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J. E. N. 268Sp ISSN 0081-3397
:Sa Un programa numérico
porJ. Guasp y C. Navarro
JUNTA DE ENERGÍA NUCLEAR
MADRID, 1973
Toda correspondencia en relación con este tra-bajo debe dirigirse al Servicio de Documentación Bi-blioteca y Publicaciones, Junta de Energía Nuclear,Ciudad Universitaria, Madrid-3, ESPAÑA.
Las solicitudes de ejemplares deben dirigirse aeste mismo Servicio.
Se autoriza la reproducción de los resúmenesanalíticos que aparecen en esta publicación,,
Este trabajo se ha recibido para su impresiónen Junio de 1973.
Deposito legal n° M-20099-1973. I. S.B.N. 84.500-5877-5
-1-
INDICE
1.0.- INTRODUCCIÓN
2.O.- MODELO ÓPTICO
2.1.- Promedios energéticos de las secciones eficaces.
2.2.- Potenciales del Modelo Óptico.
2.3.- Función de ondas.
2.4.- Distribución angular.
2.5.- Secciones eficaces elástica y no elástica.
2.6.- Momentos de Legendre de la distribución angular.
3.0 - RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER
3.1.- Obtención de los elementos de la matriz de colisión
3.2.- Resolución numérica de la ecuación.
4.0.- DESCRIPCIÓN GENERAL DEL PROGRAMA HADES
4.1.- Modos de funcionamiento.
4.2.- Cálculos teóricos.
5.0.- PROGRAMA DE BÚSQUEDA
5.1.- Método de miñimizacion.
5.2.- Limitaciones a la variación de los parámetros.
5.3.- Procesos opcionales de minimización.
5.4.- Criterios de convergencia e índice de error.
6.O.- DESCRIPCIÓN DE LOS DATOS DE ENTRADA
1.0.- IMPRESIONES DE SALIDA
8.Oí- EJEMPLOS
8.1.- Ejemplo lfl: modo de cálculo.
8.2.- Ejemplo 2a: modo de búsqueda,
9.O.- REFERENCIAS
APÉNDICE I
-3-
1.0.- INTRODUCCIÓN
El conocimiento de las secciones eficaces correspondien
tes a las reacciones nucleares producidas por neutrones es de
sumo interés, tanto para profundizar en la comprensión de la es
tructura nuclear, como en el campo de los reactores nucleares
con el fin de construir las constantes de grupo necesarias para
su cálculo. Estas secciones eficaces deben ser obtenidas, en úl
tima instancia, mediante la experimentación; sin embargo diver
sas razones hacen aconsejable la construcción de modelos nuclea
res que las calculen. En primer lugar, un modelo permitirá, po
siblemente, confirmar o invalidar un esquema teórico explicati
vo. En segundo lugar, los conjuntos de datos experimentales po
seen numerosas lagunas, imprecisiones, ambigüedades e, inclu-
so, contradicciones (YIFTAH, S. y otros; 1960), (WESCOTT, C.H.;
1955), (HUGHES, D.J.; 1958), (SMITH, R.D.; 1966), (SCHMIDT, J.J.;
1970) que hacen necesaria la existencia de un modelo mediante
el cual comprobar, interpolar, extrapolar y, en suma, predecir
datos con cierta plausibilidad. Finalmente, la posesión de un
modelo teórico comprobado, permite el ahorro de gran cantidad
de información, ya que ésta puede ser reproducida mediante la
aplicación de aquel.
El Modelo Óptico es, de todos los modelos para reaccio
nes nucleares, el más utilizado y aunque su justificación teó-
rica es complicada (FESCHBACH, H.; 1958 a_ y b_ y LEMMER, R.H.;
1966, entre otros), su tratamiento fenomenológico es relativa-
mente sencillo. Como se expone en el texto (cf. § 2.1), este mo
délo permite predecir los promedios energéticos de las seccio-
nes eficaces correspondientes a las reacciones producidas por
neutrones rápidos en núcleos intermedios y pesados. Desde la pro_
posición del modelo por Feschbach, Porter y Weisskopf en 1954 se
ha publicado una considerable cantidad de programas numéricosTilque lo utilizan1—' , así como compilaciones de resultados , cf.
[lj Entre todos ellos citaremos: (MELKANOFF, M.A. y otros; 1961),CAUERBACH, E.H. y otros; 1964), (GOLDMAN, D.T. y otros;1965),(SMITH, W.R.; 1969 a_) , (BUCK, B. y otros; 1960), (AMSTER, H.;1957), (BEYSTER, J.R. y otros; 1957), (RAYNAL, J.; 1969),(ALLISON, A.C.; 1972), y (MELKANOFF, M.A. y otros; 1966).
-4-
p.ej. (MANÍ, G.S. y MELKANOFF, M.A.; 1963), (AUERBACH, E.H. y PE_
REY, F.G.J.; 1962), (EMMERICH, W.S.; 1963) y de valores de los
parámetros del modelo para diversas series de núclidos , cf. p.
ej. (HOLMQVIST, B.H.; 1969 a_ y b_) , (AUERBACH, E.H.; 1964), (H0DG_
SON, P.E.; 1967) y (FESCHBACH, H.; 1958 b_) . Sin embargo prevale-
ce la opinión de que cada Centro necesita programas específica-
mente concebidos con arreglo a sus necesidades e instalaciones.
Con este fin se ha desarrollado el presente trabajo.
El Modelo Óptico que, lógicamente, sólo describe un as-
pecto parcial de la realidad, tiene que ser complementado con
otros para obtener resultados más completos (cf. § 2.1). Por es
ta razón el presente programa forma parte integrante de un con-
junto más amplio que, con el propósito general de calcular teó-
ricamente el mayor número de magnitudes de interés en las reac-
ciones nucleares con neutrones rápidos, incluirá, junto a éste,
otros modelos más complicados. Como paso siguiente se ha reali-
[~2~]zado ya un programa numérico1—'que calcula las secciones efica-
ces que tienen lugar tras formación de núcleo compuesto (en par
ticular la sección eficaz elástica compuesta, necesaria para com
pletar el Modelo Óptico). Como próximo objetivo se proyecta la
realización de un modelo de canales acoplados con el fin de cal_
cular las secciones eficaces inelásticas correspondientes a la
excitación de grados colectivos de vibración o rotación del nú-
cleo blanco y en particular, su aplicación a núcleos no esféri-
cos. Así mismo se proyecta otro programa para el cálculo de rea£
ciones directas mediante el método DWBA (aproximación de Born
con ondas distors-ionadas).
En este artículo se presenta en primer lugar una breve
exposición del Modelo Óptico (§§ 2.1 y 2.2), a continuación se
establecen las fórmulas correspondientes a las magnitudes de in
teres (secciones eficaces, momentos de Legendre, etc...) (§§ 2.3,
2.4 y 3) seguidas de una descripción general del programa numé-
rico (§§ 4 y 5), de la explicación de los datos de entrada (§ 6)
e impresiones de salida (§ 7), finalizando con dos ejemplos ilus_
trativos (§ 8).
[2] Se trata del programa AQUELARRE que será objeto de publica_ción inmediata.
-5-
2.O.- MODELO ÓPTICO
2.1.- Promedios energéticos de las secciones eficaces
El Modelo Óptico considera la interacción neutron-nú
cleo reducida a un potencial global con el que el conjunto de
todos los nucleones del núcleo blanco actúa sobre el proyec-
til1—' , y prescinde, por consiguiente, de la descripción de to_
dos los canales de salida salvo del elástico. Dicha aproxima-
ción, al sustituir todos los posibles grados internos de liber_
tad del agregado neutrón-núcleo por un potencial global, es evi_
dente que no podrá dar cuenta exacta del comportamiento de las
secciones eficaces. Puede demostrarse, sin embargo, (FESCHBACH,
H. ; 1958 a_ y b_), (LEMMER, R.H.; 1966) que el modelo describe sa
tÍsfactoriamente los promedios de las secciones eficaces micros_
cópicas, es decir, de magnitudes del tipo
A Eff(Ef ) d E' (2.1)
A E_
siendo A E un intervalo de energías no excesivamente grande aun
que sí lo suficiente para que, en su interior, exista un núme-
ro relativamente elevado de resonancias del sistema neutrón-nú_
cleo. Es decir, un intervalo tal, que se verifique
r , D < á . E < < E (2.2)
donde T y D son, respectivamente, la anchura y espaciamiento me_
dio de las resonancias en esa región energética. Las secciones
eficaces así promediadas presentarán una variación suave con la
energía.
[V] Entre la numerosa bibliografía sobre el tema, mencionare-mos : (FESCHBACH, H. ; 1958 a y b y 1960), (HODGSON, P.E.;1967), (BROWN, G.E.; 1967), (LEMMER, R.H.;1966), (JACKSON,D.; 1970), (JONES, P.B.; 1963), (PRESIÓN, M.A.; 1962),(EMMERICH, W.S.; 1963).
-6-
La condición (2.2) muestra evidentemente que el Modelo
Óptico no será aplicable más que en aquella región de la ener-
gía en que las resonancias no estén muy espaciadas. Así, p. ej.,
mientras que para núcleos ligeros (cf. Tabla I) ésto no ocurre
más que a energías superiores a 1 MeV, en cambio para nüclidos
intermedios y pesados (A K 30), la relación (2.2) y, en conse-
cuencia, la región de aplicabilidad del Modelo Óptico se encuen
tra situada ya por encima de los 100 KeV, pudiéndose elegir un
intervalo A E de unos 10 KeV. Las secciones eficaces dadas para
estos núcleos por el Modelo Óptico tendrán que ser comparadas
con las secciones eficaces microscópicas experimentales prome-
diadas en un intervalo de energías de algunas decenas de KeV.
Estos promedios energéticos se realizarán bien aritméticamente,
utilizando (2.1) a partir de datos experimentales de gran reso
lución, bien directamente limitando, si es necesario, la reso-
lución de los aparatos experimentales a unas decenas de KeV.
TABLA.(a)
Núclido
25Mg
62Ni
lll*Cd
E
1 MeV
100 KeV
100 KeV
D
13 KeV
2 KeV
20 eV
r
2 KeV
100 eV
1 eV
A E
100 KeV
20 KeV
1 KeV
(a) (PRESTON, M.A.; 1962, pp. 529, 555)
El límite superior de aplicabilidad del Modelo Óptico se
encuentra a algunas decenas de MeV. A esa energía las reacciones
directas cobran importancia, exigiendo la aplicación de otros me_
todos (p. ej. DWBA).
En consecuencia, se considera aplicable este modelo a
-7-
las reacciones de neutrones con núcleos intermedios y pesados
(A K 30) en el intervalo de energías cinéticas de 100 KeV a
10 MeV.
En este intervalo de energías (en el cual r/D < 1 ) ,
la sección efi.caz elástica dada por el Modelo Óptico se iden-
tifica (FESCHBACH, H. ; 1958 b_ y HODGSON, P.E.; 1967) con la
sección eficaz- elástica potencial ("shape elastic"), mientras
que la sección eficaz de absorción del modelo corresponde a la
de formación del núcleo compuesto. Por consiguiente, para la
comparación de los resultados teóricos con los experimentales,
debe sustraerse de la sección eficaz elástica experimental (de
bidamente promediada en la energía) la parte elástica que se
produce por intermedio de núcleo compuesto ("compound elastic")
-^ ^ v.J...J....~ "_ ~w - ^ ^wv._u,.1^_^ w ^^.^WU.J.^^^ u ^ ^ u - -1 mediante
algún modelo que describa el proceso de formación y descompo-
sición delnúcleo compuesto (PRESTON, M.A.; 1962, p. 509), (MOL_
DAUER, P.A.; 1963), (AUERBACH, E.H.; y M00RE , S.O.; 1964).
Es decir, en el intervalo de energías en cuestión, se
tiene :
a . = <a > = <a > - <o >el se el ce
0abs en ne ce (.2.3)
rÍ = <aT> = <ael> + <ane:
siendo 0^,0 y a respectivamente las secciones eficaces
elástica, de absorción y total calculadas mediante el modelo
ópt ico.
[Vj El programa AQUELARRE calcula, entre otras, esta magni-tud y será objeto de una publicación inmediata.
<a >, <a >, <a > y < o T> los promedios energéticos de
6 JL Ti S C S X
las secciones eficaces experimentales elástica, no elástica (es
decir la correspondiente a todos los canales de salida salvo el
elástico), elástica compuesta y total, respectivamente.
2.2.- Potenciales del modelo óptico
Con arreglo a lo indicado, la función de ondas ¥ del sis
tema neutrón-núcleo obedecerá, en el Modelo Óptico, a una ecua-
ción de Schroedinger que, después de separar el movimiento del
centro de masas del relativo, adoptará la forma:
w 2
- — A ¥ + V ¥ = E ¥ (2.4-)2m ° p t
m m •
n ' Ndonde m = es la masa reducida del sistema neutron-nucleo
m + m>rn Nm = la masa del neutrónn
m.T = la masa atómica del núclido blancoN
E = es la energía cinética disponible en el sistema del
centro de masas, que está ligada a la del neutrón ET
en el sistema del laboratorio por la relación E =
= ti £Tm + m.T Ln N
V es el potencial global con que, en el modelo, el núo p t —•
cleo blanco actúa sobre el proyectil. Lo consideraremos local pues
puede demostrarse (PEREY, F.G. y BUCK, B.; 1962) que para todo po_
tencial no local existe siempre otro, local, equivalente dependien
te de la energía. Este potencial dependerá de la posición 'relati-
va r y, posiblemente, de algunos otros parámetros globales como p.
ej. el spin s del neutrón, el del núcleo I y posiblemente la ener
gía.
Para núcleos esféricos el potencial V debe poseer si-m / opt
metría de rotación y '—' dependerá de la posición, exclusivamen-
\jQ Como se indicará más adelante, la intensidad de un posibletérmino tensorial (s.r) (i.r) es inapreciable.
-9-
te a través de la distancia mutua r = [r|. En el caso de nú-
cleos no esféricos esto cesa de ser cierto. Sin embargo, sal-
vo en casos extremos, puede todavía considerarse sin gran error
que V posee simetría de rotación'—' .•
En cuanto a la dependencia respecto de los spines, de
todas las formas compatibles con la simetría de rotación (ME-
SSIAH, A.; 1959, p. 472), (FESCHBACH, H.; 1958 b_) , sólo tiene
importancia la del tipo spin-órbita del neutrón, es decir, la
forma:
ij (I . í) Vso M (2.5)
siendo 1 el operador momento angular orbital del neutrón,
s su operador momento angular de spin.
- 2 .El factor K se introduce para que V tenga dimensio
nes de energía.
Las otras formas posibles, dependientes del spin del
núcleo I, como p, ej. las interacciones spin-spin (s . I),
spin-órbita del núcleo (1 . I) o combinaciones más complica-
das (s" . í) CÍ . I), (s . r) (í . r~) (cf. nota [Y]), etc., se
ha comprobado (FESCHBACH, H.; 1958 b_) que, de existir, son de
intensidad mucho menor y que, por tanto, puede prescindirse de
ellas.
Por consiguiente, el potencial óptico podrá expresar-
se como suma de dos términos:
V ^ = V (r) + V (r) (1 . s) —•Opt C SO -ut¿
El primero, independiente de los momentos angulares y,
Qf] Se proyecta un modelo aplicable a núcleos no esféricos.
-10-
por tanto, dependiente solo de r se le denomina "central", el se
gundo, término "spin-órbita" .
Con el fin de que el potencial óptico pueda tener en
cuenta la posibilidad de que los neutrones desaparezcan del ca-
nal elástico para dar lugar a reacciones en los demás canales
abiertos, es necesario que la probabilidad total de presencia
del neutrón, es decir, la norma de la función de ondas ¥ , no se
conserve a lo largo del tiempo y, en consecuencia, que el opera
dor Hamiltoniano del sistema y, por tanto, V . sean.no hermíticosopt
(PRESTON, M.A.; 1962, p. 519); la posibilidad de excitación de
los grados internos de libertad del núcleo, viene así refleja-
da en el modelo por la no hermiticidad del potencial. Por.con-
siguiente se tendrá que permitir tanto a V como a V en (2.6)
el tomar valores complejos. Por ello, adoptaremos para V la
forma
V ,. = -V. f (r) - i W. g (r) + ~
s)TT 1 d - / x . .. I d , NV _ — f (r) + i W g (r)so , so so , s s or dr r dr
(2.7)
donde f (r), g (r), f (r), g (r) son factores de forma realesC C SO SO
y sin dimensiones.
( ) = 2 x 10 cm es el cuadrado de la longitud dem c
onda de Compton del mesón jr_ que, tradicionalmente , se separa demodo explícito; de esta manera V , W , V y W tienen dimensio-^ ' c ' c' so J sones de energía.
Dado que el potencial (2.7) es originado por los nucleo-
nes del núcleo, es de esperar que en su dependencia con r, se ase_
meje de alguna manera a la densidad nuclear, esperándose, en prin_
cipio, que aquel sea más intenso cuanto más alta sea ésta. Se acos
tumbra a adoptar diversos factores de forma para cada término del
potencial (FESHBACH, H.; 1958 b_) , (HODGSON, P.E.; 1967), los más
frecuentes son:
FACTORES DE FORMA R = 5 f , d = 0,5 f
WOODS-SAXON
Iun
10'
0.5-
00
n n— — - O "
- WOODS-SAXON DERIVATIVO
- GAUSSIANO
T9
r ( f )
FIG.-1
-11-
a) Término central real.
Este término, que habitualmente es el predominante, si
gue en esencia las características de la densidad nuclear. Es
muy utilizada la forma
f (r) =c - r - Rr
1 + e dc
con
R = r A 1 / 3 + a (2.8)c e c
que es análoga a la densidad nuclear (PRESTON, M.A.; 1962, p.
41) (A es el número másico del núcleo blanco).
La forma (2.8) conocida con el nombre de "Woods-Saxon",
toma un valor muy próximo a la unidad en el origen, decrece sua
vemente hasta alcanzar en el punto r = R - 2,2 d (véase fig.c e
1) el valor 0,9, a partir de ahí desciende bruscamente pasando
por el valor 0,5 en r = R hasta alcanzar 0,1 en r = R + 2,2 d
desde donde disminuye de un modo aproximadamente exponencial._ 3
Más allá de r = R + 7 d (en donde toma el valor 0,91 x 10 )c c
puede considerarse prácticamente nula.
Con ello el potencial central real, depende de cuatro
parámetros: intensidad V , los dos parámetros radiales r y a ,
y el denominado "difusividad", d .k ) Término imaginario central.
Contribuye a la desaparición de los neutrones del canal
elástico, es decir sintetiza, como ya se ha dicho, el efecto de
los posibles grados internos de libertad del sistema compuesto.
Se acostumbran a adoptar diversos tipos:
i) Absorción de volumen tipo Woods-Saxon
TTTT-I
-12-
R = r AV V
1 / 3 (2.9)
aquí el término de absorción se hace, simplemente, análogo a
la densidad nuclear.
ii) Absorción superficial
Existe evidencia de que, a energías no muy altas , la
absorción está concentrada, preferentemente en la superficie
del núcleo (FESCHBACH, H. ; 1958 b_) . Ello se debe a que los efe£
tos inhibidores del principio de exclusión de Pauli, limitan-
do el número de estados accesibles, son de mayor importancia
en el interior del núcleo que en su "superficie" donde la den
sidad de nucleones es menor (LEMMER, R.H.; 1959). Este efecto
es tanto más notable cuanto menor es la energía cinética del
proyectil, dado que se ocupan preferentemente los estados de
energía inferior. Por tanto, es de esperar que en el dominio
de energías en cuestión, el término imaginario central sea una
combinación de absorción superficial y de volumen con fuerte
predominio de la primera.
Se acostumbra a adoptar para la absorción superficial
formas bien del tipo llamado Woods-Saxon derivativo
g (r) =
r-Re
1 + e d
3 r
-2
1 + e d,
-1
(2.10)
con
R = r A1 / 3 + as s s
bien del tipo "gaussiano"
g (r) = es
(2.11)
La forma Woods-Saxon derivativa sólo toma valores as;
ciables en el intervalo
-13-
R < r < R + 8 ,4 d
en el cual pasa del valor unidad en r = R (cf. fig. 1) a 0,90_3 s
x 10 en los extremos. Análogamente la forma gaussiana (2.11)
puede considerarse nula fuera del intervalo
R - 2,7 d < r < R + 2,7 ds s — — s ' s
_ 3en .los extremos del cual toma el valor 0,67 x 10 y está norma
lizada a la unidad en r = R .s
c) Términos spin-órbita.
Son, según (2.5), de la forma
m cTT
, d f (r)
V i SJ2 +so ,r dr
so dr(2.12)
Estos términos están preferentemente concentrados en la
superficie del núcleo, de ahí que f acostumbre a tomarse del
tipo Woods-Saxon (2.8). Con lo cual la parte real del término de
interacción spin-órbita queda de la forma
siendo
~ (—)2 CÍJa m c
d fH(r) = i
r dr
s) V H(r)so
r-Rso
de sor d
so
r-R -,so
1 + e so
-2
(2.13)
R = r A 1 / 3 + aso so so
y expresiones análogas para la parte imaginaria.
La forma anterior denominada de Fermi-Thomas, posee
una analogía teórica con la interacción spin-órbita de los elec
trones en el átomo (MESSIAH, A.; 1959, p. 471). Se acostumbra
- 1 4 -
t o m a r f ( r ) i d é n t i c a a f ( r ) , e s d e c i r r = r , a = a ,so c ' s o c ' s o c
d = d .so c
Se ha demostrado (FERNBACH, S. y otros; 1955) que al
menos a muy alta energía, esa igualdad es consecuencia de la
interacción nucleón-nucleón.
El término imaginario spin-órbita, que puede dar lu-
gar (JACKSON, D.; 1970, p. 124) a dificultades teóricas, se
considera siempre nulo a estas energías, lo cual está de acuer
do con la experiencia.
Tenemos pues, en principio, _1_6_ parámetros para los po
tenciales: las cuatro intensidades correspondientes a los tér
minos central real, imaginario de volumen, de superficie y
spín-órbita (sólo su parte real) y los dos parámetros radia-
les y difusividades de cada uno de los cuatro términos cita-
dos .
2.3.- Función de ondas
En la ecuación de Schroedinger (2.4) para la función de
ondas que describe el movimiento, relativo del sistema neutrón-
-núcleo
w2
- - 2 — A ¥ + V ^ (r, s) ¥ = E <? (2.13)2 m ° p t
el potencial V depende, cf. (2.6), solamente de la distancia
r y del operador de spin s del neutrón a través del operador
(1 , s) , Si ] = 1 t s es el operador momento angular total del
neutrón, se tiene evidentemente la igualdad entre operadores
(1 . s) = - (í2 - 1¿ - s¿) (2.14)2
siendo ] el operador 3 . 3 , etc.
En consecuencia V conmuta con los operadores i , 1 ,+ 2
o p i-s y 3 (operador componente z de ]), es decir, los valores propios de esos operadores serán buenos números cuánticos.
-15-
Se puede entonces intentar un desarrollo de la función
de ondas Y en serie de un conjunto completo de funciones pro-
pias comunes a los cuatro operadores citados (GOLDMAN, D.T.;
1967), estas funciones propias comunes, son las ¡V ., dadas por1 ls
(BLATT, J.M. y WEISSKOPF, V.; 1952, p. 790), (MESSIAH, A.; 1959,
p. 481)
+1 +1/2
*j 1 1/2 = J_1 \/2 Cl 1/2 (j' m ; "'• P ) '
• Yl (6' *} Xí/2 ' (2.15)
en donde Y. son los armónicos esféricos (MESSIAH, A.; 1959, p.
4-20) .
->•6 y cj> los ángulos polares del radio vector r
X-i/o el spinor de dos. componentes que representa la
parte spinorial de la función de ondas ¥ del neu
trón cuando éste•tiene . proyección del spin a lo
largo del eje z igual a y
C. Cj , m; m' , y) son los coeficientes de adición vec_
torial de Clebsch-Gordan (BLATT, J.M. y WEISS-
KOPF, V.F. ; 1952 , p. 789)
Se tiene, evidentemente
jl 1/2
(2-*-2s
• * 2 y"
1
1
/ 2 ~
/2 =
2
2
2
j
2
( j
+
+
1
1 ) ¡
v»mi
i
/ 2
/ 2
Jz vjl 1/2 " * '" ̂ j 1 1/2
con las limitaciones habituales
- -I i 3 1 1 + -
-16-
Con esto, se puede establecer el desarrollo:
1+1/2 +j um. (r)
n 1 / 2
1=0 j= ¡1-1/2| m=-j ' r D l 1 / 2
Puesto que al actuar el operador Cl . s) sobre las fun
ciones de base ̂ se tiene, cf. (2.14)
(í • ̂ ^ l 1/2 -f [resulta, sustituyendo en (2.13), la ecuación para u..(r)
4u tD + .2 m dr i 3 2 m r
+ V1.(r) u^.Cr) = E uj.(r) (2.18)
en donde V .(r) toma el valor
V..(r) = V (r) + - |j(j + 1) - 1(1 + 1) - 3/4. ,13 c 2 l_ J so
tfl
que es independiente del número cuántico magnético m y por con
siguiente la ecuación (2.18) adopta la misma forma para todos
los valores de in correspondientes al mismo par j, 1.
Puesto que T debe estar acotada en el origen, se debe
cumplir, cf. (2.17)
u^.(0) = 0 (2.19)
Se tendrán que encontrar, por tanto, las soluciones de
la ecuación (2.18) acotadas, continuas y con derivadas conti-
nuas (MESSIAH, A.; 1959, p. 61) que cumplan simultáneamente
C2.19), es decir, las soluciones regulares en el origen de•
(2.18). Como esta ecuación es lineal y homogénea, E (energía
disponible en el centro de masas) positiva y los potenciales
se anulan en el infinito, dicha solución existe y es única
(MESSIAH, A.; 1959, p. 88.) salvo un factor constante arbitra-
rio; es decir, dados j y 1_, las soluciones correspondientes a
los distintos valores de m sólo difieren en un factor constan
-17-
te .
Asimismo al ser E > 0 y V ^ decrecer asintóticamente1 o p t
con mayor rapidez que — (no hay interacción coulombiana para
los neutrones) el comportamiento asintótico de la solución a
(2.18) será de la forma (MESSIAH, A.; 1959, p. 299)
111 -itkr - kr -(2.20)
donde
k = 2 m E (2.21)
es el número de ondas.
A,. y S . son constantes, siendo esta última, según lo
indicado anteriormente, independiente de m.
La contribución a la función de ondas total del primer
sumando de (2.20) representa una onda esférica entrante de am-
plitud A ., la del segundo sumando representa una onda esféri-
ca emergente de amplitud proporcional a la de la incidente, la
relación entre la segunda amplitud y la primera es S . . Consi-
derado para todos los valores de 1 y j, este conjunto de cons-
tantes, constituyen los elementos de la matriz de colisión (se
trata en realidad de sus elementos diagonales pues, en este ca
so, hay conservación de j , 1 y se describe sólo el canal de
entrada) (COSTA, G.; 1964). Estas constantes son comple j as *• J y,
como veremos a continuación, determinan completamente las sec-
ciones eficaces y distribuciones angulares de la reacción.
Por tanto, se va a tratar de resolver la ecuación (2.18)
con la condición (2.19) y de la forma- asintótica de esa solu-
ción se determinará S ..
[j7j Están ligadas a los defasajes 5 . por la relación
2i
-18-
2.4,- Distribución angular
Para que la solución ¥ de la ecuación (2.13) correspon
da a la función de ondas de un proceso de colisión neutrón-nú-
cleo, su forma asintótica ha de representar al haz incidente
(onda plana) y a los neutrones dispersados (onda esférica emer
gente)5es decir (GOLDMAN, D.T.; 1967) (COSTA, G.; 1964-):
ikr
* ̂ 6 *!/2 + I ̂ ~ fpv C S> •> H/2 (2'22)
El primer término corresponde a la onda plana (la di-
rección del haz incidente se ha tomado paralela al eje z) y se
ha supuesto que en el haz incidente la proyección del spin del
neutrón sobre el eje z es y_.
El segundo término es la onda dispersada y se ha permi
tido la posibilidad de que la dirección del spin del neutrón
cambie en el proceso de colisión.
f (6, $) representa, por tanto, la amplitud de disper
sión cuando la proyección del spin del neutrón pasa del valor
JJ al v.
8]
Calculando la corriente'—'transportada por el término
emergente y dividiendo por la correspondiente al incidente es
inmediato comprobar (MESSIAH, A.; 1959, p. 315) que la sección
eficaz microscópica diferencial de difusión en la dirección ti
(cuyos ángulos polares son 8, <{>) , cuando la proyección del spin
del neutrón pasa del valor u al v, es
a ÍQ) = |f ( 0, <|>) I2 C2.23)\iV ' UV '
(prescindiremos en adelante del superíndice 0 pues queda sobre
entendido que las secciones eficaces a que aquí nos referire-
mos son las calculadas mediante el Modelo Óptico).
|~S~i El vector corriente viene definido (MESSIAH, A,; 1959, p.
102) por
J - M. Tj¡ / w - ;u S \
-19-
Puesto que en los reactores nucleares ni los haces de
neutrones ni los núcleos están polarizados no interesan, en es
te caso, las direcciones iniciales ni finales de los spines; por
tanto, se empleará la sección eficaz para haces no polarizados
que se obtiene de (2.23) (BLATT, J.M. y WEISSKOPF, V.F.; 1952,
p. 4-23) sumando sobre todos los estados de spin finales y pro-
mediando para todos los iniciales, es decir,
a(ü) = i f C 9 , <j,) (2.24)2 y ,v
donde y y v toman los valores +1/2 y - 1/2.
Para calcular f (6, <j> ) en función de S . se hace uso
de la expresión asintótica (.2.20)
uT.(r)i
ll21 i
-i(kr-l7r/2)
iCkr-lir/2)mjl 1/2
( 2 . 2 5 )
que debe coincidir con la otra expresión asintótica (2.22).
De las relaciones (BLATT, J.M. y WEISSKOPF, V.F.; 1952,
p.p. 320 y 791)
i k zI i 1 AirC21
k rY ? C 6 , ( 2 . 2 6 )
.l 1/2 1/2
resulta identificando los términos proporcionales a e
(2.25) y (2.22)en
J-] 2 i kx l/¿ j,B. o. „) (2.28)
con lo cual identificando ahora los términos en e se obtie
ne
- 2 0 -
y V y A T T ( 2 1¿ luí 'M / 9 ¿y
. C x 1/2 C j , m ; O, y > y n 1 /2
que en virtud de (2.15) y dado que los spinores x1 /n s o n lineal^
mente independientes, conduce a
PV 2 i k LH JC l 1/2
' Cl 1/2 ( :' m' ™ ' V ) Yl
Teniendo en cuenta las propiedades de los coeficientes
de Clebsch-Gordan referentes a los números cuánticos magnéticos
(BLATT, J.M. y WEISSKOPF, V.F.; 1952; p. 790), resulta finalmen_
te
1/2
. C n , . o ( j 9 y ; y - v , v ) Yt : " ( e 5 ( í > ) (2.29)
1 1/2 1
A partir de esta expresión, sustituyendo los valores explí
citos para los coeficientes de Clebsch-Gordan (BLATT, J.M. y WEIS£
KOPF, V.F.; 1952, p. 792), es fácil comprobar que
fl/2, 1/2 = f-l/2, -1/2 = ¿ -i-" {1(1 - S ) +1 2 k x»--!/-
9) (2.30)
s iendo
P.. (eos 0) = -i— YÍ? Ce,1 Í7 X
el polinomio de Legendre de orden 1_
-21-
y
•2* r2 (2.32)
en donde
I - xdx
es un polinomio asociado de Legendre (MESSIAH, A.; 1959, pp.
4-19, 421) ligado a los armónicos esféricos por la relación
21 + 11/2
1
21 + 1
1/2
Poicos 6)
Con todo ello resulta finalmente, cf. (2.24-)
a(fl) = 1/2, 1/2 1/2 ,-1/2 (2=33)
Las relaciones (2.30) - (2.33) permiten obtener la se£
ción eficaz diferencial para haces no polarizados en función
de los elementos S . de la matriz de colisión.
2.5.- Secciones eficaces elástica y no elástica
La sección eficaz elástica total será, cf. (2.24-)
ela(fi) d Í2 = - I
2 u v Jf (9 , (|O I dfi (2.34)
4TT
Teniendo en cuenta (2.29) y utilizando las propiedades
de unitariedad de los coeficientes de Clebsch-Gordan (BLATT, J.M.
y WEISSKOPF, V.F.; 1952, p. 791) (PRESTON, M.A.; 1962, p. 605)
v p1 / 2 Cj, y; p, v) C1 1 / 2 (j 1, y'; p, v) =
(2.35)
y que (BLATT, J.M. y WEISSKOPF, V.F.; 1952, p. 792)
- 2 2 -
2 j
( 2 . 3 6 )
queda finalmente
el 2 K * -1 jC2j
1 ](2.37)
Para obtener la sección eficaz de absorción, habrá que
calcular el flujo neto transportado por la función de ondas to
tal a través de una superficie esférica de radio muy grande (flu_
jo que es no nulo a causa de la no hermiticidad del potencial).
La función de ondas total tiene por expresión asintótica, segün
(2.25)
. Ij 1 m
4 1 j -i(k r - lir/2)
" S l j 6
i(kr - 1 TT/2) m] 1 1/2
y teniendo en cuenta (2.15) y (2.28) resulta
V . 1 + 1 / T T ( 2 1 + 1 ) - i ( k r - 1 T T / 2 )
j 1 V k r
r - (j, y; 0, y) .
X 1/2 í V )
= M. Imm
La corriente neta a través de la esfera mencionada vale
neta- Im ff V
Í4TT
M-7T
8 r
d fl
Dividiendo por el flujo incidente , en virtud de las
propiedades de ortogonalidad de los armónicos esféricos y de los
spinores X 1 / o y teniendo en cuenta (2.35) y (2.36), resulta fi-
-23-
nalmente
C2j + 1) (1 - |S.. 2) (2.38)abs 2R2 ^ .
con lo cual para la sección eficaz total queda:
~2 1. (2^ + D 2 Re
(2.39)
O
Al factor T,. = 1 - IS,.I se le denomina coeficiente
de transmisión y da idea de la contribución de cada onda parcial
a la sección eficaz de absorción. Como ya se ha indicado (§ 2.1),
esta sección eficaz de absorción del modelo debe compararse con
la sección efic-az de formación del núcleo compuesto, es decir,
con el resultado obtenido añadiendo a la sección eficaz experi-
mental no elástica la elástica compuesta, promediadas ambas en
energía.
2,6=- Momentos de Legendre de la distribución angular
Como se observará de (2.30) y (2.32), la sección eficaz
(2.33) es independiente del ángulo <j> y podrá, por tanto, desarro_
liarse en polinomios de Legendre en la forma
00
a(fi) = I BT Pr (eos 6) (2.40)L=0 L L
A los coeficientes B se los denomina momentos de Legen-
dre y poseen gran interés. Así p. ej. B está ligado a la sección
eficaz elástica pues, en virtud de las propiedades de ortogonali-
dad de los polinomios de Legendre (MESSIAH, A.; 1959, p. 419)
í
P(x) P. , (x) d x = 67 , (2.41)
1 X 21 + 1 X 1
y ser P (x) = 1
resulta evidentemente que
eld ÍJ = 2 ir I B
L4,
PLCx) P0(x) d x =
-1
-24-
= 4 TT B, (2.1+2 )
En cambio, B está ligado al coseno medio del ángulo de
dispersión en el sistema del centro de ma s a s , coseno que se defi
ne mediante la expresión
o(fi) eos 8 d ü
- J
y =cr(fi) d fi
2iT
4 7T B0
1L
4ir
+ 1
-1
PT(x) P,(x) dx
(2.43)
en donde se ha tenido en cuenta (2.42) y que P (x) = x.
Es, por tanto, conveniente disponer de una expresión ex-
plícita para las B , que se obtendrá comparando (2.40) con (2.29)
y (2.24). Para ello conviene tener en cuenta la propiedad de adi
ción de los armónicos esféricos (BLATT, J.M. y WEISSKOPF, V.F.;
1952, p. 793)
1+1
L=0 M
(21+1) (21'+1)
_ 4TT C2L + 1 )^ lt (L,0; 0,0)
. C1 x, (L, M; m, m' ) Y"(ÍÍ)
Resulta así, tras un laborioso cálculo (BLATT, J.M. y.
BIEDENHARN, L.C.; 1952], (GOLDMAN, D.T.; 1967), (SATCHLER, G.R.j
1955 )
8k(1 j l'j'; 1/2 L)
11
. Rl --,-.)" (2.44)
donde Z.es el coeficiente de Biedenharn (BIEDENHARN, L.C. y otros;
1952) que tiene por expresión
-25-
z (i j i' i' ; s D = (21 + 1) (21' + 1) (2j +
1/2+ 1) (2jf + 1) . W(l j 1' j•; s L) C (L, 0; 0 ,0) (2.45)
'11
siendo a su vez W el coeficiente de Racah (PRESTON, M.A.; 1962,
p. 608), en particular, se tiene CFORD, K. y LEVINSON, C.;1955)
Z(l j 1' j'; 1/2 L) = (2j + 1) (2j> + 1
C. . , (L, 0; +1/2 , -1/2) si ( 1 + 1 ' + L) es par
= 0 si ( 1 + 1 ' + L) es impar
(2.46)
-27-
3.O.- RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHROEDINGER
3.1.- Obtención de los elementos de la matriz de colisión
Como se mencionó en §2.3, las constantes S . deben ob
tenerse calculando la s.olución, regular en el origen, de la ecua
ción C2.18) y comparando su expresión asintótica con (2.20), es
decir, con:
m r , .m I -iCk r - 1 ir/2)u . Crl 2i A . ' -
giCk r - 1 „,.,, ( 3 j l )
Puesto que, a partir de cierta distancia b_, V es prác_
ticamente nulo Ccf. Í2.2], podremos considerar, con gran aproxi-
mación, que la ecuación a que obedece u . en esa región es
es decir
siendo
W2 ,2a d r
2m dr'
d2 m,2 ljdz
m? ui •
1C
+ —
1 +2
Cl
2
+
m
i
1)2
r
n
K
E mUlj
. = E . (r y b ) ( 8 p 2 )
Cz > k b). (3.3)
k = /2 m E / K y z = k r (3.4)
La ecuación (3.3) posee solución analítica conocida
CBLATT, J.M. y WEISSKOPF, V.F.; 1952, p. 239), (PRESTON, M.A.;
1962, p. 625), que consiste en cualquier combinación lineal de
de las funciones
F1(z) = z J
G(z) = z n.C z)
(3.5)
donde ]"(z) y r^íz) son, respectivamente las funciones de Bessel
y de Meumann esféricas (MESSIAH, A.; 1959, p. 415).
-28-
La solución F. es regular en el origen, la G irregular.
Sus propiedades más importantes son: CBLATT , J.M. y WEISS
KOPF, V.F.; 1952, p. 329), CABRAMOVITZ, M.; 1968, p. 437), (PRES-
TON, M.A.; 1962, p. 625).
Ia Expresiones asintóticas
C3.6)
F (z ) ^L s e n Cz - 1 TT/2 )
G Cz) <v eos Cz - 1 TT/2 )1
2° Propiedad del Wronskiano
dF dGG . . Fx = 1 C3.7)
dz dz
32 Relaciones de recurrencia
F i C z ) " Fi-i C z } C 3' 8 )
d F 1 ( Z )
~dz
con relaciones idénticas para G .
Las funciones de orden inferior
F (z) = sen z , G0^
z^ = c o s z
„ f •. sen z n f \ eos z
F.Cz) = - cos z , G.(z) = + sen z
(3.10)
Por tanto se tendrá que la solución a la ecuación (3.2)
será de la forma
u l j C r ) = Mlj F 1 C R r l + Ml" G l C k r ) Cr > b ) (3.11)
y teniendo en cuenta los desarrollos asintóticos (3.6), comparan-
do con (3.1) se oñtiene
-29-
m 1 .m . ,.m+ M
..m . ..mN. . - i M.
J j l
(3.12)
N. . + i M1 1]
Para la región "interna" r < b, V no puede conside-opt
rarse nulo, la solución a la ecuación de Schroedinger ha de ob_
tenerse, en general, numéricamente (cf. § 3.2) y los coeficien_
tes M y N de (3.11) se calcularán estaBleciendo la continuidad
de la función u y de su derivada en el punto r = b ó, lo que es
equivalente, de la derivada logarítmica.
Sea por tanto
m rx_ ,u l j C b ]
md u^Cr)
dr(3,13)
r=b
la derivada logarítmica obtenida de la solución numérica corres^
pondiente a la ecuación (2.18) en la zona interna (r < b ) , d.. .
es independiente de in pues, como se ha indicado y a , § 2.3, la so
lución regular es independiente de m salvo un factor constante
que no afecta a la derivada logarítmica.
Resulta entonces de la continuidad de la derivada loga-
rítmica en r = b que
. .
lj F l C z ) + N l z = kb
con
Fj_Cz) =d F1(z)
dz
De aquí puede calcularse la relación M../N . y con ella,
a través de (3.12) las constantes S ., obteniéndose finalmente
(3.14)
siendo (BLATT, J.M. y WEISSKOPF, V.F.; 1952, p. 332)
- 3 0 -
; = kb ( 3 . 1 5 )
= k b ( 3 .1 6 )
1 í'l + '( 3 . 1 7 )
; = Rb
51 =G, - i F.
G, + i F.(3 .18 )
= kb
Por consiguiente, bastará conocer la derivada logarítmi-
ca ¿L . en el punto r = b para, mediante (3. 14-), (2.44) y (2.40)
obtener las distribuciones angulares y las secciones eficaces.
3.2.- Resolución numérica de la ecuación
En la zona interna, la ecuación de Schroedinger se con-
vierte en
2 2U á m / x
2 U Ü ^ +
2m dr
+ i )
2 m r"• + V l j C r )
mE „ - ( r ) (r < b) (3.19)
Es de c i r
m", .u l j C r )
m= ü Cr] u - ..
C 3 . 2 0 )
s iendo
- V f ( r ) - i V g ( r ) +ce ce
X 2 1 d f s o ( r l r+ v {-£-)¿ ± 12 RCj + i ) - i Ci + i )so , •—me r d r- 3A]|
( 3 . 2 1 )
La ecuación (3.20) ha de ser resuelta numéricamente en
-31-
el intervalo 0 < r < h con la condición
= o (3.22)
En el programa HADES, se ha seguido el método de Nume-
rov modificado por Raynal CRAYNAL, J.; 1971 ] , CMELKANOFF, M.A.
y otros; 1966). Para ello se divide el segmento (0, b) en inter
valos de anchura h y se hace uso de la relación CHILDEBRAND, F.
B. ; 1956 , p. 223)
uCr - h) - 2 u O ) + uCr + h) =
u"Cr - h) + 10 u"Cr) + u"Cr + h)12
h6 VI. ,u (r)
240(3.23)
(en adelante los índices, j, 1 y m quedan sobreentendidos).
Si ahora consideramos la magnitud:
2 2wCr) = uCr) - — u"Cr) = Cl - — UCr) ) u(r) (3.24)
12
se tiene en virtud de (3.23)
12
wCr + h) = 2 - w(r - h) + vCr)
uVI(r)240
s iendo
v(r) =
- L_ u(r)12
con lo cual
wCr)
(3.25)
u(r) = wCr) = wCr) +
UCr)
vCr)
12
12
C3.26)
El método de Numerov modificado, consiste en aproximar
-32-
las relaciones (3.25) por las
w(r + h) = 2 w(r) - w(r - íi) + v(r) (3.27)
v(r) = h U(r).2
1 + £_ u(r) wCr) (3.28)_ 12
y utilizar
u(r) = w(r) + — vCr) (3.29)12
Puesto que V . y u . son funciones complejas, la ecua-
ción (3.20) es en realidad un sistema de dos ecuaciones diferen
ciales acopladas para la parte real e imaginaria de u. En este
caso, el método de Numerov modificado aquí descrito, es más rá
pido que el ordinario (RAYNAL, J.; 1971).
Por tanto, la solución numérica de C3.19) se obtiene de
la ley de recurrencia (3.27), C3.28) y (3.29) y bastará conocer
el valor de la función de ondas en los dos primeros puntos del
intervalo. Para el primer punto, en virtud de (3.22) se tiene
u(0) = 0, es decir
w(0) = 0 (3.30)
Para el segundo punto, dado que la solución está defini_
da unívocamente salvo un factor constante (cf. § 2.3) que no afee
ta a la derivada logarítmica, se podrá tomar para la función de
ondas en ese punto y, por tanto para w, un valor arbitrario e
w(h) = e (3.31)
en el programa HADES, se ha tomado
e = (1 + i) . 10"6
Con estos valores de partida (3.30), (3.31), el proceso
de recurrencia (3.27), (3.28) y (3.29), puede proseguirse hasta
r = b t 2 h.
Para el cálculo de la derivada logarítmica (3.13) en r =
-33-
= b, se emplea la formula de derivación en 5 puntos (ABRÁMO-
VITZ, M.A.; 1968, p. 914)
u'(b) «v — — |uCb - 2 h) - 8 uCb - h) +12 h
u(b + h) - uCb + 2 h)
Todos los cálculos se realizan, en el programa HADES5
en doble precisión, separando previamente partes reales e ima
ginarias.
-35-
4.O.- DESCRIPCIÓN GENERAL DEL PROGRAMA HADES
El programa HADES calcula, mediante un modelo óptico
local, las secciones eficaces microscópicas elástica potencial
("shape elastic"), no elástica (en rigor la de formación del nú
cleo compuesto), las distribuciones angulares (referidas al cen
tro de masas) y sus momentos de Legendre para reacciones produ-
cida por neutrones rápidos (100 KeV - 10 MeV) en núcleos inter-
medios y pesados (A > 30).
i+ . 1 . - "Modos" de funcionamiento
El programa puede funcionar en dos "modos" alternati-
vos .
a) En "modo" de cálculo (NSCH = 0 en tarjeta 10 cf.
§ 6.0) el programa computa los resultados teóricos para los po_
tenciales suministrados como datos de entrada. Estos cálculos
pueden ser efectuados para toda una serie de masas atómicas y
de energías distribuidas uniformemente en un cierto intervalo.
Los parámetros del potencial son los mismos para todos los nú_
clidos , pero se permite la variación de las intensidades con
la energía; esta dependencia se considera descrita por una cú-
bica:
Intensidad = VO . CUO + Ul . E t U2' . E2 +
+ U3 . E3) C+.l)
siendo: E la energía cinética disponible en el centro de ma-
sas
V0 el parámetro correspondiente a la intensidad del
potencial en los datos de entrada
U0 - U3 los coeficientes de la cúbica que han de pro-
porcionarse al programa.
Cuando el programa funciona en este "modo", la distri-
bución angular se calcula para ángulos (o cosenos del ángulo)
equidistantes. Sin embargo, esta limitación, y así mismo la co_
rrespondiente a distribución uniforme de masas atómicas y ener
-36-
gías, puede paliarse utilizando el "modo" de büsqueda.
b) "Modo" de búsqueda
En este caso (NSCH = 1 en tarjeta 10, cf. § 6.0) se pe£
mite la variación automática de los parámetros del potencial con
el fin de obtener aquellos valores que produzcan la mayor concor
dancia entre los cálculos teóricos y datos experimentales previa
mente suministrados.
El número de parámetros del potencial que pueden ser aju_s_
tados es, como máximo, de _1_6_, cada uno de ellos tiene asignado un
índice de identificación que corresponde al orden de colocación
en la siguiente matriz (contada por filas)
V W W VC V S SO
r r r rc v s so
d d d dC V S S O
a a a ac v s so
Cada columna corresponde a un término del potencial, es
decir, (de izquierda a derecha): central real, imaginario de vo-
lumen, imaginario de superficie y spin-órbita. Cada fila a una1/3
magnitud del potencial: Intensidad, coeficiente de A en la ex_
presión del radio cf. (2.8), difusividad y término radial inde-
pendiente .
El ajuste de los parámetros es realizado por el programa
RIFT que será descrito en § 5. Este programa parte de los valores
proporcionados a la entrada y permite la posibilidad de mantener
a todo lo largo de la búsqueda varios' parámetros iguales entre si
Por ejemplo, es muy frecuente tomar r = r v d = d , e s de-J r ' J so c J so c'
cir el parámetro na 8 igual al nfl 5 y el 12° al 9fl (se dirá enton
ees, para abreviar,que entre esos parámetros existe una "correla-
ción").
Como ya se ha indicado, el ajuste de parámetros se real_i_
-37-
za comparando los cálculos teóricos con datos experimentales que
hay que proporcionar al programa, estos datos pueden consistir,
al igual que los teóricos, en secciones eficaces elásticas ("sha
pe elastic"), no elásticas Cde formación del núcleo compuesto),
totales, distribuciones angulares (en centro de masas) o sus mo-
mentos de Legendre. Dichos datos pueden proporcionarse para una
serie de masas atómicas , de energías y de ángulos que ya no es-
tán sujetos a la limitación de poseer una distribución uniforme;
el programa puede entonces, bien reelaborar las distribuciones
angulares para reconvertirlas a ángulos equidistantes, bien cal-
cular directamente para ese conjunto de ángulos. En el primer ca
so la reelaboración se efectúa mediante el programa SAKUSK que
calcula los momentos de Legendre de la distribución angular ex-
perimental mediante un ajuste por mínimos cuadrados pudiéndose
escoger en las opciones de entrada (cf. tarjeta 16 § 6.0) el pe
so asociado a cada dato y a continuación, mediante la serie de
polinomios de Legendre así construida, se calcula la distribución
angular para ángulos equidistantes. Este procedimiento es muy de
licado y debe utilizarse con suma precaución. Es preferible, por
ello, utilizar el segundo.
De esta manera, cuando funciona en "modo" de búsqueda,
el programa puede efectuar- los cálculos para series de masas,
energías y ángulos no equidistantes. Al igual que en el "modo"
de cálculo el conjunto de parámetros del potencial se mantiene
idéntico para todos los núclidos permitiéndose solamente a las
intensidades variar con la energía con arreglo a la expresión
(4.1) . Sin embargo, los coeficientes de la cúbica se mantienen
invariables a lo largo del ajuste.
El "modo" de búsqueda permite paliar las limitaciones
referentes a distribución uniforme de masas, energías y ángulos
inherente al "modo" de cálculo. Basta para ello utilizarlo (NSCH
= 1 tarjeta 10 § 6.0) con indicador de opción NOP = 0 (cf. tarj£_
ta 10 § 6.0). El programa se limita entonces a calcular los resul_
tados teóricos para el conjunto inicial de parámetros sin prose-
guir la búsqueda, obteniéndose las impresiones de salida muy con[9"]
densadas . En este caso los datos experimentales deben suminis
La información completa se alamcena en un fichero temporal
que eventualmente puede imprimirse (cf. Apéndice I).
-38-
trarse necesariamente en la cantidad y forma requeridas, aunque
sus valores efectivos sean irrelevantes.
La información referente a masas , energías y ángulos su
ministrada junto con los datos experimentales invalida y susti-
tuye a toda otra (cf. observación final § 6.0).
Las magnitudes calculadas teóricamente, así como las ex
perimentales , se ordenan con arreglo al siguiente criterio: pa-
ra cada núclido y en cada uno de ellos para cada energía el or-
den de clasificación es: I2 sección eficaz elástica potencial,
2a sección eficaz no elástica, 3a sección eficaz total y a con-
tinuación los valores correspondientes a la distribución angular
según ángulos crecientes. El número máximo de núclidos y de ener
gías que pueden ser utilizados es, en conjunto, de 100 , mientras
que el número total de datos experimentales que se pueden sumis-
trar ha de ser inferior a 600.
4.2.- Cálculos teóricos
La ecuación de Schroedinger se resuelve numéricamente se_
gún el método de Numerov modificado descrito en § 3.2, el límite
de la zona interna b se obtiene mediante el siguiente procedimien_
to: se calcula para cada uno de los cuatro términos del potencial,
la magnitud
b . = r . A1 / 3 + a. + 6. d. (4.2)1 1 1 1 1
donde r., a. y d. son los parámetros radiales y difusividades de
cada término del potencial
con (cf. § 2.2)
(5 . = 7 cuando el factor de forma correspondiente es del
tipo Woods-Saxon o Woods-Saxon-Thomas.
3. = 8,4 para el tipo Woods-Saxon derivativo.
3. = 2,7 para el tipo gaussiano.
hecho esto, se toma para b_ el máximo de los valores de b.
b = Max {b.}
-39-
En esta zona interna se permite hasta un máximo de 300
puntos '- - . La obtención de la solución y el cálculo de los ele
mentos de la matriz de colisión S . (cf. i 3.1) se efectúa sepa
rando partes reales e imaginarias y utilizando doble precisión.
El valor máximo del momento angular orbital 1 en el de
sarrollo en ondas parciales (2.17) está limitado automát icamen_
t e a :
max= [l. 5 k b + 1. 5j (4.3)
donde [_ J indica parte entera y k_ es el número de ondas cf.
(3.4). Además s 1 no supera nunca el valor LM dado explícita_
mente en las opciones de entrada (cf. tarjeta 3, § 6.0) y en
cualquier caso _L_M_. ha de ser inferior o igual a 20. En consecuen
cia, el número de momentos de Legendre necesarios para el cálcu
lo de la sección eficaz diferencial ha de ser como máximo de 41
(L £ 4 0 en (2.40 )).
Las distribuciones angulares se calculan para el siste_
ma de ángulos determinado en las opciones de entrada. En "modo"
de cálculo (NSCK = 0) este sistema ha de corresponder a ángu-
los (o cosenos) equidistantes (cf. § 4.1) mientras que en "mo-
do1' de búsqueda (NSCH = 1) el sistema de ángulos viene determi
nado junto con los datos experimentales y no necesita poseer
distribución uniforme. En cualquier caso el número de ángulos
de cada distribución angular está limitado a un máximo de 50.
Los polinomios de Legendre se calculan con arreglo a
las relaciones de recurrencia ascendentes (MESSIAH, A.; 1958,
p „ 420 )
P.Cx) = -21 ~ 1 x P.-.U) - X " 1 P (x) 1 >_ 2
PQ(x) = 1 , P^x) = x
Las funciones F , G y sus derivadas que aparecen en
Q.OJ En rigor, si se toman N puntos para la resolución de la
ecuación, el valor (4.2) corresponde al (N-5 )-ésimo pun_
to .
-40-
(3,14) - (3.18) pueden calcularse por dos procedimientos. En el
primero (NCLM = 0 en Tarjeta 7 cf. 06.0), que es el más rápido,
se utilizan las relaciones de recurrencia ascendentes (3.8) -
- (3.10). Sin embargo, este procedimiento tiene el inconvenien-
te de que es inestable para F , ya que en esa función se produ-
ce acumulación de los errores de redondeo a medida que la recu-
rrencia avanza (ABRAMOVITZ, M.A.; 1958, p. xiii), por lo cual es_
te método no debe utilizarse más que cuando el número de ondas
parciales que se necesitan sea pequeño (baja energía) y aún así
con precaución. El segundo procedimiento para el cálculo de F ,
G y sus derivadas CNCLM = 1) se basa en el método de Miller
(BUCK, B. y otros; 1960), CFRÓ'BERG , C E . ; 1955), (.TAMURA, T.;
1969) que hace uso de las relaciones de recurrencia descenden-
tes para F y de sus propiedades para 1_ muy elevado y aunque es
más lento que el primero debe ser utilizado preferentemente.
• Finalmente para el cálculo de los coeficientes de Clebsch-
- Gordan y de Racah se ha seguido el método de Tamura (TAMURA, T.;
1965) .
-41-
5.O.- PROGRAMA DE BÚSQUEDA
Como se ha indicado, cuando el programa funciona en "mo
do" de búsqueda, se intenta encontrar los parámetros del poten-
cial que produzcan el mejor acuerdo entre datos experimentales
y resultados teóricos. Se consideran parámetros óptimos los que
minimizan la función
N D - T C x ]/(x) = J- C-i i r (5.1)
i = l e i
donde :
x = (x,, x?,..., x N R) son los parámetros del potencial
que han de ajustarse independientemente.
D.= datos experimentales. *
T.= resultados teóricos.1 i = 1, 2....M
E.= "peso" Cen realidad peso inverso)
asociado al dato D.. .
NR= número de parámetros independientes.
N = número de datos experimentales.
Los "pesos" suelen tomarse proporcionales a las incer-
tidumbres experimentales de los datos, y entonces deben leerse
con ellos (cf. EPW, tarjeta 19 £ 6.0), pero opcionalmente pue-
den tomarse también uniformes o proporcionales a los datos (cf.
NPW, tarjeta 16 § 6.0).
PulLos métodos usuales de minimización •- J , por generales,
requieren mucho tiempo de cálculo, por lo que se ha preferido
elaborar la subrutina RIFT siguiendo el método de Maddison (MA_
DDISON, R.N.; 1962), (SMITH, W.R.; 1969 b_) que aprovecha la sim2
plicidad de la función \ para una minimización rápida evitando
cálculos innecesarios. En las secciones siguientes se expone el
método de minimización, la conveniencia de limitar la variación
de los parámetros opcionales de minimización en RIFT, y otros
detalles de la subrutina.
ÍJ-'Q Citaremos entre los más clásicos: (DAVIDON, W.C.; 1959),
(POWELL, M.J.D.; 1964), (FLETCHER, R. y POWELL, M.J.D.;
19.63). y (DAVIDON , H . C . ; 1968)..
-42-
5.1.- Método de minimizacion
Sigue .esencialmente el método descrito en (SMITH, W.R.;
1969 b).
2En el mínimo de x se debe cumplir:
N3 2 n -
X = O =i - Ti)
3X et
3T.i
3X; r= 1,2,..NR (5.2)
r i r
Si se tiene una estimación inicial de los parámetros,
X , suficientemente buena, se podrá escribir:
X = X + As s • s
s = 1, 2,..., NR (5.3)
N R 3T .T. * T
1 X s=l 3Xi = 1, 2,..., N C5.4)
O
3T . % 3T.
3X 3Xs s
Sustituyendo estos desarrollos en C5.2 } , se obtiene
N
et
N R 3T .D. - TV - y c—i.)i i " 0
s = l 3X
3T .
3X0
(5.5)
de donde
N R
Is = l
3T .
i=l et 3X
3T.
3Xs —'
n
3Xr = 1 , 2 NR (5.6)
Queda pues un sistema de NR_ ecuaciones algebraicas li-
neales en las NR incógnitas A , que resuelto dará en primera1 S
aproximación la distancia de los parámetros estimados a sus va
lores óptimos. Hay que calcular la matrizN . 3T. 3T .L V l Q K.
e. sx., j ,k= 1, 2,. . .NR C5.7)
-1+3-
H R í 5 ' 7 )
resolver con ella el sistema (5.6) y añadir los desplazamientos
A a la estimación inicial de los parámetros» La. iteración desestos cálculos tomando como punto de partida el resultado ante»
2rior nos acercara cada vez mas al mínimo de x •
Las derivadas en (5.7) se calculan por diferencias dan-
do a los parámetros pequeños desplazamientos; la simetría de
B. , simplifica notablemente los cálculos.
A cada cálculo de los desplazamientos mediante el siste
ma (5.6) le denominaremos en adelante "ciclo".
5.2.- Limitaciones a la variación de los parámetros
En el proceso de búsqueda, la elección inadecuada de
los parámetros iniciales, puede dificultar considerablemente
el éxito del ajuste. Afortunamente existen indicaciones físicas
que permiten estimar el orden de magnitud de los parámetros del
potencial. Así, parece lógico esperar que la intensidad del po-
tencial central real, sea del orden de la que se utiliza en el
modelo de capas, del cual el Modelo Óptico es,en cierto modo,
una extrapolación a energías positivas (PRESTON, A,M.; 1962, p-
54-1+), resulta entonces para V unos 40 o 50 MeV. Así misino el
término spin-órbita tendrá que ser de un orden de magnitud anjá
logo al del modelo de capas, es decir V ^ 8 a 10 MeV. En cuan
to al término imaginario, no tiene analogía en el modelo de ca
pas pero puede estimarse a través de los órdenes de magnitud de
las secciones eficaces no elásticas en unos 10 MeV. Por su par-
te los parámetros radiales deben dar lugar a potenciales cuyo
radio sea algo mayor que el correspondiente a la distribución
de masas del núcleo. Con ello, los valores de r_ (cf. 2) resul-
tan ser de unos 1,3 f y las difusividades d de unos 0f5 f.
No es razonable aceptar, como resultado de un ajuste,
valores de los parámetros que difieran considerablemente de
esos órdenes de magnitud. Sin embargo, la práctica indica que
X posee, en general, mínimos secundarios y la posibilidad de
que un ajuste vaya a parar a alguno de ellos, debe evitarse de
-44-
alguna manera.
La presencia de mínimos secundarios es previsible teóri
camente. Se demuestra, en efecto (JACKSON, D.; 1970, p. 167),
(HODGSON, P.E.; 1967), que gran cantidad de magnitudes físicas
son sólo sensibles a ciertas combinaciones de parámetros. Por
ejemplo (la más importante) la combinación V .r siendo V_c la in
tensidad central real, rcel parámetro radial correspondiente y
Y un exponente del orden de 2. Así mismo aparecen periodicida-
des aproximadas al variar la intensidad V .
Estas relaciones y otras análogas, pueden dar lugar a
ambigüedades en los potenciales, pues producen resultados casi
equivalentes para diferentes conjuntos de parámetros. Sólo un
conocimiento de su verdadero orden de magnitud puede resolver
tales ambigüedades.
Por esta razón, conviene limitar durante la búsqueda la
zona accesible a los parámetros al interior de una región de la
cual tengamos razones suficientes para sospechar que contiene
un sólo mínimo, el correspondiente a los valores correctos de
los parámetros. Una elección plausible para esta región "físi-
ca" es la tomada por Holmqvist (HOLMQVIST, B. ; 1969 b_) donde se
considera que para un amplio conjunto de núclidos los paráme-
tros han de tomar solamente valores situados en los siguientes
intervalos
40 < V < 60 MeV , 5 < W < 15 MeV— c — — s —
1.0 < r < 1.5 f , 1.0 < r < 1.5 f (5.8)— c — — 's —
0 . 55 <_ d <_ 0 . 8 f , 0. 3 6 <_ d <_ 0. 52 £
(Holmqvist utiliza potenciales tipo Woods-Saxon, Woods-
-Saxon derivativos y f = f ).so c
En la subrutina RIFT se ha previsto la necesidad de res
tringir los valores de los parámetros al interior de una zona fí
sica. Para ello deben proporcionarse como datos de entrada (cf.
tarjeta 12 i 6) los valores máximo y mínimo del intervalo acep-
table para cada parámetro. Si en el curso de la búsqueda uno (o
-1+5-
varios) de los parámetros adquiere un valor en el exterior de
la región física, se asigna automáticamente un nuevo valor a
ese (o esos) parámetros igual al correspondiente al centro de
su intervalo de variación. De esta manera la búsqueda siempre
se efectúa en el interior de la zona física. Una elección de£_
afortunada de esa región puede dificultar el logro del ajuste.
Los valores dados en (5.8) han mostrado Cen nuestro caso) ser
muy adecuados.
En cualquier caso, un ajuste no debe darse por concluí
do hasta haber obtenido resultados concordantes partiendo de
varios puntos distintos.
5.3.- Procesos opcionales de minimización
La subrutina RIFT tiene un índice de opción NOP (cf.
tarjeta 10, §6.0) al que se puede dar a la entrada uno de los
cuatro valores 0, 1, 2, y 3. En cada caso la minimización adop_
ta las siguientes características:1
NOP = 0 No hay modificación de los parámetros. Se calculan2
solamente los resultados teóricos y x j cálculos co-
munes a todas las opciones. En realidad, en este ca-
so, el programa general funciona en "modo" de cálcu-
lo, pero con las ventajas del "modo" de búsqueda si-
mulado Ccf. 5 4.1).
NOP = 1 Ajuste sin subciclos. En cada ciclo de la iteración
en el2 (1
se recuerda el punto de partida X obtenido en el
ciclo anterior y su correspondiente valor de x
Se calculan entonces los desplazamientos de los pará-
metros resolviendo el sistema (5.6), con ellos el nue__(2 2
vo punto X y el correspondiente valor de x • Se ini_cia un nuevo ciclo:
a) Si algún parámetro sale de la zona física (cf.
§ 5.2).
2b) Si x ha disminuido.
oel Tras un proceso de subdivisión, si x n o hubiera
-46-
disminuido•
El proceso de subdivisión consiste en buscar el punto(3 Cl C2
medio X del segmento que une X y X , y comparar2 2 ( 1
el correspondiente valor de x con x CX ) . Si el nue2 ( 3 ~~
vo valor, x CX ), fuese menor, se hace una aproxima-
ción parabólica antes de iniciar un nuevo ciclo. En ca
so contrario se sigue subdividiendo , hallando el punto(1 (3medio del segmento X X . Se hacen a lo - sumo 5 subdi
visiones sin éxito, terminando en cualquier caso conuna aproximación parabólica. Esta aproximación toma los
(1 (2 (3tres últimos puntos X , X y X ., hace pasar por los
2correspondientes valores de x una parábola y busca sumínimo, situado en X . El nuevo ciclo parte del punto
2 ( 1 ( 2que dé el menor valor para x de esos cuatro (X , X ,x(3, x C m].
NOP = 2 Ajuste con subciclos. Al iniciar cada ciclo se calculan
los desplazamientos de los parámetros como para NOP = 1.
Si todos los desplazamientos son inferiores al 10% del
valor del parámetro correspondiente, no hay diferencia
con la opción anterior. En otro caso, el programa calcu
la un factor de reducción inferior a la unidad con el que
se reducen los desplazamientos, iniciándose subciclos en
los que se repiten sucesivamente a lo largo de la misma
dirección estos desplazamientos reducidos. Los subciclos
terminan, dando paso a un nuevo ciclo:
a) Por salir de la zona física algún parámetro (cf. 5.2)
er 2b) Tras subdivisiones, si en el 1 subciclo x crece.
2c) Tras aproximación parabólica si x crece después de
haber disminuido.
2d) Tras cinco subciclos y aproximación parabólica si x
disminuye continuamente.
NOP = 3 Ajuste con desplazamientos reducidos. Empezando cada ci-
clo como con NOP = 2 (desplazamientos inferiores al 10%),
no se repiten los desplazamientos sino que se procede co
-1+7-
mo con NOP = 1 para iniciar nuevos ciclos. Esta ha
mostrado ser, en nuestro caso, la opción más adecúa
da para el ajuste de parámetros del Modelo Óptico.
5 . M-. - Criterios de convergencia e índice de error
Se considera que se han alcanzado los valores óptimos
cuando :
2 N Dia) El valor de x e s inferior a y= £i = 1 (100 e . ) 2
Para ello bastaría que el error relativo de cada
uno de los resultados teóricos respecto de los expe-
rimentales . fuese inferior al 1%.
2b}. La variación relativa de x entre dos ciclos conconsecutivos, 6
2 2
S = 1 + 1, 2 i . (5<9)
_ 3es por dos veces sucesivas inferior a 10
- 3Las cotas que intervienen en esos criterios, 100 y 10 ,
pueden modificarse fácilmente alterando en RIFT una sentencia
DATA.
A la salida de RIFT, se obtiene el índice de error IER
cuya clave es:
IER = - 1 Aparece cuando NOP = 0, es decir si ajuste, la bus
queda se abandona tras calcular los resultados co-
rrespondientes a los parámetros iniciales.
IER = 0 Se ha superado algún test de convergencia.
IER = 1 Imposibilidad de resolver el sistema de ecuaciones
que calculan los desplazamientos.
IER = 2 Superado sin convergencia un número máximo de ci-
clos (situado en 10).
-49-
6.O.- DESCRIPCIÓN DE LOS DATOS DE ENTRADA
El programa HADES ha sido escrito en Fortran V para
Univac 1108/6. El usuario necesita proporcionar las tarjetas
de control de acceso al programa Ccf. Apéndice I) y los datos
de entrada.
Con el fin de economizar al máximo el tiempo de eje-
cución del programa, se separan explícitamente en las opcio-
nes de entrada los diversos casos de distribución del siste-
ma de ángulos según sean estos equidistantes o no y conforme
a su variación con la masa y la energía.
En la descripción de los datos de entrada que se da a
continuación, las tarjetas están ordenadas siguiendo un esque
ma decimal, una letra indicará un valor entero variable, su
margen de variación vendrá dado a continuación entre párenteti. K
sis. Así el número de tarjeta { ,'V_A , , indica en realidad ellis.-1 , 4 J
conjunto de cuatro tarjetas 4.1, 4.2, 4,3 y 4.4. Cuando en la
denominación de una tarjeta aparezcan varias letras, se sobre
entenderá que la situada más a la derecha es la que recorre pri
mero su margen de variación. Las variables serán reales o ente
ras conforme a la asignación alfabética implícita utilizada en
el lenguaje Fortran.
El orden en que los datos experimentales deben suminis
trarse queda aclarado en un esquema al final de este parágrafo.
Pueden consultarse en el í 8 dos ejemplos ilustrati-
vos .
DATOS DE ENTRADA
Numerode
tarj eta
1
2
3
Datos
Rótulo
A?DA,AF
N,LM,LTM
(Formato) Interpretación, Limitaciones,Coment arios.
(12A6) Cualquier texto con un máximo de 72 ca-
racteres .
(3F11.6) A = Masa atómica del núclido inicial(en unidades atómicas).
DA = Incremento de la masa atómica.
AF = Masa atómica final.
El número de incrementos ha de ser < 100.
Si el cálculo se efectúa para un sólo núcli-
do, DA y AF pueden dejarse en blanco.
Ver observación final.
(314) N = Número de puntos utilizado en la re-solución de la ecuación de Schroedinger. N < 300.
LM = Valor máximo del momento angular or-bital 1 en el desarrollo en ondas parcialesT LM <_ 20 .
LTM = Orden máximo en el desarrollo en polinomios de Legendre de la distribuciónangular . LTM <_ 40 .
Normalmente LTM = 2.*LM
IenO
Númerode
tarjeta
5
Dato s
El,EF,NE
NCT ,NTE,NCM
(Formato) Interpretación, Limitaciones.Comentarios.
C2F1Q.4 ,16 ) El = Energía inicial (en MeV).
EF = Energía final
NE = Número de puntos equidistantesen energías para los cuales serealiza el cálculo. NE <_ 100.
Si NE = 1,EF puede dejarse en blanco.
Ver observación final.
(314) NCT = Número de ángulos equidistantes enlos que se calcula la distribuciónangular. NCT <_ 5 0 •
NTE = Para cada núclido sólo se calculanlas distribuciones angulares cadaNTE valores de la energía.
(sólo actúa en "modo" de cálculo).
NCM = 1. Las energías de la Tarj. 4 (olas de los datos experimentales)están referidas al sistema cen-tro de masas.
= 0. Id. sistema del laboratorio.
Para NCT y NTE ver observación final.
Ien
Númerode
tarj eta
6
7
8 . K(K = 1,4)
Datos
NANG,NW
NCLM
KE5VO,KT,RO,D5RZ
(Formato) Interpretación, Limitaciones.Comentarios.
(.214-) NANG = 0 No se calculan distribucionesangulares.
= 1 Se calculan para puntos distribuidos uniformemente en el coseno del ángulo.
= 2 Id. distribuidos uniformementeen el ángulo.
NW = 0 Impresiones de salida reduci-das .
= 1 Id. ampliadas Cdescomposicionen ondas parciales).
(14) NCLM = 0 Cálculo de F y G mediante relaciones de recurrencia ascen-dentes .
= 1 Id. descendentes (aconsejable).
(19 ,F11.4,13,3F10.4)
Parámetros iniciales del potencial: 4 tarjetas,
una por cada término aún cuando alguno fuera de in
tensidad nula.
En principio (.aunque no necesariamente) estos
Ien
Númerode
tarj eta
8.K
CK- =1,4)
(Continuación )
Datos
KE,VO,KT,RO,D,RZ
(Continuación)
(Formato) Interpretación, Limitaciones.Comentarios.
términos pueden corresponder a:
K = 1 Término real central.
= 2 Id. imaginario de volumen.
= 3 Id. imaginario de superficie.
= 4 Id. real spin-orbita.
KE = 1 Los potenciales no_ varían con la energía.
= 0 Varían con la energía (dependenciacúbica con E), cf. (4.1).
VO = Intensidad (en MeV).
Si es nula, el resto de la tarjeta puede dejar_
se en blanco.
KT = Forma del potencial.
= 1 Pozo rectangular.
= 2 Woods-Saxon, cf. (2.8).
= 3 Gaussiano, cf. (2.11).
= 4 Woods-Saxon derivativo, cf. (2.10).
= 5 Woods-Saxon-Thomas (para término spín-
en
I
Númerode
tarj eta
8. K(K = 1,4)
(Continuación )
9.L
(L = 1,4)
(Opcional
ia
Dat os
KE,VO,KT,RO,D,RZ
(Continuación )
UO,U1 ,U2,U3
NSCH,NOP
(Formato) Interpretación, Limitaciones.Comentarios.
-órbita), cf. (2.12).
1/3RO = Coeficiente de A en el radio del po-
tencial, cf. (2.8) (en fermis).
D = Difusividad (en fermis).
RZ = Término independiente en la expresióndel radio (normalmente nulo para neu-trones ) .
El radio del potencial tiene por expresión cf.
(2.8)
R = RO - A 1 / 3 + RZ
(10X,4F10.4) Coeficientes de la variación ener-
gética de la intensidad de cada potencial, cf.
(4.1).
Sólo se incluye para aquellos términos en que
KE = 0.
(213) NSCH = 0 Modo de cálculo. No hay búsquedade parámetros. Salida normal.
= 1 Modo de búsqueda. Variación auto
Ien-PI
Númerode
tarjeta
10
CCont inuación )
11
12. K(K= 1,NR)
Datos
NSCH,N0P
(.Continuación)
NR,NTP1,NTP2,.
NP,PMIN,PMAX
(Formato) Interpretación, Limitaciones.Coment ario s.
mática de parámetros. Salida bi-furcada Ccf. Apéndice I).
NOP = 0 El programa RIFT cesa la búsque-da inmediatamente después de efectuar el cálculo con el conjuntode parámetros iniciales. (Puedeutilizarse para simular modo decálculo con masas, energías o ángulos distribuidos no uniforme-mente 1.
NOP 4 0 Búsqueda de parámetros con opciónNOP en RIFT (cf. § 5.3).
Si NSCH = 0 (modo de cálculo) Fin de los datos
de entrada.
(1713) NR = Número de parámetros independien-tes que han de ser ajustados. NR <<_ 16_.
NTP1 , etc... = Número de identificaciónde cada parámetro independienteque se vaya a ajustar cf. § 4.1b.
(110 , 2F10.4 ) Delimitación de la zona física:NR tarjetas, una para cada para-
enen
Númerode
tari eta
12.K(K= l.NR)
(Cont inuación )
13
11. K
(K=l ,NCOR)
Datos
NP,PMIN,PMAX
(Continuación)
NCOR
NP,NP1,..
(Formato) Interpretación, Limitaciones.Comentarios.
metro independiente.
NP = Número de identificación del parametro.
PMIN,PMAX = Valores mínimo y máximo delparámetro NP (cf. § 5.2)
Las NR tarjetas han de ir ordenadas según índi-
ce NP creciente.
(13) NCOR = Número de correlaciones entre losparámetros. NCOR < 6.
Si NCOR = 0 las tarjetas del tipo 14 se supri-
men .
(i+IU) NCOR tarjetas
Los parámetros números NP1 , etc..., se mantie-
nen a lo largo del ajuste iguales al NP. •
Hay posibilidad de hasta 6 correlaciones de 4
parámetros.
IenenI
Númerode
tarj eta
15
16
Datos
NTB1,NTB2,NTB3,.NTB4
NOX,NWX,NPW,NANX
(Formato) Interpretación, Limitaciones.Comentarios.
(413) NTB1 = 0 La sección eficaz diferencialno contribuye al ajuste.
= 1 SÍ que contribuye.
Análogamente NTB2 se refiere a la inclusión o
exclusión de la sección eficaz elástica en el ajus
te.
NTB3 a la no elástica.
NTB4 a la total.
(HI3) NOX = 0 Los datos experimentales que siguencorresponden a los ángulos(o cosenos) equidistantes indicados en las opciones dadas enlas tarjetas 5 y 6.
= 1 Las distribuciones angularesque siguen se reelaboran paraconvertirlas a los ángulos equidistantes de las tarjetas 5 y_6_, utilizando el programa SA-KUSK de ajuste por mínimos cuadrados (cf. 1.1b). En este ~ajuste todos los pesos se to-man iguales entre si.
= 2 Igual al caso anterior pero con
en<!1
Númerode
tarjeta
16
(cont inuación )
Datos
NOX ,NWX,NPW,NANX
(.Continuación )
(Formato) Interpretación, Limitaciones.Comentarios.
pesos proporcionales a los da-
tos.= 3 Id. pero con pesos leidos en
las tarjetas que contienen lasdistribuciones angulares expe-rimentales
NOX = 5 El cálculo se efectúa para elmismo sistema de ángulos sumi-nistrado junto con los datos experimentales (no hay reelabora-ción.
Ver observación final.
NWX = 0 No se imprimen los datos experimentales.
= 1 Se imprimen sólo los datos ree-laborados.
= 2 Se imprimen tanto los experimentales como los reelaborados.
NPW Determinación de pesos utilizadosen el ajuste de parámetros.
= 0 Los pesos leidos junto con losdatos experimentales.
enCDI
Númerode
tarj eta
16
CCont inua_c ion }
Datos
NOX,NWX,NPW,NANX
(Continuación)
(Formato). Interpretación,' Limitaciones.Comentarios.
NPW = 1 Pesos iguales para todos los da-tos.
= 2 Pesos proporcionales a cada da-to .
NANX = 0 de ángulosnúclídos y
sir
= 11
El mismo conjuntove para todos losenergías (Si NOX= 5, se tomanlos que aparecen junto con losdatos experiméntale correspon-dientes a la primera energíadel primer núclido).
Se utilizan los mismos ángulospara todas las energías peropueden variar con cada núclido(Se toman los correspondientesa la primera energía de cadanüclido ) .
Para cada energía y cada núcli-do hay un conjunto de ángulosdiferentes, que es leido en lastarjetas que contienen las dis-tribuciones angulares experimentales .
ien10I
Número ',de .
tarj eta
17
18
19. K
K=l,NA)
19.K.L.1
(L=l,NEA)
i
Datos
Rotulo
NA
A,NEA
E.
(Formato) Intepretación, Limitaciones.Comentarios.
(12A6) : Cualquier texto de hasta 72 caracteresque identifique los datos experimenta-les que siguen.
(.13) : Número de núclidos para los cuales sedan datos experimentales y se realizael ajuste. NA < 100.
Ver observación final.
(FIO.4 ,14)
A: Masa atómica del núclido (en unidadesatómicas).
NEA: Número de puntos de la energía corres-pondientes a ese núclido.
El número total de energías, sumando las de to-
dos los núclidos, ha de ser < 100.
Ver observación final.
(FIO.4-) Energía (.en MeV) a que corresponden losdatos experimentales que siguen (referida al sistema centro de masas o del la-boratorio según el valor de NCM en tar-
ICJ)oI
Númerode
tarj eta
19.K.L.1
(L=l,NEA)(Cont inuacion )
19.K.L.2
1 9 , K. L , 3
Datos
E
CContinuacion)
SEL,EPW,SNE,EPW,
STT,EPW.
NDIS,NDT ,NCS
(Formato) Interpretación, Limitaciones.Coment arios.
jeta 5 ) .
Ver observación final.
(19X,6F 10.5} Datos y pesos experimentales correspondientes, respectivamente, a las seccioneseficaces elástica, no elástica y total.
Si NPW 4 0 (.Tarjeta 16), los pesos puedendejarse en blanco.
Esta tarjeta se incluye si, al menos, unade esas magnitudes entra en el ajuste (cf. Tar-jeta 15). Aquellas que no contribuyan al ajustepueden dejarse en blanco. (#)
(313). Opcional: solo si las distribuciones anguiares entran en el ajuste (es decirNTB1 4 0 en tarjeta 15 y NANG / 0 en lanü V-NDIS = 1 Los datos de las tarjetas si-
guientes corresponden a las dis-tribuciones angulares experimen-tales .
= 22 Id. a los momentos de Legen-dre .
IO)
>i las distribuciones angulares no entran en el ajuste (NTB1 = 0, NANG = 0) finle los datos de entrada.
Númerode
tarj eta
19.K.L.3
(Cont inuación )
19.K.L.Ja
(j = H 3 +
+ NDT)
(Opcional
Datos
NDIS ,NDT ,NCS
(Continuación)
THE,SIGD,EPW
(Formato) Interpretación, Limitaciones.Comentarios.
NDT = Número de datos angulares (es de-cir: número de ángulos si NDIS == 1 o de momentos si = 2).
Si NOX = 0 ha de hacerse NDT = NCT de tarjeta
5 .
Ver observación final.
NCS = 1 La primera columna de los datosque siguen corresponde a ángulosen grados.
= 2 Id. al coseno del ángulo.
Sólo actúa en el caso NDIS = 1.
Ver observación final.
(9X,3F10.5) Sólo para NDIS = 1 (cf. tarjetaanterior).
Datos y pesos experimentales correspondientes a
la distribución angular. Una tarjeta para cada án-
gulo (en total NDT).
Númerode
tarjeta
19.K.L.Ja
(J= 14,4 ++ NDT)
(Opcional)
(Continuación )
19.K.L.Jb
(J = 4,4 ++ NDT)
(Opcional/
Datos
THE,SIGD,EPW
(Continuación)
L,B
(Formato) Interpretación, Limitaciones.Coment arios.
THE = (si NCS = 1) ángulo en grados.
= (si NCS = 2) coseno del ángulo.
SIGD= Sección eficaz microscópica diferen-cial potencial elástica ("Shape elastic'') experimental (en barn/sr y re-ferida al centro de masas) correspondiente al ángulo anterior.
EPW = Peso asociado a la magnitud anterior.(.Si NPW 4 0 y NOX 4 3, cf.tarjeta 16,puede dejarse en blanco).
(9X,I5 ,5X ,F10.5) Sólo para NDIS = 2
B = Momento de Legendre de la distribuciónangular experimental correspondienteal orden L.
Han de estar ordenados según L creciente e in-
cluir todos (en número NDT) incluso aquellos que
sean nulos
I
FIN DE LOS DATOS DE ENTRADA
-64-
Las tarjetas tipo 19_ que contienen los datos experimen_
tales, se ordenan por núclidos, dentro de éstos (NA en total)
por energías y para cada una de ellas (en total NEA) se inclu-
yen primero las secciones eficaces totales (Tarjeta 19.K.L.2),
a continuación las opciones angulares (19.K.L.3) y finalmente
las NDT tarjetas correspondientes a las distribuciones angula-
res experimentales (19.K.L.J. a o b).
Todo ello queda ilustrado en el siguiente esquema:
Grupos de
núclidos
e r1 Núclido
K - ésimonúclido
Ultimo núcli-do (NA)
Grupos de
energías
A,NEA
1- Energía
L - és imaEnergía
Ultima ener-gía (NEA)
Tarj etas
E
SEL ,
NDIS
1 e r
J-és
—
EPW,SNE,etc
,NDT,NCS
ángulo
— — _
imo ángulo
— —
Ultimo ángulo(NDT)
1
-65-
Observación final
Debe tenerse en cuenta que en modo de búsqueda (NSCH =
= 1 en tarjeta l_0_) , la información referente a masas y energías
corresponde a la suministrada junto con los datos experimenta-
les (tarjeta L̂_8_ y Jl_9_) y sustituye e invalida a la que pudiera
fiaberse dado previamente en las tarjetas 2 y 4 . Además, en es-
te caso, la opción NTE de la tarjeta _5_ no actúa. Análogamente
sucede cuando se toma, además, la opción NOX = 5 en la tarjeta
16, con la información referente al sistema de ángulos; en ca-
so contrario, este sistema para el cual se realiza el cálculo
es el indicado en la tarjeta 5, y por tanto, corresponde a di^
tribución uniforme.
-67-
1.0.- IMPRESIONES DE SALIDA
En "modo" de cálculo, las impresiones de salida consis
ten en la repetición de los datos de entrada y de las magnitu-
des teóricas (incluidos los coeficientes de transmisión T,. =
2 . 11= 1 - |S .| para cada onda parcial) en forma autoexplicativa
Cver ejemplo lü § 8.1). Si se utiliza la opción NW = 1 (cf. tar
jeta 6) aparecen además las contribuciones a las secciones efi-_
caces de cada onda parcial.
En modo de búsqueda (ver ejemplo 2a § 8.2) además de la
representación de los datos de entrada, incluidos (si NWX = 2
en tarjeta 16) los experimentales, aparece:
Primero, una línea con las magnitudes
NTH,NTA,NTB2,NTB3 , NTB4
siendo :
NTH = Número total de datos experimentales que inter-
vienen en el ajuste.
NTA = ídem, de datos angulares.
NTB2,NTB3,NTB4 tienen el mismo significado que la entra
da (cf. tarjeta 15 ).
En las líneas siguientes se imprimen los valores inicia_
les de los NR parámetros independientes que van a ser ajustados.
A continuación (en el caso en que NWX i- 0) NTH líneas
numeradas correlativamente conteniendo los datos experimentales
que intervienen en el ajuste junto con sus pesos asociados, or
denados conforme al esquema descrito en §4.1.
Finalmente aparecen los resultados de la búsqueda en
la siguiente forma:
1- Línea IER,KCL,JST,N0P
-68-
donde
IER Es un índice de error (cf. § 5.4).
= 0 significa ajuste terminado con éxito.
= 1 ajuste interrumpido por dificultades en el sis
tema de ecuaciones (5.6) en RIFT (cf. § 5.1).
= 2 convergencia no conseguida. Número máximo de ci_
clos superado.
= -1 corresponde a NOP = 0 (no hay ajuste).
KCL = Número de ciclos (cf. § 5.4) que han sido necesa-
rios para el ajuste.
JST = Número de llamadas al programa que calcula los re_
sultados teóricos realizadas durante el ajuste.
NOP = Posee el mismo significado que a la entrada (Op-
. ción para el método utilizado en RIFT. Tarjeta
10). .
2- línea: CHID5DEL
CHID = Valor final de x2 , :. C5.1))
DEL = Valor final de x (cf. (5.9))
siendo
3- Línea: Aparecen los valores finales de los NR paráme_
tros independientes que han intervenido en el
ajuste .
NTH = Líneas siguientes : I,T ,EPS
EPS.
Resultado teórico número I, correspondiente a los
valores finales de los parámetros del potencial.
Estos resultados teóricos se ordenan de modo idén_
tico a los datos experimentales que intervienen en
el ajuste.
Desviación relativa resultante de la comparación
de Tj con el dato experimental correspondiente.
-'6 9-
Penúltima línea: NPW,ERQ
NPW tiene el mismo significado que a la entrada (tar_
jeta 16) e indica el sistema de pesos escogido pa
ra la búsqueda.
ERQ es una magnitud que corresponde a la desviación
relativa media conseguida en el ajuste, teniendo
en cuenta el conjunto de todos los datos. Tiene
por exprés ion:
NTH EPS,2
ERQ1 = 1 NTH
Ultima línea: Tiempo total del procesador central (C.
P.U.) empleado en la ejecución, medido
en segundos.
Si se desea, puede imprimirse un resumen del desarrollo
de la búsqueda, en el cual aparecen los valores de los paráme-2
tros y el de x correspondientes a cad
programa de búsqueda (cf. Apéndice I).
2tros y el de x correspondientes a cada paso realizado por el
-71-
8.O.- EJEMPLOS
Los dos ejemplos que se exponen seguidamente, tienen
por objeto aclarar la elaboración de los datos de entrada y
de las impresiones de salida, no intentan por tanto represen
tar ningún .caso real.
8.1.- Ejemplo 1Q, modo de cálculo.
Consiste en la aplicación de dicho modo al caso de po-
tenciales rectangulares , lo cual permite además una comparación
entre la solución numérica y la analítica.
Para la solución numérica, los datos de entrada vienen
reproducidos a continuación. Se observará que se han utilizado
100 puntos para la resolución de la ecuación de Schroedinger," . . . 5 9
con 7 ondas parciales, que para el ejemplo escogido (Co a 8.05
MeV) son suficientes. Las distribuciones angulares se calculan
para 11 ángulos equidistantes en eos 9. Los potenciales tienen
todos forma rectangular (por tanto difusividad nula) y el mis-
mo parámetro radial.
Debido a la fuerte discontinuidad que presentan los po
tenciales rectangulares, es necesario, para que la solución nu
mérica se calcule correctamente, que el punto de discontinuidad
esté situado en el centro de alguno de los intervalos utiliza-
dos en la resolución de la ecuación de Schroedinger, el progra_
ma efectúa automáticamente una descomposición en intervalos coin
patible con la condición anterior, siempre que alguna de las d_i_
fusividades sea muy reducida (comparable a la anchura h_ del in-
tervalo, cf. § 3.2).
Tras los datos de entrada, aparece una reproducción de
la 2- parte de los resultados de salida (la primera consiste,
simplemente, en una repetición de los datos de entrada).
En las impresiones de salida reproducidas aparecen las
siguientes magnitudes.
En primer lugar los coeficientes de transmisión T co-
72 . S —
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. 51. 51. 52. 52. 53.53. 54. 54. 55. 55. 56. 5
EL
8.0500
.91975+00
.78969+00
.67022+00
.61494+00
.38879+00
.73925+00
.3765 5+00
.68254-01
.25359+00
.29952-02
.12158-01
.12190-03
.75863-03
EC AC
7.9145 59
MUCM
.7226
MULAB
.7358
SEL
.14572+02
SNE
. 90464 + 00
STOT
.23617+01
DISTRIBUCIÓN ANGULAR
MU T SIGDIF
-1
00008000600040002000000020004000600080000000
35679
1011121418
. 006. 873. 136. 428. 460. 001. 543. 586. 873.130. 00
. 15726 + 01
. 32081 + 00
.40855-01
.30500-01
.44563-01
.35063-01
.16824-01
.85923-02
.14951-01
.26144-01
.21536-01
BL
.11595+0025134+OQ27934+0017283-0111029=04
eoi
32771+0018806+0023142-0251944-06
31881+0071720-0121723-0330239-07
-74-
rrespondientes a cada onda parcial L, J.
A continuación:
EL = Energía cinética del neutrón en el sistema del
laboratorio.
EC = Energía cinética disponible en el centro de ma
sas .
MUCM = Coseno medio del ángulo de dispersión en el cen
tro de masas.
MULAB = Id. en el laboratorio.
SEL = Sección eficaz elástica Cen barn ) •
SC = Id. de absorción del modelo.
STOT = Id. total.
BL = Momentos de Legendre de la distribución angular2
multiplicados por 2K cf (2.21).
Finalizan con la distribución angular en barn/sr.
La solución analítica es sencilla, ya que si ja es el ra-
dio del pozo y K ., dado por
. = — 4 V + i W + V] 2 m] c jCj +1) - 1U +1) - - + E
es el número de ondas correspondiente a la energía cinética del
neutro'n en el interior del pozo, entonces la solución en la zo-
na interna r <_ a es simplemente (cf. § 3.1) F (K . r ) , con lo
cual la derivada logarítmica en r = a, vale
d. . = a K1] JD
F[ Czf
clj a
Bastará calcular la función F y su derivada para valo-
res complejos del argumento, ésto puede realizarse con los mis-
mos métodos utilizados para argumento real (cf. § 4-. 2 ) . Con el
valor de d . así obtenido y mediante las fórmulas del § 3.1 pu£
-7 b-
den obtenerse las secciones eficaces correspondientes a la so-
lución analítica.
El resultado de la comparación entre los cálculos del
programa HADES y los obtenidos de la solución analítica es el
s iguiente:
COMPARACIÓN ENTRE LAS SOLUCIONES NUMÉRICA Y ANALÍTICA
SOLUCIÓN ANALÍTICA
SEL : .14570+01
SNE : .90492+00
STOT: .23620+01
MU SIGDIF
1 . 00 .15728 + 01
. 80 . 32082 + 00
.60 .40863-01
.40 .30486-01
.20 .44550-01
.00 .35046-01
. 20 . 16807-01
.40 .85853-02
.60 .14945-01
.80 .26140-01
-1.00 . 21513-01
DIFERENCIAS
ABSOLUTAS
+ . 00001 + 01
- . 00028+00
-.00003+01
-.00002+01
-.00001+00
+.00022-01
+.00014-01
+.00013-01
+.Q0017-01
+.00017-01
+.00128-02
+.00006-01
+.00004-01
+.00023-01
RELATIVAS (#• )
+0.069
-0.309
-0.127
-0.131
-0.031
-0.538
+0.459
+0.292
+0.486
+ 1 .011
+1.491
+0.401
+0.153
+ 1 . 069
Muestra, por tanto, una notable concordancia, la máxi-
ma desviación relativa se produce para el mínimo de la distri-
bución angular y en cualquier caso es inferior al 2%-o. Consti-
tuye ésto una prueba de la bondad del método numérico de reso-
lución de la ecuación de Schroedinger.
-76-
Junto con ésta, se han efectuado otros tipos de pruebas
de coherencia para el programa HADES, p. ej. se ha comprobado
que las funciones F , G , sus derivadas, los coeficientes de
Clebsch-Gordan y de Racah y los polinomios de Legendre coinci-
den con los dados en las tablas.
Así mismo se ha comprobado que la distribución angular
calculada mediante la serie de polinomios de Legendre coincide
con la obtenida de la aplicación directa de la fórmula (2.33),
que cuando todos los potenciales son de intensidad nula, las sec
ciones eficaces también lo son (en rigor se obtienen valores in-_ 7
feriores a 10 imputables a errores de redondeo), etc.
En todas las pruebas realizadas, se han obtenido resul-
tados muy satisfactorios.
8.2.- Segundo ejemplo: modo de búsqueda
Se intenta, en este caso, ajustar _5_ parámetros del poten
cial (V , W , r , r y d ) con el fin de obtener concordancia con
datos tomados de (HOLMQUIST, B. y WIEDLING, T.; 1969 a_) atribui-5 9
dos al Co a 8,05 MeV (energía en el sistema del laboratorio),
que no representan, en realidad, datos experimentales.
Los pesos asociados a los datos (ver reproducción de la
hoja de entrada), se toman proporcionales a éstos. El cálculo se
efectúa para el sistema de 1_9̂ ángulos leido junto con los datos,
se toman 100 puntos para la obtención de la función de ondas y 7
ondas parciales.
Los potenciales son del tipo Woods-Saxon, Woods-Saxon de
rivativo y Woods-Saxon-Thomas, y aunque a la entrada el término
spin-órbita posee parámetros radiales diferentes del real central
(cf. tarjetas 8.1 y 8.4-), el haber establecido correlaciones en-
tre ambos términos (cf. tarjetas 13 y 14) hace que se ignore esa
disparidad y que aquellos se mantengan iguales entre sí.
Los resultados de salida se reproducen a continuación.
77-
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-79-
DISTRIBUCIONES ANGULARES EXPERIMENTALES REELABORADAS
22
50
1234567
910111213141516171819202122
19 1
0000060000
.19000+01
. 14600 + 01
. 33600 + 01
. 11000 + 01
.39000+00
. 11500 + 00
. 24000-01
. 70000-02
. 12000-01
. 20000-01
. 25000-01
. 26000-01
. 25000-01
. 22000-01
. 19000-01
. 14000-01
. 10000-01
. 63000-02
. 37000-02
.44000-02
. 94000-02
. 20000-01
10.00000 1. 25000
.89118+01
.68480+01
.157 6 0+02
.51595+01
.18293+01
.53940+00
. 11257 + 00
. 32833-01
. 56285-01
.93808-01
.11726+00
.12195+00
.11726+00
.10319+00
. 89118-01
. 65666-01
.46904-01
. 29550-01
. 17355-01
. 20638-01
.44090-01
. 93808-01
1 . 25000
0 37
. 36441-03
48 ,
123456789.
10111213141516171819202122
4670362374
9. 96482 1.23347
19471+0114729+0134200+0111251+0139979+0011598+0024540-0170571-0212031-0119870-0124800-0126225-0125015-0122158-0118393-0114212-0199862-0261940-0237337-0241690-0294850-0220454-01
24785-0188692-0217869-0122777-0125097-0185104-0222489-0181541-0225673-0265168-0279842-0286651-0261410-0371678-0231938-0115171-Q113797-0216820-0191207-02,52497-0190434-0222712-01
. 16971-05
1.1716 3
19089-01 36,80 SEG
-80-
El ajuste se consigue (cf. § 7.0) en _6_ ciclos, habiénd£
se realizado _3_7_ llamadas al programa que calcula los resultados
teóricos, la desviación relativa media entre datos experimenta-
les y teóricos resulta ser de un 2%, la máxima desviación (-6%)
tiene lugar para el mínimo de la distribución angular. En el pro
ceso de ajuste se ha empleado un tiempo CC.P.U.) de unos 37 seg.
en UNIVAC 1108.
-81-
Al.- APÉNDICE I
Para acceder al programa HADES desde el terminal DCT
2000 de la J.E.N., el usuario debe proporcionar la siguiente
secuencia de tarjetas de control:
'B RUN
3>ASG,A JEN-GEN/NEJL/NEJE
"o)USE AQ,JEN-GEN
cÍELT5I .DATHADES
Tarjetas conteniendo los
datos de entrada (cf.§6)
5)ADD AQ.RGHADES1
O) FIN
Debe tenerse en cuenta que cuando el programa funciona
en modo de búsqueda, las impresiones de salida se reducen con-
siderablemente (cf. § 7) pues casi toda la información que se
imprime normalmente en modo de cálculo, sufre aquí una bifurca_
ción Csentencia S3BRKPT) y se sitúa en un fichero temporal que
puede imprimirse si así se desea. En consecuencia debe conside_
rarse que el número límite de páginas solicitado en la tarjeta
¿ÍRUN, incluye las que corresponden a la información almacenada
en ese fichero aun cuando este no se imprima, por consiguiente
para evitar que el programa se corte por exceso de páginas, d_e_
be suministrarse un valor límite suficientemente elevado.
Asimismo las incidencias de la búsqueda se almacenan
en el archivo temporal HIST que puede imprimirse mediante la
sentencia de control £)DATA,L HIST, en este caso se escribe,
tras el valor y del § 5 . M-, una relación de los valores de los2
parámetros (con el x correspondiente) para cada paso del aju£_
te incluyendo los puntos utilizados para el cálculo de deriva-
das en (5.7).
-82-
Análogamente, para tener acceso al programa HADES en
la UNIVAC 1106 de la JEN son necesarias las siguientes tarje
tas de control:
3 RUN
O)ASGSA HADES/HELL
5>ELT,I.DATHADES
Datos de entrada
3) ADD HADES .HADES/S
O) FIN
-83-
9.O.- REFERENCIAS
1. ABRAMOVITZ, M.A. y SEGÚN, I.A. (1968); "Handbook of fun£
tions"; Dover (New York).
2. ALLISON, A.C. (1972); Comput . Phys . Commun. 3_, 173.
3. AMSTER, H.J. y CULPEPPER, L.M. (1957); "Summun". Report
WAPD-TM-87.
U. AUERBACH, E.H. y PEREY, F.G.J. (1962); "Optical model neu
tron transmission coefficient". Report BNL-765.
5. AUERBACH, E.H. y MOORE, S.O. C1964); Phys Rev. 135 , B 895.
6. AUERBACH, E.H., FRANCIS, N.C., GOLDMAN, D.T. y LUBITZ, C.
R. (1964); "Abacus". Report KAPL-3020.
7. BEYSTER, J.R., SCHRANDT, R.G., WALT, M. y SALMI, E.W. (1957);
"Predictions of fast neutrón scattering data with a difuse
surface potential well" . Report LA-2099.
8. BIEDENHARN, L.C., BLATT , J.M. y ROSE, M.E. (1952); Rev.
Mod. Phys. 2_4_, 249.
9. BLATT, J.M. y BIEDENHARN, L.C. (1952); Rev. Mod. Phys. 24,
2 58 .
10. BLATT, J.M. y WEISSKOPF, V.F. (1952); "Theoretical Nuclear
Physics". Willey (New York).
11. BROWN, G.E. (1967); "Unified theory of nuclear models and
forces". North-Holland (Amsterdam).
12. BUCK, B., MADDISON, R.N. y HODGSON, P.E. (1960); Phyl. Mag.
5_5 1181.
13. COSTA, G. (1964); "Topics in elementary theory of scatte-
ring". Report CERN 64-13.
14. DAVIDON, W.C. (1959); "Variable metric method for minimi-
zation". Report ANL-5990.
-84-
15. DAVIDON, W.C. (1968); Comput . Journ. l_0, 406.
16. EMMERICH, W.S. (1963); Cap. VC de "Fast Neutrón Physics"
(Ed. por J.B. MARIÓN). Interscience (New York).
17. FERNBACH, S., HECKROTTE, W. y LEPORE, J.V. (1955) Phys .
Rev. 9J_, 1059.
18. FESCHBACH, H. (1958 a.) ; Ann. Phys. 5_, 357.
19. FESCHBACH, H. (1958 b_) ; Ann. Rev. Nucí. Sci. 8_, 49.
20. FESCHBACH, H. (1960); Caps. VA y VID de "Nuclear Spectro_s
copy" (Ed. por AJZENBERG). Academic Press (New York).
21. FLETCHER, R. y POWELL, M.J.D. (1963). Comput. Journ. 6_,
163.
22. FORD, K. y LEVINSON, C. (1955); Phys. Rev. 100, 1.
23. FRÜBERG, C E . (1955); Rev. Mod. Phys. _2_7> 3 9 9-
24. GOLDMAN, D.T., LUBITZ, C.R., SHAMHOLT, G.A. y SLAGIE, E.R.
(1965); "Optic". Report KAPL-3085.
25. GOLDMAN, D.T. (1967); "The calculations of nuclear cross
sections by the Optical Model" en "Nuclear Data for Reac-
tors" I, p. 339, IAEA (Viena).
26. HILDEBRAND, F.B. (1956); "Introduction to numerical analy-
sis". McGraw-Hill (New York).
27. HOLMQUIST, B. y WIEDLING , T. (1969 a_) ; "Neutrón elastic
scattering cross-sections experimental data and Optical
Model calculations". Report AE-366.
28. HOLMQUIST, B. (1969 b_) Arkiv. fó'r Fysik 3_8_> 403.
29. HODGSON, P.E. (1967) Ann. Rev. Nucí.. Sci. 1_7_, 1.
30. HODGSON, P.E. (1971) Rep. Progr. Phys. 3_4, 765.
31. HUGHES, D.J. (1958) 2-- U.N. International Conference of
the peaceful uses of At. Energ. Geneva, 16, 8.
-85-
32. JACKSON, D. (1970); "Nuclear Reactions". Methuen (London).
33. JONES, P.B. (1963); "The Optical Model in Nuclear and Par
ticle Physics". Interscience (New York).
34'. LEMMER, R.H., MARIS, T.A.J. y TANG , Y.C. (1959); Nucí. Phys
12, 619.
35. LEMMER, R.H. (1966); Rep . Progr. Phys. 2_9_, 1-, 131.
36. MADDISON, R.N. (1962); Proc . Phys. Soc . 7_9_, 264.
37. MANÍ, G.S. y MELKANOFF , M.A. (1963). Report CEA-2380.
38. MELKANOFF, M.A., NODVIK, J.S., SAXON, D.S. y CANTOR, D.G.
(1961); "A Fortran program for elastic scattering analy-
ses with the nuclear Optical Model". Univ. of California
Press (Berkeley ) .
39. MELKANOFF, M.A., SAWADA, T. y RAYNAL, J. (1966); "Nuclear
Optical Model Calculations" . En "Methods of comput. Phy-
sics". Vol. 6_, 1 Academic Press (New York).
40. MESSIAH, A. (.1959); "Mecanique Quantique". Dunod (París).
41. MOLDAUER, P.A. (1963); Nucí. Phys. 4_7_, 65.
42. PEREY, F.G. y BUCK, B (1962). Nucí. Phys. 3j2_, 363.
43. POWELL, M.J.D. (1964); Comput. Journ. T_, 155.
44. PRESTON, M.A. (1962); "Physics of the nucleus". Addison-
-Wesley (Reading, Mass.).
45. RAYNAL, J. (1969); "A Fortran program for automatic sear
ch.es with the Nuclear Optical Model". Report D. Ph. T/69-
-42. CEA. Saclay.
46. RAYNAL, J. C1971); "Optical Model and compled channel cal
culations in Nucle.ar Physics". Report D. PH. T/71-48. CEA
(Saclay).
47. SATCHLER, G.R. (1955); Proc. Phys. Soc. A68, 1041.
-86-
48. SCHMIDT, J.J. (1970); en "Nuclear Data for Reactors". Conf
Helsinki. Vol. _19 pág. 3. IAEA (Viena).
49. SMITH, R.D. (1966); en "Nuclear Data for Reactors". Int.
Conf. París. Vol. !_, pág. 27. IAEA (Viena).
50. SMITH, ff.R. (1969 a_) ; Comput. Phys . Commun. !_, 106.
51. SMITH, W.R. C1969 b_) ; Comput. Phys. Commun. 1_, 135.
52. TAMURA, T. (1965); "Fortran programs for the Clebsch-Gordan
and Racah coefficients". Report ORNL-3877.
53. TAMURA, T. y RYBICKI, F. (1969); Comput. Phys. Commun. 1_,
25 .
54. WESCOTT, C.H. (1955); "1-í Int. Conf. on peaceful uses of
atomic energy ". Vol. 2_, pág. 413. Geneva.
55. YIFTAH, S., OKRENT, D., MOLDAUER, P.A. (1960); "Fast .reac-
tor cross sections". pág. 104. Pergamon Press (New York).
J.E.N. 268
Junta de Energía Nuclear, División de Física Teórica,.Madrid."HADES. Un programa numér ico p a r a e l cálculo
de secciones eficaces neut rónicas mediante el Mo-delo Óptico".GUASP, J . y NAVARRO, C. (1973) 86 pp. 1 f i g . 55 reís.
Se describe un programa numéricc escrito en FCRTRAN V para UMIVAC 1108/6,que utilizando un Modelo Óptico local con interacción spin-órbita, calcula lassecciones eficaces, distribución angular y los momentos de Legendre, correspondientes a reacciones entre neutrones rápidos y núcleos esféricos de numero másj.co intermedio o elevado.
El programa permite la variación automática de los parámetros del potencialhasta lograr el máximo acuerdo entre los resultados teóricos y datos experimen-ta les.
J.E.N. 268
Junta de Energía Nuclear, División de Física Teórica, Madrid.
"HADES. Un programa numérico para el cálculode secciones eficaces neutronicas mediante el Mo-delo Óptico".GUASP, J . y NAVARRO, C. (1973) 86 pp. 1 f i g . 55 refs.
Se describe un programa numérico escrito en FORTRAN V para UNIVAC 1108/6,que utilizando un Hodelo Óptico local con interacción spin-órbita, calcula lassecciones eficaces, distribución angular y los momentos de Legendre, corresporidientes a reacciones entre neutrones rápidos y núcleos esféricos de número másj,co intermedio o elevado.
El programa permite la variación automática de los parámetros del potencialhasta lograr el máximo acuerdo entre los resultados teóricos y datos experimentales.
J.E.N. 268
Junta de Energía Nuclear, División de Física Teórica, Madrid.
"HADES. Un programa numérico para el cálculode secciones eficaces neutronicas mediante el Mo-delo Óptico".GUASP, J . y NAVARRO, C. (1973) 86 pp. 1 f i g . 55 refs.
Se describe un programa numérico escrito en FGRTRAN V para UNIVAC 1108/6,que utilizando un Modelo Óptico local con interacción spin-órbita, calcula lassecciones eficaces, distribución angular y los momentos de Legendre, correspon-dientes a reacciones entre neutrones rápidos y núcleos esféricos de número inási-co intermedio o elevado.
El programa permite la variación automática de los parámetros del potencialhasta lograr el máximo acuerdo entre los resultados teóricos y datos experimen-ta les .
J.E.N. 268
Junta de Energía Nuclear, División de Física Teórica, Madrid
"HADES. Un programa numérico para el cálculode secciones eficaces neutronicas mediante el Mo-delo Óptico".GUASP, J . y NAVARRO, C. (1973) 86 pp. 1 f i g . 55 refs.
Se describe un programa numérico escrito en FORTRAN V para UNIVAC 1108/6,que utilizando un Modelo Óptico local con interacción spin-órbita, calcula lassecciones eficaces, distribución angular y los momentos de Legendre, correspon-dientes a reacciones entre neutrones rápidos y núcleos esféricos de número másj_co intermedio o elevado.
El programa permite la variación automática de los parámetros del potencial
hasta lograr el máximo acuerdo entre los resultados teóricos y datos experimen-tales.
J.E.N. 268 J.E.N. 268
Junta de Energía Nuclear, División de Física Teórica, Madrid."HADES. A computer code for fast neutrón c r o s s
section from the Optical Model".GUASP, J . , NAVARRO, C. (1973) 86 pp. 1 f i g . 55 refs.
A FORTRAN V computer code for UNIVAC 1108/6 using a local Optical Model with
spin-orbit interaction i s described. The code calculates fast neutrón cross
sections, angular d ist r ibut ion, and Legendre moments for heavy and intermedíate
spherical nuclei. I t allows for the possibi l i ty of automatic variation of po-
tent ia l parameters for experimental data f i t t í n g .
Junta de Energía Nuclear, División de Física Teórica, Madrid."HADES. A computer code for fast neutrón c r o s s
section from the Optical Model".GUASP, J . , NAVARRO, C. (1973) 86 pp. 1 f i g . 55 refs.
A FORTRAN V computer.code.for UNIVAC 1108/6 using a local Optical Hodel with
spin-orbit interaction i s described. The code calculates fast neutrón cross
sections, angular d is t r ibut ion, and Legendre moirents for heavy and intermedíate
spherical nuclei. I t allovis for the possibi l i ty of automatic variation of po-
tent ia l parameters.for experimental data f i t t i n g .
J.E.N. 268
Junta de Energía Nuclear, División de Física Teórica, Madrid.
"HADES. A compu te r code for fast n e u t r ó n c r o s ssect ion f rom the Opt ica l Mode l" .GUASP, J., NAVARRO, C. (1973) 86 pp. 1 fig. 55 refs.
A FORTRAN V computer code for UNIVAC 1108/6 using a local Optical Hodel withspin-orbit interaction is described. The code calculates fast neutrón crosssections, angular d ist r ibut ion, and Legendre moments for heavy and intermedíatespherical nuclei. I t allows for the possibi l i ty of automatic variation of po-tent ia l parameters for experimental data f i t t i n g .
J.E.N. 268
Junta de Energía Nuclear, División de Física Teórica, Madrid."HADES. A computer code for fast neutrón c r o s s
section from the Optical Model".GUASP, J . , NAVARRO, C. (1973) 86 pp. 1 f i g . 55 r e f s .
A FORTRAN V computer code for UNIVAC 1108/6 using a local Optical Model withspin-orbit interaction is described. The cede calculates fast neutrón crosssections, angular d istr ibut ion, and Legendre moments for heavy and intermedíatespherical nuclei. I t allows for the possibi l i ty of automatic variation of po-tent ia l parameters for experimental data f i t t i n g .
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