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MATEMATICA
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CALCULO INTEGRAL (ARQ)
Sesión 6.1:•Integral definida•Propiedades de la Integral definida.•Cálculo de Integrales Definidas.
CALCULO DE ÁREAS
A2
A4
A3
A1
INTEGRAL DEFINIDA Y
El concepto de integral definida (según Riemann) está fundamentalmente relacionado con el cálculo de áreas de regiones planas, en particular el área determinada por:
El Problema del Área
La gráfica de la curva y = f (x), las rectas x = a , x = b y el eje X.
Integral Definida: Partición
Llamamos partición de [a , b] a cualquier colección de puntos del intervalo,
nn xxxxP ;;...; 110 Siendo
bxxxxa nn 110 ...
x1 x2 xn-2 xn-1x0 xn
Integral Definida: Suma de Riemann
una función continua definimos la suma de Riemann de f respecto a la partición P de [a , b] como el número.
RbafDado ,:
n
iiii xxfPfS
11;
Siendo iii xx ;1
S (f ; P) es una suma de áreas de rectángulos que aproxima el área de la región limitada por la curva y = f (x), las rectas: x = a, x = b y el eje OX .
n = 3 rectángulosn = 6 rectángulosn = 12 rectángulosn = 24 rectángulosn = 48 rectángulosn = 99 rectángulos
Integral Definida: Definición
Consideramos la partición P n de [a , b] como:
Decimos que f es integrable si existe el
b
n
abna
n
aba
n
abaaPn
)(;...
2;;
lim ( ; )nn
S f P
Entones definimos
( ) lim ( ; )b
na nf x dx S f P
ba ;
b
a
dx)x(f
Integrando
Límites
Superior
e Inferior
No tiene significado, indica respecto a qué variable se integra.
Donde:
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDAPROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y y son constantes, se tiene:
( ( ) ( )) ( ) ( )b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx
Propiedad de linealidad
2. Si existen las integrales de la izquierda, también existe la integral de la derecha:
( ) ( ) ( )c b b
a c af x dx f x dx f x dx
Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración
( ; )c a b
La propiedad anterior es aplicada cuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua.
Ejemplo:
Si:
y se quiere hallar:
31 1 - 2
10 x )(
2
xx
xxf
3 1 32
0 0 1( ) (2 1)f x dx x dx x dx
3
0( )f x dx
3. Si f y g son integrables en [a, b] y g(x) f(x) para todo x [a, b], se tendrá:
( ) ( )b b
a ag x dx f x dx
Teorema de comparación
Integral Definida: Propiedades
Si
Ejemplos:
,3)(3
1
dxxf 5)(2)(2
1
3
1
dxxgydxxg
Encuentre:
3
1
)(3)(2.1 dxxgxf
3
2
)(.2 dxxg
b
a
0 dx f(x) entonces
b,xa cuando 0,f(x) Si .4
b
a
a)-M(b dx f(x) a)-m(b
b,xa cuando M, f(x) m Si 5.
Ejemplo: Usando la propiedad 5, estime entre qué valores se encuentra:
4
1dxx
DEFINICIONES:Sea f una función integrable en[a, b], entonces:
1. ( ) 0a
af x dx
2. ( ) ( )b a
a bf x dx f x dx
Integral Definida: Teoremas Fundamentales
Si
( ) ( ) ;x
aG x f t dt a x b
f es continua sobre [a ; b], entonces
baxxfxG ;;)()(
Sea G la función definida por:
G
es diferenciable sobre [a ; b] y
1° Teorema Fundamental del Cálculo
Integral Definida: Teoremas Fundamentales
Ejemplos del Teorema Fundamental del Cálculo (I)
Halle la derivada de las siguientes funciones:
x
dttxg1
202 1)(.1
2
2 )cos()(.2x
dttxg
CONSECUENCIA
Sea g una función diferencial en [a;b] y f es continua en el rango de g, entonces:
)('))(()()(
xgxgfdttfdt
dxg
a
Integral Definida: Teoremas Fundamentales
Calcule la derivada de:
1.
2.
2
3
)(x
dttsen
xe
dtt1
3
Integral Definida: Teoremas Fundamentales
( ) ( ) ( )b
af x dx F b F a
, entonces
Sea Rbaf ;: continua. Si RbaF ;:
es diferenciable y si
baxxfxF ;;)()(
:;, baba
Esta regla convierte al cálculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de antiderivadas y evaluación.
2° Teorema Fundamental del Cálculo
Ejemplo: Evaluar las integrales
01. (1 cos )x dx
3
02. 1x dx
2
213.
1
xdx
x
1
204.
1
dt
t
2 ( )
05. cos( )sen xe x dx
4
6.ln( )
e
e
dx
x x
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