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SEDE PUERTO MONTT
ESCUELA DE PEDAGOGÍA EN MATEMÁTICAS
PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA
GEOMETRÍA EN LA EDUCACIÓN MEDIA, MEDIANTE EL
APRENDIZAJE COOPERATIVO
Tesis para optar al Título de Profesor de Matemáticas
Profesor Patrocinante: Dra. María Rosa Bértolo Chanteng
Estudiante: Katherine Ninoshka Labarrera Mondaca
Puerto Montt, Chile
2016
Derechos de Autor
© 2016 Katherine Ninoshka Labarrera Mondaca
Se autoriza la reproducción parcial o total de esta obra, con fines académicos,
por cualquier forma, medio o procedimiento, siempre y cuando se incluya la cita
bibliográfica del documento:
Labarrera M., K. N. (2016). Propuesta didáctica para la enseñanza de la
Geometría en la Educación Media, mediante el Aprendizaje Cooperativo. Puerto
Montt.
i
HOJA DE CALIFICACIÓN
En Puerto Montt, el ____ de diciembre de 2016, los abajo firmantes dejan
constancia que la estudiante Katherine Ninoshka Labarrera Mondaca de la
carrera de Pedagogía en Matemáticas ha aprobado la tesis para optar al título
de Profesor de Matemáticas, con una nota de _____.
_______________________________
Nombre y firma del profesor evaluador
ii
DEDICATORIA
A Dios que me ha otorgado la sabiduría necesaria para la realización de esta
investigación, a mi familia que me ha enseñado a no rendirme y a luchar
siempre por lo que quiero, y a mis seres queridos por su apoyo incondicional.
iii
AGRADECIMIENTOS
A la Doctora María Rosa Bértolo Chanteng por aceptar ser mi Profesora
Patrocinante y por haberme brindado su orientación y sabiduría en el desarrollo
de esta investigación.
A los estudiantes de primero medio de un colegio de Puerto Montt, por darme la
oportunidad de ejercer el estudio de investigación.
Al Profesor de la asignatura de Matemáticas de un colegio de Puerto Montt, por
colaborar con el estudio de investigación.
Y a todas aquellas personas que de alguna manera colaboraron con el término
del estudio de investigación.
iv
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ................................................................................................ 1
CAPÍTULO I ........................................................................................................ 5
Planteamiento del Problema ............................................................................ 5
1.1. Antecedentes del problema ................................................................... 5
1.2. Justificación del problema de investigación ........................................... 7
1.3. Delimitaciones...................................................................................... 10
1.4. Limitaciones ......................................................................................... 10
1.5. Estado del arte ..................................................................................... 10
1.5.1. Estudio sobre el Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de
matemáticas, en la Educación Básica ........................................................ 11
1.5.2. Estudio sobre el Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de
matemáticas, en la Educación Media ......................................................... 11
1.5.3. Estudio sobre el Aprendizaje Cooperativo en las asignaturas de
matemáticas, en los Cursos Superiores ..................................................... 12
1.6. Pregunta de investigación. ................................................................... 13
1.7. Objetivo general. .................................................................................. 13
1.8. Objetivos específicos. .......................................................................... 13
CAPÍTULO II ..................................................................................................... 15
Marco Teórico y Conceptual .......................................................................... 15
2.1. Acercamiento al Aprendizaje Cooperativo. ............................................. 15
2.1.1. Concepto de Aprendizaje Cooperativo ............................................. 15
2.1.2. Características del Aprendizaje Cooperativo .................................... 16
2.2. Teorías sobre el Aprendizaje Cooperativo .............................................. 17
2.2.1. La teoría de la Interdependencia Social ........................................... 17
v
2.2.2. La teoría del desarrollo cognitivo ...................................................... 18
2.2.3. La teoría del Aprendizaje Conductista .............................................. 19
2.3. Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de matemáticas .................... 20
2.3.1. El desarrollo del Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de
matemáticas ............................................................................................... 20
2.3.1.1 Tomar notas cooperativamente en clases ................................... 20
2.3.1.2 Hacer resúmenes cooperativamente en el grupo ........................ 21
2.3.1.3 Leer y explicar cooperativamente en el grupo ............................. 21
2.3.1.4 Ejercitar o repasar la actividad cooperativamente en el grupo .... 22
2.3.1.5 Resolver problemas matemáticos cooperativamente en el grupo 23
2.3.2. Estrategias didácticas del Aprendizaje Cooperativo en la asignatura
de matemáticas .......................................................................................... 24
2.4. El Aprendizaje Cooperativo y la Geometría ............................................ 26
2.4.1. ¿Por qué el Aprendizaje Cooperativo en la enseñanza de la
Geometría en la Educación Media? ........................................................... 26
2.4.2. Técnicas más comunes utilizadas en el Aprendizaje Cooperativo ... 27
2.4.2.1 El rompecabezas ......................................................................... 27
2.4.2.2 Los grupos de investigación ........................................................ 29
2.4.2.3 Torneos de equipos y juegos....................................................... 30
2.4.2.4 Equipos de aprendizaje por divisiones ........................................ 31
2.4.2.5 Equipos de ayuda individualizada ............................................... 33
2.4.2.6 Tutoría entre iguales .................................................................... 34
2.4.2.7 Aprendiendo juntos ...................................................................... 35
2.4.3. Técnica utilizada en la enseñanza de la Geometria, en la Educación
Media.......................................................................................................... 35
2.4.4. Rol del profesor ................................................................................ 36
vi
2.5. Criterios para la composición de grupos de Aprendizaje Cooperativo ... .37
2.5.1. Clasificación de los grupos, conforme a su duración ........................ 37
2.5.1.1 Los grupos formales .................................................................... 37
2.5.1.2 Los grupos informales ................................................................. 38
2.5.1.3 Los grupos de base ..................................................................... 39
2.5.2. Tamaño de los grupos ...................................................................... 39
2.5.3. Clasificación de los grupos, conforme a su distribución ................... 40
2.5.3.1 Grupos formados aleatoriamente ................................................ 40
2.5.3.2 Agrupación natural ...................................................................... 40
2.5.3.3 Agrupamiento impuesto por el profesor ....................................... 41
2.6. Elementos claves para lograr un Aprendizaje Cooperativo .................... 41
2.6.1. Interdependencia positiva ................................................................. 41
2.6.2. Responsabilidad individual y grupal ................................................. 42
2.6.3. Interacción cara a cara o Interacción estimuladora .......................... 42
2.6.4. Aprendizaje de habilidades sociales o Prácticas interpersonales y
grupales imprescindibles ............................................................................ 43
2.6.5. Evaluación grupal ............................................................................. 44
2.7. Fundamentación matemática sobre el concepto de Congruencia de
figuras planas ................................................................................................ 44
2.7.1. Criterios de Congruencia de triángulos ............................................ 44
2.7.1.1 Teorema de congruencia: Angulo-Lado-Angulo .......................... 45
2.7.1.2 Teorema de congruencia: Lado-Angulo-Lado ............................. 45
2.7.1.3 Teorema de congruencia: Lado-Lado-Lado ................................ 46
2.8. Habilidades a desarrollar en el contenido de Congruencia de figuras
planas ............................................................................................................ 46
2.8.1. Habilidades Visuales ........................................................................ 46
vii
2.8.2. Habilidades de Comunicación .......................................................... 47
2.8.3. Habilidades de Dibujo ....................................................................... 47
2.8.4. Habilidades de Razonamiento .......................................................... 48
2.8.5. Habilidades de Aplicación y Transferencia ....................................... 48
CAPÍTULO III .................................................................................................... 49
Metodología ..................................................................................................... 49
3.1. Metodologia elegida ................................................................................ 49
3.2. Paradigmas o pespectivas filosóficas que la sustentan ......................... 51
3.3. Descripción de las técnicas e instrumentos utilizados ........................... 52
3.3.1. La observación participante .............................................................. 53
3.3.2. Diario de campo ............................................................................... 54
3.3.3. La entrevista semi-estructurada al profesor de matemáticas ........... 55
3.3.4. La entrevista no estructurada a estudiantes ..................................... 55
3.4. Criterios de credibilidad utilizados ......................................................... 56
CAPÍTULO IV ................................................................................................... 58
Análisis y discusión de resultados ............................................................... 58
4.1. Descripción de la población ................................................................... 58
4.2. Propuesta didáctica para la enseñanza de la Geometría ...................... 58
4.3. Análisis de la propuesta didáctica .......................................................... 63
4.4. Análisis e interpretación de los datos .................................................... 76
4.4.1. Análisis del contenido de las entrevistas a estudiantes y al profesor
de matemáticas .......................................................................................... 76
4.4.1.1 Representación categorial del análisis de los datos .................... 77
4.5. Triangulación de los datos ..................................................................... 80
4.6. Interpretación de los resultados ............................................................. 80
viii
CAPÍTULO V .................................................................................................... 84
Conclusiones, Aportaciones y Sugerencias ................................................ 84
BIBLIOGRÁFÍA ................................................................................................ 87
ANEXOS ........................................................................................................... 93
Anexo 1: Guía para la entrevista semi-estructurada ...................................... 93
Anexo 2: Guía para la entrevista no estructurada ......................................... 94
Anexo 3: Actividad N°1 .................................................................................. 95
Anexo 4: Actividad N°2 ................................................................................ 101
Anexo 5: Actividad N°3 ................................................................................ 105
Anexo 6: Actividad N°4 ................................................................................ 109
ix
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1: Criterio A-L-A .................................................................................... 45
Figura 2: Criterio L-A-L..................................................................................... 45
Figura 3: Criterio L-L-L ..................................................................................... 46
Figura 4 Distribución de actividades de la secuencia didáctica........................ 59
x
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1: Estrategias didácticas del Aprendizaje Cooperativo. .......................... 24
Tabla 2: Planeación de la unidad didáctica de Congruencia de figuras planas.
......................................................................................................................... .59
Tabla 3: Construcción de figuras planas congruentes, a partir de un Tangram
Chino ................................................................................................................ 63
Tabla 4: Conceptualización de la Congruencia de figuras planas, a través de las
Transformaciones isométricas .......................................................................... 66
Tabla 5: Conceptualización de los Criterios de congruencia de triángulos....... 69
Tabla 6: Conceptualización de la congruencia de figuras planas y de los
criterios de congruencia de triángulos, a partir de situaciones de la vida
cotidiana............................................................................................................ 73
Tabla 7: Análisis de las entrevistas en categorías y en subcategorías ............ 77
Tabla 8: Proceso de enseñanza y aprendizaje de la Geometría ...................... 77
Tabla 9: Metodología de Aprendizaje Cooperativo ........................................... 78
Tabla 10: Actividades para la enseñanza y aprendizaje de la Geometría ........ 78
Tabla 11: Nuevo rol del profesor de matemáticas ............................................ 79
xi
RESUMEN
Esta investigación tiene como propósito el diseño, implementación y valoración de una propuesta didáctica para la enseñanza de la Geometría, mediante el Aprendizaje Cooperativo, con la finalidad de contribuir al desarrollo de las habilidades geométricas en los estudiantes de primero medio de un colegio de Puerto Montt. Con este fin, se tomó uno de los contenidos de las bases curriculares de Matemáticas: “Congruencia de figuras planas”. La planeación de las actividades se dividió en dos partes: Congruencia de figuras planas y Criterios de congruencia de triángulos, las cuales se distribuyeron en 4 actividades. El estudio adoptó una metodología de investigación de naturaleza cualitativa de tipo descriptivo e interpretativo, en donde el investigador participó directamente en su propia investigación. Los sucesos fueron descritos en su medio natural y los fenómenos fueron interpretados de acuerdo con los significados que tuvieron para las personas implicadas. Los principales hallazgos resultantes de la experimentación de la propuesta didáctica, evidencian, los beneficios de la metodología de Aprendizaje Cooperativo, en el desarrollo de las habilidades geométricas y en el rendimiento de los estudiantes, no solo de aquellos más aventajados en la materia, sino también de aquellos que tienen dificultades para aprender. En consecuencia, se espera que este estudio estimule a los profesores y las profesoras de matemáticas a cambiar su tradicional metodología de enseñar geometría por la metodología de aprendizaje cooperativo. Palabras Claves: Propuesta didáctica, Metodología de Aprendizaje Cooperativo, Habilidades geométricas, Congruencia de figuras planas y Educación Media.
xii
ABSTRACT
This research had as purpose the design of a Didactic Proposal for the teaching of the Geometry, through the Cooperative Learning, with the finality of developing the geometric abilities in the students of high school of a college of Puerto Montt. For which one of the contents of the curriculum bases of Mathematics was taken: "Congruence of flat figures". The planning of the activities was divided in two parts: Congruence of flat figures and Criteria of congruence of triangles, which were distributed in four activities. The study adopted a methodology of investigation of qualitative nature of type descriptive and interpretative, in where the researcher participated directly in his own research. The events were described in their natural environment and the phenomena were interpreted according to the meanings they had for the people involved. The main findings of the present investigation, resulting from the experimentation of the didactic proposal, evidence, the benefits of the cooperative learning methodology, in the developing the geometric abilities and in the academic achievement of the students, not only of those most advantaged in the matter, as for those who have difficulty learning. Consequently, it is hoped that this study will stimulate mathematics teachers to change their traditional methodology of teaching geometry by that of cooperative learning methodology.
Keywords: didactic Proposal, Cooperative Learning Methodology, geometric Abilities, Congruence of flat figures and Middle education.
xiii
1
INTRODUCCIÓN
Este trabajo, constituye la tesis de pregrado para la obtención del título de
Profesora de Matemática, en la Sede Puerto Montt de la Universidad Austral de
Chile.
Esta tesis es el resultado de un trabajo de investigación cualitativa de tipo
descriptivo e interpretativo, que tiene como propósito presentar una propuesta
didáctica sobre el proceso a desarrollar en las clases de Matemáticas, para
potenciar las habilidades geométricas, en un entorno de aprendizaje
cooperativo, en la Educación Media. El estudio se realiza en un grupo de
primero medio de un colegio de Puerto Montt, donde la autora realizó su
práctica profesional.
Coincidiendo con Bishop (1983), se define a la Geometría como la Matemática
del espacio y es a través del estudio del espacio físico y de los objetos que el
estudiante accede a las captaciones más abstractas, para luego mediante ese
pensamiento geométrico, establecer imágenes, relaciones y razonamientos
manejables mentalmente.
Asimismo, la geometría es considerada la rama de las matemáticas más
próxima a la realidad, así como, un elemento fundamental en la formación
académica y cultural de las personas, ya que, contribuye en el desarrollo de las
habilidades de: visualización, comunicación, dibujo y construcción, lógicas o
razonamiento, y de aplicación y transferencia.
Consecuentemente, la Geometría es reconocida, en este trabajo, como una
herramienta esencial para comprender, describir e interactuar con el espacio en
qué vivimos, es quizás la parte más intuitiva, concreta y unida a la realidad de
las matemáticas (Blanco y Barrantes, 2003).
2
Dentro de esta perspectiva, los estándares orientadores y textos del estudiante
del MINEDUC, de la Educación Media, establecen el estudio de la Geometría
hacia el desarrollo de habilidades para la exploración, visualización,
argumentación y justificación, evitando la memorización, de modo que, el
estudiante pueda descubrir, aplicar y llegar a conclusiones.
Sin embargo, en la Práctica Profesional, con el grupo de primero medio, de un
colegio de Puerto Montt, se observa que, los preceptos anteriores no se
cumplen. Con frecuencia, se registra que el profesor de Matemáticas subestima
la dificultad que los estudiantes poseen en la adquisición de conocimientos
espaciales propiamente dichos, referente a la tarea de establecer las relaciones
adecuadas entre el espacio y los conceptos geométricos que se aprenden. Por
ejemplo, en las clases de geometría los estudiantes tienden a memorizar los
conceptos y fórmulas que el profesor anota en el pizarrón, por lo que, son
ligeramente olvidados. No desarrollan las habilidades necesarias para
comprender la Geometría.
En este ambiente, se advierte que cuando un estudiante no comprende un
ejercicio de la clase le pide a su compañero que se lo explique, quién de una
manera más fácil y sencilla es capaz de traspasar sus conocimientos,
terminando de resolver el ejercicio en conjunto. Lo que hace presumir que entre
compañeros tienden a ayudarse en la realización de los ejercicios, facilitando
una mayor comprensión de los contenidos y el desarrollo de las habilidades
geométricas de: visualización, comunicación, razonamiento, y de aplicación y
transferencia.
Es así, como surge la idea de utilizar la estrategia de Aprendizaje Cooperativo
para desarrollar las habilidades geométricas, que no se llevan a cabo con el
aprendizaje tradicional, incorporando así, nuevos enfoques, estrategias y tipos
de actividades en la enseñanza de la Geometría.
3
En el estudio documental realizado se encontraron algunos trabajos
relacionados con la utilización del Aprendizaje Cooperativo, tanto en el área de
las matemáticas (Algebra, Estadística y Funciones), como en otras áreas de la
educación (Historia, Lenguaje y Ciencias).
Con la propuesta didáctica que se plantea en este trabajo, se pretende dar
solución a uno de los problemas que enfrenta hoy la Educación Media en Chile,
en relación a la enseñanza y aprendizaje de la Geometría, estimulando a los
profesores de Matemáticas a cambiar sus prácticas educativas, para que sus
estudiantes desarrollen habilidades propias del razonamiento geométrico y para
que encuentren el sentido de los conocimientos que aprenden.
La investigación se estructuró en cinco capítulos de la siguiente manera:
En el capítulo I, se abordan los antecedentes del problema, constituidos
mediante la formulación del problema, la cual da lugar a la importancia del por
qué debemos desarrollar las habilidades geométricas, mediante el Aprendizaje
Cooperativo, con ello justificamos el sentido que persigue la investigación.
Además, exponemos las delimitaciones y las limitaciones del estudio,
Igualmente, describimos las actuales investigaciones relacionadas con estudios
basados en la metodología Aprendizaje Cooperativo, que respaldan la
investigación. Con base en lo anterior definimos la pregunta de investigación, el
objetivo general y los objetivos específicos.
En el capítulo II, se presentan las bases teóricas en las que se fundamenta el
estudio, especialmente aquellas, que argumentan el Aprendizaje Cooperativo,
como un tipo de metodología que permite obtener mayores y mejores
resultados del proceso de enseñanza aprendizaje y los elementos claves, a
tener en cuenta, en el diseño de las actividades, para que la cooperación
funcione. Igualmente, se presenta la fundamentación matemática sobre el
concepto de congruencia de figuras planas y las habilidades a desarrollar en
este contenido.
4
El capítulo III, describe la metodología que se ha seguido para llevar a cabo la
investigación, de carácter cualitativa, basada en la observación directa del
fenómeno, la entrevista semi-estructurada aplicada al profesor de matemáticas,
la entrevista no estructurada aplicada a los estudiantes. También se exponen
los criterios de credibilidad utilizados para validar.
Una vez presentada la metodología de investigación, en el capítulo IV se
analizarán e interpretarán de forma exhaustiva todos los datos recogidos a
través de los instrumentos aplicados y de la aplicación de la propuesta
didáctica, para el desarrollo de las habilidades geométricas, mediante el
Aprendizaje Cooperativo.
En el capítulo V, presentamos las conclusiones a partir del objeto de estudio,
los resultados de la propuesta didáctica y de la triangulación de los datos.
Todas las fuentes bibliográficas directamente consultadas, así como las
referencias citadas, figuran en la Bibliografía, la que ocupa el apartado final de
esta investigación.
En los Anexos, colocados al final en la presentación de este trabajo, se incluyen
los documentos que ayudarán al lector a comprender mejor la elaboración y los
resultados del presente trabajo.
5
CAPÍTULO I Planteamiento del problema
1.1 Antecedentes del problema El problema que aborda este estudio está relacionado con la tendencia actual
sobre la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría en las escuelas de
Educación Media. Se advierte que el estudio de la geometría presenta algunas
dificultades en su desarrollo formal, debido, esencialmente, a las concepciones
y creencias de los estudiantes y de los profesores, manifestadas en la sala de
clases.
De modo general, se observa que la tendencia actual de la enseñanza de la
Geometría es la memorización de conceptos y propiedades, que muchas veces
no son comprendidos por todos los estudiantes. Asimismo, el profesor no se
detiene en el estudio de aspectos y propiedades geométricas, sino que va
directo al desarrollo de actividades de cálculos de ángulos, lados, triángulos,
áreas y volúmenes, porque, en sus clases, se siente incapaz de diseñar una
tarea para que los estudiantes sostengan la validez de una afirmación o
conjetura mediante la explicación y la prueba para finalmente hacer la
demostración.
De acuerdo con Barrantes y Blanco (2004), los profesores de matemáticas
planifican sus clases y aplican la misma metodología que experimentaron en su
formación y que se ha cultivado en el ejercicio de la docencia. Por consiguiente,
muchas veces esa vivencia personal le impide llevar a cabo otra experiencia de
aprendizaje, que guíe al estudiante al descubrimiento de la Geometría como
generadora de conocimiento.
6
(…) nuestro estudio nos muestra, a pesar de los esfuerzos de los
investigadores por presentar nuevos métodos, recursos o
materiales sobre enseñanza de la geometría, que muchos
estudiantes siguen llegando a las facultades con las mismas
experiencias, falta de conocimientos y concepciones sobre la
geometría y su enseñanza que hace unos años, lo que indica que
se sigue enseñando igual que antes de tales reformas. (Barrantes y
Blanco, 2004, p. 249)
De acuerdo con estos autores, la forma tradicional de enseñar geometría se ha
ido comunicando a través de distintas generaciones de profesores de
matemáticas. Es una larga cadena que no se ha podido romper, debido,
esencialmente, al no desarrollo de habilidades relacionadas con el saber hacer,
de éstos, que permita la exploración de nuevas formas de enseñanza de la
geometría a partir de lo ya conocido.
Según estos mismos autores, esto ha provocado, que los profesores en las
clases de Matemáticas se inclinen hacia aquellos temas considerados más
asequibles y también, según su opinión personal, más importantes para la
enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas, por lo que, algunos temas de
geometría se ven relegados, al ser considerados más complejos o poco
importantes.
Ante esta situación y a la realidad que se manifiesta en las clases: los
estudiantes con dificultad, por voluntad propia y por instinto, piden ayuda a otros
estudiantes, que son más capaces, resolviendo entre todos la tarea asignada
por el profesor. Es así, que se decide diseñar, implementar y aplicar una serie
de actividades, utilizando la metodología del Aprendizaje Cooperativo, para
comprobar su efectividad en la enseñanza de los conceptos geométricos, en el
aprovechamiento académico de los estudiantes de primero medio en un colegio
particular subvencionado de la Región de los Lagos.
7
En este centro educacional, la mayoría de los estudiantes provienen de otros
establecimientos, por ende, existe una gran diferencia entre los conocimientos
previos de geometría en cada uno de ellos. Sólo el 50% de los estudiantes
posee un buen rendimiento escolar.
La metodología del Aprendizaje Cooperativo, parte de la concepción
constructivista del aprendizaje basada en que los conocimientos construidos por
los propios estudiantes son realmente operativos, duraderos y generalizables a
diferentes contextos. En cambio, los conocimientos que simplemente se
transmiten a los estudiantes, no construidos por ellos, no quedan integrados en
sus estructuras lógicas y sólo pueden aplicarlos en situaciones similares a las
del aprendizaje.
1.2 Justificación del problema de investigación
En esta justificación del problema, argumentaremos desde tres puntos de vista:
Didáctico, Social y Educacional, la implementación de la metodología de
Aprendizaje Cooperativo, en la enseñanza del contenido de “Congruencia de
figuras planas”, correspondiente a la unidad de Geometría.
Atendiendo a Gavilán (1999), el Aprendizaje Cooperativo, contribuye a que los
estudiantes mejoren su nivel de razonamiento, generen ideas nuevas,
desarrollen la creatividad y el pensamiento crítico. Para lo cual, Johnson (1991),
propone asignar a los estudiantes roles específicos que los ayuden a participar
en la actividad. Evitando que el trabajo lo realice sólo una persona.
Siguiendo los autores anteriores, en la enseñanza y el aprendizaje de la
Geometría, el Aprendizaje Cooperativo facilita las habilidades de visualización,
de dibujo, de comunicación, de razonamiento lógico y de transferencia, que son
difíciles de fortalecer con la metodología tradicional. Sin embargo, es necesario
8
mencionar que, se debe ser muy cauteloso en la utilización de esta
metodología, pues debe estar sometida a actividades que realmente conduzcan
a un aprendizaje adecuado de los contenidos geométricos y al desarrollo de las
habilidades geométricas mencionadas.
Desde el punto de vista social, el Aprendizaje Cooperativo permite que los
estudiantes se sientan más a gusto y sean más participativos en las clases de
Geometría, con más confianza en sí mismos y en sus compañeros. Ello se
debe, en palabras de Olsen y Kagan (1992), citado en Richards y Rodgers
(2003: 189) a que el aprendizaje cooperativo propone una manera distinta de
organizar la enseñanza, se fundamenta en la realización de una actividad en
grupo, orientada de manera que a cada estudiante se le considere responsable
de su propio aprendizaje y se le motiva para aumentar el aprendizaje de los
demás.
En este escenario, el Aprendizaje Cooperativo es considerado una metodología
didáctica, porque busca la consolidación de los procesos de aprendizaje, con la
ayuda de materiales y recursos; y consigue un aprendizaje de calidad, a través
de procesos mediados, interactivos y colaborativos entre los estudiantes.
Lo que distingue a esta metodología, de las otras utilizadas en la clase de
Geometría, es que se apoya, en la riqueza, que supone la heterogeneidad de
los estudiantes, y en la ayuda, que se prestan los unos a los otros, para la
comprensión, razonamiento y visualización de los contenidos.
La valoración del Aprendizaje Cooperativo desde el punto de vista educacional,
descansa en las investigaciones de Piaget, en torno al papel de la actividad y
de la interacción social en el desarrollo intelectual. Dichas investigaciones lo
convirtieron en un defensor del trabajo en equipos (Piaget, 1969). Y al socio-
9
constructivismo de Vigotsky, que contempla el aprendizaje como el resultado de
la participación en las prácticas de una determinada comunidad y cuya
influencia se ha mantenido vigente hasta nuestros días (Vygotsky, 1962).
Asimismo, existe un claro consenso, entre investigadores e innovadores,
respecto a la importancia de las estrategias cooperativas para contribuir a crear
un buen clima de aula y a mejorar el aprendizaje en cualquier tipo de tarea o
contenido de enseñanza, independientemente del nivel escolar. Ellas son:
En el Aprendizaje Cooperativo se dan cuatro componentes básicos:
procesos cognitivos, efectivos, metacognitivos y sociales.
Aprender de forma cooperativa, proporciona instrumentos cognitivos
útiles para conocer nuevas estrategias y habilidades. Sobre todo para
tareas que impliquen adquisición de conceptos, solución de problemas
especiales, retención y memoria.
La cooperación fomenta la productividad y el rendimiento,
consiguiéndose en las estrategias de razonamiento una calidad bastante
alta.
El Aprendizaje Cooperativo, proporciona medios muy adecuados para
tratar en el aula el tema de la diversidad de estudiantes.
Es así como en el aula escolar, especialmente en las clases de Geometría, el
trabajo cooperativo es un instrumento imprescindible para lograr aprendizajes
significativos y un creciente interés por las materias estudiadas.
10
1.3 Delimitaciones
La delimitación espacial de la investigación se circunscribe en el único curso de
primero medio, con un total de 30 estudiantes, de un colegio de Puerto Montt,
Región de los Lagos. Es el colegio donde la autora realizó su práctica
profesional.
En cuanto a la delimitación temporal, el estudio se llevó a cabo en el segundo
semestre escolar, en la unidad de geometría, utilizando el contenido de
Congruencia de figuras planas.
1.4 Limitaciones
A continuación se presentan las limitaciones que se encontraron durante el
desarrollo de la investigación:
- En un inicio no todos los estudiantes estaban dispuestos a participar en
las secuencias didácticas. No tenían interés por aprender Geometría.
Muchos no la entendían. Hubo que hacer un plan de motivación previo a
las actividades.
- Poco tiempo para la aplicación de las actividades de la propuesta. Esta
limitación restringió la participación activa y cooperativa de todos los
miembros de los grupos.
- Falta de conocimientos geométricos previos, por parte de los
estudiantes.
1.5 Estado del arte
En la búsqueda de estudios sobre la aplicación de la metodología didáctica del
Aprendizaje Cooperativo en Geometría, se han encontrado las siguientes
investigaciones.
11
1.5.1 Estudio sobre el Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de matemáticas, en la Educación Básica
La propuesta de Terán y Pachano (2009), titulada “El Trabajo Cooperativo en la
Búsqueda de Aprendizajes Significativos en la Clase de Matemáticas en la
Educación Básica”, tiene como objetivo general analizar las características de
las estrategias basadas en el trabajo cooperativo, a fin de promover
aprendizajes significativos en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas en la Educación Básica.
Se realizó en un curso de sexto básico, seleccionando la investigación-acción, a
modo de, favorecer el análisis cualitativo en la interpretación de los resultados.
Se diseñaron actividades basadas en el trabajo cooperativo, tomando en cuenta
las cuatro áreas de las matemáticas (Aritmética, Algebra, Geometría y
Estadística).
Las actividades ejecutadas generaron un clima social positivo en el aula,
fomentando la interacción entre el docente y los estudiantes, basada en el
compañerismo y la solidaridad. Los aprendizajes significativos se generaron
como producto de la interacción, de la participación, del trabajo en equipo, de la
motivación, de la creatividad de los estudiantes y de la contextualización del
contenido.
1.5.2 Estudio sobre el Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de matemáticas, en la Educación Media
La propuesta de López (2012), titulada “Aprendizaje Cooperativo con
Actividades Motivadoras en Matemáticas”, la que plantea la utilización de
actividades didácticas, tales como, los juegos, los problemas de ingenio o las
12
actividades TIC. Para despertar el interés de los estudiantes por trabajar en la
asignatura de matemáticas.
Se realizó en un curso de primero medio, abordando la unidad de Estadística y
Probabilidad. Todas las actividades tuvieron la función que se esperaba, los
estudiantes estaban motivados y mostraban mucho interés durante todas las
clases, lo cual se reflejo en los resultados de la prueba escrita que realizaron,
ya que, todos los estudiantes mejoraron su calificación después de trabajar en
grupo.
1.5.3 Estudio sobre el Aprendizaje cooperativo en las asignaturas de matemáticas, en los Cursos Superiores
La investigación de Velasco y Domínguez (2007), titulada “El Aprendizaje
Cooperativo en las Asignaturas de Matemáticas”, tiene como objetivo motivar a
los estudiantes en el estudio de las matemáticas, justificando la necesidad de la
asignatura en el currículo de las titulaciones.
Para su estudio se tomaron dos asignaturas: Algebra Lineal y Análisis
Matemático. Ambos se imparten en el curso de titulación de Ingeniería en
Informática Técnica de Sistemas. A estas asignaturas se les realizaron 4
actividades, mediante el aprendizaje cooperativo. Se trató de medir no sólo la
capacidad de resolución de los problemas de forma grupal, sino también los
conocimientos individuales a través de una prueba objetiva individual.
La realización de esta investigación, produjo una disminución en los abandonos
de la asignatura y en la falta de asistencia a clases. En cuanto a la metodología
empleada, tanto en la asignatura de Álgebra Lineal como en la de Análisis
Matemático, el hecho de dividir la asignatura en grupos y realizar actividades en
cada uno de ellos, permite una retroalimentación continua con el estudiante
13
que ayuda a localizar los errores e intentar subsanarlos en la siguiente
actividad.
1.6 Pregunta de investigación
Los argumentos anteriores constituyen la problemática de la investigación, la
que se define, mediante la siguiente pregunta:
¿Cómo influye el Aprendizaje Cooperativo en el desarrollo de las habilidades
geométricas en los estudiantes de primero medio de un colegio de Puerto
Montt?
1.7 Objetivo general Diseñar una propuesta didáctica para la enseñanza de la Geometría, mediante
el Aprendizaje Cooperativo, con la finalidad de contribuir al desarrollo de las
habilidades geométricas en los estudiantes, de primero medio, de un colegio de
Puerto Montt.
1.8 Objetivos específicos
Identificar los antecedentes teóricos y la tendencia actual respecto al
desarrollo de las habilidades geométricas en los estudiantes de primer
año de la Educación Media.
Determinar las habilidades geométricas a desarrollar en los estudiantes
de primero medio, en el contenido de Congruencia de figuras planas.
Determinar las técnicas y estrategias de enseñanza y aprendizaje que
predominan en el Aprendizaje Cooperativo, que permiten el desarrollo de
las habilidades geométricas en los estudiantes de primero medio.
Elaborar la secuencia de las actividades de la propuesta didáctica, para
la enseñanza de la Geometría, mediante el Aprendizaje Cooperativo.
14
Analizar la aplicación de la propuesta didáctica, para el desarrollo de las
habilidades Geométricas, mediante el Aprendizaje Cooperativo, en los
estudiantes, de primero medio, de un colegio de Puerto Montt.
15
CAPÍTULO II
Marco Teórico y Conceptual
En este capítulo se presenta el Aprendizaje Cooperativo como la metodología
que facilita que el contenido de la clase sea parte del diseño y de la
organización del aprendizaje, de modo que, favorezca el desarrollo de las
habilidades geométricas de los estudiantes.
2.1 Acercamiento al Aprendizaje Cooperativo
2.1.1 Concepto de Aprendizaje Cooperativo Para Johnson (1999), el Aprendizaje Cooperativo no es más que organizar las
tareas de una forma sistemática para que las realicen en pequeños grupos de
estudiantes. Es una propuesta metodológica bastante novedosa en la cual la
responsabilidad del éxito del proceso de enseñanza y aprendizaje no se centra
exclusivamente en la labor del profesor, sino en el conjunto profesor –
estudiantes. Se aprende de una forma más sólida cuando las interacciones y
las ayudas mutuas entre los alumnos y el profesorado suceden de una manera
continuada.
En esta modalidad de trabajo las actividades que se proponen fomentan el
respeto mutuo entre los compañeros, el aprender a escuchar, a respetar las
opiniones de otros, a ser educado y ser capaz de defender sus propias ideas
utilizando argumentos sólidos. Las actividades de aprendizaje no pueden
realizarse correctamente sin la colaboración de los compañeros. No se puede
tener éxito si los compañeros no lo tienen. El éxito propio está vinculado al éxito
del resto de los miembros del grupo.
16
Para Hassard (1990), el Aprendizaje Cooperativo es un abordaje de la
enseñanza en el que los grupos de estudiantes trabajan juntos para resolver
problemas y para determinar tareas de aprendizaje.
Continuando en esta línea, Kagan (1999), plantea que el Aprendizaje
Cooperativo se refiere a una serie de estrategias instruccionales que incluyen a
la interacción cooperativa de estudiante a estudiante, sobre algún tema, como
una parte integral del proceso de aprendizaje.
Para los efectos de este trabajo de investigación, el Aprendizaje Cooperativo es
considerado, una metodología muy eficaz, para trabajar los distintos niveles,
ritmos y estilos de aprendizaje de cada uno de los estudiantes. Se basa en el
trabajo en pequeños grupos, generalmente heterogéneos, en los que el
alumnado trabaja de forma conjunta, para como plantean Johnson, Johnson &
Holubec (1998, p, 1:3), maximizar su propio aprendizaje y el del resto del grupo.
2.1.2 Características del Aprendizaje Cooperativo
Para que exista un Aprendizaje Cooperativo, hay ciertas características que los
miembros de cada grupo deben asumir. Las cuales están planteadas a
continuación:
El objetivo es maximizar el aprendizaje de todos los miembros del grupo,
esto los motiva a esforzarse y obtener resultados que superan la
capacidad individual de cada uno.
Cada miembro asume su responsabilidad y hace responsables a los
demás de realizar un buen trabajo en equipo para conseguir los objetivos
comunes.
17
A los miembros del grupo se les enseñan habilidades de relación
interpersonal y se espera que las utilicen para coordinar el trabajo y así
alcanzar los objetivos.
Los grupos analizan con qué eficacia han conseguido los objetivos, en
qué medida han trabajado juntos. El grupo es más que la suma de sus
partes y todos trabajan mejor que si lo hubieran hecho solos.
2.2 Teorías sobre el Aprendizaje Cooperativo
El Aprendizaje Cooperativo está sustentado por tres categorías esencialmente:
Interdependencia social, Desarrollo cognitivo y Aprendizaje conductista.
2.2.1 La teoría de la Interdependencia Social
Esta teoría plantea que la interactuación de los miembros del grupo depende de
cómo se estructura la interdependencia social. Si la interdependencia es
positiva (cooperación), se dará una interacción promovedora, es decir, los
esfuerzos de cada uno de los miembros del grupo por aprender serán mayores.
Por el contario, si la interdependencia es negativa (competencia), la interacción
será de oposición, obstaculizando al resto de los miembros del grupo a
alcanzar las metas. Por otro lado, si no existe interdependencia (esfuerzos
individualistas), no existe interacción. El trabajo se realiza independientemente
sin ningún tipo de intercambio con nadie.
Es así que, la interacción con interdependencia positiva es la teoría que
demanda el Aprendizaje Cooperativo, ya que aumenta los esfuerzos hacia el
logro, promueve relaciones interpersonales positivas y conduce a una salud
emocional de los miembros del grupo.
18
Para el caso de este trabajo, esta teoría contribuye a la comprensión de los
conceptos geométricos y al desarrollo de la habilidad de Comunicación. Se
establece una relación más cercana y comunicativa entre los estudiantes, a la
existente entre el profesor y los estudiantes, propiciando que en el grupo se
distinga la naturaleza de la falta de comprensión de alguno de los miembros del
grupo en la clase de geometría. En esta situación, un estudiante explica
nuevamente con un enfoque diferente el concepto o aclara determinado
procedimiento, demostración, entre otros, apoyando el progreso del aprendizaje
del grupo. O sea se aprende Geometría en conjunto y no como de manera
individual, siendo esta la base del Aprendizaje Cooperativo.
A nivel teórico, los profesionales de la educación, lo ven factible y deseable,
pero a nivel práctico y metodológico surgen multitud de dificultades y
contradicciones sobre el cómo hacerlo.
2.2.2 La teoría del desarrollo cognitivo
La teoría del desarrollo cognitivo se basa fundamentalmente en las teorías de
Piaget (1965) y Vygotsky (1962), que subrayan el papel esencial de la
interacción social en el aprendizaje.
Para Piaget las experiencias de aprendizaje deben estructurarse de manera
que se privilegie la cooperación, la colaboración y el intercambio de puntos de
vista en la búsqueda conjunta del conocimiento.
Vygotsky tiene una mirada epistemológica no muy lejana de Piaget, pero
agrega que, también influye la actividad del grupo humano, cultural al que
pertenece, que hay que hablar. Le otorga al lenguaje una gran significación,
pues permite al sujeto actuar sobre la realidad, a través de otros y lo pone en
19
contacto con el pensamiento de los demás, la cultura, que influyen
recíprocamente con él.
A partir de la mirada de los autores mencionados, en nuestro caso particular,
esta teoría cobra un significado muy revelador. La interacción entre los
estudiantes, el profesor de matemática producto del trabajo en grupo y la
prevalencia de un clima positivo en el aula, permite demostrar distintas formas
de afrontar una misma situación problema, construir el conocimiento geométrico
a través de las concepciones y de las experiencias previas de los estudiantes y
de la cooperación de todos los miembros del grupo. Este intercambio de
conocimientos no solo enriquece a los estudiantes, sino también posibilita un
mayor desarrollo cognitivo referente a la percepción visual para el logro de una
conveniente percepción espacial.
2.2.3 La teoría del Aprendizaje Conductista
En esta teoría el profesor toma el rol de guía y su rol no es predeterminar las
estrategias de aprendizaje, sino de concebir ambientes de aprendizaje que
sostengan, estimulen y pongan al estudiante un desafío en su proceso de
aprendizaje. En la búsqueda de estos ambientes de aprendizaje, surge el
Aprendizaje Cooperativo que está diseñado para proveer incentivos a los
estudiantes, y mantiene que los esfuerzos cooperativos tienen el poder de la
motivación extrínseca para lograr un aprendizaje significativo.
Desde esta perspectiva, en la enseñanza de la Geometría es necesario una
correcta organización y secuenciación de las actividades de la clase. El profesor
de matemáticas debe focalizar estas actividades en torno al desarrollo mental
del estudiante para que éste comprenda lo que hace y por qué lo hace y para
qué tenga consciencia del proceso que está realizando. Por consiguiente, el
20
desarrollo de las habilidades geométricas de razonamiento, aplicación y
transferencia.
2.3 Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de matemáticas
2.3.1 El desarrollo del Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de Matemáticas
Es primordial en el Aprendizaje Cooperativo, dividir la clase en pares o grupos
de trabajo, y planificar las actividades, de modo que, todos los miembros en
conjunto sean capaces de tomar notas, hacer resúmenes, leer y explicar,
redactar y corregir, ejercitar o repasar las actividades y resolver problemas
matemáticos. A continuación, se explica cómo poner en práctica cada uno de
estos fundamentos en la sala de clases.
2.3.1.1 Tomar notas cooperativamente en la sala de clases
Para los estudiantes, es muy conveniente aprender a tomar apuntes y
repasarlos de un modo más provechoso. El profesor puede ayudarlos haciendo
que tomen notas de a pares. Aproximadamente cada 10 minutos, durante una
clase, el profesor se detendrá y hará que los pares de estudiantes comparen las
notas que han tomado. Les indicará a los miembros de cada par que deben
tomar algo de las notas de su compañero para mejorar las propias.
El objetivo cooperativo es que ambos estudiantes produzcan un cuerpo
completo de notas precisas, que les permitirán aprender y repasar la materia
vista en clases.
21
2.3.1.2 Hacer resúmenes cooperativamente en el grupo
Para que todos los estudiantes aprendan activamente, el profesor hará que
todos contesten preguntas sobre el contenido al mismo tiempo, empleando los
procedimientos de formular, comentar, escuchar y crear.
En este procedimiento, los estudiantes formulan una respuesta a una pregunta
que les exige resumir lo que se ha tratado en la clase. Cada estudiante se
vuelve entonces hacia un compañero que esté cerca de él para intercambiar
respuestas y razonamientos. Cada uno escucha atentamente la explicación del
otro y luego el par elabora una nueva respuesta, superior a las formuladas
inicialmente, a través de los procesos de asociar, desarrollar y sintetizar las
ideas de cada uno.
La tarea de los estudiantes es explicarle sus respuestas y razonamientos a un
compañero, y ejercitar la destreza de explicar. La meta cooperativa es elaborar
una respuesta conjunta que ambos miembros aprueben y puedan explicar. El
rol del profesor es supervisar a los pares y ayudar a los estudiantes a seguir el
procedimiento. Para verificar la responsabilidad individual, el profesor puede
pedirles a varios estudiantes, elegidos al azar, que expliquen la respuesta
conjunta que elaboraron con sus compañeros.
2.3.1.3 Leer y explicar cooperativamente en el grupo
Se les solicita a los estudiantes que lean un texto y que lo resuman. El criterio
empleado para evaluar la tarea es que ambos miembros deben ser capaces de
explicar correctamente el significado del contenido tratado.
22
La meta cooperativa es que ambos miembros concuerden acerca del
significado del texto, formulen un resumen en conjunto y que sean capaces de
explicar su respuesta.
Durante la clase, el profesor supervisará sistemáticamente a cada par y
ayudará a los estudiantes a seguir el procedimiento. Para verificar la
responsabilidad individual, les pedirá a algunos estudiantes, elegidos al azar,
que resuman lo que han leído hasta ese momento. Hay que recordarles a los
estudiantes que los grupos deben cooperar unos con otros: cuando sea
necesario, cotejarán sus procedimientos, respuestas y estrategias con otro
grupo, si terminan antes, compararán y comentarán sus respuestas con las de
otro par.
2.3.1.4 Ejercitar o repasar la actividad cooperativamente en el grupo
En ciertos momentos, durante una actividad, el profesor querrá que los
estudiantes repasen lo que han aprendido y que ejerciten lo que han visto
durante la clase, para asegurarse de que lo saben a la perfección. En estas
ocasiones, el Aprendizaje Cooperativo es indispensable. Para la realización de
esto, el profesor les indicará a cada par que hagan lo siguiente:
El estudiante A lee el primer problema asignado y explica, paso a paso,
los procedimientos y estrategias necesarias para resolverlo, mientras
que, el estudiante B verifica que la solución sea correcta, además
promueve y orienta la actividad del par.
Los estudiantes A y B intercambian sus roles para abordar el segundo
problema.
23
Cuando el par resuelve dos problemas, verifican sus respuestas con el
otro par de estudiantes. Si hay discrepancias, deben analizar sus
razonamientos y llegar a un consenso.
El procedimiento prosigue hasta que los estudiantes resuelven todos los
problemas asignados.
Para verificar la responsabilidad individual, el profesor les puede pedir a
algunos estudiantes, elegidos al azar, que expliquen cómo resolver uno de los
problemas propuestos.
2.3.1.5 Resolver problemas matemáticos cooperativamente en el grupo
La práctica de resolver problemas matemáticos en grupos de Aprendizaje
Cooperativo promueve la resolución productiva de problemas, pues les permite
a los estudiantes poner continuamente a prueba sus ideas, así como obtener y
brindar retroalimentación.
Para lograr lo mencionado anteriormente, los miembros del grupo deben
entender que su objetivo común es resolver un problema, ponerse de acuerdo
en la respuesta y ser capaces de explicar cada paso que dieron para resolverlo.
Tras analizar y acordar los métodos para resolver el problema, los miembros del
grupo harán los cálculos, explicando los fundamentos de cada paso y
verificando los resultados. El profesor puede asignar roles y rotarlos después de
cada paso, para facilitar el proceso.
Por último, los grupos analizarán la eficacia con que trabajaron juntos
(enumerando las acciones concretas que condujeron al resultado obtenido),
24
planificarán sus futuras conductas para mejorar el proceso de resolver
problemas, se agradecerán unos a otros por la ayuda prestada y festejarán su
buen rendimiento.
2.3.2 Estrategias didácticas del Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de Matemáticas
Para implementar el Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de matemáticas,
es necesario considerar ciertas estrategias, las que se disponen a continuación,
en la tabla 1.
Tabla 1:
Estrategias didácticas del Aprendizaje Cooperativo
MOMENTO ESTRATEGIA PUNTOS CLAVES
Ambiente favorable para aprender matemáticas. ¿Cómo captar la atención de los estudiantes en la clase de matemáticas?
1. Lluvia de ideas. 2. Preguntas son
preguntas. 3. Problemas son
problemas.
1. Todas las ideas que el estudiante tenga sobre el contenido son bien recibidas.
2. Se le pregunta a cada estudiante o al grupo sobre el contenido tratado.
3. Dar uno o dos problemas relacionados con el contenido tratado.
La orientación para la comprensión de los estudiantes. ¿Cómo ayudar a que los estudiantes comprendan los contenidos matemáticos?
1. Tomar apuntes.
2. Resumir.
1. Los estudiantes deben prestar atención a la clase para poder distinguir, analizar y sintetizar lo más importante.
2. El resumen puede ser textual o usando nuestras propias palabras. Para ello hay que seleccionar lo relevante y significativo. Hay que referirse utilizando términos o frases breves. .
La recapitulación de lo que se aprende. ¿Cómo ayudar a los estudiantes a
1. Exponer, y preguntar.
1. A modo de recapitular todo lo visto en clases, se opta por hacer preguntas a los grupos de estudiantes, algunas sugerencias son: - Seleccionar las preguntas previamente. - Plantear la pregunta al grupo.
25
almacenar la información?
2. Inventario de
lo aprendido en clases.
- Solicitar la respuesta, si es necesario se repite la pregunta.
- Exponerla con claridad y entonación adecuada. - Solicitar la respuesta de un estudiante que
muestre estar en condiciones de responder. - De no darse la respuesta correcta, buscar algo
que podamos retomar de la respuesta que nos dé el estudiante.
- En ningún momento debemos poner en evidencia el desconocimiento de algún estudiante.
2. Al finalizar el contenido o la unidad, se puede realizar un inventario de lo aprendido en clases. ¿Qué he aprendido?, ¿Para qué me puede servir?
La evaluación de los aprendizajes. ¿Cómo ayudar a los estudiantes a reconocer sus logros?
1. Calificación compartida.
2. Reflexión
grupal.
1. Ya sea en números del 1 al 7. Los miembros del grupo evalúan su desempeño, estableciendo la nota que se merecen por el trabajo realizado en la sala de clases. Lo anterior, se perfecciona cuando el maestro previamente establece indicadores mínimos que se deben tener presentes y que guían al equipo a reflexionar y a evaluar su trabajo en equipo.
2. Consiste en dedicar un momento, cada cierto tiempo al finalizar la sesión de trabajo, a que el grupo exprese cuales fueron las condiciones que favorecieron o que interfirieron en el cumplimiento de la tarea, de los objetivos, con el fin de que cada quien tome las medidas pertinentes para facilitar, en el futuro, el aprendizaje grupal.
La interdependencia social positiva. ¿Cómo ayudar al estudiante a expresar en su grupo de una manera creativa lo aprendido?
1. La enseñanza recíproca.
2. La asesoría.
1. Consiste en que dos alumnos, seleccionados preferentemente al azar, se sienten con las sillas encontradas, de tal forma, que el hombro derecho de uno coincida con el hombro derecho del otro. Favoreciendo el intercambio para procesar la información de la siguiente forma: - Previamente se debe acordar, quién inicia y
hasta qué lugar del texto lee, mientras que el otro escucha.
- Luego, el que escucha después lee y enseña. Así hasta terminar el texto.
- Deben hacer anotaciones o subrayar mientras leen y escuchan, ya que, al final se le solicitarán estás anotaciones.
2. Un estudiante que maneje el contenido, le enseña a otro que necesite de su ayuda, debe ser una acción intencional y sistemática.
Nota. Fuente: Elaboración propia (2016).
26
2.4 El Aprendizaje Cooperativo y la Geometría
2.4.1 ¿Por qué el Aprendizaje Cooperativo en la enseñanza de la geometría en la Educación Media?
Muchas de las limitaciones que nuestros estudiantes de Educación Media
manifiestan sobre su comprensión acerca de temas de la Geometría se deben
al tipo de enseñanza que han tenido. Asimismo, el tipo de enseñanza que
emplea el profesor depende, en gran medida, de las concepciones que él tiene
sobre lo que es Geometría, cómo se aprende y para qué se enseña.
Es importante reflexionar, sobre las razones para enseñar Geometría. Si el
profesor tiene claro el por qué, estará en condiciones de tomar decisiones más
acertadas acerca de su enseñanza.
Respecto a lo anterior, se propone insertar la metodología de Aprendizaje
Cooperativo en la enseñanza de la Geometría, a modo de llevar a cabo
diferentes actividades en las que se trabaje el desarrollo de las habilidades
geométricas de los estudiantes. Puesto que al realizar actividades
cooperativas, los estudiantes establecen metas que son benéficas para sí
mismos y para los demás miembros del grupo, buscando así maximizar tanto su
aprendizaje como el de los demás. Cabe mencionar que, el trabajo en grupos
tiene efectos positivos en el rendimiento académico de sus integrantes, así
como en las relaciones sociales que se establecen entre ellos.
Se usa el Aprendizaje Cooperativo como estrategia para disminuir la
dependencia de los estudiantes hacia sus profesores y aumentar la
responsabilidad de los estudiantes por su propio aprendizaje.
El uso de material concreto cobra particular importancia en la realización de un
Aprendizaje Cooperativo en la enseñanza de la Geometría en Educación Media,
27
puesto que se constituye en un primer acercamiento hacia los diferentes grados
de abstracción que se espera que los estudiantes alcancen; sin embargo, es
necesario mencionar que se debe ser muy cauteloso en la utilización de este
material, pues debe estar supeditada a actividades que realmente conduzcan
aprendizaje adecuado de los contenidos geométricos y al desarrollo de las
habilidades geométricas.
El uso de material concreto, por sí mismo, no garantiza un aprendizaje
significativo, se requiere que el profesor tenga un propósito específico para que
la actividad que realice el alumno lo conduzca al desarrollo de una habilidad y al
aprendizaje de la Geometría.
2.4.2 Técnicas más comunes utilizadas en el Aprendizaje Cooperativo Dentro del aprendizaje cooperativo, podemos hablar de algunas técnicas
instructivas, sistemáticas y estructuradas que se pueden utilizar en cualquier
nivel educativo. En este apartado presentaremos algunas de las más
conocidas.
2.4.2.1 El rompecabezas: Jigsaw
Uno de los primeros métodos de Aprendizaje Cooperativo que se creó fue el
Jigsaw de Aronson (1978), cuya finalidad es la de poner a los estudiantes en
situación de interdependencia extrema, creando las condiciones necesarias
para que el trabajo de cada integrante del grupo sea absolutamente
imprescindible en el desarrollo de la actividad.
En esta técnica los estudiantes, se dividen en grupos de tres a seis integrantes
heterogéneos, en cuanto a sexo, capacidad y factores de personalidad para
trabajar sobre un material común para todos los grupos de la clase.
28
El material objeto de estudio se fracciona en tantas partes como integrantes
tiene el equipo, de manera que, cada uno de sus integrantes recibe un
fragmento de la información del tema que, en su conjunto, están estudiando
todos los grupos, y no recibe la que se ha puesto a disposición de sus
compañeros para preparar su propio “subtema”. Cada integrante del grupo
prepara su parte a partir de la información que le facilita el profesor o la que él
ha podido buscar.
Después, con los integrantes de los otros grupos que han estudiado el mismo
subtema, forma un “grupo de expertos”, donde intercambian la información,
ahondan en los conceptos claves, construyen esquemas y mapas conceptuales,
clarifican las dudas planteadas, etc.; podríamos decir que llegan a ser expertos
de su sección. A continuación, cada uno de ellos retorna a su equipo de origen
y se responsabiliza de explicar al grupo la parte que él ha preparado.
Así pues, todos los alumnos se necesitan unos a otros y se ven "obligados" a
cooperar, porque cada uno de ellos dispone sólo de una pieza del
rompecabezas y sus compañeros de equipo tienen las otras, imprescindibles
para culminar con éxito la tarea propuesta: el dominio global de un tema objeto
de estudio previamente fragmentado.
Algunas investigaciones (Aronson & Osherow, 1980), muestran que estas
técnicas en las que todos los estudiantes dependen de sus compañeros para
tener toda la información, provoca un aumento de la autoestima y una mejora
en su rendimiento, manifestando un mayor interés por los estudios y actividades
escolares.
29
2.4.2.2 Los grupos de investigación: Group Investigation
Este método fue diseñado por Sharan y Sharan (1976). Los grupos de trabajo
oscilan entre dos y seis estudiantes que investigan sobre un tema concreto para
poder presentar un informe grupal que se presenta a todos los compañeros de
la clase. Los pasos a seguir son:
Elección y distribución de subtemas: Los estudiantes eligen, según sus
aptitudes o intereses, subtemas específicos dentro de un tema o
problema general, normalmente planteado por el profesor en función de
la programación.
Constitución de grupos dentro de la clase: La libre elección del grupo por
parte de los estudiantes puede condicionar su heterogeneidad, que
debemos intentar respetar al máximo.
Planificación del estudio del subtema: Los estudiantes y el profesor
planifican los objetivos concretos que se proponen y los procedimientos
que utilizarán para alcanzarlos, al tiempo que distribuyen las tareas a
realizar.
Desarrollo del plan: Los estudiantes desarrollan el plan descrito. El
profesor sigue el progreso de cada grupo y les ofrece su ayuda.
Análisis y síntesis: Los estudiantes analizan y evalúan la información
obtenida. La resumen y la presentarán al resto de la clase.
Presentación del trabajo: Una vez expuesto, se plantean preguntas y se
responde a las posibles dudas o ampliaciones que puedan surgir.
Evaluación: El profesor y los estudiantes realizan conjuntamente la
evaluación del trabajo en grupo y la exposición. Puede completarse con
una evaluación individual.
La estructura de esta técnica facilita que “cada integrante del grupo pueda
participar y desarrollar aquello para lo que está mejor preparado o que más le
interesa” (Echeita & Martín, 1990).
30
2.4.2.3 Torneos de equipos y juegos: Teams Games Tournaments (TGT)
Este método fue diseñado por Devries y Edward (1976). Consiste en la
utilización de estructuras de grupo cooperativas, pero creando una activa
competición entre los grupos. Se propone una organización del aula competitiva
a nivel inter grupal y de cooperación a nivel intra grupal. Johnson, Johnson y
Holubec (1999), describen a esta técnica de la siguiente manera.
En primer lugar, se forman grupos de base heterogéneos, por lo que, se refiere
al nivel de rendimiento de sus integrantes, y el profesor les indica que su
objetivo es asegurarse que todos los integrantes del equipo se aprendan el
material asignado. Los integrantes del equipo estudian juntos este material, y
una vez aprendido empieza el torneo, con las reglas del juego bien
especificadas. Para este torneo, el docente utiliza un juego de fichas con una
pregunta cada una y una hoja con las respuestas correctas.
Cada estudiante juega en grupos de tres, con dos compañeros de otros equipos
que tengan un rendimiento similar al suyo, de acuerdo a los resultados
obtenidos en la última prueba realizada en la clase.
El profesor entrega a cada equipo un juego de fichas con las preguntas sobre
los contenidos estudiados hasta el momento en los equipos cooperativos. Los
estudiantes de cada trío cogen, uno tras de otro, una ficha del montón (que está
boca abajo), lee la pregunta y la responde. Si la respuesta es correcta, se
queda la ficha. Si es incorrecta, devuelve la ficha debajo del montón. Los otros
dos estudiantes pueden refutar la respuesta del primero (empezando por el que
está a la derecha de éste) si creen que la respuesta que ha dado no es
correcta. Si el que refuta acierta la respuesta, se queda la ficha. Si no la acierta,
debe poner una de las fichas que ya ha ganado (si tiene alguna) debajo del
montón.
31
El juego finaliza cuando se acaban todas las fichas. El miembro del trío que, al
final del juego, tiene más fichas gana la partida y obtiene 6 puntos para su
equipo; el que queda segundo, obtiene 4 puntos; y el que queda tercero, 2
puntos. Si empatan los tres, 4 puntos cada uno. Si empatan los dos primeros, 5
cada uno, y 2 el tercero. Si empatan los dos últimos, se quedan 3 puntos cada
uno y 6 puntos el primero. Los puntos que ha obtenido cada integrante del trío
se suman a los que han obtenido sus compañeros de equipo de base que
formaban parte de otros tríos. El equipo que ha obtenido más puntos es el que
gana.
Nótese que, en este juego, todos los miembros de cada equipo de base
tienen la misma oportunidad de aportar la misma cantidad de puntos para su
equipo, porque todos compiten con miembros de otros equipos de una
capacidad similar. Incluso puede darse el caso de que, en un equipo de base,
los miembros con menor capacidad aporten más puntos para su equipo, porque
han “ganado” su partida, que los de más capacidad, los cuales pueden haber
“perdido” su partida.
2.4.2.4 Equipos de aprendizaje por divisiones: Student Team
Achievement Divisions (STAD)
Este método fue diseñado por Slavin (1978), para mejorar la estructura del
método anterior (TGT). Dentro de sus características y funcionamiento es muy
similar al TGT, pero reemplaza los torneos por exámenes individuales de unos
15 minutos, sin que exista la posibilidad de recibir ayuda de sus compañeros
durante el examen.
Las puntuaciones de exámenes se traducen a puntuaciones de equipo
mediante un sistema llamado “Rendimiento por divisiones”. El procedimiento es
el siguiente.
32
En primer lugar, se toma como referencia la puntuación obtenida por los
estudiantes en el primer examen realizado. Luego, se constituyen grupos
heterogéneos de cuatro ó cinco estudiantes. En cada uno de ellos habrá un
estudiante que haya obtenido una puntuación muy alta, otra alta, otro media,
otra baja y otra muy baja. A continuación, se divide la clase en subgrupos de
seis estudiantes.
En el primer subgrupo se encuentran los estudiantes que obtuvieron mejor
puntuación en cada uno de sus grupos de origen. Se comparan sus resultados
en la prueba realizada y quien esté a la cabeza de este subgrupo gana 10
puntos para su equipo, el segundo gana 8 puntos y así sucesivamente.
En el segundo subgrupo se encuentran los estudiantes que obtuvieron la
segunda mejor puntuación en cada uno de sus grupos de origen.
Finalmente, se comparan sus resultados en la prueba realizada y quien esté a
la cabeza de este subgrupo gana 10 puntos para su equipo, el segundo gana 8
puntos y así sucesivamente. Este procedimiento se realiza con el resto de los
subgrupos.
De esta manera, en esta técnica se compara el rendimiento de cada estudiante
sólo en relación con un grupo de referencia de un nivel similar al suyo y, por
otra parte, se asegura que cada estudiante pueda contribuir igualmente al éxito
de su grupo, pero en función de sus posibilidades. Incluso es posible que un
estudiante de un rendimiento más bajo aporte para el equipo más puntos que
otro miembro del equipo de un rendimiento más alto, porqué aquél ha quedado
mejor situado en su "división" que éste en la suya.
33
2.4.2.5 Equipos de ayuda individualizada: Team Assisted Individualization (TAI)
Este método diseñado por Slavin (1984), es ideal para la enseñanza de las
matemáticas con estudiantes entre 8 y 10 años, pues se combina el trabajo
cooperativo y la instrucción individualizada. Es donde todos los estudiantes
trabajan sobre lo mismo, pero cada uno de ellos siguiendo un programa
específico. La tarea de aprendizaje común se estructura en programas
personalizados para cada integrante del grupo, es decir, ajustados a las
características y necesidades de cada uno.
Entre sus objetivos destacan el de dotar a cada estudiante de materia adaptada
a su nivel de partida y a su capacidad para las matemáticas, pudiendo avanzar
a su propio ritmo. Otro objetivo importante que pretende es el de integrar a
estudiantes con deficiencias. En la aplicación de esta técnica se debe realizar
lo siguiente:
En primer lugar, se divide a los estudiantes de la clase en un determinado
número de Equipos de Base. Luego, se concreta para cada estudiante su Plan
de Trabajo Personalizado, en el cual consten los objetivos que debe alcanzar a
lo largo de la secuencia didáctica y las actividades que debe realizar. Todos
trabajan sobre los mismos contenidos, pero no necesariamente con los mismos
objetivos ni las mismas actividades. Cada estudiante se responsabiliza de llevar
a cabo su plan de trabajo y se compromete a ayudar a sus compañeros a llevar
a cabo el suyo propio.
Simultáneamente, cada equipo elabora para un período determinado, su propio
Plan de Equipo, con los objetivos que se proponen y los compromisos que
contraen para mejorar su funcionamiento como equipo. Si además de conseguir
los objetivos de aprendizaje personales, consiguen mejorar como equipo, cada
34
estudiante obtiene una “recompensa” (unos puntos adicionales en su
calificación final).
2.4.2.6 Tutoría entre iguales: Peer Tutoring
Este recurso se sustenta en la colaboración que un estudiante presta a un
compañero de clase que ha formulado una demanda de ayuda. Encontramos
una estructura de Aprendizaje Cooperativa, pero ya no en grupos reducidos y
heterogéneos sino recurriendo a una dualidad: parejas de estudiantes de un
mismo grupo.
Es una estrategia que trata de adaptarse a las diferencias individuales en
base a una relación didáctica entre los participantes. Estos suelen ser
dos compañeros de la misma clase y edad, uno de los cuales hace el
papel de tutor y el otro de alumno. El tutor enseña y el alumno aprende,
siendo generalmente esta relación guiada por el profesor (Parrilla, 1992).
Para que la Tutoría Entre Iguales ayude a mejorar el rendimiento de los
estudiantes implicados, tienen que darse las siguientes condiciones (Serrano &
Calvo, 1994):
El estudiante tutor debe responder a las demandas de ayuda de su
compañero.
La ayuda que proporcione el tutor a su compañero debe tomar la forma
de explicaciones detalladas sobre el proceso de resolución de un
problema y nunca debe proporcionarle soluciones ya hechas.
Tanto el hecho de recibir respuestas con la solución explicitada, como no
recibir ayuda a una demanda, comporta, evidentemente, un efecto negativo
sobre el rendimiento.
35
2.4.2.7 Aprendiendo juntos: Circles of learning
Los autores de este método son los hermanos Johnson y Johnson (1975). El
profesor es el que se encarga de formar los grupos, de dos a seis integrantes,
heterogéneos en cuanto a sexo y habilidad. La diferencia esencial con el resto
de los métodos es básicamente espacial, porque los distintos grupos que se
formen lo harán en círculos.
A cada grupo se le reparte un conjunto de materiales para que elaboren un
proyecto. No se establece ningún tipo de división previa del trabajo, teniendo los
integrantes del grupo tanto la responsabilidad de compartir la información y el
material, como la de ayudar a sus compañeros.
La evaluación se realiza de manera individual, a través de, exámenes que
se califican con notas. Sin embargo, también se evalúa el trabajo del equipo, de
tal manera que, si el grupo alcanza un determinado criterio, cada integrante
recibe una bonificación en puntos que se añade a su puntuación individual. En
otras ocasiones, cada grupo debe presentar en una sola hoja un resumen de lo
realizado por el equipo, valorándose además del contenido, la forma de trabajar
juntos y como llevaron a cabo su tarea de trabajar en equipo.
2.4.3 Técnica utilizada en la enseñanza de la Geometría, en la Educación Media
Todas las técnicas mencionadas anteriormente se pueden ajustar para el
proceso de enseñanza y aprendizaje de la Geometría en la Educación Media,
pero para la realización de la propuesta didáctica se utilizó la técnica de “Tutoría
entre iguales: Peer Tutoring”.
Se utilizó esta técnica, debido a que, del total de estudiantes de primero medio,
tenemos que el 50% de ellos tiene un buen rendimiento en la asignatura de
matemáticas, por ende, se formaron grupos de dos integrantes, conformados
36
por un estudiante de buen rendimiento y por otro de bajo rendimiento, en base a
las calificaciones obtenidas en la asignatura de matemáticas. Claramente, al
estudiante de buen rendimiento le tocó el papel de tutor, el cual respondió a las
demandas de ayuda de su compañero de grupo. De este modo, el tutor ayudo a
mejorar el rendimiento de su compañero de grupo.
2.4.4 Rol del Profesor en el Aprendizaje Cooperativo
Suárez (2010), describe que el rol del profesor en el proceso de interacción
cooperativa, es complejo y como tal, le corresponde la estructuración de las
actividades cooperativas por medio del criterio pedagógico y del reconocimiento
del valor de la cooperación, la cual debe ser dirigida y guiada. El profesor puede
enriquecer el proceso educativo mas allá de la individualidad del estudiante,
desde la piel hacia la experiencia del otro (empatía) y viceversa, y con esta
actividad abrir otra oportunidad real de aprendizaje.
El rol del profesor en el Aprendizaje Cooperativo implica:
Planificar actividades didácticas.
Desarrollar en los estudiantes un conjunto de habilidades sociales
previas para el funcionamiento del equipo. Asegura la conformación de
grupos, mejora el estilo de comunicación, distribuye los materiales de
trabajo, fija el tiempo, conforma el entorno, etc.
Proponer una serie de roles a los integrantes de cada grupo, ya que las
funciones deben rotar constantemente entre sus integrantes.
Estimular la comunicación y la reciprocidad en torno a la meta en
conjunto, para promover la interdependencia entre los estudiantes.
Afianzar la práctica evaluadora a nivel personal y de equipo para orientar
cada vez que sea necesario el uso de la evaluación en pro del
aprendizaje.
37
Como se puede observar, la actividad cooperativa cambia la forma en que el
profesor desarrolla su propio desempeño educativo, motivo por el cual se crea
la necesidad del replanteamiento de la actividad del profesor, transformándose
desde la típica postura de expositor a la de facilitador, examinador y estimulador
de la interacción recíproca entre estudiantes.
Finalmente, Suárez (2010), menciona que los profesores antes de dirigir la
cooperación del estudiante, deben pensar y actuar cooperativamente, es ésta la
fuente básica de comprender el funcionamiento del Aprendizaje Cooperativo; no
se puede hacer algo si no se aplica, por tanto debe aprender a pensar
cooperativamente por experiencia, el profesor conoce lo que se puede hacer o
dejar de hacer, para favorecer la cooperación de los estudiantes.
2.5 Criterios para la composición de los grupos de Aprendizaje Cooperativo
Para la composición de los grupos de Aprendizaje Cooperativo, se debe
considerar el tiempo que tardará la realización de la actividad, el número de
integrantes de cada grupo y el modo en que se seleccionarán los integrantes de
cada grupo.
2.5.1 Clasificación de los grupos, conforme a su duración
El Aprendizaje Cooperativo comprende tres tipos de grupos de aprendizaje
(Johnson, D., Johnson, R. & Smith, K., 1991):
2.5.1.1 Los Grupos Formales
Los grupos formales de Aprendizaje Cooperativo, duran entre una clase y varias
semanas. En estos grupos los estudiantes trabajan juntos para lograr objetivos
38
comunes, asegurándose de que ellos mismos y sus compañeros de grupo
completen la tarea de aprendizaje asignada. Independientemente del tipo de
materia que se esté trabajando o del programa de estudios que se siga,
cualquier tarea puede organizarse de manera cooperativa.
En estos grupos el profesor adquiere gran relevancia, ya que debe:
Especificar los objetivos de la clase.
Tomar una serie de decisiones previas a la enseñanza.
Explicar la tarea y la interdependencia positiva a los estudiantes.
Supervisar el aprendizaje de los estudiantes e intervenir en los grupos
para brindar apoyo en la tarea o para mejorar el desempeño
interpersonal y grupal de los estudiantes.
Evaluar el aprendizaje de los estudiantes y ayudarlos a determinar el
nivel de eficacia con que funcionó su grupo.
2.5.1.2 Los Grupos Informales
Los grupos informales de Aprendizaje Cooperativo, son grupos que duran
desde unos minutos hasta una hora de clase. Se utilizan para centrar la
atención de los estudiantes en el material que deben aprender, creando un
clima favorable para el aprendizaje, ayudando a establecer expectativas sobre
lo que abarcará la actividad, y así asegurarse que los estudiantes procesen
cognitivamente el material que se está enseñando y así proporcionar un cierre a
la situación educativa.
La actividad de estos grupos informales suele consistir en una charla de tres a
cinco minutos entre los estudiantes antes y después de una clase, o en diálogos
de dos a tres minutos entre parejas de estudiantes durante el transcurso de la
clase.
39
2.5.1.3 Los grupos de base
Los grupos de base cooperativos tienen un funcionamiento de largo plazo (por
lo menos de casi un año) y son grupos de aprendizaje heterogéneos, con
miembros permanentes, cuyo principal objetivo es posibilitar que sus
integrantes se apoyen unos a otros, pues, se necesita la ayuda y el respaldo
que cada uno de ellos para tener un buen rendimiento escolar.
Los grupos de base permiten que los estudiantes entablen relaciones
responsables y duraderas que los motivarán a esforzarse en sus tareas, a
progresar en el cumplimiento de sus obligaciones escolares y a tener un buen
desarrollo cognitivo y social (Johnson, D., Johnson, R., & Holubec, E, 1999).
El profesor que emplee reiteradamente los grupos formales, los informales y los
de base adquirirá un grado tal de práctica que podrá estructurar situaciones de
Aprendizaje Cooperativo en forma automática. Además, podrá utilizar
correctamente el Aprendizaje Cooperativo durante todo el resto de su actividad
docente.
2.5.2 Tamaño de los Grupos
Se recomienda que idealmente, los grupos estén compuestos de dos a cuatro
estudiantes. Según las palabras de Johnson, Johnson y Holubec (1999),
cuanto más pequeño sea el grupo, tanto mejor, puesto que permite una mayor
producción de lengua por estudiante.
Para Kagan (1999), la composición ideal es de cuatro estudiantes, ya que,
primero, se permite trabajar en parejas, lo que es adaptable a muchas de las
estructuras que presenta el Aprendizaje Cooperativo; segundo, al ser un
número par evitamos que uno de los participantes quede fuera y por último,
porque un grupo de cuatro permite más combinaciones de parejas que uno de
40
tres. Un mayor número de combinaciones de pares nos ofrece una mayor
variedad y mayor probabilidad de que se creen conflictos cognitivos, necesarios
para que tenga lugar el aprendizaje.
Por un lado, cuanto más numeroso sea el grupo, mayor será la gama de
destrezas, capacidades y diversidad de puntos de vista. Con cada miembro se
incrementan los recursos que contribuyen al éxito del grupo.
Por otro lado, en grupos más reducidos, el desempeño de cada miembro es
más visible y los estudiantes son más responsables de sus actos, lo que
garantiza la participación activa de todos.
También habrá que tener en cuenta el tiempo del que disponemos para realizar
la tarea. Si se dispone de poco tiempo el trabajo en parejas será más efectivo,
puesto que requiere menos tiempo para organizarse y permite una intervención
más prolongada a cada miembro.
2.5.3 Clasificación de los grupos, conforme a su distribución
2.5.3.1 Grupos formados Aleatoriamente
En esta modalidad se seleccionan al azar a los estudiantes que compondrán el
grupo. En único inconveniente es que puede generar inseguridad entre los
miembros del grupo, cuando no se conocen o cuando hay sentimientos de
enemistad entre algunos de ellos.
2.5.3.2 Agrupación Natural En esta modalidad los estudiantes son los que escogen libremente a los
compañeros que desean tener en su grupo de trabajo. La ventaja es que surjan
41
grupos unidos y productivos. La desventaja es que queden estudiantes aislados
sin pertenecer a ningún grupo.
2.5.3.3 Agrupamiento impuesto por el Profesor
En este caso, es el profesor quien selecciona a los estudiantes que
pertenecerán a cada grupo, en función de afinidades, capacidades o intereses.
El único inconveniente recae en que si los miembros del grupo no se conocen o
no se estiman suficientemente, se pueden resistir a trabajar juntos.
2.6 Elementos claves para lograr un Aprendizaje Cooperativo
Los hermanos Johnson (1994, 1999), consideran cinco elementos básicos, sin
ellos no es posible llevar a la práctica el Aprendizaje Cooperativo:
2.6.1 Interdependencia positiva
Constituye el núcleo del Aprendizaje Cooperativo, y se alcanza cuando todos
los miembros del grupo son consientes de que no pueden alcanzar el éxito a
menos que también lo alcancen sus compañeros. Los estudiantes deben
trabajar juntos para lograr las metas propuestas, puesto que, del esfuerzo que
realiza cada persona se beneficia uno mismo y los demás. Sin interdependencia
positiva, no hay cooperación.
Según Kagan (1999), la interdependencia positiva de una actividad puede
crearse dependiendo de la tarea, la evaluación, los recursos o los roles: la tarea
debe estructurarse de forma que cada miembro del grupo deba encargarse
inevitablemente de una parte y que nadie más pueda hacerlo por él o ella; para
la evaluación se crea un tipo de puntuación individual y grupal, de forma que la
nota del grupo sea el promedio de la nota de cada participante; los recursos y
42
los roles se pueden repartir entre los miembros del grupo, de modo que, todos
deban utilizar o llevar a cabo su parte.
2.6.2 Responsabilidad individual y grupal
Cada miembro del grupo es responsable de la parte de la actividad que le
corresponde. Nadie puede aprovecharse del trabajo de los demás, para lograr
una buena nota final.
Al hacer responsable a cada estudiante de su parte de la actividad y al grupo
del producto final de éste, se evita que, por una parte, los estudiantes con mejor
rendimiento se responsabilicen del trabajo de todo el grupo y que acaben
haciendo solos la actividad para conseguir una buena nota final, o que, por otra
parte, los estudiantes con peor rendimiento dejen que el resto de sus
compañeros hagan toda la actividad, sabiendo que así tendrán una buena nota
final.
Según los hermanos Johnson (1999), la responsabilidad individual existe
cuando se evalúa el desempeño de cada estudiante y los resultados de la
evaluación son transmitidos al grupo y al individuo a efectos de determinar
quién necesita más ayuda, respaldo y aliento para efectuar la tarea en cuestión.
El propósito de los grupos de Aprendizaje Cooperativo, es fortalecer a cada
miembro individual, es decir, que los estudiantes aprenden juntos para luego
desempeñarse mejor como individuos.
2.6.3 Interacción cara a cara o Interacción estimuladora
Los estudiantes deben realizar juntos una labor en la que cada uno promueva el
éxito de los demás, compartiendo los recursos existentes y ayudándose,
respaldándose, alentándose y felicitándose unos a otros por su empeño en
aprender. Los grupos de aprendizaje son a la vez, un sistema de apoyo
académico y un sistema de respaldo personal.
43
Los hermanos Johnson (1999), afirman que algunas importantes actividades
cognitivas e interpersonales sólo pueden producirse cuando cada estudiante
promueve el aprendizaje de los otros, explicando verbalmente cómo resolver
problemas, analizar la índole de los conceptos que se están aprendiendo,
enseñar lo que uno sabe a sus compañeros y conectar el aprendizaje presente
con el pasado. Al promover personalmente el aprendizaje de los demás, los
miembros del grupo adquieren un compromiso personal unos con otros, así
como con sus objetivos comunes.
2.6.4 Aprendizaje de habilidades sociales o Prácticas interpersonales
y grupales imprescindibles
Consiste en enseñar a los estudiantes a interrelacionarse como compañeros de
grupo. El profesor les tendrá que enseñar las prácticas de trabajo en grupos con
la misma seriedad y precisión como les enseñan los contenidos escolares.
Los miembros del grupo deben saber cómo ejercer la dirección, tomar
decisiones, crear un clima de confianza, comunicarse, manejar conflictos y
deben sentirse motivados a hacerlo.
Kagan (1999), nos ofrece cuatro métodos para favorecer y fomentar lo que él
denomina, “Destrezas Sociales”:
El modelaje y refuerzo de ciertas habilidades, que consiste en que o bien
el profesor o algún alumno llame la atención sobre modelos de
comportamiento deseados que se observen en la clase, y el refuerzo que
se consigue por medio de recompensas o premios simbólicos.
La asignación de roles, dependiendo de la habilidad de cada estudiante.
A cada uno de ellos se le asignará un rol diferente.
La estructura determina la forma en la que una actividad se llevará a
cabo y el tipo de estructura que se utilice dependerá de la habilidad que
se quiera fomentar.
44
La reflexión sería el tiempo que los estudiantes han de tomarse para
reflexionar sobre su comportamiento o sobre el uso que han hecho de la
habilidad que se pretendía corregir o practicar ese día. Se puede hacer a
través de cuestionarios que el profesor reparta, o bien con un
intercambio oral o puesta en común de experiencias del grupo.
2.6.5 Evaluación grupal
El grupo debe analizar y evaluar periódicamente y de manera continuada su
forma de trabajar, en qué medida están alcanzando sus metas y manteniendo
relaciones de trabajo eficaces.
Los grupos deben determinar qué acciones de sus miembros son positivas o
negativas y tomar decisiones acerca de cuáles conductas conservar o
modificar.
2.7 Fundamentación matemática sobre el concepto de Congruencia de figuras planas
Diremos que dos figuras geométricas planas son congruentes ( , si una de
ellas se puede “mover”: rotándola sobre un punto, reflejándola sobre un eje y/o
trasladándola, de tal manera que coincida con la otra.
Casos especiales: Dos triángulos equiláteros cuyos lados tengan la misma
longitud son congruentes, dos círculos del mismo radio son congruentes, dos
cuadrados cuyos lados de igual tamaño son congruentes (Moise, E., & Downs
,1986).
2.7.1 Criterios de Congruencia de triángulos Estudiaremos los teoremas expresados en el libro de “Geometría y
Trigonometría” de Baldor (2008).
45
2.7.1.1 Teorema de congruencia: Ángulo- Lado- Ángulo (ALA)
Dos triángulos son congruentes, si tienen un lado y los ángulos adyacentes a
ese lado, respectivamente congruentes.
Es decir, dados los triángulos y ′ ′ ′, se satisface que:
′ ′ ′ y ′.
Figura 1: Criterio A-L-A (Adaptado del capítulo 6, del tema: Casos de igualdad de triángulos, del libro “Geometría y
Trigonometría” de Baldor)
2.7.1.2 Teorema de Congruencia: Lado-Ángulo-Lado (LAL)
Dos triángulos son congruentes, si tienen dos lados y el ángulo comprendido
entre ellos, respectivamente congruentes.
Es decir, dados los triángulos y ′ ′ ′, se satisface que:
′ ′ ´ ′ y ′.
Figura 2: Criterio L-A-L (Adaptado del capítulo 6, del tema: Casos de igualdad de triángulos, del libro “Geometría y
Trigonometría” de Baldor)
46
2.7.1.3 Teorema de Congruencia: Lado-Lado-Lado (LLL)
Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados respectivamente
congruentes.
Es decir, dados los triángulos y ′ ′ ′, se satisface que:
′ ′ ´ ′ y .
Figura 3: Criterio L-L-L (Adaptado del capítulo 6, del tema: Casos de igualdad de triángulos, del libro “Geometría y
Trigonometría” de Baldor)
2.8 Habilidades a desarrollar en el contenido de Congruencia de figuras planas
El estudio de la Geometría busca desarrollar en los estudiantes el razonamiento
geométrico, por medio de las habilidades geométricas de: Visualización,
Comunicación, Dibujo, Razonamiento, y de Aplicación y transferencia.
2.8.1 Habilidades Visuales
Según Bressan (2000), la visualización es una actividad del razonamiento o
proceso cognitivo basada en el uso de elementos visuales o espaciales, tanto
mentales como físicos, utilizados para resolver problemas o para probar
propiedades.
47
Desarrollar la habilidad de visualización es muy importante en Geometría; es
posible que al resolver un problema los estudiantes tengan dificultades debido a
que no logran estructurar lo que observan o lo estructuran de una manera que
no lleva a la solución del problema o no facilita demostrar cierta propiedad. Las
configuraciones geométricas generalmente pueden visualizarse de varias
maneras y es importante que esto se trabaje con los estudiantes.
2.8.2 Habilidades de Comunicación
La habilidad de comunicación se refiere a la capacidad que debe adquirir el
estudiante de interpretar, entender y comunicar información geométrica, ya sea
en forma oral, escrita o gráfica, usando símbolos y vocabularios propios de la
geometría.
Esta habilidad está estrechamente relacionada con el pensamiento y está
presente en la asignatura de matemáticas, cuando:
Se lee e interpreta la información de un problema para empezar a
resolverlo.
Se discute con los compañeros de equipo las posibles estrategias de
resolución.
Se presenta ante el grupo el resultado y procedimiento que se siguió
para resolver un problema.
Se justifica un resultado o un procedimiento.
Se valida una conjetura.
2.8.3 Habilidades de Dibujo Las habilidades de dibujo están relacionadas con las reproducciones o
construcciones gráficas que los estudiantes hacen de los objetos geométricos.
La reproducción se refiere a la copia de un modelo dado, ya sea del mismo
48
tamaño o a escala, cuya construcción puede realizarse con base en información
que se da en forma verbal (oral o escrita) o gráfica.
2.8.4 Habilidades de Razonamiento
En el caso de la geometría, se espera que los estudiantes desarrollen sus
habilidades de razonamiento, tales como:
La abstracción de características o propiedades de las relaciones y de
los conceptos geométricos.
Argumentar.
Hacer conjeturas y tratar de justificarlas o demostrarlas.
Demostrar la falsedad de una conjetura al plantear un contraejemplo.
Seguir una serie de argumentos lógicos.
Identificar cuándo un razonamiento no es lógico.
Hacer deducciones lógicas.
2.8.5 Habilidades de aplicación y transferencia En las habilidades de aplicación y transferencia, se espera que los estudiantes
sean capaces de aplicar lo aprendido, no sólo al resolver problemas dentro de
la misma geometría, sino también a que modelen geométricamente situaciones
del mundo físico o de otras disciplinas.
49
CAPÍTULO III Metodología
Este capítulo detalla la metodología y el paradigma que sustenta la presente
investigación, así como los instrumentos y técnicas utilizadas en la recogida de
la información del estudio realizado.
3.1 Metodología elegida La investigación se centra en analizar las estrategias y tipos de actividades que
predominan en el Aprendizaje Cooperativo, para comprender como esta
metodología influye positivamente en el desarrollo de las habilidades
geométricas en un grupo de estudiantes de un colegio de la Educación Media
de Puerto Montt.
En este escenario, se opta por una metodología cualitativa enmarcada en el
paradigma comprensivo. En este sentido, la opción es comprender e interpretar,
no medir ni comparar, pues se aspira a dar sentido a la acción pedagógica del
docente de matemática y de los estudiantes en el aula, desde una mirada
interpretativa de sus propias acciones y actitudes para poder resolver el
problema de la investigación.
En consonancia con la idea anterior, Martínez (2000) plantea que el paradigma
cualitativo ha permitido a la educación matemática, identificar e interpretar la
estructura dinámica y cambiante de los procesos de enseñanza y aprendizaje
en esta área; con el fin de teorizar sobre los fenómenos sociales que acontecen
en tales procesos.
50
Bajo esta perspectiva, esta investigación tiene un carácter holístico y
contextualizado, naturalista, interpretativo y empático acorde a los fundamentos
de Stake (1995), donde el investigador es un observador – participante en ella y
la recogida de datos se realiza de manera sistemática, a través del contacto
directo con el grupo. Una vez que se analiza e interpretan los datos, se cotejan
los resultados de los instrumentos aplicados y se diseña la propuesta didáctica
objeto de este trabajo.
La investigación se organiza en cuatro fases, las que se complementan durante
su desarrollo:
Fase 1: Consiste en el análisis de la literatura existente relacionada con la
problemática de la investigación y la realidad educativa, para conocer en
profundidad el fenómeno, desde la posición de los estudiantes y del profesor de
matemática.
Fase 2: En esta fase se realiza el análisis de las necesidades reales de los
estudiantes de primer año en Geometría y el conocimiento que el profesor tiene
acerca el Aprendizaje Cooperativo para las clases de geometría. La información
se obtiene mediante la entrevista al profesor de matemática del colegio y a los
estudiantes de primero medio, así como, mediante la observación –
participante. Los datos obtenidos en esta etapa, fundamentan la propuesta
didáctica que se sugiere en este trabajo.
Fase 3: Se diseña y aplica la propuesta didáctica para el trabajo con el
contenido de Congruencia de figuras planas.
Fase 4: Se evalúa la experiencia y su impacto en el aprendizaje de la
Geometría.
51
3.2 Paradigmas o perspectivas filosóficas que la sustentan Siguiendo a Kuhn (1975), que introdujo el concepto de paradigma en la
discusión epistemológica, llamaremos paradigma a una concepción general
sobre lo que estudia una ciencia; sus problemas, el método utilizado y también
las formas de explicar, interpretar o comprender. El paradigma es aceptado por
un conjunto de investigadores, lo que constituye una diferencia entre una
comunidad científica y otra y se erige como el fundamento válido de su manera
de hacer ciencia.
Acorde a los argumentos hasta aquí planteados, el paradigma que se asume es
descriptivo - interpretativo, descriptivo porque el interés fue indicar lo que
realmente pasa con la enseñanza y el aprendizaje de matemáticas en el aula, e
interpretativo porque, además de decir lo que pasa, se consideró necesario
analizar y comprender la realidad educativa que no se podía observar
directamente para poder diseñar una propuesta genuina.
La intención final consiste en comprender la conducta de los estudiantes,
mediante la interpretación de los significados de esas conductas, observando
los cambios que se generan. En esta propuesta de estudio, la comprensión y la
interpretación son los ejes desde donde se entiende la posibilidad de generar
conocimiento y competencias.
Esta investigación también se considera un paradigma de investigación –
acción, debido a la presencia de un observador – participante, con el objetivo de
recoger datos, de modo sistemático, a través de un contacto directo con el
grupo, y un estudio orientado a la práctica educativa, para el mejoramiento del
desempeño de los estudiantes y de la práctica educativa.
Atendiendo a Elliot (1993), la investigación-acción está orientada a la práctica
educativa. Desde esta perspectiva, la finalidad esencial de este tipo es,
52
fundamentalmente, aportar información que guíe la toma de decisiones y los
procesos de cambio para la mejora de la misma. El objetivo prioritario de la
investigación – acción consiste en mejorar la práctica mediante una reflexión
sistemática en la acción.
3.3 Descripción de las técnicas e instrumentos utilizados Para la recogida de datos del presente estudio, los instrumentos se seleccionan
de acuerdo a los objetivos, las unidades de análisis y al contexto de la
investigación. Siendo esta investigación de corte cualitativo, como ya se ha
mencionado, se opta por la observación participante, la entrevista semi-
estructurada a profesores de matemáticas, la entrevista no estructurada a
estudiantes de primer año y el diario de campo.
“La recolección de datos se realiza en los ambientes cotidianos de
los participantes, para obtener información de las personas, en sus
propias formas de expresión. Los datos que se obtienen son
conceptos, percepciones, creencias, emociones, pensamientos,
experiencias, procesos y vivencias manifestadas en el lenguaje y
las acciones de los participantes de manera individual o colectiva.
Se recolectan para analizarlos y comprenderlos y así responder a
la pregunta de investigación y a generar conocimiento. Se intenta
capturar y entender los motivos subyacentes, los significados y las
razones internas del comportamiento humano…como hablan en
qué creen, que sienten, cómo piensan” (Hernández Sampieri, 2006,
p.616).
53
3.3.1 La observación participante
La observación como técnica para la obtención de información puede ser
participante y no participante. En esta oportunidad ocurrió la observación
participante con el objetivo de recoger datos, de modo sistemático, a través de
un contacto directo con el grupo.
La observación participante aportó información complementaria a las
respuestas de la entrevista a los estudiantes y al profesor. Como señalan
Dudley-Evans y St. John (1998), “La observación puede abarcar actividades
desde una tarea en particular supervisando el trabajo individual” (p.135).
Para dejar constancia de lo observado, se utilizó el diario de campo. Se prestó
especial atención a la participación del estudiante en la clase, a la interacción
profesor-estudiante y estudiante-estudiante, y al tipo de tarea que se desarrolla
para la construcción del conocimiento y del desarrollo de las habilidades
geométricas.
Durante la observación se percibe que el profesor de matemática mostró
deficiencias en el proceso de la enseñanza de la geometría en la Educación
Media, ya que, las estrategias didácticas que utiliza en sus clases no resultaron
ser apropiadas para el proceso de enseñanza y aprendizaje de la Geometría,
debido a que el profesor utiliza la metodología tradicional para enseñar, esto
quiere decir que expone conceptos o propiedades geométricas que pueden
generar la memorización, pero que también puede generar aburrimiento,
distracciones y poca motivación por parte de los estudiantes a aprender
geometría. El éxito de las clases de geometría depende en gran parte de la
participación que logren los estudiantes.
Respecto al contenido de Congruencia de figuras planas, se observa que fue
transmitido de forma verbal, priorizándose lo conceptual memorístico. Los
estudiantes se muestran desinteresados e intranquilos en las clases. El profesor
54
trabaja la parte cognitiva de los estudiantes por medio de ejercicios y problemas
inventados por él.
3.3.2 Diario de campo El Diario de Campo fue uno de los instrumentos que permitió sistematizar la
práctica de la investigación. En consecuencia, nos permite mejorarlas,
perfeccionarla, enriquecerla y transformarlas.
Según Bonilla y Rodríguez (1997), “El diario de campo debe permitirle al
investigador un monitoreo permanente del proceso de observación. Puede ser
especialmente útil [...] al investigador, en él se toma nota de aspectos que
considere importantes para organizar, analizar e interpretar la información que
está recogiendo” (p. 129).
En esta investigación se utilizó el diario de campo para dejar constancia de la
observación participante, de modo que, se hicieron anotaciones de todo lo que
ocurrió en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la geometría en el único
curso de primero medio de un colegio de Puerto Montt.
Se prestó especial atención a la participación del estudiante en la clase, a la
interacción profesor-estudiante y estudiante-estudiante, y al tipo de actividad
que se desarrolló, para la construcción del conocimiento y del desarrollo de las
habilidades geométricas en lo que respecta a la unidad de geometría,
especialmente al contenido de congruencia de figuras planas.
55
3.3.3 La entrevista semi-estructurada al profesor de matemáticas (Anexo 1)
La entrevista se elaboró atendiendo al objetivo general de la investigación. Las
preguntas de entrevista se formularon en un lenguaje coloquial entendible por el
entrevistado que provocase información espontánea y fértil (Blasco y Otero,
2008).
Aunque se fijó un orden de preguntas, no se siguió un protocolo totalmente
estructurado y por tanto no se indagó sobre cada uno de los temas en un orden
prefijado, sino que el profesor brindó la información de los temas explorados de
manera franca y espontánea. Se tomaron notas de la información de manera
general.
Atendiendo a las afirmaciones de Ruiz (1996), se procedió de lo más amplio a
lo más pequeño, de lo más superficial a lo más profundo, de lo más impersonal
a lo más personalizado y de lo más informativo a lo más interpretativo, para
llegar al replanteamiento de los aspectos que interesan en el estudio.
3.3.4 La entrevista no estructurada a estudiantes (Anexo 2)
Los participantes accedieron de forma voluntaria a la realización de la entrevista
mostrando gran interés por el tema y finalidad de la misma.
El propósito fundamental de la realización de estas entrevistas fue describir el
comportamiento y participación de los estudiantes en las clases, su opinión a
cómo el profesor enseña Geometría, así como la adquisición del conocimiento y
las habilidades geométricas.
56
3.4 Criterios de credibilidad utilizados
Dado que la investigación es cualitativa, la información es interpretada desde
esta perspectiva, donde el criterio de credibilidad se corresponde con los
criterios de validez interna (Guba & Lincoln, 1985), en el sentido de que el
isomorfismo entre los hallazgos y la realidad es reemplazado por la similitud
entre las realidades construidas por los participantes en el proceso y las
reconstrucciones del evaluador atribuidas a ellos (triangulación). Son estos
criterios, los que revelan que la investigación se ha realizado de forma
pertinente, garantizando que el tema fue identificado y descrito con exactitud y
que los resultados obtenidos son auténticos.
En este sentido, Maxwell (1992) plantea que la validez en la Investigación
Cualitativa se relaciona fundamentalmente con los textos, siendo ellos los que
trasladan el énfasis del establecimiento de un isomorfismo con la realidad
estudiada hacia el nivel de suficiencia de evidencia.
En la actualidad, la credibilidad de este tipo de estudio, también se le relaciona
con la precisión, estabilidad, exactitud y consistencia de sus resultados (Ruiz
Olabuénaga, 2003) y también cuando una réplica del estudio arroja los mismos
resultados (Vieytes, 2009).
En este escenario y tomando como base los criterios de credibilidad de Guba &
Lincoln (1985), se espera dar credibilidad a esta investigación mediante:
- La observación y conversaciones prolongadas y persistentes del
investigador, como observador participante (estudiante en práctica
profesional) con el resto de los participantes del estudio, para la
recolección de la información, la que propiciará resultados y hallazgos,
que serán reconocidos y confirmando por los informantes.
57
- El trabajo prolongado del investigador en el campo. En este caso el
trabajo de campo se ha llevado a cabo durante tres meses. Durante este
tiempo se trata de recopilar los datos sobre las percepciones de los
actores desde dentro, con atención y comprensión empática, rompiendo
con las preconcepciones sobre los tópicos objeto de discusión.
- Triangulación. La triangulación es una herramienta enriquecedora que le
confiere al estudio cualitativo, rigor, profundidad, complejidad, así como
da consistencia a los hallazgos (Patton M, 2002). A la vez permite reducir
sesgos y aumentar la comprensión de un fenómeno.
Para realizar la triangulación de datos es necesario que los métodos
utilizados durante la observación o interpretación del fenómeno sean
cualitativo para que éstos sean cotejables. Esta triangulación consiste en
la verificación y comparación de la información obtenida en diferentes
momentos mediante los diferentes métodos. (Patton M, 2002).
Es así que, con el proceso de triangulación de los datos se otorga más
credibilidad a este estudio, ya que mediante las fuentes de datos y los
resultados de los instrumentos aplicados se determina la congruencia
entre los resultados. En este caso, se triangula la observación
participante, la entrevista semi-estructurada al profesor de matemáticas,
la entrevista abierta a los estudiantes y el diario de campo.
Los argumentos planteados, aseveran que los resultados son auténticos para
todos los actores involucrados en esta investigación.
Se han resguardado las notas de campo y las audiciones de las entrevistas al
profesor y a los estudiantes para asegurar la credibilidad de la investigación.
58
CAPÍTULO IV Análisis y discusión de los resultados
En este capítulo se analizan las actividades desarrolladas y las respuestas
dadas por los estudiantes de primero medio, en la propuesta didáctica para la
enseñanza de la Geometría, mediante el Aprendizaje Cooperativo. También se
analizan los resultados de los instrumentos aplicados en el estudio. Luego, se
realiza una triangulación de todos los elementos antes referidos. 4.1 Descripción de la población La población muestra del estudio la conforma un total de 30 estudiantes, los
que cursan primero medio, en un colegio particular subvencionado de Puerto
Montt. El total de los estudiantes lo integran 11 jóvenes del sexo femenino y 19
jóvenes del sexo masculino, cuyas edades fluctúan entre 14 y 15 años de edad.
Estos estudiantes pertenecen a un estrato socioeconómico de clase media alta.
Dentro del grupo hay dos estudiantes que pertenecen al Proyecto de
Integración Escolar (PIE).
4.2 Propuesta didáctica para la enseñanza de la Geometría (Anexos del 3
al 6)
La propuesta didáctica está diseñada para abordar el eje curricular de la unidad
de Geometría, mediante el Aprendizaje Cooperativo. Para analizar la
investigación, la propuesta se enfoca a sólo una parte de la unidad de
Geometría de primero medio, es decir, las actividades están relacionadas al
contenido de Congruencia de Figuras Planas.
59
La propuesta didáctica tiene como finalidad desarrollar las habilidades
geométricas en los estudiantes de primero medio de un colegio de Puerto
Montt, mediante el Aprendizaje Cooperativo.
Esta propuesta se sitúa en una secuencia de actividades en el siguiente orden:
Congruencia de figuras planas y Criterios de congruencia de triángulos.
Figura 4: Elaboración propia de la autora de la investigación (2016).
A continuación, en la Tabla 2 describimos detalladamente las actividades,
objetivos, instrucciones, supuestos de instrucción y tiempo estimado en el
desarrollo de la secuencia didáctica construida para primero medio.
Tabla 2: Planeación de la unidad didáctica de Congruencia de figuras planas
SUBTEMA CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS
Situación de enseñanza – aprendizaje: Construcción de figuras planas congruentes, a partir de un Tangram Chino.
Actividad: ACTIVIDAD N° 1 (Anexo 3)
Objetivo:
Identificar los pares de figuras planas congruentes que se pueden construir con la ayuda de un Tangram Chino.
60
Tabla 2 (Continuación)
Instrucciones:
- El profesor divide al curso en grupos de dos estudiantes, los cuales se deben complementar para llegar a un resultado final.
- Se les entrega a cada grupo la actividad acompañada de una hoja de respuestas y de un Tangram Chino.
- Los estudiantes deben identificar y construir todos los pares de triángulos congruentes presentes, todos los pares de cuadrados congruentes presentes, todos los pares de trapecios rectángulos congruentes presentes y todos los pares de romboides congruentes presentes.
- Todos los pares de figuras planas congruentes presentes, se deben dibujar en la hoja de respuesta con los mismos colores del Tangram Chino.
Supuestos de instrucción: Los integrantes de cada grupo identifican los pares de figuras planas congruentes que se pueden construir con la ayuda de un Tangram Chino.
Descripción: Los estudiantes deben construir con la ayuda de un Tangram Chino: Pares de triángulos congruentes, pares de cuadrados congruentes, pares de trapecios rectángulos congruentes y pares de romboides congruentes. Además deben fundamentar porque son congruentes.
Tiempo estimado: 2 horas pedagógicas.
SUBTEMA CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS
Situación de enseñanza – aprendizaje:
Conceptualización de la congruencia de figuras planas, a través de las transformaciones isométricas.
Actividad: ACTIVIDAD N° 2 (Anexo 4)
Objetivo: Comprender el concepto de congruencia de figuras planas, a través de las transformaciones isométricas.
Instrucciones:
- El profesor divide al curso en grupos de dos estudiantes, los cuales se deben complementar para llegar a un resultado final.
- Se les entrega a cada grupo la actividad acompañada de una hoja de respuestas.
- En la primera parte de la actividad los estudiantes deben trasladar la figura , respecto a un vector para obtener la figura
. - Los estudiantes deben determinar porqué los lados de
la figura resultante son congruentes a los lados de la figura original y justificar porque ambas figuras son congruentes.
61
Tabla 2 (Continuación)
- En la segunda parte de la actividad se les presenta un que es rotado 90° con respecto al origen,
obteniendo el . - Los estudiantes deben probar que el triángulo original y
que el triángulo resultante son congruentes.
Supuestos de instrucción: Los integrantes de cada grupo comprenden el concepto de congruencia de figuras planas, a través de las transformaciones isométricas.
Descripción: Los estudiantes deben trasladar una figura respecto a un vector dado y fundamentar porque la figura resultante es congruente a la original. Además, deben probar porque al rotar una figura 90° con respecto al origen, la figura resultante es congruente a la original.
Tiempo estimado: 2 horas pedagógicas.
SUBTEMA CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Situación de enseñanza – aprendizaje: Conceptualización de los criterios de congruencia de triángulos.
Actividad: ACTIVIDAD N° 3 (Anexo 5)
Objetivo: Analizar e identificar los criterios de congruencia de triángulos, a través de demostraciones y construcciones geométricas.
Instrucciones:
- El profesor divide al curso en grupos de dos estudiantes, los cuales se deben complementar para llegar a un resultado final.
- Se les entrega a cada grupo la actividad acompañada de una hoja de respuestas.
- En la primera parte de la actividad se presentan dos problemas de demostración de triángulos congruentes.
- Los estudiantes deben identificar el criterio de congruencia que se utilizó en cada una de las dos demostraciones.
- En la segunda parte de la actividad los estudiantes con ayuda de regla, compás y transportador deben realizar tres construcciones geométricas: 1. Un con dos ángulos que midan ° y
, y cuyo lado adyacente mida . Una vez realizada esta construcción deben determinar la característica que tendría en común con el de medidas y siendo la medida del lado (opuesto al lado γ ), igual a
2. Un , cuyas medidas de sus lados sean: , y .
62
Tabla 2 (Continuación)
Una vez realizada esta construcción deben determinar la característica que tendría en común con el , en el que dos de sus lados miden y y su perímetro
. 3. Un , con dos lados que midan y
, donde el ángulo comprendido entre ellos mida °. Una vez realizada esta construcción deben determinar la característica que tendría en común con el , en el que y y para el que la suma de los ángulos distintos a sea igual a .
Supuestos de instrucción: Los integrantes de cada grupo analizan e identifican los criterios de congruencia de triángulos, a través de demostraciones y construcciones geométricas.
Descripción: Los estudiantes deben identificar el criterio de congruencia de triángulos que se utilizó en cada una de las dos demostraciones. Además, con la ayuda de regla, compás y transportador deben construir tres triángulos y analizar e identificar los criterios de congruencia de triángulos presentes al construir otros tres triángulos.
Tiempo estimado: 2 horas pedagógicas.
SUBTEMA CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS Y CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Situación de enseñanza – aprendizaje: Conceptualización de la congruencia de figuras planas y de los criterios de congruencia de triángulos, a partir de situaciones de la vida cotidiana.
Actividad: ACTIVIDAD N° 4 (Anexo 6)
Objetivo: Analizar e identificar la congruencia de figuras planas y los criterios de congruencia de triángulos, a partir de situaciones de la vida cotidiana.
Instrucciones:
- El profesor divide al curso en grupos de dos estudiantes, los cuales se deben complementar para llegar a un resultado final.
- Se les entrega a cada grupo la actividad acompañada de una hoja de respuestas.
- En la primera parte de la actividad se presentan tres pares de figuras.
- Los estudiantes deben identificar y justificar si los pares de figuras son congruentes o no.
- En la segunda parte de la actividad se presentan dos problemas, basados en situaciones de la vida cotidiana.
63
Tabla 2 (Continuación)
- Los estudiantes deben resolver los dos problemas utilizando los criterios de congruencia de triángulos.
Supuestos de instrucción: Los integrantes de cada grupo analizan e identifican la congruencia de figuras planas y los criterios de congruencia de triángulos, a partir de situaciones de la vida cotidiana
Descripción:
Los estudiantes deben identificar y justificar si los pares de figuras son congruentes o no. Además, deben resolver dos problemas utilizando los criterios de congruencia de triángulos.
Tiempo estimado: 2 horas pedagógicas.
Nota. Fuente: Elaboración propia (2016).
4.3 Análisis de la Propuesta didáctica.
Cabe recordar que la descripción e interpretación de los hechos se hacen en
base a la observación participante y en el diario de campo, durante la
realización de las actividades y las entrevistas al profesor de matemáticas y a
los estudiantes involucrados en el estudio. El análisis de la propuesta didáctica
se hace en base a las características del Aprendizaje Cooperativo y en la
descripción de las habilidades geométricas de visualización, de comunicación,
de dibujo, de razonamiento y de aplicación y transferencia.
A continuación, se describen las observaciones generales del desarrollo de
cada una de las actividades de la situación de enseñanza–aprendizaje,
teniendo presente las habilidades geométricas desarrolladas por lo estudiantes
en las actividades propuestas.
Tabla 3: Construcción de figuras planas congruentes, a partir de un Tangram Chino
SUBTEMA CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS
Situación de enseñanza – aprendizaje: Construcción de figuras planas congruentes, a partir de un Tangram Chino.
Actividad: ACTIVIDAD N° 1
64
Habilidad de visualización:
Los estudiantes observaron todas las piezas del Tangram Chino.
Los estudiantes identificaron los cinco pares de triángulos congruentes que se pueden construir con las piezas del Tangram Chino.
Los estudiantes identificaron los dos pares de cuadrados congruentes que se pueden construir con las piezas del Tangram Chino.
Los estudiantes identificaron los dos pares de trapecios rectángulos congruentes que se pueden construir con las piezas del Tangram Chino.
Los estudiantes identificaron al único par de romboides congruentes que se puede construir con las piezas del Tangram Chino.
Los estudiantes identificaron los colores de las piezas que utilizaron para la construcción de los cinco pares de triángulos congruentes, de los dos pares de cuadrados congruentes, de los dos pares de trapecios rectángulos congruentes y del único par de romboides congruentes.
Habilidad de comunicación:
Los estudiantes leyeron las instrucciones de la actividad.
Los estudiantes leyeron e interpretaron cada enunciado antes de resolverlo.
Los miembros del grupo discutieron las posibles estrategias de resolución a cada parte de la actividad.
Los estudiantes justificaron los pares de figuras planas congruentes. Se basaron en la definición de congruencia de figuras planas.
Habilidad de dibujo:
Los estudiantes dibujaron los cinco pares de triángulos congruentes y los pintaron de acuerdo a los colores de las piezas que utilizaron para su construcción.
Los estudiantes dibujaron los dos pares de cuadrados congruentes y los pintaron de acuerdo a los colores de las piezas que utilizaron para su construcción.
Los estudiantes dibujaron los dos pares de trapecios rectángulos congruentes y los pintaron de acuerdo a los colores de las piezas que utilizaron para su construcción.
65
Tabla 3 (Continuación)
Los estudiantes dibujaron al único par de
romboides congruentes y los pintaron de
acuerdo a los colores de las piezas que
utilizaron para su construcción.
Habilidad de razonamiento: Los estudiantes argumentaron los pares de figuras planas congruentes, utilizando el símbolo de congruencia ( ).
Habilidad de aplicación y transferencia: Los estudiantes aplicaron el concepto de congruencia de figuras planas en situaciones de la vida cotidiana.
Los estudiantes utilizaron las piezas del Tangram Chino en la construcción de otros tipos de figuras.
Nota. Descripción de la actividad n°1. Fuente: Elaboración propia (2016).
De los resultados obtenidos en la tabla 3, podemos interpretar que cuando los
miembros de cada grupo se ayudaron mutuamente a encontrar todos los pares
de figuras congruentes solicitadas, desarrollaron la habilidad de visualización.
Cabe mencionar, que en un grupo un integrante confundía al romboide con un
rombo, pero su compañero lo ayudó en la identificación y posterior construcción
de dicha figura. La labor del profesor fue fundamental para guiar a los
estudiantes en el proceso de identificación de los pares de trapecios
rectángulos y de los pares de romboides congruentes.
Cuando los miembros de cada grupo se complementaron aportando ideas para
llegar a un resultado final, desarrollaron la habilidad de comunicación. Además,
los estudiantes justificaron el por qué los pares de triángulos, de cuadrados, de
trapecios rectángulos y de romboides son congruentes. En esta justificación los
estudiantes se basaron en la definición de congruencia de figuras planas,
especificando que son congruentes porque tienen igual forma y tamaño.
66
Cuando los estudiantes dibujaron y pintaron todos los pares de figuras planas
congruentes, desarrollaron la habilidad de dibujo. Los integrantes del grupo se
repartieron el trabajo. Uno se encargaba de dibujar todos los pares de figuras
planas congruentes señalando con qué colores debían pintarse y el otro se
encargaba de pintar dichas figuras con los colores señalados.
Cuando los estudiantes argumentaron los pares de figuras planas congruentes,
utilizando el símbolo de congruencia ( ), desarrollaron la habilidad de
razonamiento.
Finalmente, cuando los estudiantes aplicaron el concepto de congruencia de
figuras planas en situaciones de la vida cotidiana y cuando utilizaron las piezas
del Tangram Chino en la construcción de otros tipos de figuras, desarrollaron la
habilidad de aplicación y transferencia. Un grupo señaló que con las piezas del
Tangram Chino se podían construir animales.
Tabla 4:
Conceptualización de la congruencia de figuras planas, a través de las
transformaciones isométricas
SUBTEMA CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS
Situación de enseñanza – aprendizaje: Conceptualización de la congruencia de figuras planas, a través de las transformaciones isométricas.
Actividad: ACTIVIDAD N° 2
Habilidad de visualización:
En la primera parte de la actividad, los estudiantes observaron la figura en el plano cartesiano.
Los estudiantes observaron la figura resultante de la traslación
de la figura , respecto al vector de traslación
67
Tabla 4 (Continuación)
Los estudiantes identificaron los lados de la figura que son congruentes con los lados de la figura .
En la segunda parte de la actividad, los estudiantes observaron en el plano cartesiano al y al resultante de la rotación en 90° del triángulo con respecto al origen.
Los estudiantes identificaron los lados del que son congruentes con los lados del
Habilidad de comunicación:
Los estudiantes leyeron las instrucciones de la actividad.
Los estudiantes leyeron e interpretaron cada enunciado antes de resolverlo.
Los miembros del grupo discutieron las posibles estrategias de resolución a cada parte de la actividad.
En la primera parte de la actividad, los miembros de cada grupo discutieron sobre los resultados obtenidos al aplicar traslación a la figura original.
Los estudiantes justificaron el por qué la figura es congruente con la figura
Se basaron en la definición de congruencia de figuras planas.
En la segunda parte de la actividad los estudiantes justificaron que el y el
ʹ ʹ ʹ son congruentes. Se basaron en la definición de congruencia de figuras planas.
Habilidad de dibujo: En la primera parte de la actividad, los estudiantes dibujaron la figura
resultante de la traslación de la figura , respecto al vector
Habilidad de razonamiento:
En la primera parte de la actividad, los estudiantes para cada uno de los vértices de la figura , hicieron los cálculos de traslación, respecto al vector para así obtener los vértices de la figura
De este modo, los estudiantes identificaron los lados de la figura
que son congruentes con los lados de la figura
68
Tabla 4 (Continuación)
En la segunda parte de la actividad, los estudiantes demostraron que los triángulos
y son congruentes. Lo hicieron a través de expresiones matemáticas.
Habilidad de aplicación y transferencia: Los estudiantes aplicaron las transformaciones isométricas en situaciones de la vida cotidiana.
Nota: Descripción de la actividad n°2. Fuente: Elaboración propia (2016).
De los resultados obtenidos en la tabla 4, podemos interpretar que cuando los
estudiantes observaron las transformaciones isométricas que realizaron en el
plano cartesiano, desarrollaron la habilidad de visualización. Los miembros de
cada grupo trabajaron mutuamente en la identificación de los lados de la figura
original que son congruentes con los lados de la figura resultante.
En la primera y en la segunda parte de la actividad N°2, los estudiantes
desarrollaron la habilidad de comunicación. En la primera parte de la actividad,
cuando los miembros de cada grupo discutieron sobre los resultados obtenidos
al aplicar traslación a la figura original y cuando justificaron el porqué la figura
original es congruente con la figura resultante, señalando que al aplicar
traslación la figura sólo cambia de posición y que las medidas de sus lados se
mantienen. Y en la segunda parte de la actividad, cuando justificaron que al
aplicar rotación a una figura original la figura resultante es congruente a esta.
Para ello, se basaron en la definición de congruencia de figuras planas,
especificando que la figura resultante de una transformación isométrica es
congruente a la original.
En la primera parte de la actividad N°2, cuando los estudiantes dibujaron en el
plano cartesiano la figura resultante de la traslación de la figura original,
desarrollaron la habilidad de dibujo. Algunos estudiantes pintaron la figura
resultante, pues así la diferenciaban de la figura original.
69
En la primera y en la segunda parte de la actividad N°2, los estudiantes
desarrollaron la habilidad de razonamiento. En la primera parte de la actividad,
cuando aplicaron traslación a cada uno de los vértices de la figura original. En
esta parte de la actividad, los miembros de cada grupo se repartieron el trabajo,
de modo que, un integrante calculó la traslación de los primeros cuatro vértices
y el otro a los cuatro vértices restantes. Y en la segunda parte de la actividad,
cuando los estudiantes demostraron que los triángulos y ′ son
congruentes. Lo cual fue demostrado a través de expresiones matemáticas,
tales como: ′ ′ ′, ′ ′ ′ y ′ ′ ′.
Finalmente, cuando los estudiantes aplicaron las transformaciones isométricas
en situaciones de la vida cotidiana, desarrollaron la habilidad de aplicación y
transferencia.
Tabla 5: Conceptualización de los criterios de congruencia de triángulos
SUBTEMA CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS
Situación de enseñanza – aprendizaje: Conceptualización de los criterios de congruencia de triángulos.
Actividad: ACTIVIDAD N° 3
Habilidad de visualización:
En la primera parte de la actividad, los estudiantes observaron en la primera demostración al y a los triángulos
y que lo componen. En la segunda demostración, los estudiantes
observaron el cuadrado y a los triángulos y que lo componen.
En la primera demostración, los estudiantes identificaron los lados y ángulos del que son congruentes a los del .
En la segunda demostración, los estudiantes identificaron los lados y ángulos del que son congruentes a los del .
En la segunda parte de la actividad, los estudiantes observaron las construcciones de los triángulos , y .
70
Tabla 5 (Continuación)
Los estudiantes identificaron la característica que tiene en común el con el .
Los estudiantes identificaron la característica que tiene en común el con el .
Los estudiantes identificaron la característica que tiene en común el el .
Habilidad de comunicación:
Los estudiantes leyeron las instrucciones de la actividad.
Los estudiantes leyeron e interpretaron cada enunciado antes de resolverlo.
Los miembros del grupo discutieron las posibles estrategias de resolución a cada parte de la actividad.
En la primera parte de la actividad, los estudiantes justificaron el criterio de congruencia que se utilizó en cada demostración. Se basaron en la definición de los criterios de congruencia de triángulos.
En la segunda parte de la actividad, los estudiantes justificaron la característica que tiene en común el con el .
Los estudiantes justificaron la característica que tiene en común el con el .
Los estudiantes justificaron la característica que tiene en común el con el .
Los estudiantes justificaron lo anterior, basándose en el concepto de los criterios de congruencia de triángulos.
Habilidad de dibujo:
En la segunda parte de la actividad, los estudiantes construyeron tres triángulos con la ayuda de regla, compás y transportador.
1. Un con dos ángulos que midan y , y cuyo lado
adyacente mida . 2. Un , cuyas medidas de sus lados
sean: , y .
3. Un , con dos lados que midan y , donde el ángulo
comprendido entre ellos mida °. Habilidad de razonamiento:
En la primera parte de la actividad, los estudiantes argumentaron a través de expresiones matemáticas, el criterio de congruencia de triángulos que se utilizó en cada demostración.
71
Tabla 5 (Continuación)
En la segunda parte de la actividad, los estudiantes hicieron los cálculos y argumentaron la característica que tiene en común el con el .
Los estudiantes hicieron los cálculos y argumentaron la característica que tiene en común el con el .
Los estudiantes hicieron los cálculos y argumentaron la característica que tiene en común el con el .
Los estudiantes argumentaron lo anterior a través de expresiones matemáticas.
Habilidad de aplicación y transferencia: Los estudiantes aplicaron el concepto de los criterios de congruencia de triángulos en situaciones de la vida cotidiana.
Nota: Descripción de la actividad n°3. Fuente: Elaboración propia de la autora (2016).
De los resultados obtenidos en la tabla 5, podemos interpretar que en la primera
y en la segunda parte de la actividad N°3, los estudiantes desarrollaron la
habilidad de visualización. En la primera parte de la actividad, cuando
observaron la figura relacionada a cada demostración y cuando identificaron
los lados y ángulos congruentes de los triángulos que componen dicha figura.
Y en la segunda parte de la actividad, cuando observaron las construcciones de
los triángulos , y , y cuando identificaron la característica que
tiene en común el con el ′ ′ ′, el con el ′ ′ ′ y el con el
′ ′ ′. Cabe mencionar que los miembros de cada grupo trabajaron
mutuamente en ambas partes de la actividad.
En la primera y en la segunda parte de la actividad N°3, los estudiantes
desarrollaron la habilidad de comunicación. En la primera parte de la actividad,
mediante la justificación del criterio de congruencia que se utilizó en cada
demostración. En la primera demostración, los estudiantes determinaron que se
utilizó el criterio L-A-L, ya que, los triángulos y son congruentes por
tener dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, respectivamente
congruentes. Y en la segunda demostración, los estudiantes determinaron que
se utilizó el criterio A-L-A, ya que, los triángulos y son congruentes
72
por tener dos ángulos y el lado adyacente a ellos, respectivamente
congruentes. Y en la segunda parte de la actividad, cuando justificaron la
característica que tiene en común el con el ′ ′ ′, el con el
′ ′ ′ y el con el ′ ′ ′. En la construcción del primer triángulo ,
los estudiantes justificaron que la característica que tiene en común con el
′ ′ ′ es el criterio A-L-A, puesto que, tienen dos ángulos y el lado adyacente
a ellos, respectivamente congruente. En la construcción del segundo triángulo
, los estudiantes justificaron que la característica que tiene en común
con el ′ ′ ′ es el criterio L-L-L, puesto que, tienen sus tres lados,
respectivamente congruentes. Y en la construcción del tercer triángulo ,
los estudiantes justificaron que la característica que tiene en común con el
′ ′ ′ es el criterio L-A-L, puesto que, tienen dos ángulos y el lado adyacente a
ellos, respectivamente congruentes.
En la segunda parte de la actividad N°3, cuando los estudiantes construyeron
los tres triángulos con la ayuda de regla, compás y transportador, desarrollaron
la habilidad de dibujo. En este proceso los miembros de cada se repartieron el
trabajo, de modo que, uno construyó los dos primeros triángulos y el otro el
restante o viceversa. Además, un estudiante no sabía utilizar el compás y el
transportador, por lo que, su compañero de grupo lo ayudó a utilizar estas
herramientas en la construcción de los triángulos.
En la primera y en la segunda parte de la actividad N°3, los estudiantes
desarrollaron la habilidad de razonamiento. En la primera parte de la actividad,
cuando argumentaron a través de expresiones matemáticas, el criterio de
congruencia que se utilizó en cada demostración. En la primera demostración,
argumentaron que se utilizó el criterio L-A-L, cumpliéndose que
y , quedando demostrado que los triángulos y
son congruentes. Y en la segunda demostración, argumentaron que se
utilizó el criterio A-L-A, cumpliéndose que y
73
, quedando demostrado que los triángulos y son
congruentes. Y en la segunda parte de la actividad, cuando hicieron los cálculos
y cuando argumentaron la característica que tiene en común el con el
′ ′ ′ , el con el ′ ′ ′ y el con el ′ ′ ′. En la construcción del
primer triángulo , los estudiantes argumentaron que la característica que
tiene en común con el ′ ′ ′ es el criterio A-L-A, cumpliéndose que ′ y . En la construcción del segundo triángulo
, los estudiantes argumentaron que la característica que tiene en común
con el ′ ′ ′ es el criterio L-L-L, cumpliéndose que ′ ′ ′ ′ y ′ ′. Y en la construcción del tercer triángulo , los estudiantes
argumentaron que la característica que tiene en común con el ′ ′ ′ es el
criterio L-A-L, cumpliéndose que ′ ′ ′ ′ ′ y ′ ′.
Finalmente, cuando los estudiantes aplicaron el concepto de los criterios de
congruencia de triángulos en situaciones de la vida cotidiana, desarrollaron la
habilidad de aplicación y transferencia. En la primera parte de la actividad, las
dos demostraciones estaban relacionadas a situaciones de la vida cotidiana.
Tabla 6: Conceptualización de la congruencia de figuras planas y de los criterios de congruencia de triángulos, a partir de situaciones de la vida cotidiana
SUBTEMA CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS Y CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Situación de enseñanza – aprendizaje: Conceptualización de la congruencia de figuras planas y de los criterios de congruencia de triángulos, a partir de situaciones de la vida diaria.
Actividad: ACTIVIDAD N° 4
Habilidad de visualización:
En la primera parte de la actividad, los estudiantes observaron los tres pares de figuras.
Los estudiantes identificaron los pares de figuras congruentes y los no congruentes.
74
Tabla 6 (Continuación)
En la segunda parte de la actividad, los estudiantes observaron la imagen relacionada a cada problema.
Los estudiantes identificaron los lados y ángulos congruentes en cada problema.
Habilidad de comunicación:
Los estudiantes leyeron las instrucciones de la actividad.
Los estudiantes leyeron e interpretaron cada enunciado antes de resolverlo.
Los miembros del grupo discutieron las posibles estrategias de resolución a cada parte de la actividad.
En la primera parte de la actividad, los estudiantes justificaron los pares de figuras congruentes y los no congruentes. Se basaron en el concepto de congruencia de figuras planas.
En la segunda parte de la actividad, los estudiantes justificaron la respuesta a cada problema. Se basaron en los criterios de congruencia de triángulos.
Habilidad de dibujo:
En la segunda parte de la actividad, los estudiantes remarcaron la imagen relacionada a cada problema.
Habilidad de razonamiento: En la segunda parte de la actividad, los estudiantes argumentaron la respuesta a cada problema, utilizando expresiones matemáticas.
Habilidad de aplicación y transferencia: Los estudiantes aplicaron los conceptos de congruencia de figuras planas y de los criterios de congruencia de triángulos en situaciones de la vida cotidiana.
Nota. Descripción de la actividad n°4. Fuente: Elaboración propia (2016).
De los resultados obtenidos en la Tabla 6, podemos interpretar que en la
primera y en la segunda parte de la actividad N°4, los estudiantes desarrollaron
la habilidad de visualización. En la primera parte de la actividad, cuando
observaron los tres pares de figuras, y cuando identificaron los pares de figuras
congruentes y los no congruentes. En esta parte de la actividad, los estudiantes
identificaron que un par de perros no era congruente, ya que, a uno le faltaba su
cola. Y en la segunda parte de la actividad, cuando observaron la imagen
75
relacionada a cada problema, y cuando identificaron los lados y ángulos
congruentes en cada uno de ellos.
En la primera y en la segunda parte de la actividad N°4, los estudiantes
desarrollaron la habilidad de comunicación. En la primera parte de la actividad,
cuando justificaron los pares de figuras congruentes y los no congruentes. En
esta parte de la actividad, los estudiantes justificaron que el par de perros no
era congruente, debido a que, al superponer ambas figuras a una le faltaba un
trazo para ser igual a la otra. Y en la segunda parte de la actividad, cuando
justificaron la respuesta a cada problema. En el primer problema, justificaron
que los segmentos y son congruentes, debido a que los triángulos
y son congruentes por tener dos lados congruentes y el ángulo
comprendido entre ellos respectivamente congruente (criterio L-A-L). Y en el
segundo problema, justificaron que los equipos recorrerán la misma distancia
porque sus recorridos cumplen con el criterio A-L-A.
En la segunda parte de la actividad N°4, cuando los estudiantes remarcaron la
imagen relacionada a cada problema, desarrollaron la habilidad de dibujo. Esto
los ayudó en la interpretación y en la comprensión de cada problema.
En la segunda actividad N°4, cuando los estudiantes argumentaron la respuesta
a cada problema utilizando expresiones matemáticas, desarrollaron la habilidad
de razonamiento. En el primer problema, los estudiantes argumentaron que los
segmentos y son congruentes, puesto que, como dato se tiene que
y que (ángulo recto), por ende, por el criterio L-A-L
tenemos que los triángulos y son congruentes, lo cual demuestra
que Y en el segundo problema, los grupos argumentaron que los dos
equipos recorrerán la misma distancia, es decir que los triángulos y
son congruentes, puesto que como dato se tiene y que
76
, por ende por el criterio A-L-A es posible afirmar que los equipos
recorrerán la misma distancia.
Finalmente, cuando los estudiantes aplicaron los conceptos de congruencia de
figuras planas y de los criterios de congruencia de triángulos en situaciones de
la vida cotidiana, desarrollaron la habilidad de aplicación y transferencia. La
actividad estaba relacionada a la congruencia de figuras planas, presentes en
situaciones de la vida cotidiana.
4.4 Análisis e interpretación de los datos El análisis de la información obtenida se realiza en función de los objetivos
propuestos en la investigación, desde la interpretación hermenéutica, cuyo
objetivo es buscar “[…] la coherencia y el sentido explícito e implícito en los
datos, mediante la dialéctica entre la comprensión del texto y la interpretación
de las partes” (Gadamer, 1998). Para lo que se sigue el criterio de organizar la
información en tablas categoriales.
4.4.1 Análisis del contenido de las entrevistas a estudiantes y al profesor de matemáticas
Para el análisis e interpretación de los datos cualitativos, se agruparon los
contenidos de las entrevistas en categorías. Cada categoría contempla varias
sub categorías, identificadas por indicadores. Las transcripciones de las
opiniones más frecuentes de las entrevistas a estudiantes y al profesor de
matemáticas dan respuesta a diferentes indicadores, que se detallan a
continuación en la tabla 7.
77
Tabla 7: Análisis de las entrevistas en categorías y en subcategorías.
CATEGORÍAS SUBCATEGORÍAS
Proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría.
El profesor de matemáticas en la enseñanza de la geometría.
Los estudiantes en el aprendizaje de la geometría.
Metodología de aprendizaje cooperativo. Trabajo en grupos. Aprendizaje mutuo.
Rol del profesor.
Supervisor de los grupos de trabajo. Mediador en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de la geometría. Interés o motivación de los estudiantes por la Geometría.
Participación de los estudiantes en la sala de clases.
Estimulación de los estudiantes por el aprendizaje de la geometría.
Relación entre el profesor y sus estudiantes Interacción entre el profesor y sus alumnos. Confianza en los estudiantes.
Relación entre los estudiantes. Interacción entre los estudiantes. Influencia en el aprendizaje.
Nota: Elaboración propia (2016).
4.4.1.1 Representación categorial del análisis de los datos obtenidos de las entrevistas realizadas a los estudiantes y al profesor de matemáticas
Tabla 8: Proceso de enseñanza y aprendizaje de la geometría
METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE COOPERATIVO Organización del trabajo
Aprendizajes esperados Desarrollo de las habilidades
geométricas El contenido de congruencia se organizaron en dos partes: 1. Congruencia de figuras
planas. 2. Criterios de congruencia de
figuras planas.
Los estudiantes comprendieron el concepto de congruencia.
Los estudiantes identificaron los pares de figuras planas congruentes.
Los estudiantes comprendieron los criterios
Los estudiantes afirmaron que las actividades didácticas los ayudaron a visualizar, a razonar, a comunicarse con sus compañeros de grupo, a aplicar la congruencia en situaciones de la vida real y a dibujar triángulos congruentes con la ayuda de regla, compás y transportador,
78
de congruencia de triángulos.
Los estudiantes identificaron los criterios de congruencia de triángulos.
con lo cual nunca habían trabajo, por ende la habilidad que más se desarrolló fue la habilidad de dibujo.
Nota. Elaboración propia (2016).
Tabla 9: Metodología de Aprendizaje Cooperativo
METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE COOPERATIVO Organización del trabajo
Estrategia para la enseñanza de
la geometría Eficacia del aprendizaje
cooperativo Se organizaron grupos de trabajo. Compuestos por dos estudiantes asignados por el profesor.
La metodología de aprendizaje cooperativo trabajó en el desarrollo de las habilidades geométricas de los estudiantes.
Los miembros de cada grupo se ayudaron mutuamente en el desarrollo de las actividades. Estableciendo metas benéficas para sí mismos y para los demás integrantes del grupo, buscando así maximizar tanto su aprendizaje como el de los demás.
El profesor suele organizar la sala de clases en duplas de trabajo, ya que, en muchas ocasiones los estudiantes de buen rendimiento le ayudan a los de bajo rendimiento.
Los estudiantes afirmaron que la enseñanza de la geometría, mediante el aprendizaje cooperativo, los ayudó a comprender el contenido de congruencia de figuras planas y a interactuar con sus compañeros.
Nota. Elaboración propia (2016).
Tabla 10:
Actividades para la enseñanza y aprendizaje de la geometría ACTIVIDADES PARA LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA
Interacción entre todos los miembros del grupo
Motivación e interés de los estudiantes
Secuenciación de las actividades
El trabajar en grupos en la resolución de actividades didácticas, obligó a los estudiantes a interactuar con sus compañeros, promoviendo la relación entre los estudiantes.
Los estudiantes afirmaron que la realización de actividades didácticas en grupos de trabajo, promovieron su interés por el contenido de congruencia de figuras planas y que los motivaron a participar en la sala
La propuesta didáctica se situó en una secuencia de actividades en el siguiente orden: 1. Congruencia de figuras
planas. Concepto de congruencia de figuras planas. Construcción de figuras
79
de clases.
planas congruentes. 2. Criterios de congruencia de
triángulos. Concepto del criterio A-L-A.
Concepto del criterio L-A-L Concepto del criterio L-L-L.
Nota. Elaboración propia (2016).
Tabla 11:
Nuevo rol del profesor de matemáticas
NUEVO ROL DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS
El profesor frente al cambio de la metodología en la enseñanza
de la geometría
La interacción entre el profesor y sus estudiantes
Planificación, diseño y producción de los materiales
para la enseñanza. El profesor en las clases de geometría utiliza la metodología tradicional, es decir, explica los contenidos con sus respectivos ejercicios en el pizarrón. Sin embargo, en ciertas ocasiones ha aplicado la metodología de aprendizaje cooperativo, para que así los estudiantes de mejor rendimiento les ayuden a los de menor rendimiento. A modo de mejorar el aprendizaje de estos últimos.
El profesor promueve la interacción con sus estudiantes, procurando que estos den lo mejor de ellos. Además, generando una buena relación con ellos.
El profesor al supervisar a los grupos para que trabajen de manera continua y al guiar a los estudiantes en el desarrollo de las actividades, promueve la relación con sus estudiantes.
Los estudiantes afirmaron que el rol del profesor es el de enseñar, el de trasmitir información y el de guiar a los estudiantes en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
El profesor se encargó de planificar las 4 actividades, teniendo en cuenta las habilidades geométricas a desarrollar en los estudiantes de primero medio, respecto al contenido de congruencia de figuras planas.
Nota. Elaboración propia (2016).
80
4.5 Triangulación de los datos En esta investigación se opta por la triangulación de los datos de los
informantes y de los instrumentos aplicados en el estudio, para la obtención de
los hallazgos, combinándose diferentes técnicas cualitativas de recogida de
datos, para el estudio de un único fenómeno.
La triangulación de los datos se realiza teniendo en cuenta la pregunta de
investigación: ¿Cómo influye el Aprendizaje Cooperativo en el desarrollo de las
habilidades geométricas en los estudiantes de primero de un colegio de Puerto
Montt?
Una vez recabados los datos cualitativos de los diferentes informantes, a través
de diferentes instrumentos de recolección, se procede a describir, analizar e
interpretarlos. Para trabajar con la información se ha utilizado el Análisis
Cualitativo, ya que se considera que el objetivo central de esta investigación se
relaciona con “conocer el significado que está inmerso en la trama tejida por el
texto o discurso de los sujetos entrevistados” (Echeverría, 2005).
En la triangulación se cotejan los datos obtenidos en la propuesta didáctica, con
los resultados obtenidos en la entrevista semi-estructurada aplicada al profesor
de matemáticas y con la entrevista no estructurada aplicada a los estudiantes
de primero medio.
4.6 Interpretación de los resultados
El análisis de la triangulación revela que los informantes coinciden en señalar
que el Aprendizaje Cooperativo influye positivamente en el desarrollo de las
habilidades geométricas en los estudiantes de primero medio de un colegio de
Puerto Montt, puesto que, cuando se aplicó la propuesta didáctica para la
enseñanza de la geometría, los estudiantes se sintieron cómodos al trabajar en
81
grupos y muy atraídos por las actividades didácticas que se realizaron. El
motivo de esta atracción recae en que las actividades eran innovadoras y
ayudaban a los estudiantes a practicar de manera entretenida el contenido de
congruencia de figuras planas.
También se muestra una convergencia entre los informantes en cuanto a que la
metodología de Aprendizaje Cooperativo promueve el aprendizaje de los
estudiantes de bajo rendimiento, ya que, en muchas ocasiones los estudiantes
de buen rendimiento ayudan a los de bajo rendimiento. Además, los estudiantes
señalaron que cuando no entienden algo le preguntan al profesor o a un
compañero que maneje el contenido.
Asimismo, el trabajar en grupo obliga a los estudiantes a interactuar con sus
compañeros, promoviendo la relación entre los estudiantes y el interés por el
contenido de congruencia de figuras planas. Además, de promover la
participación de los estudiantes en la sala de clases, ya que, para ellos es
mucho más fácil aportar ideas, resolver dudas, aclarar, etc., pues se sienten
mucho más cómodos conversando con sus compañeros de grupo que
formulando preguntas y realizando comentarios a toda la clase.
Los datos recogidos en la observación participante están en armonía con los
datos aportados por los informantes, en relación a que el rol del profesor fue el
de supervisar a los grupos para que trabajen de manera continua, y el de guiar
a los estudiantes en el desarrollo de cada actividad, señalando lo que se debía
hacer y a lo que debían llegar. De este modo, se promovió la relación entre el
profesor y sus estudiantes. Cabe mencionar que para la realización de una
clase es fundamental el compromiso del profesor.
Las cuatro actividades de la propuesta didáctica estaban diseñadas para
desarrollar las habilidades geométricas en los estudiantes de primero medio.
Los ayudaron a visualizar, lo cual fue muy importante en la resolución de los
82
problemas, ya que al resolver problemas geométricos es muy probable que los
estudiantes tengan dificultades, debido a que no logran estructurar lo que
observan o lo estructuran de manera que no llevan a la solución del problema.
Los ayudaron a interpretar, entender y comunicar de manera escrita la
información geométrica, además a justificar utilizando el concepto de
congruencia de figuras planas. Los ayudaron a dibujar, realizando
construcciones geométricas, respecto a la información dada. Los ayudaron a
razonar y a argumentar. Finalmente, los ayudaron a aplicar y transferir el
contenido de congruencia de figuras planas a situaciones de la vida cotidiana.
Las actividades a través del Aprendizaje Cooperativo, hicieron que los
estudiantes vean a la geometría desde otro punto de vista, provocando que no
sientan temor ni rechazo por esta disciplina.
El rol del profesor fue fundamental para el desarrollo de la propuesta didáctica,
ya que, tuvo que planificar las actividades, considerando en cada una de ellas
las habilidades geométricas a desarrollar en los estudiantes de primero medio.
Además, de ser un guía en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la
geometría. Cabe destacar que, el profesor estimuló la comunicación entre los
integrantes de grupo para el desarrollo de cada actividad, siendo un facilitador,
examinador y estimulador del trabajo en grupos, pero se destacó especialmente
en guiar a los estudiantes a la construcción de los triángulos congruentes con la
ayuda de la regla, el compás y el transportador.
En concordancia con la literatura consultada y la interpretación de los
resultados obtenidos de los instrumentos aplicados, se demuestra que en el
proceso de Enseñanza y Aprendizaje de la geometría, mediante el Aprendizaje
Cooperativo, los grupos desarrollaron la habilidad de Visualización, cuando
Identificaron las figuras planas congruentes y cuando identificaron los criterios
de congruencia de triángulos. Los grupos desarrollaron la habilidad de
Comunicación, cuando leyeron las instrucciones de la actividad, cuando leyeron
83
e interpretaron cada enunciado, cuando los miembros de cada grupo
discutieron las posibles estrategias de resolución y cuando justificaron sus
respuestas. Los grupos desarrollaron la habilidad de Dibujo, cuando dibujaron
los pares de figuras planas congruentes y cuando construyeron triángulos
congruentes con la ayuda de la regla, el compás y el transportador. Los grupos
desarrollaron la habilidad de Razonamiento, cuando demostraron los pares de
triángulos congruentes y cuando argumentaron sus respuestas. Y desarrollaron
la habilidad de Aplicación y Transferencia, cuando aplicaron los conceptos de
congruencia de figuras planas y de los criterios de congruencia de triángulos en
situaciones de la vida cotidiana.
84
CAPÍTULO IV Conclusiones, Aportaciones y Sugerencias
En este último capítulo se resumen las conclusiones fundamentales de la
investigación, se identifican las aportaciones de la Tesis y se sugieren posibles
desarrollos futuros de la investigación.
En busca de responder al objetivo fundamental de este trabajo: “Diseñar una
propuesta didáctica para la enseñanza de la Geometría, mediante el
Aprendizaje Cooperativo, con la finalidad de contribuir al desarrollo de las
habilidades geométricas en los estudiantes de primero medio de un colegio de
Puerto Montt”, en contrastación con el Marco Teórico, que sustenta el problema
estudiado, se precisan los hallazgos encontrados.
En el estudio documental realizado al inicio de la investigación, se identificó que
la tendencia actual en la enseñanza de la Geometría en la Educación Media, es
la memorización de conceptos y propiedades, que muchas veces no son
comprendidos por todos los estudiantes. En este ambiente, los estudiantes
permanecen en sus puestos, atendiendo a lo que el profesor explica,
provocando limitaciones y apatía de los estudiantes por aprender Geometría.
Por otra parte, se determinó que en el trabajo con el tema “Congruencia de
figuras planas”, los estudiantes debían desarrollar las habilidades geométricas
de Visualización, de Comunicación, de Dibujo, de Razonamiento, y de
Aplicación y transferencia. De modo que, una parte de la planificación de las
actividades estuvo dirigida hacia la identificación, construcción y justificación de
las figuras planas y figuras congruentes y otra a la aplicación de lo aprendido a
situaciones del mundo físico o de otras disciplinas.
85
Las actividades se diseñaron y aplicaron bajo la metodología del Aprendizaje
Cooperativo. Después de un análisis de las necesidades de aprendizaje real de
los estudiantes, del contenido y de las habilidades geométricas a adquirir, se
determinaron las técnicas y estrategias de enseñanza y aprendizaje apropiadas
para alcanzar los resultados esperados.
En la primera actividad, sólo un poco más de la mitad de los estudiantes de
primero medio, muestran un adecuado rendimiento en la asignatura de
matemáticas e interés por realizar la actividad. La técnica utilizada fue “Tutoría
entre iguales: Peer Tutoring”. En este caso, el grupo estuvo formado por dos
integrantes. Un estudiante dotado académicamente y otro de bajo rendimiento.
Claramente, el primero jugó el papel de tutor, respondiendo a las demandas de
ayuda de su compañero de grupo, logrando así mejorar el rendimiento de este.
Luego, el interés de los estudiantes fue en aumento, así como el rendimiento
académico y el desarrollo de habilidades geométricas.
Finalmente, las evidencias presentadas durante y al final del estudio
demuestran que el Aprendizaje Cooperativo es un modelo educativo innovador,
que propone una manera distinta de organizar el proceso de enseñanza y
aprendizaje y mejora el conocimiento metacognitivo de los estudiantes.
En este sentido, se comprende cómo las técnicas y las estrategias que
prevalecen en la metodología del Aprendizaje Cooperativo maximizan el
aprendizaje de todos los estudiantes y el desarrollo de las habilidades
geométricas en los estudiantes de primero medio de un colegio de Puerto
Montt. Estos estudiantes fueron capaces de leer un texto en grupo y explicar los
conceptos de congruencia de figuras planas y los criterios de congruencia de
triángulos, de modo que, construyeron un nuevo conocimiento, de manera
cooperativa, centrado sobre la base de los conocimientos previos que poseían.
86
Aportaciones
El aporte de esta tesis, está directamente relacionada con las conclusiones. Ello
radica en que, mediante la propuesta didáctica, les brindamos a los profesores
de matemáticas, una herramienta que les permitan obtener mayores resultados
del proceso de enseñanza y aprendizaje de la Geometría, así como también,
mostrarles que es tiempo de cambiar la tradicional forma de enseñar Geometría
por la metodología de Aprendizaje Cooperativo, para que motive a sus
estudiantes en cómo aprender a aprender, con pensamiento crítico, con
actitudes y destrezas para lograr futuros aprendizajes y con capacidad de
resolver problemas.
Sugerencias
Las siguientes sugerencias están fundamentadas en base a los resultados y a
las conclusiones a que se llegó en el presente estudio.
1. A la luz del análisis de los resultados de esta investigación, se sugiere
realizar futuras investigaciones sobre el tema, que pudieran aportar
nuevas teorías.
2. Promover la metodología del Aprendizaje Cooperativo en la enseñanza
de la Geometría, en la Educación Media.
87
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ANEXOS
Anexo 1: Guía para la entrevista Semi-estructurada
94
Anexo 2: Guía para la entrevista no estructurada
95
Anexo 3: Actividad N°1
96
Desarrollo del grupo 1
97
98
Desarrollo del grupo 2
99
100
Fotografías del desarrollo de la actividad n°1
101
Anexo 4: Actividad N°2
102
Desarrollo del grupo 1
103
Desarrollo del grupo 2
104
Fotografías del desarrollo de la actividad n°2
105
Anexo 5: Actividad N°3
106
Desarrollo del grupo 1
107
Desarrollo del grupo 2
108
Fotografías del desarrollo de la actividad n°3
109
Anexo 6: Actividad N°4
110
Desarrollo grupo 1
111
Desarrollo grupo 2
112
Fotografías del desarrollo de la actividad n°4.
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