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Recursividad
Estructuras de datos
DefiniciónUn algoritmo es recursivo cuando se define en términos de una versión más simple de si mismo.
Características
1. Debe existir una salida en la que no se haga la llamada recursiva2. La llamada recursiva debe ser versión más simple que la llamada que la invocó.
Multiplicación entera
El producto de dos números enteros a y b se puede definir recursivamente como sigue:
a * b = a si b == 1
a * b = a * (b – 1) + a si b>1
Ejemplo:
3*4 = 3*3+3 = 3*2+3+3=3*1+3+3+3 = 3+3+3+3 = 12
Definición recursiva del FactorialDefinición
n! = 1, si n = 0n! = n (n – 1)!, si n > 0
5! = 5*4!= 5*4*3!= 5*4*3*2!= 5*4*3*2*1!= 5*4*3*2*1*0!= 5*4*3*2*1*1= 5*4*3*2*1= 5*4*3*2= 5*4*6= 5*24= 120
Algoritmo
Algoritmo para evaluar el factorial de un número.
FUNCIÓN FACTORIAL(N:ENTERO) REGRESA ENTERO1. SI N = 0 ENTONCES
a. REGRESAR 12. SINO
a. X = N – 1b. Y = N * FACTORIAL(X)c. REGRESAR Y
SIMULACIÓN DEL FACTORIAL DE 4
n x y
12
34
0
n x y
* * 4
n x y
**3* 3
4
n x y
*
*3**
2234
n x y
*
*3**
21
*
1234
n x y
*
*3**
21
*0*
1234
n x y
*3**
21
10234
n x y
*3*1
21
34
n x y
*322
4
n x y
63
(a) inicio. (b) fact(4) (c) fact(3) (d) fact(2) (e) fact(1)
(f) fact(0) (g) y = fact(0) (h) y = fact(1) (i) y = fact(2) (j) y = fact(3)
(k) fact(4) = 24, pilas vacia.
Factorial en C
float fact(int n){
if(n == 0)
return 1;
else
return n*fact(n-1);
}
Números de Fibinacci
La secuencia de Fibonacci se define de la siguiente manera.
Los dos primeros elementos de la secuencia son 0 y 1.
Cualquier otro número de Fibonacci se obtiene sumando los dos anteriores.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
DEFINICIÓN RECURSIVA DE LOS NÚMEROS DE FIBONACCI
Algoritmo para calcular el n-ésimo número de Fibonacci.FUNCION FIB(N:ENTERO) REGRESA ENTERO1. SI N = 0 OR N = 1 ENTONCES
a. REGRESA N2. SINO
a. X FIB(N-1)b. Y FIB(N-2)c. REGRESA X + Y
fib(n) = n , si n = 0 o n = 1
fib(n) = fib(n – 1) +fib(n – 2) , si n > 1
SIMULACIÓN DE FIB DE 5
n x y
5
n x y
* *
n x y n x y n x y
n x y n x y n x y n x y n x y
5 * *4 * *
5 * *4 * *3 * *
5 * *4 * *3 * *2 * *
5 * *4 * *3 * *2 * *1 * *
5 * *4 * *3 * *2 1 *
5 * *4 * *3 * *2 1 *0 * *
5 * *4 * *3 * *2 1 0
5 * *4 * *3 1 *
5 * *4 * *3 1 *1 * *
n x y
5 * *4 * *3 1 1
n x y
5 * *4 2 *
n x y
5 * *4 2 *2 * *
n x y
5 * *4 2 *2 * *1 * *
n x y
5 * *4 2 *2 1 *
(a) (b) (c) (d) (e)
(f) (g) (h) (i) (j)
(k) (l) (m) (n) (o)
Número de Fibonacci en C
int fib(int n){
if(n == 0 || n == 1)
return n;
else
return fib(n-1)+fib(n-2);
}
Máximo Común Divisor
Un algoritmo recursivo es el siguiente.
El MCD de dos números x e y es y si y<x y x es divisible entre y.
El MCD de dos números x e y es igual al MCD de y y x si x<y
El MCD de dos números x e y es igual al MCD de y y el residuo de la división x/y.
Actividad
Escriba el algoritmo para mcd en forma simbólica y defina una función que calcule el mcd en C.
VERSIONES NO RECURSIVAS
Algoritmo no recursivo para evaluar el factorialFUNCION FACTORIAL(N:ENTERO) REGRESA ENTERO1. SI N = 0 ENTONCES a. REGRESAR 12. SINO a. F 1 b. PARA I 1 HASTA N HACER 1. F F * I c. REGRESAR F
Algoritmo no recursivo para calcular el n-ésimo número de Fibonacci.FUNCION FIB(N:ENTERO) REGRESA ENTERO1. SI N = 0 OR N = 1 ENTONCES a. REGRESA N2. SINO a. X 0 b. Y 1 c. PARA I 2 HASTA N HACER 1. F X + Y 2. X Y 3. Y F d. REGRESA F
Tarea1. La función de Ackerman A está definida para todos los enteros positivos m y n como sigue:
A(0, n) = n + 1A(m, 0) = A(m – 1, 1)A(m, n)= A(m – 1, A(m, n – 1))
Escriba una función en C para calcular el valor de la función de Ackerman. Pruebe evaluando algunos valores de A(1, n), A(2, n) y A(3, n). Defina expresiones simples para estas funciones. La función tiene un crecimiento extremadamente grande para valores de m mayores que 3, por ejemplo A(4,2) = 265536 – 3, evalúe A(4,1).
2. Desarrolle la expansión de la función de Ackerman del problema anterior para los siguientes parámetros: A(1,2), A(1,3), A(2,1), A(2,2).
DEFINICIÓN RECURSIVA DE EXPRESIONES
1. Una expresión es un término seguido por un signo más seguido por un término, o un solo término.
2. Un término es un factor seguido por un asterisco seguido por un factor, o un factor solo.
3. Un factor es una letra o una expresión encerrada entre paréntesis.
FUNCIONES EXPR
FUNCION EXPR REGRESA BOOLEANO1. SI NOT TERM ENTONCES a. REGRESA FALSO2. SINO a. C SIGUIENTE SÍMBOLO b. SI C<>'+' ENTONCES 1. P P - 1 2. REGRESA VERDADERO c. SINO 1. REGRESA TERM
Si no es un término, termina
Encontró un término, ve que hay más adelante
Se encontró un solo término, p señala hasta donde es correcta la expresión.
Encontró dos términos separados por +, verifica el segundo término.Encontró dos términos separados por +, verifica el segundo término.
FUNCION TERM REGRESA BOOLEANO1. SI NOT FACT ENTONCES a. REGRESA FALSO2. SINO a. C SIGUIENTE SÍMBOLO b. SI C<>'*' ENTONCES 1. P P - 1 2. REGRESA VERDADERO c. SINO 1. REGRESA FACT Encontró dos factores separados por *,
verifica el segundo factor.
Si no es un factor, termina
Encontró un factor, ve que hay más adelante
Se encontró un solo factor, p señala hasta donde es correcto el término.
FUNCIÓN FACT
FUNCION FACT REGRESA BOOLEANO1. C SIGUIENTE SÍMBOLO2. SI C<>'(' ENTONCES
a. IF C ES LETRA ENTONCES1. REGRESA VERDADERO
b. SINO1. REGRESA FALSO
3. SINOa. SI NOT EXPR ENTONCES
1. REGRESA FALSOb. SINO
1. C SIGUIENTE SÍMBOLOa. SI C=')' ENTONCES
1. REGRESA VERDADEROb. SINO
1. REGRESA FALSO
Es el factor una letra?
Es el factor una expresión entre paréntesis?
Si es una expresión entre paréntesis, términa con “)”?
DEFINICIÓN RECURSIVA DEL DETERMINANTE
Si a es una matriz de 1 x 1, entonces det(a) = x.
Si a es de orden mayor que 1, calcule el determinante de a como sigue:
Escoja cualquier fila o columna. para cada elemento a[i, j] en esa fila o columna, forme el producto
(-1)(i+ j)*a[i, j]*det(menor(a[i, j]))
Donde det(menor(a[i, j])) es el determinante del menor de a[i, j].
det(a) = suma de todos los productos para la columna o fila seleccionada.
ALGORITMO RECURSIVO PARA CALCULAR EL DETERMINANTE
Algoritmo recursivo para calcular el determinante de una matriz de orden n.FUNCION DET(N:ENTERO; A:MATRIZ) REGRESA REAL1. SI N=1 ENTONCES
a. REGRESA A[1,1]2. SINO a. S 0 b. PARA I = 1 HASTA N HACER 1. MENOR(A,N,I,J,B) 2. S S + SIGNO(I,J) * A[I,J]*DET(N-1,B)
c. REGRESA S
Calculadora recursiva
Esta calculadora procesa expresiones algebraicas normales como: 3+4+5, 3*(6-2)*sin(3*atan(0.25)^7)
Para esto definimos las siguientes funciones
Expr – expresión algebraica
Smplexpr – procesa una expresión simple: 3, 4*5, 8/6, 5/sin(2)
Term – procesa términos: 3, 4^5.
Sfact – factor simple: 4, -6
Fct – factor: (7+4.5), (sin(2)*8)
función expr (expresión) regresa real1. e = smplexpr2. mientras el simbolo siguiente sea + o -3. operador = simbolo siguiente4. obtener siguiente símbolo5. si operador es +6 e = e+smplexpr7. si operador es -8. e = e-smplexpr9. regresa e
función smplexpr (expresión simple) regresa real1. e = term2. mientras el simbolo siguiente sea * o /3. operador = simbolo siguiente4. obtener siguiente símbolo5. si operador es *6 e = e*smplexpr7. si operador es /8. e = e/smplexpr9. regresa e
función term (término) regresa real1. t = sfact //término es un factor simple2. mientras siguiente símbolo=^3. obtener siguiente símbolo4. t = t^sfact5. regresar t
función fct (factor)1. if simbolo es un número2. leer número y guardar en f3. sino4. si simbolo='('5. procesar nueva expresión y guardar en f6. sino7. procesar función estandar y guardar en f8. regresar f
función sfact (factor simple)1. si simb='-'2. obtener siguiente símbolo3. regresar -fct //factor4. sino5. regresar fct
procesar nueva expresión1. obtener siguiente símbolo2. f = expr3. si simbolo=')'4. obtener siguiente símbolo5. sino6. error
procesar función estandarcodigo para cada función1. si se lee 'sin' 2. avansar 3 símbolos3. f = sin(fct)Asi para cada función
Lectura de un real en C
void processAsNumber(){ char t[80]; t[0] = ch; int i=0; nextp(); while(ch>='0'&&ch<='9'){ t[++i] = ch; nextp(); } if(ch=='.') do{ t[++i] = ch; nextp(); }while(ch>='0'&&ch<='9');
Cont.
if(ch=='E'){ t[++i] = ch; nextp(); do{ t[++i] = ch; nextp(); }while(ch>='0'&&ch<='9'); } t[++i] = '\0'; f = atof(t);}
ALGORITMO PARA CONVERTIR UNA CADENA EN PREFIJO A POSFIJO
1. Si la hilera de prefijo es una sola variable, esta es equivalente a su expresión de posfijo.
2. Considere op el primer operador de la hilera de prefijo.
3. Encuentre el primer operando opnd1 de la hilera. Conviértalo a posfijo y llámelo post1.
4. Encuentre el segundo operando opnd2 de la hilera. Conviértalo a posfijo y llámelo post2.
5. Concatene post1, post2, y op.
ALGORITMO DE CONVERSIÓNSUBRUTINA CONVERT(PREFIX:CADENA; POSFIX:CADENA)1 SI LONGIUD(PREFIX)=1 ENTONCES a. SI PREFIX[1] EN ['a'..'z','0'..'9','A'..'Z'] ENTONCES 1. POSFIX PREFIX b.SINO 1. ERROR('hilera de prefijo invalida')2. SINO a. OP PREFIX[1] b. M FIND(PREFIX,2) c. N FIND(PREFIX,M+2) d. SI NOT(OP IN ['-', '+', '*', '/', '^']) OR (M=0) OR (N=0) OR
(M+N+1<>LONGITUD(PREFIX)) ENTONCES 1. ERROR('hilera de prefijo invalida') e. SINO 1. OP1 COPY(PREFIX,2,M) 2. OP2 COPY(PREFIX,M+2,N) 3. CONVERT(OP1,P1) 4. CONVERT(OP2,P2) 5. POSFIX P1+P2+OP
ALGORITMO PARA ENCONTRAR CADENA DE PREFIJO
Algoritmo para encontrar la cadena de prefijo más larga a partir de la posición P.FUNCION FIND(S:CADENA, P:ENTERO) REGRESA ENTERO1. SI P>LONGITUD(S) ENTONCES
a. REGRESA 02. SINO
a. FIRST S[P]b. SI FIRST EN ['a'..'z','0'..'9','A'..'Z'] ENTONCES
1. REGRESA 1c. SINO
1. M FIND(S,P+1)2. N FIND(S,P+M+1)3. SI (M=0)OR(N=0) ENTONCES
a. REGRESA 04. SINO
a. REGRESA M+N+1
PROBLEMA DEL RECORRIDO DEL CABALLO
Se trata de recorrer un tablero de n x n utilizando un caballo de ajedrez visitando todas las casillas una sola vez.
ALGORITMO DE VUELTA ATRÁSbacktraking
Procedimiento Ensayar nuevo movimiento1. Iniciar el conjunto de movimientos posibles2. REPETIR a. seleccionar el nuevo candidato de la lista de futuros movimientos b. SI aceptable ENTONCES 1. Anotar movimiento 2. SI tablero no lleno ENTONCES a. Ensayar nuevo movimiento b. SI no acertado ENTONCES 1. borrar la anotación anterior3. HASTA (movimiento acertado) or (no hay mas posibilidades)
Representación
Arreglo bidimensional h[][] de enteros de n x n para representar el tablero, h[x][y] = 0, la casilla no ha sido visitada, h[x][y] = m, la casilla fue visitada en el movimiento m.
A partir de la posición x,y se selecciona u y v como las coordenadas de un posible movimiento, según las reglas del ajedrez.
Anotar movimiento: h[u][v] = j
Borrar movimiento: h[u][v] = 0
Movimiento aceptable: h[u][v] == 0
Tablero no lleno: j < n^2
Pseudo código
void ensayar(i, x, y, *q) bool q1=false; Iniciar el conjunto de movimientos posibles do{ seleccionar el nuevo candidato de la lista de futuros movimientos if(coord u y v aceptables y h[u][v] == 0) h[u][v] = i; if(i<n*n) ensayar(i+1, u. v, &q1) if(!q1) h[u][v] = 0; else q1 = true; while((!q1 || hay mas posibilidades); *q = q1;
Estrategia de recorrido
6 7
5 8
4 1
3 2
Dado x ,y la primera coordenada puede ser x+2, y+1, luego x+1, y+2, x–1, y+2, etc.
x–2 x–1 x x+1 x+2
y – 2
y +2
y +1
y
y – 1
Tarea
Agregue las siguientes funciones a la calculadora recursiva.
constantes , e.
variables a, b, c y d
Escriba un programa para convertir de prefijo a posfijo utilizando el algoritmo recursivo estudiado.
Escriba un programa para resolver el Sudoku utilizando el algoritmo de vuelta atrás.
Las torres de HanoiLas torres de Hanoi constan de 3 postes A, B, C. Inicialmente se colocan un cierto número de discos en el poste A. El juego consiste en trasladar todos los discos al poste C utilizando el poste B como auxiliar.
Las reglas son:
Solo mover un disco a la vez.
Nunca poner un disco mayor sobre otro menor.
Posición inicial Posición final
Algoritmo Torres
Algoritmo para mover n discos del poste A al poste C usando el poste B como auxiliar.
1. Si n == 1 mover el disco de A a C y parar
2. Mover n-1 discos de A a B usando C como auxiliar
3. Mover el disco restante de A a C
4. Mover n-1 discos de B a C usando A como auxiliar
Algoritmo en C
void moverDisco(int n, int desde, int hasta, int auxiliar){ if(n == 1) printf("Mover disco 1 de %d a %d\n“, desde, hasta); else{ moverDisco(n-1, desde, auxiliar, hasta); printf("Mover disco %d de %d a %d\n“, n, desde, hasta); moverDisco(n-1, auxiliar, hasta, desde); }}
A C B
C
C A
B
B
A
Posible proyecto
Modificar la calculadora para hacer operaciones con números complejos.
Ayuda: utilice la biblioteca complex de c++, en ella se define una plantilla para definir complejos, ponga double como tipo base. Se definen todos los operadores y algunas funciones matemáticas.
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