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Coordenadas en el espacio
Un punto O y una base B = {i ,
j ,
k } de los vectores libres del
espacio constituyen un sistema de referencia en el espacio.
Se escribe S = {O;i ,
j ,
k }.
En lo que sigue, por comodidad, trabajaremos en la base ortonormal.
[OP] = x .
i + y .
j + z .
k
(x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia S.
Vector de posición de P
Origen de coordenadas
Ejes coordenados. Planos coordenados
• Los tres vectores de la base B determinan con el origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ.
• Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia.
Coordenadas de un vector libre cualquiera
PQ =
OQ –
OP
[
PQ] =
OQ –
OP =
= (b – a, b' – a' , b" – a")
Los puntos P y Q determinan el
vector fijo PQ
OP +
PQ =
OQ
Las coordenadas de un vector libre u = [
PQ] respecto de la base B =
{i ,
j ,
k } se obtienen restando las coordenadas del punto P de las
correspondientes de Q en el sistema de referencia S = {O;i ,
j ,
k }.
m =
a +
AM =
a +
12
AB =
= a +
12 (
b –
a ) =
12 (
a +
b )
Coordenadas del punto medio de un segmento
Elementos geométricos
Los objetos o elementos geométricos elementales del espacio tridimensional son los puntos, las rectas, los planos, las curvas y las superficies.
Estos elementos geométricos pueden determinarse mediante ecuaciones paramétrica. La dimensión del elemento coincide con el número de parámetros.
Dimensión
Rectas y curvas(dimensión 1)
Planos y superficies(dimensión 2)
Rectas en el espacio: ecuación vectorial
Una recta viene determinada por un punto y una dirección. La dirección está
marcada por un vector libre u llamado
vector director.
Un punto X está en la recta si y sólo si PX
y u son proporcionales: [
PX] = t ·
u
Si p es el vector de posición de P,
x es
el vector de posición de X, quedará: x –
p = t ·
u es decir:
x =
p + t ·
u
La expresión x =
p + t ·
u con t R es la ecuación vectorial de la recta que
pasa por P y tal que u es un vector director de la misma.
Rectas en el espacio: ecuaciones paramétricas
La recta que pasa por P de vector directorv (v1, v2, v3) se puede poner así:
(x, y, z) = (xo, yo, zo) + t (v1, v2, v3) Al igualar coordenadas obtenemos:
Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene
por vector director v (v1, v2, v3) son
x = xo + t.v1
y = yo + t.v2
z = zo + t.v3
x = xo + t.v1
y = yo + t.v2
z = zo + t.v3
Rectas en el espacio: ecuación en forma continua
Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto P (x0,y0,z0) y tienen por vector director (v1,v2,v3) son:
30
20
10
tvzz
tvyy
tvxx
Las ecuaciones simétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene por
vector director (v1, v2, v3) son:
Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de la recta que no dependen de ningún parámetro
1. Encuentre las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta r que pasa por los puntos P (2, -1, 6) y Q(3, 1, -2).
2. Encuentre las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto (1, -2, 4) y es paralela al vector v=i + j - k
Rectas en el espacio: ecuación implícita
Las ecuaciones simétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene por
vector director v (v1, v2, v3) son
x – xo
v1 =
y – yo
v2 =
z – zo
v3
1 1
1 2
x x y y
v v
1 1
3 1
z z x x
v v
1 1
2 3
y y z z
v v
De aquí obtenemos tres ecuaciones:
Como la tercera ecuación es combinación lineal de la otras dos, suprimiendo una ellas, la tercera por ejemplo, y operando obtenemos:
2 1 1 1 1 2
3 2 1 2 1 3
0
0
v x v y y v x v
v y v z z v y v
Este par de ecuaciones es la ecuación de la recta en forma implícita. En general :
0D'zC'yB'xA'
0D Cz By Ax
Ecuaciones de los ejes coordenados
Vectorial Paramétrica Continua
Eje OXx = t
i
x = t
y = 0z = 0
x1 =
y0 =
z0
Eje OYx = t
j
x = 0
y = tz = 0
x0 =
y1 =
z0
Eje OZx = t
k
x = 0
y = 0z = t
x0 =
y0 =
z1
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
(a1, a2, a3)
(b1, b2, b3)
Por tanto la ecuación de la recta será:(x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (b1–a1, b2–a2, b3–a3 )
La recta r queda determinada por la siguiente
determinación lineal: r(A, ) o por(B, )AB
AB
Planos: ecuación vectorial
Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes. Se dice que a (A, v, w ) es una determinación lineal del plano alfa.
X está en si y solo si AX es
combinación lineal de v y w. Por tanto
existirán dos números reales s y t tales
que: AX = s v + t w
Por tanto x – a = s v + t w
Y de aquí se obtiene la ecuación vectorial del plano:
x = a + s v + t w, con s R y t R
Se observa además que X rango (AX, v, w) = 2 det (AX, v, w) = 0
Planos: ecuaciones paramétricas
Partiendo de la ecuación vectorial del plano: (x, y, z) = (x1, y1, x1) + t (a, b, c) + s (a', b', c')
obtenemos las ecuaciones paramétricas utilizando las operaciones con ternas de números de R3 e igualando después. Por tanto las ecuaciones paramétricas del plano son las siguientes:
Notación: por lo general un plano se denota por
Ecuación cartesiana de un plano
El plano que contiene a el punto A(x1, y1, z1) y tiene un vector normal n= (a, b, c) , este plano consta de todos los puntos B (x2, y2, z2 ) para los cuales , puede representarse en forma canónica a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0
ax +by +cz + d=0 forma general
a(x – x1) + b(y – y1) + c(z – z1) = 0Si B (x, y, z )
n . [
AB] =0
Vector normal a un plano
Observamos que: AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
Como A (x1,y1,z1) y B (x2,y2,z2) tenemos que:
ax1 + by1 + cz1 + d = 0 ax2 + by2 + cz2 + d = 0
Restando término a término obtenemos: a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0
(a, b, c) . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = 0n . [
AB] = 0
El vector n es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano, es
decir está en una dirección perpendicular al plano. Recibe el nombre de vector normal al plano. Sus coordenadas son (a,b,c)
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