Relatividad general

EXAMEN TRLF 1er curso Grado en Fısica, mayo de 2011

1. Usando la delta de Kronecker, escribe un vector base cualquiera | i 〉 comocombinacion lineal de los vectores base.

2. (a) Explica de manera breve por que el trabajo, W =∫ 2

1~F ·d~r, de una fuerza

sobre una partıcula es un invariante (o escalar) bajo rotaciones de los ejescoordenados, pero no es un invariante (o escalar) bajo la transformacion deGalileo ~r

′= ~r − ~V t con ~V independiente de t. [Recuerda que ~F = md~v

dt yd~r = ~vdt]. (b) ¿Como se transforma cualquier fuerza ~F bajo el cambio ~r −→−~r ? Si la fuerza deriva de una energıa potencial V (~r), ¿como se transformaV (~r) bajo ~r → −~r ? [Recuerda: ~F (~r) = − ~∇V (~r)]

3. (a) Demuestra que se cumple que εijk = ~ei · (~ej × ~ek), con ~em un conjuntocualquiera de vectores base ortonormales en un espacio vectorial tridimensio-nal. (b) Demuestra que, bajo un cambio de base representado por la matrizΛ con ΛTΛ = I, tenemos: ε′ijk =

∑l,m,n ΛilΛjmΛkn εlmn. [Sugerencia para

(b): las Λ, cuando actuan sobre una base ortonormal, dan una base ortonor-mal. El cambio de base que representa la matriz Λ es: ~e

′

i =∑k Λik ~ek].

4. (a) Usando el resultado anterior, demuestra que ε′123 = detΛ = ±1. (b) De-muestra ahora que ε′ijk = ±εijk bajo transformaciones Λ con ΛTΛ = I.

5. Usando la propiedad del producto escalar 〈u|v〉 = 〈v|u〉∗, demuestra que si|t〉 = a|w〉+ b|s〉, entonces 〈t| = a∗〈w|+ b∗〈s| con (a, b ∈ C).

6. (a) Con Uik ∈ C, se da un cambio de base como: | i’ 〉 =∑nk=1 Uik | k 〉. La

base ”sin prima” es una base ortonormal. ¿Que condiciones han de cumplirnecesariamente los numeros complejos Uik para que 〈 i’ | j’ 〉 = δij ; es decir,que la base nueva sea tambien ortonormal? [Sugerencia: Utiliza el ejercicioanterior]. (b) Expresa esas condiciones con matrices cuyas entradas sean losnumeros complejos Uik.

7. Demuestra que, si H es un operador hermıtico, entonces, cualquiera que sea|u〉, se cumple que 〈u|H|u〉 es un numero real.

8. Comprueba que la energıa cinetica total de un sistema de dos partıculas demasas m1 y m2 en movimiento tal que su centro de masas esta en reposo es uninvariante bajo la transformacion de Galileo ~r

′= ~r−~V t, con ~V independiente

de t. [Pista: ademas de la coordenada centro de masas ~R = m1 ~r1+m2 ~r2m1+m2

, usala posicion relativa ~r21 = ~r2 − ~r1 para reescribir la energıa cinetica total delsistema].

9. Dados dos operadores lineales A y B, demuestra que, si se cumple que A yB tienen vectores propios (autovectores) comunes que forman una base delespacio vectorial, entonces A y B conmutan; o sea, [A,B] = 0 (observa quelos valores propios de A y B no tienen por que coincidir).

PARA ENTREGAR COMO MAXIMO 7 DE LOS EJERCICIOSLISTADOS HASTA AQUI. CADA UNO VALE UN PUNTO (MAXI-MA PUNTUACION EN ESTA PARTE = 7 PUNTOS)

Sigue detras −→

1

NO OLVIDEIS QUE, EN LO QUE SIGUE, APLICA EL CONVE-NIO DE SUMACION DE INDICES DE EINSTEIN: INDICE RE-PETIDO ARRIBA Y ABAJO ES INDICE SUMADO DE CEROA TRES

10. (a) Usando obligatoriamente la segunda ley de Newton en TRE, mdUµ

dτ=

fµ, y que Uµ Uµ = c2, demuestra que fµ Uµ = 0, ∀ τ . (b) Demuestra quefµ Uµ es un invariante Lorentz; es decir, toma el mismo valor para todoslos observadores inerciales. (c) Demuestra, a partir de lo anterior, que, paracualquier observador propio (instantaneo) O′ de la partıcula de masa m sujetaa la cuadrifuerza f ′µ, se tiene f ′ 0 = 0. ¿Se anula la componente temporal de lacuadrifuerza en cualquier sistema de referencia inercial? Razona la respuesta.

11. (a) Escribe las ecuaciones que expresan la conservacion de la energıa y el mo-mento de un proceso en el que un observador ve como un atomo inicialmenteen reposo y de masa m absorbe una partıcula de masa cero con energıa E0.(b) Calcula la masa M de la partıcula resultante del proceso. [Sol. para (b):

M = m√

1 + 2E0mc2 ]. Recuerda que, para una partıcula libre cualquiera de

masa m, energıa E y momento ~p, se cumple m2c4 = E2 − ~p 2c2.

12. Cualquier transformacion de Lorentz cumple que su matriz Ω verifica ΩT ηΩ =η. A partir de ello, demuestra que el producto de dos transformaciones deLorentz es una transformacion de Lorentz.

13. (a) Calcula detalladamente ∂µ xµ, demuestra que es igual a δ µµ y que vale 4para todos los observadores inerciales. (b) Dado un tensor dos veces contrava-riante Tµ ν , demuestra que Tµµ es un escalar (invariante) de Lorentz. [Recuerdaque Tµ ν se transforma bajo transformaciones de Lorentz de la misma formaque xµ xν ].

14. Recordando que la inversa, Ω−1, de una transformacion de Lorentz Ω con-muta con Ω (Ω Ω−1 = Ω−1 Ω = I), demuestra que se cumple Ωµα Ωµβ =Ωαµ Ωβ µ = δα

β . [Recuerda tambien que (Ω−1)µν = Ω νµ].

PARA ENTREGAR COMO MAXIMO 3 DE LOS 5 EJERCICIOSPROPUESTOS EN ESTA PARTE. CADA UNO VALE 1 PUNTO(MAXIMA PUNTUACION EN ESTA PARTE = 3 PUNTOS)

2