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6 Trigonometra Analtica
Seccin 6.6 Funciones trigonomtricas
inversas
Funciones Inversas Recordar que para
una funcin, f, tenga inversa , f-1 , es necesario que f sea una funcin uno-a-uno.
o Una funcin, f, es uno-a-uno si para cada a b en el dominio de f, f(a) f(b).
o (Cualesquiera dos x diferentes producen dos ys diferentes.)
Funcin que es uno-a-uno
Funcin que NO es uno-a-uno
Funciones Inversas La funcin
inversa, f-1 ,
invierte la
correspondencia
dada por f .
Esto es, si el par
ordenado (u,v)
pertence a f,
entonces (v, u) pertenece f-1
f -1 es una reflexin sobre la recta y = x de f
Relacin entre f y f-1
El dominio de f-1es el campo de valores de f
El campo de valores se f-1 es el dominio de f
1 = para cada x en el dominio de f-1
1 = para cada y en el dominio de f
El punto (a,b) pertenece a la grfica de f si y
solo si el punto (b,a) pertenece a la grfica de f-1
Las grficas de f-1 y f son reflexiones sobre la
recta y = x, la una de la otra.
Funcin Inversa del Seno Las funciones trigonomtricas, en general,
son peridicas, y por lo tanto NO son uno-a-uno.
Si restringimos el dominio de la funcin del
seno al intervalo
2,
2 entonces
obtenemos una funcin creciente en todo el intervalo y por lo tanto, uno-a-uno .
En este intervalo, la variable y asume todos los valores de la funcin del seno una sola vez.
Funcin del seno dominio restringido
Funcin inversa del seno Si la funcin del seno se restringe a el dominio
2,
2 y su campo de valores es [1, 1]
La funcin inversa del seno, se define como
y = sin-1 x , si y solo si x = sin y
para 1 1 ;
2
2
(En palabras, y es el nmero real (o el ngulo) en
[/2 , /2] cuyo seno es igual a x.)
Nota: sin-1 x tambin se denota arcsin x
Comentarios sobre el rango de sin-1x
Note que 5
6=
1
2, pero 1
1
2
5
6
El campo de valores del 1 es
2,
2,
5
6
2,
2
11
2=
6
Valores del seno inverso
Propiedades de la inversa del seno
Las propiedades generales de la funcin
inversa, nos dan la siguientes propiedades
Ejemplo Hallar el valor exacto:
Solucin : (a) Podemos identifcar las soluciones de dos
formas.
Podemos determinar sin-1 () (el valor
numrico en
2,
2 cuyo seno es ), o sea
/6
luego evaluamos sin (/6), que es .
Solucin (contd) Otra forma es aplicar la propiedad de sin-1 :
oComo 1 1
2 1,
(b)
como /2 /4 /2, podemos usar la
propiedad de sin-1 para obtener
Solucin (cont) (c)
Como 2/3 no est en [ /2 , /2 ], NO
podemos usar la propiedad de sin-1 dada
anteriormente.
En este caso, evaluaremos la expresin
interna,sin (2/3), y luego usaremos la
definicin de sin-1, como sigue:
Ejemplo Determinar el valor exacto de y si
= sin1 tan3
4
Solucin
Evaluamos, primeramente, la expresin
interna.
tan (3/4)
Luego, hallamos el seno inverso de ese
nmero.
= 1
= sin1 1 =
2
Coseno inverso El dominio de y = cos-1 se retringe al
intervalo [0, ] .
En [0, ] se obtiene una funcin uno-a-uno ya y = cos x es decreciente en ese intervalo.
y = cos-1 x asume todos los valores de la funcin del coseno una sola vez en [0, ] .
La notacin y = cos-1 x se lee, y es el coseno inverso de x o y es el ngulo con coseno igual a x (con 0 y ).
y = cos-1 tambin se denota y = arccos x
Coseno Inverso (cont)
Valores del Coseno Inverso
Ejemplo Hallar el valor exacto del sin
2
3
Solucin
Si = arccos (), entonces usando la definicin de la funcin de coseno inverso, tenemos que
Por lo tanto est en el cuadrante II.
Solucin (cont)
Por el teorema
de pitgora
tenemos que el
lado opuesto a
R es
Funcin de la tangente inversa
Para que la funcin tangente tenga inversa,
restringimos su dominio al intervalo abierto
(/2, /2), para obtener una funcin
creciente uno-a-uno.
Usamos esta nueva funcin para definir la
inversa.
Properties de la funcin tangente
inverso Tal como ocurri con sin-1 y cos-1, tenemos
las siguientes properties for tan-1:
Ejemplo Hallar el valor exacto:
a.
b.
C.
Ejemplo Hallar el valor exacto de
tan (arctan 3 arctan 2). Solucin:
Digamos que x = arctan 3 ; y = arctan 2
Esto implica que tan x = 3; tan y = 2
Adems, tan (arctan 3 arctan 2)= tan (x y)
Usando la frmla para la diferencia de ngulos tenemos
que
tan (x y)= tan tan
1+tan tan =
32
1+32 =
1
1+6 =
1
7
Ejemplo
Solucin:
Digamos que u = tan-1 () ; v = cos-1 ()
Esto implica que tan u = ; cos v =
Adems, sin (tan-1 () + cos-1 ()) = sin (u + v)
Usando la frmula para la suma de ngulos
tenemos que
sin(u+v) = sin u cos v + cos u sin v
Hallar el valor exacto de
sin (tan-1 () + cos-1 ()).
Solucin (cont) De tan u =
tenemos que
sin u = cos u =
De cos v =
tenemos que
sin v =
cos v =
Ahora sin(u+v) = sin u cos v + cos u sin v
= 1
5
4
5 +
2
5
3
5
= 4
5 5+
6
5 5 =
10
5 5 =
2
5
1
5
2
5
3
5
4
5
= 2 5
5
Ejemplo
Determinar el valor de , aproximado a la
dcima ms cercana.
Solucin:
Debe notar que NO est
en un tringulo rectngulo, pero se forma un tringulo
recto con la suma de los
ngulos + .
Solucin
tan + =
+ = tan13
4
= tan13
4
Como tan =22
40=
11
20, tenemos que
= tan111
20
8 + 22
40=
30
40=
3
4
Solucin (cont) Solucin:
= tan111
20
= tan13
4 tan1
11
20
Usando la TI-89, podemos aproximar
= Que en grados es 8
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