Regla de la multiplicación y permutacion

Probabilidad y Estadística.

Equipo Meerkat

Ejemplo 5.23

Consideremos un equipo de trabajo integrado por cinco personas:

E= {Sarah, Dolores, Beatriz, Roberto, Raúl}

Formemos un comité de supervisores que conste de un hombre y de una mujer elegidos entre el equipo de trabajo.

¿Cuántos comités se pueden formar?

Diagrama de árbol

Roberto

Raúl

Sarah

Dolores

Beatriz

Sarah

Dolores

Beatriz

Existen dos posibilidades para elegir un hombre y hay tres posibilidades para escoger una mujer.

Se pueden observar seis comités.

Roberto-Sarah Raúl-Sarah Roberto-Beatriz Raúl-Beatriz Roberto-Dolores Raúl-Dolores

Problema

Elabora un diagrama de árbol suponiendo que primero se elige a una mujer.

Sarah

Beatriz

Dolores

Roberto

Raúl

Roberto

Raúl

Roberto

Raúl

Sarah-Roberto Beatriz-Roberto Dolores-Raúl

Sarah-Roberto Beatriz-Raúl Dolores-Roberto

Para una mujer hay 2 posibilidades.

Ejemplo 5.24Del equipo de trabajo anterior, se debe nombrar un coordinador y un secretario. ¿De cuántas maneras se pueden elegir ambos representantes?

Solución:Existen 5 posibles elecciones para el puesto de coordinador, de los restantes quedan cuatro posibles candidatos para escoger al secretario…

En la primera elección existen 5 formas diferentes, y en la segunda hay 4 modos diferentes, es decir, que las dos elecciones se pueden efectuar de 5X4 maneras diferentes.

Este procedimiento puede extenderse a mas elecciones, y da lugar a lo que se conoce como “principio de multiplicación”

Principio de multiplicación: Si una operación se puede ejecutar de n1 maneras, y después se efectúa en cualquiera de esas maneras una segunda operación, se puede ejecutar de n2 maneras, y después se efectúa en cualquiera de esas formas; y así sucesivamente hasta para k operaciones. Entonces en k operaciones se pueden ejecutar conjuntamente n1 X n2 X n3 X… nk maneras.

Ejemplo 5.25

Del equipo de trabajo E, del ejemplo 5.23, se debe enviar un representante a dos reuniones de trabajo que se realizaran en dos dias diferentes.

¿De cuantas maneras se puede seleccionar al representante si cada persona del equipo puede ser seleccionado?

Para la primera reunión existen 5 posibilidades diferentes de elegir a la persona. A la siguiente reunión puede ir cualquiera de los cinco, esto es, otra vez 5 posiblies elecciones. Por consiguiente, aplicando el principio de multiplicación, existen 5 X 5, es decir, 25 posibilidades.

Ejemplo 5.26

¿Cuántas placas de auto se pueden hacer usando 3 letras seguidas de 4 números?

Solución

En este caso, se deben llenar 7 espacios (3 de ellos con letras y 4 mas con números)

En los primeros 3 espacios, al tratarse de letras, sabemos que existen 27 posibilidades

Los últimos 4, al tratarse de cifras de un solo numero, se utilizaran solo 9 valores

Solución

Mediante el principio de multiplicación, observamos que

27 x 27 x 27 x 9 x 9 x 9 x 9 = 129 140 163

Siendo el resultado el numero de posibles matriculas automovilísticas.

Ejemplo 5.27 Con el propósito de integrar un comité

que representa a la escuela se propusieron Alberto (A), Bernardo (B) y Carmen (C). El comité debe estar formado por un presidente un secretario y un tesorero ¿de cuantas formas posibles se puede integrar ese comité con esas tres personas?

Solución opción 1

El primer arreglo posible indica que A es el presidente B es el secretario y C es el tesorero.

Inicio

AB C

C B

B A C

C A

CA B

B A

C

BAC

ACB

ABC

CBA

BCA

CABDiagrama de árbol

Solución opción 2

Una solución mas conveniente es la siguiente. El problema requiere llenar 3 espacios.

En el primer espacio podemos poner A, B o C, por lo que el espacio puede llenarse de 3 maneras:

3

Esta cifra indica el diagrama de árbol con las 3 ramas que salen de inicio, ahora para llenar el siguiente espacio tenemos 2 posibilidades , xq uno de ellos ya es presidente.

Así tenemos llenos los primeros 2 espacios 3X2 de 6 maneras diferentes. Para llenar el ultimo espacio, solo nos queda una persona x lo tanto se pueden llenar los espacios de 6X1 de 6 maneras diferentes y queda así.

3 2

3 2 1

Se puede notar que el total de numero de arreglos se obtiene mediante la multiplicación de 3X2X1 = 6 arreglos.

Permutación, es el termino referido al numero de arreglos posibles. En este caso se puede decir que nos encontramos con 6 permutaciones de las 3 personas, considerando a las 3 con el fin de formar el comité.

Gracias por su atención.