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Rigidez Elástica
De
Elelementos de
Hormigón Armado
M.J.N.Priestley
Diseño basado en Fuerzas
Método estático
Superposición Modal
Rigidez ElásticaCálculo del periodo
Distribución de Fuerzas Laterales
DISEÑO BASADO EN DESPLAZAMIENTOS
La rigidez elástica no es muy importante pero se necesita el desplazamiento de fuencia (calculado a partir de la curvatura de fluencia o indirectamente desde la rigidez elástica) para estimar un amortiguamiento efectivo.
Se tratará en detalle más adelante.
0 0.02 0.04 0.06
C urvature (1/ m )
0
10000
20000
30000
40000
50000
Mom
ent
(kN
m)
' y y u
M y
M N
M u
y
NMEI
RELACIÓN MOMENTO-CURVATURA Y APROXIMACIÓN BILINEAL
My = momento de fluencia
MN = momento nominal (diseño)
Mu = momento último
MU
MN
MY
RIGIDEZ ELÁSTICA:
PRIMERA FLUENCIA (SECCIÓN AGRIETADA)
• MODELOS BILINEALES INELÁSTICOS
• RESPUESTA ELÁSTICA CÍCLICA
Nota: “Primera fluencia”:
εs= εy=fy/Es, o εc=0.002
La resistencia y la rigidez están relacionadas
Rigidez EI = M/f
M M
fy3 fy2 fy1 f fy f
M1
M2
M3
M1
M2
M3
(a)Suposición de diseño, rigidez constante
(b) Suposición más real,curvatura de fluencia constante
INFLUENCIA DE LA RESISTENCIA EN LA RELACIÓN
MOMENTO-CURVATURA
RIGIDEZ ELÁSTICA DE
COLUMNAS CIRCULARES
Relación Momento-Curvatura :
• Diámetro de la Columna: D = 2m
• Recubrimiento de la armadura a flexión: = 50mm
• Resistencia a compresión del hormigón: f’c= 35MPa
• Diámetro de la armadura a flexión: db =40mm
• Armadura Transversal – zunchos: 20mm @ 100mm espaciamiento
• Fluencia de la armadura: fy = 450MPa
• Carga axial Nu/f’cAg: 0 to 0.4 (9 pisos)
• Cuantía armadura a flexión rl/Ag: 0.005 to 0.04 (5 pisos)
0 0.002 0.004 0.006
C urvature (1/ m )
0
10000
20000
30000
40000M
omen
t (k
Nm
)
N u/ f 'cA g = 0
N u/ f 'cA g = 0.1
N u/ f 'cA g = 0.2
N u/ f 'cA g = 0.3
N u/ f 'cA g = 0.4
(a) R einf orcem ent R atio = 1%
0 0.002 0.004 0.006
C urvature (1/ m )
0
10000
20000
30000
40000
50000
Mom
ent
(kN
m)
N u/ f 'cA g = 0
N u/ f 'cA g = 0.1
N u/ f 'cA g = 0.2
N u/ f 'cA g = 0.3N u/ f 'cA g = 0.4
(b ) R einf orcem ent R atio = 3%
RELACIONES MOMENTO-CURVATURA PARA COLUMNAS CIRCULARES (D=2m,f’c= 35MPa, fy = 450MPa)
0 0.1 0.2 0.3 0.4
A x ial L oad R atio (N u/ f 'cA g)
0
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2D
imen
sion
less
Mom
ent
(MN
/f'c
D3 )
l= 0.04
l = 0.03
l = 0.02
l = 0.01
l = 0.005
0 0.1 0.2 0.3 0.4
A x ial L oad R atio (N u/ f ' cA g)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Dim
ensi
onle
ss C
urva
ture
( yD
/y)
A ve. + 10%
A ve. -10%
l = 0.04
l = 0.005
A verage yD / y= 2.25
(a) N om inal M om ent (b ) Y ield C urvature
MOMENTO NOMINAL ADIMENSIONAL Y CURVATURA DE FLUENCIA PARA COLUMNAS CIRCULARES
Average yD/y = 2.25
0 0.1 0.2 0.3 0.4
A x ial L oad R atio (N u/ f ' cA g)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1St
iffn
ess
Rat
io (
EI/
EI gr
oss)
l = 0.04
l = 0.03
l = 0.02
l = 0.01
l = 0.005
RIGIDEZ EFECTIVA PARA COLUMNAS CIRCULARES
EIeff = MN/fy
EIeff /EIgross
=MN/fyEIgross
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
C urvature (1/ m )
0
5000
10000
15000
20000
25000
Mom
ent
(kN
m)
N u/ f 'cA g = 0
N u/ f 'cA g = 0.1
N u/ f 'cA g = 0.2
N u/ f 'cA g = 0.3
N u/ f 'cA g = 0.4
0 0.002 0.004 0.006
C urvature (1/ m )
0
10000
20000
30000
40000
Mom
ent
(kN
m)
N u/ f 'cA g = 0.4
N u/ f 'cA g = 0
0.1
0.2
0.3
(a) R einf orcem ent R atio = 1`% (b ) R einf orcem ent R atio = 3%
RELACIONES MOMENTO-CURVATURA PARA COLUMNAS RECTANGULARES (b=h=1.6m, f’c = 35 MPa, fy = 450 MPa)
0 0.1 0.2 0.3 0.4
A x ial L oad R atio (N u/ f ' cA g)
0
0.1
0.2
0.3
Dim
ensi
onle
ss M
omen
t (M
N/f
' cbh2 )
l = 0.005
l = 0.01
l = 0.02
l = 0.03
l = 0.04
0 0.1 0.2 0.3 0.4
A x ial L oad R atio (N u/ f ' cA g)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Dim
ensi
onle
ss C
urva
ture
( yh
/y) A ve. + 10%
A ve. - 10%
A verage
A verage yh/ y = 2.10
l = 0.005
l = 0.04
(a) N om inal M om ent (b ) Y ield C urvature
MOMENTO NOMINAL Y CURVATURA DE FLUENCIA PARA GRANDES COLUMNAS RECTANGULARES
Average fyh/ey = 2.10
0 0.1 0.2 0.3 0.4
A x ial L oad R atio (N u/ f ' cA g)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1St
iffn
ess
Rat
io (
EI/
EI gr
oss) l = 0.04
l = 0.03
l = 0.02
l = 0.01
l = 0.005
RIGIDEZ EFECTIVA PARA COLUMNAS RECTANGULARES
EIeff = MN/fy
EIeff /EIgross
=MN/fyEIgross
CURVATURA DE FLUENCIA PARA MUROS
SECCIÓN TRANSVERSAL ANALIZADA
RIGIDEZ EFECTIVA
RIGIDEZ ELÁSTICA DE VIGAS T
Rein- forcement
Bending Case
fy = 300MPa* y (m-1) hby/ y
fy = 400MPa* y (m-1) hby/ y
fy = 400MPa** y (m-1) hby/ y
0.00414 0.00388
1.66 1.55
0.00524 0.00495
1.57 1.49
0.00621 0.00568
1.86 1.70
0.82% top & bottom single layers
Negative Positive Average 0.00401 1.61 0.00510 1.53 0.00595 1.78
0.00444 0.00390
1.78 1.56
0.00571 0.00498
1.71 1.49
0.00674 0.00568
2.02 1.70
1.54% top & bottom single layers
Negative Positive Average 0.00417 1.67 0.00535 1.60 0.00621 1.86
0.00465 0.00388
1.86 1.55
0.00608 0.00513
1.83 1.54
0.00716 0.00587
2.15 1.76
2.2% top & bottom single layers
Negative Positive Average 0.00427 1.77 0.00561 1.69 0.00652 1.95
0.00495 0.00431
1.98 1.72
0.00654 0.00536
1.96 1.61
0.00765 0.00610
2.30 1.83
2.2% top & bottom
two layers
Negative Positive Average 0.00463 1.85 0.00595 1.78 0.00688 2.07
0.00525 0.00366
2.10 1.46
0.00703 0.00487
2.11 1.46
0.00801 0.00550
2.40 1.65
2.2% top,2 lrs 1.1% bottom, single layer
Negative Positive Average 0.00446 1.78 0.00595 1.78 0.00676 2.03
CURVATURA DE FLUENCIA PARA VIGAS para distinto detallamiento
* En el análisis no se consideró el endurecimiento del acero,
** En el análisis sí se consideró el endurecimiento del acero
Bending Case
fy = 300 MPa MN (kNm) I/ Igross
fy = 400MPa MN (kNm) I/ Igross
244 256
0.170 0.190
324 340
0.151 0.173
Negative Positive Average 0.180 0.162
447 469
0.291 0.347
591 622
0.299 0.361
Negative Positive Average 0.319 0.330
632 661
0.392 0.492
838 877
0.397 0.493
Negative Positive Average 0.442 0.445
590 646
0.342 0.433
795 851
0.350 0.458
Negative Positive Average 0.388 0.404
603 354
0.331 0.279
778 465
0.320 0.276
Negative Positive Average 0.305 0.298
RIGIDEZ EFECTIVA PARA VIGAS CON DIFERENTES CUANTÍAS DE ARMADURA
I/Igross a partir de Ec =30 GPa, Igoss = 0.01155m4
Reinforcement
0.82% t&b single layer
1.54% t&b single layers
2.2% t&b single layers
2.2% t&b two layers
2.2% top, 2 l 1.1% bottom, single layer
DESPLAZAMIENTO RELATIVO DE
FLUENCIA PARA MARCOS
CONTRIBUCIÓN DE LA DEFORMACIÓN ELASTICA AL DESPLAZAMIENTO LATERAL
EN UNA UNIÓN VIGA/COLUMNA
Deformación por flexión y corte en viga y columna.
Deformación de corte en el nudo
Column height/ beam length aspect ratio (lc/ lb) : 0.4 – 0.86 Concrete compression strength (f’c) : 22.5MPa – 88MPa Beam Reinforcement yield strength (fy) : 276MPa – 611MPa Maximum beam reinforcement ratio (A’s/ bwd) : 0.53% – 3.9% Column axial load ratio (Nu/ f’cAg) : 0 – 0.483 Beam aspect ratio (lb/ hb) : 5.4 – 12.6
Desplazamiento lateral relativo en marcos
qy = 0.5ey(lb/hb)
Ecuación verificada con:
qy = 0.5ey(lb/hb)
COMPARACIÓN ENTRE DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS EXPERIMENTALES Y RESULTADOS
DE LA ECUACIÓN
qy = 0.5ey(lb/hb)
DATOS ORDENADOS PARA FLUENCIA DE LA ARMADURAS
qy = 0.5ey(lb/hb)
DATOS ORDENADOS SEGÚN CUANTÍA DE ARMADURA SUPERIOR DE LAS VIGAS
qy = 0.5ey(lb/hb)
DATOS ORDENADOS SEGÚN LA RAZÓN DE ASPECTO DE LA VIGA
qy = 0.5ey(lb/hb)
DATOS ORGANIZADOS SEGÚN LA RAZÓN DE ASPECTO DE LA UNIDAD ENSAYADA
Hipótesis usual:
Diseñar para una rigidez inicial alta es conservador (e.g. EIgross ), porque se subestima el periodo traduciéndose en mayores fuerzas de diseño.
Considérese el siguiente ejemplo:
Diseño basado en:
EIgross,
razón de ductilidad de desplazamientos
μ = 6.
El periodo elástico resulta T = 0.8 segundos, estimándose un desplazamiento lateral relativo de 0.00333.
Suponiendo iguales desplazamientos, el desplazamiento relativo de diseño es 6*0.00333 = 0.02 (límite del código de diseño).
Entonces, con EIgross y μ = 6 para T = 0.8 seg.,
Se obtiene drm = 0.00333
y un desplazamiento relativo de diseño de 6*0.00333 = 0.02 (límite del código de diseño).
Una segunda estimación, basada en 0.5Igross da T=1.13
Una tercera, basada en la ecuación del desplazamiento de fluencia da T=1.43 segundos
Drift
0.0358
0.0283
0.02
0.8 1.13 1.43 Period
diseño
0.5Igross
real
Espectro de desplazamientos de diseño en función del desplazamiento relativo
Stiffness Assumption
Period (seconds)
Maximum Drift
Yield Drift
Displacement Ductility
Igross
0.80 0.0200 0.00333 6.00
0.5Igross
1.13 0.0283 0.0667 4.26
0.313Igross 1.43 0.0358 0.0107 3.36
IMPORTANCIA DE LA RIGIDEZ EN LA ESTIMACIÓN DEL DESPLAZAMIENTO LATERLA RELATIVO (DRIFT)
Nota: Diseñar con Igross, μ = 6, Máximo drift = 0.02
Drift esperado, 0.0358
queda un 80% sobre el límite del código
DUCTILIDAD LÍMITE - MARCOS
NOTA: EL CÓDIGO LIMITA EL DRIFT A 0.02-0.025
b
byy h
l 5.0Desplazamiento relativo de fluencia:
Ejemplo: lb = 6m, hb =0.6m, fy = 500MPa
εy = 500/200,000 = 0.0025;
θy = 0.5*0.0025*6.0/0.6 = 0.0125
Entonces la ductilidad límite es 1.6 a 2.0
Nota: usar acero de alta resistencia no reduce la cantidad de acero!
Circular column: Dyy /25.2 (2.19a) Rectangular column: cyy h/10.2 (2.19b) Rectangular cantilever walls: wyy l/00.2 (2.19c) T-Section Beams: byy h/70.1 (2.19d)
b
byy h
l 5.0Marcos:
CURVATURAS DE FLUENCIA Y DESPLAZAMIENTOS LATERALES RELATIVOS
Con estas relaciones se puede estimar con una buena aproximación el desplazamiento de fluencia de diferentes estructuras, ANTES DE CONOCER LA RESISTENCIA DE LA ESTRUCTURA
(e.g. Muro en voladizo: Dy=fyHe2/3 = 2eyHe
2/3lw
RESISTENCIA Y RIGIDEZ ESTÁN INTERELACIONADAS
Rigidez EI = M/f
M M
fy3 fy2 fy1 f fy f
M1
M2
M3
M1
M2
M3
(a) HIPÓTESIS DE DISEÑO (rigidez constante)
(b) Respuesta real (curvatura de fluencia constante)
INFLUENCIA DE LA RESISTENCIA EN LA RELACIÓN MOMENTO-CURVATURA
DISEÑO: RESISTENCIA PROPORCIONAL A LA
RIGIDEZ
ANÁLISIS: RIGIDEZ PROPORCIONAL A LA RESISTENCIA
?DISEÑO: LA RESISTENCIA DEPENDE DEL
PERIODO
ANÁLISIS: EL PERIODO DEPENDE DE LA RESISTENCIA
?
CONCLUSIONES
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