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Redes libres de escala
Lucas Lacasa Dpto. Matemática AplicadaETSI Aeronáuticos, UPM
Índice
1. Ausencia de escala: ley de potencias
2. Redes ‘libres de escala’
¿Dónde?
¿Cómo?
3. Redes libres de escala: ¿Y qué?
Aplicaciones prácticas
Redes libres de escala
¿ CÚAL ES LA ALTURA DE UNA PERSONA?
ESCALA CARACTERÍSTICA
Tamaño característico entre 50 cm y 272 cm
La media está alrededor de 180 cm.
LEY DE POISSON
¿ QUE TIENEN EN COMÚN ESTAS DOS FOTOGRAFIAS ?
NO PODEMOS ASEGURAR EL TAMAÑO !!!
...EXISTEN MUCHOS CUERPOS QUE NO TIENEN UN TAMAÑO o ESCALA CARACTERÍSTICA...
Log-log plotDistribución de tamaños de ciudades
NO EXISTE UN `TAMAÑO MEDIO´ DE CIUDAD BIEN DEFINIDO:
hay muchas ciudades pequeñas pero también hay ciudades muy grandes
LEY DE POTENCIAS O ‘LIBRE DE ESCALA’
EXISTE ESCALA CARACTERÍSTICALEY POISSON LEY GAUSS
NO EXISTE ESCALA CARACTERÍSTICA
LEY DE POTENCIASLOG-LOG
¿DÓNDE PODEMOS ENCONTRAR LEYES DE POTENCIA ?
• GEOMETRÍA FRACTAL
UN FRACTAL ES UN OBJETO QUE TIENE EL MISMO ASPECTO VISTO DESDE
CUALQUIER DISTANCIA. TIENE EL MISMO ASPECTO A TODAS LAS ESCALAS.
Zoom
Cambio de escala
=
¿DÓNDE PODEMOS ENCONTRAR LEYES DE POTENCIA ?
• GEOFÍSICA : - TERREMOTOS
- HURACANES
LEY DE GUTENBERG-RICHTER
¡ LA DISTRIBUCIÓN DEL NÚMERO DE TERREMOTOS EN FUNCIÓN DE SU MAGNITUD SIGUE UNA LEY DE POTENCIAS !
Ley de potencias
¿DÓNDE PODEMOS ENCONTRAR LEYES DE POTENCIA ?
• SOCIOLOGÍA: DISTRIBUCIÓN DEL TAMAÑO DE CIUDADES
• ECONOMÍA: DISTRIBUCION DE LA RIQUEZA, BOLSA
• FÍSICA, BIOLOGÍA, QUÍMICA, MATEMÁTICAS, ETC.
ES UNA LEY QUE APARECE DE FORMA UBICUA
DEBE RESPONDER A MECANISMOS MUY GENERALES
• AUSENCIA DE ESCALA (Fractales)
• SISTEMA CON MUCHOS COMPONENTES, CUANDO ESTOS COMPONENTES INTERACTÚAN ENTRE SÍ LOCALMENTE (Sociología)
2) UNA RED LIBRE DE ESCALA ES AQUELLA QUE POSEE UNA
DISTRIBUCIÓN DE CONECTIVIDAD DE TIPO LEY DE POTENCIAS.
* HAY MUCHOS NODOS CON POCOS ENLACES.
* PERO TAMBIÉN HAY ALGUNOS NODOS CON MUCHOS ENLACES (HUBS).
1) UNA RED ES UN CONJUNTO DE NODOS Y ENLACES.
NODOS COMPONENTES DE UN SISTEMA.
ENLACES RELACIÓN ENTRE COMPONENTES.
¿QUÉ ES UNA RED LIBRE DE ESCALA?
WWW Nodos: WWW documents
Links: URL links
Autoorganizada
Sociedad (redes sociales)
Nodos: individuos
Links: interacciones entre individuos
Ejemplos:
- Modelos de votación
- Estudios de propagación de rumores
Autoorganizada
REDES BIOLÓGICAS
Red metabólicaNodos: metabolitos
Links: reacciones bioquímicas
Nodos: especies
Links: interacciones tróficas
Red trófica
Autoorganizada (evolución)
NO BIOLÓGICAS > 2
www = 2.1
actores = 2.3
citas = 3
eléctricas = 4
BIOLÓGICAS < 2
De proteínas =1.5, 1.6, 1.7, 2.5
Metabólica de E. Coli = 1.7, 2.2
Genética de expresión (levadura) = 1.4-1.7
Genética de interacción funcional = 1.6
Algunas redes de las que conocemos su
topología: P(k) ~ k-
- REDES AUTOORGANIZADAS (¿Evolutivamente?)
- LA INTERACCIÓN ES LOCAL
- SON REDES MUY DIFERENTES UNIVERSALIDAD
¿QUÉ TIENEN EN COMÚN TODOS ESTOS EJEMPLOS?
DEBE EXISTIR MECANISMOS GENERALES / EVOLUTIVOS
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Enganche preferencial (preferential attachment)
1) POBLACIÓN INICIAL.
2) A CADA t, INTRODUCIMOS NUEVOS NODOS.
3) ESOS NUEVOS NODOS SE ENGANCHARÁN CON LOS EXISTENTES. DE TAL FORMA QUE, LO HARÁN CON MAYOR PROBABILIDAD, CON LOS NODOS MÁS RELEVANTES (MÁS FUERTES).
Tiempo (más nodos)
Población inicial jj
ii k
kk
)(
- Epidemiología (propagación de virus).
- Robustez, tolerancia frente a ataques (deliberados).
- Procesos de optimización (publicidad).
- . . .
APLICACIONES
Propagacion de epidemias:
RED DE CONTACTOS SEXUALES
Nodos: individuos
Links: relaciones sexuales RED LIBRE DE ESCALA
HAY UNOS POCOS NODOS CON MUCHA MAYOR PROBABILIDAD DE CONTAGIAR QUE OTROS (HUBS)
‘La red influye sobre la dinámica’
ESTRATEGIAS DE PREVENCION DE EPIDEMIAS
PREVENCIÓN: ESTUDIO MATEMÁTICO DE LA ROBUSTEZ DE LA RED
ROBUSTEZ FRENTE A FALLOS / ATAQUES: RED ELÉCTRICA
SISTEMA ELÉCTRICO ESPAÑOL
MODELO MATEMÁTICO (RED)
Generadores Nodos
Líneas eléctricas Enlaces
Calentamiento de un generador
Desaparición de un nodo
Mal estado de un cable de tensión
Desaparición de un enlace
Cortes en cadenaApagón general
Desmembración de la red
Fallo aleatorio
Consecuencia
(OTRO EJEMPLO: REDES ECOLÓGICAS y EXTINCIONES)
OPTIMIZACIÓN DEL FLUJO: publicidad por Internet
RED (internet) ES LIBRE DE ESCALA
LA DIFUSIÓN DE INFORMACIÓN ENTRE NODOS NO ES ALEATORIA, SINO QUE ESTÁ ESTRUCTURADA
ESTRATEGIAS DE OPTIMIZACIÓN según QUÉ TIPO DE DIFUSIÓN QUEREMOS (RAPIDEZ, CONSTANCIA, ETC)
Se aplican:
•Teoría de grafos
•Difusión no lineal
•Física estadística (modelos de percolación)
* UBICUAS tanto en la naturaleza como a nivel social o tecnológico
* AUTO-ORGANIZADAS a partir de principios evolutivos.
* Estudio matemático :
- modelización (mecanismos generales)
- propagación: * frenarlo (virus)
* optimizarlo (publicidad)
- seguridad: * tolerancia frente a fallos (infraestructura)
* robustez
* ETCÉTERA
CONCLUSIONES ~ Redes libres de escala P(k) k-
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