Rene Descartes. Plano cartesiano (-, +) (+, -) (-, -) (+, +) (-, +) (+, -) (-, -) (+,+)

Rene DescartesRene Descartes

Plano cartesianoPlano cartesiano

(- , +)

(+, -)

(- , -)

(+, +)(- , +)

(+ , -)(- , -)

(+,+)

Dados los puntos A (xDados los puntos A (x11,y,y11) y B (x) y B (x22,y,y22) )

entonces D(A,B) llamado distancia entonces D(A,B) llamado distancia entre A y Bentre A y B

se obtiene:se obtiene:

4

5

¿Cuál de las rectas ¿Cuál de las rectas está más inclinada?está más inclinada?

¿Cómo medimos ¿Cómo medimos esa inclinación?esa inclinación?

L1

L2

y

0 x

12

12

xxyy

ΔxΔy

m

6

y

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

xx = x= x22 - x - x11

yy = y2 - y1

x0

1.1. Si Si m m >0 la recta >0 la recta LL es creciente es creciente

2.2. Si Si m m <0 la recta <0 la recta LL es decreciente es decreciente

3.3. Toda recta horizontal tiene Toda recta horizontal tiene mm = 0 = 0

4.4. Las rectas verticales no tienen pendiente definida. Las rectas verticales no tienen pendiente definida.

7

x

y

m >0

m <0 x

y

m =0

m

8

La ecuación de una recta de pendiente m e La ecuación de una recta de pendiente m e intersección con el eje Y igual a b, es:intersección con el eje Y igual a b, es:

y =y = mmxx ++ bb

bb

x

y

Una ecuación lineal es una ecuación de la Una ecuación lineal es una ecuación de la forma:forma:

Ax + By + C = 0Ax + By + C = 0donde donde AA, , BB y y CC son constantes, y son constantes, y AA y y BB no no son simultáneamente nulas. La ecuación son simultáneamente nulas. La ecuación de una recta es lineal e inversamente la de una recta es lineal e inversamente la grafica de una ecuación lineal es una grafica de una ecuación lineal es una recta.recta.

9

623

1

yx

xy

10

EJEMPLO 5EJEMPLO 5

Para hallar el punto de intersección de dos Para hallar el punto de intersección de dos rectas solo hay que resolver el sistema de rectas solo hay que resolver el sistema de ecuaciones definido por las ecuaciones de ecuaciones definido por las ecuaciones de cada una de las rectas.cada una de las rectas.

Encontrar el punto de intersección de las rectasEncontrar el punto de intersección de las rectas:

11

La ecuación de la recta dependienteLa ecuación de la recta dependiente mm, y punto , y punto de paso de paso (x1, y1) es:es:

y - yy - y11 = m(x - x = m(x - x11))

(x1, y1)

x

y

12

RECTAS PARALELASRECTAS PARALELAS

Dos rectas no verticales Dos rectas no verticales LL11 y y LL2 2 cuyas cuyas

pendientes son mpendientes son m11 y m y m22 , son paralelas , son paralelas

((LL11 //// : m: m11=m=m22

L2

x

y

L1

1

1m

m

13

RECTAS PERPENDICULARESRECTAS PERPENDICULARESDos rectas no verticales Dos rectas no verticales LL11 y y LL2 2 cuyas pendientes cuyas pendientes

son mson m11 y m y m22 , son perpendiculares ( , son perpendiculares (LL11 LL22) si y ) si y

sólo si el producto de sus pendientes es -1. sólo si el producto de sus pendientes es -1.

Es decirEs decir: m: m11.m.m22=-1=-1

L2

x

y

L1

Ecuación de la Ecuación de la circunferencia; circunferencia;

Forma Ordinaria de la Forma Ordinaria de la

ecuación de la circunferenciaecuación de la circunferencia

Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C(h;k) y el radio "r“ de la misma, entonces:

2 2

La forma

0

es la forma general de la

ecuación de la circunferencia.

x y Dx Ey F

Forma General de la Ecuación de Forma General de la Ecuación de

la Circunferenciala Circunferencia