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Segundo Examen Departamental Ecuaciones Diferenciales 1GM6
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13
Ecu
aci
on
es
Dif
ere
nci
ale
s
Ecuaciones Diferenciales
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPO:
gvilla@ipn.mx
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Página 2
Nombre: Calificación
Grupo: Fecha:10-04-2013
Ecuaciones Diferenciales
Instrucciones:
La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 60%
Problemas de Coeficientes Indeterminados
Problema 1
Resuelva las ecuaciones diferenciales por coeficientes indeterminados.
2'' 4 3 2y y x sen x
Solución
La ecuación auxiliar es:
2
1
2
1 2
4 0
Por lo tanto sus raices serían
2
2
Entonces la solucion complementaria seria
cos2 2c
m
m i
m i
y c x c sen x
Ahora, puesto que la función de entrada 2( ) 3 2g x x sen x es una función
senoidal con un polinomio de segundo grado, nuestra tentativa lógica seria de
1cos2 2py A x Bsen x y
2
2py Cx Dx E suponemos con esto una solución
particular que tiene también la forma de senoidal, considerando que hay una
duplicación obvia en los términos senx y cos x en esta forma tentativa en la función
complementaria, podemos eliminar esta repetición con solo multiplicar 1py por x :
3 2 3 2cos2 2py Ax Bx Cx x Dx Ex Fx sen x
Encontrando la primera y segunda derivada y sustituyendo en la ED original
obtenemos:
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Página 3
2 4 0
6 8 0
4 2 3
8 6 0
12 1
B F
A E
C E
B D
A
Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se obtiene el valor de las constantes:
3 2
1 25 1, 0, , 0, , 0,
12 32 16
1 25 1cos2 2
12 32 16p
A B C D E F
y x x x x sen x
Por lo tanto la solución general queda de la siguiente forma:
3 2
1 2
1 25 1cos2 2 cos2 2
12 32 16y c x c sen x x x x x sen x
Forma Gráfica
2'' 4 3 2y y x sen x
Solución General
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Página 4
Problema 2
Resuelva el problema de valor inicial respectivo
2''' 8 2 5 8 , (0) 5, (0) 3, ''(0) 4xy y x e y y y
Solución
La ecuación auxiliar es:
3
2
1
2
3
2
1 2
8 0
Por lo tanto el polinomio quedaria de la siguiente forma
2 2 4 0
Entonces la raices de la ecuación serían:
2
1 3
1 3
Por lo tanto la solución complementaria seria
cos 3x x
c
m
m m m
m
m i
m i
y c e e c x c
3 3sen x
Ahora, puesto que la función de entrada 2( ) 2 5 8 xg x x e es una función
senoidal con un polinomio de segundo grado, nuestra tentativa lógica seria de
1py Ax B y 2
2
x
py Cxe , considerando que hay una duplicación obvia en el
término 2xe
en esta forma tentativa en la función complementaria, podemos
eliminar esta repetición con solo multiplicar 2py por x :
2x
py Ax B Cxe
Encontrando la primera y segunda derivada y sustituyendo en la ED original
obtenemos:
1 5 2, ,
4 8 3A B C
Por lo tanto la solución general queda de la siguiente forma:
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Página 5
2 2
1 2 3
1 5 2cos 3 3
4 8 3
x x xy c e e c x c sen x x xe
De las condiciones iniciales nosotros obtenemos
1 2 3
23 59 17, y 3
12 24 72c c c
Por lo tanto:
2 223 59 17 1 5 2cos 3 3 3
12 24 72 4 8 3
x x xy e e x sen x x xe
Forma Gráfica
2''' 8 2 5 8 , (0) 5, (0) 3, ''(0) 4xy y x e y y y
Solución general
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Página 6
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Página 7
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Página 8
Problema 3
Variación de Parámetros
Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales por variación de parámetros.
'' 2y y senh x
Solución
2
2
1 2
'' 0 ''
1 0
1, 1
y y y m
m
m m
Por lo tanto la solución complementaria seria
1 2
x x
cy c e c e
Y por lo tanto el Wroskiano es
2x x
x x x x
x x
e eW e e e e
e e
Identificando a ( ) 2f x senh x
nosotros obtenemos y considerando que
2 2
22
x xe esenh x
2 2 2 2
2 2 3
21
3
1
2 2 2 2
3
12
3
2
2( ) 2'2 2 4 4
1 1'
4 4
2( ) 2'2 2 4
1 1'
4 4
x x x x xx
x x x x x
x x
x x x x xx
x x
x x
e e e e ee
e e ey f x e eu
W
u e e
e e e e ee
y f x e eu
W
u e e
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Página 9
Entonces integramos ambas funciones y tenemos
3
1
3
1
3
2
3
2
1 1'
4 4
1 1
12 4
1 1'
4 4
1 1
4 12
x x
x x
x x
x x
u e e dx
u e e
u e e dx
u e e
Y por lo tanto la solución particular es
3 3
1 1 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
12 4 4 12
12 4 4 12
1 1
6 6
2
3
x x x x x x
p
x x x x
p
x x
p
p
y u y u y e e e e e e
e e e ey
y e e
senh xy
Por lo tanto la solución general es
1 2
2
3
c p
x x
y y y
senh xy c e c e
Método Gráfico
'' 2y y senh x
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Ecuaciones Diferenciales Página 10
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Página 11
Problema 4
Ecuaciones de Cauchy-Euler
Resuelva la ecuación diferencial respectiva
3 ''' ' 0x y xy y
Solución
Asumiendo que my x y sustituyendo en la ecuación diferencial, nosotros
obtenemos la ecuación auxiliar siguiente:
33 2( 1)( 2) 1 3 3 1 1 0m m m m m m m m
Por lo tanto la solución general es:
2
1 2 3ln lny c x c x x c x x
Use la sustitución tx e para transformar la ecuación respectiva de cauchy-euler
en una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Resuelva la ecuación
original a través de la nueva ecuación.
2 2'' 4 ' 6 lnx y xy y x
Solución
Usando la sustitución y sustituyendo dentro de la ecuación diferencial obtenemos lo
siguiente:
2
25 6 2
d y dyy t
dt dt
Por lo tanto la ecuación auxiliar que obtenemos:
2 5 6 2 3 0m m m m .
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Página 12
La solución complementaria será:
2 3
1 2
t t
cy c e c e
Usando los coeficientes indeterminados obtenemos una solución particular
py At B
Derivando esta solución particular para obtener la primera y segunda derivada
obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
( 5 6 ) 6 2 , 1/ 3, 5 /18A B At t A B
Por lo tanto la solución general será:
2 3 2 3
1 2 1 2
1 5 1 5ln
3 18 3 18
t ty c e c e t c x c x x
Método Gráfico
Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
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Ecuaciones Diferenciales Página 13
Problema 5
Determine la solución general de la ecuación diferencial de orden superior.
4 2
4 27 18 0
d y d yy
dx dx
Solución
Obtenemos la ecuación auxiliar la cual es la siguiente:
4 27 18 0m m
Lo cual da lugar a las siguientes raíces:
1
2
3
4
3
3
2
2
m
m
m i
m i
Por lo tanto la solución general será:
3 3
1 2 3 4cos 2 2x xy c e c e c x c sen x
Método Gráfico
4 2
4 27 18 0
d y d yy
dx dx
Solución General
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Ecuaciones Diferenciales Página 14
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Página 15
Problema 6
Reducción de orden
La función 1( )y x es una solución a las ecuaciones diferenciales. Use la reducción
de orden o la formula, para encontrar una segunda solución 2 ( )y x
2 1/2
14 '' 0; ( ) lnx y y y x x x
Solución
Identificamos ( ) 0P x por lo tanto nosotros tenemos
0
1/2 1/2 1/2
2 2
1ln ln
lnln
dx
ey x x x x x
xx x
Una segunda solución será entonces 1/2
2y x
Método Gráfico
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Ecuaciones Diferenciales Página 16
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