Razón de Cambio Promedio Razón de Cambio instantánea (la derivada)

Razón de Cambio Promedio

Razón de Cambio instantánea

(la derivada)

Razón de Cambio Promedio

La razón de cambio promedio de “y” respecto a “x”, cuando x cambia de x1 a x2 corresponde a la razón de: el cambio en el valor de salida entre el cambio en el valor de entrada:

1212

12 ; xxxxyy

Ejemplo:

Para f(x) = x2, determine la razón de cambio promedio cuando:

a. x cambia de 1 a 3

b. x cambia de 1 a 2

c. x cambia de 2 a 3

Razones de cambio promedio

x x + h

f (x)

f (x+h)

h

Ls

Razones de cambio promedio

La razón promedio de f con respecto a x está dado por:

0,)()(

hdondeh

xfhxf

Ejercicio:

Para f(x) = x2 determine la razón de cambio promedio en cada caso:

a. x = 5 y h = 3

b. x = 5 y h = 0,1

Note que la razón de cambio promedio no es otra cosa que la pendiente de la recta secante (L s) la gráfica de la función. Es decir :

hxfhxf

mLs)()(

Razones de cambio promedio

x x + h

f (x)

f (x+h)

h

Ls

La Derivada

Si tomamos el límite de la razón de cambio promedio cuando “h” tiende a cero, la pendiente de la recta secante se convierte en la pendiente de la recta tangente, observemos:

x

y

0x

)( 0xf

)( 0 hxf

hx 0

h

x

y

0x

)( 0xf

)( 0 hxf

hx 0h

x

y

0x

)( 0xf

)( 0 hxf

hx 0h

x

y

0x

)( 0xf)( 0 hxf

hx 0h

x

y

0x

)( 0xf )( 0 hxf

hx 0

Tangente!!!

En el límite, cuando h tiende a cero, la recta secante se confunde con la recta tangente en x0 , y podemos decir que :

h

xfhxfLímmh

LT

)()( 00

0

Este último límite es conocido en el Cálculo Diferencial é Integral como la derivada de la función respecto de la variable x, en x = x0 .

En consecuencia, la derivada de una función es numéricamente igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x = x0 .

El valor de la derivada de una función indica la rapidez con que la función está cambiando en un valor específico de x, en x = x0.

entonces,la derivada de una

función en x = x0 es:

hxfhxf

Límh

)()( 00

0

Pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x = x0

La razón de cambio instantánea de la función en x = x0

Conceptualización de la derivada de una función

Notación de la derivada de una función :

La derivada de una función y = f(x) respecto de la variable x, se denota de las siguientes maneras :

dxdy )(xf y

Ejemplo:

Usando la definición, determine las expresiones de la derivada de las siguientes funciones :

a) f(x)=x b) f(x)= x2

Ejemplo

Determine la ecuación de la tangente a la curva y = x2 en el punto donde x = 2.

Técnicas de derivación

Regla de la potencia

¿Cuáles eran las derivadas de las siguientes funciones?

1. f(x) = x

2. f(x) = x2

¿Se puede generalizar?

Regla de la potencia

Ejemplos

1 kk xkyxy

:kreal,númerocualquierPara

Derivada de una función constante

La derivada de una función constante es ceroEs decir : 0 ycy

Ejemplos

Derivada de una constante por una función:

La derivada de una constante por una función, corresponde a la constante multiplicada por la derivada de la función.

Esto se puede escribir asi :

fcyfcy ..

Ejemplos

Derivada de una suma o diferencia de funciones

La derivada de una suma o diferencia de funciones, es igual a la suma o diferencia de las derivadas de dichas funciones

gfygfy

Ejemplos

Derivada del producto de funciones

gfgfygfy ...

Ejemplos

Derivada del cociente de funciones

Si : 0, ggf

y

Entonces:

2

..g

gfgfy

Ejemplos

Aplicación de la razón de cambio instantánea

Marginalidad

Razón de cambio instantánea

hxfhxf

límxfh

)()()(

0

ainstantánecambiodeRazón:ffuncióncualquierPara

Análisis Marginal

¿Cómo podríamos determinar en forma aproximada el costo de producción de la novena unidad sin tener que hacer una diferencia de costos?

Análisis Marginal

8 9

C(8)

C(9)Creal Caproximado

C(q)

La pendiente de la recta tangente en q = 8 es la derivada del costo total en q = 8

Análisis Marginal

Esta pendiente es numéricamente igual a cociente Caproximado / 1, es decir, al costo aproximado

De los párrafos anteriores se puede deducir que C´(8) = Caproximado unidad 9

Análisis Marginal

A este costo aproximado se le conoce como el costo marginal de producir la novena unidad

En general podemos decir que :

C marginal unidad “n” = C´(n-1)

Análisis Marginal

La función ingreso marginal es la derivada de la función ingreso

La función utilidad marginal es la derivada de la función utilidad

Análisis Marginal