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curso de concreto armado
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ESTUDIO DE SECCIONES RECTANGULARES
DOBLEMENTE REFORZADAS
Con frecuencia la altura de la sección de las vigas está limitada por
razones tales como altura total del edificio, espacio libre necesario
para la circulación dentro del Edificio y otras.
Esto ocasiona que en algunos casos la sección no sea suficiente
para soportar el momento y requiera de la utilización de refuerzo
adicional superior o inferior en compresión.
La colocación de refuerzo en ambos bordes no debe confundirnos
porque en diseños prácticos se acostumbra prolongar tanto el
refuerzo negativo como positivo por razones constructivas o
reglamentarias, como se muestra en la figura.
Pág. 1
ANÁLISIS DE SECCIONES DOBLEMENTE
REFORZADAS
A continuación mostramos el estudio “exacto” de una sección
rectangular doblemente reforzada en el que asumiremos que el
refuerzo en compresión esta en fluencia, suposición que
comprobaremos, modificándola en caso sea necesario.
Las fuerzas internas resultantes son
Compresión en el concreto:
(1)
Compresión en el acero:
(2)
Tracción en el acero:
Pág. 2
(3)
Del equilibrio de fuerzas horizontales:
(4)
(1) (2) y (3) en (4):
(5)
(6)
Se debe verificar que las áreas de acero están en fluencia, esto
ocurre si su deformación es igual o excede a la deformación :
Del diagrama de deformaciones:
Pág. 3
(7)
(8)
Si (9)
Si (10)
Si se mantienen estas condiciones, es correcta la suposición que
ambas áreas de acero están fluyendo.
El Momento Resistente Nominal estará dado por:
El Momento Resistente Nominal Reducido estará dado por:
En la que “a”, se obtiene de (6):
Si la comparación de (9) y (10), indica que el acero no está en
fluencia, el valor de “a”, obtenido de la ecuación (6), es incorrecto
Pág. 4
y se debe calcular el valor real de “a”, partiendo de la ecuación de
equilibrio, en consecuencia se tendrá:
En la que :
ó
ó
El Momento Resistente Nominal estará dado por:
El Momento Resistente Nominal Reducido estará dado por:
Ejemplo:
Determinar el Diagrama de Momentos Resistentes de la viga
mostrada.
Pág. 5
En la sección A-A:
As= 5 (5.10) = 25.50 cm2 A´s = 3 (1.97)= 5.91 cm2
Pág. 6
1. Consideramos y
Asumimos que el acero en compresión y en tracción están en fluencia:
Cc= 0.85 (210) a (25) = 4462.5 a kg
Cs= 5.91 (2800) = 16548 kg
T = 25.50 (2800) = 71400 kg
Se cumple:
Por lo tanto:
La deformación de fluencia es :
Pág. 7
Verificamos los esfuerzos en As y A’s , empleando el Diagrama de
Deformaciones.
As y A’s están en fluencia tal como se asumió.
2. Consideramos: y
Asumimos que el acero en compresión y en tracción está en fluencia:
Cc = 0.85 (350) a 25 = 7437.5 a kg
Cs = 5.91 (2800) = 16548 kg
T = 25.50 (2800) = 71400 kg
Pág. 8
La deformación de fluencia es
Se deduce que el acero en compresión no alcanza la fluencia y que
el acero en tracción si está en fluencia.
Se cumple que: , por lo tanto:
Pág. 9
Despejando “a” , se tiene la ecuación de 2º grado:
Resolviendo en a, se tiene:
El esfuerzo en el acero en compresiones:
Las resultantes de las compresiones en el acero y el concreto
Verificamos:
Pág. 10
DISEÑO DE SECCIONES DOBLEMENTE REFORZADAS
Asumiendo que tanto As como A’s , están en fluencia, el Momento
Resistente de Diseño está dado por :
(1)
en la que: (2)
Teniendo en cuenta que: (3)Reemplazando (3) en (1) se tiene:
(4)
Pág. 11
En las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) se asume que el acero en
compresión está en fluencia, lo que verificaremos mediante el
diagrama de deformaciones.
(4’)
Esto requiere que:
(5)
Reemplazando (2) en (5):
Si en la expresión anterior hacemos
y reemplazamos : ,
Pág. 12
Obtenemos:
(6)
Esta expresión nos da el menor valor de tal que el acero en
compresión fluye.
Si el acero A’s no está en fluencia se puede hallar el esfuerzo en él
en términos de “a”. En la Ecuación (4) para A’s se debe utilizar f’s
en lugar de fy .
De (4’) tendremos:
(7)
La ecuación (1) modificada será:
en la que :
en donde: f’s , esta dado por la Ecuación (7)
Pág. 13
CUANTÍA BALANCEADA PARA SECCIONES
RECTANGULARES DOBLEMENTE REFORZADAS
Del Diagrama de Deformaciones
Pág. 14
(8)
Por equilibrio de fuerzas horizontales:
Si hacemos y reemplazamos en (8’):
(9)
En consecuencia para una falla balanceada, la Ecuación (7), nos da
f’s para a = y reemplazándolo tenemos:
Igualando (8) y (9) y se tiene:
Pág. 15
(10)
La Norma N.T.E. E060-89 y el ACI 318-11, establecen:
Diagrama para la secuencia de verificación de secciones de vigas doblemente reforzadas.
Pág. 16
No
Si
No Si
No Si
Inicio
Dados : b, d, d’, As , A’s, f ’c , fy
bd'A
''bd
A ss
y
cmin f
'f7.0
La sección no es satisfactoria: aumente
>min
yy
c1
f60006000
df'd'f85.0'
entointprimerelPara
fdf)'('d'f85.016000'f y
y
1cs
El acero en compresión alcanza la falla, f ’s = fy
yy
c1b f6000
6000f
'f85.0
La sección no es satisfactoria:
aumente la sección
'dd'f'A2a
d'f'AfAM
b'f85.0'f'AfA
a
ssssysu
c
ssys
Fin
y
sb f
'f'75.0
ANÁLISIS POR FLEXIÓN DE VIGA DOBLEMENTE
REFORZADA
Determinar el momento resistente nominal Mn de la sección
doblemente reforzada que se muestra en la figura, considerar:
f’c = 350 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
d’ = 6 cm
Solución
Pág. 17
Para revisar si el acero de compresión está en fluencia, utilizamos la ecuación:
El valor ( - ’) = 0.01708 < 0.02138.
Por lo tanto, el acero de compresión no fluye y f’s es menor que fy.
En los casos que el acero de compresión no está en fluencia, usando
f’s = fy , tendremos como valor inicial para “a”.
FIGURA: Geometría y distribución de esfuerzos y deformaciones de la
sección transversal doblemente reforzada: (a) sección transversal; (b) Pág. 18
deformaciones; (c) parte 1 sección; (d) parte 1 fuerzas; (e) parte 2
fuerzas:
Una mejor aproximación para “a” se obtendrá de:
con este valor de “a” mejorado se halla un nuevo f’s:
al que consideramos valor final por ser 1.76% mayor que el valor
inicial.
El porcentaje máximo permisible de refuerzo establecido por la norma NTE E060-89 es:
Comparando tenemos que se cumple:
0.02156 < 0.02907
Pág. 19
Determinamos el Momento resistente nominal
valor de “a” , que es sensiblemente igual al anterior (a = 13.08)
Pág. 20
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