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resoluciones matematicas
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Puntos de inflexión
Cálculo de los puntos de inflexión
Cálculo de los puntos de inflexión conociendo los intervalos de concavidady convexidad
Ejercicios
Tema
Recta tangen te
Recta normal
Crecimien to
Máximos y mín imos
Op timiz ación
Concavid ad
Pun to de in f lexión
Sitio
In icio
Def in ición derivada
Derivadas Inmed iatas
D. Logarí tmicas
D. Trig onométri cas
D. T. inversas
Otras d erivadas
Ap l i caciones derivadas
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En los puntos de inf lexión hay cambio de concavidad a convexidad oviceversa.
f (x) = x3 − 3x + 2
1. Hal lamos la der ivada segunda y calculamos sus raíces.
f ' ' (x) = 6x 6x = 0 x = 0.
2. Real izamos la der ivada tercera, y calculamos el s igno que tomanen el la los ceros de der ivada segunda y si :
f '''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inf lexión.
f ' ' ' (x) = 6 Será un punto de inf lexión.
3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inf lexión.
f (0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2
Punto de inf lexión: (0, 2)
Los puntos de inf lexión son los puntos de la función en que ésta pasade cóncava a convexa o v icecersa.
Dominio
Tenemos un punto de inf lexión en x = 0, ya que la función pasa deconcava a convexa.
Punto de inf lexión (0, 0)
Problemas
Obtener la ecuación de la tangente a la gráf ica de f (x) = 2x3 − 6x2 +4 en su punto de inf lexión.
f ' (x) = 6x2− 12x f ' ' (x) = 12x − 121
2x − 12 = 0 x = 1
f ' ' ' (x) = 12 f ' ' ' (1) ≠ 0 f (1) = 0
Punto de inf lexión: (1, 0)
f ′(1) = 6 − 12= − 6 = m
y − 0 = −6(x − 1) y = −6x + 6
La curva f (x) = x3 + ax2 + bx + c corta al eje de abscisas en x = 3y tiene un punto de inf lexión en (2/3, 1/9). Hal lar a, b y c.
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Política de pr ivacidad>
Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto deinf lexión a la curva: f (x) = x³ − 3x² + 7x + 1.
f ' (x) = 3 x 2 − 6x+ 7
f ' ' (x) =6 x − 6
6 x − 6 = 0 x= 1
f ' ' ' (x) =12 f ' ' ' (1) ≠ 0 f (1)= 6
Punto de inf lexión: (1, 6)
m t = f ′(1) = 4 m n = −1/4
Recta tangente: y − 6 = 4 (x − 1) 4x − y + 2 = 0
Recta normal: y − 6 = − 1/ 4 (x − 1) x + 4 y − 25 = 0
Sea f(x) = x3 + ax2 + bx + 7. Hal lar a y b de manera que la gráf icade la función f (x) tenga para x= 1 un punto de inf lexión, y cuya rectatangente en ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX.
f ' (x) = 3 x2 + 2 ax + b f ' ' (x) = 6x + 2a
f ' (1) = 1 3 + 2a + b = 1
f ' ' (1) = 0 6 + 2a = 0
a = − 3 b = 4
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