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RESUMEN PSU MATEMÁTICAS
Números y Proporcionalidad Álgebra y Funciones
lN : números naturales {1, 2, 3...}
Reglas de Divisibilidad
- 2 : si termina en 0 o en cifra par.
- 3 : la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
- 4 : sus dos últimas cifras son 00 o múltiplo de 4.
- 5 : si termina en 0 o en 5.- 6 : si lo es por 2 y por 3 a la
vez.- 7 : la última cifra de la derecha
se multiplica por 2 y se resta de las cifras restantes, si la diferencia es 0 o igual a 7, entonces es divisible.
- 8 : las tres últimas cifras son 000 o es múltiplo de 8.
- 9 : la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
- 10 : si termina en 0.
Números primos : son aquellos
Grado de un término: se suman los exponentes de sus letras.
Grado de un polinomio: se considera el grado del término más alto.
Productos Notables:
(a±b )2=a2±2ab+b2
(a±b )3=a3±3a2b+3ab2±b3
a2+b2=(a+b)(a−b)
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
Factorización:
Trinomio x2+bx+c: el producto de los dos factores hallados es c, la suma de los dos factores corresponde a b.
Trinomio de un cuadrado perfecto: Hallar la raíz del primer y segundo término.
Trinomio cualquiera: el recíproco del número que acompaña al primer cuadrado se multiplica por trinomio
divisibles por 1 y por el mismo número.
{2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23...}
Números compuestos : son aquellos divisibles por 1, por el mismo y por otros números.
{4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18…}
* El 1 no es primo ni compuesto.
Teorema Fundamental de la Aritmética : Todo número compuesto se puede descomponer de manera única como el producto de números primos.
M.C.M. : El menor número natural que es múltiplo de cada uno de los números dados.
M.C.D. : El mayor número natural que divide a cada uno de los números dados.
lN0 : números cardinales {0,1,2}
Z : números enteros {-2, -1, 0,1}
Son todos los lN0 más su parte negativa.
Número par : 2p
Número impar : 2p+1
completo y éste por el número que acompaña al primer cuadrado.
Ecuaciones: se encuentran tres tipos de soluciones o raíces.
a≠0, tiene 1 raíz ax+b=0 a y b = 0, infinitas
a=0 y b≠0, no tiene
Interpretación Algebráica:
n° par 2x es =
n° impar 2x+1 mayor que
>
cuociente a/b Menor que
<
exceso de a sobre b
a-b
no es mayor
≤
la mitad x/2 a lo más
≤
aumen tado en
a+b no es menor
≥
de, del al menos
≥
*
Primos relativos : números cuyo M.C.D es 1.
Valor absoluto de un entero :
| x | x , si x ≥ 0
-x , si x < 0
Propiedades en Z :
Adición y sustracción : se realiza la operación conservando el signo del número mayor.
( a, b, c Z)
Clausura : - (a + b) Z - (a b) ZAsociativa : - (a+b)+c = a+(b+c)
- (ab) c = a (bc)Elemento neutro : - 0 + a = a
- a1 = 1a = a
Elemento inverso: - a-a=-a+a=0
Desigualdades e Inecuaciones
Tricotomía : si se tienen dos números reales entonces se cumple solo una de las siguientes propiedades.
a > b ; a = b ; a < b
Transitiva: a, b, c lR, entonces
i) a < b y b < c a < cii) a > b y b > c a > c
Propiedad: al multiplicar por una cantidad mayor que 0, la desigualdad se mantiene, si la cantidad es menor que 0, la desigualdad cambia.
Propiedad: al transformar la desigualdad a sus respectivos recíprocos, cambia el signo, solo si estos son números positivos.
Propiedad:
a, b lR+, a < b /()2 = a2<b2
a, b lR-, a < b /()2 = a2>b2
Par + Par = Par
Par + Impar = Impar
Impar + Impar = Par
- no existen
Inversos multiplicativos en Z.
Conmutativa : - a + b = b + a
- a b = b a
Distributiva : - a(b+c)=ab + ac
(Q) números racionales : todos aquellos números que pueden
represetarse como fracción ( ab )
siendo a y b números enteros y b distinto de 0.
ab
; a es el numerador y b el
denominador.
Fracción propia : si | a | < | b |
Fracción impropia : si | a | > | b |
Equivalencia de números racionales
ab= cd
ad = bc
Relación de orden:ab≥cdad ≥bc
Número mixto : Amn
=an+mn
Sistema de Inecuaciones: se resuelven las inecuaciones por separado y luego se intersectan las soluciones.
Propiedades del valor absoluto:
|x| ≥ 0 ; |-x| = |x| ; √ x2 = |x|
Si a>0 [|x| = a (x = a v x = -a)]
Inecuaciones con valor absoluto
Se resuelve la inecuación (<, >) por separado |a + b|
(a+b) = x ; (a+b) = -x
y se unen los resultados.
Inecuaciones con igual signo =
Inecuaciones con ≠ signo =
Sistema de coordenadas cartesianas y Ecuaciones Lineales en dos variables:
y (ordenadas)
II I
x (abscisas)
III IV
Ecuación de la Recta: y= mx + n
Opuesto aditivo de ab=−ab
Recíproco o inverso de ab= [ ab ]
−1
= ba
Finito: cantidad limitada
De cifras decimales.
Decimal Infinito periódico:
tiene una parte entera más el periodo
Infinito semiperiodo:
parte entera, antepe-
riodo y un periodo.
Ej. 0,1 = 1
10 ; 0,01 = 1
100
Ej. 1 ,5=15−19
=149
Ej. 1,4 5=145−1490
=13190
(Q*) números irracionales : no pueden representarse como fracción, no son exactas ni periodicos.
Donde m es la pendiente y n el coeficiente de posición. (punto en el que intersecta al eje Y)
Dados los puntos (x1,y1) y (x2,y2), la pendiente se calcula así:
m = y2− y1
x2−x1
Casos :
m<0 n>0 m>0 n>0
m>0 n=0 m=0 m=∞
* Se ve de izquierda a derecha.
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos : (x1,y1) y (x2,y2)
y2− y1
x2−x1
=y− y1
x−x1
Ecuación de la recta dado punto-pendiente: (x1,y1)
y - y1 = m(x - x1)
Ej. √2 ,√3 , π , etc.
Aproximaciones :
- Por defecto : más pequeño que el número original.
- Por exceso : más grande que el número original.
Redondeo : la cifra de orden n se deja como está si la siguiente cifra es menor que 5, y si es mayor o igual a 5 se aumenta una unidad.
Truncamiento : se eliminan las cifras posteriores a la coma.
Cifras decimales: 1, 2 3 4 5 6
1: unidad
2: décima
3: centésima
4: milésima
5: diez milésima
6: cien milésima
Notación Científica : el producto entre un número entre 1 y 10 y una potencia de 10. El exponente de dicha potencia corresponde a la cantidad de ceros.
Ej: 10 10−2 = 0,02
Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares:
Paralelas: Cuando las pendientes de las rectas son iguales y sus coeficientes de posición distintos.
L1: y = m1x + n1
L2: y = m2x + n2
* Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0.
Coincidentes: Cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición también.
Perpendiculares: L1 L2 cuando m1·m2 = -1.
Distancia entre dos puntos:
d =√(x¿¿2−x1)2+( y¿¿2− y1)
2¿¿
Ecuación del punto medio:
x1−x2
2=y1+ y2
2
Ej: 10 102 = 100
(lR) números reales : Q Q*
Razones y Proporciones
Razón : comparación entre dos cantidades mediante una división.
ab=K a : b = K , donde a es el
antecedente y b el consecuente.
Proporción : igualdad de dos razones.
ab= cd
a : b = c : d , donde a y d son
extremos, y b y c son medios.
Teorema Fundamental:
Potenciación:
BASE
exponente
positiva negativa
par + +
impar + -
Propiedades:
a0=1 a1=a abac=ab−c
ab: ac=ab+c
(a¿¿b)c=abc¿
a−b= 1
ab
ab
−c
=ba
c
Radicación:
Suma y resta de raíces: Solo se pueden sumar y restar raíces semejantes.
Producto y división de raíces:
Del mismo índice:
3√8 3√27= 3√27 8=3√216=6
lRQ
lN+
0
lN-Q*
Q* + Q* = Q*
Q* Q* = depende
Q* : Q* = depende
ab= cd a d = b c
Serie de razones : igualdad entre más de dos razones.
x+ y+za+b+c
= xa= yb= zc=k
Proporción discontinua : todos los términos son distintos y cada uno de estos se llaman cuarta proporcional.
Proporción contínua : sus términos medios o extremos son iguales; el término repetido se llama media proporcional y los no repetidos, tercera proporcional.
Proporción directa : ab=k
Línea recta que
pasa por el
origen.
Proporción inversa : a b = k
y
Corresponde a
De distinto índice:
2√12 3√36=6√123 6√362=¿
6√ (223 )3 ( 2332 )2=¿
6√21037=66√24 3
Raíz de una raíz: Se multiplican los índices.
√ 3√a= 6√a
Potencia de exponente racional:
n√am=amn
Propiedad: n√a :n√b=n√ ab
Propiedad: n√a n√b=¿ n√ab
Racionalización de monomios irracionales: multiplicar por el mismo número ambas partes de la fracción.
una hipérbola
equilátera.
Proporción compuesta : se deja la incógnita al medio y si es p.directa se multiplica cruzado; si es p.inversa se multiplica hacia al lado y se forma una ecuación.
Porcentaje e Interés:
a% = a
100
a% del b% de N = a
100b
100N
Porcentajes Especiales :
4% 125
5% 120
10% 110
20% 15
25% 14
40% 25
60% 35
75% 34
Racionalización de binomios irracionales: utilizar suma por diferencia en ambas partes de la fracción.
Producto Cartesiano : Dados los conjuntos A {1, 2, 3} y B {s, f} entonces,(AB)={(1s),(1f),(2s),(2f),(3s),(3f)}
Relación : subconjunto de un producto cartesiano que cumple una o más condiciones. Por ejemplo, en un dado {(x,y) ss / 2x = y} , {(1,2), (2,4), (3,6)}.
Funciones : A cada elemento de A le corresponde uno de B. AB ; f(x) = y
Conjunto A : Dominio (Dom) o conjunto de partida. Es la variable independiente (x) que contiene las preimágenes que se calculan reemplazando la x por el valor dado.Conjunto B : Codominio o conjunto de llegada. Recorrido : (Rec) todos los valores posibles de f(x). Es el subconjunto del codominio que contiene las imágenes o variables dependientes (y), que se calculan igualando al valor que se pide. (y o f(x) = n)
Para calcular el dominio de una función, se busca la manera en que ésta no de un número real.
80% 45
Problemas de compra y venta :
$ de venta = $ de compra + ganancia (%) $ de compra
$ de venta = $ de compra – pérdida (%) $ x
Ganancia = $ final – $ invertido
Interés Simple : Cf = Ci (1 + in)
I. Compuesto :Cf = Ci (1+i )n
i=¿ interés en fracción o decimal
n ¿ número de periodos (días, meses, años, etc.)
* Recordar :
dividendodivisor
= cuociente + restodivisor
Dividendo = divisor cuo + resto
¿Qué me falta para echar a perder la máquina?Para calcular el recorrido se iguala la función a y, despejando x y luego ver qué número no puede incluirse dentro de éste.
¿Qué número nunca va a salir de la máquina?
Clasificación de funciones :
Inyectiva: imagen de B es una de A (no más de una)Epiyectiva: Cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, es decir no hay elementos de B solos.Biyectiva: Inyectiva y epiyectiva a la vez.
Función Inversa : se despeja la X, y luego a de éste resultado intercambiar la x por la y, y la y por la x; la función obtenida es inversa a la función dada.
Evaluar Funciones: x se reemplaza por el valor dado.
Geometría Álgebra y Funciones
Ángulos y Triángulos:
360°= 2
Agudo: más de 0° y menos de 90°Obtuso: + de 90° y - de 180°
Consecutivos: tienen el vértice y un lado comúnAdyacentes: 180°, tienen el mismo vértice, un lado en común y estos sobre una recta.
Opuestos por el vértice: =
Complementarios: suman 90°
Suplementarios: suman 180°Alternos: miden lo mismoCorrespondientes: son igualesColaterales: son suplementarios
Triángulos: la suma de dos lados es siempre mayor que el tercero.
La diferencia positiva es siempre mayor que el tercer lado. Sus ángulos interiores suman 180°. Sus ángulos exteriores suman 360°, un ángulo exterior es igual a la suma de los
Aspectos a estudiar en el gráfico de una función :
Intersección con el eje X: igualar la función f(x) o y a cero, los valores de x son los puntos que se intersectarán al este eje.
Intersección con el eje Y: reemplazamos el x de la función por 0 y el resultado es el punto de intersección con el eje y.
Función Afín (ax + b): no pasa por el origen. Intersecta en (0,b)
a>0 a<0
Función Lineal (ax + (b=0)): pasa por el origen (0,0). El dominio y el recorrido son todos los reales.
otros dos ángulos interiores.
Bisectriz : incentro (2 ángulos =’s)
Altura :otrocentro (ángulo de 90°)
Transversal de gravedad : centro de gravedad (lados iguales)
Simetral : circucentro (h + t)
Área: √s (s-a ) (s-b ) (s-c)
s= perimetro/2
Equilátero: ( lado )2 √34
; h = lado √32
Euclídes: a2=p c b2=q c h2 =p q
h = a bc
En un triángulo isósceles: h=t=b=s
* tg: divide en el punto medio.
Función Identidad ((a=1)x): asociada a la proporción directa.
Función Cuadrática (ax2+bx+c): forma de parábola,con a ≠ 0, cuyo dominio son todos los reales y su recorrido desde el vértice (hacia arriba o abajo) los puntos de intersección con el eje x corresponden a las soluciones de la ecuación dada.
Concavidad: a acompaña al x2, si a > 0, a = , si a < 0, a = .
Intersección con el eje Y: si c>0 entonces la parábola se ubica por encima del eje x, si c<0, la parábola se ubica por debajo del eje x.
Intersección con el eje X: factorización o la siguiente fórmula.
-b±√ b2-4ac2a
Discriminante (b2 -4ac): determina en cuántos puntos corta al eje x.
C
D BA
Trigonometría:
Identidades Fundamentales:
Secα=1cosα
cosecα=1sen α
tgα=sen αcos α
cotgα=cosαsenα
sen2 α+cos2α=1 sec2 α=1+tg2 α cosec2 α=1+cotg2 α
Congruencia: trazos de igual longitud y ángulos de igual medida.
LLL: tres lados homólogos =’s.LAL: el ángulo formado entre sus
Δ > 0 = 2 soluciones reales y ≠
Δ=0 =2 soluciones iguales (1pto)
Δ < 0 = no lo toca (soluciones imaginarias y ≠)
Eje de Simetría: divide a la parábola en dos ramas congruentes.
x=x1+x2
2= -
b2a
Vértice: hay 3 formas para calcular el vértice (x,y) los cuales representan el máximo o el mínimo de la parábola.
-b2a
, 4ac- b2
4a
-b2a
, f (-b2a )
d f(x)d f(x)
=0, f (-b2a )
F(x) 30 45 60
sen12
√22
√32
cos √32
√22
12
tg √33
1 √3
sen Cos tg Cotg sec
cosec
coh
cah
coca
caco
hca
hco
lados homólogos =’s, es =. ALA: dos ángulos =’s y el lado comprendido entre ellos es el h.LLA: dos ángulos homólogos =’s y el ángulo opuesto al mayor es =.
Semejanza: (AA) con dos ángulos de igual medida y que sus tres lados sean proporcionales.La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes = razón entre elementos homólogos.
La razón entre las áreas de dos triágulos se. = razón entre sus e.homólogos al cuadrado.
Equivalencia: igual área.
Polígonos:
d = n-3 (n° diagonales desde un vértice)
D = n(n−3)2
(n° total de diagonales)
Si =180 (n-2) (suma ángulos interiores de un polígono)
Cuadriláteros: Sus ángulos interiores y exteriores suman 360°
Se pueden trazar dos diagonales.
Función Valor Absoluto (|x|): su dominio son todos los reales y el recorrido todos los reales positivos más el 0.
|x|≥a -a≥x≥a
|x|=a
–a=x=a
Función Parte Entera ([x]): su dominio son todos los números reales y su recorrido todos los enteros. Solo se considera la parte entera de la función.
Función Raíz Cuadrada (√x) : el dominio y el recorrido son todos los reales positivos y el cero. Función
* P.Oblicuos (Rombo, romboide): lados y ángulos opuestos son congruentes, ángulos consecutivos son suplementarios, diagonales se dimidian.
Rombo: diagonales no congruentes, perpendiculares y bisectrices.Romboide: diagonales no congruentes, no perpendiculares, no bisectrices.
* P.Rectos: (Cuadrado, rectágulo): ángulos interiores 90°Cuadrado: diagonales congruentes, perpendiculares y bisectrices.
Rectángulo: diagonales congruentes, no perpendiculares y bisectrices.
* Trapecios: escalenos (no paralelos desiguales), isósceles (no paralelos iguales, basales iguales) y rectángulos (2 a.rectos)
m=b1+ b2 ∙h
2
* Deltoides: diagonales son perpendiculares, la diagonal mayor es bisectriz y dimidia a la diagonal
creciente (lenta).
* Para encontrar la intersección con el eje Y, hay que igualar X a 0.* Para encontrar la intersección con el eje x, hay que igualar y a 0.
Función Exponencial (ax) : la función es siempre creciente (rápido) y se encontrará siempre sobre el eje x, en el primer y segundo cuadrante. Su dominio son todos los reales y el recorrido todos los reales positivos.
a>1 0<a<1
f(x) = k ax, donde k = cantidad inicial
a = crecimiento
menor.
Perímetro: 2a+2b
A=d1∙d2
2
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las sumas de los lados opuestos son =’s.
Geometría de Proporciones:
Teorema de Apolonio: au
=bv
a b
u v
A B C
División Interior: ABBC
=MN
División Exterior:ACBC
=MN
x = tiempo
Función Logarítmica (log a x) : la función logaritmica tiene una base mayor que uno (crecimiento lento), es inyectiva, los números negativos no tienen logaritmo y su dominio son los reales positivos y el recorrido todos los reales. (intersección en el eje x es el punto (1,0) en ambas funciones).
x>0 x<0 0<a<1
Propiedades:
log a a=1
log a 1=0
log a ( b c ) = loga b+ loga c
log a(bc )= loga b- loga c
log a ( bc )=c log a b
log an√b =
1n
loga b
log a b= logc b
logc a
a log a b =b
Estadística y Probabilidades:
Población o universo: total de individuos u objetos.
División Áurea: ACAB
=ABBC
=1,618.
A B C D
División Armónica: el total dividirlo en la suma de las razones dadas.
ABBC
=ADDC
= MN
Teorema de Thales: paralelas!
L1 A C
ACCO
=DBDO
AOOB
=COOD
AOAB
=COCD
L2 B D
L1 A B
L2 C D
Muestra: grupo de la población. (Si es +50% es representativa).
Frecuencia Absoluta: n° de veces que se repite el dato.
Medidas de Tendencia CentralMedia Aritmética: promedio; se suman todos los valores y se divide por el total de casos.
Mediana: está en el centro de una distribución. Se ordenan los valores y se divide el total por 2.
Moda: lo que más se repite.
Marca de clase: valor medio de cada intervalo.
Medidas de Dispersión
Desviación Media: el valor absoluto de las distancias hacia la media, dividido en el total de valores entregados.
¿ x−x|+¿ x−x|…n
Desviación Estándar: la raíz cuadrada de la distancia entre la media y los valores al cuadrado, dividido en el
L1 A D
L2 B E
L3 C F
Circunferencias:
· Perímetro: 2∙p∙r
· Área del círculo: p∙ r2
· Á. Sector circular: π∙ r2∙α360°
· P. del sector circular: 2π∙r∙α360° +2r
· Longitud de Arco: 2π∙r∙α360°
· Ángulo del centro: arco=ángulo.
<AOC = 2<ABC
total de casos.
√( X−X )2+ (X−X )2…n
Tabla de frecuencias con clase (con datos agrupados):
Intervalos [x, y[
Frecuencia Relativa: porcentajes de cada f.absoluta.
Frecuencia Absoluta Acumulada F.A. + la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores y la frecuencia relativa (% de la frecuencia relativa del intervalo + la suma de las frecuencias relativas de todos los valores anteriores).
Gráfico circular: los 360º del círculo representan el 100 % de los datos clasificados
Probabilidades: 0<p(x)<1, se representa en % o fracción.
Si los lados de un ángulo son tangentes a una circunferencia, entonces los trazos desde el vértice a los puntos de tangencia son congruentes.
AEB=AB+CD2
CAD=CD-BE2
PA PC = PB PD
PB PA = PD PC
Laplace: casos favorablescasos posibles
Suceso Imposible: 0
Suceso Seguro: 1
Sucesos Independientes: producto de ambas p(x).
Probabilidad Total: p(x) de que ocurra el suceso A o el suceso B o ambos sucesos.
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
Si los eventos son excluyentes (A B = ):
P(AB)=P(A)+P(B)
Probabilidad Condicionada:
Con reposición: Los eventos son incluyentes si el suceso B es independiente de la ocurrencia del suceso A:
P(AB)=P(A)P(B)
PC2 = PB PA
Ángulos inscritos miden lo mismo
El ángulo del centro mide el doble del ángulo inscrito.
Sin Reposición:
P(AB)=P(A)P(B/A)
* Para saber cuántos elementos saldrán en un espacio muestral de un diagrama de árbol:
SoluciónN°Objetos
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