Relatividad general

EXAMEN TRLF, 1er curso. Grado en Fısica(13 de enero de 2015)

1. Un operador A se dice anti-lineal si A(α|u〉+ β|v〉) = α∗A(|u〉) + β∗A(|v〉)con α y β ∈ C. Demuestra que la composicion de A y B, si ambos sonanti-lineales, es una aplicacion lineal (sin el prefijo anti).

2. Demuestra que si A es una aplicacion anti-lineal, entonces A−1, dada porA−1 (A|u〉) = |u〉 para cualquier vector |u〉, es tambien anti-lineal.

3. Escribe, usando ındices, las entradas de la matriz n× n que corresponde ala transformacion ~r −→ (−1)n~r en Rn. Usando ındices, demuestra que cier-tamente es una rotacion. ¿Cuanto vale su determinante? ¿Es una rotacionpropia (giro) o es impropia? ¿En que imagen, activa o pasiva, esta dada eneste ejercicio la transformacion?

4. Demuestra que toda matriz de rotacion en dos dimensiones se puede escribir

como

(cos θ sen θ− sen θ cos θ

)o como

(cos θ sen θsen θ − cos θ

), siendo θ ∈ [0, 2π).

[Recuerda que sen(α± β) = cos β senα± cosα sen β y

cos(α± β) = cos β cosα∓ senα sen β ]

5. Si las matrices A y B son antisimetricas y [A,B] = i C, ¿como es C T ?

6. Demuestra que, si un operador cumple que P 2 = I, sus valores propios(autovalores), de existir, serıan 1 o -1.

7. Sin hacer ningun calculo, usando lo ya demostrado en clase (incluyendo lashojas de ejercicios), demuestra que cualquier rotacion en dos dimensionesde determinante −1 se puede diagonalizar siendo la base de vectores propiosortonormal.

[Puedes tambien usar de partida uno de los resultados del ejercicio 4)].

8. Sin usar matrices, demuestra que, para cualquier vector |u〉, si H es un ope-rador anti-simetrico en un espacio vectorial con escalares reales, se cumpleque 〈u|H|u〉 es nulo.

9. Obten como se transforma el operador ∆ =∑3

i=1

∂ 2

∂x 2i

bajo rotaciones.

PARA ENTREGAR COMO MAXIMO 7 DE LOS 9 EJERCI-CIOS LISTADOS HASTA AQUI. CADA UNO VALE UN PUN-TO (MAXIMA PUNTUACION EN ESTA PARTE = 7 PUN-TOS)

Sigue por detras −→

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NO OLVIDEIS QUE, EN LO QUE SIGUE, APLICA EL CON-VENIO DE SUMA DE INDICES DE EINSTEIN: INDICE RE-PETIDO ARRIBA Y ABAJO ES INDICE SUMADO DE CEROA TRES

10. Observamos un sistema formado por un foton de energıa E0 que se muevea lo largo del eje X1 en el sentido positivo y otro foton moviendose en elmismo eje con la mitad de energıa y en el mismo sentido. Calcula la energıatotal del sistema y su vector momento total. Si una sola partıcula tuviera lamisma energıa y el mismo momento que este sistema de dos fotones, ¿cualesserıan su masa y su vector velocidad?

11. Usando el criterio de ser transformacion de Lorentz (ΩTηΩ = η), demuestraque el intervalo en relatividad especial es invariante bajo la transformacionI : x0 −→ −x0 ; xi −→ xi.

[Escribe primero la matriz que representa esta transformacion lineal ].

12. Lo mismo que en el ejercicio anterior para las rotaciones de los vectores dela base ortonormal formada por ~e1 , ~e2 y ~e3 en el espacio de las posiciones.

13. ¿Como se transforma∂

∂xµbajo la transformacion x′µ = xµ + aµ donde

aµ son las componentes de un cuadrivector independiente del tiempo y laposicion? ¿Por que, segun nuestro criterio, no es una transformacion deLorentz?

14. Demuestra que, si asumimos que F µν es un tensor de rango dos contra-variante bajo transformaciones de Lorentz, entonces Mµ = F µν Uν es uncuadrivector, siendo Uν las componentes covariantes de la cuadrivelocidad.¿Cuanto valen las componentes Mµ para un observador propio? ¿Y paraun observador cualquiera?

PARA ENTREGAR COMO MAXIMO 3 DE LOS 5 EJERCI-CIOS PROPUESTOS EN ESTA PARTE. CADA UNO VALE1 PUNTO (MAXIMA PUNTUACION EN ESTA PARTE = 3PUNTOS)

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