugar a partir de, primeramente, la representación de la recta
2
1600 xy
x 2
1600 xy
0 800
1600 0
Sustituimos en a inecuación en punto (0,0) para conocer cuál de los dos semiplanos en los que
divide la recta al plano es en el que estará la región factible.
0 + 2·0 = 0 ≤ 1600
12
Como (0,0) verifica la desigualdad, el semiplano a elegir es al que pertenece el punto (0,0)
Representamos la recta y el rectángulo en un mismo plano cartesiano determinando la
pertenencia a los semiplanos que generan mediante la verificación o no del punto (0,0), (que la
verifican todos).
La región coloreada en amarillo es la región factible.
Calculamos los vértices de la región factible:
Punto A de intersección de las rectas x + 2y = 1600 e x = 0, da como solución A(0, 800).
Punto B de intersección de las rectas x + 2y = 1600 con 3x + y = 1800, da como solución
B(400, 600).
Punto C de intersección de las rectas 3x + y = 1800 con y = 0, da como solución C(600, 0).
Punto D de intersección de las rectas x = 0 con y = 0, da como solución O(0, 0).
b) Determina las cantidades que debe invertir en cada uno de los tipos para que el beneficio
sea lo mayor posible. (0.5 puntos)
Sea la función que determina el beneficio y vendrá dada por la expresión algebraica:
F(x,y) = 70x+ 50y
Aplicando los puntos de la región factible a la función encontraremos de entre ellos a aquel que
tenga mayor beneficio. Ese punto es el punto de mayor beneficio de toda la superficie limitada.
F(A) = F(0, 800) = 70 ∙ 0 + 50 ∙ 800 = 0 + 40.000 = 40.000
F(B) = F(400, 600) = 70 ∙ 400 + 50 ∙ 600 = 28.000 + 30.000 = 58.000
F(C) = F(600, 0) = 70 ∙ 600 + 50 ∙ 0 = 42.000 + 0 = 42.000
F(O) = F(0, 0) = 70 ∙ 0 + 50 ∙ 0 = 0 + 0 = 0
En conclusión, hemos obtenido que las cantidades de cada tipo de lote para obtener un mayor
beneficio son x = 400 de tipo A e y = 600 del tipo B.
13
2. La asociación de Padres y Madres de un IES compra 170 pen drives a tres proveedores
diferentes a 6.10, 6.20 y 6.30 euros cada pen drive. La factura total asciende a 1051 euros.
Sabiendo que al segundo proveedor le compran el doble del número de unidades que al
primero, se pide:
a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado.
(1.5 puntos)
b) Determina el número de unidades compradas a cada proveedor. (0.5 puntos)
Solución.
Solución. Hacemos las siguientes asignaciones de incógnitas:
Número de pen drives del primer
proveedor x
Numero de pen drives del segundo
proveedor y
Número de pen drives del tercer
proveedor z
a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado.
(1.25 puntos)
Las condiciones del problema inducen las siguientes ecuaciones lineales:
La Asociación de Padres y de Madres de un IES compra 170
pen-drives a tres proveedores diferentes x + y + z = 170
a tres proveedores diferentes a 6.10, 6.20 y 6.30 euros cada
pen drive. La factura total asciende a 1.051 euros. 6´1x + 6´2y + 6´3z = 1051
Sabiendo que al segundo proveedor le compran el doble del
número de unidades que al primero y = 2x
Simplificamos al máximo las ecuaciones. En la primera y la segunda multiplicamos primero por
10:
b) Determina el número de unidades compradas a cada proveedor. (1´25 puntos)
Para resolverlo, podemos optar por resolverlo por Gauss o por el método de Cramer.
Por el método de Gauss, sea la matriz de Gauss,
14
Aplicamos el método de Gauss empezando por cambiar la columna uno por la columna tres
para hacerlo más sencillo:
Hacemos ceros en los lugares correspondientes hasta hacerlo triangular en su mitad izquierda.
Puesto que la fila dos tiene dos ceros en su mitad izquierda, es posible reordenar la matriz de
Gauss de tal modo que sea triangular:
Despejamos en el sistema y resolvemos:
Por lo tanto, se han comprado 50 pen-drives al primer proveedor, 100 al segundo y 20 al
tercero.
Por el método de Cramer: Dado el sistema , aplicamos ahora
el método de determinantes:
15
Por lo tanto, se han comprado 50 pen-drives al primer proveedor, 100 al segundo y 20 al
tercero.
3. Se considera la función
0|4|
022
24
)(2 xsixx
xsix
xsi
xf . Se pide:
a) Límites laterales de la función f en el punto x = 0. ¿Es continua la función f en x = 0?
(0.5 puntos)
b) Representación gráfica de la función f. (1 punto)
Solución.
a) Límites laterales de la función f en el punto x = 0. ¿Es continua la función f en x = 0?
(0.5 puntos)
El límite lateral por la izquierda en x = 0 será:
0)0(2)2(lim)(lim00
xxfxx
El límite lateral por la derecha en x = 0 será:
0|040||4|lim)(lim 22
00
xxxf
xx
Además, como la función f(x) en x = 0 vale:
f(0) = – 2·0 = 0
Observamos que los límites laterales en x = 0 coinciden con el valor de la función en el punto.
Por tanto, concluimos que la función f es continua en x = 0.
b) Representación gráfica de la función f. (1 punto)
Para dibujar la gráfica vamos estudiando las tres funciones por separado en sus respectivos
dominios.
Representación de y = 2 con x ≤ – 2
Se trata de un segmento horizontal sobre el eje OX con altura 2 hasta x = – 2 (incluido).
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Representación de y = – 2x con – 2 < x ≤ 0.
Se trata de un segmento de una función lineal creciente. Tomamos algunos valores para
representar:
x y = – 2x
– 2 – 2·(– 2) = 4
– 1 – 2·(– 1) = 2
0 – 2·0 = 0
El punto (– 2, 4) no se incluye como punto de la función puesto que para la abcisa x = – 2 la
función no está definida mediante y = – 2x. Lo representamos como punto “hueco”.
Representación de y = | – x2 + 4x | para 0 ≤ x.
Se trata del valor absoluto de una parábola con ramas hacia abajo por ser un polinomio de
grado dos con coeficiente principal negativo. Lo primero que haremos será representar la
parábola y luego transformaremos sus puntos con ordenada negativa en puntos simétricos
respecto del eje OX.
El máximo de la parábola se alcanza para el valor de abcisa que anula su derivada y´ = 0, es
decir,
– 2x + 4 = 0 4 = 2x 2 = x
que es un valor de abcisa dentro del dominio 0 ≤ x. El punto de Máximo es
(2, y(0)) = (2, 0).
Con cinco puntos sobre el dominio construimos la parte de las dos ramas que nos interesa:
x y = – x2 + 4x
0 – 02 + 4·0 = 0
1 – 12 + 4·1 = – 1 + 4 = 3
2 – 22 + 4·2 = – 4 + 8 = 4
3 – 32 + 4·3 = – 9 + 12 = 3
4 – 42 + 4·4 = – 16 + 16 = 0
5 – 52 + 4·5 = – 25 + 20 = – 5
6 – 62 + 4·6 = – 36 + 24 = – 12
Para representar el valor absoluto convertimos en positivas las ordenadas de los puntos con
ordenada negativa. De este modo lo que hacemos es una simetría respecto al eje OX en
aquellos tramos de la parábola con ordenada negativa.
x y = | – x2 + 4x |
0 0
1 3
2 4
3 3
4 0
5 5
6 12
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Por lo tanto, la gráfica de la función a trozos determinada en el enunciado es:
4. El beneficio B, en miles de euros, de una sociedad de inversores, viene dado por la función
B(x) = – 2x2 + 56x + 3 en donde x representa los miles de euros invertidos. Estudiadas las
condiciones del mercado, se decide que 1 ≤ x ≤ 15. Se pide:
a) Beneficio máximo. (0.75 puntos)
b) Intervalos donde el beneficio crece y donde decrece. (0.75 puntos)
Solución.
a) Beneficio máximo. (0.75 puntos)
Calculamos los máximos relativos de la función B(x) por medio de la derivada:
B´(x) = – 4x + 56
Si anulamos la derivada tendremos que el valor de extremo relativo es t = 14 horas.
En estas condiciones, y sabiendo que la función B(x) en realidad es una parábola con ramas
hacia abajo puesto que su coeficiente principal es negativo, tendremos que t = 14 horas es un
máximo absoluto de la función B(x) y por lo tanto, concluimos que el beneficio máximo será
de:
B(14) = – 2·142 + 56·14 + 3 = – 2·196 + 784 + 3 = 395 €
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b) Intervalos donde el beneficio crece y donde decrece. (0.75 puntos)
Al tratarse de una parábola con las ramas hacia abajo, se concluye fácilmente que en el intervalo
(0, 14) el beneficio crece mientras que en (14, 15) decrece.
5. En un pabellón polideportivo hay 1000 personas de Albacete, 500 de Ciudad Real, 1000 de
Toledo y 500 de Cuenca.
a) Se sortean dos ordenadores entre todas ellas, ¿cuál es la probabilidad de que no le toque a
ningún toledano? (puede tocarle a la misma persona los dos ordenadores). (0.75 puntos)
b) Se eligen al azar tres personas entre todas ellas para un concurso, de una en una y sin que
puedan repetir, ¿cuál es la probabilidad de que los tres sean ciudadrealeños? (0.75 puntos)
Solución.
a) Se sortean dos ordenadores entre todas ellas, ¿cuál es la probabilidad de que no le toque a
ningún toledano? (puede tocarle a la misma persona los dos ordenadores). (0.75 puntos)
Se la variable aleatoria contador X que vale cuenta el número de toledanos al escoger a dos
cualesquiera de entre los 3000 presentes. Por la descripción del problema estamos tratando una
distribución binomial en donde n = 2 y la probabilidad de acierto (de escoger un toledano en uno
de los dos sorteos) es:
40́3
1
3000
1000
50010005001000
1000
Llamamos suceso A = “no le toca a ningún toledano el premio en un sorteo”. Calculamos su
probabilidad mediante la fórmula de la binomial:
40́9
4
3
2
3
1
0
2)0()(
20
XPAP
Por lo que concluimos que hay una probabilidad de 44´4 % aproximadamente de que no le toque
a toledano alguno el premio.
b) Se eligen al azar tres personas entre todas ellas para un concurso, de una en una y sin que
puedan repetir, ¿cuál es la probabilidad de que los tres sean ciudadrealeños? (0.75 puntos)
La Probabilidad pedida vendrá dada por la fórmula de la probabilidad compuesta:
00460́2998
498
2999
499
3000
500p
Por lo que concluimos que hay una probabilidad de 0´5 % aproximadamente de que sean
ciudadrealeños.
19
6. La duración de las llamadas de teléfono en una oficina comercial, sigue una distribución
normal con desviación típica 10 segundos. Se toma una muestra aleatoria de 100 llamadas y la
media de duración obtenida en esa muestra es de 50 segundos. Se pide:
a) Encontrar un intervalo de confianza al 95 % para la duración media de las llamadas.
(1 punto)
b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos)
c) Si deseamos obtener un intervalo de anchura menor, ¿qué opciones tendríamos? Razona tu
respuesta. (0.5 puntos)
Solución.
a) Encontrar un intervalo de confianza al 95 % para la duración media de las llamadas.
(1 punto)
Sea la variable aleatoria X que mide la duración de una llamada de teléfono. Según los datos
del problema esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida e igual a
σ = 10 segundos.
Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 100 y su media muestral X = 50 segundos. En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 – α = 0´95 respecto a la
media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:
nzX
nzX
2/2/ ,
Puesto que 1 – α = 0´95, entonces α = 0´05 y α/2 = 0´025 por lo que zα/2 = 1´96.
Por tanto, sustituyendo en la fórmula del intervalo:
)96´51,04´48(100
10961́50,
100
10961́50
Concluimos que el intervalo de confianza al 95 % para la duración media de las llamadas de
teléfono es de (48´04, 51´96).
b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos)
La interpretación es sencilla. Hay una probabilidad del 95 % de que tomada una llamada al azar
tenga una duración media entre 48´04 segundos y 51´96 segundos.
c) Si deseamos obtener un intervalo de anchura menor, ¿qué opciones tendríamos? Razona tu
respuesta. (0.5 puntos)
Podríamos disminuir la confianza del intervalo por lo que el factor zα/2 disminuiría y al
multiplicar en la fórmula del intervalo, disminuiría la semi-amplitud y, por tanto, el intervalo de
confianza.
También podríamos aumentar el tamaño muestral con lo que, al estar en el denominador,
disminuiría la semi-amplitud del intervalo y, por tanto, disminuiría la amplitud del intervalo de
confianza.
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