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Capitulo 2Relaciones y Funciones
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Relaciones Binarias
Relaciones importantes entre proposiciones:1.la implicación y2.la equivalencia.
En algebra y calculo son importantes lasrelaciones entre variables; en geometría lo sonlas relaciones entre guras. !asta el momentono "emos necesita#o una #enición precisa #e lapalabra relación . $in embargo% sin una #enición&ormal es #i&ícil respon#er preguntas sobrerelaciones. '(ue se quiere #ar a enten#er% pore)emplo% cuan#o se#ice que #os relaciones aparentemente#i&erentes son iguales*
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+ro#ucto Cartesiano
• El pro#ucto cartesiano #e #oscon)untos , y B% #enota#o , - B% esel con)unto #e to#os los posibles
pares or#ena#os cuyo primercomponente es un elemento #e , y elsegun#o componente es un elemento
#e B.
, - B / 0%y 3 ∈ , 4 y ∈ B 5
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+ro#ucto Cartesiano
• E)emplo: $i , / a % b % c 5 y B / 1 % 2 5
,B / 0a%1% 0a% 2% 0b% 1% 0b% 2% 0c% 1%
0c% 2 5
6ote que, tiene 7 elementos
B tiene 2 elementos , B tiene 8 elementos.
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+ro#ucto Cartesiano
• E)emplo: , / cora9ón% trbol% coco% espa#a 5
B / 1% 2% 7% % % ?% 1@% 11% 12 5
, B / 0cora9ón% 1% 0cora9ón%2%A%0cora9ón%12%0trbol%1% 0trbol%2% A%0trbol%12% A%0espa#a%12 5
6ote que
, tiene elementos B tiene 12 elementos , B tiene > elementos 0to#as las cartas #el
ma9o
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rco cartesiano• Da#os los con)untos
, / 1 % 2 5 y B / 1 % 2 %7 5
el grco cartesiano #e , B es:
La primeracomponente de cada
elemento del producto
cartesiano es la
abscisa
La segunda
componente de cadaelemento del producto
cartesiano es la
ordenada
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E)ercicio : in#icar el grcocartesiano #e , B #on#e
, / 3 ∈ R ∧ 1≤ ≤ 1 5B R
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E)ercicio : in#icar el grcocartesiano #e , B #on#e
, / 3 ∈ R ∧ 2 ≤ < 5B / 3 ∈ R ∧ 1 ≤ 75
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Relación entre elementos #econ)untos
• Hay casos en que no todos los paresordenados de un producto cartesianode dos conjuntos responden a una
condición dada.
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Relación entre elementos #econ)untos
• Se llama relación entre los conjuntosA y B a un subconjunto del productocartesiano A x B.
• Este puede estar formado por un solo
par ordenado, varios o todos los queforman parte de A x B.
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Relaciones
• Da#o el siguiente #iagrama querelaciona los elementos #e , con los#e B
b estárelacionado
con 1
3 es elcorrespondiente
de d
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Con)untos #e sali#a y #ellega#a #e un relación
• , es el con)unto #e sali#a 0parti#a yB es el con)unto #e llega#a
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Dominio #e una relación
• Dom0R 3 ∈, ∧ 0%y ∈ R
Dom0R /b% c% #5
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Gmagen #e una relación
• Gm0R y 3 y∈B ∧ 0%y ∈R
Gm0R /1% 7% 5
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6otación•
$i R es una relación entre , y B % la epresión R y signica que 0%y ∈ R % o sea% que est relaciona#o con y por la relación R.
• E): b R 1 porque 0b%1 ∈ R
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Relación #eni#a en uncon)unto
• Cuan#o los con)untos #e parti#a y #ellega#a #e una relación R son elmismo con)unto ,% #ecimos que R es
una relación #eni#a en ,% o%simplemente% una relación en ,.
• Hna relación R en , es entonces unsubcon)unto #e ,2 , ,
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+ropie#a#es #e las relaciones#eni#as en un con)unto
• $i establecemos una relación entre loselementos #e un mismo con)unto% eistencinco propie#a#es &un#amentales quepue#en cumplirse en esa relación
• +ropie#a# reexiva
• +ropie#a# sim!trica
• +ropie#a# asim!trica• +ropie#a# antisim!trica
• +ropie#a# transitiva
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+ropie#a# reIeiva
• Ja propie#a# reIeiva #ice que to#os loselementos #e un con)unto estnrelaciona#os con si mismo
R es reflexiva si para todo x ∈ A, el par (x,x) ∈ R
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+ropie#a# simtrica• Ja propie#a# simtrica #ice que si un
elemento est relaciona#o con otro% stesegun#o tambin est relaciona#o con elprimero
R es simétrica si siempre ue un par (x,!) ∈ R, el par(!,x) también pertenece a R
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+ropie#a# $imtrica
• E)emplo " Da#o , /7% % 25 #ecir si las
siguientes relaciones en ,2 son
simtricas
R /02% 7% 07% % 0% 7% 07% 2% 0% 5
$ /07% 2% 0% 7% 02% 2% 07% 5
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+ropie#a# asimtrica
• Hna relación es asimtrica si ningKnpar or#ena#o #e la relación cumplela propie#a# simtrica.
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+ropie#a# antisimtrica• Hna relación es
antisimtricacuan#o sólocumplen lapropie#a#simtrica los pares#e elementosiguales y no lacumplen los pares&orma#os por#istintoselementos.
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+ropie#a# antisimtrica
• E)emplo " Da#o , /2% % 85 #ecir si las
siguientes relaciones en ,2 son
antisimtricas
R /02% 2% 0% 5
$ /02% 5
L /0% 8% 02% 2% 08% % 0% 25
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+ropie#a# transitiva• Ja propie#a# transitiva #ice que si un
elemento est relaciona#o con otro y steest a su ve9 relaciona#o con un tercero%el primer elemento est relaciona#o con eltercero.
R es transitiva si
∀x , ∀! ,∀# , (x,!) ∈ R ∧ (!,#) ∈ R ⇒ (x,#) ∈ R
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+ropie#a# transitiva
• E)emplo " Da#o , /2% % 8% 75 #ecir si las
siguientes relaciones en ,2 son transitivas
R /02% 2% 02% 7% 0% 8% 08% 2% 0% 2% 0%7% 08% 75
$ /02% 2% 0% % 0% 2% 02% 8% 08% % 08%25
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E)ercicio
• Da#o , /1% 2% 75 #ecir a que tipopertenecen las siguientes relaciones
" R1 /01% 1% 02% 1% 02% 2% 07% 2% 02% 7% 07%75.
" R2 /01% 15.
" R7 /01% 25.
" R /01% 1% 02% 7% 07% 25.
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E)ercicio
• $ea , /2% 7% %
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Relación #e equivalencia• +ermite marcar características similares
entre los elementos #e un con)unto
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E)emplo #e Relación #eEquivalencia
• $ea ! el con)unto &orma#o por to#os losseres "umanos.
R /0% y 3 %y ∈ ! 4 N es compatriota #eyN5
" R es reexiva puesto que to#a personaes compatriota #e si mismo.
" R es sim!trica% puesto que Nsi es
compatriota #e y% y es compatriota #e N.
" R es transitiva% por que Nsi escompatriota #e y e y es compatriota #e 9%entonces es compatriota #e 9N.
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E)ercicio
• ' Cul #e las siguientes relaciones en $
son #e equivalencia*
" R /0a% b3 a y b tienen la mismama#re5%
#on#e $ /a 3 a es cualquierpersona5
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