Randall Romero Aguilar, PhD randall.romero@ucr.ac

Repaso: Ecuaciones diferenciales

Randall Romero Aguilar, PhDrandall.romero@ucr.ac.cr

EC3300 - Crecimiento EconómicoII Semestre 2021

Última actualización: 20 de septiembre de 2021

Tabla de contenidos

1. Introducción

2. Ecuaciones diferenciales ordinarias

3. EDO lineales

4. EDO no lineales

1. Introducción

I Muchos modelos económicos útiles se formulan en tiempo continuo, incluyendo:I crecimiento económico óptimoI gestión de recursos renovablesI gestión de recursos no renovablesI migración regionalI equilibrio del mercado financieroI mercados de opciones y de futurosI sistemas económico-ecológicos acopladosI planificación de la producción con costes de ajuste

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I En este capítulo repasamos el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias.I Esto nos ayudará cuando pasemos luego a los modelos de optimización dinámica.

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2. Ecuaciones diferenciales ordinarias

I Una ecuación diferencial ordinaria, o EDO, es una ecuación funcional queinvolucra una función Rd de variable vectorial x de una variable independiente ysus derivadas.

I En aplicaciones económicas, la variable independiente es el tiempo t y x es unproceso dinámico determinístico que asume estado x(t) en el momento t.

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I En general, las EDO pueden involucrar derivadas de cualquier orden.I Sin embargo, para estudiar los procesos económicos dinámicos, basta con

centrarse en las EDO autónomas de primer orden, en las que la tasa de cambio delproceso estatal depende exclusivamente del estado:

x ≡ dx

dt= f(x).

I Llamamos f : Rd 7→ Rd la función de velocidad.I Un estado x∗ en el cual x = f(x∗) = 0 se llama estado estacionario, ya que

cualquier proceso que alcance ese estado permanece allí indefinidamente.

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I Una EDO normalmente tendrá más de una solución.I Sin embargo, normalmente buscamos la solución única que satisfaga además las

condiciones de frontera prescritas

bk (x(τk)) = 0, k = 1, 2, . . . , d,

que impone restricciones al estado del proceso en momentos específicos τk.I Si, más específicamente, se especifica el estado en el tiempo 0, se dice que la

EDO plantea un problema de valor inicial.

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3. EDO lineales

I La EDO más simple es la EDO homogénea lineal autónoma de primer orden

x = Ax

donde A es una matriz d× d.I Nos referiremos a esto como una EDO lineal para abreviar.I Generalmente asumiremos que A es invertible.I En tal caso, el proceso tendrá un único estado estacionario, x = 0.

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Solución de EDO lineales

I Si A es diagonal, la EDO lineal toma la forma

xi(t) = aixi(t), i = 1, 2, 3, . . . , d.

I Claramente, tal EDO tiene una solución única

xi(t) = cieait

donde los ci están determinados por las condiciones de frontera.I En particular, si se especifica el valor inicial x(0) = x,

xi(t) = xieait.

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I Si A no es diagonal, pero tiene eigenvalores distintos, podemos escribir

A = V ΛV −1

donde Λ es una matriz diagonal de eigenvalores λj de A y V es una matrizinvertible cuyas columnas vj son los eigenvectores correspondientes.

I Llamamos a esto la descomposición espectral de A.

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I Así, podemos escribir

x = Ax

= V ΛV −1x

V −1x︸ ︷︷ ︸y

= ΛV −1x︸ ︷︷ ︸y

I donde y ≡ V −1x. Como Λ es diagonal, se sigue que

yj(t) = cjeλjt.

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I Aplicando la transformación inversa x = V y, se sigue que

x(t) =∑j

cjeλjtvj

donde λj son los eigenvalores de A, vj son los eigenvectores correspondientes, ylos coeficientes cj están determinados por las condiciones de frontera.

I Note que si el valor inicial x(0) = x se especifica, entonces el vector decoeficientes viene dado por

c = V −1x.

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I Para comprender mejor las EDO lineales, examinemos a fondo el caso en el que Aes 2× 2.

I Los eigenvalores de A son reales o un par conjugado complejo.I Para evitar casos muy finos sin interés práctico, suponga que los eigenvalores de A

son distintos de cero y distintos entre sí.I Entonces A es invertible y posee una descomposición espectral.I Además, x = Ax posee un estado estable único x∗ = 0.

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I Se puede visualizar un proceso bidimensional con un diagrama de fase, que setraza en el espacio de estado x1 − x2 e incluye las siguientes características:

I La isoclina de x1 indica estados en los que x1 = 0,I La isoclina de x2 indica estados en los que x2 = 0,I Las dos isoclinas se cruzan en un estado estacionario.I El campo de velocidad indica la velocidad x = Ax en diferentes estados,

representando la dirección y velocidad del proceso.I Las separatrices, las líneas generadas por múltiplos escalares de los eigenvectores

de A, nunca son cruzadas por el proceso y dividen el espacio de estados enregiones de distintos modos de comportamiento.

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Eigenvalores reales

I Si A tiene eigenvalores reales distintos λ1 y λ2 con los correspondienteseigenvectores v1 y v2, entonces x = Ax tiene una solución única

x(t) = c1eλ1tv1 + c2e

λ2tv2

donde c1 y c2 están determinados por las condiciones de frontera.I Hay tres subcasos:

I dos eigenvalores negativos implican un estado estacionario estableI dos eigenvalores positivos implican un estado estacionario inestableI Los eigenvalores de signo opuesto implican un estado estacionario de punto de silla

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Eigenvalores reales negativosI Considere la EDO x = Ax donde

A =

[−0.75 0.250.25 −0.75

]I A tiene eigenvalores λ1 = −1.0 y λ2 = −0.5

con eigenvectores

v1 =

[1−1

]v2 =

[11

]I El estado estable es estable.I Un proceso que se origina…

I en una separatriz converge a lo largo deella.

I en otro lugar converge sin cruzar unaseparatriz.

1 0 1x0

1

0

1

x 1

x 0=

0

x1 = 0

v0v1Negative Real Eigenvalues

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Eigenvalores reales positivosI Considere la EDO x = Ax donde

A =

[0.75 −0.25−0.25 0.75

]I A tiene eigenvalores λ1 = 0.5 y λ2 = 1.0 con

eigenvectores

v1 =

[−1−1

]v2 =

[−11

]I El estado estable es inestable.I Un proceso que se origina…

I en una separatriz diverge a lo largo deella.

I en otra parte diverge asintóticamente alo largo de la separatriz con eleigenvalor más grande.

1 0 1x0

1

0

1

x 1

x 0=

0

x1 = 0

v0

v1Positive Real Eigenvalues

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Eigenvalores reales, signos opuestosI Considere la EDO x = Ax donde

A =

[−0.25 0.750.75 −0.75

]I A tiene eigenvalores λ1 = −1.0 y λ2 = 0.5

con eigenvectores

v1 =

[1−1

]v2 =

[11

]I El estado estable es un punto de silla.I Un proceso que se origina…

I en una separatriz estable converge a lolargo de ella.

I en una separatriz inestable diverge a lolargo de ella.

I en otra parte diverge asintóticamente a lolargo de la separatriz inestable.

1 0 1x0

1

0

1

x 1

x0 = 0

v0v1Real Eigenvalues of Oposite Signs

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Eigenvalores conjugados complejos

I Si A tiene eigenvalores conjugados complejos α± βi con los eigenvectorescorrespondientes u± wi, entonces x = Ax tiene solución

x(t) = eαt [cos(βt)(c1u− c2w)− sin(βt)(c2u+ c1w)]

donde c1 y c2 están determinados por las condiciones de frontera.I El proceso se caracteriza por ser producto de dos componentes:

I Una porción con seno y coseno que sigue un movimiento armónico simple.I Un factor de escala eαt que depende de la parte real de los eigenvalores α.

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I Hay tres subcasos:I α < 0 implica un estado estable cíclicamente estableI α > 0 implica un cíclicamente inestable estado estableI α = 0 implica un estado estacionario cíclicamente estacionario

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Eigenvalores complejos, parte real ceroI Considere la EDO x = Ax donde

A =

[0 1−1 0

]I A tiene eigenvalores λ = 0± i con

eigenvectores [10

]±[01

]i

I El proceso posee un estado establecíclicamente estable.

I Un proceso que no se origina en el estadoestacionario tendrá un ciclo indefinido, niconvergerá ni divergerá.

1 0 1x0

1

0

1

x 1 x0 = 0

x 1=

0

Complex Eigenvalues with Zero Real Part

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Eigenvalores complejos, parte real negati-vaI Considere la EDO x = Ax donde

A =

[0 1−1 −0.3

]I A tiene eigenvalores λ = −0.15± 0.9887i

con eigenvectores[0.7071−0.1061

]±

[0

0.6991

]I Un proceso que no se origina en el estado

estacionario se desplazará en espiral haciaadentro, convergiendo hacia el estadoestacionario.

1 0 1x0

1

0

1

x 1 x0 = 0x

1 =0

Complex Eigenvalues with Negative Real Part

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Eigenvalores complejos, parte real positivaI Considere la EDO x = Ax donde

A =

[0 1−1 0.1

]I A tiene eigenvalores λ = 0.05± 0.9887i con

eigenvectores[0.70710.0354

]±[

00.7062

]I Un proceso que no se origina en el estado

estacionario se desplazará en espiral haciaafuera, divergiendo del estado estacionario. 1 0 1

x0

1

0

1

x 1 x0 = 0

x 1=

0

Complex Eigenvalues with Positive Real Part

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4. EDO no lineales

I Muchas EDO de primer orden encontradas en aplicaciones económicas

x = f(x)

poseen una función de velocidad no lineal f .I Las EDO no lineales generalmente no poseen soluciones de forma cerrada y deben

resolverse numéricamente.I Sin embargo, se pueden usar métodos analíticos para obtener información sobre el

comportamiento de las soluciones cercanas a un estado estacionario.

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Linealización

I Primero exploramos lo que se puede decir analíticamente acerca de las solucionesa una EDO no lineal.

I Un estado estacionario x∗ de un proceso dinámico se caracteriza por

f(x∗) = 0,

un problema de búsqueda de raíces no lineal.I Dado que las funciones no lineales pueden poseer múltiples raíces, una EDO no

lineal puede poseer múltiples estados estacionarios.

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I El comportamiento de un proceso no lineal cerca de un estado estable x∗ puedeanalizarse linealizando la función de velocidad:

x = f(x) ≈ f(x∗) + f ′(x∗)(x− x∗) = f ′(x∗)(x− x∗).

I La desviación de x del estado estable, y ≡ x− x∗, a un primer orden deaproximación, se caracteriza por una EDO lineal:

y = f ′(x∗)y.

I Por tanto, el comportamiento de x cerca de su estado estable x∗ puede deducirsede la descomposición espectral del jacobiano de la función de velocidad en elestado estable, f ′(x∗).

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Métodos de solución numérica

Tres métodos se utilizan ampliamente para resolver EDO no lineales numéricamente:I método de EulerI Método de Runge-KuttaI Método de colocación

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Referencias I

Miranda, Mario J. y Paul L. Fackler (2002). Applied Computational Economics and Finance.MIT Press. isbn: 0-262-13420-9.

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