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CAPITULO 8Reducciones a funciones de ngulos agudos positivos!
/,l
ANGULOS COFINALES. Sea 0 un ngulo cualquiera; entonces, cot(0 n 360") = cot 0 sec(0 n 360") = sec 0 csc(0 n 360") = csc 0 donde n ea cualquier nmero entero positivo, negativo o cero. sen(0 cos (0 tan(0
+ n 360") = cos 0 + n 360") = tan 0
+ n 360") = sen 0
+ + +
Ejemplos. sen 400" = sen(40 360") = sen 40" cos 860" = cos(130 2 360") = COS 130" tan(- 1000") = tan(80 - 3 360") = tan 80"
+ +
1d;i '1
FUNCIONES DE UN ANGULO NEGATIVO. Sea 0 un hngulo cualquiera; entonces, sen(-0) = -sen 0 cot(-0) = -cot 0 CM(-0) = COSO S%(-0) = sec0 tan(-0) = -tan0 cm(-0) = -mc 0 Ejemplos. sen(-60") = -sen 60, CM(-30") = cos 30, tan(-200") = -tan 200".
Las demostraciones de estas relacionea se encuentran en el problema 1.siFORMULA DE REDUCCIONES. Sea 0 un ngulo cualquiera; sen(90 - 0) = CM 0 sen(90 0) cos(90 - 0) = sen 0 cos (90" 0) tan(90 0) tan(90 - 0) = cos 0 cot(90 + 0) cot (90" - 0) = tan 0 sec (90" 0) ~ ~ ( 9 - 0) = csc 0 0 " Csc(9O0 - 0) = sec 0 Csc(90+0)
+
+ + +
entonces, cos 0 = = - sen 0 = -cot 0 = -tan 0 = - csc 0 = sec 0
sen(180 - 0) = sen 0 ~ 0 ~ ( 1 8 0 ~ = -CM 0 - 0) tan(180 - 0) = -tan 0 cot(180 - 0) = - C O ~ 0 sec(180 - 0) = -sec 0 csc(180 - 0) = csc 0: r
sen(180 0) = -sen 0 cos(180 + 0) = -cos 0 tan(180 + 0) = tan 0 cot(180+0) = cot 0 sec(180 0) = - W 0 ~ ~ ~ ( 1 8 0 "= - csc 0 0)
+
+ +
l
Las demostraciones de eatas relaciones se encuentran en los problemas 2, 3, 4 y 5. FORMULA GENERAL DE REDUCCION. Toda funcin trigonomtrica de (n 90" O), donde 0 es un ngulo cualquiera, es numricamente igual a a) la misma funcin de 0 si n ea par, b) l correspondiente cofuncin de 0 si n es impar. a En cada caso, el signo algebraico ea el igual al signo que tiene la funcin dada en el cuadrante al que pertenece n 90" 0 cuando 0 ea un ngulo agudo positivo.
*
*
'1
La verificacin de estas frmulas se encuentra en el problema 8.
REDUCCIONES A FUNCIONES D E ANGULOS AGUDOS POSITIVOS
55
Ejemplos.1) sen(180- 8) = sen(2 90"- 8) = sen 8 puesto que 180" es un mltiplo par de 90" y, cuando 8 es un Angulo agudo positivo, el lado final (terminal) de 180" - 8
cae en el cuadrante 11. 2) cos(180 8) = cos(2 90" 8) = -cm 8 puesto que 180" es un mltiplo par de 90" y, cuando 8 ea un Angulo agudo positivo, el lad8 finar de 180" 0 cae en el cuadrante 111.
+
+
+
3) tan(270- 8) = tan(3 90" - 8) = cot 8 puesto que 270" es un mltiplo impar de 90" y, cuando 8 ea un Angulo agudo positivo, el lado final de 270" - 8 cae en el cuadrante 111.4) cos(270 8) = cos(3 90" 0) = sen 8 puesto que 270" es un mltiplo impar de 90" y, cuando 8 ea un Angulo agudo positivo, el lado final de 270" 8 cae en el cuadrante IV.o
+
+
+
PROBLEMAS RESUELTOS1. Deducir las f6rmulas para laa funciones de (-0) en terminos de lae funciones de 0.
E n las figuras, 0 y -0 estn colocados en posici6n normal y son numbricamente iguales. Los puntos P(x, y) y P,(x,, y,) estn situados en los respectivos lados finales de tal manera que O P = OP,. E n cada una de las figuras los dos tringulos son congruentes, con lo que r1 = r, x , = x, y, = -y. Entonces,
-
Excepto en los casos en que alguna funci6n noeste definida, las relaciones anteriores son vlidas tambibn cuando 0 es un ngulo de un cuadrante; lo que puede verificarse si se tiene en cuenta que -O0 y 0, -90" y 270, -180 y 180. -270' y 90' son cofinalee. Por ejemplo, sen( -O0) = sen 0" = O = -sen 0, coa( - 180') = coa 180' y cot( -270') cot 90'
-
&en(-90') = sen 270 = O = -cot 270.
-1 =
-sen 90,
REDUCCIONES A FUNCIONES D E ANGULOS AGUDOS POSITIVOS
Deducir las frmulas para las funciones de (90'-
8) en terminos de las funciones de 8.
E n las figuras, 0 y 90 -.O estdn colocados en posicin normal. Los puntos P(x, y ) y P , ( r l , y , ) d n situados en los respectivos lados finales de tal manera que O P = OPl. E n cada una de las figuras loa doa tringulos son congruentes, con lo que r, = r, rl = y , y , = r. Entonces,
cos(90
- e)
=
3=2 rl r
= sen 8
sec(90 - 8)
=
xl
rl = r
- Y -
=
cec 8
Como sucede en las frmulas del problema 1, algunas de estas relaciones carecen de significado cuando 8 ea un dngulo de un cuadrante. Deducir las frmulas para las funcionee de (90'
+ 8) en tkrminos de las funciones de 8.
REDUCCIONES A FUNCIONES DE ANGULOS AGUDOS POSITIVOS
En las figuras, O y 90+ O estn colocados en posicin normal. Los puntos P(x, y) y P, (x,, y,) estn situados en los respectivos lados finales de tal manera que OP = OP,. En cada una de las figuras los dos tringulos son congruentea, con lo que rl = r, XI = -y, yl = x. Entonces,
csc(90
+ O)
=
r t
Y1
-
=
r x
=
sec
O
4. Deducir las frmulas para las funciones de (180 Puesto que 180'
O)
en trminos de las funciones de cos(90 -sen(90O) = sen O - O) = -coa O,
O.
-O
=
90'
sen(180 cos(180 -
O) = O) =
+ (90 - O), sen [90 + (90' cos [90 + (90'
- O)]
= =
- O)]
etc.O.
5. Deducir las frmulas para las funciones de (180
+ O)
en tbrminos de las funciones de= cos(90=
Pueato que 180'
sen(180 cos(180
+ O = 90 + (90' + O), + O) = sen [90 + (90' + O)] + O) = coa [90 + (90' + O)]- O)O =
-sen(90
+ O) = -sen O + O) = -cos
O,
etc.O.
6. Deducir las frmulas para las funciones de (270' Puesto que 270 180'
en trminos de las funciones de -cos -sen cot cot(270 - O) sec(270 - O) csc(270 - O)
+ (90' - O), sen(270 - O) = sen [180 + (90' - O ) ] = -sen(90 - O)cos(270 tan(270
- O) - O)
cos F18O0 = tan [180=
+ (90' - O ) ] + (90 - O ) ]180'
=
= =
-cos(90 tan(90
- O) - O)
= =
O O O
= = =
tan -csc -sec
O O O.
7. Deducir las frmulas para las funciones de (270 Puesto que 270 sen (270 cos(270 tan(270
+ O)
en trminos de las funciones de -cos O sen d -cot O cot (270 sec(270 csc(270
O.
+ O) + O) + O)
+O
=
= = =
sen [180 cos [180 tan (180'
+ (90' + O) 1 = -sen (90' + O) + (90' + O ) ] = -cos(90 + O) + (90 + O ) ] = tan(90 + O)
+ (90' + O),
== =
+ O) + O) + O)
= -tan O=
cac OO.
= -SS
8. Deducir la frmula general de reduccin. Al examinar las frmulas deducidas en los problemas 1-7, se observa que la frmula general de reduccin es vlida para los enteros n = 1,2,3. Se concluye entonces que la frmula es vlida para cualquier entero n porque n 90f O es cofinal con alguno de los ngulas 8, 90'1 8, 180f O, 270'1 8.
*
58
REDUCCIONES A FUNCIONES D E ANGULOS AGUDOS POSITIVOS
9. Expresar como una funcin de 9 cada una de las siguientes funciones: a ) sen(9 b) cos(9
- 90') - 90')- 90')
d) cos ( - 180' 9) e) sen ( 270' - 9) -
-
+
g) sen(540 h) tanC720i ) tan(720
+*9)- 9)
j ) cos ( -450 k) csc (,-9000 1) sen( -540'
-
8) 9).
C) sec ( -9
f ) tan (9
-360')
+ 9)
+ 9)
a ) sen(9 - 90') = sen( -90' 9) = sen( - 1 90 9) = -coa 9, el signo es negativo porque, cuando / 9 es un Bngulo agudo positivo, el lado final de 9 - 90' cae en el cuadrante IV. b) coa (9 - 900) = cos ( -90' c) sec ( -9 -90') = sec ( -90' - 9) = sec( -1 -90' - 9) = -csc 9, el signo es negativo porque, cuando 9 es un Bngulo agudo positivo, el lado final de -9 - 90' cae en el cuadrante 111.
+ + + 9) = coa ( -1 . 90' + 9) = sen 9.
.
d) cos ( - 180' e) sen ( -270' f ) tan(9 g) sen (540' h) tan (720'i ) tan(720j ) cos ( -450'
+ 9)- 9)
= coa ( -2==
sen( -3 tan(-4
. 90'90'
90'
+ 9)- 9)
= -coa 9. (cuadrante 111)= = =
cos 9. taso. -sen 9.
(cuadrante 1) (cuadrante 1)(cuadrante 111)
- 360')
+ 9)-O )
= = = ==
sen(6 90'
+ 9)-O )
tan(8 90' - O ) tan(2.360 -O) tan(8 90' 9) tan(2 360' O )
.
+ 9) + 9)+ +
= -tan 9 = tan(-O) = -tape. = = =
.
tan 9 tan O.
=
coa ( -5 sen(-6
;
k) csc ( -900'
+ 9)
= CSC ( -10 =
90' 90'
1 ) sen (- 540 -O)
-sen B. -csC 9. 90 - O = sen 9. )
-O )
+ 9)
=
10. Expresar como funciones de un Bngulo positivo, en dos formas diferentes, cada una de las siguientes funcignes: a) sen 130' b) tan 325' a ) sen 130' b) tan 325'C)
'
c) sen 200' e) tan 165O d) coi 310' f ) sec 250' = sen(2 90' - 50') = sen 50' = sen(1 90' 40') = cos 40'
. . +
g) sen 670' h) cot 930'
i) sc 865')$en(-100')=
-\
tan ( -290').
d) cos 310'e) tan 165'
= ==
cos(4 90' coa (3 90' tan(2 90' tan(1 90' sec (2 90' sec (3 90'
==
tan(4 90' tan(3 90 sen(2 90' sen(3 90'
aen 200'
= = = = = =
.
+ 55') + 20')
- 35')
g) sen 670' o sen 670' h) cot 930'
sen(8 90' sen(7 90' sen(310
cot (10 90' = cot (11 90'
+ 360') = sen 310' = sen(4 + 30') = cot 30'- 60')= tan 60'=
+ 40')
- 70') - 50')
= = =
--
= - tzn 3' 5 -.cct 55"
. .
-sen 2' 0 -coa 70'
f ) sec 250'
= =
+ 40') - 15') + 75') + 70')- 20')
- 50')
= coa 50' = sen 40' = =
-tan 15' -cot 75' 70' 20'
= -sec = -cm
-sen 50'90'
= -coa 40'
- 50')
=
-sen 50
i ) cec 865' = csc(l0 90' - 35') = csc(9 90' 55')
o csc 865'
=
csc(145'
+2
+
csc 35' csc 145'=
= sec 55'=
360')
csc(2 90'
.
- 35')
=
csc 35'
o sen(-,100') o sen( -100') k) coa( -680') o coa( -680') 1 ) tan( -290') o tan( -290')
= -sen 100' = -sen(2= =
90'=
- 80')=
=
-sen 80'
sen( -100'
Los ( -8 90' = coa ( - 7 90'
+ 2 360') = cos 40' = tan( -4 90' + 70') = tan 70' = tan( -3 90' - 20') = cot 20' = tan( -290' + 360') = tan 70'=
.
+ 360') = sen 260' + 40') cos 40'- 50')=
sen(2 90'
+ 80')
=
-sen 80'
sen 50'
cos (-680'
REDUCCIONES A FUNCIONES D E ANGULOS AGUDOS POSITIVOS
11. Encontrar los valores exactos del seno, del coseno y de la tangente de:Y
a ) 120, b) 210,1
c) 315',
d) -135',
e) -240,
f ) -330'.
Sea 8, siempre agudo y positivo, el ngulo relacionado con cuando = 180' - ti, 180' 8 6 360' - 8. Entonces, toda funcin de -# es numricamente igual a la misma funcin de ti. E n cada caso, el signo algebraico es el que corresponde a la funcin de acuerdo al cuadrante en que cae el lado final de . 1 a ) 120' = 180' - 60'. El dngulo relacionado es 60'; 120' pertenece al cuadrante 1 . , gen 120' = sen 60' = 6 / 2 , cos 120' = -coa 60' = -1/2, tan 120' = -tan 60' = - f l
+
+
+
+
b) 210' = 180' 30'. El dngulo relacionado es 30; 210' pertenece al cuadrante 1 1 1. 0 ' cos 210' = -coa 30 = - n / 2 , tan 210' = tan 3 sen 210' = -sen 30' = -1/2,
+
=
a/3.
C) 315' = 360' - 45'. El dngulo relacionado es 45'; 315' pertenece al cuadrante IV. sen 315' = -sen 45' = - G / 2 , COS 315' = cos 45' = g / 2 , tan 315' = -tan 45' = -1. d) Cualquier funcin de -135' es igual a la misma funcin de -135' 360' = 225' = 225' = 180' 45'. E l dngulo relacionado es 45'; 225' pertenece al cuadrante 1 1 1. sen( -135') = -sen 45' = - n / 2 , cos( -135') = -coa 45' = - n / 2 , tan( -135') = 1.
+
+
+.
360' = 120'. e) Cualquier funcin de -240' es igual a la misma funcin de -240' 120' = 180' - 60'. El dngulo relacionado es 60'; 120' pertenece al cuadrante 11. sen( -240') = sen 60' = n / 2 , coa( -240') = -coa 60' = -1 /2, tan( -240') = -tan60
+
=
-& .
f ) Cualquier funcin de -330'sen(-330')=
sen 30'
=
es igual a la misma funcin de -330' 360' 1/2, coa(-330') = cos 30' = a / 2 , tan(-330')
+
=
=
30'. tan 30'
=
n/3.
12. Encontrar en la tabla de funciones naturales los valores correspondientes a: a ) sen 125'14 ' = sen(180 - 54'46 ') b) cos 169'40 ' = cos (180' - 10'20 ') C ) tan 200'23 ' = tan(180 20'23') 70'44 ') d) cot 250'44 ' = cot (180' e) cos 313'18' = coe(360 - 46'42 ') f ) sen 341'52 ' = sen(360 - 18'8')
+ +
= sen 54'46 = 0,8168 = -COS 10'20 ' = -0,9838 = tan 20'23 = 0,3716 = cot 70'44 = 0,3495 = cos 46'42 = 0,6858 = -sen 18'8' = -0,3112
'
' ' '
13. Si tan 25'
=
a, encontrar:
a) tan 155' - tan 115' 1 tan 155' tan 115'
+
-
1
-tan 25' - ( -cot 25') (-tan 25') (-cot 26')
+
-
-a + l / a 1 a(l/a)
+
-aa+l - -a
+a
1 -a -.2a 2
b) tan 205' tan 245'
-
+ tan 335'
tan 115' - tan 25' cot 25'
-
+ ( -tan
( -cot 25')
25')
a- -+ l/a 1/a
-a
aa 1 1 -aa
+
a ) sen(B
+ C) = sen(180 - A)
=
een A.
15. Demostrar que sen 8 y t a n f 8 tienen el miamo signo. = a ) Supngase que 8 = n 180'. Si n es par (incluido el cero), por ejemplo 2m, entonces sen(2m l M O ) tan(rn 180') = 8. Se excluye el caso en que n es impar porque entonces tan+ 8 no est definida. donde O <
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